(Luận văn thạc sĩ) phát triển năng lực giao tiếp toán học cho học sinh trong dạy học chủ đề quan hệ vuông góc trong không gian (lớp 11)

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

PHẠM THU HÀ

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIAO TIẾP TOÁN HỌC
CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ
“QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN” (LỚP 11)

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TỐN

HÀ NỘI – 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

PHẠM THU HÀ

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIAO TIẾP TOÁN HỌC
CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ
“QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN” (LỚP 11)

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TỐN

CHUN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC
(BỘ MƠN TỐN HỌC)
Mã số: 60 14 01 11

Người hướng dẫn khoa học: GS.TS. BÙI VĂN NGHỊ

HÀ NỘI – 2015


LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên trong luận văn, tác giả xin trân trọng cảm ơn các thầy giáo, cô
giáo Trƣờng Đại học Giáo dục - Đại học Quốc gia Hà Nội đã nhiệt tình giảng
dạy và hết lịng giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu đề tài.
Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TS.
Bùi Văn Nghị trong suốt thời gian qua đã tận tình hƣớng dẫn tác giả nghiên cứu
hoàn thiện luận văn đúng thời hạn.
Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban Giám Hiệu, các thầy
giáo, cô giáo và các em học sinh trƣờng Trung học phổ thông An Lão (Hải
Phòng) đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành bản luận văn.
Lời cảm ơn chân thành của tác giả cũng xin đƣợc dành cho gia đình,
ngƣời thân và các bạn học viên lớp Lý luận và Phƣơng pháp dạy học mơn Tốn
K9 - Trƣờng Đại học Giáo dục trong suốt thời gian qua đã cổ vũ, động viên và
đóng góp ý kiến.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng song luận văn vẫn không tránh khỏi những
thiếu sót, tác giả mong đƣợc tiếp thu những ý kiến đóng góp q báu của thầy cơ
và các đồng nghiệp.
Xin trân trọng cảm ơn!
Hà Nội, tháng 10 năm 2015
Tác giả

Phạm Thu Hà

i


DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT

THPT

:

Trung học phổ thông

TNSP

:

Thực nghiệm sƣ phạm

Lớp TN :

Lớp thực nghiệm

Lớp ĐC :

Lớp đối chứng

ii


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN ................................................................................................... i
DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT ...................................................................... ii
MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ..................................... 5
1.1. Cơ sở lý luận .............................................................................................. 5

1.1.1. Năng lực và năng lực Toán học .............................................................. 5
1.1.2. Giao tiếp toán học ................................................................................... 9
1.1.3. Dạy học phát triển năng lực giao tiếp toán học cho học sinh ............... 17
1.2. Cơ sở thực tiễn ......................................................................................... 19
1.2.1. Vị trí và vai trị của chủ đề “Quan hệ vng góc trong không gian”
ở trƣờng THPT ................................................................................................ 19
1.2.2. Thực trạng của việc dạy và học chủ đề “Quan hệ vng góc trong
khơng gian” ở trƣờng THPT hiện nay ............................................................ 20
CHƯƠNG 2: THIẾT KẾ MỘT SỐ TÌNH HUỐNG DẠY HỌC
“QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHÔNG GIAN” THEO HƯỚNG
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIAO TIẾP TOÁN HỌC ............................ 26
2.1. Dạy học khái niệm ................................................................................... 26
2.1.1. Một số vấn đề về dạy học khái niệm ..................................................... 26
2.1.2. Thiết kế một số tình huống dạy học khái niệm theo hƣớng phát triển
năng lực giao tiếp toán học cho học sinh ........................................................ 28
2.2. Dạy học định lý ........................................................................................ 42
2.2.1. Một số vấn đề về dạy học định lý ......................................................... 42
2.2.2. Thiết kế một số tình huống dạy học định lí theo hƣớng phát triển
năng lực giao tiếp tốn học cho học sinh ........................................................ 43
2.3. Dạy học quy tắc, thuật toán ...................................................................... 47
iii


2.3.1. Một số vấn đề về dạy học quy tắc, thuật tốn ....................................... 47
2.3.2.Thiết kế tình huống dạy học quy tắc, thuật toán và các quy tắc tựa
thuật toán theo hƣớng phát triển năng lực giao tiếp toán học ......................... 49
2.4. Dạy học giải toán ..................................................................................... 51
CHƯƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ............................................... 62
3.1. Mục đích, nhiệm vụ, đối tƣợng thực nghiệm sƣ phạm ............................ 62
3.1.1 Mục đích ................................................................................................. 62

3.1.2. Nhiệm vụ ............................................................................................... 62
3.1.3. Đối tƣợng thực nghiệm sƣ phạm........................................................... 62
3.2. Giả thuyết thực nghiệm sƣ phạm và tiêu chí đánh giá kết quả thực
nghiệm sƣ phạm .............................................................................................. 63
3.3. Giáo án thực nghiệm sƣ phạm ................................................................. 63
3.3.1. Giáo án 1: Đƣờng thẳng vng góc với mặt phẳng .............................. 63
3.2.1. Giáo án 2: Khoảng cách ....................................................................... 66
3.4. Tiểu kết chƣơng 3..................................................................................... 79
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ ............................................................... 81
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 83
PHỤ LỤC ....................................................................................................... 85

iv


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Sự phát triển mạnh mẽ của xã hội và đất nƣớc đang đòi hỏi cấp bách
phải nâng cao chất lƣợng của giáo dục và đào tạo. Mục tiêu của giáo dục nƣớc
ta đã đặt ra trong luật giáo dục: “Mục tiêu giáo dục là đào tạo con ngƣời Việt
Nam phát triển tồn diện, có đạo đức, tri thức, sức khoẻ, thẩm mỹ và nghề
nghiệp, trung thành với lý tƣởng độc lập dân tộc và chủ nghĩa xã hội; hình
thành và bồi dƣỡng nhân cách, phẩm chất và năng lực của công dân, đáp ứng
yêu cầu của sự nghiệp xây dựng và bảo vệ Tổ quốc” (Luật giáo dục Việt
Nam, năm 2005, chƣơng 1, điều 2). Để đạt mục tiêu giáo dục nhƣ trên, cùng
với những thay đổi về nội dung, cần có những đổi mới căn bản về phƣơng
pháp giáo dục.
Trong những năm gần đây, phong trào đổi mới phƣơng pháp dạy học đã
đƣợc đề cập nhiều hơn, đƣợc quan tâm nhiều hơn trong xã hội và trong ngành
giáo dục. Các lý thuyết về phƣơng pháp dạy học tích cực đã đƣợc nhiều

chuyên gia, các nhà giáo dục nghiên cứu vận dụng vào thực tiễn dạy học ở
trƣờng phổ thông. Tuy nhiên, việc áp dụng những phƣơng pháp tích cực đó
vào từng mơn học, vào từng giờ giảng của giáo viên đặc biệt ở cấp Trung học
phổ thơng vẫn cịn những hạn chế; vẫn cịn tình trạng giáo viên thuyết trình,
thầy đọc, trị chép là chủ yếu.
Định hƣớng xây dựng chƣơng trình và sách giáo khoa phổ thông sau
2015 của Bộ Giáo dục và Đào tạo là phát triển năng lực ngƣời học; việcdạy
học phải hƣớng tới và chú trọng phát triển năng lực cho học sinh.
Trong dạy học mơn Tốn, một trong những năng lực của học sinh đƣợc
nhiều nƣớc quan tâm là năng lực giao tiếp toán học (Mathematical
Communication). Theo Hội đồng Quốc gia Giáo viên Toán Hoa Kỳ (National
Council Teachers Mathmatics, 2000): Năng lực này thể hiện ở khả năng “trao
đổi suy nghĩ tốn học rõ ràng và chính xác, phân tích và đánh giá những suy

1


nghĩ và lời giải của các học sinh khác và sử dụng ngơn ngữ tốn học để diễn
đạt những ý tƣởng tốn học một cách chính xác”. [16]
Hình học khơng gian là mơn học thuộc loại khó đối với học sinh. Bởi lẽ
việc nghiên cứu Hình học khơng gian chủ yếu dựa trên trí tƣởng tƣợng khơng
gian và hình biểu diễn các hình khơng gian trên mặt phẳng. Những khó khăn
nảy sinh trong q trình học tập mơn học này cần đƣợc học sinh bộc lộ, trao
đổi, giao tiếp. Vấn đề đặt ra: Làm thế nào để phát triển đƣợc năng lực giao
tiếp toán học cho học sinh?
Thực tiễn dạy học mơn Tốn ở trƣờng Trung học phổ thơng hiện nay cho
thấy chƣa có sự quan tâm đúng mực đến việc phát triển năng lực giao tiếp
toán học cho học sinh. Hiện nay, ở nƣớc ta cịn ít cơng trình nghiên cứu về
phát triển năng lực giao tiếp toán học cho học sinh.
Chính vì những lý do trên, đề tài đƣợc chọn là: Phát triển năng lực giao

tiếp toán học cho học sinh trong dạy học chủ đề “Quan hệ vng góc trong
khơng gian”(Lớp 11).
2. Lịch sử nghiên cứu
Đã có một số bài báo, luận văn nghiên cứu về vấn đề này, nhƣ:
- “Giáo dục toán học hƣớng vào năng lực ngƣời học”, Tạp chí khoa học
trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội, Tập 59- số 2A, tr. 3- 6, tác giả GS.TS. Bùi
Văn Nghị (2014)
- “Phát huy năng lực giao tiếp tốn học của học sinh trong mơi trƣờng
khảo sát Tốn”, Tạp chí khoa học trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội, Tập 59số 2A, tr. 157- 167, tác giả Nguyễn Thị Duyến (2014).
- “Sử dụng nghiên cứu bài học để phát triển năng lực giao tiếp toán học
cho học sinh trung học cơ sở”, luận án Tiến sĩ ĐHSP TPHCM, tác giả Hoa
Ánh Tƣờng (2014).
Tài liệu nghiên cứu về giao tiếp tốn học cịn hạn chế. Một số bài báo,
luận văn trên đã nghiên cứu về dạy học phát triển năng lực giao tiếp toán học
cho học sinh, tuy nhiên chƣa có đề tài nào nghiên cứu về phát triển năng lực

2


giao tiếp toán học cho học sinh trong dạy học chủ đề “Quan hệ vng góc
trong khơng gian”.
3. Mục đích nghiên cứu
Đề xuất đƣợc một số tình huống dạy học chủ đề “Quan hệ vng góc
trong khơng gian” theo hƣớng phát triển năng lực giao tiếp toán học cho học
sinh.
4. Đối tư ng nghiên cứu phạ
4.1.

it

vi nghiên cứu

ng nghi n c u: Là q trình giao tiếp tốn học trong dạy

học mơn Tốn ở trƣờng THPT.
4.2. Phạm vi nghi n c u: Giới hạn trong dạy học chủ đề “Quan hệ
vng góc trong khơng gian”.
5. Câu hỏi nghiên cứu
Dạy học chủ đề “Quan hệ vng góc trong khơng gian” theo hƣớng
phát triển năng lực giao tiếp tốn học có khả thi và hiệu quả hay không?
6. Giả thu t ho học
Nếu vận dụng những biện pháp và những tình huống đã đề xuất trong
luận văn về dạy học chủ đề “Quan hệ vng góc trong khơng gian” thì sẽ phát
triển đƣợc năng lực giao tiếp toán học cho học sinh, từ đó nâng cao đƣợc hiệu
quả dạy học mơn Tốn.
7. Nhiệ

vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu cơ sở lý luận về năng lực giao tiếp tốn học.
- Tìm hiểu thực trạng dạy và học chủ đề “Quan hệ vng góc trong
khơng gian”, năng lực giao tiếp toán học của học sinh THPT.
- Thiết kế một số tình huống dạy học chủ đề “Quan hệ vng góc trong
khơng gian” theo hƣớngphát triển năng lực giao tiếp toán học cho học sinh.
- Tổ chức thực nghiệm sƣ phạm.

3


8. Phư ng ph p nghiên cứu

8.1. Ph ơng pháp nghi n c u l lu n: Tìm hiểu, nghiên cứu các tài liệu
trong và ngoài nƣớc về năng lực giao tiếp toán học của học sinh.
8.2. Ph ơng pháp điều tra – quan sát: Sử dụng phiếu điều tra, kết quả
quan sát giờ dạy tại một số trƣờng THPT để phân tích thực trạng...
8.3. Ph ơng pháp thực nghiệm s phạm: Tổ chức dạy thực nghiệm tại
một số trƣờng THPT để đánh giá tính khả thi và hiệu quả của đề tài.
9. Luận cứ
9.1. Lu n c l thuyết
- Cơ sở lý luận về năng lực giao tiếp toán học .
9.2. Lu n c thực tế
- Kết quả điều tra thông qua phiếu hỏi dành cho giáo viên và học sinh
THPT khi dạy và học chủ đề “Quan hệ vng góc trong khơng gian”.
- Kết quả thực nghiệm sƣ phạm.
10. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn gồm ba chƣơng:
Chƣơng 1:Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chƣơng 2: Thiết kế một số tình huống dạy học phát triển năng lực giao
tiếp toán họccho học sinh
Chƣơng 3: Thực nghiệm sƣ phạm

4


CHƯƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. C sở lý luận
1.1.1. Năng lực và năng lực Toán học
1.1.1.1. Năng lực
Theo từ điển Tiếng Việt: Năng lực là điều kiện chủ quan hoặc tự nhiên
s n có để thực hiện một hoạt động nào đó; là phẩm chất tâm lý và sinh lý tạo

cho con ngƣời khả năng hoàn thành một loại hoạt động nào đó với chất lƣợng
cao.[10]
Theo Xavier Roegiers(1996): “Năng lực là sự tích hợp các kỹ năng tác
động một cách tự nhiên lên các nội dung trong một loạt tình huống cho trƣớc
để giải quyết những vấn đề do tình huống này đặt ra”. Năng lực đƣợc
hiểu nhƣ một hệ thống khả năng, sự thành thạo hay kỹ năng chuyên biệt cần
thiết hay đủ để đạt tới một mục đích nhất định. [15]
Trong [8], tác giả cho rằng: “Năng lực là những đặc điểm tâm lý cá nhân
của con ngƣời đáp ứng đƣợc yêu cầu của một loạt hoạt động nhất định và là
điều kiện cần thiết để hồn thành có kết quả tốt đ p loại hoạt động đó”. Năng
lựcbao gồm sự vận dụng tổng hợp các tri thức, kĩ năng và hành vi ứng xử
trong thực hành.
Từ những quan niệm trên, chúng ta có thể định nghĩa năng lực nhƣ sau:
Năng lực là tổ hợp các thuộc tính độc đáo của cá nhân, phù hợp với yêu cầu
của một hoạt động nhất định, đảm bảo cho hoạt động đó có hiệu quả.
Nhƣ vậy, năng lực chỉ tồn tại trong hoạt động. Khi con ngƣời chƣa hoạt
động thì năng lực vẫn cịn tiềm ẩn. Năng lực chỉ có tính hiện thực khi cá nhân
hoạt động và phát triển trong chính hoạt động ấy. Tuy nhiên, năng lực con
ngƣời khơng phải là sinh ra đã có, nó khơng có s n mà nó đƣợc hình thành và
phát triển trong quá trình hoạt động và giao tiếp.
Năng lực và tri thức, kĩ năng, kĩ xảo không đồng nhất với nhaumà có
quan hệ biện chứng với nhau. Tri thức, kĩ năng, kĩ xảo trong một lĩnh vực nào

5


đó là điều kiện cần thiết để có năng lực trong lĩnh vực ấy. Ngƣợc lại, năng lực
góp phần làm cho việc tiếp thu tri thức, hình thành kĩ năng, kĩ xảo đƣợc dễ
dàng và nhanh chóng hơn.
Năng lực mỗi ngƣời dựa trên cơ sở tƣ chất nhƣng mặt khác điều chủ

yếu là năng lực đƣợc hình thành, rèn luyện và phát triển trong những hoạt
động tích cực của con ngƣời dƣới sự tác động của rèn luyện dạy học và giáo
dục. Vì thế, muốn hình thành và phát triển năng lực ở ngƣời học, phải tổ chức
cho ngƣời học có điều kiệntiếp xúc với tri thức, với thế giới đối tƣợng để có
thể biến những năng lực của lồi ngƣời thành năng lực của chính mình.
Dựa vào các tiêu chí khác nhau, năng lực có thể phân chia thành nhiều
loại. Dựa trên mức độ chuyên biệt của năng lực, có thể chia năng lực thành
hai loại cơ bản là: năng lực chung và năng lực riêng biệt.
- Năng lực chung: là những năng lực cần cho nhiều hoạt động khác nhau,
chẳng hạn những thuộc tính về thể lực, về trí tuệ (quan sát, trí nhớ, tƣ duy,
tƣởng tƣợng, ngơn ngữ...). Đó là điều kiện cần thiết để giúp cho nhiều lĩnh
vực hoạt động có hiệu quả.
- Năng lực ri ng biệt: là những năng lực thể hiện độc đáo các phẩm chất
riêng biệt, có tính chun mơn, nhằm đáp ứng yêu cầu của một lĩnh vực, hoạt
động chuyên biệt với kết quả cao nhƣ năng lực toán học, văn học, hội họa, âm
nhạc, thể thao... Hai loại năng lực chung và riêng luôn bổ sung, hỗ trợ cho
nhau.
1.1.1.2. Dự thảo ch ơng trình giáo dục phổ thơng tổng thể
Tháng 8 năm 2015, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã cơng bố Dự thảo chƣơng
trình giáo dục phổ thơng tổng thể. Chƣơng trình tổng thể là phƣơng hƣớng và
kế hoạch khái qt của tồn bộ chƣơng trình giáo dục phổ thơng, trong đó quy
định những vấn đề chung của giáo dục phổ thơng. [1]
Theo Dự thảo này, Chƣơng trình giáo dục phổ thơng nhằm hình thành và
phát triển cho học sinh những năng lực chung chủ yếu sau:
- Năng lực tự học;

6


- Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo;

- Năng lực thẩm mỹ;
- Năng lực thể chất;
- Năng lực giao tiếp;
- Năng lực hợp tác;
- Năng lực tính tốn;
- Năng lực công nghệ thông tin và truyền thông (ICT).
Việc đánh giá mức độ đạt đƣợc các yêu cầu về phẩm chất chủ yếu và năng
lực chung của học sinh từng cấp học đƣợc thực hiện thông qua nhận xét các
biểu hiện chủ yếu của các thành tố trong từng phẩm chất và năng lực (nêu tại
các phụ lục 1, 2 kèm theo chƣơng trình tổng thể). Từng cấp học, lớp học đều có
những yêu cầu riêng, cao hơn và bao gồm cả những yêu cầu đối với các cấp
học, lớp học trƣớc đó về từng thành tố của các phẩm chất, năng lực.
Mỗi mơn học đều đóng góp vào việc hình thành và phát triển các phẩm
chất chủ yếu và năng lực chung (trình bày tại phụ lục 3 kèm theo chƣơng trình
tổng thể). Các năng lực đặc thù mơn học thể hiện vai trị ƣu thế của mơn học
đƣợc nêu ở các chƣơng trình mơn học.
1.1.1.3.Năng lực Tốn học
a) Khái niệm
Năng lực toán học là khả năng nhận biết ý nghĩa, vai trị của kiến thức
tốn trong cuộc sống, khả năng vận dụng tƣ duy toán học để giải quyết thực
tiễn, khả năng phân tích, suy luận…
Năng lực tốn học là khả năng (capacity) cá nhân để hình thành
(formulate), v n dụng (employ) và diễn giải (interpret) toán học trong những
ngữ cảnh khác nhau. Các khả năng này bao gồm lập luận một cách toán học
và vận dụng các khái niệm, thủ tục, sự kiện và công cụ tốn học để mơ tả, giải
thích và dự đốn các hiện tƣợng. Các khả năng này hỗ trợ cá nhân trong việc
nhận diện vai trị của tốn học trong cuộc sống và trong việc đƣa ra các đánh

7

giá có cơ sở, các quyết định cần thiết cho một cơng dân với các đặc tính xây
dựng, dấn thân và suy nghĩ phê phán. [12]
b) Các thành phần của năng lực toán học
* Theo Konmogorov (dẫn theo[3]), các thành phần của năng lực Toán
học bao gồm:
- Năng lực biến đổi khéo léo các biểu thức chữ phức tạp; năng lực tìm
đƣợc các con đƣờng giải các bài tốn, nhất là các bài tốn khơng có quy tắc
chuẩn; năng lực tính tốn.
- Trí tƣởng tƣợng hình học.
- Suy luận logic theo các bƣớc đã đƣợc phân chia một cách đúng đắn kế
tiếp nhau; có kĩ năng quy nạp, khái quát vấn đề.
* Theo A.V.Cruchetxki (dẫn theo [8]), cấu trúc của năng lực tốn học
bao gồm:
- Thu nhận thơng tin: Tri giác hóa tài liệu tốn; nắm bắt cấu trúc của
bài tốn.
- Chế biến thơng tin:
+ Năng lực tƣ duy logic trong phạm vi quan hệ số lƣợng, quan hệ
không gian, tƣ duy với các kí hiệu tốn học.
+ Năng lực khái quát hóa các đối tƣợng , các quan hệ, các cấu trúc;
năng lực rút ngắn quá trình suy luận và tính tốn.
+ Tính mềm dẻo của q trình tƣ duy trong hoạt động Toán.
+ Khuynh hƣớng rõ ràng, giản đơn, tiết kiệm và hợp lí lời giải.
+ Năng lực thay đổi nhanh chóng và dễ dàng suy nghĩ theo dạng tƣơng
tự, dạng tƣ duy thuận chuyển sang nghịch; xem xét cách giải bài tốn theo
nhiều khía cạnh khác nhau; năng lực phân chia trƣờng hợp.
- Lƣu trữ thông tin: Ghi nhớ các khái quát; các chứng minh; các
nguyên tắc giải.
Năng lực tốn học gắn liền với hoạt động trí tuệ của học sinh, qua đó
giúp học sinh có thể nắm vững và vận dụng tốt những tri thức, kĩ năng, kĩ xảo

8


trong học tập mơn tốn ở trƣờng phổ thơng. Ngồi ra, năng lực tốn học cịn
đƣợc thể hiện và phát triển thông qua các hoạt động của học sinh khi giải
quyết những nhiệm vụ nhận thức do giáo viên đề ra. Vì thế trong giờ học
tốn, học sinh phải đƣợc bày tỏ những suy nghĩ, ý tƣởng toán học của mình,
biết sử dụng ngơn ngữ tốn học để diễn đạt ý tƣởng chính xác và đƣợc thảo
luận, trao đổi ý kiến với giáo viên và các học sinh khác.
1.1.2. Giao tiếp toán học
1.1.2.1.Khái niệm giao tiếp toán học
Giao tiếp là hoạt động chuyển đổi thông tin giữa cá nhân này với cá nhân
khác bằng cách dùng lời nói, cử chỉ, điệu bộ… Giao tiếp là phƣơng thức để cá
nhân chia sẻ với cộng đồng những suy nghĩ, quan điểm, thái độ cũng nhƣ hiểu
biết của mình về những vấn đề mà họ quan tâm. Thơng qua q trình tƣơng
tác với cộng đồng, cá nhân ngày càng phát triển hiểu biết về thế giới xung
quanh mình.
Giao tiếp có thể có nhiều hình thức. Giao tiếp diễn ra khi học sinh đƣợc
phép có tiếng nói trong lớp học, làm cho học sinh nói trở thành một phần
quan trọng trong bài học của giáo viên. Điều này có thể xảy ra thơng qua
tƣơng tác với giáo viên, thơng qua làm việc theo nhóm nhỏ, hoặc đứng trƣớc
lớp để trình bày nhằm làm rõ một ý tƣởng đƣợc tìm thấy. Giáo viên có thể cho
học sinh thảo luận nhằm khuyến khích các em nói lên ý tƣởng của mình và
dành thời gian để các em thảo luận với ngƣời xung quanh; điều này đặc biệt
có lợi cho những học sinh kém tự tin khi chia sẻ trƣớc cả lớp. Nhƣ vậy, giao
tiếp trong lớp học toán là sự tƣơng tác giữa học sinh với học sinh, giữa học
sinh với giáo viên, thông qua hoạt động giao tiếp bằng lời nói, sử dụng ngơn
ngữ hàng ngày.
Theo [3]:Giao tiếp trong các lớp học toán là quá trình tích hợp các

phƣơng tiện biểu đạt của hoạt động giao tiếp thơng thƣờng nhƣ nghe, nói,
đọc, viết và những phƣơng thức hoạt động mà học sinh tiến hành để khám phá
và kiến tạo sự hiểu biết về toán cho riêng mình nhƣ giải quyết vấn đề, suy

9


luậnvà kết nối. Giao tiếp tốn học là q trình tƣơng tác diễn ra trong các lớp
học toán mà ở đó học sinh trao đổi, thảo luận và tranh luận với bạn học hoặc
với giáo viên về các ý tƣởng toán học ở các mức độ nhận thức khác nhau
nhằm chia sẻ hiểu biết về tốn của mình với những ngƣời xung quanh để phát
triển hiểu biết hoàn chỉnh hơn về kiến thức và kĩ năng toán cần học. Với quan
điểm này thì giao tiếp tốn học của học sinh là hoạt động giao tiếp đặc thù
diễn ra trong quá trình học tốn, biểu hiện sự kết nối giữa các hình thức giao
tiếp với phƣơng tiện biểu đạt mà học sinh thể hiện và phƣơng thức giao tiếp
trong quá trình khám phá tốn.

Giao tiếp
tốn học

Hoạt động giao
tiếp

Hình thức
giao tiếp

Khám phá tốn

Phƣơng tiện
biểu đạt

Phƣơng thức
giao tiếp

Hình 1.1. Mơ hình giao tiếp toán học
Hội đồng Quốc gia Giáo viên Toán Hoa Kỳ (National Council Teachers
Mathmatics - NCTM) [17] cho rằng chuẩn giao tiếp tốn học dành cho học
sinh Trung học phổ thơng là có khả năng trao đổi suy nghĩ tốn học rõ ràng
và chính xác, có khả năng phân tích và đánh giá những suy nghĩ và lời giải
của các học sinh khác và sử dụng ngơn ngữ tốn học để diễn đạt những
t ởng tốn học một cách chính xác.

10


Trong luận văn này, chúng tơi sẽ trình bày về giao tiếp toán học dành
cho học sinh Trung học phổ thông theo quan niệm trên của Hội đồng Quốc
gia Giáo viên Tốn Hoa Kỳ vừa trình bày ở trên.
1.1.2.2.Các yếu t trong giao tiếp toán học của học sinh
Từ quan niệm trên, có thể thấy bayếu tố trong giao tiếp toán học của
học sinh là:
- Trao đổi suy nghĩ toán học rõ ràng, chính xác.
- Phân tích, đánh giá suy nghĩ lời giải của bạn.
- Sử dụng ngơn ngữ tốn học (lời nói, hình vẽ, kí hiệu) để diễn đạt ý
tƣởng tốn học một cách chính xác.
Ba yếu tố trên khơng tách rời mà có quan hệ mật thiết: khi ngƣời này
trao đổi về một nội dung toán học nào đấy thì những ngƣời khác sẽ có trách
nhiệm lắng nghe và phân tích, đánh giá; cả ngƣời nói và ngƣời nghe đều phải
sử dụng ngơn ngữ tốn học (nói, viết, vẽ).
Ví dụ 1.1: Cho hình lập phƣơng ABCD.A’B’C’D’, điểm M di động

trên đoạn AB, điểm N thuộc đoạn ED’ với E là trung điểm của A’D’. Xác
định vị trí MN để đoạn MN ngắn nhất.
Khi quan sát tình huống này, chúng tơi đã ghi lại đƣợc một cuộc giao
tiếp tốn học giữa các học sinh nhƣ sau:
C'

D'
N
E
B'

A'
D

A

M

(Hình 1.2)

11

C

B


Học sinh A: MN ngắn nhất khi MN là đƣờng vng góc chung của AB
và ED’.
Học sinh B: Đƣờng vng góc chung của AB và ED’ là đoạn nào?

Học sinh A: là AA’.
Học sinh C: Nhƣng N chỉ di động trên ED’ cơ mà?
Học sinh A: ....(lúng túng)
Học sinh C: kết luận khơng có vị trí thỏa mãn để MN ngắn nhất.
Học sinh D: Các đoạn MN có độ dài bị giới hạn thì phải có giá trị nhỏ
nhất chứ?
Học sinh A: thế thì MN ngắn nhất khi M trùng A và N trùng E.
Học sinh B: tại sao?
.... (Tất cả các học sinh cùng suy ngẫm xem AE có là đoạn ngắn nhất của
MN hay khơng? Vì sao?)
Cuối cùng cũng có một học sinh lập luận và chứng minh đƣợc AE là
ngắn nhất, nhƣ sau:
Ta có:
Do đó:

(

)
(1)

Lại có:

(2)

(Đƣờng xiên nào có hình chiếu dài hơn thì dài hơn).
Từ (1) và (2) suy ra:

Vậy AE là ngắn nhất.

Ví dụ trên chứng tỏ mối quan hệ mật thiết giữa các yếu tố trong giao

tiếp tốn học của học sinh. Trong tình huống này, tất cả các học sinh trong
nhóm đều đƣợc trao đổi suy nghĩ, ý tƣởng của mình về bài tốn. Các em thay
nhau phân tích, đánh giá ý tƣởng của bạn. Từ đó, chínhhọc sinh A đã tìm
đƣợc cách giải quyết bài tốn và biết sử dụng lời nói, kí hiệu, hình vẽ để diễn
đạt ý tƣởng của mình đồng thờigiảng giải cho các bạn khác hiểu. Đây là cơ
hội cho các em thảo luận và đƣợc “giao tiếp tốn học” một cách thoải mái, sơi
nổi trong giờ học Toán.Đồng thời liên quan đến giao tiếp, học sinh đƣợc rèn

12


luyện, phát triển tƣ duy phản biện (có thái độ đúng mực, có tinh thần xây
dựng, biết lắng nghe).
1.1.2.3. Vai trị của giao tiếp tốn học trong lớp học
Nhiều nhà giáo dục Toán cho rằng giao tiếp là một phần quan trọng và
nền tảng của giáo dục Toán.Giao tiếp toán học là một ý tƣởng chủ chốt quan
trọng không chỉ cải thiện học tốn mà cịn phát triển các khả năng cần thiết
cho xã hội.
Việc phát triển khả năng về lập luận toán của học sinh sẽ liên quan đến
sự phát triển trí tuệ và khả năng giao tiếp của học sinh. Khả năng học sinh thể
hiện kiến thức toán học bằng nhiều cách khác nhau là mộtdấu hiệu quan trọng
của sự kết nối các kiến thức toán học cho học sinh. Q trình học sinh lập
luận có phân tích và có hệ thống giúp củng cố, tăng cƣờng kiến thức và hiểu
biết về toán sâu sắc hơn; những kỹ năng này đƣợc kết hợp trong giải toán để
giúp các em nhận biết, thiết lập, đánh giá cách trình bày.
Trong dạy học có sự trao đổi cả lớp thì giáo viên nắm quyền điều khiển,
nhƣng học sinh tham gia rất nhiều vào việc lập luận, đƣa ra cách hiểu riêng
của mình về những khái niệm và kĩ năng đang học. Một số học sinh cũng
tham gia bằng cách trình diễn kĩ năng các em đang học, trong khi các bạn
khác đánh giá cách trình diễn đó đạt u cầu hay chƣa. Tồn bộ buổi học nên

có khơng khí hợp tác và hỗ trợ, nhƣng với một tinh thần là tất cả học sinh đều
tham gia đóng góp xây dựng bài. [4]
1.1.2.4.Các hình th c giao tiếp trong lớp học Tốn
a. Giao tiếp bằng lời
Học sinh:
- Đƣợc khuyến khích đặt câu hỏi, diễn giải hoặc làm sáng tỏ các ý
tƣởng đƣợc thể hiện bởi các bạn cùng lớp.
- Giải thích và trình bày cách học sinh phát hiện racâu trả lờicủa mình.
- Biện minh chocâu trả lờicủa mình và đề xuất mơ hình mới hoặc kết
quả tƣơng tự.

13


- Đặt câu hỏi cho bạn, tranh luận, phân tích và đánh giá kết quả của
bạn.
b. Giao tiếp bằng cách lắng nghe
Học sinh biết lắng nghe quan điểm của ngƣời khác để hiểu sâu sắc hơn
về vấn đề đƣợc trình bày, khi đó hiểu biết của các em đƣợc tăng lên và đồng
thời kết nối, bổ sung các khái niệm tốn học thơng qua nghe các cách lý luận
khác nhau về các giải pháp.
c. Giao tiếp bằng cách đọc
Học sinh:
- Phát biểu bằng ngơn từ theo cách hiểu của mình về những gì mình đã
đọc.
- Ghi chú các từ chƣa rõ, xác định, đánh dấu các từ khóa.
- Xác định các thông tin không liên quan và không phải là cần thiết để
giải quyết vấn đề và ghi lại thông tin cần thiết cho giải pháp.
- Đọc lại nội dung sau khi giải quyết một vấn đề để kiểm tra các giải
pháp của mình.

Ví dụ 1.2: Một pha giao tiếp bằng cách đọc
Sau khi giáo viên cho học sinh về nhà đọc trƣớc bài “Khoảng cách”,
vào giờ học giáo viên có thể đặt ra một số câu hỏi và yêu cầu học sinh hoạt
động để đánh giá kết quả đọc của học sinh khi tìm hiểu khoảng cách giữa hai
đƣờng thẳng chéo nhau nhƣ sau:
Giáo viên: Em hiểu thế nào là đƣờng vng góc chung của hai đƣờng
thẳng chéo nhau?
Nếu kí hiệu HK là đƣờng vng góc chung của
thể hiện bằng kí hiệu nhƣ thế nào?
Kết quả mong đợi: HK là đƣờng vng góc chung của
)
Nếu chỉ viết

có đƣợc khơng?

14

thì điều đó đƣợc


(Khơng đƣợc vì HK khi đó khơng xác định, có rất nhiều đƣờng HK thỏa
mãn)
Thơng tin

có cần thiết hay khơng?

(Có cần thiết vì …)
Tất cả những yêu cầu trên giáo viên có thể viết trong phiếu học tập để
thuận lợi cho học sinh nghiên cứu, thảo luận và tiết kiệm thời gian.
d. Giao tiếp bằng cách viết

Học sinh:
- Thảo luận với bạn về ý tƣởng toán học trƣớc khi viết.
- Viết ra ý tƣởng toán học bằng cách sử dụng biểu diễn trực quan nhƣ:
hình ảnh, sơ đồ, bảng biểu, đồ thị, dãy số, phƣơng trình và ký hiệu.
- Sử dụng kiến thức toán học bằng cách viết ra để minh họa suy nghĩ
của mình và các giải pháp hiện tại.
- Theo dõi và viết lại những gì mình cho là quan trọng.
1.1.2.5. Ti u chuẩn về giao tiếp toán học
Để có cơ sở đánh giá năng lực giao tiếp tốn học của học sinh, chúng tơi
dựa trên bốn tiêu chuẩn về giao tiếp toán học do Hội Giáo viên Toán của Hoa
Kỳ (NCTM, 2007) đề xuất nhƣ sau:
Ti u chuẩn 1: Tổ chức và củng cố tƣ duy toán học của học sinh thông
qua giao tiếp.
Học sinh hiểu đƣợc nội dung toán học một cách sâu sắc khi các em trình
bày phƣơng án giải tốn của mình để giải quyết vấn đề, giải thích cho lập luận
của mình với bạn hoặc giáo viên, hoặc nêu câu hỏi về vấn đề cịn khó hiểu với
các em. Giáo viên có thể hỗ trợ học sinh nắm bắt các khái niệm toán học mới
khi giáo viên tạo ra một tình huống, vẽ hình, sử dụng sơ đồ và các ký hiệu
tốn học, đƣa ra lời giải thích và viết; khi đó, việc hiểu nhầm khái niệm có thể
đƣợc điều chỉnh và giải quyết.

15


Viết cơng thức, kí hiệu tốn học ra giấy cũng có thể giúp học sinh củng
cố suy nghĩ của các em bởi vì nó địi hỏi các em phải suy nghĩ về cơng việc
của mình và làm rõ những ý tƣởng phát triển trong bài học.
Ti u chuẩn 2: Thể hiện tƣ duy toán học của học sinh mạch lạc và rõ ràng
với các bạn, với giáo viên và những ngƣời khác.
Phản ánh và giao tiếp đƣợc gắn bó với nhau trong q trình học tốn.

Với sự quan tâm đúng mực và có kế hoạch của giáo viên, giao tiếp với mục
đích để phản ánh có thể trở thành một phần tự nhiên trong lớp học tốn. Học
sinh có thể tìm hiểu để giải thích câu trả lời của mình và mô tả phƣơng án giải
quyết của các em. Học sinh cần có cơ hội để kiểm tra ý tƣởng của mình trên
cơ sở kiến thức đƣợc chia sẻ trong lớp học để xem liệu các em có thể hiểu và
có đủ sức thuyết phục. Kiến thức của các em đƣợc khắc sâu hơn khi học sinh
diễn giải, lắng nghe, đặt câu hỏi, vàgiải thích ý tƣởng của ngƣời khác về bài
học.
Ti u chuẩn 3: Phân tích, đánh giá tƣ duy và phƣơng án giải toán của bạn.
Khi học sinh nhìn nhận một vấn đề có thể là độc đáo so với quan điểm
của học sinh khác cần một môi trƣờng học tập tốt để học sinh chia sẻ và phân
tích, cách làm sáng tạo của học sinh có thể trở thành đối tƣợng của cuộc thảo
luận và phản ánh.
Ti u chuẩn 4: Sử dụng ngơn ngữ tốn học để thể hiện chính xác những ý
tƣởng.
Khi học sinh thể hiện sự hiểu biết tốn học của mình trong các lớp học,
các em bắt đầu bằng cách sử dụng ngôn ngữ hàng ngày quen thuộc. Giáo viên
có thể giúp học sinh thấy rằng một số từ đƣợc sử dụng trong ngôn ngữ hàng
ngày đƣợc sử dụng trong tốn học có ý nghĩa khác và chính xác hơn. Điều
quan trọng là cung cấp cho học sinh kinh nghiệm, giúpcác em đánh giá cao
hiệu quả và độ chính xác của ngơn ngữ tốn học. Bắt đầu từ các lớp trung
học, học sinh cần phải hiểu rõ các định nghĩa toán học và nên sử dụng chúng
trong việc giải toán.

16


1.1.3. Dạy học phát triển năng lực giao tiếp toán học cho học sinh
Trong dạy học, giáo viên cần phải tạo cơ hội để học sinh giao tiếp, trao
đổi toán học một cách thƣờng xuyên, sử dụng nhiều sự biểu diễn và lời giải.

Nói và viết bằng ngơn ngữ tốn học giúp học sinh ngẫm nghĩ những suy nghĩ
của bản thân họ và cải tiến những ý tƣởng của họ. Khả năng giao tiếp đƣợc
phát triển tốt nhất thông qua việc luyện tập, vì vậy giáo viên dạy tốn có hiệu
quả cung cấp nhiều cơ hội cho học sinh có thể trao đổi những ý tƣởng toán
học khi làm việc theo nhóm hoặc khi làm việc cả lớp, trong khi nói và viết.
Ngƣời giáo viên cần “tạo ra một mơi trƣờng học tập tin tƣởng và tôn trọng lẫn
nhau, trong đó học sinh có thể bình luận, thảo luận những ý tƣởng tốn học,
chứ khơng có những chỉ trích mang tính cá nhân đối với các bạn khác”
(Pugalee, 2001). Ngƣời thầy cần dạy học sinh biết cách phê bình, bình luận,
lập luận toán học theo những chuẩn mực đƣợc đặt ra. Việc giao tiếp, trao đổi
toán học nên bắt đầu từ những điều cụ thể và từ đời sống hàng ngày.Những
chƣơng trình máy tính nhƣ Geometer’s Sketchpad, GeoGebra, Cabri... có thể
hỗ trợ học sinh phát hiện, phán đoán, kiểm chứng những kết quả hình học.
Làm việc theo nhóm cũng rất hữu ích cho q trình học tập của học sinh. Các
em có thể học ở nhau, học với nhau, giúp học sinh thấy đƣợc, kiểm nghiệm
đƣợc nhiều phƣơng án, phƣơng pháp khác nhau để giải quyết một vấn đề. Nó
cũng giúp học sinh thấy đƣợc nhiều cách biểu diễn, nhiều lời giải một bài
tốn. Từ đó giúp các em lựa chọn, quyết định xem sự biểu diễn và lời giải nào
phù hợp nhất trong một tình huống cụ thể.
Trong hình học khơng gian, có nhiều cách diễn đạt khác nhau vềmộtkhái
niệm, định lí hay bài tốn; có thể diễn đạtbằng lời nói, bằng kí hiệu hay bằng
hình vẽ. Đó là cơ hội để giáo viên thiết kế các hoạt động học tập giúp học sinh
phát triển năng lực giao tiếp toán học. Với những bài toán phải xác định dựa
trên hình biểu diễn, sau đó mới có thể tính tốn đƣợc nhƣ: xác định giao tuyến
của hai mặt phẳng, xác định giao điểm của đƣờng thẳng và mặt phẳng, xác
định thiết diện, xác định hình chiếu vng góc của một điểm trên một mặt

17

phẳng, xác định đƣờng vng góc chung, xác định góc trong không
gian,...giáo viên cần tăng cƣờng rèn luyện cho học sinh làm quen với việc
biểu diễn bằng lời nói, hình vẽ và kí hiệu đặc biệt là kĩ năng vẽ hình, xác định
hình cho chính xác. Với những bài tốn có nhiều cách giải nhƣ bài tính
khoảng cách từ một điểm A đến mặt phẳng (P),...giáo viên nên tạo cơ hội cho
học sinh đƣợc giao tiếp, trao đổi ý tƣởng toán học, tranh luận bài toán một
cách tự tin, thoải mái trong giờ học.
Dạy học chủ đề “Quan hệ vuông góc trong khơng gian” sẽ giúp học sinh
phát triển đƣợc năng lực giao tiếp toán học. Bởi những tri thức, kĩ năng, kĩ
xảo ở đây đòi hỏi ngƣời học phải biết sử dụng từ ngữ, hình vẽ, kí hiệu để diễn
đạt một cách chính xác, đồng thời ngƣời học cũng cần đƣợctranh luận, trao
đổi ý tƣởng, suy nghĩ về nội dung đƣợc họcmột cách rõ ràng hơn.Khi học sinh
đƣợc thử thách để suy nghĩ tìm tịi và lý giải một vấn đề nào đó và trình bày
kết quả bằng cách viết hoặc nói, tranh luận thì kiến thức của học sinh sẽ vững
vàng và việc học sẽ hiệu quả hơn. Vì thế, giáo viên nên tìm tịi, lựa chọn
những nội dung phù hợp để thiết kế các tình huống dạy học nhằm phát triển
năng lực giao tiếp toán học cho học sinh.
Ví dụ 1.3: Học sinh sử dụng ngơn ngữ trong hình học khơng gian (biết
diễn đạt bằng lời nói, kí hiệu, hình vẽ) để phát biểu tính chất về mối liên hệ
giữa quan hệ song song và quan hệ vng góc của đƣờng thẳng và mặt phẳng.
- Học sinh biết diễn đạt bằng lời nói: Mặt phẳng nào vng góc với một
trong hai đƣờng thẳng song song thì cũng vng góc với đƣờng thẳng cịn lại.
- Học sinh viết đƣợc kí hiệu

b

P

Hình 1.3
18

( )

}

( )

a


- Học sinh biết vẽ hình minh họa: (Hình 1.3)
1.2. C sở thực tiễn
1.2.1. Vị trí và vai trị của chủ đề “Quan hệ vng góc trong khơng gian”
ở trường THPT
1.2.1.1. Vịtrí của chủ đề “Quan hệ vng góc trong khơng gian” ở tr ờng
THPT
Chủ đề “Quan hệ vng góc trong không gian” đƣợc giới thiệu trong
chƣơng III: Vectơ trong khơng gian. Quan hệ vng góc trong khơng gian,
(SGK), Hình học 11 THPT (cả ban nâng cao và ban cơ bản). Nội dung của
chủ đề gồm 4 bài:
§2. Hai đƣờng thẳng vng góc
§3. Đƣờng thẳng vng góc với mặt phẳng
§4. Hai mặt phẳng vng góc
§5. Khoảng cách
1.2.1.2. Vai trị củachủ đề “Quan hệ vng góc trong khơng gian” ở tr ờng
THPT
Chủ đề “Quan hệ vng góc trong khơng gian” là kiến thức trọng tâm
của chƣơng trình học kì 2 mơn Toán lớp 11, đồng thời cũng là chủ đề quan
trọng trong chƣơng trình tốn phổ thơng vì:
- Việc học và giải bài tập của chủ đề này góp phần phát triển tƣ duy, trí

tƣởng tƣợng khơng gian, phát triển năng lực toán học cho học sinh.
- Chủ đề “Quan hệ vng góc trong khơng gian” giúp học sinh mở
rộng kiến thức về hình học khơng gian, thấy đƣợc sự phát triển tốn học thơng
qua thực tế và dùng tốn học để phục vụ thực tế.
- Kiến thức của chủ đề này thƣờng xuất hiện trong các câu hỏi thi phần
hình học khơng gian ở kì thi tốt nghiệp, thi tuyển sinh Đại học- Cao đẳng và
thi THPT Quốc gia.

19