Phương pháp dưới đạo hàm tăng cường giải bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của một bài toán bất đẳng thức biến phân tách

PHƯƠNG PHÁP DƯỚI ĐẠO HÀM TĂNG CƯỜNG GIẢI BÀI TOÁN
BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP NGHIỆM CỦA MỘT
BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TÁCH
Hồ Phi Tứ
Khoa Toán - Khoa học tự nhiên
Email:
Ngày nhận bài: 10/8/2020
Ngày PB đánh giá: 24/8/2020
Ngày duyệt đăng: 31/8/2020
TÓM TẮT.
Trong bài báo này, dựa trên ý tưởng của phương pháp dưới đạo hàm tăng cường được
đề xuất bới Censor và các cộng sự ([xem 2]), chúng tôi đề xuất một phương pháp mới
để giải bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập ràng buộc là tập nghiệm của bài toán
bất đẳng thức biến phân tách. Bài tốn này cịn được gọi là bài toán bất đẳng thức biến
phân tách hai cấp. Đồng thời, chúng tôi cũng chứng minh được sự hội tụ mạnh của dãy
lặp tới nghiệm duy nhất của bài toán trên khơng gian Hilbert thực.
Từ khóa. Bất đẳng thức biến phân, bất đẳng thức biến phân tách, giả đơn điệu,
hội tụ yếu, hội tụ mạnh, L-liên tục Lipschitz,   đơn điệu mạnh.
A SUBGRADIENT EXTRAGRADIENT METHOD FOR SOLVING
VARIATIONAL INEQUALITY PROBLEM ON SOLUTION SET OF SPLIT
VARIATIONAL INEQUALITY PROBLEM
ABSTRACT
In this paper, by basing on the ideas of sub-gradient extra-gradient method presented
by Censor and his associates ([see 2]), we propose a new method for solving
variational inequality problem on the constraint set which is the solution of the
problem of integral variance inequality. This problem is also known as the two-level
split variable inequality problem. Simultaneously, we also prove the strong
convergence of the repeating sequence to the unique solution of the problem on real
Hilbert space.
Key words. Variational inequality problem, split variational inequality problem
pseudo-monotone, weak convergence, strong convergence, L-Lipschitz continuous,

  strong monotone.

TẠP CHÍ KHOA HỌC, Số 42, tháng 9 năm 2020| 81


I. GIỚI THIỆU
Cho  là một không gian Hilbert thực với tích vơ hướng á⋅, ⋅đ và chuẩn || ||, C là
một tập con lồi đóng khác rỗng của  và PC là phép chiếu lên tập C . Ta kí hiệu

x k  x (tương ứng x k  x ) là sự hội tụ mạnh (yếu) của dãy {x k } tới x .
Xét bài toán bất đẳng thức biến phân VIP (W, G) : Cho C và Q lần lượt là các

tập con lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert thực 1 và 2 . Giả sử A : 1  2
là một toán tử tuyến tính bị chặn. Xét các ánh xạ F1 : 1  1 và F2 : 2  2 .
Tìm x* Î W sao cho G ( x* ) , x - x* ³ 0 "x Ỵ W,

(1.1)

trong đó G : 1  1 và W = { x* Ỵ Sol (C , F1 ) : A( x* ) Ỵ Sol (Q, F2 )} là tập nghiệm
của bài toán bất đẳng thức biến phân tách.

Để giải bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu và liên tục Lipschitz
VIP (C , G ) , Korpelevich đã đề xuất phương pháp đạo hàm tăng cường ([xem 4]). Tuy
nhiên, phương pháp này đòi hỏi hai phép chiếu lên tập ràng buộc C nên ảnh hưởng đến
sự hiệu quả của thuật toán. Năm 2001, Censor cùng cộng sự đã đề xuất thay phép chiếu
lần thứ hai lên C bằng phép chiếu lên nửa không gian chứa C ([xem 2]). Phương pháp
này gọi là phương pháp dưới đạo hàm tăng cường và được mô tả tóm tắt như sau:
Xuất phát từ điểm x 0 Î 1 , với mọi k ³ 0, ta xác định
ìï y k = P = ( x k - t G ( x k )) ,
ïï

C
ïï
k
k
k
k
íTk = {w Ỵ  : x - t G ( x ) - y , w - y £ 0} ,
ïï
ïï x k +1 = P ( x k - t G ( y k )) ,
Tk
ïỵ
Khi đó nếu G :    là đơn điệu trên C , L - liên tc Lipschitz trờn v
ổ 1ử
t ẻ ỗỗ0, ữữữ thỡ cả hai dãy lặp { x k } và { y k } hội tụ yếu đến nghiệm x* của bài toán bất
è Lø
đẳng thức biến phân VIP (C, G ).
Trong bài báo này, trên ý tưởng phương pháp dưới đạo hàm tăng cường của
Censor và các cộng sự, chúng tơi đề xuất một thuật tốn mới để giải bài toán bất đẳng
thức biến phân (1.1).
Giả sử các ánh xạ G, F1 : 1  1 , F2 : 2  2 thỏa mãn đồng thời các điều
kiện sau:

( B1 ) : G : 1  1 là b - đơn điệu mạnh và L - liên tục Lipschitz trên 1.
82 | TẠP CHÍ KHOA HỌC, Số 42, tháng 9 năm 2020


( B2 ) : F1 : 1  1 là giả đơn điệu và L1 - liên tục Lipschitz trên 1.

( B3 ) : limsup F1 ( x k ) , y - y k £ F1 ( x) , y - y với mọi dãy
k ¥

{ x } Ì 1 , { y } Ì 1 hội tụ yếu lần lượt đến x và y.
k

k

( B4 ) : F2 : 2  2 là giả đơn điệu và L2 - liên tục Lipschitz trên 2 .

( B5 ) : limsup F2 (u k ) , v - v k £ F2 (u) , v - v với mọi dãy
k ¥

{u } Ì 2 , {v } Ì 2 hội tụ yếu lần lượt đến u và v.
k

k

Định nghĩa 1.1. Cho 1 và 2 là hai không gian Hilbert và A : 1  2 là tốn tử

tuyến tính bị chặn. Tốn tử tuyến tính A* : 2  1 thỏa mãn
A( x) , y = x, A* ( y)
với mọi x Ỵ 1 và y Ỵ 2 , được gọi là toán tử liên hợp của A.
Toán tử liên hợp của một tốn tử tuyến tính bị chặn ln tồn tại duy nhất, A* là tốn
tử tuyến tính bị chặn và ta có A* = A .
II. THUẬT TỐN VÀ KẾT QUẢ HỘI TỤ CỦA THUẬT TỐN
Thuật tốn 2.1. Chọn các dãy số {ak } Ì (0,1) , {hk } , {dk } , {lk } , {mk } thỏa mãn

đồng thời các điều kiện
¥
ìï
ïï lim ak = 0, å ak = ¥, 0 £ hk £ 1- ak "k ³ 0, lim hk = h < 1, {dk } Ì [ a; b ];

k ¥
k ¥
k =0
ïïí
ỉ
ỉ 1ư
ỉ 1ử
1 ữử
ùùa, b ẻ ỗỗ0;
ữữ , {lk } è [c; d ]; c, d ẻ ỗỗ0; ữữ , {mk } è [e; f ]; e, f ẻ ỗỗ0; ữữ.
2
ù
ỗố
ỗố L1 ữứ
ỗố L2 ữứ
A + 1ứ
ùợù

Bc 0. Ly x 0 ẻ 1 , 0 < m <

2b
, k := 0.
L2

Bước 1. Tính
ì
ï
u k = Ax k , v k = P Q (u k - m k F2 (u k )) , w k = P Q (u k - mk F2 (v k )) ,
ï
k

ï
í
*( k
k
k
k)
k
k
k
ï
( k)
( k) k
ï
ï
ỵ y = x + dk A w - u , t = PC ( y - lk F1 y ) , z = PCk ( y - lk F1 t ).

Trong đó

Qk := {w2 Ỵ 2 : u k - mk F2 (u k ) - v k , w2 - v k £ 0} ;

Ck := {w1 Ỵ 1 : y k - lk F1 ( y k ) - t k , w1 - t k £ 0}.
TẠP CHÍ KHOA HỌC, Số 42, tháng 9 năm 2020| 83


x k +1 = hk x k + (1- hk ) z k - ak mG ( z k ).

Bước 2. Tính

Nếu x k +1 = x k thì x k chính là nghiệm của bài tốn (1.1); Ngược lại k := k + 1 trở lại
bước 1.

Để chứng minh sự hội tụ của Thuật toán 2.1, ta cần sử dụng một số bổ đề sau:
Bổ đề 2.1. ([xem 5 ]) Cho G :    là b - đơn điệu mạnh và L- liên tục Lipschitz
2b
trên không gian Hilbert thực , 0 < a < 1, 0 £ h £ 1- a và 0 < m < 2 . Khi đó
L

(1- h ) x - amG ( x) - éë(1- h ) y - amG ( y)ùû £ (1- h - at ) x - y , "x, y Ỵ 
t := 1- 1- m (2b - m L2 ) Ỵ (0,1].

trong đó,

Bổ đề 2.2. ([xem 1]) Cho C là tập con khác rỗng trong không gian Hilbert thực
, G :    giả đơn điệu và L - liên tục Lipschitz trên  sao cho Sol (C , G ) ạ ặ.

Gi s x ẻ , l > 0 và y = PC ( x - lG ( x)) , z = PT ( x - lG ( y)) , trong đó
T := {w Ỵ  : x - lG ( x) - y, w - y £ 0} .
Khi đó với mọi x* Ỵ Sol (C , G) , ta có
z - x*

2

£ x - x*

2

2

2

- (1- l L) x - y - (1- l L) y - z .

Bổ đề 2.3. ([xem 6]) Cho {an } là dãy các số thực không âm thỏa mãn điều kiện
an+1 £ (1- an ) an + an xn

"n ³ 0,

trong đó {an } , {xn } là các dãy số thực sao cho
¥

(i) {an } Ì (0,1) và å an = ¥.
n=0

(ii) limsup xn £ 0.
n¥

Khi đó lim an = 0.
n¥

Bổ đề 2.4. ([xem 3]) Cho {an } là dãy các số thực không âm. Giả sử với mọi số tự

nhiên m, tồn tại số tự nhiên p sao cho p ³ m và a p £ a p+1. Gọi n0 là số tự nhiên sao
cho an0 £ an0 +1. Với mọi số tự nhiên n ³ n0 , ta xác định
t (n) = max {k Î  : n0 £ k £ n, ak £ ak +1 } .

84 | TẠP CHÍ KHOA HỌC, Số 42, tháng 9 năm 2020


Khi đó {t (n)}n³n0 là dãy khơng giảm thỏa mãn lim t (n) = ¥ và các bất đẳng thức
n¥

sau đây là đúng
at(n) £ at(n)+1 , an £ at(n)+1

"n ³ n0 .

Sau đây chúng tôi phát biểu và chứng minh định lý hội tụ của thuật toán, cũng là
kết quả chính của bài báo.
Định lý 2.1. Giả sử tập nghiệm W = { x* Ỵ Sol (C , F1 ) : A( x* ) Ỵ Sol (Q, F2 )} của bài

toán bất đẳng thức biến phân tách khác rỗng và các điều kiện ( B1 ) - ( B5 ) được thỏa
mãn. Khi đó dãy { xk } trong Thuật toán 2.1 hội tụ mạnh đến nghiệm duy nhất của bài
toán (1.1).
Chứng minh. Ta chia phép chứng minh ra thành các bước như sau:
Bước 1. Các dãy { xk } , { yk } và { zk } thỏa mãn bất đẳng thức
z k - x* £ y k - x* £ x k - x*

"k ,

trong đó x* là tập nghiệm duy nhất của bài tốn (1.1).
Vì W ¹ Ỉ và là tập lồi đóng nên bài tốn bất đẳng thức biến phân VIP (W, G ) (1.1)
có nghiệm duy nhất x* . Đặc biệt x* Ỵ W hay
x* Î Sol (C , F1 ) Ì C , Ax* Ỵ Sol (Q, F2 ) Ì Q. Do đó từ Bổ đề 2.2 , ta có, với mọi k
z k - x*

2

£ y k - x*

2

2

- (1- lk L1 ) y k - t k

- (1- lk L1 ) t k - z k

2

,

(2.1)
2

2

w k - A( x* ) £ u k - A( x* ) - (1- mk L2 ) u k - v k

2

- (1- mk L2 ) v k - w k

2

.

(2.2)

ỉ 1ư
ỉ 1ư
Vì {lk } Ì [ c, d ] è ỗỗ0, ữữữ v {mk } è [ e, f ] è ỗỗ0, ữữữ nờn t (2.1) , (2.2) , ta cú

ỗố L1 ứ
ỗố L2 ứ
z k - x* £ y k - x*
w k - A( x* ) £ u k - A( x* )

"k ,
"k .

(2.3)
(2.4)

Từ (2.4) , vì u k = A( x k ), ta có, với mọi k

TẠP CHÍ KHOA HỌC, Số 42, tháng 9 năm 2020| 85


y k - x*

2

= x k + dk A* (w k - u k ) - x*
£ x k - x*

2

+ dk2 A

= x k - x*

2

- dk 1- dk A

2

2

wk -uk

(

2

)w

2

- dk w k - u k

k

-uk

2

2

(2.5)

.

ổ
1 ửữữ
ỗ
Kt hp (2.3) với (2.5) và chú ý rằng dk Ỵ [ a, b ] è ỗỗ0,
ữ , ta c
ỗố A 2 + 1ø÷÷

z k - x * £ y k - x* £ x k - x*

"k .

Bước 2. Các dãy { x k } , { y k } , { z k } và {G ( x k )} là bị chặn.

Từ Bổ đề 2.1 và bước 1, ta được
x k +1 - x*
= (1- hk ) z k - ak mG ( z k ) - éê(1- hk ) x* - ak mG ( x* )ùú + hk ( x k - x* ) - ak mG ( x* )
ë
û

£ (1- hk - ak t ) x k - x* + hk x k - x* + ak m G ( x* )
= (1- ak t ) x - x + ak t
k

trong đó,

*

m G ( x* )
t

(2.6)

,

t := 1- 1- m (2b - m L2 ) Ỵ (0,1].

Bằng quy nạp, ta được, với mọi k
ìï
m G ( x* )
ïï 0
*
x - x £ max í x - x ,
ùù
t
ợù
k

*

ỹù
ùù
ý.
ùù
ỵù

Do ú dóy { x k } b chn và do đó theo Bước 1 thì các dãy { y k } , { z k } cũng bị chặn.
Vì F là liên tục Lipschitz và dãy { x k } bị chặn nên dãy {G ( x k )} cũng bị chặn.
Bước 3. với mọi k , ta có
x k +1 - x*

2

£ (1- ak t ) x k - x*

2

- 2ak m G ( x* ) , x k +1 - x* ,

trong đó x* là nghiệm duy nhất của bài toán (1.1).
Sử dụng bất đẳng thức

x- y

2

2

£ x - 2 y, x - y

86 | TẠP CHÍ KHOA HỌC, Số 42, tháng 9 năm 2020

"x, y Î 1 ,


Bổ đề 2.1 và Bước 1, ta được
x k +1 - x*

2

= (1- hk ) z k - ak mG ( z k ) - éê(1- hk ) x* - ak m F ( x* )ùú + hk ( x k - x* ) - ak mG ( x* )
ë
û

2

2

£ (1- ak t ) ( x k - x* ) - 2ak m G ( x* ) , x k +1 - x* .

Bước 4. Ta chứng minh { x k } hội tụ mạnh đến nghiệm duy nhất x* của bài toán
(1.1).

Ta xét hai trường hợp:
Trường hợp 1. Tồn tại k0 sao cho dãy

{ x k - x* } là giảm với k ³ k0 . Khi đó tồn

tại giới hạn hữu hạn lim x k - x* . Do đó, từ Bước 1 và lập luận trong chứng minh
k ¥

Bước 3, ta được
k

0£ y -x
£-

* 2

k

- z -x

ak t k
z - x*
1- hk

2

* 2

-

k

£ x -x

* 2

k

- z -x

* 2

2ak m ( * ) k +1
1 ( k
G x , x - x* +
x - x*
1- hk

1- hk

Vì tồn tại giới hạn của dãy

2

- x k +1 - x*

2

).

( 2.7)

{ x k - x* } , lim ak = 0, lim hk = h < 1, { x k } và { z k } là
k ¥
k ¥

hai dãy bị chặn nên từ (2.7) , ta có

(

lim y k - x*

k ¥

2

- z k - x*

Từ (2.8) , ta suy ra

2

) = 0, lim ( x

- x*

k

k ¥

(

lim x k - x*

k ¥

2

2

- z k - x*

- y k - x*

2

2

) = 0.

(2.8)

) = 0.

(2.9)

ỉ 1ư
Kết hợp (2.1) với giả thiết {lk } Ì [ c, d ] è ỗỗ0, ữữữ , ta c
ỗố L1 ứ
2

2

2

(1- dL1 ) y k - t k £ y k - x* - z k - x* .

(2.10)

Do vậy, từ (2.8) và (2.10) , ta được lim y k - t k = 0.

(2.11)

k Ơ

ổ
1 ửữ
T (2.5) v {dk } è [ a, b ] è ỗỗ0,

ữ , ta suy ra
ỗố A 2 + 1÷ø

a (1- b A

2

)

wk -uk

2

£ x k - x*

2

2

- y k - x* .

TẠP CHÍ KHOA HỌC, Số 42, tháng 9 năm 2020| 87


Kết hợp bất đẳng thức trên với (2.9) , ta nhận được
lim w k - u k = 0.

k ¥

Chú ý rằng với mọi k

y k - x k = dk A* (w k - u k ) £ dk A* w k - u k £ b A w k - u k .
Do đó, vì lim w k - u k = 0 nên

(2.12)

lim y k - x k = 0.

k ¥

k ¥

Từ (2.11) và (2.12) , ta có

(2.13)

lim x k - t k = 0.

k ¥

lim inf G ( x* ) , x k +1- x* ³ 0.

Ta sẽ chứng minh

k ¥

Chọn dãy con { x ki } của { x k } sao cho
lim inf G ( x* ) , x k +1- x* = lim G ( x* ) , x ki - x* .
k ¥

i ¥

Vì dãy { x ki } là bị chặn nên ta có thể giả sử dãy x ki hội tụ yếu đến x Ỵ 1.
Do đó,

lim inf G ( x * ) , x k +1 - x * = G ( x * ) , x - x * .
k ¥

(2.14)

Từ (2.12), (2.13) và x ki  x , ta suy ra y ki và t ki hộ tụ yếu đến x . Kết hợp với

{t } Ì C và C
ki

là đóng yếu, ta được x Ỵ C.

Từ (2.13), ta suy ra dãy { x k - t k } là bị chặn. Vì { x k } là bị chặn nên {t k } cũng là bị
chặn.
Ta chứng minh x Ỵ Sol (C , F1 ) .
Thật vậy, lấy x Ỵ C. Từ định nghĩa t ki , ta có
y ki - lki F1 ( y ki ) - t ki , x - t ki £ 0 "i.
Vì lki > 0 với mọi i , từ bất đẳng thức trên, ta có
F1 ( y

ki

), x - t

ki

³

y ki - t ki , x - t ki
lki

.

(2.15)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và chú ý rằng lki ³ c > 0 với mọi i , ta có

88 | TẠP CHÍ KHOA HỌC, Số 42, tháng 9 năm 2020


y ki - t ki . x - t ki
y ki - t ki , x - t ki
£
.
lki
c
ki

Vì y - t
ta suy ra lim

ki

 0 và dãy {t

y ki - t ki , x - t ki

} là bị chặn nên lim

y ki - t ki . x - t ki

= 0. Từ (2.16),

c

i ¥

= 0. Do đó, sử dụng (2.15) , điều kiện ( B3 ) và sự hội tụ

lki

i ¥

ki

(2.16)

yếu của hai dãy { y ki } , {t ki } đến x , ta được
0 £ lim sup F1 ( y ki ) , x - t ki £ F1 ( x ) , x - x ,
i Ơ

Tc l x ẻ Sol (C , F1 ).
Vì { x k } bị chặn nên {u k = A( x k )} cũng bị chặn. Kết hợp với lim w k - u k = 0, ta
k ¥

suy ra dãy {w

k

} cũng bị chặn.

Sử dụng bất đẳng thức trên, lim u k - w k = 0 và tính bị chặn của hai dãy {u k } và
k ¥

{w } , ta thu được
k

(

2

lim u k - A( x* ) - w k - A( x* )

k ¥

2

) = 0.

(2.17)

ỉ 1ư
Từ (2.10) và {mk } Ì [e, f ] è ỗỗỗ0, ữữữ , ta cú
ố L2 ứữ
2

2

2

(1- f L2 ) u k - u k £ u k - A( x* ) - w k - A( x* ) .
Do đó, kết hợp với (2.17) , ta được

lim u k - u k = 0.

k ¥

(2.18)

Từ (2.18) và tính bị chặn của dãy {u k } , ta suy ra dãy {u k } bị chặn.
Vì x ki  x nên u ki = A( x ki )  A( x ). Kết hợp với (2.18) , ta có u ki  A( x ). Ngồi ra
vì {u ki } Ì Q và Q là lồi đóng (do đó là đóng yếu) nên từ u ki  A( x ), ta có A( x ) Ỵ Q.
Tiếp theo ta chứng minh A( x ) Ỵ Sol (Q, F2 ).

(

)

Lấy y Ỵ Q. Từ u ki = PQ u ki - mki F2 (u ki ) , ta có
u ki - mki F2 (u ki ) - u ki , y - u ki £ 0.
TẠP CHÍ KHOA HỌC, Số 42, tháng 9 năm 2020| 89


Vì m ki > 0 với mọi i , từ bất đẳng thức trên ta có
F2 (u

ki

), y - u

ki

³

u ki - u ki , y - u ki

.

mki

( 2.19)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và chú ý rằng mki ³ e > 0 với mọi i ,
ta được
u ki - u ki , y - u ki

£

mki

Do đó, từ (2.20), ta có lim

u ki - u ki . y - u ki
e

u ki - u ki , y - u ki

mki

i ¥

(2.20)

.

= 0. Sử dụng (2.19), điều kiện

( B5 ) và hội tụ yếu của hai dãy {u k } , {v k } đến A( x ) , ta được
i

i

0 £ lim sup F2 (u ki ) , y - u ki £ F2 ( A( x )) , y - A( x ) ,
i ¥

hay A( x ) Ỵ Sol (Q, F2 ).
Vậy x Ỵ W . Vì x* Ỵ Sol (W, G ) và x Ỵ W nên G ( x* ) , x - x* ³ 0.
Do đó, từ (2.14) , ta thu được lim inf G ( x* ) , x k +1 - x* ³ 0.
k ¥

Từ lim inf G ( x* ) , x k +1 - x* ³ 0, ta có lim sup xk £ 0.
k ¥

k ¥

lim x k - x*

Theo Bổ đề 2.3, ta suy ra

2

k ¥

= 0 hay x k  x* .

Trường hợp 2. Giả sử với mọi số tự nhiên m , tồn tại số tự nhiên p sao cho p ³ m

và x p - x* £ x p+1 - x* . Theo Bổ đề 2.4, tồn tại số tự nhiên k0 và dãy không
giảm {t (k )}k ³k của  sao cho lim t (k ) = ¥ và các bất đẳng thức sau đây là đúng
k ¥

0

x t(k ) - x* £ x t (k )+1 - x* ,

x k - x* £ x t(k )+1 - x*

"k ³ k0.

(2.21)

Từ (2.21) và (2.6) , ta được
x

t (k )

- x* £ x

(

t (k )+1

- x*

)

£ 1- ht (k ) - at(k )t z

t (k )

- x * + ht (k ) x

90 | TẠP CHÍ KHOA HỌC, Số 42, tháng 9 năm 2020

t (k )

- x* + at (k )m F ( x* ) .

(2.22)


Theo Bước 1 và (2.22) , ta có
0 £ y t (k ) - x * - z t (k ) - x * £ x t (k ) - x * - z t (k ) - x *
£-

at (k )t

z

1- ht (k )

t (k )

- x* +

at (k )m
1 - ht ( k )

F ( x* ) .

( 2.23)

Vì lim ak = 0, lim hk = h < 1 và { z k } bị chặn nên từ (2.23) , ta suy ra
k ¥

(

lim y

k ¥

k ¥

t (k )

- x* - z

t (k )

)

- x* = 0,

(

lim x

k ¥

t (k )

- x* - z

t (k )

)

(2.24)

- x* = 0.

Từ (2.24) , ta được

(

lim x

k ¥

t (k )

- x* - y

t (k )

)

(2.25)

- x* = 0

Do đó, từ (2.24) , (2.25) và tính bị chặn của các dãy { x k } , { y k } , { z k } , ta được

(
lim ( x

t (k )

- x*

t (k )

- x*

lim y

k ¥

k ¥

2

2

- z

t (k )

- x*

- y

t (k )

- x*

2

2

) = 0,
) = 0.

(2.26)
(2.27)

ỉ 1ư

Từ (2.9) v {lk } è [c, d ] è ỗỗ0, ữữữ , ta cú
ỗố L1 ứữ
2

2

2

2

(1- dL1 ) y t(k ) - t t(k ) + (1- dL1 ) t t(k ) - z t(k ) £ y t(k ) - x* - z t(k ) - x* .
Do đó, từ (2.26) , ta được
lim y

t (k )

k ¥

-t

t (k )

= 0,

lim t

t (k )

-z

k ¥

t (k )

(2.28)

= 0,

Kết hợp bất đẳng thức trên với (2.27) , ta được
lim w

k ¥

Vì
y

t (k )

-x

t (k )

(

= dt(k ) A* w

t (k )

-u

t (k )

)

t (k )

-u

t (k )

(2.29)

= 0,

£ dt(k ) A* w

t (k )

-u

t (k )

£b A w

t (k )

-u

t (k )

Nên từ (2.29) , ta có
lim y

k ¥

t (k )

-x

t (k )

= 0.

(2.30)

TẠP CHÍ KHOA HỌC, Số 42, tháng 9 năm 2020| 91


Theo bất đẳng thức tam giác và (2.28) , (2.30) ta được
lim x

t (k )

k ¥

-z

t (k )

= 0,

lim x

t (k )

k ¥

-t

t (k )

= 0,

(2.31)

Lập luận như trong Trường hợp 1, ta được
lim inf G ( x* ) , x

t (k )

k ¥

- x* ³ 0,

(2.32)

Theo Bổ đề 2.1
( )

( )

x t k +1 - x t k

( )
( )
( )
( )
( )
= (1- ht(k ) ) z t k - at(k )mG ( z t k ) - éê(1- ht (k ) ) x t k - at(k )mG ( x t k )ùú - at(k )mG ( x t k )
ë
û
( )
( )
( )
£ (1- ht(k ) - at(k )t ) z t k - x t k + at(k )m G ( x t k )
( )
( )
( )
£ z t k - x t k + at (k )m G ( x t k ) .

( 2.33)

( )
Từ lim ak = 0, tính bị chặn của dãy {G ( x t k )} , (2.31) và (2.33) , ta được

k ¥

( )

( )

(2.34)

lim x t k +1 - x t k = 0.

k ¥

Sử dụng (2.34) và bất đẳng thức Cauchy – Schwarz, ta thu được
lim G ( x* ) , x t k +1 - x t k = 0.
( )

( )

k ¥

(2.35)

Kết hợp (2.32) và (2.35) , ta có
( )
( )
( )
( )
liminf G ( x* ) , x t k +1 - x* = liminf ëêé G ( x* ) , x t k - x* + x t k +1 - x t k ùûú
k ¥
k ¥

= liminf G ( x* ) , x t k - x*
( )

k ¥

( 2.36)

³ 0.
Kết hợp với (2.21) , ta thu được
x k - x*

2

( )

£ x t k +1 - x*

2

£-

2m ( * ) t(k )+1
G x ,x
- x* .
t

Lấy giới hạn ở (2.37) khi k  ¥, và sử dụng (2.36) , ta thu được
lim sup x k - x*
k ¥

Do đó x k  x* . Định lý 2.1 được chứng minh.
92 | TẠP CHÍ KHOA HỌC, Số 42, tháng 9 năm 2020

2

£ 0.

(2.37)


III. KẾT LUẬN

Bài báo đã đề xuất được một thuật
toán mới để giải bài toán bất đẳng thức
biến phân trên tập nghiệm của một bài
toán bất đẳng thức biên phân tách
(thuộc lớp bài toán bất đẳng thức biến
phân hai cấp) và chứng minh được sự
hội tụ mạnh của thuật toán tới nghiệm
duy nhất của bài tốn trong khơng gian
Hilbert thực, dưới các điều kiện thích
hợp. Với phương pháp này, chúng tơi
chỉ cần sử dụng tính giả đơn điệu của
các ánh xạ giá F1 và F2 .
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Anh, P.N., Kim, J.K., Muu, L.D.
(2012): An extragradient algorithm for
solving bilevel variational inequalities. J.
Glob. Optim., 52, 627–639.
2. Censor, Y., Gibali, A., and Reich, S.
(2011): Strong convergence of subgradient
extragradient methods for the variational

inequality problem in Hilbert space, Optim.

Methods Softw., 26, 827- 845.
3. Maingé, P.E. (2008): A hybrid
extragradient-viscosity
method
for
monotone operators and fixed point
problems. SIAM J. Control Optim., 47,
1499–1515.
4. Korpelevich, G.M. (1976): The
extragradient method for finding saddle
points and other problems. Ekon.Mat.
Metody 12, 747–756.
5. Kraikaew, R., Saejung, S. (2014):
Strong convergence of the subgradient
extragradient method for solving variational
inequalities in Hilbert spaces. J. Optim.
Theory Appl., 163, 399–412.
6. Xu, H.K. (2002): Iterative algorithms
for nonlinear operators. J. London Math.
Soc., 66, 240–256.

TẠP CHÍ KHOA HỌC, Số 42, tháng 9 năm 2020| 93