(Luận văn thạc sĩ) áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn trong bài toán đồng nhất hóa vật liệu đàn hồi không đồng nhất

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ





TRẦN NGUYÊN QUYẾT

ÁP DỤNG PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU
HẠN TRONG BÀI TỐN ĐỒNG NHẤT HĨA
VẬT LIỆU ĐÀN HỒI KHƠNG ĐỒNG NHẤT

LUẬN VĂN THẠC SĨ CƠ KỸ THUẬT

Hà Nội - 2014


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ





TRẦN NGUYÊN QUYẾT

ÁP DỤNG PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU
HẠN TRONG BÀI TỐN ĐỒNG NHẤT HĨA
VẬT LIỆU ĐÀN HỒI KHƠNG ĐỒNG NHẤT
NGÀNH: CƠ KỸ THUẬT

CHUYÊN NGÀNH: CƠ KỸ THUẬT
MÃ SỐ: 60 52 01 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ CƠ KỸ THUẬT

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học:

1. PGS.TSKH PHẠM ĐỨC CHÍNH
2. TS TRẦN ANH BÌNH

Hà Nội - 2014


2

LỜI CẢM ƠN
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới PGS. TSKH. Phạm Đức Chính và TS.
Trần Anh Bình, những ngƣời đã tận tình hƣớng dẫn tơi trong suốt q trình làm
luận văn.
Tơi xin cảm ơn các thầy cơ dạy các chuyên đề cao học đã trang bị cho tôi
kiến thức nền tảng. Tôi xin cảm ơn Bộ Môn Cơ Sức Bền – Khoa Cơ Khí – Trƣờng
Đại học Công nghiệp Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi để tơi có thời gian cũng
nhƣ trang thiết bị để tập trung nghiên cứu. Và cuối cùng tôi xin cảm ơn gia đình đã
ln động viên để tơi hồn thành tốt luận văn này.

Hà Nội, ngày 05 tháng 12 năm 2014
Tác giả luận văn

Trần Nguyên Quyết

3

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan tất cả những kết quả khoa học trình bày trong luận văn là
thành quả lao động của bản thân dƣới sự giúp đỡ tận tình của PGS. TSKH Phạm
Đức Chính và TS Trần Anh Bình. Các kết quả thu đƣợc khơng sao chép từ bất kỳ
cơng trình nào của các tác giả khác.

Hà Nội, ngày 05 tháng 12 năm 2014
Tác giả luận văn

Trần Nguyên Quyết


4

MỤC LỤC
Trang phụ bìa …………………………………………………………………. 1
LỜI CẢM ƠN...................................................................................................... 2
LỜI CAM ĐOAN ................................................................................................ 3
MỤC LỤC ........................................................................................................... 4
1.1. Mở đầu về vật liệu đàn hồi không đồng nhất ........................................... 7
1.2. Một số đánh giá cho hệ số đàn hồi vĩ mô của vật liệu đàn hồi không đồng
nhất …………………………………………………………………………..11
1.3. Một số phƣơng pháp xấp xỉ hệ số đàn hồi vĩ mô của vật liệu đàn hồi không
đồng nhất ........................................................................................................ 13
1.4. Các phƣơng pháp số trong đồng nhất hóa vật liệu khơng đồng nhất ......... 14
1.5. Phƣơng pháp nghiên cứu và bố cục luận văn ........................................... 15
KẾT LUẬN CHƢƠNG 1 ............................................................................... 15

CHƢƠNG 2: HỆ SỐ ĐÀN HỒI CỦA CỐT LIỆU TRÕN TRONG VẬT LIỆU
ĐẲNG HƢỚNG TƢƠNG ĐƢƠNG VẬT LIỆU CỐT LIỆU ELIP ................... 16
2.1. Một số xấp xỉ đơn giản cho vật liệu đàn hồi đẳng hƣớng dạng nền + cốt
liệu tròn .......................................................................................................... 16
2.2. Tính tốn hệ số đàn hồi vĩ mơ cho vật liệu đàn hồi không đồng nhất đẳng
hƣớng hai pha có cốt liệu elip phân bố thƣa .................................................... 17
2.3. Xác định các hệ số đàn hồi của cốt liệu tròn trong mơ hình vật liệu đẳng
hƣớng tƣơng đƣơng vật liệu cốt liệu elip ........................................................ 24
KẾT LUẬN CHƢƠNG 2 ............................................................................... 28
CHƢƠNG 3: ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG
ĐỒNG NHẤT HĨA VẬT LIỆU ĐÀN HỒI KHƠNG ĐỒNG NHẤT ............... 29
3.1. Giới thiệu về phƣơng pháp phần tử hữu hạn ............................................ 29
3.2. Ứng dụng phƣơng pháp phần tử hữu hạn trong đồng nhất hóa vật liệu
khơng đồng nhất ............................................................................................. 42
KẾT LUẬN CHƢƠNG 3 ............................................................................... 44
CHƢƠNG 4: TÍNH TỐN – SO SÁNH BẰNG PHƢƠNG PHÁP SỐ ............. 45
4.1. Tính tốn số với mơ hình hình vng ...................................................... 46
4.2. Tính tốn số với mơ hình lục giác đều ..................................................... 54
KẾT LUẬN CHƢƠNG 4 ............................................................................... 61
KẾT LUẬN ....................................................................................................... 62
TÀI LIỆU THAM KHẢO.................................................................................. 63


5

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ
Hình

Nội dung

Trang

1.1

Mơ hình vật liệu tựa đối xứng ba pha …………………………….

7

1.2

Phần tử tuần hồn trong mơ hình ba chiều…………………………

7

2.1

Một mơ hình vât liệu đàn hồi đẳng hƣớng tuần hồn hai pha
cốt liệu hình elip…………………………………………………...

16

2.2

Một mơ hình vât liệu hai pha đàn hồi đẳng hƣớng tuần hoàn
với cốt liệu hình trịn……………………………………………..

24

3.1

Mơ hình các phần tử hữu hạn đơn giản……………………………

30

3.2

Dạng nội suy của các hàm xấp xỉ theo phƣơng pháp Lagrange……

33

3.3

Chọn dạng đa thức theo tam giác pascal…………………………..

36

4.1

Mô hình tính tốn phƣơng pháp số…………………………………

44

4.2

Mơ hình vật liệu tuần hồn cốt liệu elip phân bố hình vng

47

4.3

..…………………..
Phân tố tính tốn cốt liệu elip mơ hình vng

47

4.4

Mơ hình vật liệu tính tốn tƣơng đƣơng hình vng

47

4.5

Chia lƣới mơ hình vật liệu vuông

48

4.6

Biểu đồ Ceff – vI khi KM = 10; KI = 1 ; μM = 2 ; μI = 0.4 mơ hình
vng
vng……………………………………………………………..

4.7
4.8
4.9

50

Biểu đồ Ceff – vI khi KM = 1; KI = 10 ; μM = 2 ; μI = 0.4 mơ hình

vng
vng……………………………………………………………..

51

Biểu đồ Ceff – vI khi KM = 10; KI = 1 ; μM = 0.4 ; μI = 2 mơ hình
lục giác đều
vng…………………………………………………………..

52

Biểu đồ Ceff – vI khi KM = 1; KI = 10; μM = 0,4 ; μI = 2 mơ hình
giác
đều
vng…..……………………………………………………….

53

4.10 Mơ hình vật liệu tuần hồn cốt liệu elip phân bố hình lục giác đều
4.11 Phân tố tính tốn cốt liệu elip mơ hình lục giác đều

54

4.12 Mơ hình vật liệu tính tốn tƣơng đƣơng hình lục giác đều

55

4.13 Chia lƣới mơ hình vật liệu lục giác đều

56

54

4.14 Biểu đồ Ceff – vI khi KM = 10; KI = 1 ; μM = 2 ; μI = 0.4 mơ hình
vng
lục giác đều ………………………………………………………..

57


6

4.15 Biểu đồ Ceff – vI khi KM = 1; KI = 10 ; μM = 2 ; μI = 0.4 mơ hình
vng
lục
giác đều ………………………………………………………..

58

4.16 Biểu đồ Ceff – vI khi KM = 10; KI = 1 ; μM = 0.4 ; μI = 2 mơ hình
lục giác đều ………………………………………………………..

59

4.17 Biểu đồ Ceff – vI khi KM = 1; KI = 10; μM = 0,4 ; μI = 2 mô hình
giác
đềuđều ..……………………………………………………….
lục giác

60

7

CHƢƠNG I. TỔNG QUAN
Một số lớn các vật liệu đang sử dụng hiện nay đƣợc tạo ra từ nhiều thành
phần vật liệu khác nhau nhằm phục vụ cho các đòi hỏi trong nhiều lĩnh vực của
đời sống con ngƣời.
Trong luận văn này chúng tôi xây dựng mối quan hệ giữa các tính chất đàn
hồi vĩ mơ của vật liệu đàn hồi khơng đồng nhất và tính chất các thành phần vi mơ
với các hình học vi mơ khác nhau. Việc nghiên cứu các mối quan hệ này là cần
thiết và có ý nghĩa thực tiễn vì nó giúp giải thích đƣợc mối quan hệ giữa tính chất
vĩ mơ của vật liệu với tính chất các thành phần cấu thành và hình học vi mơ, giúp
thiết kế vật liệu với các tính chất vĩ mơ theo u cầu.
Trong chƣơng này, chúng tôi muốn giới thiệu đến bạn đọc tổng quan về vật
liệu đàn hồi khơng đồng nhất, các tính chất đàn hồi vi mô và vĩ mô của loại vật
liệu này, cùng với đó là phƣơng pháp nghiên cứu để đạt đƣợc kết quả đề ra.
1.1.

Mở đầu về vật liệu đàn hồi không đồng nhất

Các loại vật liệu không đồng nhất (vật liệu tổ hợp) tuy đƣợc cấu tạo vi mô từ
các thành phần vật liệu khác nhau nhƣng về mặt vĩ mơ đƣợc coi là đồng nhất và có
các tính chất đàn hồi vĩ mơ nói chung khác với tính chất các thành phần cấu thành.
Các cấu trúc vi mô đƣợc coi là đủ lớn so với kích thƣớc phân tử để có thể đƣợc
xem nhƣ là mơi trƣờng liên tục. Các trƣờng nội lực và chuyển vị là liên tục trên
các mặt ngăn cách giữa các pha. Khi các thành phần cấu thành phân bố không
thiên hƣớng hỗn độn trong khơng gian ta có vật liệu tổ hợp đẳng hƣớng vĩ mô. Ở
đây chúng ta cũng giới hạn với giả thiết các vật liệu thành phần là đẳng hƣớng.
Việc xác định cơ lý tính vĩ mơ (macroscopic) (cịn đƣợc gọi là hữu hiệu, hiệu quả,

hiệu dụng (effective ) hay tổng thể (overall moduli)) của vật liệu không đồng nhất
là một vấn đề cơ bản của khoa học vật liệu, các tính chất này phụ thuộc phức tạp
vào tính chất các thành phần cấu thành cũng nhƣ hình học vi mô của vật liệu. Nội
dung đƣợc tham khảo [1], [2], [3], [5], [6], [8], [19], [23], [42].


8

Hình 1.1: Mơ hình vật liệu tựa đối xứng ba pha
Xét phần tử đặc trƣng V của vật liệu tổ hợp (RVE) . Phần tử đặc trƣng này
phải đủ lớn so với cấu trúc vi mơ để có thể đƣợc coi thực sự đại diện cho vật liệu
đƣợc xem xét nhƣng phải đủ nhỏ so với kích thƣớc vĩ mơ của vật thể đem sử
dụng (và cả độ dài bƣớc sóng trong trƣờng hợp bài tốn động) để việc xác định
tính chất vĩ mơ thực sự có ý nghĩa. Phần tử đặc trƣng V đƣợc cấu thành bởi n
thành phần chiếm chiếm các khơng gian Vα V và có các hệ số đàn hồi k ,  ;
α=1… n; vα là kí hiệu hệ số thể tích của V trong V ( thể tích của V đƣợc coi là
1). Phần tử đặc trƣng V đƣợc gắn với hệ tọa độ Đề các vng góc {x1, x2, x3}.

Hình 1.2: Phần tử tuần hồn trong mơ hình 3 chiều
(từ trái qua phải: lập phương đơn giản, lập phương tâm khối và lập phương tâm mặt)

Trong điều kiện chịu lực của vật thể , trƣờng ứng suất σ(x) ( là ten xơ ứng
suất bậc 2 với các thành phần ζij ) cần phải thỏa mãn phƣơng trình cân bằng :

 σ(x)  0, x V

(1.1)

( đƣợc hiểu một cách tự nhiên là bao gồm cả các điều kiện cân bằng trên mặt
ngăn cách giữa các pha), và quan hệ với trƣờng biến dạng ε(x) thông qua định

luật Hook :


9

σ(x)  C(x) : ε(x), x V
( ijkl  Cijkl . kl )

(1.2)

Tổng trong dấu ngoặc lấy theo các chỉ số latin lặp lại từ 1 tới 3; Các thành phần
εij của ten xơ biến dạng

ε đƣợc biểu diễn tuyến tính qua các thành phần ui

của

véc tơ chuyển vị u liên tục trên V:

1
2

 ij  (ui , j  u j ,i )

(1.3)

Chỉ số Latin sau dấu phảy ký hiệu phép vi phân với tọa độ Đề các tƣơng ứng;

C(x)   C 


[Cijkl (x)   Cijkl (x)]

  ( x) 



(1.4)



1 nêu x V
0 nêu x R 3 \V

Chỉ số Hy Lạp dƣới dấu tổng chạy từ 1 tới n ; Cα là các ten xơ đàn hồi đẳng
hƣớng bậc 4 với các thành phần trong không gian d chiều:
Cijkl  Tijkl (k ,  )  k  ij kl   ( ik jl   il jk 

d 1
 ij kl )
d



[C  T(k ,  )],

(1.5)

δij là ký hiệu Krônecker thông thƣờng.
Giá trị trung bình của ứng suất và biến dạng trên miền V đƣợc xác định nhƣ

sau:

σ   σdx,

ε   εdx,

V

V

(1.6)

Quan hệ giữa các giá trị trung bình của ứng suất và biến dạng trên V của vật
liệu tổ hợp đẳng hƣớng đƣợc thể hiện thông qua ten xơ đàn hồi vĩ mô Ceff:

σ = Ceff : ε , Ceff  T(k eff ,  eff )

(1.7)

Một khi giá trị của ε(x) và σ(x) trên V đã đƣợc xác định, từ (1.7) ta có
keff, μeff. Các phƣơng trình và quan hệ (1.1) - (1.3) chƣa đủ để xác định ε(x) và

σ(x) , còn cần điều kiện trên biên

V của V. Chú ý rằng phần tử V là nhỏ so với

kích thƣớc vĩ mô của vật thể chịu lực , điều kiện biên đồng nhất cho chuyển vị
đƣợc kiến nghị :

u  ε0  x

(ui   ij0 x j ) trên V, ε0 =const

(1.8)


10

Thay cho (1.8) ta cũng có thể lấy điều kiện biên lực đồng nhất:

σ  n  σ0  n

trên V, σ0 =const

(1.9)

n là véc tơ đơn vị vng góc trên biên V
Bên cạnh việc xác định hệ số đàn hồi vĩ mô thông qua việc giải trực tiếp các
phƣơng trình của cơ học mơi trƣờng liên tục nhƣ đã trình bày ở trên ( gọi tắt là
Đƣờng hƣớng giải phƣơng trình), ta cịn có thể đi bằng cách khác thơng qua việc
tìm cực trị của các phiếm hàm năng lƣợng trên V ( gọi tắt là Đƣờng hƣớng năng
lƣợng hay Đƣờng hƣớng biến phân), chẳng hạn :

ε 0 : Ceff : ε 0  inf  ε : C : εdx
V

( .C .  inf   ij .Cijkl . kl dx)
0
ij

eff
ijkl

0
kl

(1.10)

V

Trong đó ten xơ biến dạng ε biểu diễn qua véc tơ chuyển vị u bởi (1.3), còn u thì
thỏa mãn điều kiện biên đồng nhất (1.8).
Có thể chỉ ra rằng điểm cực trị của (1.10) với ràng buộc (1.3),(1.8) cũng sẽ
thỏa mãn phƣơng trình cân bằng (1.1).
Một cách khác - thay cho điều kiện biên đồng nhất đối với chuyển vị (1.8) ta
có thể lấy ràng buộc trung bình biến dạng trên V

σ  ε0

(1.11)

Có thể chỉ ra rằng điểm cực trị của (1.10) với ràng buộc (1.3), (1.11) sẽ thỏa
mãn phƣơng trình cân bằng (1.1) trong khi trƣờng lực tƣơng ứng là đồng nhất
trên biên V (theo cách hiểu (1.9)).
Ceff cũng có thể đƣợc xác định từ nguyên lý biến phân đối ngẫu của (1.10):

σ 0 : (Ceff )1 : σ 0  inf  σ : C1 : σdx

(1.12)

V

Trong đó: ten xơ ứng suất thỏa mãn phƣơng trình cân bằng (1.1) và điều kiện
biên đồng nhất (1.9).
Có thể chỉ ra rằng điểm cực trị của (1.12) với ràng buộc (1.1) , (1.9) sẽ
thỏa mãn các phƣơng trình tƣơng thích biến dạng (nghĩa là với (1.2) tồn tại quan
hệ (1.3)).
Một cách khác - thay cho điều kiện biên đồng nhất (1.9) ta có thể lấy ràng
buộc trung bình ứng suất trên V

 σ  σ0

(1.13)


11

Có thể chỉ ra rằng điểm cực trị của (1.12) với ràng buộc (1.1) , (1.13) sẽ
thỏa mãn các phƣơng trình tƣơng thích biến dạng (Với (1.2) tồn tại (1.3)) trong
khi trƣờng chuyển vị tƣơng ứng là đồng nhất trên biên V .
Trong các điều kiện làm việc của vật thể, các trƣờng chuyển vị và ứng
suất thực nói chung khơng thỏa mãn chính xác các điều kiện biên đồng nhất nhƣ
(1.8) và (1.9) cho dù V là nhỏ so với các kích thƣớc vĩ mơ của vật thể mà
thay đổi dao động xung quanh các giá trị này do cấu trúc vi mô không đồng nhất
của V, tuy nhiên các nhiễu này chỉ có ảnh hƣởng ở các vùng gần biên V giống
nhƣ nội dung của nguyên lý Cent Venant (để tính Ceff - trong khi đó - ta cần
tổng tích phân các giá trị của trƣờng trên tồn V). Cũng giống nhƣ vậy các
trƣờng ứng suất và biến dạng đƣợc xác định bởi (1.1) - (1.3), (1.8); hay (1.1) (1.3), (1.9); hay (1.1), (1.3), (1.8); hay (1.1), ( 1.3), ( 1.11); hay (1.12), ( 1.1), (
1.9); hay (1.12), ( 1.1), ( 1.13) nói chung khơng trùng nhau. Giả thiết xuất phát
của chúng ta là các định nghĩa đó đều cho các mô đun vĩ mô Ceff trùng nhau về

mặt tiệm cận khi kích thƣớc V đủ lớn so với các kích thƣớc vi mơ; Ceff cũng cần
phải khơng phụ thuộc vào việc chọn phần tử đặc trƣng cụ thể V của vật liệu cũng
nhƣ hình dạng của V với điều kiện các kích thƣớc của V đều lớn hơn nhiều so với
các kích thƣớc vi mơ. Do vậy V có thể đƣợc lấy là hình cầu hay khối lập
phƣơng... thuận tiện cho phƣơng pháp toán học áp dụng. Các tính chất khác của
vật liệu tổ hợp nhƣ hệ số dẫn đƣợc xem xét tƣơng tự.
1.2. Một số đánh giá cho hệ số đàn hồi vĩ mô của vật liệu đàn hồi không
đồng nhất
Những nghiên cứu đầu tiên về tính chất của vật liệu khơng đồng nhất đƣợc
thực hiện ở cuối thế kỉ 19 – đầu thế kỉ 20 bởi các nhà khoa học hàng đầu của thời
kì đó. Theo đó, họ xác định các hệ số đàn hồi vĩ mô của vật liệu không đồng nhất
bằng cách đƣa ra các đánh giá trên và dƣới cho giá trị của các hệ số này. Nói cách
khác, họ đƣa ra một khoảng giá trị giữa cận trên và cận dƣới của chúng.
Vào năm 1928, Voight [39] đã đƣa ra các cơng thức trung bình cộng số học
để tính xấp xỉ các tính chất vĩ mơ của vật liệu đàn hồi tổ hợp đẳng hƣớng:
n

k eff   v k
 1



n

eff

  v 
 1

(1.14)

12

Reuss [36] đã chỉ ra rằng trong một số các trƣờng hợp thì cơng thức trung
bình cộng điều hịa cho đƣợc kết quả xấp xỉ tốt hơn:

k

eff

 eff

 n

   v k 
  1


1

 n

   v  
  1


(1.15)

1

Xuất phát từ các nguyên lý biến phân đã nói ở trên và chọn các trƣờng khả dĩ
hằng số, Hill [15], và Paul [24] đã chứng minh đƣợc rằng các tính chất vĩ mơ của
vật liệu tổ hợp đẳng hƣớng dù hình học pha nhƣ thế nào luôn nằm ở giữa các giá
trị (1.14) và (1.15). Cụ thể, đánh giá Hill- Paul có thể đƣợc viết nhƣ sau:
1

n
 n

eff
  v k   k   v k
 1
  1


(1.16)

1

n
 n

eff
v




v 


   
 1
  1


Vào năm 1962 và 1963, Hashin và Shtrikman (trong [11], [12], [13], [14]) đã
đƣa vào các trƣờng khả dĩ phân cực (polarization fiels) và có các giá trị trung bình
khác nhau trên các pha khác nhau, các ơng đã xây dựng thành công đánh giá mới
tốt hơn đánh giá Hill- Paul:
Với d là số chiều của bài toán. Công thức tổng quát đƣợc viết nhƣ sau:
 2(d  1)

 2(d  1)

Pk 
min   k eff  Pk 
max 
 d

 d


(1.17)

1



v

Pk  k*        k*
  k  k* 

min  min  |   1,..., n, max  max  |   1,..., n
P  * (kmin , min    eff  P  * (kmax , max 
1


v 
P  *    
  * ,
    * 

* (k0 , 0 )  0

(1.18)

d 2 k0  2(d  1)(d  2) 0
2dk0  4d 0

kmin  min k |   1,..., n, kmax  max k |   1,..., n

Đánh giá Hashin- Strickman (HS) đúng cho vật liệu tổ hợp đẳng hƣớng bất
kỳ (bất kể hình học pha nhƣ thế nào) với tỷ lệ thể tích vα và tính chất đàn hồi các


13

thành phần Cα đƣợc cho trƣớc - và đƣợc coi là một trong những thành tựu nổi bật
của cơ học các vật liệu tổ hợp.

Các đánh giá hẹp hơn đánh giá HS có chứa thêm các thơng tin bậc cao về
hình học pha của vật liệu đã đƣợc xây dựng bởi các tác giả khác nhau, nhƣ Beran
(xem [6]), Milton và Phan-Thiện [35], Pham ([28], [31]), Miller [18], Milton
[19], Torquato [37]…..
1.3. Một số phƣơng pháp xấp xỉ hệ số đàn hồi vĩ mô của vật liệu đàn hồi
không đồng nhất
Phƣơng pháp xấp xỉ là một cách tiếp cận khác để xác định các tính chất vĩ
mơ của vật liệu khơng đồng nhất. Phƣơng pháp này xây dựng các công thức gần
đúng để xác định các tính chất vĩ mơ đó. Công thức xấp xỉ thô hay đƣợc sử dụng
nhiều nhất cho vật liệu n thành phần là trung bình cộng số học Voight và trung
bình cộng điều hịa Reuss ( nhƣ đã trình bày ở trên). Tuy nhiên khi tính chất các
pha khác nhau nhiều các cơng thức đó rõ ràng là q thơ. Hiện nay có một số
phƣơng pháp xấp xỉ hay đƣợc dùng có độ chính xác cao hơn xấp xỉ Voight và
Reuss nhƣ xấp xỉ Maxwell, xấp xỉ vi phân, xấp xỉ Mori – Tanaka…(theo [8]).
Xem xét một phần tử đại diện (representative volume element - RVE) của
vật liệu đẳng hƣớng có n thành phần cốt liệu, chiếm chỗ một vùng cầu có thể tích
V trong khơng gian. Tâm của hình cầu là tâm hệ tọa độ Đề-các. RVE đƣợc tạo
bởi n thành phần, chiếm một vùng thể tích V với tỷ lệ thể tích v = V / V và có
các tính chất đàn hồi C (  =1…n; trong đó thể tích V giả thiết là 1). Đặt các tính
chất đàn hồi của cốt liệu (inclusion) là CI ( tƣơng ứng kIα, μIα) và của vật liệu nền
(matrix) là CM ( tƣơng ứng kM, μM).
Xấp xỉ Maxwell (Maxwell Approximations -MA) (trong [37]) đƣợc ứng
dụng cho vật liệu hai pha, với pha cốt liêu I ( có tỷ lệ thể tích vI ) và pha nền M(
có tỷ lệ thể tích vM ). Trong đó hệ số đàn hồi thể tích KMA và mơ đun trƣợt đàn hồi
μMA phù hợp với mơ hình quả cầu lồng nhau của Hashin và đánh giá của Hashin –
Shtrikman.
1

k eff
k*M

 vI
vM 
 kMA  

  k*M
k

k
k

k
*M
I
*M 
 I
2(d  1)

M
d

(1.19)


14
1



eff

*M



vI
vM
  MA  

  *M






*M
I
*M 
 I
2
d K M  2(d  1)(d  2)  M
 M
2dK M  4d M

(1.20)

Xấp xỉ vi phân ( Differential approximations - DA) (theo [8], [21], [34]) ứng
dụng với vật liệu n+1 pha với các pha cốt liệu pha cốt liêu Iα ( có tỷ lệ thể tích vIα )
và pha nền M ( có tỷ lệ thể tích vM ). Đặt Keff = KDA = K; μeff = μDA = μ là lời giải

của hệ phƣơng trình vi phân:
dK
1 n

 vI ( K I  K )DK ( K I , I , K ,  ),
dt 1  vI t  1
d
1 n

 vI (I   )DM ( K I , I , K ,  ),
dt 1  vI t  1
K (0)  K M ,

 (0)   M ,

(1.21)

0  t  1,

DKα, DMα xác định theo 6.31 [8].
Xấp xỉ Mori – Tanaka (Mori Tanaka Approximation - MTA) (theo [8], [9],
[20], [22]) là một trong những phƣơng pháp xấp xỉ tốt và hay đƣợc dùng hiện nay.
Công thức của xấp xỉ này đƣợc phát biểu:

CMTA  CM  vI (CI  CM ) :{vM [I  P : CM1 : (CI  CM )]  vI I}1

(1.22)

Trong đó, I là tensor đơn vị, P là tensor Eshelby đƣợc xác định theo công thức
6.56[8].

1.4. Các phƣơng pháp số trong đồng nhất hóa vật liệu khơng đồng nhất
Hiện nay, phƣơng pháp số với sự hỗ trợ của máy vi tính đang ngày càng đƣợc
ứng dụng nhiều trong tính tốn cơ học. Sử dụng phƣơng pháp số, ta có thể tính
tốn đƣợc các bài tốn phức tạp với khối lƣợng tính tốn lớn, độ chính xác cao mà
bình thƣờng con ngƣời khơng làm đƣợc.
Các phƣơng pháp số đƣợc sử dụng trong bài tốn đồng nhất hóa vật liệu là
phƣơng pháp phần tử hữu hạn (FEM) và phƣơng pháp biến đổi Fourier(FFT).
Trong luận văn này, chúng tôi sử dụng phƣơng pháp số với cơ sở là phƣơng pháp
phần tử hữu hạn, lập trình trên phần mềm Matlab (tham khảo [37], [39]).


15

1.5. Phƣơng pháp nghiên cứu và bố cục luận văn
Trong luận văn này, chúng tơi đi theo hƣớng tính tốn cụ thể giá trị các hệ số
đàn hồi vĩ mô của vật liệu đẳng hƣớng không đồng nhất bằng phƣơng pháp xấp xỉ
và tính tốn số dựa vào phƣơng pháp phần tử hữu hạn và các phần mềm Matlab Ansys, áp dụng cho mơ hình vật liệu hai pha với cốt liệu elip phân bố thƣa, trong
không gian hai chiều. Từ đó, chúng tơi tính tốn giá trị hệ số đàn hồi vĩ mơ của vật
liệu cốt liệu trịn trong mơ hình tƣơng đƣơng, nhằm đơn giản hóa bài tốn so với
mơ hình cốt liệu elip.
Bố cục luận văn đƣợc chia làm bốn chƣơng:
Chƣơng 1. Tổng quan.
Chƣơng 2. Hệ số đàn hồi của cốt liệu tròn trong vật liệu đẳng hƣớng tƣơng đƣơng
vật liệu cốt liệu elip
Chƣơng 3. Phƣơng pháp phần tử hữu hạn trong đồng nhất hóa vật liệu đàn hồi
khơng đồng nhất.
Chƣơng 4. Tính tốn – so sánh bằng phƣơng pháp số
Ngoài 4 chƣơng đƣợc nêu trên, luận văn còn gồm các phần:
- Kết Luận: nêu các kết quả luận văn đạt đƣợc, các ứng dụng và ý nghĩa của
luận văn cũng nhƣ đề xuất thêm hƣớng nghiên cứu mới trong thời gian tới.

- Tài Liệu Tham Khảo.
KẾT LUẬN CHƢƠNG 1
Vật liệu đàn hồi không đồng nhất hay còn gọi là vật liệu đàn hồi tổ hợp là
loại vật liệu đƣợc dùng nhiều hiện nay. Chƣơng 1 này đã nêu tổng quan về các
tính chất cơ lý của loại vật liệu này đƣợc thể hiện qua các hệ số đàn hồi, và các
phƣơng pháp đồng nhất hóa vật liệu đàn hồi không đồng nhất qua việc xác định hệ
số đàn hồi vĩ mô của vật liệu, cơ bản là phƣơng pháp đánh giá ( theo cận trên và
dƣới), phƣơng pháp xấp xỉ và phƣơng pháp số. Từ đó, ngƣời đọc có thể hiểu đƣợc
nội dung của luận văn, kể cả những ngƣời khơng có chun mơn sâu về cơ học vật
rắn biến dạng. Đồng thời chƣơng này nêu mục tiêu, đƣờng lối và phƣơng pháp
nghiên cứu của luận văn.


16

CHƢƠNG 2: HỆ SỐ ĐÀN HỒI CỦA CỐT LIỆU TRÕN TRONG VẬT
LIỆU ĐẲNG HƢỚNG TƢƠNG ĐƢƠNG VẬT LIỆU CỐT LIỆU ELIP
Ở chƣơng 2 này, chúng tơi sẽ tính tốn đƣa ra cơng thức tính hệ số đàn hồi vĩ
mơ cho vật liệu đàn hồi không đồng nhất cốt liệu elip theo phƣơng pháp xấp xỉ.
Từ đó tơi đƣa ra cơng thức xác định hệ số đàn hồi cốt liệu tròn trong mơ hình
tƣơng đƣơng thơng qua so sánh cốt liệu phân bố thƣa. Các kết quả tính sẽ đƣợc
kiểm tra - so sánh bằng phƣơng pháp số và các cận trên, dƣới theo đánh giá
Hashin – Strikman ở chƣơng 4.
Trong trƣờng hợp tổng quát, vật liệu đàn hồi có tất cả 21 hệ số đàn hồi độc
lập. Còn trong trƣờng hợp đàn hồi đẳng hƣớng, có hai hệ số đàn hồi độc lập. Hai
hệ số này thƣờng đi theo cặp với nhau, đặc trƣng cho các tính chất trong các
trƣờng hợp làm việc cụ thể của vật liệu. Với nội dung nghiên cứu của luận văn là
về hệ số đàn hồi của vật liệu đàn hồi đẳng hƣớng, trong luận văn này tôi chọn hai
hệ số độc lập là hệ số đàn hồi thể tích K, liên hệ áp lực thủy tĩnh và biến dạng thể
tích, và mơ đun trƣợt μ, liên hệ biến dạng trƣợt và ứng suất trƣợt.

2.1. Một số xấp xỉ đơn giản cho vật liệu đàn hồi đẳng hƣớng dạng nền + cốt
liệu tròn
Pham, Tran va Do [27] xuất phát từ các đánh giá bậc ba của Pham [31] đã
xây dựng xấp xỉ phân cực cho các hệ số đàn hồi vật liệu dạng nền + cốt liệu đẳng
hƣớng với các cốt liệu cầu – tròn từ n-1 pha khác nhau Iα (α = 2,3,…,n) trong pha
nền M (hay pha 1).
1

k eff

 n

v
2(d  1)
 
M
  k*M , k*M 
k

k
d
  1  *M 



 n

v
d 2 K M  2(d  1)(d  2)  M
 



,




*M
*M
M
2dK M  4d  M
  1   *M 

1

eff

(2.1)

Trong trƣờng hợp hai pha, biểu thức trên đƣa tới xấp xỉ Maxwell trong (1.19) và
(1.20). Có thể tham khảo thêm về xấp xỉ phân cực theo [1].
Ngồi ra, cịn có các xấp xỉ đơn giản khác cho vật liệu cốt liệu tròn nhƣ xấp
xỉ vi phân ( xem Norris [21], Pham [26]), xấp xỉ bậc ba (xem Pham [28])…


17

2.2. Tính tốn hệ số đàn hồi vĩ mơ cho vật liệu đàn hồi không đồng nhất
đẳng hƣớng hai pha có cốt liệu elip phân bố thƣa

Hình 2.1. Một mơ hình vât liệu đàn hồi đẳng hướng tuần hồn hai pha với
cốt liệu hình elip

Đối với vật liệu đàn hồi không đồng nhất hai pha cốt liệu elip phân bố thƣa,
hệ số đàn hồi vĩ mô Ceff trong trƣờng hợp tổng qt đƣợc tính theo cơng thức
(6.64) [8]:
Ceff  CM  2vI (CI  CM ) : D0

(vI

1)

(2.2)

Trong đó:
CM: Hệ số đàn hồi pha nền
CI : Hệ số đàn hồi pha cốt liệu
vI : Hệ số tỷ lệ diện tích pha cốt liệu
D0 đƣợc tính theo cơng thức (6.65) [8]:
D0  [I  P : CM1 : (CI  CM )]1

(2.3)

Ở đây:
I: là tensor đơn vị bậc bốn
P: là tensor Eshelby (xem [8], [9]). Đối với vật liệu có cốt liệu elip trong trƣờng
hợp 2D, P đƣợc tính theo cơng thức 6.56 [8] nhƣ sau:


18

KM
P1111 
K M  M
P2222

 a22  2a1.a2 M
a2 

.


2
K M a1  a2 
 (a1  a2 )

K M  a12  2a1.a2 M
a1 


.


K M  M  (a1  a2 )2 K M a1  a2 

KM
K M  M


a22


a 
 M . 2 

2
 (a1  a2 ) K M a1  a2 

KM
P2211 
K M  M


a12

a 
 M . 1 

2
K M a1  a2 
 (a1  a2 )

P1122 

P1212

KM

K M  M

(2.4)

 a12  a22
 
 M 

2
 2(a1  a2 ) 2 K M 

Với a1, a2 là các bán trục của elip.
Cơng thức tính hệ số đàn hồi của vật liệu đẳng hƣớng theo K và μ:
Cijkl  K ij kl   ( ik jl   il jk   ij kl )
(C 1 )ijkl 

1
1
 ij kl 
( ik jl   il jk   ij kl )
4K
4

(2.5)

Xét vật liệu hai pha gồm pha nền M và pha cốt liệu (inclusion) I có dạng
elip. Khi đó, hệ số đàn hồi của pha nền M có dạng:

(CM )ijkl  K M  ij kl  M ( ik jl   il jk   ij kl )
(CM1 )ijkl 

1
1

 ij kl 
( ik jl   il jk   ij kl )
4KM
4M

(2.6)

Do vật liệu đang xét là vật liệu 2D, P chỉ bao gồm P1111, P2222, P1212, P2211,
P1122 nên ta cũng chỉ tính các giá trị CM tƣơng ứng với các chỉ số trên, nhƣ sau:
(CM )1111  (CM ) 2222  K M   M
(CM1 )1111  (CM1 ) 2222 

1
1

4 K M 4M

(CM )1122  (CM ) 2211  K M   M
(CM1 )1122  (CM1 ) 2211 

(2.7)

1
1

4 K M 4M

(CM )1212  (CM ) 2121   M ;(CM1 )1212  (CM1 ) 2121 

1

4M

Với pha cốt liệu I ta tính hồn tồn tƣơng tự, chỉ thay chỉ số M bằng I.
- Tính biểu thức: D0  [I  P : CM1 : (CI  CM )]1
Đầu tiên ta tính A  P : CM1


19

Kết quả theo chỉ số:
A1111  P1111.(CM1 )1111  P1122 .(CM1 ) 2211  P1111 (

1
1
1
1

)  P1122 (

)
4 K M 4M
4 K M 4M

A1122  P1111.(CM1 )1122  P1122 .(CM1 ) 2222  P1111 (

1
1
1
1


)  P1122 (

)
4 K M 4M
4 K M 4M

A2211  P2211.(CM1 )1111  P2222 .(CM1 ) 2211  P2211 (

1
1
1
1

)  P2222 (

) (2.8)
4 K M 4M
4 K M 4M

A2222  P2211.(CM1 )1122  P2222 .(CM1 ) 2222  P2211 (

1
1
1
1

)  P2222 (

)
4 K M 4M

4 K M 4M

A1212  P1212 .(CM1 )1212  P1221.(CM1 ) 2112  2 P1212 .

1
4M

Các giá trị có chỉ số khác của A bằng 0, do các giá trị có chỉ số tƣơng ứng
của P bằng 0.
Đặt B  CI  CM , khi đó:

B1111  B2222  (CI )1111  (CM )1111  (CI ) 2222  (CM ) 2222  K I   I  K M  M
B1122  B2211  (CI )1122  (CM )1122  (CI ) 2211  (CM ) 2211  K I   I  K M  M (2.9)
B1212  (CI )1212  (CM )1212   I  M
Nhƣ vậy: P : CM1 : (CI  CM )  A : B  E

(2.10)

Giá trị theo chỉ số:
E1111  A1111.B1111  A1122 .B2211

1
1
1
1 
  P1111 (

)  P1122 (

)  .( K I   I  K M   M )

4 K M 4M
4 K M 4M 


1
1
1
1 
  P1111 (

)  P1122 (

)  .( K I   I  K M   M )
4 K M 4M
4 K M 4M 

P
P
P
P
1
1
1
1
 2 P1111
.K I  2 P1122
.K I  2 P1111
. I  2 P1122
. I  1111  1122  1111  1122
4KM

4KM
4M
4M
2
2
2
2


KI

( P1111  P1122 )  I ( P1111  P1122 )  P1111
2KM
2M


20

E1122  A1111.B1122  A1122 .B2222

1
1
1
1 
  P1111 (

)  P1122 (

)  .( K I   I  K M   M )
4 K M 4M

4 K M 4M 


1
1
1
1 
  P1111 (

)  P1122 (

)  .( K I   I  K M   M )
4
K
4

4
K
4

M
M
M
M 

P
P
P
P
1

1
1
1
 2 P1111
.K I  2 P1122
.K I  2 P1111
. I  2 P1122
. I  1111  1122  1111  1122
4KM
4KM
4M
4M
2
2
2
2


KI

( P1111  P1122 )  I ( P1111  P1122 )  P1122
2KM
2M

E2211  A2211.B1111  A2222 .B2211

1
1
1
1 

  P2211 (

)  P2222 (

)  .( K I   I  K M   M )
4 K M 4M
4 K M 4M 


1
1
1
1 
  P2211 (

)  P2222 (

)  .( K I   I  K M   M )
4 K M 4M
4 K M 4M 

P
P
P
P
1
1
1
1
 2 P2211

.K I  2 P2222
.K I  2 P2211
. I  2 P2222
. I  2211  2222  2211  2222
4K M
4K M
4M
4M
2
2
2
2


KI

( P2211  P2222 )  I ( P2211  P2222 )  P2211
2KM
2M

E2222  A2211.B1122  A2222 .B2222

1
1
1
1 
  P2211 (

)  P2222 (


)  .( K I   I  K M   M )
4 K M 4M
4 K M 4M 


1
1
1
1 
  P2211 (

)  P2222 (

)  .( K I   I  K M   M )
4 K M 4M
4 K M 4M 

P
P
P
P
1
1
1
1
 2 P2211
.K I  2 P2222
.K I  2 P2211
. I  2 P2222
. I  2211  2222  2211  2222

4K M
4K M
4M
4M
2
2
2
2


KI

( P2211  P2222 )  I ( P2211  P2222 )  P2222
2KM
2M

E1212  A1212 .B1212  A1221.B2112  2 A1212 .B1212  4P1212 .

Tensor đơn vị I đƣợc tính: Iijkl 

1
4M

(  I  M ) 

I
P P
M 1212 1212

 ik jl   il jk

2
1
2

Từ đó ta tính đƣợc: I1111  I 2222  1; I1212  I 2121  , giá trị các số hạng ứng với
các chỉ số còn lại bằng 0.
Đặt D  I  P : CM1 : (CI  CM ) ta có giá trị D theo chỉ số nhƣ sau:


21

D1111  E1111  1 

KI

( P1111  P1122 )  I ( P1111  P1122 )  P1111  1
2KM
2M

D1122  E1122 

KI

( P1111  P1122 )  I ( P1111  P1122 )  P1122
2KM
2M

D 2211  E2211 

KI


( P2211  P2222 )  I ( P2211  P2222 )  P2211
2KM
2M

D 2222  E2222  1 
D1212  E1212 

(2.11)

KI

( P2211  P2222 )  I ( P2211  P2222 )  P2222  1
2KM
2M

1 I
1

P1212  P1212 
2 M
2

Để đơn giản hóa việc tính tốn và lấy nghịch đảo D , ta sử dụng công thức
Voigt’s Notations ( công thức (2.6), (2.7), (2.8) [8]) để chuyển các số hạng của
D từ bốn chỉ số sang dạng hai chỉ số nhƣ sau:

D1111  D11
D1122  D12
D 2211  D 21

D 2222  D 22
D1212  D 33
Để tính D0  [I  P : CM1 : (CI  CM )]1 , ta xếp các số hạng D ijkl vào ma trận 3x3
nhƣ sau và lấy nghịch đảo:

 D11

D   D 21

 0

D12
D 22
0

0 

0 

D33 

Khi đó

D 22

 D11 D 22  D12 D 21

D 21
D0  (D) 1   
 D11 D 22  D12 D 21


0



D12
D11 D 22  D12 D 21
D11
D11 D 22  D12 D 21



0


0 


0 

1 

D33 

(2.12)


22

Từ đó ta xác định đƣợc D0 ở dạng hai chỉ số và chuyển sang dạng 4 chỉ số

theo công thức Voigt’s Notations ( công thức (2.6), (2.7), (2.8) [8]) để tính
tiếp ở (2.2) :
D 22
D12
0
; D1122
 D120  
D11 D 22  D12 D 21
D11 D 22  D12 D 21
D 21
D11
0
0
0
0
D2211
 D21

; D2222
 D22

D11 D 22  D12 D 21
D11 D 22  D12 D 21
1
1
0
D1212
 D330 
4
4 D33

0
D1111
 D110 

(2.13)

Các số hạng tƣơng ứng với các chỉ số cịn lại bằng 0.
Trong đó:
D11 

KI

( P1111  P1122 )  I ( P1111  P1122 )  P1111  1
2KM
2M

D12 

KI

( P1111  P1122 )  I ( P1111  P1122 )  P1122
2KM
2M

D 21 

KI

( P2211  P2222 )  I ( P2211  P2222 )  P2211
2KM

2M

D 22 

KI

( P2211  P2222 )  I ( P2211  P2222 )  P2222  1
2KM
2M

D 33 

I
1
P1212  P1212 
M
2

(2.14)

Đặt
D*  D11 D 22  D12 D 21
 K
  K



  I ( P1111  P1122 )  I ( P1111  P1122 )  P1111  1 .  I ( P2211  P2222 )  I ( P2211  P2222 )  P2222  1
2M
2M

 2KM
  2KM

 K
  K



  I ( P1111  P1122 )  I ( P1111  P1122 )  P1122  .  I ( P2211  P2222 )  I ( P2211  P2222 )  P2211 
2M
2M
 2KM
  2KM



23
 2.


KI

KI
( P1111  P1122 ). I ( P2211  P2222 ) 
( P1111  P1122 ) P2222 
2KM
2M
2KM

KI

KI
( P1111  P1122 ) P2211 
( P1111  P1122 ) 
2KM
2KM

I
K

( P1111  P1122 ). I ( P2211  P2222 )  I ( P1111  P1122 ).P2222 
2M
2KM
2M


 I ( P1111  P1122 ).P2211  I ( P1111  P1122 )
2M
2M
KI


( P2211  P2222 ) P1111  I ( P2211  P2222 ).P1111  P2222 .P1111  P1111
2KM
2M
KI


( P2211  P2222 ) P1122  I ( P2211  P2222 ).P1122  P1122 .P2211
2KM
2M

KI


( P2211  P2222 )  I ( P2211  P2222 )  P2222  1
2KM
2M
2.

 K 
K
 
 
1 K
  I . I  I  I  .  P1111 P2222  P2211P1122    I  I  .  P1111  P2222 
2  K M M 
 K M M K M M 
 
1 K
  I  I  .  P1122  P2211   P1111P2222  P2211P1122  P1111  P2222  1
2  K M M 

(2.15)

Ta xem xét vật liệu đàn hồi đẳng hƣớng vĩ mơ với các cốt liệu hình elip
phân bố đẳng hƣớng theo các phƣơng và thực hiện trung bình hóa D0:
Ta có cơng thức trung bình hóa D0 (theo [8]) nhƣ sau:
D0

ijkl

 K D . ij kl  D ( ik jl   il jk   ij kl )

Với: K D 

0
iijj

D

4

; D 

0
Dijij


(2.16)

0
Diijj

2

4

Cụ thể:
0
Diijj

1 0
0
0
0
( D1122  D1111
 D2211
 D2222
)
4
4
D
D
D
1 D
 ( 11  22  21  12 )
4 D* D* D* D*

 I

( P1111  P1122 )  I ( P2211  P2222 )  ( P1111  P1122  P2211  P2222 )  2 

M
1 

  M
4
D*






 I

 1)  ( P1111  P1122  P2211  P2222 )  2



 M
4D *
KD 



(2.17)


24

D 

0
Dijij


0
Diijj

2  1  D0  D0  D0  D0  1 ( D0  D0  D0  D0 )
1111

2121
1212
2222
1122
1111
2211
2222 
4
4 
2






1 0
0
0
0
0
D1111  4 D1212
 D2222
 D1122
 D2211
8
D
D
D 
1 D

1
  11  22  12  21  
8  D * D * D * D *  8D33






K
 KI

( P1111  P1122 )  P1111  1  P1122  I ( P2211  P2222 )  P2222  1  P2211 

KM
1 K

  M
8
D*







1
1


 
8  I P  P  1 
  1212 1212 2 
 M

  KI


 1 ( P1111  P1122  P2211  P2222 )  2


1   KM
1






1
8
D*
I
P1212  P1212  

M
2



(2.18)

Với:
 K 
K
 
 
1 K
D *   I . I  I  I  .  P1111P2222  P2211P1122    I  I  .  P1111  P2222 
2  K M M 
 K M M K M M 
 
1 K
  I  I  .  P1122  P2211   P1111P2222  P1111  P2222  P1122 P2211  1
2  K M M 

Khi đó, hệ số đàn hồi thể tích vĩ mơ Keff và modun trƣợt vĩ mơ μeff của vật
liệu đẳng hƣớng vĩ mô cốt liệu elip phân bố thƣa đƣợc xác định theo các công
thức sau:
K eff  K M  2vI ( K I  K M ) K D

(2.19)

 eff  M  2vI (I  M )D

(2.20)

2.3. Xác định các hệ số đàn hồi của cốt liệu trịn trong mơ hình vật liệu đẳng
hƣớng tƣơng đƣơng vật liệu cốt liệu elip
Hai mơ hình vật liệu đƣợc gọi là tƣơng đƣơng khi chúng có các hệ số đàn

hồi vĩ mô bằng nhau. Trong các dạng cốt liệu của vật liệu nhiều pha, cốt liệu hình
trịn đƣợc coi là dạng cốt liệu thƣờng gặp và dễ tính tốn nhất. Do vậy, trong tính
tốn chúng tơi đƣa các dạng vật liệu có cốt liệu khác hình trịn về mơ hình tƣơng
đƣơng có cốt liệu trịn để đơn giản hóa việc tính tốn, bằng cách xác định hệ số
đàn hồi của cốt liệu trịn trong mơ hình tƣơng đƣơng với mơ hình cũ. Trong phần