Bài giảng Sức bền vật liệu 1: Chương 6 - PGS. TS. Trần Minh Tú

SỨC BỀN
VẬT LIỆU

Trần Minh Tú
Đại học Xây dựng
National University of Civil Engineering – Ha noi

January 2013


Chương 6

THANH CHỊU UỐN PHẲNG


NỘI DUNG
SB1 – nghiên cứu ứng suất, biến dạng,
chuyển vị trong thanh dưới tác dụng của
các trường hợp chịu lực cơ bản

Chương 2;
Kéo (nén)
đúng tâm

Chương 5:
Xoắn

UỐN

6.1. Khái niệm chung
6.2. Uốn thuần túy thanh thẳng

6.3. Uốn ngang phẳng thanh thẳng
3(71)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering


6.1. Khái niệm chung (1)
 Thanh chịu uốn: khi có tác dụng của ngoại lực trục
thanh thay đổi độ cong
 Dầm: thanh chịu uốn

4(71)
July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering


6.1. Khái niệm chung (2)
 Giới hạn nghiên cứu: Dầm với mặt cắt ngang có ít nhất 1 trục
đối xứng (chữ I, T, chữ nhật, tròn,…); mặt phẳng tải trọng trùng
mặt phẳng đối xứng của dầm => Uốn phẳng

 Mặt phẳng tải trọng: mặt phẳng chứa tải trọng và trục thanh
 Mặt phẳng quán tính chính trung tâm: mặt phẳng chứa trục
thanh và 1 trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt ngang.

5(71)
July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering

6.1. Khái niệm chung (3)
 Phân loại uốn phẳng




F

Uốn thuần túy phẳng
Uốn ngang phẳng

A

F

B

z
a

 Ví dụ: thanh chịu uốn
phẳng
Trên đoạn BC: Mx≠0, Qy=0
=> Uốn thuần túy phẳng
 Trên đoạn AB,CD: Mx≠0,
Qy≠0
=> Uốn ngang phẳng

b

a

V =F
D

VA = F
F

Qy



6(71)
July 2009

D

C

F

Mx
Fa

Fa

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering

6.2. Uốn thuần túy phẳng (1)

Uốn thuần túy phẳng
7(71)
July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering


6.2. Uốn thuần túy phẳng (2)
1.

Định nghĩa: Thanh gọi là chịu uốn thuần tuý nếu
trên các mặt cắt ngang của nó chỉ tồn tại thành
phần ứng lực là mơmen uốn Mx (hoặc My) nằm
trong mặt phẳng quán tính chính trung tâm.

Tải trọng gây uốn: nằm trong mặt phẳng đi qua trục thanh
và vng góc với trục thanh
2. Các giả thiết về biến dạng của thanh
a. Thí nghiệm

8(71)
July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering


6.2. Uốn thuần túy phẳng (3)

Vạch trên bề mặt ngoài của thanh
• Hệ những đường thẳng // trục thanh
=> thớ dọc
• Hệ những đường thẳng vng góc
với trục thanh => mặt cắt ngang
Cho thanh chịu uốn thuần túy phẳng
QUAN SÁT
• Các đường thẳng // trục thanh =>
đường cong // trục, khoảng cách giữa
các đường cong kề nhau khơng đổi
• Các đường thẳng vng góc với trục
thanh => vẫn thẳng và vng góc với
trục thanh
• Các thớ phía trên bị co (chịu nén),
các thớ dưới bị dãn (chịu kéo)
9(71)
July 2009

mặt cắt ngang

M

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering

thớ dọc

M


Biến dạng của thanh chịu uốn

10(71)
July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering


6.2. Uốn thuần túy phẳng (4)
GIẢ THIẾT
a. Giả thiết mặt cắt ngang phẳng:
mặt cắt ngang trước biến dạng
là phẳng và vng góc với trục
thanh thì sau biến dạng vẫn
phẳng và vng góc với trục
b. Giả thiết về các thớ dọc: trong
q trình biến dạng các lớp vật
liệu dọc trục khơng có tác
dụng tương hỗ với nhau
Vật liệu làm việc trong miền đàn
hồi
Tồn tại lớp trung hồ: gồm các
thớ dọc khơng bị dãn cũng
khơng bị co.
Đường trung hịa: Giao tuyến của
lớp trung hoà với mặt cắt
ngang
11(71)
July 2009

M

M

Lớp trung hoà

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering

Đường
trung hoà

Đường
trung hoà


3.Ứng suất trên mặt cắt ngang
a. Biến dạng dài của thớ dọc
có khoảng cách y đến thớ
trung hồ
Xét vi phân chiều dài của thớ
dọc dz = cd. Sau biến dạng
cd có độ dài là c’d’.
Biến dạng dài tỉ đối:
dz c ' d ' cd    y  d   d y
z 



dz
cd
 d



z 
12(71)
July 2009

y

1

2

a
c

b
d

dz

1

y

2

d



1

y

6.2. Uốn thuần túy phẳng (5)

thớ trung hồ
2

a
c

b
d

1

2

  bán kính cong của thớ trung hoà


Tran Minh Tu – University of Civil Engineering


6.2. Uốn thuần túy phẳng (6)
b. Quan hệ ứng suất - biến dạng
Xét mặt cắt ngang bất kỳ, phân
tố diện tích dA chứa điểm K.
Tách phân tố lập phương chứa

điểm K.
Từ gt 1: góc vng khơng thay
đổi => t=0
Từ gt 2: sx=sy=0
=> Trên mặt cắt ngang chỉ tồn
tại duy nhất ứng suất pháp sz
Theo định luật Hooke
y

s z  E z

13(71)
July 2009

sz  E



x
x
K
y

dA

sz

y

sz

K

1



sz

 ????

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering

z


6.2. Uốn thuần túy phẳng (7)
c. Cơng thức tính ứng suất pháp
Tải trọng gây uốn nằm trong mặt
phẳng yOz và vng góc với
trục thanh nên: Nz=My=0 và
Mx≠0. Ta có:

x

Mx
x

K
y

dA

sz

y

N z   s z dA 
A

E

yd A  0



 yd A  S
A

A

x

M y   xs z dA 
A

0

E

xyd A  0


A

 xyd A  I xy  0
A

14(71)
July 2009

Đường trung hoà đi qua trọng tâm
của mặt cắt ngang

Hệ trục Oxy là hệ trục
quán tính chính trung tâm
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering

z


6.2. Uốn thuần túy phẳng (8)
M x   ys z dA 
A

1





E

E

y dA  I



2

x

A

Mx

Mx
EI x

x

x

K
y

dA

 – bán kính cong của thớ trung hồ

Mx – mơ men uốn nội lực

sz

z

y

EIx – độ cứng của dầm chịu uốn
Thay biểu thức của bán kính cong
vào biểu thức xác định ứng suất pháp
y – tung độ điểm cần tính ứng suất
Mx>0: căng thớ dưới
Mx<0: căng thớ trên
=> Để thuận tiện ta thường dùng
cơng thức tính tốn
15(71)
July 2009

sz  E

Mx
sz 
y
Ix

y



sz  

Mx
Ix

thuộc vùng kéo

y

thuộc vùng nén

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering


6.2. Uốn thuần túy phẳng (9)
d. Biểu đồ ứng suất pháp
 Các điểm càng xa ĐTH thì trị tuyệt đối ứng suất pháp
càng lớn
 Các điểm nằm trên ĐTH thì có sz=0
 Các điểm nằm trên đường thẳng // ĐTH thì có
sz=const
=> Biểu diễn sự biến thiên của ứng suất pháp theo
chiều cao mặt cắt ngang
 Biểu đồ ứng suất pháp là đường thẳng đi qua gốc
toạ độ => để vẽ được biểu đồ chỉ cần tính ứng suất
pháp tại điểm bất kỳ trên mặt cắt ngang
 Đánh dấu (+) để biểu diễn phần ứng suất kéo và dấu
(-) biểu diễn phần ứng suất nén
16(71)
July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering


6.2. Uốn thuần túy phẳng (10)

17(71)
July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering


66.2. Uốn thuần túy phẳng (11)
 Mặt cắt ngang có hai trục đối
xứng

smin

Mx h Mx
s max  

I x 2 Wx
Mx h
Mx
s min  

Ix 2
Wx

h/2

Mx
x

h/2
z

s max  s min

smax

y

Ix
- mơ men chống uốn của mặt cắt ngang
Wx 
h/2
2
3

Hình chữ nhật: Wx 
Hình vành khăn:
18(71)
July 2009

bh
6

Hình trịn:

Wx 

Ix
D

 0,1D3
D/2
32

Ix
 D3
Wx 

1   4   0,1D3 1   4 

D/2
32

với  

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering

d
D


6.2. Uốn thuần túy phẳng (12)

s max  

s min  
W 
k
x

Ix
Mx
Ix

Ix
k
ymax

k
max

y

n
max

y



Mx

Wxk



W 
n
x

Mx

h

Mx

smin

b
t

 Mặt cắt ngang có 1 trục
đối xứng

Mx

x

z

n
x

W
Ix

ynmax

y

n
ymax

ykmax - khoảng cách xa ĐTH nhất thuộc vùng chịu kéo
ynmax - khoảng cách xa ĐTH nhất thuộc vùng chịu nén

19(71)
July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering

ykmax
smax


6.2. Uốn thuần túy phẳng (13)
4. Điều kiện bền
Dầm làm bằng vật liệu dẻo

Dầm bằng vật liệu giịn
Ba bài tốn cơ bản
 Kiểm tra điều kiện bền:

max s max , s min   s 

s max  s k ;

s max 

Mx
Wx

s min  s n

 s 

 Xác định kích thước của mặt cắt ngang:
Wx 

Mx

s 

 Xác định tải trọng cho phép:

M x  s Wx

20(71)
July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering


6.2. Uốn thuần túy phẳng (14)
 Mặt cắt ngang có hình dáng hợp lý:




Khả năng chịu lực của dầm lớn nhất
Tiết kiệm vật liệu nhất

Dầm bằng vật liệu dòn: mặt cắt ngang hợp lý khi đồng
thời thỏa mãn
s max 

Mx

s min 

Mx

Ix
Ix

k
ymax
 s k

y

n
max

 s n

k
ymax
n
ymax

s k

s n

Mặt cắt ngang không
(*) đối xứng qua trục x
thoả mãn đk (*)

Dầm bằng vật liệu dẻo: s k  s n
k
ymax

y
21(71)
July 2009

n
max

1

Mặt cắt ngang có
hai trục đối xứng
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering

6.2. Uốn thuần túy phẳng (15)
 Để tiết kiệm vật liệu
Từ biểu đồ ứng suất, càng xa ĐTH ứng suất càng lớn
=> đưa vật liệu ra xa ĐTH

y

22(71)
July 2009

x

y

Vật liệu dòn

x

x

x

y

y

Vật liệu dẻo

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering

6.3. Uốn ngang phẳng (1)
1. Định nghĩa
Thanh gọi là chịu uốn ngang
phẳng nếu trên các mặt cắt
ngang của nó đồng thời có cặp
ứng lực là mơmen uốn Mx, lực
cắt Qy nằm trong mặt phẳng
quán tính chính trung tâm.
Giả thiết mặt cắt ngang phẳng
khơng cịn đúng

23(71)
July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering


Biến dạng thanh chịu uốn ngang phẳng

24(71)
July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering


6.3. Uốn ngang phẳng (2)
Hai thành phần ứng lực
Mx => ứng suất pháp

Qy => ứng suất tiếp
Mx
sz 
y
Ứng suất pháp
Ix

Trong đó

Mx là mơmen uốn nội lực trên mặt cắt ngang

Ix là mơmen qn tính của mặt cắt ngang đối
với trục quán tính chính trung tâm Ox

y là tung độ của điểm tính ứng suất
Ghi chú: Mx > 0 khi làm căng thớ dưới và Mx < 0
khi làm căng thớ trên.
25(71)
July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering