(Luận án tiến sĩ) một số phương pháp tìm điểm bất động chung của một họ ánh xạ không gian62 46 01 02

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

DƯƠNG VIỆT THƠNG

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM ĐIỂM BẤT
ĐỘNG CHUNG CỦA MỘT HỌ ÁNH XẠ
KHÔNG GIÃN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

DƯƠNG VIỆT THƠNG

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM ĐIỂM BẤT
ĐỘNG CHUNG CỦA MỘT HỌ ÁNH XẠ
KHƠNG GIÃN
Chun ngành: Tốn giải tích
Mã số: 62460102
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
1. GS. TS. Nguyễn Bường
2. GS. TSKH. Phạm Kỳ Anh

Hà Nội - 2015

LỜI CAM ĐOAN

Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi. Các kết quả
của luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ cơng
trình nào khác.

NCS. Dương Việt Thơng

1


LỜI CẢM ƠN

Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của các thầy giáo,
GS. TS. Nguyễn Bường và GS. TSKH. Phạm Kỳ Anh. Tác giả xin bày tỏ lịng
kính trọng và biết ơn sâu sắc đến các Thầy. Các Thầy đã truyền thụ kiến thức,
từng bước định hướng nghiên cứu, giúp tác giả tiếp cận vấn đề một cách tự
nhiên để từ đó có thể chủ động, tự tin trong suốt quá trình học tập và nghiên
cứu. Tấm gương nghiên cứu khoa học nghiêm túc và sự chỉ bảo ân cần của
thầy Nguyễn Bường và thầy Phạm Kỳ Anh đã giúp cho tác giả có ý thức trách
nhiệm và quyết tâm cao khi hoàn thành luận án của mình.
Tác giả xin được bày tỏ lịng biết ơn đến PGS. TSKH. Đỗ Hồng Tân vì
những chỉ dẫn tận tình và những ý kiến đóng góp q báu của Thầy dành cho
tác giả trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu.
Tác giả xin chân thành cám ơn TS. Nguyễn Thị Thanh Hà, TS. Lê Anh
Dũng, TS. Nguyễn Văn Khiêm và TS. Nguyễn Thế Vinh đã động viên và góp
nhiều ý kiến quý báu trong suốt thời gian tác giả tham gia Seminar "Một số
vấn đề trong lý thuyết KKM và lý thuyết điểm bất động" do Bộ môn Giải

tích, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội tổ chức.
Tác giả xin chân thành cảm ơn các phản biện độc lập về những nhận xét
quý báu, nhờ đó mà bản thảo lần này đã có những cải thiện đáng kể.
Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban lãnh đạo Bộ mơn Giải
tích, Khoa Tốn - Cơ - Tin học, Phòng Đào tạo Sau đại học cùng toàn thể
2


các thầy giáo, cô giáo, cán bộ và nhân viên của Khoa Toán - Cơ - Tin học,
Trường ĐHKHTN đã tạo điều kiện và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian tác
giả hồn thành luận án của mình.
Tác giả xin được bày tỏ sự biết ơn đến Ban giám hiệu Trường Đại học Kinh
tế Quốc dân, các Thầy Cô trong Bộ mơn Tốn cơ bản, Khoa Tốn Kinh tế
đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành tốt nhiệm vụ học tập,
nghiên cứu cũng như giảng dạy trong Nhà trường.
Xin gửi lời cảm ơn đặc biệt đến toàn thể bạn bè và người thân, những
người đã động viên, giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập, nghiên cứu
và hoàn thành luận án này.

Hà Nội, tháng 12 năm 2014

Tác giả

3


Mục lục

Lời cam đoan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

Một số ký hiệu và chữ viết tắt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.1. Giới thiệu về hình học khơng gian Banach . . . . . . . . . . . .

17

1.2. Ánh xạ không giãn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

1.3. Tốc độ hội tụ của một số phương pháp lặp

. . . . . . . . . . .

27

1.4. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

Chương 2. PHƯƠNG PHÁP LẶP ẨN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.1. Phương pháp lặp ẩn cho nửa nhóm ánh xạ không giãn . . . . .

38

2.2. Phương pháp lặp ẩn cho nửa nhóm ánh xạ giả co chặt . . . . .

47

2.3. Kết luận

54

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chương 3. PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ GẮN KẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.1. Phương pháp xấp xỉ gắn kết cho nửa nhóm ánh xạ không giãn

56

3.2. Phương pháp xấp xỉ gắn kết cho nửa nhóm ánh xạ giả co Lipschitz 67
3.3. Phương pháp xấp xỉ gắn kết ẩn có sai số . . . . . . . . . . . . .

74

3.4. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82

KẾT LUẬN CHUNG. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
1.

Kết quả đạt được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4

84


2.

Kiến nghị một số hướng nghiên cứu tiếp theo . . . . . . . . . .

84

DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN
ĐẾN LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5


MỘT SỐ KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT

R

tập số thực

N

tập số tự nhiên

⇀

hội tụ yếu

w∗

⇀

hội tụ * yếu

F (T )

tập điểm bất động của ánh xạ T

ωw (xn )

tập các điểm tụ yếu của dãy xn

F (T (t))
t≥0

tập điểm bất động chung của họ ánh xạ {T (t) : t ≥ 0}

lim = lim sup

giới hạn trên

lim = lim inf

giới hạn dưới

PC (x)

hình chiếu của x lên tập C

X

khơng gian Banach

X∗

không gian liên hợp của không gian X

2X

tập hợp tất cả các tập con của X

2X

∗

tập hợp tất cả các tập con của X ∗

δ(ǫ)

môđun lồi của không gian Banach

J

ánh xạ đối ngẫu của không gian X

Jλ = (I + λA)−1
1
Aλ = (I − Jλ )
λ
., .

giải thức của toán tử A
xấp xỉ Yosida
giá trị của cặp đối ngẫu hoặc tích vơ hướng
6


MỞ ĐẦU

Lý thuyết điểm bất động do L. E. J. Brouwer khởi xướng năm 1912 đến
nay đã được hơn 100 năm tuổi. Đó là một chương quan trọng của Giải tích
phi tuyến, sâu sắc về lý thuyết, phong phú trong ứng dụng, gắn liền với tên
tuổi của các nhà Toán học lớn như: E. Picard, L. E. J. Brouwer, S. Banach, J.
Schauder, S. Kakutani, A. N. Tikhonov, Ky Fan, F. E. Browder,...
Trong sáu thập kỷ qua, nghiên cứu điểm bất động của lớp ánh xạ không
giãn là một trong những chủ đề được quan tâm rộng rãi của giải tích phi tuyến.

Điều này kết nối giữa lý thuyết hình học của không gian Banach cùng với sự
liên quan của lý thuyết toán tử đơn điệu và toán tử tăng trưởng. Như ta đã
biết nếu ký hiệu X ∗ là không gian đối ngẫu của khơng gian Banach X, tốn
tử đa trị A : X → 2X với miền xác định D(A) được gọi là đơn điệu nếu
∗

x∗ − y ∗ , x − y ≥ 0 ∀x, y ∈ D(A) và x∗ ∈ A(x), y ∗ ∈ A(y).
Toán tử đa trị A : X → 2X được gọi là toán tử đơn điệu cực đại nếu A là
∗

toán tử đơn điệu trên X sao cho với mọi x ∈ X và x∗ ∈ X ∗ thỏa mãn
x∗ − y ∗ , x − y ≥ 0 ∀y ∈ D(A) và y ∗ ∈ A(y)
thì x∗ ∈ A(x).

Tốn tử đa trị A : X → 2X được gọi là toán tử tăng trưởng nếu ∀x, y ∈

D(A) và x∗ ∈ A(x), y ∗ ∈ A(y) tồn tại j(x − y) ∈ J(x − y) sao cho
x∗ − y ∗ , j(x − y) ≥ 0.
7


Một trong những sự kiện liên quan giữa toán tử đơn điệu và toán tử tăng
trưởng là chúng trùng nhau trong khơng gian Hilbert. Các tính chất của tốn
tử đơn điệu và toán tử tăng trưởng là rất quan trọng trong các lĩnh vực như
giải tích số, phương trình đạo hàm riêng, giải tích lồi. Điều đặc biệt là dưới vi
phân của một hàm lồi là toán tử đơn điệu. Nhắc lại rằng, trong không gian
Banach X cho hàm f : X → (−∞, +∞], dưới vi phân của f là toán tử đa trị

∂f : X → 2X được xác định bởi
∗

∂f (x) := {j ∈ X ∗ : f (y) − f (x) ≥ y − x, j ∀y ∈ X} ∀x ∈ X.
Nếu f là nửa liên tục dưới và lồi chính thường trong khơng gian Banach thực
phản xạ thì ∂f là đơn điệu cực đại [28]. Dễ thấy rằng 0 ∈ ∂f (x) nếu và chỉ nếu

x=argmin{f (y) : y ∈ X}. Như vậy vấn đề tìm cực tiểu của hàm lồi dẫn đến

tìm khơng điểm của toán tử đơn điệu. Mối quan hệ giữa toán tử đơn điệu và

ánh xạ không giãn là dựa trên sự kiện sau: nếu T là ánh xạ không giãn trong
khơng gian Hilbert thì A := I − T là toán tử đơn điệu và tập điểm bất động

của ánh xạ không giãn T trùng với tập không điểm của toán tử đơn điệu.

H. Brezis, M. G. Crandall và A. Pazy đưa ra khái niệm giải thức của toán tử
đơn điệu trong không gian Banach trong [17]. Họ đã thiết lập các tính chất cơ
bản của giải thức và đặc biệt điểm bất động của giải thức liên quan đến khơng
điểm của tốn tử đơn điệu. Trong khơng gian Banach X cho A : X → 2X là

toán tử đơn điệu cực đại. Khi đó giải thức Jλ của tốn tử A là ánh xạ đơn trị
và được xác định theo công thức Jλ = (I + λA)−1 , ∀λ > 0. Chúng ta biết rằng
A−1 0 = F (Jλ ). Hơn nữa, Jλ là ánh xạ không giãn. Suy ra vấn đề tìm khơng

điểm của tốn tử đơn điệu cực đại A tương đương với vấn đề tìm điểm bất
động của ánh xạ không giãn Jλ .
Giữa lớp ánh xạ khơng giãn và tốn tử tăng trưởng là lớp ánh xạ giả co.
Ánh xạ T : X → X trong không gian Banach X được gọi là ánh xạ giả co nếu

∀x, y ∈ X tồn tại j(x − y) ∈ J(x − y) sao cho

T x − T y, j(x − y) ≤ x − y 2 .
8


Chúng ta biết rằng T là ánh xạ giả co khi và chỉ khi I − T là ánh xạ tăng

trưởng. Điều này nghĩa là việc giải một phương trình tốn tử tăng trưởng có
thể xem xét như là một vấn đề tìm điểm bất động của tốn tử giả co.

Trong lý thuyết điểm bất động, ngay sau vấn đề tồn tại điểm bất động, là
vấn đề xây dựng thuật tốn để tìm điểm bất động đó. Điều này đặc biệt quan
trọng trong ứng dụng. Thuật toán đơn giản nhất là phép lặp Picard xác định
bởi
xn+1 = T xn ,

n ∈ N0 .

Phép lặp này có ưu điểm lớn là rất đơn giản và hữu hiệu cho các ánh xạ loại
co. Phép lặp Picard nói chung khơng hội tụ khi T là ánh xạ không giãn. Để
khắc phục điều này M. A. Krasnoselskij vào năm 1955 [55] đã đề xuất một
phép lặp mới
xn+1 =

1
(xn + T xn ),
2

n ∈ N.

(1)

Phép lặp Krasnoselskij đặc biệt hữu hiệu cho không gian Banach lồi đều.
Vào năm 1953, W. R. Mann [59] đề xuất một phép lặp tổng quát hơn phép
lặp của Krasnoselskij
xn+1 = (1 − αn )xn + αn T xn ,

{αn } ⊂ [0, 1].

(2)

Phép lặp Mann hữu hiệu cho một lớp ánh xạ rộng hơn ánh xạ không giãn,
chẳng hạn lớp ánh xạ tựa không giãn.
Năm 1967, B. Halpern [43] đề xuất một phép lặp mới cho lớp ánh xạ không
giãn như sau
xn+1 = αn u + (1 − αn )T xn , n ≥ 0, αn ∈ [0, 1].
Năm 1974 [48], S. Ishikawa đã đề xuất một phép lặp mới tổng quát hơn
phép lặp Mann
xn+1 = (1 − αn )xn + αn T [(1 − βn )xn + βn T xn ], n ∈ N,
9

(3)


trong đó {αn }, {βn } ⊂ [0, 1].

Đó là năm loại phép lặp được sử dụng phổ biến nhất để tính xấp xỉ điểm

bất động của lớp ánh xạ không giãn và các lớp ánh xạ khác.
Đối với các phương pháp xấp xỉ tìm điểm bất động của ánh xạ nói trên, ít
có cơng trình nào đề cập đến tốc độ hội tụ của chúng. Tuy nhiên, cũng đã có

một số tác giả đề cập đến tốc độ hội tụ của một số phương pháp lặp cho các
loại ánh xạ khác nhau. Chẳng hạn như năm 2008, Zhiqun Xue [100] đã so sánh
tốc độ hội tụ giữa dãy lặp Picard và dãy lặp Mann, dãy lặp Krasnoselskij và
dãy lặp Ishikawa cho lớp toán tử Zamfirescu [111]. Năm 2007, O. Popescu [72]
cũng so sánh tốc độ hội tụ giữa dãy lặp Picard và dãy lặp Mann cho lớp ánh
xạ tựa co. Tuy nhiên tốc độ hội tụ của dãy lặp Mann và dãy lặp Ishikawa thì
đến nay vẫn chưa có câu trả lời cho bất kỳ lớp ánh xạ nào và vấn đề này cũng
được chúng tôi nghiên cứu và được đề cập đến vấn đề này trong phần 1.3.2.
Một trong những lý do bài tốn tìm xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ
không giãn được quan tâm gần đây chính là ứng dụng của nó. Bên cạnh vấn
đề tìm khơng điểm của tốn tử đơn điệu [51, 74, 87, 84,...], người ta còn áp
dụng phép lặp điểm bất động để tìm nghiệm của bất đẳng thức biến phân,
điểm cực tiểu của hàm lồi và nhiều vấn đề khác [10, 27, 37, 64, 70, 69, 97,...].
Thật vậy, trong không gian Hilbert H cho toán tử đơn điệu A xác định trên
tập con lồi đóng C. Bài tốn bất đẳng thức biến phân là tìm x ∈ C sao cho
Ax, y − x ≥ 0 ∀y ∈ C.
Tập tất cả các nghiệm của bất đẳng thức biến phân ký hiệu là V IP (A, C).
Ta có thể chứng minh rằng tìm x ∈ V IP (C, A) khi A là toán tử α- đơn điệu
mạnh ngược tương đương với x là điểm bất động của ánh xạ không giãn
T = PC (I − λA)
với 0 < λ ≤ 2α, I là ánh xạ đồng nhất, PC là phép chiếu lên tập C. Như vậy

xấp xỉ nghiệm của V IP (A, C) được đưa về xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ
10


không giãn.
Lý thuyết điểm bất động và vấn đề xấp xỉ điểm bất động không chỉ dừng
lại ở việc nghiên cứu cho một ánh xạ khơng giãn mà nó cịn được mở rộng
và phát triển cho trường hợp một họ ánh xạ không giãn. Nhiều vấn đề trong

khoa học, công nghệ được quy về bài tốn tìm một điểm bất động chung của
một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn. Ta đã biết rằng tập điểm bất động
của một ánh xạ không giãn trong một không gian Banach lồi đều là một tập
hợp lồi. Vì vậy điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không
giãn trong một không gian Hilbert thuộc giao của những tập lồi. Do đó, trong
trường hợp này bài tốn tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn các
ánh xạ khơng giãn trở thành bài tốn chấp nhận lồi. Do tầm quan trọng của
các vấn đề này nên việc nghiên cứu các thuật tốn tìm điểm bất động chung
của một họ các ánh xạ không giãn đã và đang phát triển khơng ngừng.
Cho đến nay có rất nhiều kết quả nghiên cứu về các phương pháp tìm điểm
bất động chung cho một họ ánh xạ không giãn và điểm bất động chung cho
các họ ánh xạ khác như họ ánh xạ giả co, họ ánh xạ giả co chặt. Một trong
các phương pháp này là cải tiến các phương pháp lặp cổ điển nổi tiếng như
phép lặp Mann, phép lặp Halpern, phép lặp Ishikawa. Như đã biết phép lặp
Mann thì nói chung chỉ hội tụ yếu [33, 34, 60,...]. Để khắc phục điều này thì
năm 2003, K. Nakajo và W. Takahashi [63] đã cải tiến phương pháp lặp Mann
trong không gian Hilbert như sau:




x0 = x ∈ C,







yn = αn xn + (1 − αn )T xn ,




Cn = {z ∈ C| yn − z ≤ xn − x },






Qn = {z ∈ C| xn − z, x0 − xn ≥ 0},






xn+1 = PC ∩Q (x0 ).
n
n

Phép lặp này đã mở ra một hướng nghiên cứu mới được nhiều người gần đây
11


rất quan tâm [61, 87, 65, 81, 88,...]. Phương pháp lặp trên có tên gọi là phương
pháp lặp CQ [107] hay phương pháp lặp lai ghép [92]. Ở Việt Nam, có một
số các nhà tốn học đang nghiên cứu về phương pháp lặp này như: Phạm Kỳ
Anh [9, 8, 11], Phạm Ngọc Anh, Trần Quốc Bình, Nguyễn Bường [21, 24, 23,
22], Lê Anh Dũng, Nguyễn Thị Thanh Hà, Đỗ Hồng Tân, Nguyễn Thị Thu

Thủy, Nguyễn Thị Thu Vân, Nguyễn Thế Vinh,... để tìm điểm bất động chung
cho họ các lớp ánh xạ và ứng dụng của nó.
Một trong những phương pháp xấp xỉ tìm điểm bất động chung cho một
họ các ánh xạ không giãn gần đây cũng được quan tâm là phương pháp lặp
ẩn. Phương pháp này được F. E. Browder đề xuất năm 1967 [18] cho một ánh
xạ không giãn trong không gian Hilbert như sau:
xn = αn u + (1 − αn )T xn , n ∈ N.
Với những điều kiện thích hợp của dãy αn , Browder đã chứng minh được dãy
{xn } hội tụ mạnh đến một điểm bất động của T mà gần u nhất.

Tiếp đó năm 2001, H.K. Xu và R. G. Ori [105] đã giới thiệu dãy lặp ẩn

xoay vòng sau:
x0 ∈ C, xn = αn xn−1 + (1 − αn )Tn xn

(4)

với n = n mod N. H. K. Xu và R. G. Ori đã chứng minh được dãy {xn }

hội tụ yếu đến tập điểm bất động chung của họ hữu hạn ánh xạ không giãn
Ti , i = 1, ..., N.
Năm 2003, T. Suzuki [90] áp dụng thuật toán của Browder để tìm điểm
bất động chung cho một nửa nhóm ánh xạ khơng giãn {T (t) : t ≥ 0)} trong

không gian Hilbert

xn = αn u + (1 − αn )T (tn )xn .
Năm 2004, M. O. Osilike [66] đã sử dụng thuật tốn (4) để tìm điểm bất
động chung cho họ hữu hạn ánh xạ giả co chặt Ti , i = 1, ..., N . Cũng với ý
tưởng đó, năm 2006, R. Chen, Y. Song, H. Zhou [32] đã sử dụng thuật toán

12


(4) để tìm điểm bất động chung cho họ hữu hạn ánh xạ giả co liên tục. Năm
2008, H. Zhou [114] cũng sử dụng thuật tốn (4) để tìm điểm bất động chung
cho họ hữu hạn ánh xạ giả co Lipschitz.
Năm 2010, S. S. Zhang [112, 113] đã nghiên cứu dãy lặp ẩn
x0 ∈ C, xn = αn xn−1 + (1 − αn )T (tn )xn ,

(5)

để tìm điểm bất động chung của nửa nhóm ánh xạ giả co Lipschitz {T (t) : t ≥

0} và nửa nhóm ánh xạ giả co chặt {T (t) : t ≥ 0}. Với những ý tưởng đó chúng
tơi cũng tiến hành nghiên cứu phương pháp lặp ẩn (5) cho nửa nhóm ánh xạ

khơng giãn {T (t) : t ≥ 0} và nửa nhóm ánh xạ giả co chặt {T (t) : t ≥ 0}.

Chúng tôi đã đưa ra những điều kiện khác của dãy {tn } và {αn } cho dãy lặp
(5) hội tụ.

Gần đây, một phương pháp cũng được nhiều người nghiên cứu đó là phương
pháp xấp xỉ gắn kết (viscosity methods). Phương pháp này được A. Moudafi
đề xuất vào năm 2000 [62] trong không gian Hilbert như sau:
xn =

1
ǫn
T xn +
f (xn ),

1 + ǫn
1 + ǫn

n ∈ N, ǫn ∈ (0, 1),

(6)

và
xn+1 =

1
ǫn
T xn +
f (xn ),
1 + ǫn
1 + ǫn

n ∈ N, ǫn ∈ (0, 1),

(7)

với f là ánh xạ co. Phương pháp xấp xỉ gắn kết cho phép chọn một điểm bất
động đặc biệt của ánh xạ không giãn T . Có rất nhiều kết quả được trình bày
về phương pháp xấp xỉ gắn kết để tìm điểm bất động. Đặc biệt, năm 2007 R.
Chen và H. He [29] đã nghiên cứu phương pháp xấp xỉ gắn kết ẩn và phương
pháp xấp xỉ gắn kết hiện như sau:
xn = αn f (xn ) + (1 − αn )T (tn )xn ,

n ∈ N,

(8)

và
xn+1 = αn f (xn ) + (1 − αn )T (tn )xn ,
13

n ∈ N,

(9)


trong đó {T (t) : t ≥ 0} là nửa nhóm ánh xạ khơng giãn. R. Chen và H. He đã

chứng minh phương pháp xấp xỉ gắn kết ẩn (8) và phương pháp xấp xỉ gắn

kết hiện (9) hội tụ mạnh đến điểm bất động chung q của nửa nhóm ánh xạ
không giãn {T (t) : t ≥ 0}, trong đó q là nghiệm duy nhất của bất đẳng thức

biến phân

(f − I)q, j(x − q) ≤ 0

∀x ∈

F (T (t)).
t≥0

Tiếp đó năm 2008, Y. Song và S. Xu [85] cũng chứng minh một kết quả tương
tự như của R. Chen và H. He cho nửa nhóm ánh xạ khơng giãn {T (t) : t ≥ 0}

tiệm cận chính quy đều. Với những ý tưởng trên chúng tôi cũng tiến hành
nghiên cứu phương pháp xấp xỉ gắn kết ẩn (8) và phương pháp xấp xỉ gắn kết
hiện (9) cho nửa nhóm ánh xạ khơng giãn {T (t) : t ≥ 0} và nửa nhóm ánh xạ

giả co Lipschitz {T (t) : t ≥ 0}. Chúng tôi đưa ra một cách tiếp cận mới cho

các dãy lặp (8) và (9) hội tụ.

Năm 2008, Y. Hao [44] đã nghiên cứu dãy lặp ẩn có sai số như sau:
x0 ∈ K,

xn = αn xn−1 + βn Tn xn + γn un

∀n ≥ 1,

(10)

Hao đã chứng minh dãy lặp ẩn trên hội tụ yếu đến điểm bất động chung của
một họ hữu hạn ánh xạ giả co Lipschitz trong không gian Banach lồi đều. Năm
2010, X. Qin và S. Y. Cho [73] phát triển dãy lặp ẩn (10) cho nửa nhóm giả
co Lipschitz {T (t) : t ≥ 0} như sau:
x0 ∈ K,

xn = αn xn−1 + βn T (tn )xn + γn un

∀n ≥ 1,

(11)

họ cũng chứng minh dãy lặp ẩn (11) hội tụ yếu đến điểm bất động chung của

nửa nhóm ánh xạ giả co Lipschitz {T (t) : t ≥ 0}. Năm 2011, R. P. Agarwal,

X. Qin và S. M. Khang [6] nghiên cứu dãy lặp ẩn (11) cho nửa nhóm ánh xạ

giả co Lipschitz và đã thu được định lý hội tụ mạnh. Với những ý tưởng trên
chúng tôi đề xuất nghiên cứu sự hội tụ của phương pháp xấp xỉ gắn kết có sai
số như sau:
x0 ∈ K,

xn = αn f (xn ) + βn T (tn )xn + γn un .
14


Trong đó {T (t) : t ≥ 0} là nửa nhóm ánh xạ khơng giãn hoặc nửa nhóm ánh

xạ giả co Lipschitz.

Có thể nói rằng, luận án này đề xuất một hướng tiếp cận mới cho bài tốn
tìm điểm bất động chung của một họ các ánh xạ không giãn trong không gian
Banach và Hilbert. Cụ thể luận án đã giải quyết được các vấn đề như sau:
1. So sánh được tốc độ hội tụ của một số phương pháp lặp cho lớp ánh xạ
Zamfirescu.
2. Nghiên cứu phương pháp lặp ẩn cho nửa nhóm ánh xạ khơng giãn và
nửa nhóm ánh xạ giả co chặt.
3. Nghiên cứu phương pháp xấp xỉ gắn kết ẩn và phương pháp xấp xỉ gắn
kết hiện cho nửa nhóm ánh xạ khơng giãn và nửa nhóm ánh xạ giả co Lipschitz.
4. Nghiên cứu phương pháp xấp xỉ gắn kết ẩn có sai số cho nửa nhóm ánh
xạ khơng giãn và nửa nhóm ánh xạ giả co Lipschitz.
Nội dung luận án được trình bày trong ba chương.
Chương 1 trình bày các kiến thức chuẩn bị, giới thiệu sơ lược về một số

vấn đề liên quan đến cấu trúc hình học của khơng gian Banach, các lớp ánh
xạ và một số phương pháp lặp. Cuối Chương 1 chúng tôi so sánh tốc độ hội
tụ của một số phương pháp lặp cho lớp ánh xạ Zamfirescu. Các kết quả của
chương này dựa trên nội dung của cơng trình [3].
Chương 2 trình bày các định lý về sự hội tụ của phương pháp lặp ẩn cho
nửa nhóm ánh xạ khơng giãn và nửa nhóm ánh xạ giả co chặt. Các kết quả
của chương này dựa vào nội dung của các cơng trình [1, 2, 5].
Chương 3 trình bày các định lý về sự hội tụ của phương pháp xấp xỉ gắn
kết ẩn và phương pháp xấp xỉ gắn kết hiện cho nửa nhóm ánh xạ khơng giãn và
nửa nhóm ánh xạ giả co Lipschitz. Cuối chương 3 chúng tôi trình bày phương
pháp xấp xỉ gắn kết ẩn có sai số cho nửa nhóm ánh xạ khơng giãn và nửa
nhóm ánh xạ giả co Lipschitz. Các kết quả của chương này dựa trên nội dung
của các cơng trình [4, 5, 6].
15


Một phần kết quả của luận án và các kết quả liên quan đã được báo cáo
tại Hội nghị Toán học toàn quốc, Nha Trang 2013.
Ngoài ra, các kết quả của luận án được báo cáo tại xêmina "Lý thuyết điểm
bất động và hình học của khơng gian Banach" của khoa Toán - Tin, Trường
ĐH Sư phạm Hà nội.

16


Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Một số kiến thức cơ bản về hình học khơng gian Banach được chúng tơi

giới thiệu trong chương này và chúng tôi cũng giới thiệu một số phương pháp
lặp tìm điểm bất động cho các lớp ánh xạ khác nhau, cuối Chương 1 chúng tôi
so sánh tốc độ hội tụ của một số phương pháp lặp cho lớp ánh xạ Zamfirescu.

1.1. Giới thiệu về hình học khơng gian Banach
1.1.1. Tính lồi của khơng gian Banach
Đầu tiên chúng tơi trình bày một số khái niệm và tính chất trong không
gian Banach mà chủ yếu được chúng tôi tham khảo trong [5, 91].
Định nghĩa 1.1. Không gian Banach X được gọi là lồi chặt nếu với mọi
x, y ∈ X mà độc lập tuyến tính thì
x+y < x + y .
Điều kiện này tương đương với
x = y = 1, x = y =⇒

x+y
< 1.
2

Không gian Banach X lồi đều nếu và chỉ nếu hai dãy bất kỳ {xn }, {yn } trong
X thỏa mãn
xn = yn = 1 và lim xn + yn = 2,
n→∞

thì lim

n→∞

xn − yn = 0.

Định lý 1.1. Cho X là không gian Banach thì các điều kiện sau tương đương:

1) X là không gian lồi đều;
17


2) với mọi ǫ với 0 < ǫ ≤ 2 thì tồn tại δ = δ(ǫ) > 0 sao cho
x+y
≤ 1−δ
2
với mọi x, y ∈ X với x = y = 1 và x − y ≥ ǫ.
Giả sử X là khơng gian Banach thì hàm số δ : [0, 2] → [0, 1] được xác định

như sau

δ(ǫ) = inf 1 −

x+y
: x ≤ 1, y ≤ 1, x − y ≥ ǫ
2

được gọi là môđun lồi của X.
Dễ thấy rằng δ là hàm không giảm, nghĩa là nếu ǫ1 ≤ ǫ2 thì δ(ǫ1 ) ≤ δ(ǫ2 ).
Định lý 1.2. Cho X là khơng gian Banach. Khi đó X là lồi đều nếu và chỉ
nếu δ(ǫ) > 0 với mọi ǫ > 0.
Định lý 1.3. Giả sử X là không gian Banach lồi đều. Khi đó với mọi r và ǫ
với r ≥ ǫ > 0 các bất đẳng thức x ≤ r, y ≤ r và x − y ≥ ǫ > 0 suy ra
ǫ
δ
> 0 và
r
ǫ

x+y
,
≤r 1−δ
2
r
với δ là môđun lồi của X.
Bổ đề 1.1. Cho X là không gian Banach lồi đều và δ là môđun lồi của X.
ǫ
Giả sử 0 < ǫ < r ≤ R. Khi đó δ
> 0 và
R
λx + (1 − λ)y ≤ r 1 − 2λ(1 − λ)δ

ǫ
R

với mọi x, y ∈ X với x ≤ r, y ≤ r, x − y ≥ ǫ và λ ∈ [0, 1].
Định nghĩa 1.2. Không gian Banach X được gọi là thỏa mãn điều kiện Opial
nếu mọi dãy {xn } trong X hội tụ yếu đến x thì
lim inf xn − x < lim inf xn − y với mọi y ∈ X, y = x.
n→∞

n→∞

Định lý 1.4. Mọi không gian lồi đều là không gian phản xạ.
18


1.1.2. Ánh xạ đối ngẫu
Cho X là không gian Banach và X ∗ là không gian đối ngẫu. Với mỗi x ∈ X,

ta đặt

J(x) = {f ∈ X ∗ : x, f = x

2

= f

2

}

Ánh xạ đa trị J : X → 2X được gọi là ánh xạ đối ngẫu của X.
∗

Định lý 1.5. Cho X là không gian Banach và J là ánh xạ đối ngẫu của X.
Khi đó
1) với mỗi x ∈ E, J(x) là tập lồi đóng khác rỗng bị chặn của X ∗ ;
2) J(0) = {0};
3) với mỗi x ∈ X và α ∈ R ta có J(αx) = αJ(x).
Định nghĩa 1.3. Cho X là không gian định chuẩn.
w∗
1) Giả sử f, f1 , f2 , ... ∈ X ∗ . Khi đó fn ⇀ f nếu và chỉ nếu lim fn (x) = f (x)
n→∞

với mọi x ∈ X.
2) Giả sử x, x1 , x2 , ... ∈ X. Khi đó xn ⇀x nếu và chỉ nếu lim fn (x) = f (x)
n→∞

với mọi f ∈ X ∗ .

Định nghĩa 1.4. Giả sử J là đơn trị. Ánh xạ đối ngẫu J được gọi là liên tục
w∗
yếu theo dãy nếu với mỗi dãy {xn } ⊂ X, xn ⇀ x thì J(xn ) ⇀ J(x).
Định nghĩa 1.5. Không gian Banach X được gọi là có ánh xạ đối ngẫu liên
tục yếu theo dãy nếu J là đơn trị và J là liên tục yếu theo dãy.
Bổ đề 1.2. ([41], Định lý 1) Nếu không gian Banach thực X có ánh xạ đối
ngẫu J liên tục yếu theo dãy thì X thỏa mãn điều kiện Opial.
Bổ đề 1.3. Giả sử X là không gian Banach thực, J là ánh xạ đối ngẫu. Khi
đó với mọi x, y ∈ X ta có
x+y

2

≤ x

2

+ 2 y, j(x + y)

với mọi j(x + y) ∈ J(x + y).

19


1.1.3. Tính khả vi của chuẩn
Chúng tơi trình bày tính khả vi của chuẩn của không gian Banach. Cho X
là không gian Banach và đặt S(X) = {x ∈ X : x = 1}.

• Khơng gian Banach X được gọi là trơn nếu giới hạn
lim

t→0

x + ty − x
t

(1.1)

tồn tại với mỗi x, y ∈ S(X). Trong trường hợp này chuẩn của X được gọi là
khả vi Gâteaux.

• Khơng gian Banach X được gọi là có chuẩn khả vi Gâteaux đều nếu với

mỗi y ∈ S(X) giới hạn (1.1) là đều với mọi x ∈ S(X).

• Khơng gian Banach X được gọi là có chuẩn khả vi Fréchet nếu với mỗi

x ∈ S(X) giới hạn (1.1) là đều với mọi y ∈ S(X).

• Chuẩn của X được gọi là khả vi Fréchet đều (hay X còn được gọi là trơn

đều) nếu giới hạn (1.1) là đều với mọi (x, y) ∈ S(X) × S(X).

Định lý 1.6. X là khơng gian Banach trơn thì ánh xạ đối ngẫu J của X là
đơn trị.
Bổ đề 1.4. Giả sử X là không gian Banach và J là ánh xạ đối ngẫu của X.
Nếu J là đơn trị thì J liên tục từ khơng gian Banach X với tôpô chuẩn và X ∗
với tôpô * yếu.

Định lý 1.7. Cho X là không gian Banach và J là ánh xạ đối ngẫu của X.
Nếu J là đơn trị, thì X là trơn.
Định lý 1.8. Giả sử X ∗ là không gian Banach lồi đều và J là ánh xạ đối
ngẫu của X. Khi đó J là đơn trị và liên tục đều trên mọi tập con bị chặn của
X, nghĩa là cho B là tập con bị chặn của X và ǫ > 0, thì tồn tại δ > 0 sao
cho
J(x) − J(y) < ǫ ∀x, y ∈ B và x − y < δ.
Định lý 1.9. Cho X là không gian Banach với chuẩn khả vi Fréchet. Khi đó
ánh xạ đối ngẫu J : X → X ∗ liên tục theo tôpô chuẩn trên X và tôpô chuẩn
trên X ∗ .
20


Định lý 1.10. Cho X là không gian Banach lồi đều với chuẩn khả vi Gâteaux
đều. Khi đó ánh xạ đối ngẫu J : X → X ∗ là liên tục đều trên mỗi tập con bị
chặn của không gian X với tôpô chuẩn và không gian X ∗ với tôpô * yếu.
Định lý 1.11. Cho X là không gian Banach. Khi đó, X có chuẩn khả vi
Fréchet đều khi và chỉ khi X ∗ lồi đều.

1.2. Ánh xạ không giãn
1.2.1. Ánh xạ không giãn
Định nghĩa 1.6. Cho C là một tập con khác rỗng của không gian định chuẩn
X và T : C → X là một ánh xạ. T được gọi là không giãn nếu
T x − T y ≤ x − y ∀x, y ∈ C.
Nhắc lại rằng dãy {xn } ⊂ C được gọi là một dãy xấp xỉ điểm bất động của

T nếu lim

n→∞

xn − T xn = 0.

Định nghĩa 1.7. Cho C là một tập con khác rỗng của không gian Banach X
và T : C → X là một ánh xạ. Khi đó T được gọi là nửa đóng tại v ∈ X nếu
với mọi dãy {xn } ∈ C thỏa mãn xn ⇀ u ∈ C và T xn ⇀ v thì T u = v.
Định lý 1.12. Nếu X là không gian Banach thỏa mãn điều kiện Opial, C là
tập con khác rỗng compắc yếu của X và T : C → X là ánh xạ khơng giãn thì
I − T là nửa đóng.
Hệ quả 1.1. Nếu X là khơng gian Banach phản xạ thỏa mãn điều kiện Opial,
C là tập con lồi đóng khác rỗng của X và T : C → X là ánh xạ khơng giãn
thì I − T là nửa đóng.
Định lý 1.13. Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của khơng gian
Banach lồi đều X và T : C → X là ánh xạ khơng giãn thì I − T là nửa đóng.
Định lý 1.14. Cho X là không gian Banach phản xạ thỏa mãn điều kiện
Opial, C là một tập con lồi đóng bị chặn khác rỗng của X và T : C → C là
ánh xạ khơng giãn. Khi đó T có điểm bất động trong C.
Định lý 1.15. (F. E. Browder và D. Gohde, 1965) Cho C là tập con lồi đóng
bị chặn khác rỗng của khơng gian Banach lồi đều X. Khi đó mọi ánh xạ khơng
giãn T : C → C đều có điểm bất động.
21


Định nghĩa 1.8. Họ ánh xạ {T (t) : t ≥ 0} được gọi là nửa nhóm ánh xạ
khơng giãn từ tập con khác rỗng C của không gian Banach X vào chính nó
nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:
(1) với mỗi t ≥ 0, T (t) là ánh xạ không giãn trên C;
(2) T (0)x = x, ∀x ∈ C;
(3) T (s + t) = T (s)T (t) với mọi s, t ≥ 0;
(4) với mỗi x ∈ C, ánh xạ T (.)x liên tục từ R+ vào C.

1.2.2. Ánh xạ giả co
Trong mục này chúng tơi trình bày lớp ánh xạ giả co, ánh xạ giả co mạnh,
ánh xạ giả co chặt trong không gian Banach và một số định lý điểm bất động
liên quan đến lớp ánh xạ giả co.
Định nghĩa 1.9.
• Ánh xạ T với miền xác định là D(T ) và miền giá trị là R(T ) được gọi là giả
co nếu với mọi x, y ∈ D(T ) tồn tại j(x − y) ∈ J(x − y) sao cho
T x − T y, j(x − y) ≤ x − y 2 .

(1.2)

Điều kiện (1.2) tương đương với
x − y ≤ x − y + s[(I − T )x − (I − T )y] ∀s > 0.
• Ánh xạ T được gọi là giả co mạnh nếu với mọi x, y ∈ D(T ) tồn tại j(x − y) ∈
J(x − y) và λ ∈ (0, 1) sao cho
(I − T )x − (I − T )y, j(x − y) ≥ λ x − y 2 .

(1.3)

Điều kiện (1.3) tương đương với
T x − T y, j(x − y) ≤ (1 − λ) x − y 2 .
• Ánh xạ T được gọi là giả co chặt nếu với mọi x, y ∈ D(T ) tồn tại j(x − y) ∈
J(x − y) và λ ∈ (0, 1) sao cho
T x − T y, j(x − y) ≤ x − y

2

− λ (I − T )x − (I − T )y 2 .

Điều kiện (1.4) tương đương với

(I − T )x − (I − T )y, j(x − y) ≥ λ (I − T )x − (I − T )y 2 .
22

(1.4)


Nhận xét 1.1. Mọi ánh xạ giả co chặt là ánh xạ Lipschitz với hằng số Lips1+λ
chitz bằng
.
λ
Trong không gian Hilbert, ánh xạ giả co chặt được định nghĩa như sau: Ánh
xạ T được gọi là giả co chặt trong không gian Hilbert nếu tồn tại k ∈ [0, 1)
sao cho

Tx − Ty

2

≤ x−y

2

+ k (I − T )x − (I − T )y

2

∀x, y ∈ D(T ).

Khi đó ánh xạ giả co chặt là ánh xạ Lipschitz với hằng số Lipschitz là
1+k

.
1−k
Có một mối liên hệ giữa các lớp ánh xạ như sau:
1. Lớp ánh xạ co ⊂ lớp ánh xạ không giãn ⊂ lớp ánh xạ giả co.

2. Lớp ánh xạ co ⊂ lớp ánh xạ giả co mạnh ⊂ lớp ánh xạ giả co.

3. Lớp ánh xạ giả co chặt và lớp ánh xạ giả co mạnh độc lập.

4. Lớp ánh xạ giả co chặt nằm trong lớp ánh xạ giả co, ngược lại không
đúng.
5. Ánh xạ giả co chặt là ánh xạ Lipschitz nhưng không là ánh xạ khơng
giãn.
6. Ánh xạ giả co nói chung là không liên tục.
Định lý 1.16. (K. Deimling, [39]) Nếu C là một tập con lồi đóng khác rỗng
của khơng gian Banach X và T : C → C là ánh xạ liên tục, giả co mạnh thì
T có duy nhất điểm bất động trong C.
Định nghĩa 1.10. (S. S. Zhang, [113]) Họ các ánh xạ một tham số {T (t) :
t ≥ 0} từ C vào chính nó được gọi là nửa nhóm ánh xạ giả co Lipschitz nếu
các điều kiện sau được thỏa mãn:
(1) T (0)x = x với mỗi x ∈ C;

(2) T (t + s)x = T (t)T (s)x với mọi t, s ∈ R+ và x ∈ C;

(3) với mỗi x ∈ C, ánh xạ T (.)x từ R+ vào C là liên tục;

(4) với mọi x, y ∈ C, tồn tại j(x − y) ∈ J(x − y) sao cho
T (t)x − T (t)y, j(x − y) ≤ x − y
23

2

với mỗi t > 0;

(1.5)