(Luận văn thạc sĩ) phát triển kỹ năng giải toán tổ hợp cho học sinh trung học phổ thông ban nâng cao

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC
-----------------------------------------------------

PHẠM QUANG HỪNG

PHÁT TRIỂN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN TỔ HỢP CHO HỌC SINH
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG BAN NÂNG CAO

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN
Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC
(BỘ MƠN TỐN)
Mã số: 60 14 01 11
Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. LÊ ANH VINH
HÀ NỘI – 2015


LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học
Giáo dục – Đại học Quốc gia Hà Nội và các thầy giáo, cô giáo đang công tác
giảng dạy tại trường đã nhiệt tình giảng dạy và hết lịng giúp đỡ tác giả trong quá
trình học tập và nghiên cứu đề tài.
Đặc biệt tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới thầy giáo
PGS.TS. Lê Anh Vinh – người đã trực tiếp hướng dẫn và nhiệt tình chỉ bảo tác
giả trong quá trình nghiên cứu, thực hiện đề tài.
Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, các thầy cô giáo và
các em học sinh trường THPT Chuyên Thái Bình, Sở Giáo dục và Đào tạo Thái
Bình đã giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành bản luận
văn này.
Lời cảm ơn chân thành của tác giả cũng xin được dành cho người thân, gia

đình và bạn bè đồng nghiệp, cùng các bạn học viên lớp Cao học Tốn K9 vì
trong suốt thời gian qua đã cổ vũ động viên, tiếp thêm sức mạnh cho tác giả hoàn
thành nhiệm vụ của mình.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng chắc chắn luận văn khơng thể tránh
khỏi những thiếu sót, tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu
của các thầy cô giáo và các bạn.
Hà Nội, ngày

tháng 11 năm 2015
Tác giả

Phạm Quang Hừng

i


DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT
Trung học phổ thông
Đại học khối A
Đại học khối B
Đề thi chọn học sinh giỏi toán quốc gia
năm 2012

THPT
ĐH-KA
ĐH-KB
VMO 2012

ii

DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 3.1

iii


DANH MỤC CÁC BIỂU ĐỒ
Biểu đồ 3.1

iv


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN ......................................................................................................... i
DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT ....................................... ii
DANH MỤC CÁC BẢNG ................................................................................... iii
DANH MỤC CÁC BIỂU ĐỒ .............................................................................. iv
MỤC LỤC .............................................................................................................. v
MỞ ĐẦU ................................................................................................................ 1
Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN............................................... 6
1.1. Kỹ năng và kỹ năng giải toán ................................................................... 6
1.1.1. Khái niệm kỹ năng ................................................................................. 6
1.1.2. Đặc điểm của kỹ năng ............................................................................ 8
1.1.3. Sự hình thành kỹ năng ........................................................................... 8
1.2. Rèn luyện kỹ năng giải toán ....................................................................... 9
1.2.1. Vị trí, chức năng của bài tập tốn trong trường phổ thơng..................... 9
1.2.2. Khái niệm kỹ năng giải tốn ................................................................. 10
1.2.3. Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh ............................................ 11
1.2.4. Những kỹ năng cần thiết khi giải toán .................................................. 12

1.2.5. Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh theo quy trình bốn bước của
Polya................................................................................................................ 13
1.3. Vận dụng các phương pháp dạy học hiện đại trong phát triển kỹ năng
giải toán tổ hợp ................................................................................................. 15
1.3.1. Bồi dưỡng kỹ năng giải Toán cho học sinh cần kết hợp với các hoạt
động trí tuệ khác ................................................................................................. 15
1.3.2. Bồi dưỡng kỹ năng giải Toán cho học sinh cần đặt trọng tâm vào việc
rèn khả năng phát hiện vấn đề mới, khơi dậy ý tưởng mới ............................... 16
1.3.3. Bồi dưỡng kỹ năng giải Tốn cho học sinh là một q trình lâu dài cần
tiến hành trong tất cả các khâu của quá trình dạy học ....................................... 17
1.3.4. Chú trọng bồi dưỡng từng yếu tố cụ thể của kỹ năng giải Toán qua việc
xây dựng và dạy học hệ thống bài tập................................................................ 18
v


1.3.5. Một số sai lầm điển hình của học sinh khi giải toán tổ hợp .................... 18
Kết luận Chương 1. ............................................................................................... 23
CHƯƠNG 2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC RÈN LUYỆN KỸ
NĂNG GIẢI TOÁN TỔ HỢP CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ
THƠNG ................................................................................................................ 24
2.1. Rèn luyện khả năng phân tích bài tốn, hình thành kỹ năng nhận dạng
bài tốn cho học sinh dưới mọi góc độ .............................................................. 24
2.1.1. Thiết kế chuỗi bài tập............................................................................ 25
2.1.2. Tìm tịi nhiều cách giải cho một bài toán ............................................. 36
2.1.3. Sáng tạo bài toán mới ........................................................................... 47
2.1.4. Bài toán gắn liền thực tế ....................................................................... 51
2.2. Rèn kỹ năng cơ bản với các dạng toán thường gặp ............................... 52
k
k
P

;
A
;
C
n
n
n
2.2.1. Các bài toán liên quan đến
............................................... 52

2.2.2. Các bài toán về nhị thức Newton .......................................................... 53
2.2.3. Các bài toán đếm................................................................................... 56
2.3. Những kỹ năng nâng cao .......................................................................... 61
2.3.1. Sử dụng nguyên lý bao gồm và loại trừ ................................................ 61
2.3.2. Kỹ năng đánh số.................................................................................... 65
Bài tập luyện tập ............................................................................................. 66
2.3.3. Đếm bằng hai cách ................................................................................ 66
2.3.4. Sử dụng phương pháp truy hồi.............................................................. 70
Bài tập luyện tập ............................................................................................. 74
Kết luận Chương 2 ................................................................................................ 75
THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ............................................................................. 76
3.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm ..................................................................... 76
3.2. Nội dung thực nghiệm.................................................................................... 76
3.2.1. Lớp thực nghiệm ...................................................................................... 76
3.2.2. Tiến hành thực nghiệm ............................................................................ 76
vi


3.2.2.1. Các nội dung dạy thực nghiệm .......................................................... 76
3.2.2.2. Phương pháp dạy thực nghiệm .......................................................... 76

3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm ....................................................................... 77
3.3.1. Cơ sở để đánh giá kết quả thực nghiệm ................................................... 77
3.3.2. Kết quả của thực nghiệm sư phạm ........................................................... 78
Kết luận Chương 3 ................................................................................................ 79
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ ..................................................................... 80
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................. 82
PHỤ LỤC ............................................................................................................. 84

vii


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong kỷ nguyên thông tin, cùng với xu thế quốc tế hóa, tồn cầu hóa, mỗi
người khơng chỉ là cơng dân của một quốc gia mà cịn có thể là cơng dân tồn
cầu. Điều đó địi hỏi con người phải có tính năng động và có khả năng thích nghi
cao với sự phát triển mạnh mẽ về mọi mặt văn hóa, khoa học kĩ thuật, đời sống.
Vì vậy để tránh nguy cơ tụt hậu, Nghị quyết trung ương Đảng đã chỉ rõ chúng ta
phải đổi mới giáo dục và đào tạo, đổi mới phương pháp giáo dục. Việc rèn luyện
kỹ năng làm việc, học tập cho học sinh là một nhiệm vụ quan trọng của nhà
trường phổ thơng.
Tốn học là mơn khoa học cơ bản, là công cụ để học tập và nghiên cứu
các mơn học khác. Tốn học có vai trị to lớn trong sự phát triển của các ngành
khoa học kĩ thuật; liên quan chặt chẽ và có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh
vực khoa học, công nghệ, kĩ thuật và đời sống. Vì thế, dạy học mơn Tốn ở nhà
trường phổ thơng giữ vai trị quan trọng trong nghiên cứu và đời sống thực tế.
Nâng cao chất lượng dạy học nói chung, chất lượng dạy học mơn Tốn
nói riêng đang là một yêu cầu cấp bách đối với ngành Giáo dục nước ta hiện
nay. Một trong những khâu then chốt để thực hiện yêu cầu này là đổi mới nội
dung và phương pháp dạy học. Định hướng đổi mới phương pháp dạy học đã

được chỉ rõ trong Luật Giáo dục (2005): “Phương pháp giáo dục phổ thơng
phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo cho học sinh; phù
hợp với đặc điểm từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học,
rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn”.

1


Nghị quyết hội nghị trung ương Đảng 8 khóa XI (2013) cũng nhấn mạnh “Tiếp
tục đổi mới mạnh mẽ phương pháp dạy và học theo hướng hiện đại; phát huy
tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kỹ năng của người học;
khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc. Tập trung dạy cách
học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ sở để người học tự cập nhật và đổi
mới tri thức, kỹ năng, phát triển năng lực. Chuyển từ học chủ yếu trên lớp sang
tổ chức hình thức học tập đa dạng, chú ý các hoạt động xã hội, ngoại khóa,
nghiên cứu khoa học. Đẩy mạnh ứng dụng cơng nghệ thơng tin và truyền thơng
trong dạy và học”
Dạy tốn là dạy kiến thức, tư duy và tính cách (Nguyễn Cảnh Tồn), trong
đó dạy kỹ năng có một vị trí đặc biệt quan trọng, bởi vì nếu khơng có kỹ năng thì
sẽ khơng phát triển được tư duy và cũng khơng đáp ứng được nhu cầu giải quyết
vấn đề.
Nhiều cơng trình nghiên cứu về tâm lý học, phương pháp dạy học, … đã
khẳng định sự cần thiết phải rèn luyện kỹ năng trong dạy học Đại số nói chung
và Đại số tổ hợp nói riêng cho học sinh. Tác giả Lê Văn Hồng cho rằng: “Kỹ
năng là một trong những yêu cầu quan trọng đảm bảo mối quan hệ giữa học và
hành. Việc dạy học sẽ không đạt kết quả nếu học sinh chỉ biết học thuộc các định
nghĩa, định lý mà không biết vận dụng vào việc giải các bài tập”, cịn tác giả
Nguyễn Bá Kim viết: “Nó là cơ sở để thực hiện các phương diện mục đích khác”
[7, tr 46]. Như vậy có thể khẳng định rằng cần thiết phải rèn luyện cho học sinh
các kỹ năng trong dạy học Tốn.

Trong mơn tốn ở trường trung học phổ thơng, nội dung các bài tốn Tổ
hợp là một trong những phần khó. Với chương trình tốn cho học sinh chun thì
đây là bài tập mang tính phân loại học sinh. Bài tốn Tổ hợp có thể khơng địi
hỏi nhiều về kiến thức, nhưng yêu cầu sự quan sát tinh tế, tư duy sáng tạo trong
2


mỗi bài tốn cụ thể. Vì vậy, rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải toán tổ hợp là
hết sức quan trọng và cần thiết. Vì lý do đó, tơi đã chọn đề tài nghiên cứu của
luận văn này là: “Phát triển kỹ năng giải toán tổ hợp cho học sinh trung học phổ
thông ban nâng cao”.
2. Lịch sử nghiên cứu
Ở nước ta đã có nhiều tác giả nghiên cứu về tổ hợp như: thầy Phan Huy
Khải, thầy Vũ Đình Hòa, thầy Đặng Huy Ruận, thầy Trần Nam Dũng, thầy Nguyễn
Vũ Lương, thầy Lê Anh Vinh ..., và nhiều tác giả như thầy Hoàng Chúng, thầy
Nguyễn Cảnh Toàn, thầy Nguyễn Bá Kim ... có rất nhiều cơng trình nghiên cứu về
lý luận và thực tiễn rèn luyện kỹ năng cho học sinh trong học mơn Tốn.
Trên cơ sở lí thuyết mà các nhà toán học, các nhà sư phạm đã đưa ra, căn
cứ vào thực trạng dạy học “Tổ hợp” ở một số trường trung học phổ thông trong
giai đoạn hiện nay thì với luận văn này, xin được trình bày một vấn đề rất hẹp và
cụ thể là: vận dụng lý luận về phương pháp giảng dạy vào rèn luyện kỹ năng giải
toán tổ hợp nhằm nâng cao chất lượng dạy học mơn Tốn ở trường THPT.
3. Mục đích nghiên cứu
 Giúp cho bản thân tự trau dồi kiến thức, nâng cao kỹ năng nghề nghiệp tạo
điều kiện thuận lợi cho công tác dạy học.
 Giúp cho học sinh rèn luyện kỹ năng phân tích, tổng hợp dạng tốn về
chuyên đề Tổ hợp. Từ đó phát triển tư duy lơgic, khái qt hố vấn đề.
 Tìm kiếm biện pháp rèn luyện kỹ năng giải toán Tổ hợp, phát triển một số
kỹ năng nâng cao cho học sinh trường Chuyên.
 Rèn luyện cho học sinh năng lực hoạt động trí tuệ và tính sáng tạo của

người lao động nhằm phát triển toàn diện trong tương lai.

3


4. Phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu các bài toán tổ hợp trong chương trình tốn 11 ở sách giáo
khoa và sách bài tập Đại số và Giải tích lớp 11; trong các đề thi Đại học Cao
đẳng; đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh; đề thi học sinh giỏi Quốc gia.
5. Mẫu khảo sát
Học sinh các lớp 11 toán 1, 11 tốn 2 trường Trung học phổ thơng Chun
Thái Bình, Tỉnh Thái Bình.
6. Vấn đề nghiên cứu
Dạy các bài tốn Tổ hợp cho học sinh trung học phổ thông ban nâng cao
như thế nào thì rèn luyện, phát triển được kỹ năng giải toán cho học sinh?
7. Giả thuyết khoa học
Nếu rèn luyện cho học sinh trung học phổ thông theo các phương pháp đề
xuất trong luận văn này thì sẽ tạo được kỹ năng giải tốn nhanh và chính xác cho
người học, hình thành được những kỹ năng nâng cao trong giải toán Tổ hợp.
8. Phương pháp chứng minh luận điểm
 Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu và phân tích các tài liệu về
lý luận dạy học, sách giáo khoa, sách giáo viên, các tài liệu tham khảo liên
quan đến môn học.
 Phương pháp điều tra: Điều tra khả năng rèn luyện các kỹ năng giải toán
cho học sinh khi dạy học về chuyên đề Tổ hợp; chất lượng của học sinh
trước và sau thực nghiệm.
 Phương pháp quan sát: Dự giờ, trao đổi với đồng nghiệp trong tổ chun
mơn về phương pháp dạy học mơn Tốn; phân tích kết quả học tập của
4

học sinh nhằm tìm hiểu thực trạng về rèn luyện kỹ năng giải tốn cho học
sinh trong q trình giảng dạy của các giáo viên. Ngồi ra cịn trao đổi
trực tiếp với học sinh để nắm được khả năng tiếp thu và vận dụng các
phương pháp mới.
 Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức dạy học thực nghiệm tại
Trường THPT Chuyên Thái Bình, kiểm tra kết quả sau thực nghiệm.
 Phương pháp thống kê tốn học: Xử lí các số liệu thu được.
9. Những đóng góp của Luận văn
 Giúp nhận thức sâu sắc hơn khái niệm kỹ năng, kỹ năng giải toán.
 Giúp học sinh nắm vững hai quy tắc chọn, khái niệm hoán vị, chỉnh hợp,
tổ hợp, các kiến thức căn bản trong toán Tổ hợp.
 Xây dựng và khai thác hệ thống bài tập phù hợp với nhận thức và phát
triển tư duy sáng tạo cho học sinh khá giỏi, học sinh trường Chuyên.
 Đề xuất các biện pháp dạy học bài tập tổ hợp nhằm rèn luyện kỹ năng.
1 . Cấ t c

ận văn

Ngoài phần mở đầu, phần kết luận và khuyến nghị, danh mục tài liệu tham
khảo, luận văn được trình bày trong ba chương.
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn.
Chương 2:

ột số phương pháp dạy học rèn luyện kỹ năng giải toán tổ hợp cho

học sinh THPT.
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.

5

Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Kỹ năng và kỹ năng giải toán
1.1.1. Khái niệm kỹ năng:
Trong thực tiễn lao động sản xuất, học tập, con người luôn luôn phải đối
mặt với những nhiệm vụ nhận thức hay thực hành nhất định. Muốn giải quyết
được công việc, đòi hỏi con người phải sử dụng kinh nghiệm đã có, vận dụng
vốn hiểu biết, tìm hiểu những quy luật bản chất đối với nhiệm vụ, biết đề ra một
chiến lược thực hiện và thực hiện các biến đổi hợp quy luật. Quá trình lao động
nghiêm túc, quá trình “thử sai” liên tục đó dần dần con người đã hình thành cho
bản thân cách thức (kỹ năng) để giải quyết nhiệm vụ đặt ra.
Theo Từ điển Tiếng việt: “Kỹ năng là khả năng vận dụng những kiến thức
thu nhận được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế” [19, tr 426].
Theo Tâm lý học lứa tuổi và tâm lý học sư phạm thì: “Kỹ năng là khả
năng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp…) để giải quyết
một nhiệm vụ mới” [6, tr 131].
Có nhiều định nghĩa khác nhau về kỹ năng, nhưng chúng đều có điểm
chung là, kỹ năng được hình thành khi chúng ta áp dụng kiến thức vào thực tiễn.
Kỹ năng học được do q trình lặp đi lặp lại một hay một nhóm hành động nhất
định nào đó. Kỹ năng ln có chủ đích và định hướng rõ rệt, nghĩa là ln gắn
chặt với ý thức của chủ thể.
Như vậy, kỹ năng là năng lực hay khả năng của chủ thể thực hiện thuần
thục một hay một chuỗi hành động trên cơ sở hiểu biết (kiến thức hoặc kinh
nghiệm) nhằm tạo ra kết quả đặt ra.
Cần phân biệt kỹ năng và phản xạ, thói quen, kiến thức:
6


 Kỹ năng khác với phản xạ. Phản xạ là phản ứng của cơ thể với môi

trường, phản xạ mang tính thụ động. Nhưng kỹ năng là phản ứng có tính
tích cực, có ý thức, hồn tồn chủ động .
 Kỹ năng khác với thói quen. Thói quen hầu hết được hình thành vơ thức,
khó kiểm sốt. Trong khi đó kỹ năng được hình thành do ý thức, chủ động
rèn luyện, gian khổ mà thành tài.
 Kỹ năng cũng khác với kiến thức. Kiến thức là hiểu, là biết, nhưng chưa
phải là làm, thậm chí khơng bao giờ làm. Vì không tác động vào thực tế
khách quan nên kiến thức thường ít tạo ra thành quả cụ thể cho chủ thể.
Trong khi đó, kỹ năng lại là hành động, việc làm thành thục dựa trên nền
tảng kiến thức ngày càng sâu sắc hơn.
Nhiều chuyên gia cho rằng, chỉ kiến thức chưa phải là sức mạnh mà vận
dụng kiến thức hay chính kỹ năng mới là sức mạnh.
Có nhiều cách phân loại kỹ năng khác nhau. Nếu quan sát tổng thể thì có
ba loại: kỹ năng chun mơn, kỹ năng sống, kỹ năng làm việc. Nếu quan sát liên
đới chuyên môn thì có: kỹ năng cứng, kỹ năng mềm, kỹ năng hỗn hợp. Nếu quan
sát tính hữu ích cộng đồng xã hội thì có kỹ năng hữu ích và kỹ năng phản lợi ích.
Trong thực tế dạy học, học sinh thường gặp khó khăn khi vận dụng kiến
thức vào giải quyết các bài tập cụ thể. Mỗi sự vật có thể có nhiều thuộc tính bản
chất khác nhau, mỗi thuộc tính bản chất đó tương ứng với những hoạt động, mục
đích nhất định. Do đó phải biết lựa chọn những thuộc tính phù hợp với mục tiêu
đặt ra trước khi hành động. Sự dễ dàng hay khó khăn khi vận dụng kiến thức,
quá trình hình thành kỹ năng, tùy thuộc vào khả năng nhận dạng kiểu bài tốn,
phát hiện, nhìn thấy trong các giả thiết đã cho của bài tốn, có những thuộc tính
và những quan hệ nào là bản chất để thực hiện giải quyết bài toán đã cho.

7


1.1.2. Đặc điểm của kỹ năng:
Mọi kỹ năng đều phải dựa trên nền tảng kiến thức, cấu trúc của kỹ năng

gồm: hiểu rõ mục đích - biết cách thức đi đến kết quả - hiểu rõ những điều kiện
để triển khai các cách thức đó.
Kiến thức là cơ sở của các kỹ năng khi và chỉ khi kiến thức đó phản ánh
đầy đủ các thuộc tính bản chất của đối tượng, được thử nghiệm trong thực tiễn
và tồn tại trong ý thức với tư cách của hành động.
Cùng với vai trò cơ sở của tri thức, cần thấy rõ tầm quan trọng của khả
năng vận dụng tri thức vào thực tiễn lao động sản xuất. Cần hướng mạnh vào
việc vận dụng tri thức và rèn luyện kỹ năng. Kỹ năng chỉ có thể hình thành và
phát triển trong lao động.
1.1.3. Sự hình thành kỹ năng:
Mọi kỹ năng dù hình thành nhanh hay chậm, bền vững hay lỏng lẻo, đều
phụ thuộc vào khát khao, vào quyết tâm vào năng lực tiếp nhận của chủ thể, phụ
thuộc vào cách thức luyện tập, và vào chính mức độ phức tạp hay đơn giản của
kỹ năng đó. Dù hình thành nhanh hay chậm thì quá trình hình thành kỹ năng
cũng phải trải qua những bước sau đây:
 Hình thành mục đích. Chủ thể phải tự trả lời các câu hỏi như: Tại sao tôi
phải sở hữu kỹ năng này? Hay: Sở hữu kỹ năng này tơi sẽ có lợi gì?...
 Lên kế hoạch để có kỹ năng đó.
 Cập nhật kiến thức, lý thuyết liên quan đến kỹ năng đó.
 Luyện tập kỹ năng đó.

8


 Ứng dụng kỹ năng đó trong cơng việc, điều chỉnh nâng cao kỹ năng hoặc
thay đổi cho phù hợp.
Trong thực tế dạy và học, sự hình thành kỹ năng là làm cho học sinh nắm
vững một hệ thống phức tạp các thao tác nhằm biến đổi và làm sáng tỏ những
thông tin chứa đựng trong các bài tập. Muốn vậy khi hình thành kỹ năng học tập
cho học sinh cần:

 Giúp học sinh biết cách tìm tịi để xác định được yếu tố đã cho, yếu tố
phải tìm và mối quan hệ giữa chúng.
 Giúp học sinh hình thành một mơ hình khái qt để giải quyết các bài tập,
các đối tượng cùng loại.
 Xác lập được mối liên quan giữa bài tập mơ hình khái qt và các kiến
thức tương ứng.
1.2. Rèn luyện kỹ năng giải toán
1.2.1. Vị trí, chức năng của bài tập tốn trong trường phổ thơng:
Theo nhà tốn học và sư phạm Mỹ G.Polya: “Trong tốn học, nắm vững
bộ mơn tốn quan trọng hơn rất nhiều so với một kiến thức thuần túy mà ta có
thể bổ sung nhờ một cuốn sách tra cứu thích hợp. Vì vậy cả trong trường trung
học cũng như trong các trường chuyên nghiệp, ta không chỉ truyền thụ cho học
sinh những kiến thức nhất định, mà quan trọng hơn nhiều là phải dạy cho họ đến
một mức độ nào đó nắm vững mơn học. Vậy thế nào là nắm vững mơn tốn? Đó
là biết giải tốn” [22, tr 82].
Đối với học sinh, giải tốn là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học.
Các bài tập toán là một phương tiện hiệu quả và không thể thay thế được trong

9


việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng kỹ
xảo, ứng dụng tốn học vào thực tiễn.
Mỗi bài tập toán được đặt ra vào một thời điểm phù hợp của quá trình dạy
học, luôn chứa đựng những chức năng khác nhau. Các chức năng đều nhằm thực
hiện các mục đích dạy học.
 Chức năng dạy học: Bài tập tốn nhằm hình thành, củng cố cho học sinh
những tri thức, kỹ năng, kỹ xảo ở các giai đoạn khác nhau của quá trình
dạy học.
 Chức năng giáo dục: Bài tập tốn nhằm hình thành cho học sinh thế giới

quan duy vật biện chứng, hứng thú học tập, sáng tạo, có niềm tin và phẩm
chất đạo đức của người lao động mới.
 Chức năng phát triển: Bài tập toán nhằm phát triển năng lực tư duy cho
học sinh, rèn luyện những thao tác trí tuệ hình thành phẩm chất của tư duy
khoa học.
 Chức năng kiểm tra: Bài tập toán nhằm đánh giá mức độ kết quả dạy và
học, khả năng tiếp thu kiến thức và khả năng phát triển của học sinh.
1.2.2. Khái niệm kỹ năng giải tốn:
Trong khi dạy học mơn tốn trong trường phổ thông, người giáo viên cần
chú ý rèn luyện cho học sinh những kỹ năng trên các mặt sau:
 Kỹ năng vận dụng tri thức trong nội bộ môn Toán;
 Kỹ năng vận dụng tri thức toán học vào những mơn học khác;
 Kỹ năng mơ hình hóa những bài toán của thực tế, vận dụng tri thức toán
học để giải quyết những bài toán của đời sống.

10


Kỹ năng giải toán là khả năng vận dụng các tri thức toán học để giải các
bài tập toán bằng các phương pháp suy luận, chứng minh hay tính tốn. Rèn
luyện kỹ năng giải bài tập toán là một nhiệm vụ quan trọng hàng đầu của dạy học
bộ mơn Tốn trong trường phổ thông. Tùy theo nội dung kiến thức tốn học mà
có những u cầu rèn luyện kỹ năng khác nhau.
1.2.3. Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh:
Để đạt được các mục đích dạy học mơn Tốn ở trường phổ thơng thì việc
truyền thụ kiến thức, rèn luyện kỹ năng là cơ sở vì các mục đích khác muốn thực
hiện được phải dựa trên mục đích này. Phải chú trọng rèn luyện, thực hiện các
hoạt động tương ứng thì kiến thức mới được củng cố, mở rộng, phát triển. Việc
rèn luyện kỹ năng tốn học nói riêng, kỹ năng hoạt động nói chung là một yêu
cầu quan trọng, đảm bảo mối liên hệ giữa “học” với “hành” như lời của Bác Hồ.

Dạy học sẽ khơng có kết quả nếu học sinh chỉ học thuộc lòng các khái
niệm, các công thức mà không thực hành việc giải bài tập, khơng biết vận dụng
hay vận dụng thành thạo.
Dạy tốn là dạy kiến thức, kỹ năng, phát triển tư duy và xây dựng tính
cách cho học sinh. Việc hình thành và rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh
sẽ giúp người học hiểu sâu sắc kiến thức toán, nắm vững các thao tác tư duy, các
hoạt động trí tuệ, tập dượt các hoạt động nghiên cứu khoa học, góp phần bồi
dưỡng con người Việt Nam.
Sự hình thành kỹ năng giải toán cho học sinh được thực hiện bằng các cách sau:
 Cách thứ nhất: Sau khi cung cấp, truyền thụ, gợi mở giải quyết vấn đề,
khám phá vốn tri thức tốn học cần thiết thì u cầu học sinh vận dụng tri
thức đó để giải các bài tốn liên quan theo mức độ tăng dần.
11


 Cách thứ hai: Dạy cho học sinh nắm được những dấu hiệu đặc trưng, từ
đó có thể định hướng một số dạng bài toán và các thuật toán tương ứng.
 Cách thứ ba: Dạy học sinh các hoạt động tâm lý cần thiết đối với việc vận
dụng tri thức.
Rèn luyện kỹ năng giải toán cần đạt được các yêu cầu sau:
 Giúp học sinh hình thành và nắm vững mạch kiến thức xun suốt chương
trình tốn phổ thơng. Trong mơn tốn có thể kể tới các kiến thức sau:
a. Các hệ thống số;
b. Hàm số và ánh xạ;
c. Phương trình và bất phương trình;
d. Định nghĩa và chứng minh toán học;
e. Ứng dụng toán học.
 Giúp học sinh phát triển tư duy:
a. Tư duy lơgic và ngơn ngữ chính xác, trong đó có tư duy thuật tốn;
b. Khả năng suy luận phán đoán, tư duy trừu tượng, tưởng tượng khơng gian;

c. Những thao tác tư duy: phân tích, tổng hợp, khái quát…;
d. Các phẩm chất trí tuệ như: tư duy độc lập, tư duy linh hoạt, sáng tạo.
 Coi trọng việc rèn luyện kỹ năng tính tốn trong mỗi giờ học, tăng cường
thực hành, thực tế.
 Giúp học sinh rèn luyện các phẩm chất đạo đức và thẩm mỹ: tính cẩn thận
chính xác, tính kiên trì, các thói quen tự kiểm tra, tự đánh giá để tránh các
sai lầm có thể gặp.
1.2.4. Những kỹ năng cần thiết khi giải toán:

12


Kỹ năng giải toán của học sinh chia làm ba cấp độ: biết làm, thành thạo và cao
nhất là sáng tạo trong giải bài toán cụ thể.
Trong giải toán học sinh cần có các nhóm kỹ năng sau:
 Nhóm kỹ năng vận dụng chung;
 Nhóm kỹ năng thực hành;
 Nhóm kỹ năng về tư duy.
Kỹ năng tổ chức các hoạt động nhận thức trong giải toán:
 Kỹ năng tổng hợp: Liên hệ các dữ liệu trong bài tốn, tóm tắt nội dung bài
toán, kết cấu lại đề toán đã định hướng giải;
 Kỹ năng phân tích;
 Kỹ năng mơ hình hóa;
 Kỹ năng tìm kiếm và sử dụng thơng tin.
1.2.5. Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh theo quy trình bốn bước của
Polya:
Theo G.Polya [22, tr 78] muốn giải một bài toán phải lần lượt qua bốn bước:
Bước 1: Hiểu rõ nội dung bài toán.
Để giải được một bài tốn, trước hết phải hiểu bài tốn đó và có hứng thú với
việc giải bài tốn đó. Vì thế người giáo viên phải chú ý gợi động cơ, kích thích

trí tị mị, hứng thú cho học sinh và giúp các em tìm hiểu bài tốn một cách tổng
qt. Tiếp theo phải phân tích bài tốn đã cho:
 Đâu là ẩn, đâu là dữ kiện.
 Vẽ hình, sử dụng các kí hiệu thích hợp (nếu cần).

13


 Phân biệt các thành phần khác nhau của điều kiện, có thể diễn đạt các điều
kiện đó dưới dạng cơng thức tốn học được khơng ?
Bước 2: Xây dựng một chương trình giải.
Có thể phải phân tích bài tốn đã cho thành những bài toán đơn giản hơn.
Xét bài toán trong những trường hợp đặc biệt, trong những trường hợp cụ thể,
bài tốn tương tự hay cũng có thể xem xét bài tốn tổng qt. Từ đó, có ý tưởng
giải và xây dựng được một chương trình giải.
Bước 3: Thực hiện chương trình giải.
Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải tìm được.
 Kiểm tra lại kết quả, xem lại các lập luận trong quá trình giải.
 Nhìn lại toàn bộ các bước giải, rút ra tri thức phương pháp để giải một loại
bài tốn nào đó.
 Tìm thêm các cách giải khác nếu có thể.
 Khai thác kết quả của bài toán.
 Đề xuất bài toán tương tự, bài tốn đặc biệt hoặc khái qt hóa bài tốn.
Trong q trình tìm lời giải bài tốn theo bảng gợi ý của Polya rất có hiệu
quả, nó đặt học sinh trước những ý nghĩ tích cực, chẳng hạn như:
 Bạn đã gặp bài toán này lần nào chưa? Hay bạn đã gặp bài toán này ở
dạng hơi khác?
 Bạn có biết bài tốn nào có liên quan khơng? Có thể dùng định lý hay
cơng thức nào để giải nó?
 Có thể sử dụng kết quả của bài tốn khác vào việc giải bài tốn này hay

khơng? Có thể đưa ra một bài toán tương tự hoặc một bài toán tổng quát

14


hơn bài tốn đã cho khơng? Trong giải tốn tổ hợp đơi khi việc giải một
bài tốn tổng qt lại dễ dàng hơn bài toán đã cho hoặc việc giải bài toán
trong những trường hợp đặc biệt lại là gợi ý quan trọng trong tìm ra lời
giải của bài tốn đã cho.
Việc kiểm tra lời giải một bài toán là rất quan trọng trong giải tốn tổ hợp,
nó giúp ta tránh những sai lầm điển hình như xét thiếu hoặc thừa trường hợp.
Mặt khác, việc kết thúc một bài toán này lại là sự mở đầu một bài toán khác, điều
đó rất có ích cho rèn luyện học sinh giỏi.
Trong q trình giải bài tập tốn, cần khuyến khích học sinh tìm nhiều cách
giải cho một bài tốn. Mọi cách giải đều dựa vào một số đặc điểm nào đó của dữ
kiện, cho nên tìm được nhiều cách giải là luyện tập cho học sinh biết cách nhìn
nhận một vấn đề theo nhiều khía cạnh khác nhau, điều đó rất bổ ích cho việc
phát triển năng lực tư duy. Mặt khác tìm được nhiều cách giải thì sẽ tìm được
cách giải hay nhất, đẹp nhất.
1.3. Vận dụng các phương pháp dạy học hiện đại trong phát triển kỹ năng giải
toán tổ hợp
1.3.1. Bồi dưỡng kỹ năng giải Toán cho học sinh cần kết hợp với các hoạt
động trí tuệ khác:
Việc bồi dưỡng kỹ năng giải Toán cho học sinh cần được tiến hành trong
mối quan hệ hữu cơ với các hoạt động trí tuệ như: Phân tích, tổng hợp, so sánh,
tương tự, trừu tượng hóa, khái quát hóa, hệ thống hóa trong đó phân tích và tổng
hợp đóng vai trị nền tảng. Để bồi dưỡng tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn của
tư duy, học sinh cần được luyện tập thường xuyên năng lực tiến hành phân tích
đồng thời với tổng hợp để nhìn thấy đối tượng dưới nhiều khía cạnh khác nhau.
15

Trên cơ sở so sánh từng trường hợp riêng lẻ, dùng phép tương tự để chuyển từ
trường hợp riêng này sang trường hợp riêng khác, khai thác mối liên hệ mật thiết
với trừu tượng hóa, làm rõ mối quan hệ chung giữa mệnh đề xuất phát và mệnh
đề tìm được bằng đặc biệt hóa và hệ thống hóa, ta có thể tập luyện cho học sinh
khái quát hóa tài liệu tốn học, tạo khả năng tìm được nhiều giải pháp trên nhiều
góc độ và tình huống khác nhau, khả năng tìm ra những mối liên hệ trong những
sự kiện bên ngồi tưởng như khơng có liên hệ với nhau, khả năng tìm ra giải
pháp lạ hoặc duy nhất.
Theo Hồng Chúng ([1, tr 25]), các phương pháp đặc biệt hoá, tổng qt
hố và tương tự có ý nghĩa rất quan trọng trong sáng tạo tốn học. Có thể vận
dụng các phương pháp này để giải các bài toán đã cho; để mị mẫm và dự đốn
kết quả, tìm ra phương hướng giải bài toán để mở rộng, đào sâu và hệ thống hóa
các kiến thức, từ đó giúp phát hiện ra những vấn đề mới, những bài toán mới,
hoặc giúp ta nhìn thấy sự liên hệ giữa nhiều vấn đề với nhau. Nhờ có những
phương pháp đó, học sinh có thể mở rộng, đào sâu kiến thức bằng cách nêu lên
và giải quyết những vấn đề tổng quát hơn, những vấn đề tương tự, hoặc đi sâu
vào những trường hợp đặc biệt có ý nghĩa tốn học.
1.3.2. Bồi dưỡng kỹ năng giải Toán cho học sinh cần đặt trọng tâm vào việc
rèn khả năng phát hiện vấn đề mới, khơi dậy ý tưởng mới:
Khi dạy lý thuyết, giáo viên cần tận dụng phương pháp tập dượt nghiên
cứu, trong đó giáo viên cần tạo ra các tình huống gợi vấn đề để dẫn dắt học sinh
tìm tịi khám phá kiến thức mới. Trong quá trình này, tuỳ theo từng loại đối
tượng mà học sinh tự lực tiếp cận các kiến thức với các mức độ khác nhau.
Chú ý thường xuyên tập dượt cho học sinh suy luận có lý (thơng qua quan
sát so sánh, đặc biệt hóa, khái quát hóa, quy nạp, tương tự, ...) để có thể tự mình
16

tìm tịi, dự đốn các kết quả, để tìm cách giải một bài toán, chứng minh một định
lý, bồi dưỡng cho học sinh các phương pháp chứng minh toán học như phân tích,
tổng hợp, phản chứng, quy nạp để có thể tự mình tìm tịi, dự đốn được các qui
luật của thế giới khách quan, tự mình phát hiện và phát biểu vấn đề, dự đốn
được kết quả, tìm được hướng giải của một bài toán, hướng chứng minh định lý.
Nói cách khác là tăng cường cả hai bước suy đoán và suy diễn.
Khi luyện tập củng cố, cần lựa chọn một vài ví dụ có cách giải riêng đơn
giản hơn là áp dụng công thức tổng quát để khắc phục tính ì của tư duy, tránh
hành động máy móc, không thay đổi phù hợp với điều kiện mới. Cần coi trọng
các bài tập trong đó chưa rõ vấn đề cần chứng minh, học sinh phải tự xác lập, tự
tìm tòi để phát hiện vấn đề và giải quyết vấn đề.
1.3.3. Bồi dưỡng kỹ năng giải Toán cho học sinh là một quá trình lâu dài cần
tiến hành trong tất cả các khâu của quá trình dạy học:
Bồi dưỡng kỹ năng giải tốn cho học sinh là một q trình lâu dài cần tiến
hành thường xuyên hết tiết học này sang tiết học khác, năm này sang năm khác
trong tất cả các khâu của quá trình dạy học, trong nội khoá cũng như các hoạt
động ngoại khoá. Cần tạo điều kiện cho học sinh có dịp được rèn luyện khả năng
tư duy sáng tạo trong việc tốn học hóa các tình huống thực tế, trong việc tự sáng
tác những đề tốn, tìm tịi những cách giải mới, những kết quả mới khai thác từ
các bài toán đã giải.
Khâu kiểm tra đánh giá phải được xem là khâu quan trọng song song với
việc dạy học. Các đề kiểm tra, các đề thi cần được soạn với yêu cầu ngoài việc
kiểm tra việc nắm bắt các kiến thức cơ bản còn phải có những câu kiểm tra được
năng lực tư duy sáng tạo của học sinh. Học sinh chỉ có thể làm được hoàn chỉnh

17