(Luận án tiến sĩ) ảnh hưởng của điện tử giam cầm và phonon giam cầm lên một số tính chất quang trong các hệ bán dẫn thấp chiều luận án TS vật lý62 44 01 03

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Ễ

ẢNH HƯỞ

Ị THANH NHÀN

ỦA ĐIỆ

ẦM LÊN MỘ

Ử

ẦM VÀ PHONON

Ố TÍNH CHẤ

CÁC HỆ BÁN DẪ

Ấ

LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ

Ề


HÀ NỘ
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Ễ

ẢNH HƯỞ

Ị THANH NHÀN

ỦA ĐIỆ

ẦM LÊN MỘ

Ử

Ố TÍNH CHẤ

CÁC HỆ BÁN DẪ

Chuyên ngành
Mã số

ẦM VÀ PHONON

Ấ

Ề

ật lý Lý thuyết và Vật lý Toán


LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
ỄN QUANG BÁU

HÀ NỘ


LỜI CAM ĐOAN
Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi. Các kết quả, số
liệu, đồ thị,... được nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố
trong bất kỳ các công trình nào khác.
Tác giả luận án

Nguyễn Thị Thanh Nhàn

i


LỜI CẢM ƠN
Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc nhất đến GS. TS. Nguyễn Quang Báu,
người thầy đã hết lịng tận tụy giúp đỡ, hướng dẫn tơi trong q trình học tập,
nghiên cứu và hồn thành luận án.
Tơi xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ, hướng dẫn tận tình của các thầy, cơ
trong bộ mơn Vật lý Lý thuyết, khoa Vật lý Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Đại học Quốc gia Hà Nội.
Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu, Khoa Vật lý và Phòng Sau đại
học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội đã tạo mọi điều
kiện cho tác giả hoàn thành luận án.
Tác giả luận án

Nguyễn Thị Thanh Nhàn

ii


MỤC LỤC
Danh mục hình vẽ
Mở đầu ........................................................................................................................... 1
Chƣơng 1. Tổng quan về một số hệ bán dẫn hai chiều và một chiều. Hấp thụ
sóng điện từ yếu trong bán dẫn khối khi có mặt trƣờng bức xạ laser ..................... 8
1.1. Hệ bán dẫn hai chiều ................................................................................................ 8
1.1.1. Hố lượng tử ........................................................................................................... 8
1.1.2. Siêu mạng pha tạp ............................................................................................... 10
1.1.3. Siêu mạng hợp phần ........................................................................................... 11
1.2. Hệ bán dẫn một chiều ............................................................................................. 12
1.2.1.Dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế cao vơ hạn .............................................. 12
1.2.2. Dây lượng tử hình trụ với hố thế cao vô hạn ...................................................... 13
1.2.3. Dây lượng tử hình trụ với hố thế parabol ............................................................ 14
1.3. Hấp thụ sóng điện từ yếu trong bán dẫn khối khi có mặt trường bức xạ laser ...... 15
1.3.1. Phương trình động lượng tử và hàm phân bố của điện tử trong bán dẫn khối
khi có mặt hai sóng điện từ ........................................................................................... 15
1.3.2. Hệ số hấp thụ sóng điện từ yếukhi có mặt trường bức xạ laser trong bán dẫn
khối ................................................................................................................................ 17
Chƣơng 2. Hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong hệ bán dẫn
hai chiều khi có mặt trƣờng bức xạ laser

............................................................. 19

2.1. Hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong hố lượng tử khi có mặt
trường bức xạ laser ........................................................................................................ 19
2.1.1. Trường hợp trường bức xạ laser không biến điệu biên độ .................................. 19

2.1.1.1. Phương trình động lượng tử và hàm phân bố của điện tử trong hố lượng tử
khi có mặt hai sóng điện từ ........................................................................................... 19
2.1.1.2. Hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm khi có mặt trường bức
xạ laser không biến điệu biên độ trong hố lượng tử...................................................... 23
2.1.1.3. Kết quả tính số và thảo luận ............................................................................. 31
2.1.2.Trường hợp trường bức xạ laser biến điệu biên độ .............................................. 38

iii


2.1.2.1. Hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm khi có mặt trường bức
xạ laser biến điệu biên độ trong hố lượng tử................................................................. 39
2.1.2.2. Kết quả tính số và thảo luận ............................................................................. 41
2.2. Hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng pha tạp khi có
mặt trường bức xạ laser ................................................................................................. 46
2.2.1. Trường hợp trường bức xạ laser không biến điệu biên độ .................................. 46
2.2.1.1. Phương trình động lượng tử và hàm phân bố của điện tử trong siêu mạng
pha tạp khi có mặt hai sóng điện từ............................................................................... 46
2.2.1.2. Hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm khi có mặt trường bức
xạ laser khơng biến điệu biên độ trong siêu mạng pha tạp ........................................... 47
2.2.1.3. Kết quả tính số và thảo luận ............................................................................. 50
2.2.2.Trường hợp trường bức xạ laser biến điệu biên độ .............................................. 55
2.2.2.1. Hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm khi có mặt trường bức
xạ laser biến điệu biên độ trong siêu mạng pha tạp ...................................................... 55
2.2.2.2. Kết quả tính số và thảo luận ............................................................................. 57
2.3. Kết luận chương 2 .................................................................................................. 60
Chƣơng 3. Hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầmtrong hệ bán dẫn
một chiều khi có mặt trƣờng bức xạ laser ............................................................. 62
3.1. Hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong dây lượng tử hình chữ
nhật hố thế cao vơ hạn khi có mặt trường bức xạ laser ................................................. 62

3.1.1. Trường hợp trường bức xạ laser không biến điệu biên độ .................................. 62
3.1.1.1. Phương trình động lượng tử và hàm phân bố của điện tử trong dây lượng tử
hình chữ nhật hố thế cao vơ hạn khi có mặt hai sóng điện từ ....................................... 62
3.1.1.2. Hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm khi có mặt trường bức
xạ laser khơng biến điệu biên độ trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vơ hạn 64
3.1.1.3. Kết quả tính số và thảo luận ............................................................................. 69
3.1.2.Trường hợp trường bức xạ laser biến điệu biên độ .............................................. 73
3.1.2.1. Hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm khi có mặt trường bức
xạ laser biến điệu biên độ trong dâylượng tử hình chữ nhật hố thế cao vô hạn ........... 73

iv


3.1.2.2. Kết quả tính số và thảo luận ............................................................................. 75
3.2. Hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong dây lượng tử hình trụ hố
thế cao vơ hạn khi có mặt trường bức xạ laser.............................................................. 80
3.2.1. Trường hợp trường bức xạ laser không biến điệu biên độ .................................. 80
3.2.1.1. Phương trình động lượng tử và hàm phân bố của điện tử trong dây lượng tử
hình trụ hố thế cao vơ hạn khi có mặt hai sóng điện từ ................................................ 80
3.2.1.2. Hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm khi có mặt trường bức
xạ laser không biến điệu biên độ trong dâylượng tử hình trụ hố thế cao vơ hạn .......... 81
3.2.1.3. Kết quả tính số và thảo luận ............................................................................. 84
3.2.2.Trường hợp trường bức xạ laser biến điệu biên độ .............................................. 88
3.2.2.1. Hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm khi có mặt trường bức
xạ laser biến điệu biên độ trong dâylượng tử hình trụ hố thế cao vơ hạn ..................... 88
3.2.2.2. Kết quả tính số và thảo luận ............................................................................. 90
3.3. Kết luận chương 3 .................................................................................................. 93
Chƣơng 4. Ảnh hƣởng của sự giam cầm phonon lên hấp thụ sóng điện từ yếu
bởi điện tử giam cầm trong hệ bán dẫn hai chiều và một chiều khi có mặt
trƣờng bức xạ laser .................................................................................................... 95

4.1. Ảnh hưởng của sự giam cầm phonon lên hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử
giam cầm trong hố lượng tử khi có mặt trường bức xạ laser ........................................ 95
4.1.1. Phương trình động lượng tử và hàm phân bố của điện tử trong hố lượng tử khi
có mặt hai sóng điện từ, có kể đến sự giam cầm phonon.............................................. 95
4.1.2.Hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm khi có mặt trường bức xạ
laser trong hố lượng tử, có kể đến sự giam cầm phonon .............................................. 98
4.1.3. Kết quả tính số và thảo luận .............................................................................. 100
4.2. Ảnh hưởng của sự giam cầm phonon lên hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử
giam cầm trong siêu mạng pha tạp khi có mặt trường bức xạ laser............................ 104
4.2.1. Phương trình động lượng tử và hàm phân bố của điện tử trong siêu mạng pha
tạp khi có mặt hai sóng điện từ, có kể đến sự giam cầm phonon ............................... 104
4.2.2.Hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm khi có mặt trường bức xạ

v


laser trong siêu mạng pha tạp, có kể đến sự giam cầm phonon .................................. 106
4.2.3. Kết quả tính số và thảo luận .............................................................................. 107
4.3. Ảnh hưởng của sự giam cầm phonon lên hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam
cầm trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vơ hạn khi có mặt trường bức xạ laser . 110
4.3.1. Phương trình động lượng tử và hàm phân bố của điện tử trong dây lượng tử hình
chữ nhật hố thế cao vơ hạn khi có mặt hai sóng điện từ, có kể đến sự giam cầm phonon.. 110
4.3.2.Hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm khi có mặt trường bức xạ laser
trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vơ hạn, có kể đến sự giam cầm phonon .......... 113
4.3.3. Kết quả tính số và thảo luận .............................................................................. 115
4.4. Ảnh hưởng của sự giam cầm phonon lên hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam
cầm trong dây lượng tử hình trụ hố thế cao vơ hạn khi có mặt trường bức xạ laser ........... 118
4.4.1. Phương trình động lượng tử và hàm phân bố của điện tử trong dây lượng tử
hình trụ hố thế cao vơ hạn khi có mặt hai sóng điện từ, có kể đến sự giam cầm
phonon ......................................................................................................................... 118

4.4.2.Hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm khi có mặt trường bức xạ
laser trong dây lượng tử hình trụ hố thế cao vơ hạn, có kể đến sự giam cầm phonon ........ 120
4.4.3. Kết quả tính số và thảo luận .............................................................................. 122
4.5. Kết luận chương 4 ................................................................................................ 126
Kết luận ...................................................................................................................... 128
Danh mục các cơng trình khoa học của tác giả đã công bố liên quan đến luận án ..... 129
Tài liệu tham khảo .................................................................................................... 131
Phụ lục

vi


DANH MỤC HÌNH VẼ
Hình 2.1:

Sự phụ thuộc của  vào T

Hình 2.2:

Sự phụ thuộc của  vào 1

Hình 2.3:

Sự phụ thuộc của  vào  2

Hình 2.4:

Sự phụ thuộc của  vào E01

Hình 2.5:

Sự phụ thuộc của  vào L

Hình 2.6:

Sự phụ thuộc của  vào T

Hình 2.7:

Sự phụ thuộc của  vào 1

Hình 2.8:

Sự phụ thuộc của  vào L

Hình 2.9:

Sự phụ thuộc của  vào T

Hình 2.10: Sự phụ thuộc của  vào 
Hình 2.11: Sự phụ thuộc của  vào Ω1
Hình 2.12: Sự phụ thuộc của  vào 
Hình 2.13: Sự phụ thuộc của  vào T
Hình 2.14: Sự phụ thuộc của  vào 
Hình 2.15: Sự phụ thuộc của  vào Ω1
Hình 2.16: Sự phụ thuộc của  vào F1
Hình 2.17: Sự phụ thuộc của  vào T
Hình 2.18: Sự phụ thuộc của  vào Ω2
Hình 2.19: Sự phụ thuộc của  vào nD
Hình 2.20: Sự phụ thuộc của  vào Nd

Hình 2.21: Sự phụ thuộc của  vào T
Hình 2.22: Sự phụ thuộc của  vào E01
Hình 2.23: Sự phụ thuộc của  vào nD
Hình 2.24: Sự phụ thuộc của  vào Nd
Hình 2.25: Sự phụ thuộc của  vào Ω1
Hình 2.26: Sự phụ thuộc của  vào nD

vii


Hình 2.27: Sự phụ thuộc của  vào Nd
Hình 2.28: Sự phụ thuộc của  vào F1
Hình 2.29: Sự phụ thuộc của  vào nD
Hình 2.30: Sự phụ thuộc của  vào Nd
Hình 3.1:

Sự phụ thuộc của  vào T

Hình 3.2:

Sự phụ thuộc của  vào Ω2

Hình 3.3:

Sự phụ thuộc của  vào Lx

Hình 3.4:

Sự phụ thuộc của  vào T

Hình 3.5:

Sự phụ thuộc của  vào Lx

Hình 3.6:

Sự phụ thuộc của  vào T

Hình 3.7:

Sự phụ thuộc của  vào 

Hình 3.8:

Sự phụ thuộc của  vào Ω1

Hình 3.9:

Sự phụ thuộc của  vào 

Hình 3.10: Sự phụ thuộc của  vào T
Hình 3.11: Sự phụ thuộc của  vào F1
Hình 3.12: Sự phụ thuộc của  vào Lx
Hình 3.13: Sự phụ thuộc của  vào T
Hình 3.14: Sự phụ thuộc của  vào Ω2
Hình 3.15: Sự phụ thuộc của  vào E01
Hình 3.16: Sự phụ thuộc của  vào R
Hình 3.17: Sự phụ thuộc của  vào T
Hình 3.18: Sự phụ thuộc của  vào R
Hình 3.19: Sự phụ thuộc của  vào T

Hình 3.20: Sự phụ thuộc của  vào F1
Hình 3.21: Sự phụ thuộc của  vào T
Hình 3.22: Sự phụ thuộc của  vàoR
Hình 4.1:

Sự phụ thuộc của  vào T

Hình 4.2:

Sự phụ thuộc của  vào Ω2

viii


Hình 4.3:

Sự phụ thuộc của  vào E01

Hình 4.4:

Sự phụ thuộc của  vào L

Hình 4.5:

Sự phụ thuộc của  vào T

Hình 4.6:

Sự phụ thuộc của  vào Ω2

Hình 4.7:

Sự phụ thuộc của  vào nD

Hình 4.8:

Sự phụ thuộc của  vào Nd

Hình 4.9:

Sự phụ thuộc của  vào T

Hình 4.10: Sự phụ thuộc của  vào Ω2
Hình 4.11: Sự phụ thuộc của  vào E01
Hình 4.12: Sự phụ thuộc của  vào Lx
Hình 4.13: Sự phụ thuộc của  vào T
Hình 4.14: Sự phụ thuộc của  vào Ω2
Hình 4.15: Sự phụ thuộc của  vào R

ix


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong những thập niên gần đây, vật lý chất rắn đã chuyển hướng đối tượng
nghiên cứu từ các cấu trúc ba chiều sang các cấu trúc thấp chiều. Các cấu trúc vật
liệu thấp chiều là các cấu trúc trong đó chuyển động của hạt dẫn bị giới hạn trong
các vùng có kích thước đặc trưng vào cỡ bước sóng De Broglie của hạt. Tại đây, các
quy luật lượng tử xuất hiện một cách rõ rệt, trước hết là phổ năng lượng của điện tử
bị biến đổi. Phổ năng lượng của điện tử trở nên gián đoạn dọc theo hướng tọa độ bị

giới hạn và dáng điệu của các hạt dẫn trong cấu trúc kích thước lượng tử này tương
tự như khí hai chiều [3, 4, 52, 59, 63, 65, 67-70, 72, 75, 77] hoặc khí một chiều[3, 4,
12, 18, 25, 37]. Từ đó làm biến đổi hầu hết các tính chất quang, điện của hệ [11, 28,
35, 39], và xuất hiện các hiệu ứng vật lý mới được gọi là hiệu ứng kích thước.
Ngày nay, công nghệ epitaxy chùm phân tử là một công nghệ rất thích hợp
để tạo ra cấu trúc với phân bố thành phần tùy ý chính xác tới từng lớp đơn phân
riêng lẻ. Với sự phát triển mạnh mẽ của công nghệ epitaxy chùm phân tử, rất nhiều
loại vật liệu với cấu trúc nano được chế tạo như hố lượng tử, siêu mạng bán dẫn.
Trong các cấu trúc đó, ngồi trường thế tuần hoàn gây ra bởi các nguyên tử tạo nên
tinh thể, trong mạng tinh thể còn tồn tại một thế phụ cũng tuần hoàn nhưng với chu
kỳ lớn hơn rất nhiều so với chu kỳ thay đổi thế năng của trường các nguyên tử trong
mạng.
Trong vật liệu có cấu trúc hai chiều thì các hạt tải bị giới hạn theo một chiều,
và chỉ có thể chuyển động tự do trong mặt phẳng của vật liệu. Người ta chia vật liệu
có cấu trúc hai chiều thành hai loại chính, đó là hố lượng tử và siêu mạng bán dẫn
(siêu mạng pha tạp và siêu mạng hợp phần).
Dây lượng tử là một cấu trúc bán dẫn một chiều. Trong dây lượng tử, các hạt
tải bị giới hạn theo hai chiều, và chỉ có thể chuyển động tự do theo một chiều. Dây
lượng tử có thể được tạo ra nhờ kỹ thuật lithography (điêu khắc) và photoetching
(quang khắc) từ các lớp giếng lượng tử. Bằng kỹ thuật này, các dây lượng tử có
hình dạng khác nhau được tạo thành như dây lượng tử hình chữ nhật, dây lượng tử
hình trụ,...
1


Sự giam cầm của điện tử trong các cấu trúc thấp chiều đã làm thay đổi đáng
kể nhiều đặc tính của vật liệu, và xuất hiện thêm nhiều đặc tính mới, ưu việt hơn mà
cấu trúc ba chiều thông thường khơng có. Do đó, nó tạo ra được những linh kiện
mới, thiết bị mới có nhiều ứng dụng trong kỹ thuật và đời sống.
Hàng loạt các hiệu ứng đã được nghiên cứu đối với hệ bán dẫn thấp chiều

như: các cơ chế tán xạ điện tử - phonon [12, 27, 29, 41, 43, 47, 49, 51, 62, 64, 76],
tính chất điện [50, 53, 56, 58, 61, 72, 73, 82-84], các tính chất quang [30, 31, 36, 38,
40, 45, 46, 63, 66, 86],…
Trong số các tính chất quang, thì hấp thụ sóng điện từ bởi vật chất rất được
quan tâm và đã được phát triển cả về lý thuyết lẫn thực nghiệm. Chúng ta đã biết
khi chiếu chùm bức xạ sóng điện từ vào vật chất, sóng điện từ sẽ tương tác với vật
chất, một phần sóng điện từ sẽ được truyền qua, một phần sẽ bị phản xạ, và một
phần sẽ bị hấp thụ bởi vật chất. Việc nghiên cứu sự hấp thụ sóng điện từ bởi vật
chất có nhiều ứng dụng mạnh mẽ và sâu rộng trong khoa học và kỹ thuật, đặc biệt
trong lĩnh vực quân sự (ứng dụng để chế tạo vật liệu dùng cho kỹ thuật “tàng hình”
của các phương tiện quân sự).
Theo quan điểm lý thuyết cổ điển, để giải bài tốn hấp thụ sóng điện từ thì
chủ yếu dựa trên việc giải phương trình động cổ điển Boltzmann [34, 81]. Theo
quan điểm lý thuyết lượng tử thì bài tốn hấp thụ sóng điện từ có thể được giải bằng
nhiều phương pháp khác nhau như lý thuyết hàm Green, lý thuyết nhiễu loạn[5],
phương pháp phương trình động lượng tử [45, 57], phương pháp Kubo-Mori[68,
70].
Bài tốn hấp thụ tuyến tính sóng điện từ yếu đã được nghiên cứu bằng
phương pháp Kubo-Mori trong các hệ thấp chiều [7, 14, 19, 20]. Bài tốn hấp thụ
phi tuyến sóng điện từ mạnh trong các hệ thấp chiều cũng đã được nghiên cứu bằng
phương pháp phương trình động lượng tử [15-18, 21-24, 78-80].
Nhưng trong thực nghiệm, việc đo trực tiếp sự hấp thụ sóng điện từ mạnh rất
khó khăn. Nó có thể ngay lập tức làm mẫu bị cháy, bị hỏng. Tuy nhiên, nếu chúng
ta cho mẫu ở trong sóng điện từ yếu trước, sau đó mới chiếu sóng điện từ mạnh vào

2


thì vật liệu sẽ khơng bị hỏng. Vì vậy, bài tốn ảnh hưởng của sóng điện từ mạnh
(bức xạ laser) lên hấp thụ sóng điện từ yếu là nhu cầu của thực nghiệm. Bài tốn

ảnh hưởng của sóng điện từ mạnh (bức xạ laser) lên hấp thụ sóng điện từ yếu trong
bán dẫn khối đã được nghiên cứu bằng phương pháp Kubo-Mori mở rộng [7] và
phương pháp phương trình động lượng tử (bởi V. L. Malevich và E. M. Epshtein)
[45]. Tuy nhiên, bài tốn ảnh hưởng của sóng điện từ mạnh lên hấp thụ sóng điện từ
yếu trong các hệ thấp chiều thì chưa có ai nghiên cứu. Ngồi ra, trong những nghiên
cứu lý thuyết và thực nghiệm, nhiều công bố quốc tế đã chỉ ra ảnh hưởng rõ nét của
sự giam cầm phonon lên các hiệu ứng vật lý trong hệ thấp chiều [6, 8, 10, 16, 17,
25, 26, 42, 44, 45]. Nhưng bên cạnh đó, ảnh hưởng của sự giam cầm phonon lên bài
tốn ảnh hưởng của sóng điện từ mạnh lên hấp thụ sóng điện từ yếu trong các hệ
thấp chiều cũng chưa được nghiên cứu.
Vì vậy, chúng tôi lựa chọn đề tài luận án với tiêu đề “Ảnh hưởng của điện
tử giam cầm và phonon giam cầm lên một số tính chất quangtrong các hệ bán
dẫn thấp chiều”.
2. Mục tiêu nghiên cứu
Mục tiêu của luận án là nghiên cứu ảnh hưởng của điện tử giam cầm và
phonon giam cầm lên sự hấp thụ sóng điện từ yếu trong các hệ thấp chiều khi có
mặt sóng điện từ mạnh (bức xạ laser).
3. Nội dung nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu
Với mục tiêu đã đề ra thìnội dung nghiên cứu của luận án là: Nghiên cứu ảnh
hưởng của điện tử giam cầm và phonon giam cầm lên sự hấp thụ sóng điện từ yếu
trong hệ bán dẫn hai chiều và một chiều khi có mặt sóng điện từ mạnh (bức xạ
laser)với hai cơ chế tán xạ điện tử - phonon quang và tán xạ điện tử - phonon âm.Cụ
thể là, chúng tơi tính tốn biểu thức giải tích của hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu bởi
điện tử giam cầm khi có mặt trường bức xạ laser trong các hệ bán dẫn hai chiều và
một chiều cho hai trường hợp: không kể đến ảnh hưởng của sự giam cầm phonon và
có kể đến ảnh hưởng của sự giam cầm phonon. Với trường hợp phonon không bị
giam cầm, chúng tôi xét hai trường hợp của bức xạ laser, đó là bức xạ laser biến

3

điệu và khơng biến điệu biên độ. Sau đó, thực hiện tính số các biểu thức giải tích
thu được và vẽ đồ thị để thấy rõ ràng hơn sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ sóng điện
từ yếu vào các tham số của vật liệu thấp chiều, cũng như thấy rõ ảnh hưởng của
sóng điện từ mạnh và ảnh hưởng của sự giam cầm phonon lên sự hấp thụ sóng điện
từ yếu khi có mặt sóng điện từ mạnh. Các kết quả thu được trong các hệ thấp chiều
được so sánh với kết quả đã được nghiên cứu trong bán dẫn khối và so sánh với
trường hợp khơng có mặt bức xạ laser, đồng thời chúng tôi cũng so sánh các kết quả
thu được trong các hệ thấp chiều với nhau.
Đối với hệ bán dẫn hai chiều, các nội dung trên được nghiên cứu với hai loại
cấu trúc là: hố lượng tử và siêu mạng pha tạp. Đối với hệ bán dẫn một chiều, các nội
dung trên được nghiên cứu với hai loại dây lượng tử đặc trưng là: dây lượng tử hình
chữ nhật hố thế cao vơ hạn và dây lượng tử hình trụ hố thế cao vơ hạn.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
Trong luận án, chúng tôi sử dụng phương pháp phương trình động lượng tử
để nghiên cứu. Đầu tiên, ta thiết lập phương trình động lượng tử cho điện tử trong
các hệ thấp chiềukhi có mặt hai sóng điện từ (gồm có bức xạ laser và một sóng điện
từ yếu), sau đó giải nó ta được hàm phân bố khơng cân bằng của điện tử, từ đó tính
được biểu thức giải tích của hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu khi có mặt sóng điện từ
mạnh. Phương pháp phương trình động lượng tử đã được sử dụng cho bài toán
tương tự trong bán dẫn khối bởi các tác giả V. L. Malevich và E. M. Epshtein
[45].Để tính số và vẽ đồ thị, chúng tơi sử dụng phần mềm Matlab.
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận án
Trong luận án, chúng tôi đã thu được những kết quả chính và mới sau:
+Thiết lập được các phương trình động lượng tử cho điện tử khi có mặt hai
sóng điện từ (gồm có bức xạ laser và một sóng điện từ yếu) và tìm được các biểu
thức giải tích lượng tử của hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm
trong các hệ thấp chiều khi có mặt bức xạ laser với hai cơ chế tán xạ điện tử phonon quang và tán xạ điện tử - phonon âm, đối với hai trường hợp phonon không
bị giam cầm và phonon bị giam cầm. Với trường hợp phonon không bị giam

4


cầm,bức xạ laser được xét với cả hai trường hợp biến điệu và không biến điệu biên
độ.
+Bằng các kết quả giải tích và vẽ đồ thị, đã chỉ ra rằng khi có mặt bức xạ
laser, với các điều kiện thích hợp của trường ngoài và hệ bán dẫn, hệ số hấp thụ
sóng điện từ yếu sẽ có giá trị âm, tức là sóng điện từ yếu được gia tăng. Điều này là
hồn tồn khác biệt so với bài tốn tương tự trong bán dẫn khối và khác so với
trường hợp khơng có mặt bức xạ laser.
+Kết quả tính số cho thấy sự giam cầm phonon trong các hệ thấp chiều dẫn
tới hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu khi có mặt bức xạ laser có thể thay đổi cả định
lượng lẫn định tính, hoặc chỉ thay đổi định lượng.
Về mặt phương pháp, với những kết quả thu được trong luận án từ việc sử
dụng phương pháp phương trình động lượng tử, luận án góp phần khẳng định thêm
khả năng, tính hiệu quả và sự đúng đắn của phương pháp này khi nghiên cứu các
hiệu ứngvật lý trong các hệ bán dẫn thấp chiều.
Kết quả nghiên cứu của luận án đã góp phần làm tăng tính chính xác và hồn
chỉnh hơn các nghiên cứu lý thuyết về tính chất vật lý của bán dẫn thấp chiều. Nó
cũng góp phần thu nhận được các thơng tin về các tính chất mới của các cấu trúc
bán dẫn thấp chiều. Các tính chất mới này có thể được xem là một trong những tiêu
chí cho cơng nghệ chế tạo vật liệu cấu trúc nano ứng dụng trong điện tử siêu nhỏ,
thông minh và đa năng hiện nay.
Bài toán vật lý liên quan đến sự có mặt của sóng điện từ mạnh (bức xạ laser)
xuất phát từ nhu cầu của thực tế đã được nghiên cứu một cách lý thuyết trong luận
án. Ngoài ra, vì sóng điện từ mạnh (bức xạ laser) có năng lượng lớn nên có thể ứng
dụng nó để điều khiển các quá trình vật lý từ xa.
6. Cấu trúc của luận án
Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục các cơng trình liên quan đến luận án
đã cơng bố, các tài liệu tham khảo, nội dung của luận án gồm 4 chương, 14 mục,

với 67 hình vẽ. Nội dung của các chương như sau:
Trong chương 1, chúng tơi trình bày tổng quan về một số hệ bán dẫn hai

5


chiều và một chiều, và bài tốn hấp thụ sóng điện từ yếu trong bán dẫn khối khi có
mặt bức xạ laser (nghiên cứu bằng phương pháp phương trình động lượng tử). Đây
là những kiến thức cơ sở cho các vấn đề nghiên cứu trong các chương sau.
Trong chương 2, chúng tơi nghiên cứu sự hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện
tử giam cầm trong hệ bán dẫn hai chiều khi có mặt trường bức xạ laser. Hệ bán dẫn
hai chiều nghiên cứu trong chương 2 gồm có hố lượng tử và siêu mạng pha tạp.
Phương trình động lượng tử và hàm phân bố của điện tử trong các hệ đó đã được
thiết lập; biểu thức giải tích cho hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu trong các hệ đó cũng
đã được tính tốn với cả hai cơ chế tán xạ điện tử - phonon quang và tán xạ điện tử phonon âm, cho cả hai trường hợp bức xạ laser biến điệu vàkhông biến điệu biên
độ. Các kết quả giải tích của hệ số hấp thụ được tính số và bàn luận cho trường hợp
cụ thể của các hệ đó.
Trong chương 3, chúng tơi nghiên cứu sự hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện
tử giam cầm trong hệ bán dẫn một chiều khi có mặt trường bức xạ laser. Hệ bán dẫn
một chiều nghiên cứu trong chương 3 gồm có dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao
vơ hạn và dây lượng tử hình trụ hố thế cao vô hạn. Các nội dung nghiên cứu trong
chương 3 cũng tương tự như chương 2 nhưng được áp dụng cho hệ một chiều.
Trong chương 4, chúng tôi nghiên cứu ảnh hưởng của sự giam cầm phonon
lên hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong hệ bán dẫn hai chiều và
một chiều khi có mặt trường bức xạ laser. Hệ bán dẫn hai chiều nghiên cứu trong
chương 4 gồm có hố lượng tử và siêu mạng pha tạp, hệ bán dẫn một chiều gồm có
dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vơ hạn và dây lượng tử hình trụ hố thế cao vơ
hạn. Phương trình động lượng tử và hàm phân bố của điện tử trong các hệ đó khi có
kể đến sự giam cầm phonon đã được thiết lập; biểu thức giải tích cho hệ số hấp thụ
sóng điện từ yếu trong các hệ đó khi có kể đến sự giam cầm phonon cũng đã được

tính tốn với cơ chế tán xạ điện tử - phonon quang. Các kết quả giải tích của hệ số
hấp thụ cũng được tính số và bàn luận cho trường hợp cụ thể của các hệ đó để thấy
rõ ảnh hưởng của sự giam cầm phonon lên hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu.
Các kết quả nghiên cứu chính của luận án được cơng bố trong 8 cơng trình

6


dưới dạng các bài báo và báo cáo khoa học đăng trong các tạp chí và kỷ yếu hội
nghị khoa học trong nước và quốc tế,bao gồm: 03 bài trong tạp chí quốc tế: 01 bài
trong Journal of the Korean Physical Society (Korea), 02 bài trong Progress In
Electromagnetics Research M (USA); 01 bài báo đăng trong tạp chí VNU Journal of
Science, Mathematics – Physics của Đại học Quốc gia Hà Nội;01 bài đăng trong tạp
chí Journal of science of HNUE, Mathematical and Physical Sci. của trường Đại
học Sư Phạm Hà Nội; 01 bài đăng trong Tạp chí Nghiên cứu KH&CN Quân sự;01
báo cáo đăng trong PIERS Proceedings ở hội nghị vật lý quốc tế Malaysia; 01 báo
cáo đăng trong hội nghị vật lý lý thuyết toàn quốc lần thứ 36.

7


Chƣơng 1
TỔNG QUAN VỀ MỘT SỐ HỆ BÁN DẪN HAI CHIỀU VÀ MỘT CHIỀU.
HẤP THỤ SÓNG ĐIỆN TỪ YẾU TRONG BÁN DẪN KHỐI
KHI CÓ MẶT TRƢỜNG BỨC XẠ LASER
1.1. Hệ bán dẫn hai chiều
1.1.1. Hố lƣợng tử
Hố lượng tử là một cấu trúc bán dẫn thuộc hệ điện tử chuẩn hai chiều, được
cấu tạo bởi các chất bán dẫn có hằng số mạng xấp xỉ bằng nhau, có cấu trúc tinh thể
tương đối giống nhau.Trong đó một lớp mỏng chất bán dẫn này được đặt giữa hai

lớp chất bán dẫn khác.Sự khác biệt giữa các cực tiểu vùng dẫn và cực đại vùng hóa
trị của hai chất bán dẫn đó đã tạo ra một giếng thế năng đối với các điện tử. Trong
thực tế, người ta thường tạo các cấu trúc tiếp xúc dị chất nhiều lớp, với một số lớn
các hố thế giống nhau được lặp lại một cách tuần hồn thay vì chỉ có một hố thế duy
nhất. Nếu chiều dày b của lớp bán dẫn vùng cấm rộng lớn: b  100 A , thì các hạt
o

tải điện nằm trong mỗi lớp chất bán dẫn vùng cấm hẹp không thể xuyên qua lớp bán
dẫn vùng cấm rộng bên cạnh để đi tới các lớp khác của bán dẫn vùng cấm hẹp (tức
khơng có hiệu ứng đường hầm). Như vậy trong các cấu trúc này các hạt tải điện bị
định xứ mạnh, chúng bị cách ly lẫn nhau trong các giếng thế năng một chiều.
Những cấu trúc như vậy được gọi là cấu trúc nhiều hố lượng tử (MQW) được áp
dụng để khuếch đại biên độ các hiệu ứng trong đo lường, ví dụ trong các thực
nghiệm về hấp thụ quang học, khi biên độ tín hiệu từ một hố lượng tử đơn không đủ
mạnh để thu được các giá trị có độ tin cậy chấp nhận được, nó cần được khuếch đại.
Điện tử bị phản xạ tại các thành hố, do đó chúng bị giữ lại trong hố thế và phổ năng
lượng của chúng bị lượng tử hóa, các giá trị xung lượng được phép của điện tử theo
chiều vng góc với dị tiếp xúc cũng bị giới hạn. Nhờ hiệu ứng lượng tử hóa năng
lượng của điện tử trong hố lượng tử này mà người ta có thể điều chỉnh để tối ưu hóa
trong các ứng dụng thực tế, bằng cách lựa chọn độ rộng, độ sâu hố thế của vật liệu
bán dẫn một cách thích hợp.

8


Điều kiện để có thể quan sát được hiệu ứng lượng tử của điện tử trong hố
lượng tử là khoảng cách giữa hai mức năng lượng liên tiếp phải lớn hơn nhiều so
với năng lượng nhiệt của hạt dẫn:  n1   n  kBT . Nếu không, các chuyển mức
của điện tử giữa các mức lân cận lấp đầy sẽ ngăn cản việc quan sát các hiệu ứng
lượng tử. Nếu khí điện tử suy biến thì mức năng lượng Fermi

 của nó cần thỏa

mãn điều kiện:  n1     n . Trong trường hợp giới hạn ngược lại, khi

   n1   n , về nguyên tắc có thể quan sát được hiệu ứng lượng tử hóa do giảm
kích thước, nhưng biên độ tương đối thu được rất nhỏ. Mặt khác, trong các cấu trúc
thực tế, hạt dẫn luôn bị tán xạ bởi tạp chất, phonon, v.v… Xác suất tán xạ được đặc
trưng bởi thời gian phục hồi động lượng  , nó tỷ lệ thuận với độ linh động của hạt
dẫn  

e
. Thời gian hồi phục được định nghĩa là thời gian sống trung bình của
m

hạt dẫn ở trạng thái lượng tử xác định bởi bộ các số lượng tử đã cho (n, px, py). Theo
nguyên lý bất định, giá trị hữu hạn của  gây ra sai số năng lượng:  





. Khi đó,

việc tính tốn dựa trên cơ sở các mức năng lượng gián đoạn chỉ có nghĩa khi khoảng
cách giữa hai mức liên tiếp rất lớn hơn  :  n1   n 







e
.
m

Như ta đã biết, nếu như trong cấu trúc hệ điện tử ba chiều, mật độ trạng thái
tăng theo quy luật 

1

2

, thì trong hố lượng tử mật độ trạng thái tăng theo dạng bậc

thang. Sự thay đổi mật độ trạng thái cũng là một hiệu ứng lượng tử quan trọng xuất
hiện trong các cấu trúc hố lượng tử cũng như trong các cấu trúc hệ thấp chiều khác.
Sự thay đổi mật độ trạng thái trong cấu trúc hố lượng tử có đóng góp quan trọng
trong việc tạo ra các laser bán dẫn hố lượng tử.
Với các cặp chất bán dẫn như Ge/GaAs, AlAs/GaAs, InAs/GaSb,… cấu trúc
hố lượng tử được coi là có chất lượng tốt, và có thể coi hố thế được hình thành là hố
thế vng góc. Xét trường hợp hố thế vng góc có thành cao vơ hạn, độ rộng hố
thế là L, giả sử z là trục dọc theo hố lượng tử, khối lượng hiệu dụng của điện tử dọc
theo các trục chính của hố thế là như nhau. Giải phương trình Schrodinger cho điện

9


tử chuyển động trong hố thế này, ta được phổ năng lượng và hàm sóng của điện tử

trong hố lượng tử như sau [3, 4]:


 n ( k ) 

n
2
2  2
n
, n  1,2,3...
k  k zn ; với k z 
*
L
2m





 


 n 
 n (k )   0eik r sin  z  ; với k   k x , k y 
 L 
 

(1.1)
(1.2)



Trong các biểu thức (1.1) và (1.2) ở trên,  0 là hằng số chuẩn hóa, r là véc tơ bán
kính của điện tử trong mặt phẳng xOy. Như vậy dọc theo trục k z của mạng đảo,
điện tử bị giam cầm trong hố lượng tử chỉ nhận các giá trị năng lượng gián đoạn, do
đó trong cùng một vùng năng lượng xuất hiện các vùng con. Sự gián đoạn của phổ
năng lượng điện tử là đặc trưng nhất của điện tử bị giam cầm trong các hệ thấp
chiều nói chung và trong hố lượng tử nói riêng.
Thừa số dạng đặc trưng cho sự giam cầm điện tử trong hố lượng tử có dạng [3, 4]:
2
 n
sin 

L0  L
L

I n , n ' ( qz ) 

  n '
z  sin 
  L


z  eiqz z dz


(1.3)

1.1.2. Siêu mạng pha tạp
Siêu mạng bán dẫn pha tạp (gọi tắt là siêu mạng pha tạp - DSL)cũng là một cấu

trúc bán dẫn thuộc hệ điện tử chuẩn hai chiều. Nó được tạo ra từ hai bán dẫn đồng
nhất được pha tạp một cách khác nhau. Trong siêu mạng pha tạp sự phân bố điện
tích đóng vai trị quyết định đối với việc tạo nên thế siêu mạng. Ví dụ về một siêu
mạng như vậy được tạo nên do sự sắp xếp tuần hoàn của các lớp bán dẫn mỏng
GaAs loại n (GaAs: Si) và GaAs loại p (GaAs: Be), ngăn cách nhau bởi các lớp
GaAs khơng pha tạp. Vì vậy nó được gọi là tinh thể n-i-p-i.
Giải phương trình Schrodinger cho điện tử trong siêu mạng pha tạp, ta được phổ
năng lượng và hàm sóng của điện tử trong siêu mạng pha tạp như sau [3, 4]:


1

 2 k2
 n ( k ) 
  n ; với  n   p  n  
*
2
2m

 

 Nd ikz md
ik r
 (r )  e un (r ) e  n ( z  md )

n ,k

m1

10

(1.4)
(1.5)


Ở đây  n ( z ) và  n là hàm riêng và trị riêng trong một hố lượng tử biệt lập, Nd là số
2
chu kỳ của siêu mạng,  p   4 e nD 
*
 0m 

1

2

là tần số plasma gây bởi các tạp chất donor

với nồng độ pha tạp nD .
Thừa số dạng của điện tử được cho bởi [3, 4]:
Nd d

I n,n (qz )    eiqz z n ( z  d ) n ( z  d )dz

(1.6)

 1 0

Ở đây,  n ( z ) là hàm sóng của điện tử ở trạng thái thứ n trong một hố lượng tử biệt
lập.
1.1.3. Siêu mạng hợp phần

Siêu mạng bán dẫn hợp phần (siêu mạng hợp phần - CSSL) được tạo nên từ các
lớp mỏng bán dẫn (gọi chung là A), xếp xen kẽ với các lớp mỏng bán dẫn khác (gọi
chung là B) dọc theo trục siêu mạng (trục z). Loại A có vùng cấm  gA hẹp, có độ
dày a, chẳng hạn như GaAs. Loại B có vùng cấm  gB rộng, có độ dày b, chẳng
hạnAlAs. Chu kỳ của siêu mạng là d=a+b.
Giải phương trình Schrodinger cho điện tử trong siêu mạng hợp phần, ta được
phổ năng lượng và hàm sóng của điện tử trong siêu mạng hợp phần như sau [6]:


 2k 2

 n (k ) 
  n (k z )
2m*
với:

(1.7)

 n (kz )   n  ncos(kz d ) ;

(1.8)

trong đó n  0,1,2... là chỉ số mini vùng,  n là một nửa độ rộng của mini vùng thứ
2 2 m*  d  a  U /  2
2

e
n, được cho bởi [6, 34, 71]:   4(1) a 
, U là độ chênh
n

n
2
*
2
d a
2m  d  a  U / 
n

lệch độ rộng vùng cấm giữa hai bán dẫn trên.  n là mức năng lượng trong hố lượng
tử cô lập, được xác định bởi tham số của siêu mạng:

 2 2 (n  1)2
n 
2m*d 2

(1.9)

11


Hàm sóng tổng cộng của điện tử trong mini vùng n của siêu mạng hợp phần trong
gần đúng liên kết mạnh có dạng:



 n (r ) 

N
1
i k x  k y 

e  x y   eikz md n ( z  md )
Lx Ly N
m1

(1.10)

trong đó,Lx, Ly tương ứng là độ dài chuẩn hóa theo hướng x và y, N là số chu kỳ của
siêu mạng,  n ( z ) là hàm sóng của điện tử trong hố thế cô lập.
1.2. Hệ bán dẫn một chiều
Dây lượng tử là một ví dụ về hệ khí điện tử một chiều. Trong dây lượng tử,
chuyển động của hạt dẫn bị giới hạn theo hai chiều và nó chỉ chuyển động tự do
theo một chiều. Sự giam cầm của điện tử trong dây lượng tử dẫn đến phổ năng
lượng của nó bị lượng tử hóa theo hai chiều.
Dây lượng tử có thể được chế tạo nhờ phương pháp epitaxy MBE, hoặc kết tủa
hóa hữu cơ kim loại MOCVD. Một cách chế tạo khác là sử dụng các cổng (gates)
trên một transistor hiệu ứng trường, bằng cách này có thể tạo ra các kênh thấp chiều
hơn trên hệ khí điện tử hai chiều. Người ta có thể tạo ra các dây lượng tử có các
hình dáng khác nhau, như dây lượng tử hình chữ nhật, dây lượng tử hình trụ,… với
các thế năng giam giữ điện tử khác nhau. Bài tốn tìm phổ năng lượng và hàm sóng
điện tử trong dây lượng tử có thể giải được dễ dàng nhờ giải phương trình
Schrodinger một điện tử cho hệ một chiều.
1.2.1. Dây lƣợng tử hình chữ nhật với hố thế cao vơ hạn
Do u cầu thực nghiệm, mơ hình dây lượng tử hình chữ nhật cũng hay được đề
cập đến trong các cơng trình mang tính lý thuyết. Dây lượng tử có các kích thước ba
trục được giả thiết lần lượt là Lx, Ly, Lz (Lz >>Lx, Ly). Giả sử thế giam cầm điện tử
cao vô hạn theo cả hai hướng vng góc x và y:

0 𝑛ế𝑢 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿𝑥 ; 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝐿𝑦
V 
𝑛ế𝑢 𝑛𝑔ượ𝑐 𝑙ạ𝑖



(1.11)

Khi đó giải phương trình Schrodinger cho điện tử ta được phổ năng lượng và
hàm sóng [3, 4]:

12




 n , ( k ) 

 2 k z2  2  2  n2  2 

  
2m* 2m*  L2x L2y 

(1.12)

 1 ik z 2
  y 
0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿𝑥
 n x  2
𝑘ℎ𝑖 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝐿
e z
sin 
sin 




 L 
𝑦 (1.13)
 n,,k ( x, y, z )   Lz
Lx
 Lx  Ly
 y 
𝑛ế𝑢 𝑛𝑔ượ𝑐 𝑙ạ𝑖

0



trong đó n, ℓ là các số lượng tử của hai phương bị lượng tử hóa x và y; k  (0,0, k z )
là véc tơ sóng của điện tử theo trục z.
Thừa số dạng được cho bởi [3, 4]:
I n, ,n ', ' 



32 4 (qx Lx nn ') 2 1  (1) nn ' cos(qx Lx ) 
(qx Lx )4  2 2 (qx Lx ) 2 (n 2  n '2 )   4 (n 2  n '2 ) 2 

2



32 4 (q y Ly  ')2 1  (1) ' cos(q y Ly ) 
(q y Ly ) 4  2 2 (q y Ly ) 2 ( 2   '2 )   4 ( 2   '2 ) 2 

2

(1.14)

1.2.2. Dây lƣợng tử hình trụ với hố thế cao vơ hạn
Dây lượng tử hình trụ là loại dây lượng tử hay được sử dụng nhất trong các
nghiên cứu lý thuyết. Chúng ta xem xét một dây lượng tử hình trụ có bán kính R, có
chiều dài Lz, thế giam giữ vơ hạn ở ngồi dây và bằng khơng ở bên trong dây:
 0 khi r  R
V (r )  
 khi r  R

(1.15)

Với thế năng này, hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử thu được từ việc
giải phương trình Schrodinger trong hệ tọa độ trụ (r , , z ) là [3, 4]:

0
khi r  R

 n, ,k (r , , z )   1 in ikz z
e e  n , (r ) khi r  R
 V
 0

(1.16)

trong đó, V0   R Lz là thể tích dây lượng tử; n  0, 1, 2,... là số lượng tử
2



phương vị,   1,2,3,... là số lượng tử xuyên tâm; k  (0,0, k z ) là véc tơ sóng của
điện tử theo trục z;  n, (r ) là hàm sóng xuyên tâm của điện tử chuyển động trong
mặt phẳng xOy có dạng:

13