(Luận văn thạc sĩ) rèn luyện tư duy thông qua giải toán phương trình hàm cho học sinh khá, giỏi toán trung học phổ thông

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

PHÙNG VĂN ĐỒN

RÈN LUYỆN TƢ DUY THƠNG QUA DẠY HỌC GIẢI TỐN
“PHƢƠNG TRÌNH HÀM” CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI TỐN
TRUNG HỌC PHỔ THƠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TỐN HỌC
CHUN NGHÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC
(BỘ MƠN TỐN)
Mã số: 60 14 10

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS Phạm Văn Quốc

HÀ NỘI – 2011

1


MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài………………………………………………………….

1

2. Mục tiêu nghiên cứu………………………………………………….......

3

3. Đối tƣợng và khách thể nghiên cứu………………………………………

3

4. Vấn đề nghiên cứu………………………………………………………..

3

5. Giả thuyết khoa học………………………………………………………

3

6. Phƣơng pháp nghiên cứu…………………………………………………

3

7. Phạm vi nghiên cứu……………………………………………………….

4

8. Một số nét mới của đề tài…………………………………………………

4

9. Cấu trúc luận văn…………………………………………………………

4

Chƣơng 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN………………………....

5

1.1 Lịch sử vấn đề nghiên cứu………………………………………………

5

1.2. Tƣ duy và vai trò của dạy học chuyên đề “Phƣơng trình hàm” cho học
sinh khá, giỏi Tốn THPT…………………………………………………...

5

1.2.1. Khái niệm tƣ duy………………………………………………….......

5

1.2.2. Một số đặc điểm cơ bản của tƣ duy…………………………………..

6

1.2.3. Tƣ duy Toán học………………………………………………….......

6

1.2.4. Dạy học giải toán “Phƣơng trình hàm”……………………………….

10

1.2.5. Cơng tác bồi dƣỡng học sinh khá, giỏi Tốn THPT về chun đề
“Phƣơng trình hàm”…………………………………………………………

11

Chƣơng 2: PHƢƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG TỐN
“PHƢƠNG TRÌNH HÀM” VÀ VIỆC RÈN LUYỆN TƢ DUY CHO
HỌC SINH KHÁ, GIỎI TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG…………

13

2.1. Một số kiến thức cơ bản về hàm số……………………………………..

13

2.1.1. Hàm số……………………………………………………………......

13

2.1.2. Đặc trƣng của một số hàm số trong chƣơng trình Tốn THPT……….

16

2.1.3. Khái niệm về “Phƣơng trình hàm”……………………………………

17

2


2.2. Phƣơng pháp giải một số dạng “Phƣơng trình hàm”…………………

18

2.2.1 Phƣơng pháp đƣa về hệ phƣơng trình…………………………………

18

2.2.2. Phƣơng pháp đƣa về phƣơng trình “Sai phân cấp 2”…………………

26

2.2.3. Phƣơng pháp sử dụng giới hạn và tính liên tục của hàm số…………..

31

2.2.4. Phƣơng pháp Quy nạp Toán học……………………………………

46

2.2.5. Phƣơng pháp thế biến…………………………………………………

57

2.2.6. Phƣơng pháp sử dụng phƣơng trình hàm Cauchy…………………….

78

2.2.7. Phƣơng pháp sử dụng tính đơn điệu , cộng tính và nhân tính của hàm
số, tính đối xứng giữa các biến……………………………………………

94

2.3. Rèn luyện một số phẩm chất tƣ duy thông qua một số bài toán ……….

117

2.3.1. Rèn luyện tƣ duy “Khái quát hóa” và “Đặc biệt hóa” thơng qua một
số bài tốn…………………………………………………………………...

117

2.3.2. Tiếp cận giải bài tốn “Phƣơng trình hàm” theo nhiều cách…………

134

2.3.3. Nhận dạng các hằng đẳng thức qua các “Phƣơng trình hàm”………...

136

Chƣơng 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM…………………………………

139

3.1. Mục đích và nhiệm vụ thực nghiệm…………………………………….

139

3.1.1. Mục đích thực nghiệm………………………………………………..

139

3.1.2. Nhiệm vụ thực nghiệm………………………………………………..

139

3.2. Tổ chức thực nghiệm…………………………………………………...

139

3.2.1. Đề kiểm tra lần 1……………………………………………………...

140

3.2.2. Đề kiểm tra lần 2……………………………………………………...

140

3.2.3. Bài tập làm ở nhà……………………………………………………..

140

3.3. Kết quả các lần kiểm tra và một số nhận xét sau thực nghiệm…………

141

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ………………………………………...

144

TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………………

145

3


DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT

APMO:

Cuộc thi Toán châu Á – Thái Bình Dƣơng

Balkan:

Cuộc thi Tốn vùng Ban Căng

IMO:

Ơlimpic Tốn Quốc tế

IMO Sortlist :

Đề dự tuyển Ơlimpic Tốn Quốc tế

KHTN:

Khoa học Tự nhiên

KoMal:

Tạp chí Tốn học – Vật lí của Hungary

¥:

Tập hợp các số tự nhiên

¥ *:

Tập hợp các số tự nhiên khác 0

Nxb:

Nhà xuất bản

Putnam:

Cuộc thi Toán cho sinh viờn M v Canaa

Ô :

Tp hp cỏc s hu t

Ô+:

Tp hp cỏc s hu t dng

Ô-:

Tp hp cỏc s hữu tỉ âm

¡ :

Tập hợp các số thực

¡ *:

Tập hợp các số thực khác 0

¡

¡

+

+

:

Tập hợp các số thực không âm

:

Tập hợp các số thực dƣơng

¡ -:

Tập hợp các số thực âm

THPT:

Trung học Phổ thơng

THTT:

Tốn học Tuổi trẻ

TST:

Đề thi chọn đội tuyển

1


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Luật giáo dục của Việt Nam nêu rõ “ Phƣơng pháp giáo dục phổ thơng phải
phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tƣ duy sáng tạo của học sinh, phù hợp với
đặc điểm của từng lớp học, bồi dƣỡng phƣơng pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận
dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học
tập của học sinh” ( Điều 24, chƣơng I của luật giáo dục năm 2005 ).
Trong thời đại khoa học công nghệ phát triển mạnh mẽ, hội nhập đã trở
thành xu thế tất yếu thì yêu cầu của xã hội đối với con ngƣời càng ngày càng cao.
Do đó việc phát triển giáo dục khơng chỉ nhằm “nâng cao dân trí” mà cịn phải “đào
tạo nhân lực, bồi dƣỡng nhân tài”. Kiến thức thì lại mênh mơng, sau khi học xong
có thể nhiều kiến thức mà con ngƣời đƣợc học sẽ bị quên đi, nhƣng cái còn lại lâu
dài ở trong mỗi ngƣời sau khi học đó là tƣ duy đƣợc thể hiện trong xã hội, cuộc
sống hàng ngày nhƣ giao tiếp ứng xử, giải quyết vấn đề …
Việc dạy học ngày nay về cơ bản là để đạt đƣợc mục tiêu hình thành và phát
triển năng lực tƣ duy, trí tuệ của học sinh. Để phát triển đƣợc tƣ duy học sinh,
chúng ta phải đầu tƣ thời gian cho các chƣơng trình rèn luyện kỹ năng phát triển tƣ
duy, phải có ý thức thƣờng xun khuyến khích và giúp đỡ học sinh thông qua việc

dạy học nhằm nâng cao trình độ và năng lực tƣ duy phù hợp với khả năng và tâm
sinh lí của học sinh.
Qua q trình đổi mới phƣơng pháp dạy học của tồn ngành giáo dục nƣớc ta
hiện nay, mặc dù vai trò của ngƣời học đƣợc nâng cao, giáo dục đòi hỏi ngƣời học
phải là cá nhân tích cực, chủ động, sáng tạo trong q trình dạy và học nhƣng vai
trị và nhiệm vụ của ngƣời thầy không hề bị mờ nhạt mà còn đƣợc coi trọng hơn và
đòi hỏi cao và khắt khe nhiều hơn trƣớc đây. Muốn phát triển năng lực tƣ duy của
học sinh, giáo viên không chỉ dạy theo chuẩn kiến thức mà còn phải mở rộng, nâng
cao cho học sinh tiếp cận với các vấn đề khoa học theo nhiều khía cạnh khác nhau,
đặt ra nhiều tình huống có vấn đề địi hỏi học sinh phải tƣ duy để giải quyết. Khi
học sinh đã học đƣợc cách giải quyết các vấn đề khoa học thì giáo viên lại yêu cầu
giải quyết nhanh hơn, thậm chí giải quyết theo nhiều phƣơng án khác nhau. Làm

2


nhƣ vậy không chỉ đơn thuần để nâng cao hiệu quả dạy học, vƣợt qua các kì thi mà
cịn để phát triển năng lực tƣ duy, từ đó học sinh có thể xử lý tốt những vấn đề phức
tạp, ln luôn thay đổi mà cuộc sống hiện đại đặt ra sau này.
Trong chƣơng trình Tốn học THPT hiện nay, hàm số là một khái niệm rất
cơ bản và quan trọng, có nhiều ứng dụng trong thực tế, dùng để mơ tả các mối liên
hệ giữa các đối tƣợng, thuộc tính thay đổi với nhau. Trong nội dung hàm số ở
chƣơng trình Tốn THPT có nhiều vấn đề thƣờng gặp khi dạy học và bồi dƣỡng học
sinh nhƣ xây dựng hay thiết lập các hàm số sơ cấp theo một quy tắc nào đó, bài tốn
này cịn đƣợc gọi là “Các bài tốn về Phƣơng trình hàm” , nghiên cứu khảo sát tính
chất của một số hàm số thƣờng gặp, dựng đồ thị của chúng, xem xét việc ứng dụng
của hàm số để giải quyết một số dạng toán nhƣ giải phƣơng trình, bất phƣơng
trình… Trong những vấn đề đó của hàm số thì “ Phƣơng trình hàm” là vấn đề hấp
dẫn tuy nhiên lại rất khó cho cả ngƣời dạy lẫn ngƣời học, chính vì vậy chúng
thƣờng có mặt trong các kì thi học sinh giỏi Tốn cấp Tỉnh, Thành phố, Quốc gia,

Khu vực và Quốc tế.
Hệ thống các bài tập về “ Phƣơng trình hàm” rất đa dạng và phong phú, cách
giải chúng cũng khơng đơn giản có thể bằng một phƣơng pháp hay phải kết hợp
nhiều phƣơng pháp mới giải đƣợc, vì vậy khi bồi dƣỡng cho học sinh khá, giỏi về
vấn đề này sẽ rèn luyện, phát triển tƣ duy linh hoạt, sáng tạo cho ngƣời học và nâng
cao đƣợc chất lƣợng giáo dục.
Hiện nay, việc dạy học giải bài tập “ Phƣơng trình hàm” để rèn luyện tƣ duy,
phát triển trí tuệ cho học sinh cịn ít, mới chỉ chú trọng trong công tác ôn luyện, bồi
dƣỡng đội tuyển thi học sinh giỏi của các trƣờng THPT chuyên trên cả nƣớc. Vì vậy
đối với các học sinh khá, giỏi Toán ở các trƣờng THPT, các học sinh ở các trƣờng
THPT chuyên không nằm trong đội tuyển thì hầu nhƣ khơng có cơ hội đƣợc học
chun đề “Phƣơng trình hàm” để rèn luyện tƣ duy, phát triển trí tuệ.
Với mong muốn xây dựng đƣợc một số dạng bài tập và phƣơng pháp giải “
Phƣơng trình hàm” để rèn luyện tƣ duy cho học sinh THPT qua việc dạy học theo
chuyên đề bồi dƣỡng học sinh khá, giỏi tốn THPT, chúng tơi chọn đề tài “Rèn

3


luyện tư duy thơng qua dạy học giải tốn “ Phương trình hàm” cho học sinh khá,
giỏi Tốn Trung học Phổ thông” làm đề tài để nghiên cứu.
2. Mục tiêu nghiên cứu
Hệ thống các bài tập phƣơng trình hàm trong các tài liệu chun khảo mơn
Tốn, trong các diễn đàn toán học, các đề thi học sinh giỏi Toán ở các địa phƣơng,
Quốc gia và Quốc tế, để từ đó xem xét phân loại và nghiên cứu phƣơng pháp giải
chúng. Qua đó có thể đƣa ra đƣợc một số dạng bài tập phƣơng trình hàm có thể khai
thác để rèn luyện các thao tác và các kĩ năng tƣ duy cho học sinh.
Với mục tiêu trên hy vọng đề tài sẽ đóng góp một phần nhỏ vào việc nâng
cao chất lƣợng dạy học Tốn THPT nói chung và cơng tác bồi dƣỡng học sinh giỏi
nói riêng.

3. Đối tƣợng và khách thể nghiên cứu
3.1 Đối tượng nghiên cứu
Việc khai thác sử dụng bài tập “Phƣơng trình hàm” để rèn luyện tƣ duy cho
học sinh THPT.
3.2 Khách thể nghiên cứu
Quá trình dạy học bồi dƣỡng học sinh khá, giỏi toán THPT.
4. Vấn đề nghiên cứu
- Các “Phƣơng trình hàm” đƣợc phân loại theo dạng và phƣơng pháp giải
nhƣ thế nào ?
- Các bài tốn, dạng tốn “Phƣơng trình hàm” đƣợc khai thác để rèn luyện tƣ
duy cho học sinh khá, giỏi Toán THPT nhƣ thế nào?
5. Giả thuyết khoa học
Qua việc dạy học giải một số dạng tốn “Phƣơng trình hàm” có thể rèn
luyện đƣợc cho học sinh một số phẩm chất, năng lực tƣ duy Tốn học, qua đó góp
phần nâng cao đƣợc chất lƣợng dạy và học Tốn mang tính chiều sâu ở các trƣờng
THPT hiện nay.
6. Phƣơng pháp nghiên cứu
6.1. Nghiên cứu lí luận

4


Nghiên cứu cơ sở lí luận về tƣ duy trong các tài liệu tâm lý học, giáo dục
học, lý luận dạy học mơn Tốn.
Nghiên cứu các tài liệu về giải tích, các tài liệu viết về hàm số và phƣơng
trình hàm.
Nghiên cứu các đề thi học sinh giỏi Toán ở các địa phƣơng, cấp Quốc gia, vơ
địch Tốn các nƣớc trên thế giới, vơ địch Tốn các khu vực và vùng lãnh thổ, vơ
địch Tốn quốc tế.
Nghiên cứu vấn đề “Phƣơng trình hàm” trên các diễn đàn tốn học hiện nay.

6.2. Nghiên cứu thực tiễn
Tìm hiểu một số dạng bài tập “Phƣơng trình hàm” qua một số giáo viên có
kinh nghiệm trong việc bồi dƣỡng học sinh chuyên Toán ở một số trƣờng THPT
chuyên.
Đánh giá sự rèn luyện, phát triển tƣ duy của học sinh thông qua thực nghiệm
sƣ phạm tại trƣờng THPT Ngơ Quyền – Ba Vì thuộc thành phố Hà Nội.
7. Phạm vi nghiên cứu
Bài tập “Phƣơng trình hàm” và một số phƣơng pháp giải “Phƣơng trình hàm”
thƣờng dùng.
8. Một số nét mới của đề tài
Tuyển chọn đƣợc phƣơng pháp giải một số dạng “Phƣơng trình hàm” để có
thể dùng để dạy học bồi dƣỡng học sinh khá, giỏi toán THPT.
Khai thác đƣợc một số bài tập “Phƣơng trình hàm” để rèn luyện một số
phẩm chất tƣ duy cho học sinh khá, giỏi Toán THPT.
9. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung chính của luận
văn đƣợc trình bày trong 3 chƣơng
Chƣơng 1 : Cơ sở lý luận và thực tiễn.
Chƣơng 2 : Phƣơng pháp giải một số dạng “Phƣơng trình hàm” và việc
rèn luyện tƣ duy cho học sinh khá, giỏi Tốn Trung học Phổ thơng.
Chƣơng 3 : Thực nghiệm sƣ phạm.

5


CHƢƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Lịch sử vấn đề nghiên cứu
Từ trƣớc đến nay cũng đã có một số tác giả nghiên cứu về vấn đề phát triển
tƣ duy thông qua dạy học ở một số chủ đề thuộc mơn tốn THPT, và cũng có tác giả

nghiên cứu “Phƣơng trình hàm” qua luận văn thạc sĩ đã bảo vệ tại hội đồng chấm
luận văn trƣờng Đại học Giáo dục, Đại học Quốc gia Hà Nội nhƣ :
Nguyễn Hoàng Cƣơng với đề tài “Phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho
học sinh chun tốn thơng qua giảng dạy chun đề “phép biến hình trong mặt
phẳng”.
Tơ Thị Linh với đề tài “Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh khá giỏi
trong dạy học phương trình, bất phương trình chứa căn thức ở trường THPT”.
Phạm Thị Thảo với đề tài “Phát hiện và bồi dưỡng học sinh năng khiếu qua
việc giảng dạy phương trình hàm”.
Và cịn nhiều tác giả khác cũng nghiên cứu về vấn đề tƣ duy qua dạy học.
Nhƣng vấn đề rèn luyện tƣ duy qua việc dạy học chuyên đề “Phƣơng trình hàm” thì
hầu nhƣ chƣa có tác giả nào đề cập và nghiên cứu đến. Chun đề “Phƣơng trình
hàm” rất hay, lại có nhiều dạng tốn địi hỏi ngƣời học phải có kiến thức chuyên
sâu, phải tƣ duy nhiều mới giải quyết đƣợc. Vì vậy qua việc dạy học chuyên đề
“Phƣơng trình hàm” sẽ giúp ích một phần nhỏ vào việc rèn luyện tƣ duy cho học
sinh để nâng cao chất lƣợng giáo dục, nên tác giả đã chọn đề tài này để nghiên cứu.
1.2. Tƣ duy và vai trò của dạy học chuyên đề “Phƣơng trình hàm” trong việc
rèn luyện tƣ duy cho học sinh khá, giỏi Toán THPT
1.2.1. Khái niệm tư duy
Tƣ duy là quá trình nhận thức phản ánh những thuộc tính bản chất, những
mối quan hệ có tính quy luật của sự vật và hiện tƣợng trong hiện thực khách quan.
( Dựa theo [4] ).
Tƣ duy là một quá trình tâm lý liên quan chặt chẽ với ngôn ngữ - q trình
tìm tịi sáng tạo cái chính yếu, q trình phản ánh một cách từng phần hay khái quát

6


thực tế trong khi phân tích và tổng hợp nó. Tƣ duy sinh ra trên cơ sở hoạt động thực
tiễn, từ nhận thức cảm tính và vƣợt xa giới hạn của nó.

( Dựa theo [17] ).
1.2.2. Một số đặc điểm cơ bản của tư duy
Tƣ duy chỉ nảy sinh khi gặp hồn cảnh có vấn đề, tƣ duy có tính khái qt, tƣ
duy có tính gián tiếp;
Tƣ duy của con ngƣời có quan hệ mật thiết với ngơn ngữ: tƣ duy và ngơn
ngữ có quan hệ chặt chẽ với nhau, không tách rời nhau, nhƣng cũng không đồng
nhất với nhau. Sự thống nhất giữ tƣ duy và ngôn ngữ thể hiện rõ ở khâu biểu đạt kết
quả của quá trình tƣ duy;
Tƣ duy có quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính, tƣ duy thƣờng bắt đầu từ
nhận thức cảm tính, dù tƣ duy có khái qt và trừu tƣợng đến đâu thì nội dung của tƣ
duy vẫn chứa đựng những thành phần cảm tính (cảm giác, tri giác, biểu tƣợng trực
quan,…). X. L. Rubinstein khẳng định rằng: “Nội dung cảm tính bao giờ cũng có
trong trừu tƣợng, tựa hồ nhƣ làm thành chỗ dựa cho tƣ duy”.
( Dựa theo [3] ).
1.2.3. Tư duy Tốn học
Chƣa có một định nghĩa thống nhất giữa các nhà khoa học thế nào là tƣ duy
Toán học. Cách sử dụng thuật ngữ để đặt tên cho các loại hình tƣ duy là chƣa thống
nhất, và cũng khó mà thống nhất. Một loại hình tƣ duy nào đó theo cách hiểu của
tác giả này có thể khơng đồng nhất với loại hình tƣ duy ấy theo cách hiểu của tác
giả kia, và cũng không phân biệt hồn tồn với loại hình tƣ duy có tên gọi khác.
Tuy nhiên, cho dù có những quan niệm khác nhau về thuật ngữ, cũng nhƣ
việc phân chia các thành tố của tƣ duy Toán học hay năng lực tƣ duy tốn, thì các
nhà khoa học đều thống nhất trong vai trò quan trọng của việc giáo dục tƣ duy Toán
học cho học sinh, tác động nâng cao chất lƣợng dạy học mơn Tốn. Có thể nêu ra
một số loại hình và thao tác tƣ duy Tốn học dƣới đây:
1.2.3.1. Các loại hình tư duy Tốn học

7

Tư duy hàm là suy nghĩ để nhận thức, giải quyết vấn đề trong tƣơng quan khi
một đối tƣợng này thay đổi kéo theo đối tƣợng khác thay đổi.
Tư duy lôgic là suy nghĩ để nhận thức, giải quyết vấn đề theo các quy tắc suy
luận lơgic.
Tư duy thuật tốn là suy nghĩ để nhận thức, giải quyết vấn đề theo một trình
tự nhất định.
Tư duy trừu tượng là suy nghĩ để nhận thức, giải quyết vấn đề theo những
dấu hiệu bản chất.
Tư duy sáng tạo là suy nghĩ nhận thức theo một phƣơng diện mới, giải quyết
vấn đề theo cách mới, vận dụng trong hoàn cảnh mới.
Tư duy biện chứng là xem xét sự vật và hiện tƣợng trong mối quan hệ biện
chứng, có tính quy luật, trong quan điểm toàn diện, vận động và phát triển theo
nhiều quan điểm khác nhau.
( Dựa theo [14] ).
1.2.3.2. Các thao tác tư duy Toán học
Phán đoán : Dựa vào điều đã biết, đã thấy để suy xét rút ra nhận định về điều
chƣa biết, chƣa xảy ra.
Phân tích và tổng hợp : Theo từ điển tiếng Việt thì Phân tích là phân chia thật
sự hay bằng tƣởng tƣợng một đối tƣợng nhận thức ra thành các yếu tố; trái với tổng
hợp. Tổng hợp là tổ hợp bằng tƣởng tƣợng hay thật sự các yếu tố riêng rẽ nào đó làm
thành một chỉnh thể; trái với phân tích. Cịn theo Triết học thì Phân tích là phƣơng
pháp phân chia cái tồn thể thành ra từng bộ phận, từng mặt, từng yếu tố để nghiên
cứu và hiểu đƣợc các bộ phận, mặt, yếu tố đó. Tổng hợp là phƣơng pháp dựa vào sự
phân tích và liên kết, thống nhất các bộ phận, mặt, yếu tố lại để nhận thức đƣợc cái
toàn thể.
Trong hoạt động giải toán, trƣớc hết phải quan sát một cách tổng hợp để nhận
dạng bài tốn thuộc loại gì cần huy động những kiến thức nào, sau đó phân tích cái đã
cho và cái phải tìm, hoặc phân tích ra nhiều bài tốn nhỏ, phân tích các mối liên hệ
giữa các yếu tố để tìm lời giải. Thơng thƣờng khi tìm tịi lời giải, ta dùng phƣơng pháp

8


phân tích nhiều hơn, nhƣng khi trình bày lời giải, ta dùng phƣơng pháp tổng hợp cho
gọn. Các kiến thức trong sách giáo khoa thƣờng đƣợc trình bày theo phƣơng pháp tổng
hợp cho cơ đọng, súc tích. Khi dạy học tốn, giáo viên nên có những câu hỏi dẫn dắt
phân tích để rèn luyện kỹ năng phân tích cho học sinh. Rèn luyện năng lực phân tích
và tổng hợp cho học sinh có vai trị quan trọng. Khi có năng lực này, học sinh sẽ
nhìn nhận bài tốn một cách có hệ thống, biết phán đốn, biết suy luận để tìm lời
giải cho bài tốn cụ thể hay một hệ thống các bài tồn nào đó.
So sánh : Thao tác này nhằm phát hiện những đặc điểm chung và sự khác
nhau của một số đối tƣợng. So sánh thƣờng dẫn đến tƣơng tự, khái quát hóa.
Tương tự : Là thao tác tƣ duy dựa trên sự giống nhau về tính chất và quan hệ
của những đối tƣợng khác nhau ( Hai phép chứng minh là tƣơng tự nhau nếu đƣờng
lối và phƣơng pháp chứng minh giống nhau )
Khái quát hóa và đặc biệt hóa : Khái quát hóa là suy luận chuyển từ khảo sát
một tập hợp đối tƣợng (khái niệm, tính chất,…) này sang tập hợp khác rộng hơn
chúa tập hợp ban đầu làm tập con bằng cách nêu bật một số đặc điểm chung của các
phần tử trong tập hợp xuất phát, hay mở rộng khái niệm, tính chất ngay trên tập hợp
đã xét. Khái quát hóa trong Toán học thƣờng đƣợc thể hiện ở các mặt:
Khái quát các quan hệ Toán học (thứ tự, bằng nhau, tƣơng đƣơng, hàm số,
vị trí, cùng cấu trúc, …);
Khái quát đặc điểm của các vấn đề toán học: Khái quát một cách khoa học
đặc điểm của vấn đề làm cho ta nhận thức nhiều vấn đề bề ngồi có vẻ khác nhau,
nhƣng bản chất là giống nhau, tức là thống nhất đƣợc các vấn đề, ta đã nhận thức
đƣợc tính đồng nhất của các vấn đề. Phƣơng pháp này giúp ngƣời học giảm nhẹ
gánh nặng về trí nhớ, nâng cao hiệu quả tƣ duy, hiểu rõ đƣợc vấn đề chính xác, dễ
dàng hơn, giúp học sinh phát triển đƣợc năng lực phát hiện vấn đề và giải quyết vấn
đề.
Khái quát hƣớng suy nghĩ và phƣơng pháp giải quyết vấn đề: Sự khái qt đặc

điểm nói trên là vơ cùng quan trọng, nhƣng sự khái quát hƣớng suy nghĩ và phƣơng pháp
giải quyết vấn đề còn quan trọng hơn. Bởi, đây là tri thức phƣơng pháp mà giáo viên
đƣợc cần đƣợc trang bị để hƣớng dẫn học sinh. Từ hƣớng suy nghĩ và cách giải quyết

9


vấn đề này mà ta có thể dùng để chỉ đạo giải quyết một loạt các vấn đề cùng loại hay
mở rộng hơn. Vì thế sau khi dạy giải một bài toán cần chú ý khái quát hƣớng suy nghĩ
và cách giải cho học sinh.
Dùng hình thức khái quát để giải quyết vấn đề, mà cụ thể hơn là giải các bài
tốn, là q trình vận dụng những kết quả đã khái quát, những kiến thức chung vào để
giải quyết các bài tốn. Bởi vì khái qt hóa và đặc biệt hóa là hai mặt đối lập của một
q trình tƣ duy thống nhất. Q trình giải bài tốn tất nhiên theo lƣợc đồ 4 bƣớc của
Polya. Nhƣng việc giải bài tập tốn có thể theo quy trình: trƣớc hết phân tích các thành
phần của bài tốn, khái qt nhanh những đặc điểm, liên tƣởng nhanh bài toán giống
với bài nào, nhận dạng bài tốn. Từ đó mở ra hƣớng suy nghĩ, tìm cách giải quyết.
Đặc biệt hóa là ngƣợc lại của khái qt hóa. Trong q trình dạy học Tốn ở
phổ thơng học sinh cũng đã đƣợc tập luyện nhiều hoạt động đặc biệt hóa trong một
mối quan hệ với hai hoạt động khác là: hoạt động phát hiện mối quan hệ chung
riêng, hoạt động khái quát hóa. Quan điểm: “Khai thác mối quan hệ giữa ba hoạt
động trên, trong việc tập luyện cho học sinh khái quát hóa, không chỉ yêu cầu họ đi
từ riêng đến chung (khái qt hóa) mà cịn địi hỏi họ đi từ chung đến riêng (đặc biệt
hóa) và làm rõ mối quan hệ chung riêng giữa cái đạt đƣợc và cái xuất phát.” là đúng
đắn.
Đặc biệt hóa là áp dụng một kết quả trong trƣờng hợp tổng quát vào một trƣờng
hợp đặc biệt. Tất nhiên là nếu kết quả đúng cho trƣờng hợp tổng qt thì nó cũng phải
đúng cho trƣờng hợp đặc biệt. Suy diễn đó khơng có gì khó khăn và chúng ta vẫn thƣờng
làm khi áp dụng định lý tổng quát vào các bài toán cụ thể mà ta đang giải.
Tuy nhiên, vai trị của đặc biệt hóa càng trở nên quan trọng trong trƣờng hợp ta

đang có dự đốn nào đó về một đối tƣợng đang xét và ta đang muốn chứng minh rằng dự
đốn đó đúng, nhƣng ta chƣa tìm cách chứng minh. Trong trƣờng hợp này ta nên sử
dụng “đặc biệt hóa”.
Ta hãy áp dụng dự đốn vào một trƣờng hợp đặc biệt, và nếu đối với trƣờng hợp
này dự đốn là đúng thì dự đốn của ta đáng tin hơn. Khơng những thế nếu ta có thể

10


chứng minh dự đốn trong trƣờng hợp đó thì có thể hy vọng các chứng minh đó có thể
mở rộng cho trƣờng hợp tổng quát. Còn trái lại đối với trƣờng hợp đặc biệt đang xét
khơng đúng thì mọi chuyện sẽ kết thúc.
Trừu tượng hóa : Là gạt bỏ những dấu hiệu khơng bản chất để tìm ra dấu
hiệu bản chất(Việc phân biệt bản chất hay không bản chất chỉ mang tính tƣơng đối).
( Dựa theo [7] ).
1.2.4. Dạy học giải tốn “ Phương trình hàm”
1.2.4.1. Vai trị của bài tập trong quá trình dạy học
Hình thành, củng cố tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở những giai đoạn khác nhau
của quá trình dạy học, kể cả kĩ năng ứng dụng Tốn học vào thực tiễn;
Phát triển năng lực trí tuệ : Rèn luyện những thao tác tƣ duy, hình thành
những phẩm chất trí tuệ;
Bồi dƣỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những phẩm chất
đạo đức của con ngƣời lao động mới.
( Dựa theo [7] ).
1.2.4.2. Phương pháp chung để giải Tốn
Trên thực tế khơng có một thuật giải tổng quát để giải mọi bài toán. Tuy
nhiên chúng ta có thể trang bị những hƣớng dẫn chung, gợi ý cách suy nghĩ tìm tịi,
phát hiện cách giải bài tốn lại là có thể và cần thiết trong quá trình dạy học.
Dựa trên những tƣ tƣởng tổng quát cùng với bản gợi ý chi tiết của
Polya(1975) về cách thức giải bài tốn có thể nêu ra phƣơng pháp chung để giải

tốn nhƣ sau:
Bước 1( Tìm hiểu nội dung đề bài): Phát biểu đề bài dƣới những dạng thức
khác nhau để hiểu rõ nội dung bài toán, phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải
chứng minh, có thể dùng cơng thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề
bài.
Bước 2(Tìm cách giải): Tìm tịi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có
tính chất tìm đốn: biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh,
liên hệ cái đã cho hoặc cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần

11


giải với một bài toán cũ tƣơng tự, một trƣờng hợp riêng, một bài toán tổng quát hơn,
hay một bài tốn nào có liên quan, sử dụng những phƣơng pháp đặc thù với từng
dạng toán nhƣ chứng minh phản chứng, quy nạp toán học,…
Kiểm tra lời giải bằng cách xem xét lại kĩ từng bƣớc thực hiện hoặc đặc biệt
hóa kết quả tìm đƣợc hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức có liên quan,…
Tìm tịi những cách giải khác, so sánh chúng để chọn đƣợc cách giải hợp lí
nhất.
Bước 3(Trình bày lời giải): Từ cách giải đã đƣợc phát hiện, sắp xếp các việc
phải làm thành một chƣơng trình gồm các bƣớc theo một trình tự thích hợp và thực
hiện các bƣớc đó.
Bước 4(Nghiên cứu sâu lời giải): Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả
của lời giải.
Nghiên cứu giải những bài toán tƣơng tự, mở rộng hay lật ngƣợc vấn đề.
1.2.4.3. Tiềm năng của chuyên đề “Phương trình hàm” trong việc rèn luyện tư duy
cho học sinh THPT
Chun đề “Phƣơng trình hàm” có nhiều bài tập hay và đẹp cả về mặt thẩm
mĩ và Toán học, tuy rất khó đối với học sinh THPT nhƣng đối với học sinh khá và
giỏi Tốn thì nếu đƣợc bồi dƣỡng chuyên đề này thì tƣ duy của học sinh sẽ đƣợc rèn

luyện và phát triển rất tốt vì các bài tốn về phƣơng trình hàm thể hiện đƣợc nhiều
nét để học sinh có thể rèn luyện tƣơng đối đầy đủ các thao tác tƣ duy Tốn học, nó
cịn địi hỏi học sinh phải tƣ duy rất cao. Vì vậy việc bồi dƣỡng chuyên đề này cho
học sinh khá, giỏi Toán là việc cần thiết và quan trọng trong quá trình giáo dục ở
các trƣờng THPT hiện nay.
1.2.5. Cơng tác bồi dưỡng học sinh khá, giỏi Toán THPT về chuyên đề “Phương
trình hàm”
1.2.5.1. Khái niệm học sinh khá, giỏi Tốn THPT
Học sinh khá, giỏi Toán THPT là những học sinh có khả năng về Tốn và đạt
thành tích cao trong học tập mơn Tốn. Những học sinh có khả năng về Toán là
những học sinh tiếp thu nhanh bài học, thành thạo biến đổi các biểu thức Toán học,

12


biết suy luận và lập luận trong chứng minh định lí hay bài tốn, biết liên hệ các chủ
đề tốn trong chƣơng trình Tốn THPT.
1.2.5.2. Vai trị của cơng tác bồi dưỡng học sinh giỏi
Đảng ta quan niệm: “Hiền tài là nguyên khí của quốc gia” và rất coi trọng
việc bồi dƣỡng nhân tài cho đất nƣớc. Bộ giáo dục và đào tạo có những chủ trƣơng
mới về cơng tác bồi dƣỡng học sinh giỏi. Đó là tiếp tục chú trọng xây dựng hệ
thống các trƣờng chuyên một cách hoàn thiện hơn, khuyến khích và tơn vinh các
học sinh đạt thành tích cao. Chƣơng trình giáo dục phổ thơng đƣợc phân thành các
ban giúp học sinh phát huy đƣợc năng khiếu của mình, nhà trƣờng có thể vận dụng
việc dạy phân hóa vào bồi dƣỡng học sinh giỏi. Tổ chức các lớp bồi dƣỡng học sinh
khá, giỏi học theo chƣơng trình nâng cao và yêu cầu khắt khe hơn so với học sinh
bình thƣờng.
1.2.5.3. Thực trạng dạy học chuyên đề “Phương trình hàm”ở các trường THPT
hiện nay
Hiện nay, chuyên đề “Phƣơng trình hàm” chƣa đƣợc đề cập nhiều trong các

trƣờng THPT. Các học sinh chuyên Toán đã đƣợc tiếp cận và đƣợc học “Phƣơng
trình hàm” từ nhiều năm nay, cịn các học sinh ở các trƣờng phổ thơng thì rất ít có
cơ hội tiếp cân và là lĩnh vực rất xa đối với họ, khi gặp phải thì rất bỡ ngỡ và gặp
nhiều khó khăn để gải quyết. đa số học sinh đều cảm thấy “Phƣơng trình hàm” là
lĩnh vực rất khó bởi một trong các lí do là: ít đƣợc rèn luyện, tài liệu tham khảo viết
về “Phƣơng trình hàm” rất ít, các giáo viên khơng dạy chun khơng đầu tƣ nghiên
cứu sâu về mảng này nên ngại dạy cho học sinh.
Vì vậy chuyên đề “Phƣơng trình hàm” là cũ trong Toán học sơ cấp nhƣng lại
là vấn đề mới đối với hầu hết học sinh THPT hiện nay.

13


CHƢƠNG 2
PHƢƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG “PHƢƠNG TRÌNH HÀM”
VÀ VIỆC RÈN LUYỆN TƢ DUY CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI TỐN
TRUNG HỌC PHỔ THƠNG
2.1. Một số kiến thức cơ bản về hàm số
2.1.1. Các định nghĩa và tính chất
2.1.1.1. Hàm số
Cho D và Y là hai tập hợp con của tập ¡ . Một hàm số f : D ® Y là một
quy tắc sao cho mỗi phần tử x Î D ứng với duy nhất phần tử y Î Y .

D đƣợc gọi là tập xác định của hàm số f , y đƣợc gọi là giá trị của hàm số
tại đối số x Ỵ D và đƣợc kí hiệu là f (x ) .
Tập hợp {f (x ) x Ỵ D } đƣợc gọi là tập giá trị của hàm số f .
Điểm x 0 Ỵ D đƣợc gọi là điểm bất động của hàm số f nếu f (x 0 ) = x 0 .
Các hàm số sơ cấp thƣờng gặp trong chƣơng trình Tốn THPT là các hàm
lũy thừa, hàm mũ, hàm lôgarit, hàm lƣợng giác và các hàm số đƣợc tạo bởi hữu hạn
các phép toán số học (Cộng, trừ, nhân, chia), hoặc phép lấy hàm hợp của các hàm

số sơ cấp trên.
2.1.1.2. Hàm số đơn ánh, toàn ánh, song ánh
Hàm số f : D ® Y đƣợc gọi là đơn ánh nếu

" x 1, x 2 ẻ D ta cú x 1 ạ x 2 ị f (x 1 ) ạ f (x 2 ) .
Từ đó ta có f là đơn ánh Û f (x 1 ) = f (x 2 ) Þ x 1 = x 2 .
Hàm số f : D ® Y đƣợc gọi là toàn ánh nếu " y Î Y đều tồn tại x Î D sao
cho f (x ) = y .
Hàm số f : D ® Y đƣợc gọi là song ánh nếu nó vừa là đơn ánh, vừa là toàn
ánh.
2.1.1.3. Hàm hợp

14


Cho hai hàm số f : D ® Y và g : Y ® ¡ . Hàm hợp của hai hàm số f , g là
hàm số h : D ® ¡ đƣợc xác định bởi công thức h(x ) = g( f (x )) , " x Ỵ D .
Hm hp lp bc n (n ẻ Ơ * ) của hàm số f là hàm đƣợc kí hiệu fn và đƣợc
xác định bởi cơng thức truy hồi:

íï f (x ) = f (x )
ï 1
ì
ïï fn (x ) = f ( fn - 1(x ))( " n ³ 2)
ỵ
Hàm số f (x ) đƣợc gọi là hàm lặp tuần hon trờn tp D nu tn ti s

k ẻ Ơ * sao cho fk + 1(x ) = f (x ) , " x Ỵ D . Số k Ỵ ¥ * nhỏ nhất thỏa mãn đẳng thức
trên đƣợc gọi là chu kì của hàm lặp tuần hồn f (x ) .
(Với fk + 1(x ) = fk ( f (x )) = ... = f ( f (...f ( f (x )))) ( với k + 1 chữ f ).

2.1.1.4. Hàm số liên tục
Hàm số f (x ) xác định trên D đƣợc gọi là liên tục tại điểm x 0 Ỵ D nếu

lim f (x ) = f (x 0 ) .

x ® x0

Hàm số f (x ) xác định trên khoảng (a;b) đƣợc gọi là liên tục trên khoảng

(a;b) nếu nó liên tục tại mọi điểm x Î (a;b) .
Hàm số f (x ) xác định trên đoạn [a;b] đƣợc gọi là liên tục trên đoạn [a;b]
nếu nó liên tục trên khoảng (a;b) và lim+ f (x ) = f (a ) và lim- f (x ) = f (b) .
x® a

x® b

Các hàm số sơ cấp trong chƣơng trình Tốn THPT liên tục trên từng khoảng
xác định của nó.
2.1.1.5. Hàm số khả vi
Hàm số f (x ) xác định trên khoảng (a;b) đƣợc gọi là khả vi tại điểm

x 0 Ỵ (a;b) nếu tồn tại lim

x ® x0

f (x ) - f (x 0 )
hữu hạn. Khi đó giới hạn này đƣợc gọi là
x - x0

đạo hàm của hàm số f (x ) tại điểm x 0 , kí hiệu f '(x 0 ) .

15


Hàm số f (x ) đƣợc gọi là khả vi trên khoảng (a;b) nếu nó khả vi tại mọi
điểm x Î (a;b) .
Hàm số f ' : (a;b) ® ¡ đƣợc gọi là đạo hàm của hàm số f kí hiệu là f '(x ) .
2.1.1.6. Hàm số cộng tính, nhân tính
Hàm số f : D ® ¡

đƣợc gọi là cộng tính trên D nếu " x , y Ỵ D suy ra

x + y Ỵ D và f (x + y ) = f (x ) + f (y ) .
Chú ý 1: Nếu hàm số f : D ® ¡ thỏa mãn " x , y Ỵ D Þ x ± y Ỵ D
và f (x - y ) = f (x ) - f (y ) thì f cũng cộng tính trên D .
Nếu hàm số f : ¡ ® ¡

cộng tính thì f (0) = 0 , f (x ) lẻ và f (rx ) = rf (x ) ,

"x ẻ Ă , "r ẻ Ô .
Hàm số f : D ® ¡

đƣợc gọi là nhân tính trên D nếu " x , y Ỵ D suy ra

xy Ỵ D và f (xy ) = f (x ) f (y ) .
2.1.1.7. Hàm số bị chặn
Hàm số f (x ) xác định trên D đƣợc gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao
cho f (x ) £ M với mọi x Ỵ D .
Hàm số f (x ) xác định trên D đƣợc gọi là bị chặn dƣới nếu tồn tại số m sao
cho f (x ) ³ m với mọi x Ỵ D .

Hàm số f (x ) xác định trên D đƣợc gọi là bị chặn nếu nó đồng thời bị chặn
trên và bị chặn dƣới.
2.1.1.8. Hàm số đơn điệu
Hàm số f (x ) đƣợc gọi là tăng trên khoảng (a;b) nếu

" x 1, x 2 Ỵ (a;b) mà x 1 £ x 2 Þ f (x 1 ) £ f (x 2 ) .
Hàm số f (x ) đƣợc gọi là giảm trên khoảng (a;b) nếu

" x 1, x 2 Î (a;b) mà x 1 £ x 2 Þ f (x 1 ) ³ f (x 2 ) .
Hàm số tăng hoặc giảm trên khoảng (a;b) đƣợc gọi là đơn điệu trên (a;b) .

16


Hàm số f (x ) đƣợc gọi là tăng thực sự (đồng biến) trên khoảng (a;b) nếu

" x 1, x 2 ẻ (a;b) m x 1 < x 2 ị f (x 1 ) < f (x 2 ) .
Hàm số f (x ) đƣợc gọi là giảm thực sự (nghịch biến) trên khoảng (a;b) nếu

" x 1, x 2 Î (a;b) mà x 1 < x 2 Þ f (x 1 ) > f (x 2 ) .
Hàm số tăng hay giảm thực sự trên (a;b) đƣợc gọi là hàm số đơn điệu thực
sự trên (a;b) .
Một số tính chất của các hàm số đơn điệu
Mọi hàm đơn điệu thực sự trên khoảng (a;b) đều là đơn ánh trên khoảng (a;b) .
Nếu f (x ) và g(x ) là hai hàm tăng (giảm) thì f (x ) + g(x ) cũng là hàm tăng (giảm).
Nếu f (x ) và g(x ) là hai hàm tăng và khơng âm thì f (x )g(x ) cũng là hàm tăng.
Nếu f (x ) là hàm đơn điệu trên (a;b) thì f ( f (x )) là hàm tăng.
Nếu f (x ) là đơn ánh và liên tục trên khoảng (a;b) thì nó đơn điệu thực sự trên
khoảng đó.
Nếu hàm số f : ¡ ® ¡ cộng tính và f (x ) ³ 0 với mọi x ³ 0 thì nó là hàm tăng.

Nếu hàm số f : ¡ ® ¡ cộng tính và f (x ) £ 0 với mọi x ³ 0 thì nó là hàm giảm.
2.1.1.9. Hàm số chẵn, lẻ, hàm số tuần hồn
Hàm số f : D ® ¡ đƣợc gọi là hàm chẵn khi và chỉ khi

" x Î D Þ - x Î D và f (- x ) = f (x )
Hàm số f : D ® ¡ đƣợc gọi là hàm lẻ khi và chỉ khi

" x ẻ D ị - x ẻ D v f (- x ) = - f (x )
Hàm số f : D ® ¡ đƣợc gọi là hàm tuần hồn (cộng tính) chu kì T > 0 khi
và chỉ khi " x ẻ D ị x T ẻ D và f (x ± T ) = f (x )
2.1.2. Đặc trưng của một số hàm số trong chương trình Tốn THPT
2.1.2.1. Hàm tuyến tính f (x ) = ax có đặc trưng hàm là:

f (x + y ) = f (x ) + f (y ) , " x , y Ỵ ¡ .
2.1.2.2. Hàm nhị thức f (x ) = ax + b có đặc trưng hàm là:

17


f(

x+y
f (x ) + f (y )
, " x, y Î ¡ .
)=
2
2

2.1.2.3. Hàm bậc hai y = ax 2 (a ¹ 0) có đặc trưng hàm là:

f (x + y ) + f (x - y ) = 2f (x ) + 2f (y ) , " x , y Ỵ ¡ .
2.1.2.4. Hàm lũy thừa f (x ) = x a (với a Ỵ ¡ ) có đặc trưng hàm là:

f (xy ) = f (x ) f (y ) , " x , y Ỵ ¡

+

.

2.1.2.5. Hàm mũ f (x ) = a x (với a > 0 và a ¹ 1 ) có đặc trưng hàm là:

f (x + y ) = f (x ) f (y ) , " x , y Ỵ ¡
2.1.2.6. Hàm lôgarit f (x ) = loga x ( a > 0 và a ¹ 1 ) có đặc trưng hàm là:

f (xy ) = f (x ) + f (y ) , " x , y Ỵ ¡ * .
2.1.2.7. Hàm sin f (x ) = sin x có đặc trưng hàm là:

f (3x ) = 3f (x ) - 4 f 3(x ) , " x Ỵ ¡ .
2.1.2.8. Hàm cơsin f (x ) = cos x có đặc trưng hàm là:

f (2x ) = 2f 2 (x ) - 1 và f (x + y ) + f (x - y ) = 2f (x ) f (y ) , " x Ỵ ¡ .
2.1.2.9. Hàm tang f (x ) = tan x có đặc trưng hàm là:

f (x + y ) =

p
f (x ) + f (y )
, " x, y Ỵ ¡ \ { + k p k ẻ Â } .
1 - f (x ) f (y )
2

2.1.2.10. Hàm côtang f (x ) = cot x có đặc trưng hàm là:

f (x + y ) =

f (x ) f (y ) - 1
, " x , y ẻ Ă \ {k p k ẻ Â } .
f (x ) + f (y )

2.1.2.11. Hàm số hằng f (x ) = C có đặc trưng hàm là:

f (x ) = f (y ) , " x , y Ỵ ¡ .
2.1.3. Khái niệm về “Phương trình hàm”
Cho D,Y là hai tập con của tập các số thực ¡ . Bài toán xác định tất cả các
hàm số f : D ® Y thỏa mãn một số điều kiện về (đẳng thức, tính chất của hàm số,

18


tính chất của tập hợp, …) nào đó là bài tốn quan trọng và thƣờng gặp trong Giải
tích và đƣợc đặt tên cho lớp phƣơng trình đặc biệt đƣợc gọi là “Phƣơng trình hàm”.
Phƣơng trình hàm là phƣơng trình đặc biệt mà ẩn là một (hoặc vài) hàm số.
Giải phƣơng trình hàm là việc tìm tất cả các hàm số thỏa mãn phƣơng trình
hàm đã cho và một số điều kiện cho trƣớc.
2.2. Phƣơng pháp giải một số dạng “Phƣơng trình hàm”
2.2.1. Phương pháp đưa về hệ phương trình
Phƣơng pháp đƣa về hệ phƣơng trình là một phƣơng pháp thƣờng đƣợc sử
dụng cho việc giải các phƣơng trình hàm có dạng

a(x ) f [u(x )] + b(x ) f [v(x )] = c(x ) , trong đó a(x ), b(x ), c(x ), u(x ), v(x ) là các hàm số

cho trƣớc, cịn f là hàm số cần tìm thỏa mãn phƣơng trình hàm trên.
Thơng thƣờng khi giải phƣơng trình hàm dạng trên thì chúng ta thƣờng dùng
các phép thế thích hợp để tạo ra các phƣơng trình hàm khác có dạng tƣơng tự. Kết
hợp phƣơng trình hàm đã cho với các phƣơng trình hàm vừa tạo ra sẽ đƣợc một hệ
gồm nhiều phƣơng trình hàm và từ hệ này ta có thể tìm ra đƣợc hàm số theo u
cầu. Phƣơng pháp làm nhƣ vậy đƣợc gọi là phƣơng pháp đƣa về hệ phƣơng trình.
Bài tốn 1 (Việt Nam 2000). Tìm tất cả các hàm số f : ¡ ® ¡ thỏa mãn

x 2 f (x ) + f (1 - x ) = 2x - x 4 , " x Ỵ ¡

.

(1)

Lời giải. Thay x bởi 1 - x vào phƣơng trình (1) ta đƣợc

(1 - x )2 f (1 - x ) + f (x ) = 2(1 - x ) - (1 - x )4 , " x Ỵ ¡ .

(2)

íï x 2 f (x ) + f (1 - x ) = 2x - x 4
ï
Từ (1) và (2) ta có hệ phƣơng trình ì
ïï (1 - x )2 f (1 - x ) + f (x ) = 2(1 - x ) - (1 - x ) 4
ùợ

ị (x 2 - x - 1) f (x ) = (x 2 - x - 1)(1 - x 2 ) , " x Ỵ ¡ .
Nếu x 2 - x - 1 ¹ 0 Û x ¹

1± 5

thì f (x ) = 1 - x 2 .
2

19


Đặt a =

1+ 5
1- 5
1 1+ 5
1+ 5
vào (1) ta
Þ
= - ;f(
) = b . Thay x =
2
2
a
2
2

đƣợc a 2b + f (

1-

5
2

) = 2a - a 4 Þ f (

1-

5
2

) = 2a - a 4 - a 2b .Thử lại thấy hàm

số trên thỏa mãn bài toán.Vậy hàm số cần tìm là

íï
ïï 1 - x 2 ( " x ¹ a; - 1 )
ïï
a
1+ 5
(với a =
, f (a ) = b ).
f (x ) = ïì b(x = a )
ïï
2
1
ïï
4
2
ïï 2a - a - a b(x = - )
a
ỵ
Bài tốn 2 (Israel 1995). Tìm tất cả các hàm s f : Ă

+

đ Ă

+

tha món

1
x
, "x ẻ Ă +,a Î ¡ .
a x 2 f ( ) + f (x ) =
x
x+1
Lời giải. Thay

(3)

1
bởi x vào (3) ta đƣợc
x
1
1
1
, "x Ỵ ¡ +,a Ỵ ¡ .
a ( )2 f ( x ) + f ( ) =
x
x
x+1

(4)

Kết hợp (3) và (4) ta có hệ phƣơng trình

íï 2 1
ïï a x f ( ) + f (x ) = x
2
ïì
x
x + 1 Þ (1 - a 2 ) f (x ) = x (1 - a x ) , " x Ỵ ¡ + .
ïï 1 2
1
x
x+1
ïï a ( ) f (x ) + f ( ) =
x
x+1
ïỵ x
Vì f (x ) Ỵ ¡ , " x Ỵ ¡
*

+

x (1 - a x 2 )
nên ta phải có (1 - a )
> 0, "x Ỵ ¡
x+1
2

Suy ra

íï a > 1
íï 1 - a 2 < 0
ïï
ïï
ï
2
Û
(vơ lí).
ì x (1 - a x )
ì
1
ïï
ïï x >
> 0( " x > 0)
< 0( " x > 0)
ïïỵ x + 1
ïïỵ
a

íï 1 - a 2 > 0
íï a < 1
ï
ï
ï
ï
2
Û ì
Û - 1< a £ 0.
Hoặc ì x (1 - a x )
ïï

ïï a < 1 ( " x > 0)
> 0( " x > 0)
ïïỵ x + 1
ïïỵ
x2

20

+

.


Nếu a Ï (- 1; 0] thì khơng tồn tại hàm số f (x ) thỏa mãn bài toán đã cho.

1 x (1 - a x 2 )
Nếu a Ỵ (- 1; 0] thì f (x ) =
, "x Ỵ ¡ + .
2
x+1
1- a
Thử lại thấy hàm số trên thỏa mãn bài tốn.
Vậy

a Ï (- 1; 0] thì khơng tồn tại hàm số f (x ) .
1 x (1 - a x 2 )
, "x Ỵ ¡ + .
a Ỵ (- 1; 0] thì f (x ) =
2
x+1

1- a
Bài tốn 3 (Putnam 1971). Tìm tất cả các hàm số f : ¡ \ {0;1} ® ¡ thỏa mãn

f (x ) + f (
Lời giải. Thay x bởi

f(
Thay x bởi

x- 1
) = 1 + x , " x Ỵ ¡ \ {0;1} .
x

(5)

x- 1
vào (5) ta đƣợc
x

x- 1
- 1
x- 1
) + f(
) = 1+
, " x Ỵ ¡ \ {0;1} .
x
x- 1
x

(6)

- 1
vào (6) ta đƣợc
x- 1
f(

- 1
1
) + f (x ) = 1 , " x Ỵ ¡ \ {0;1} .
x- 1
x- 1

(7)

Kết hợp (5), (6), (7) ta có hệ phƣơng trình sau

íï
ïï f (x ) + f ( x - 1) = 1 + x
ïï
x
ïï x - 1
- 1
x- 1
) + f(
) = 1+
ì f(
ïï
x
x- 1
x

ïï
- 1
1
ïï f (
) + f (x ) = 1 x- 1
ïïỵ x - 1

( " x Ỵ ¡ \ {0;1} ).

Giải hệ phƣơng trình này ta đƣợc

f (x ) =

1
1
1
(x + +
) , " x Ỵ ¡ \ {0;1} .
2
x 1- x

Thử lại ta thấy hàm số trên thỏa mãn bài toán.

21


Vậy hàm số cần tìm là f (x ) =

1
1

1
(x + +
) , " x Ỵ ¡ \ {0;1} .
2
x 1- x

Bài tốn 4. Tìm tất cả các hàm số f : ¡ \ {0;1} ® ¡ thỏa mãn

1+ x
x2 + 1
, " x Ỵ ¡ \ {0;1} .
f (x ) + (x + 1) f (
)=
1- x
x- 1
Lời giải. Thay x bởi

(8)

1+ x
vào (8) ta đƣợc
1- x

1+ x
2
- 1
x2 + 1
, " x Ỵ ¡ \ {0;1} .
f(
)+

f( ) =
1- x
1- x
x
x (x - 1)
Thay

(9)

- 1
bởi x vào (9) ta đƣợc
x
f(

Thay x bởi

x- 1
2x
x2 + 1
, " x Ỵ ¡ \ {0;1} .
)+ (
) f (x ) = x+1
x+1
x+1

(10)

x- 1
vào (10) ta đƣợc
x+1

f(

- 1
1 x- 1
x2 + 1
) + (1 - ) f (
)=
, " x Ỵ ¡ \ {0;1} .
x
x x+1
x (x + 1)

(11)

Nhận thấy các phƣơng trình (8), (9), (10), (11) tạo thành hệ phƣơng trình bậc nhất
bốn ẩn là f (x ); f (

1+ x
- 1
x- 1
); f ( ); f (
) . Giải hệ phƣơng trình này ta đƣợc
1- x
x
x+1

x2 + 1
f (x ) =
, " x Ỵ ¡ \ {0;1} .

x (x - 1)
Thử lại ta thấy hàm số trên thỏa mãn bài toán.

x2 + 1
Vậy hàm số cần tìm là f (x ) =
, " x Ỵ ¡ \ {0;1} .
x (x - 1)
Nhận xét 1: Trong các bài toán 1, 2 ta thấy các hàm số g(x ) = 1 - x ;

1
đều là hàm
x

lặp tuần hồn chu kì 2 và ta chỉ cần thực hiện một phép thế, rồi kết hợp với phương
trình đã cho sẽ được hệ phương trình hàm có thể tìm ra được hàm số thỏa mãn bài
tốn.

22