(Luận án tiến sĩ) phương pháp điều kiện biên hiệu dụng và sóng rayleigh trong các bán không gian đàn hồi được phủ một lớp vật liệu

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

VŨ THỊ NGỌC ÁNH

PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU KIỆN BIÊN HIỆU DỤNG VÀ
SĨNG RAYLEIGH TRONG CÁC BÁN KHƠNG GIAN
ĐÀN HỒI ĐƯỢC PHỦ MỘT LỚP VẬT LIỆU

LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ HỌC

Hà Nội - 2019


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

VŨ THỊ NGỌC ÁNH

PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU KIỆN BIÊN HIỆU DỤNG VÀ
SĨNG RAYLEIGH TRONG CÁC BÁN KHƠNG GIAN
ĐÀN HỒI ĐƯỢC PHỦ MỘT LỚP VẬT LIỆU

Chuyên ngành: Cơ học vật rắn
Mã số: 9440109.02

LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
GS. TS. Phạm Chí Vĩnh

Hà Nội - 2019


LỜI CAM ĐOAN
Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu và
kết quả được trình bày trong luận án là trung thực và chưa từng được ai cơng
bố trong bất kỳ cơng trình nào khác.
Nghiên cứu sinh

Vũ Thị Ngọc Ánh


LỜI CẢM ƠN

Luận án này được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của
GS. TS. Phạm Chí Vĩnh. Thầy ln tận tình hướng dẫn, truyền đạt kiến thức,
kinh nghiệm cho tơi, để tơi có được thành quả này. Tơi xin được bày tỏ lịng
biết ơn vơ cùng sâu sắc đến Thầy.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Khoa học Tự
nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, ban chủ nhiệm Khoa Toán - Cơ - Tin học,
các cán bộ Phòng sau đại học và đặc biệt là các thầy cô giáo Bộ mơn Cơ học
đã tạo mọi điều kiện cho tơi hồn thành luận án. Tơi cảm ơn các thành viên
trong nhóm xêmina do thầy Phạm Chí Vĩnh làm trưởng nhóm, đã chia sẻ kinh
nghiệm, tạo một môi trường nghiên cứu khoa học tốt nhất cho bản thân tôi.
Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến gia đình tôi đã luôn luôn
giúp đỡ, động viên và ủng hộ tơi trong suốt q trình làm luận án.
Nghiên cứu sinh

Vũ Thị Ngọc Ánh

Danh mục các chữ viết tắt

BKG
BKG-LM
BKG-LM-ĐH
BKG-LM-ĐHĐH
ĐKBHD
LM
PPĐKBHD
PTTS

bán không gian
bán không gian phủ lớp mỏng
bán không gian đàn hồi phủ lớp mỏng đàn hồi
bán không gian đàn hồi đẳng hướng phủ lớp mỏng
đàn hồi đẳng hướng
điều kiện biên hiệu dụng
lớp mỏng
phương pháp điều kiện biên hiệu dụng
phương trình tán sắc


Mục lục
Danh sách hình vẽ

iv

MỞ ĐẦU

1

1 TỔNG QUAN
1.1 Phương pháp điều kiện biên hiệu dụng . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Ý tưởng và mục tiêu của phương pháp . . . . . . . . . . .
1.1.2 Sự phát triển của phương pháp trước luận án . . . . . . .
1.1.3 Sự phát triển của phương pháp trong luận án . . . . . .
1.2 Sóng Rayleigh trong các bán khơng gian đàn hồi được phủ một
lớp vật liệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Sóng Rayleigh trong các bán không gian đàn hồi phủ một
lớp mỏng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Sóng Rayleigh trong các bán khơng gian đàn hồi phủ một
lớp có độ dày tùy ý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Các vấn đề được nghiên cứu trong luận án . . . . . . . . . . . . .

4
4
4
5
8

.
.
.
.

. 11
. 11
. 14
. 15

2 PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU KIỆN BIÊN HIỆU DỤNG
2.1 Các bước thực hiện của phương pháp điều kiện biên hiệu dụng . .
2.1.1 Trường hợp lớp mỏng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Trường hợp lớp vật liệu có độ dày hữu hạn . . . . . . . . .
2.2 Điều kiện biên tiền hiệu dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Lớp vật liệu mỏng thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Lớp vật liệu mỏng không thuần nhất . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Lớp vật liệu có độ dày hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Điều kiện biên hiệu dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Lớp vật liệu mỏng thuần nhất với liên kết gắn chặt và liên
kết trượt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Lớp vật liệu mỏng không thuần nhất với liên kết gắn chặt

i

17
18
18
22
23
23
30
33
38
38
45


2.3.3

2.4

Lớp vật liệu có độ dày hữu hạn với liên kết gắn chặt, liên
kết trượt và liên kết lò xo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Kết luận chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3 SĨNG RAYLEIGH TRONG CÁC BÁN KHƠNG GIAN ĐÀN
HỒI PHỦ LỚP MỎNG
3.1 Sóng Rayleigh trong bán khơng gian đàn hồi trực hướng nén được
phủ lớp mỏng trực hướng không nén được với liên kết gắn chặt . .
3.2 Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi trực hướng không
nén được phủ lớp mỏng trực hướng nén được với liên kết gắn chặt
3.3 Sóng Rayleigh trong bán khơng gian đàn hồi trực hướng nén được
phủ lớp mỏng trực hướng nén được với liên kết trượt . . . . . . . .
3.4 Sóng Rayleigh trong bán khơng gian đàn hồi trực hướng nén được
phủ lớp mỏng trực hướng không nén được với liên kết trượt . . . .
3.5 Sóng Rayleigh trong bán khơng gian đàn hồi trực hướng không
nén được phủ lớp mỏng trực hướng nén được với liên kết trượt . .
3.6 Sóng Rayleigh trong bán khơng gian đàn hồi trực hướng không
nén được phủ lớp mỏng trực hướng không nén được với liên kết
trượt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Sóng Rayleigh trong bán khơng gian đàn hồi đẳng hướng nén
được phủ lớp mỏng đẳng hướng nén được, khơng thuần nhất . . .
3.8 Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi đẳng hướng nén
được phủ lớp mỏng đẳng hướng nén được . . . . . . . . . . . . . .
3.8.1 Liên kết giữa lớp và bán không gian là liên kết gắn chặt .
3.8.2 Liên kết giữa lớp và bán không gian là liên kết trượt . . .
3.9 Ví dụ về ảnh hưởng của tính khơng nén được lên vận tốc sóng .
3.10 Kết luận chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 SÓNG RAYLEIGH TRONG CÁC BÁN KHƠNG GIAN ĐÀN

HỒI PHỦ MỘT LỚP VẬT LIỆU CĨ ĐỘ DÀY TÙY Ý
4.1 Sóng Rayleigh trong bán khơng gian trực hướng nén được phủ
lớp trực hướng nén được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Liên kết giữa lớp và bán không gian là liên kết lò xo . . .
4.1.2 Liên kết giữa lớp và bán không gian là gắn chặt . . . . . .
4.1.3 Liên kết giữa lớp và bán không gian là trượt . . . . . . . .
4.1.4 Dạng thứ hai của phương trình tán sắc . . . . . . . . . . .
4.1.5 Trường hợp đẳng hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ii

49
50
54
58
62
64

67
69
71
72
74
77
79

81
82
82
85
86

86
88


4.2
4.3

4.4

4.5

4.6
4.7

Phương pháp giới hạn không nén được . . . . . . . . . . . . . . .
Sóng Rayleigh trong bán khơng gian trực hướng khơng nén được
phủ lớp trực hướng không nén được . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Liên kết giữa lớp và bán khơng gian là liên kết lị xo . .
4.3.2 Liên kết giữa lớp và bán không gian là gắn chặt . . . . .
4.3.3 Liên kết giữa lớp và bán không gian là trượt . . . . . . .
Sóng Rayleigh trong bán khơng gian đàn hồi trực hướng không
nén được phủ lớp trực hướng nén được . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Liên kết giữa lớp và bán khơng gian là liên kết lị xo . .
4.4.2 Liên kết giữa lớp và bán không gian là gắn chặt . . . . .
4.4.3 Liên kết giữa lớp và bán không gian là trượt . . . . . . .
Sóng Rayleigh trong bán khơng gian trực hướng nén được phủ
lớp trực hướng không nén được . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.1 Liên kết giữa lớp và bán khơng gian là liên kết lị xo . .
4.5.2 Liên kết giữa lớp và bán không gian là gắn chặt . . . . .
4.5.3 Liên kết giữa lớp và bán không gian là trượt . . . . . . .

Ví dụ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kết luận chương 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

KẾT LUẬN

. 90
.
.
.
.

93
94
95
95

.
.
.
.

96
96
97
97

.
.
.
.

.
.

97
98
99
99
99
102
104

Danh mục cơng trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án 106
Các vấn đề tiếp tục phát triển sau luận án

108

Tài liệu tham khảo

109

PHỤ LỤC

iii


Danh sách hình vẽ
2.1

Mơ hình bán khơng gian đàn hồi phủ lớp đàn hồi. . . . . . . . . . 17

3.1
3.2

Mơ hình bán khơng gian đàn hồi phủ lớp đàn hồi. . . . . . . . .
Đường cong xấp xỉ (nét đứt) và đường cong chính xác (nét liền)
của vận tốc sóng Rayleigh trong BKG nén được phủ LM không
nén được, liên kết gắn chặt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Đường cong xấp xỉ (nét đứt) và đường cong chính xác (nét liền)
của vận tốc sóng Rayleigh trong BKG khơng nén được phủ LM
nén được, liên kết gắn chặt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Đường cong xấp xỉ (nét đứt) và đường cong chính xác (nét liền)
của vận tốc sóng Rayleigh trong BKG nén được phủ LM nén
được, liên kết trượt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Đường cong xấp xỉ (nét đứt) và đường cong chính xác (nét liền)
của vận tốc sóng Rayleigh trong BKG nén được phủ LM không
nén được, liên kết trượt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Đường cong xấp xỉ (nét đứt) và đường cong chính xác (nét liền)
của vận tốc sóng Rayleigh trong BKG không nén được phủ LM
nén được, liên kết trượt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Đường cong xấp xỉ (nét đứt) và đường cong chính xác (nét liền)
của vận tốc sóng Rayleigh trong BKG không nén được phủ LM
không nén được, liên kết trượt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Đường cong xấp xỉ (nét đứt) và đường cong chính xác (nét liền)
của vận tốc sóng Rayleigh trong BKG đẳng hướng, nén được phủ
LM không thuần nhất với δ = 0.1, liên kết gắn chặt. . . . . . . .
Đường cong xấp xỉ (nét đứt) và đường cong chính xác (nét liền)
của vận tốc sóng Rayleigh trong BKG đẳng hướng, nén được phủ
LM không thuần nhất với δ = −0.1, liên kết gắn chặt. . . . . . .

3.3

3.4

3.5

3.6

3.7

3.8

3.9

iv

. 49

. 53

. 57

. 61

. 64

. 66

. 68

. 72

. 73


3.10 Các đường cong xấp xỉ: Bovik (nét đứt có chấm), bậc bốn (nét
đứt) và đường cong chính xác (nét liền) của vận tốc sóng Rayleigh
trong BKG đẳng hướng nén được phủ LM đẳng hướng nén được,
liên kết gắn chặt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.11 Đường cong xấp xỉ bậc bốn (nét đứt) và đường cong chính xác
(nét liền) của vận tốc sóng Rayleigh trong BKG đẳng hướng nén
được phủ LM đẳng hướng nén được, liên kết trượt. . . . . . . . .
3.12 Ảnh hưởng của tính khơng nén được của lớp lên vận tốc sóng
Rayleigh. BKG là nén được. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.13 Ảnh hưởng của tính khơng nén được của lớp lên vận tốc sóng
Rayleigh. BKG là không nén được. . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.14 Ảnh hưởng của tính khơng nén được của BKG lên vận tốc sóng
Rayleigh. Lớp là nén được. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.15 Ảnh hưởng của tính khơng nén được của BKG lên vận tốc sóng
Rayleigh. Lớp là khơng nén được. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1
4.2

4.3
4.4

4.5

Mơ hình bán khơng gian trực hướng phủ lớp trực hướng có độ
dày h. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Đường cong vận tốc của sáu mode đầu tiên của sóng Rayleigh

trong BKG trực hướng nén được phủ lớp trực hướng nén được độ
dày tùy ý, liên kết lò xo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Đường cong vận tốc của bốn mode đầu tiên của sóng Rayleigh
với liên kết lị xo. BKG và lớp là trực hướng nén được. . . . . .
Đường cong vận tốc của bốn mode đầu tiên của sóng Rayleigh
với liên kết gắn chặt (nét liền) và liên kết trượt (nét đứt). BKG
và lớp là trực hướng nén được. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sự phụ thuộc của vận tốc sóng Rayleigh các mode 0, 1, 2 vào độ
mềm pháp cN (nét liền) và độ mềm tiếp cT (nét đứt), trường hợp
lớp trực hướng nén được có độ dày tùy ý trên BKG trực hướng
nén được. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

v

. 75

. 76
. 77
. 78
. 79
. 79

. 81

. 100
. 100

. 101

. 102

MỞ ĐẦU
Tính thời sự của đề tài luận án
Nhiều bài toán thực tế dẫn đến bài toán biên của lý thuyết đàn hồi trên
miền Ω gồm một số miền con (thành phần) liên kết với nhau. Để giải các bài
toán biên này, cần tìm nghiệm tổng quát trên từng miền con, sau đó cho chúng
thỏa mãn các điều kiện biên, điều kiện đầu và điều kiện liên kết. Khi Ω gồm
nhiều miền con, số ẩn hàm cần tìm lớn. Để giảm số ẩn cần tìm của bài tốn, cần
giảm số thành phần của Ω. Để bảo toàn tương tác cơ học, ảnh hưởng của các
thành phần đưa ra khỏi kết cấu Ω lên phần còn lại Ω∗ sẽ được thay thế bằng các
điều kiện trên biên của Ω∗ , được gọi là các điều kiện biên hiệu dụng (ĐKBHD).
Phương pháp này, do vậy, được gọi là phương pháp điều kiện biên hiệu dụng
(PPĐKBHD). Vì tác dụng làm giảm số ẩn của một bài tốn biên, PPĐKBHD
có phạm vi ứng dụng lớn, rất cần được nghiên cứu và phát triển.
Cấu trúc “một lớp (đàn hồi) dày phủ một lớp (đàn hồi) mỏng”, mơ hình hóa
như bán khơng gian (BKG) đàn hồi phủ một lớp đàn hồi, đang được sử dụng
rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau của công nghệ hiện đại. Việc đánh giá
các tính chất cơ học của cấu trúc trước và trong quá trình sử dụng, do vậy, là
hết sức cần thiết và có ý nghĩa. Trong nhiều phương pháp đánh giá, phương
pháp truyền sóng Rayleigh được sử dụng rộng rãi bởi nó khơng phá hủy vật
liệu, thời gian kiểm tra ngắn, giá thành rẻ. Khi sử dụng sóng Rayleigh để đánh
giá, phương trình tán sắc (PTTS) dạng hiện của nó là cơ sở tốn học để thiết
lập bài toán ngược: xác định các đặc trưng cơ học của cấu trúc từ các giá trị đo
được của vận tốc sóng. Do vậy, nghiên cứu bài tốn truyền sóng Rayleigh trong
các BKG đàn hồi phủ một lớp đàn hồi, để tìm ra các PTTS dạng hiện của sóng,
là địi hỏi cấp bách, có ý nghĩa quan trọng trong lĩnh vực đánh giá không phá
hủy và khoa học vật liệu.
Để tìm ra các PTTS dạng hiện của sóng Rayleigh truyền trong các BKG
đàn hồi phủ một lớp đàn hồi, PPĐKBHD được sử dụng. Toàn bộ ảnh hưởng

của lớp lên BKG được thay thế bằng ĐKBHD tại mặt biên của BKG (tức là
biên phân chia giữa BKG và lớp). Sau đó, sóng Rayleigh trong BKG phủ lớp vật
1


liệu được xét như sóng Rayleigh truyền trong BKG khơng bị phủ, chịu ĐKBHD.
Mục tiêu của luận án
Mục tiêu của luận án là phát triển PPĐKBHD và tìm ra các PTTS dạng hiện
của sóng Rayleigh truyền trong các BKG đàn hồi phủ một lớp đàn hồi.
Đối tượng nghiên cứu
Sóng Rayleigh trong các bán không gian đàn hồi phủ một lớp đàn hồi.
Phạm vi nghiên cứu
Cấu trúc bán không gian đàn hồi đẳng hướng (trực hướng) nén được (không
nén được) phủ một lớp đàn hồi đẳng hướng (trực hướng) nén được (không nén
được) với liên kết gắn chặt, liên kết trượt, liên kết lò xo.
Phương pháp nghiên cứu
Luận án sử dụng “phương pháp điều kiện biên hiệu dụng”, “phương pháp ma
trận chuyển”, “phương pháp giới hạn khơng nén được” để tìm ra các phương
trình tán sắc dạng hiện của sóng Rayleigh.
Những đóng góp mới của luận án
1. Phát triển PPĐKBHD cho kết cấu BKG đàn hồi phủ một lớp đàn hồi với liên
kết trượt và liên kết lò xo.
2. Phát triển phương pháp giới hạn không nén được.
3. Áp dụng PPĐKBHD và phương pháp giới hạn khơng nén được để tìm ra các
PTTS dạng hiện xấp xỉ và chính xác của sóng Rayleigh truyền trong các bán
khơng gian đàn hồi phủ một lớp vật liệu với liên kết gắn chặt, liên kết trượt,
liên kết lị xo.
Các kết quả chính của luận án đã được công bố trên 09 bài báo quốc
tế thuộc danh mục ISI (04 SCI-Q1; 02 SCI-Q2, 01 SCIE-Q1, 02 SCIEQ2), 01 bài báo quốc gia uy tín (Vietnam Journal of Mechanics), 01
báo cáo Hội nghị Khoa học toàn quốc Cơ học Vật rắn biến dạng lần

thứ XII.
Cấu trúc của luận án
Luận án gồm phần mở đầu, kết luận và bốn chương:
Chương 1: Tổng quan.
Chương này trình bày ý tưởng của PPĐKBHD và tổng quan sự phát triển của

2


nó, tổng quan tình hình nghiên cứu bài tốn truyền sóng Rayleigh trong các
BKG đàn hồi phủ một lớp đàn hồi.
Chương 2: Phương pháp điều kiện biên hiệu dụng.
Sau khi trình bày các bước thực hiện của PPĐKBHD, chương này thiết lập các
điều kiện biên hiệu dụng cho lớp đàn hồi trực hướng (nén được và không nén
được) liên kết gắn chặt, trượt, lò xo với BKG đàn hồi. Chú ý rằng, các ĐKBHD
thu được không chỉ để sử dụng nghiên cứu bài tốn truyền sóng Rayleigh, mà
có thể sử dụng cho bài toán động bất kỳ đối với liên kết gắn chặt, cho bài tốn
truyền sóng phẳng tùy ý đối với liên kết trượt và liên kết lò xo.
Chương 3: Sóng Rayleigh trong các bán khơng gian đàn hồi phủ lớp mỏng.
Sử dụng các ĐKBHD thu được ở chương 2 cho trường hợp lớp mỏng, chương
này thiết lập các PTTS xấp xỉ (bậc cao) dạng hiện cho sóng Rayleigh truyền
trong các BKG đàn hồi phủ một lớp đàn hồi mỏng (thuần nhất và khơng thuần
nhất).
Chương 4: Sóng Rayleigh trong các bán không gian đàn hồi phủ một lớp vật
liệu có độ dày tùy ý.
Sử dụng các ĐKBHD thu được ở chương 2 cho trường hợp lớp có độ dày tùy
ý, kết hợp với phương pháp giới hạn không nén được, chương này thiết lập các
PTTS chính xác dạng hiện cho sóng Rayleigh truyền trong các BKG đàn hồi
phủ một lớp đàn hồi có độ dày tùy ý.

3


Chương 1
TỔNG QUAN
1.1
1.1.1

Phương pháp điều kiện biên hiệu dụng
Ý tưởng và mục tiêu của phương pháp

Trong không gian Euclide ba chiều Ox1 x2 x3 , xét một vật thể đàn hồi tuyến
tính Ω gồm n (≥ 2) thành phần (đặc trưng bởi các hằng số đàn hồi khác nhau)
Ωk (k = 1, 2, ..., n). Liên kết giữa các thành phần Ωk có thể là liên kết gắn chặt,
liên kết trượt hay liên kết lị xo.
Xét bài tốn biên của lý thuyết đàn hồi tuyến tính trên miền Ω: tìm các
thành phần chuyển dịch uk (x1 , x2 , x3 , t) (k = 1, 2, 3) thỏa mãn các phương trình
chuyển động (bỏ qua lực khối):
(k)

cijpq uq,pj = ρ(k) uăi , i = 1, 2, 3, k = 1, 2, ..., n

(1.1)

và các điều kiện biên, điều kiện đầu và điều kiện liên kết. Trong phương trình
(k) tương ứng là các hằng số đàn hồi, mật độ khối lượng của vật thể
(1.1), c(k)
ijpq , ρ
Ωk , dấu “,” chỉ đạo hàm theo biến xk , dấu “.” chỉ đạo hàm theo biến thời gian t.
Để giải bài toán biên trên, ta phải tìm nghiệm (tổng quát) của hệ phương

trình (1.1) trong từng miền con Ωk (k = 1, 2, ..., n), sau đó cho chúng thỏa mãn
điều kiện biên, điều kiện đầu và điều kiện liên kết.
Khi miền Ω gồm nhiều miền con, số ẩn hàm cần tìm lớn, việc giải bài tốn,
do vậy trở nên rất khó khăn. Để giảm số ẩn cần tìm của bài tốn, cần giảm số
thành phần của Ω. Để bảo toàn tương tác cơ học của kết cấu, ảnh hưởng của
các thành phần đưa ra khỏi kết cấu Ω lên phần còn lại Ω∗ phải được thay thế
(một cách tương đương) bằng các điều kiện trên biên của Ω∗ . Các điều kiện này
được gọi là các “điều kiện biên hiệu dụng (ĐKBHD)”, như đã nói ở phần mở
đầu.
4


Ta phải tìm các điều kiện biên hiệu dụng để giải bài toán biên trên miền Ω∗ .
Như sẽ thấy ở các chương sau, chúng là các hệ thức tuyến tính giữa các thành
phần chuyển dịch, các thành phần ứng suất và các đạo hàm riêng của chúng
(theo xk và t).
Như vậy, ý tưởng của phương pháp điều kiện biên hiệu dụng là: Bỏ bớt một
số thành phần của kết cấu và thay thế một cách tương đương ảnh hưởng của
chúng lên phần còn lại bằng các điều kiện biên hiệu dụng.
Ý nghĩa của phương pháp: Giảm số ẩn cần tìm của các bài tốn biên của lý
thuyết đàn hồi đối với các kết cấu nhiều thành phần.
Mục tiêu của phương pháp: Tìm ra các điều kiện biên hiệu dụng.

1.1.2

Sự phát triển của phương pháp trước luận án

Người đầu tiên sử dụng phương pháp điều kiện biên hiệu dụng là Tiersten
[73] (1969). Ơng áp dụng cho kết cấu bán khơng gian phủ lớp mỏng, mơ hình
tốn học của một lớp dày phủ một lớp mỏng. Kết cấu này đang được sử dụng

rộng rãi trong công nghệ hiện đại. Vật liệu của bán không gian và lớp đều là đàn
hồi đẳng hướng. Liên kết giữa chúng là liên kết gắn chặt. Tiersten bỏ lớp mỏng
và thay thế ảnh hưởng của nó lên bán không gian bằng các điều kiện biên hiệu
dụng xấp xỉ bậc nhất. Để rút ra các điều kiện biên hiệu dụng, Tiersten thay thế
(một cách gần đúng) lớp mỏng bằng một bản mỏng và sử dụng lý thuyết bản
bậc nhất, sau đó xấp xỉ chuyển dịch tại biên phân chia giữa lớp và bán không
gian bằng chuyển dịch tại mặt giữa của bản. Các điều kiện biên hiệu dụng thu
được có thể sử dụng cho mọi bài tốn động của lý thuyết đàn hồi. Tiersten đã
sử dụng chúng để nghiên cứu sự truyền của sóng Rayleigh trong bán không gian
đàn hồi đẳng hướng phủ lớp mỏng đàn hồi đẳng hướng. Phương trình tán sắc
dạng tường minh của sóng đã được tìm ra khá dễ dàng bằng cách khai triển
một định thức cấp hai. Trong khi đó, nếu sử dụng phương pháp truyền thống,
phải khai triển một định thức cấp sáu. Trước Tiersten, phương trình tán sắc
của sóng Rayleigh đối với cấu trúc này đã được tìm ra nhưng vẫn ở dạng định
thức (cấp sáu), nên không thuận tiện khi sử dụng.
Tuy nhiên:
(i) Cách tiệm cận của Tiersten phụ thuộc vào sự phát triển của lý thuyết
bản. Đây là một lý thuyết xấp xỉ, bậc một hoặc bậc ba (thiết lập gần đây), xây
dựng chủ yếu cho vật liệu đàn hồi đẳng hướng.
(ii) Khi vật liệu của lớp là dị hướng, các phương trình của bản (nếu đã được
thiết lập) trở nên phức tạp, quá trình rút ra các điều kiện biên hiệu dụng theo
5


cách tiệm cận của Tiersten do vậy gặp nhiều khó khăn.
(iii) Hơn nữa, với cách tiệm cận của Tiersten, không thể rút ra các điều kiện
biên hiệu dụng bậc cao, vì khi đó giả thiết chuyển dịch tại biên phân chia giữa
lớp và bán không gian (xấp xỉ) bằng chuyển dịch tại mặt giữa của bản khơng
cịn phù hợp.
Với các lý do nêu trên, phương pháp điều kiện biên hiệu dụng không đạt

được sự phát triển nào trong một thời gian dài.
Đến năm 1996, Bovik [8] đưa ra cách tiếp cận mới cho phương pháp điều
kiện biên hiệu dụng. Cũng như Tiersten, Bovik giả thiết lớp và bán không gian
là đàn hồi đẳng hướng, liên kết gắn chặt với nhau, và cũng đã tìm ra điều kiện
biên hiệu dụng bậc một. Để tìm ra điều kiện biên hiệu dụng, Bovik thực hiện
các bước sau:
(i) Khai triển Taylor các thành phần ứng suất tại mặt trên của lớp theo độ
dày của nó đến cấp một.
Các khai triển này chứa các đạo hàm cấp một theo hướng pháp tuyến (vng
góc với lớp), lấy tại biên phân chia, đối với các thành phần ứng suất của lớp
trên các mặt phẳng song song với lớp. Để sử dụng sự liên tục của chuyển dịch
và ứng suất tại biên phân chia giữa lớp và bán không gian (do liên kết gắn chặt
gây ra), cần biểu diễn các đạo hàm theo hướng pháp tuyến nói trên qua các đạo
hàm theo hướng tiếp tuyến (song song với lớp) và đạo hàm theo thời gian, lấy
tại mặt dưới của lớp, của các thành phần chuyển dịch và các thành phần ứng
suất của lớp trên các mặt phẳng song song với lớp. Chú ý rằng, từ sự liên tục
của chuyển dịch và ứng suất qua biên phân chia suy ra sự liên tục của đạo hàm
theo hướng tiếp tuyến và đạo hàm theo thời gian, nhưng không suy ra sự liên
tục của đạo hàm theo hướng pháp tuyến.
(ii) Từ các liên hệ ứng suất-biến dạng (định luật Hooke) và các phương trình
chuyển động, biểu diễn đạo hàm (cấp một) theo hướng pháp tuyến của các thành
phần ứng suất của lớp trên các mặt phẳng song song với lớp qua các đạo hàm
theo hướng tiếp tuyến và đạo hàm theo thời gian của các thành phần chuyển
dịch và các thành phần ứng suất của lớp (trên các mặt phẳng song song với lớp).
(iii) Sử dụng biểu diễn của đạo hàm theo hướng pháp tuyến (thu được ở bước
(ii)) vào khai triển Taylor (thu được ở bước (i)) cùng với điều kiện tự do đối với
ứng suất (tại mặt trên của lớp) và điều kiện liên kết gắn chặt giữa lớp và bán
không gian, điều kiện biên hiệu dụng được suy ra.
Chú ý rằng, trong ba bước nêu trên, bước (ii) là quan trọng nhất.
Chú ý 1.1: Tiersten [73] và Bovik [8] đều tìm ra các điều kiện biên hiệu

6


dụng bậc một cho lớp mỏng đàn hồi đẳng hướng gắn chặt với một bán không
gian đàn hồi đẳng hướng. Tuy nhiên, chúng không trùng nhau. So sánh hai điều
kiện biên hiệu dụng thu được, Bovik cho rằng Tiersten đã bỏ sót một số số hạng
(bậc nhất) trong điều kiện biên hiệu dụng mà ông thu được. Tuy nhiên, Vĩnh
và Ánh [59] (2016), đã chỉ ra rằng, điều kiện biên hiệu dụng (xấp xỉ bậc một)
thu được bởi Bovik thừa hai số hạng bậc hai, điều kiện biên hiệu dụng thu được
bởi Tiersten là đầy đủ. Như vậy, điều kiện biên hiệu dụng xấp xỉ thu được bởi
Bovik là bậc một thừa, bậc hai thiếu.
Khác với Tiersten, Bovik xuất phát từ các phương trình cơ bản (các phương
trình chuyển động và định luật Hooke) chính xác của lý thuyết đàn hồi tuyến
tính đối với của lớp, do vậy khơng cần giả thiết: chuyển dịch tại biên phân chia
giữa lớp và bán không gian bằng chuyển dịch tại mặt giữa của bản. Hơn nữa,
với cách tiếp cận của Bovik, các điều kiện biên hiệu dụng bậc cao có thể được
tìm ra bằng cách khai triển Taylor các thành phần ứng suất tại mặt trên của
lớp đến cấp cần thiết.
Tuy nhiên, do Bovik sử dụng các phương trình cơ bản của lý thuyết đàn hồi
dưới dạng thành phần, nên việc tìm ra các điều kiện biên hiệu dụng bậc cao (để
tăng độ chính xác của mơ hình xấp xỉ) là rất khó khăn, đặc biệt khi mở rộng
cho vật liệu đàn hồi dị hướng. Vì những vật liệu này đang được sử dụng rộng
rãi trong cơng nghệ hiện đại, việc tìm ra các điều kiện biên hiệu dụng bậc cao
cho chúng là hết sức có ý nghĩa, về cả lý thuyết lẫn ứng dụng thực tế.
Để khắc phục hạn chế nêu trên của Bovik, Vĩnh và Linh [48] (2012) đã phát
triển phương pháp điều kiện biên hiệu dụng dựa trên phương trình ma trận của
lý thuyết đàn hồi tuyến tính và khai triển Taylor. Cụ thể, để thu được điều kiện
biên hiệu dụng Vĩnh và Linh [48] tiến hành các bước sau:
(i) Thiết lập phương trình ma trận của lý thuyết đàn hồi tuyến tính từ các

phương trình cơ bản dưới dạng thành phần của nó.
Véctơ hàm cần tìm của phương trình này gồm hai véctơ hai thành phần:
véctơ chuyển dịch và véctơ ứng suất trên các thiết diện (mặt phẳng) song song
với lớp, được gọi là véctơ trạng thái (bốn thành phần). Phương trình ma trận có
dạng một phương trình vi phân (theo hướng pháp tuyến), tuyến tính cấp một
của véctơ trạng thái. Ma trận (tốn tử) của phương trình này phụ thuộc vào
các đạo hàm tiếp tuyến và đạo hàm theo thời gian (và các tham số vật liệu). Có
thể xem phương trình này như là biểu diễn của đạo hàm pháp tuyến của véctơ
trạng thái qua các đạo hàm tiếp tuyến và đạo hàm theo thời gian của nó.
Chú ý rằng, các phương trình ma trận cịn được sử dụng trong các bài toán

7


khác nhau của lý thuyết đàn hồi tuyến tính, nên việc tìm ra chúng có ý nghĩa
quan trọng về phương diện lý thuyết.
(ii) Khai triển Taylor véctơ ứng suất tại mặt trên của lớp theo độ dày của
nó đến cấp cần thiết.
Các hệ số của khai triển này là các đạo hàm các cấp theo hướng pháp tuyến
của véctơ ứng suất lấy tại mặt dưới của lớp.
(iii) Sử dụng phương trình ma trận, biểu diễn các hệ số của khai triển Taylor
ở bước (ii) qua các đạo hàm theo hướng tiếp tuyến và đạo hàm theo thời gian
(lấy tại mặt dưới của lớp).
(iv) Rút ra điều kiện biên hiệu dụng (cấp cần thiết) bằng cách thay các kết
quả thu được ở bước (iii) vào khai triển Taylor và sử dụng điều kiện tự do đối
với ứng suất tại mặt trên của lớp, điều kiện liên kết gắn chặt giữa lớp và bán
không gian.
Chú ý rằng, dưới dạng ma trận, điều kiện biên hiệu dụng là một hệ thức tuyến
tính giữa véctơ chuyển dịch và véctơ ứng suất của bán không gian (không phải
của lớp) tại biên của bán không gian (tức là biên phân chia). Hai ma trận hệ

số của hệ thức này phụ thuộc vào các đạo hàm theo hướng tiếp tuyến, đạo hàm
theo thời gian, các tham số vật liệu của lớp và độ dày của lớp.
Sử dụng cách tiếp cận “khai triển Taylor-phương trình ma trận”, Vĩnh và
Linh [48], Vĩnh và cộng sự [50] đã thu được các điều kiện biên hiệu dụng bậc
ba cho cấu trúc bán không gian đàn hồi phủ lớp mỏng đàn hồi (BKG-LM-ĐH)
trực hướng nén được và không nén được, với liên kết gắn chặt. Các điều kiện
biên hiệu dụng thu được có thể sử dụng cho bài tốn động bất kỳ của lý thuyết
đàn hồi (tuyến tính).
Như vậy, trước luận án, PPĐKBHD mới chỉ phát triển cho cấu trúc BKGLM-ĐH đẳng hướng hoặc trực hướng, lớp và BKG cùng nén được hoặc cùng
không nén được, và liên kết gắn chặt với nhau.

1.1.3

Sự phát triển của phương pháp trong luận án

Luận án tiếp tục quan tâm xét cấu trúc BKG đàn hồi trực hướng phủ một lớp
đàn hồi trực hướng. Tuy nhiên, luận án phát triển PPĐKBHD cho các trường
hợp sau:
(i) Liên kết giữa BKG và lớp là liên kết trượt hoặc liên kết lị xo.
(ii) BKG là nén được (khơng nén được) phủ lớp vật liệu không nén được (nén
được), tức là BKG và lớp không cùng nén được (không nén được).
(iii) Lớp vật liệu có độ dày tùy ý (ngồi trường hợp lớp mỏng).
8


(iv) Lớp vật liệu (mỏng) không thuần nhất.
Khi mới sử dụng, liên kết giữa lớp và BKG là gắn chặt. Sau một thời gian,
do ảnh hưởng của các yếu tố cơ học và vật lý khác nhau, liên kết dần yếu đi
[27, 28], khơng cịn thực sự gắn chặt, và cuối cùng trở thành liên kết trượt. Do
vậy, việc tìm ra các điều kiện biên hiệu dụng cho liên kết trượt, liên kết lò

xo là hết sức cần thiết và có ý nghĩa trong các ứng dụng thực tế.
Bài tốn của lý thuyết đàn hồi với liên kết trượt đã được nhiều tác giả nghiên
cứu, như Murty [36, 37] , Barnett và cộng sự [5], Ting [78],... Vì các ĐKBHD
cho liên kết trượt chưa được thiết lập nên các bài tốn này đã được giải trực
tiếp. Vì chuyển dịch theo hướng tiếp tuyến không liên tục qua biên phân chia
nên việc tìm ra các ĐKBHD cho liên kết trượt khó hơn so với liên kết gắn chặt.
Để vượt qua khó khăn này, cần khử chuyển dịch tiếp tuyến ra khỏi điều kiện
biên tiền hiệu dụng.
Liên kết không thực sự gắn chặt (imperfectly bonded contact) đang là đề tài
nghiên cứu thời sự (xem [3, 17, 18, 26, 29, 30, 65, 81]), vì những ứng dụng của
nó trong nhiều lĩnh vực của khoa học và công nghệ. Liên kết này được mô hình
hóa như là liên kết lị xo (xem [4, 7, 21, 33, 63, 67, 82]).
Đối với liên kết lò xo, chuyển dịch theo hướng tiếp tuyến cũng như theo hướng
pháp tuyến đều không liên tục qua biên phân chia nên việc tìm ra các ĐKBHD
khó hơn so với liên kết gắn chặt và liên kết trượt. Để thu được các ĐKBHD cần
khử các thành phần chuyển dịch của lớp ra khỏi các điều kiện biên tiền hiệu
dụng.
Mặt khác, cho đến nay chưa có một điều kiện biên hiệu dụng nào được thiết
lập cho loại vật liệu đàn hồi không nén được, một loại vật liệu đang được sử
dụng rộng rãi trong các ứng dụng thực tế. Sự xuất hiện của áp lực thủy tĩnh
trong các phương trình cơ bản của lý thuyết đàn hồi khơng nén được có thể là
ngun nhân dẫn đến tình trạng này.
Với các lý do nêu trên, luận án sẽ phát triển phương pháp điều kiện biên hiệu
dụng theo cách tiệm cận “khai triển Taylor-phương trình ma trận” cho vật liệu
đàn hồi dị hướng với liên kết trượt và liên kết lò xo, cho cả vật liệu nén được và
không nén được.
Để thu được các điều kiện biên hiệu dụng (bậc cao) cho liên kết trượt và liên
kết lò xo, cần thực hiện các bước sau:
(i) Thiết lập phương trình ma trận của lý thuyết đàn hồi tuyến tính từ các
phương trình cơ bản dưới dạng thành phần của nó.

Đối với vật liệu đàn hồi nén được, các phương trình ma trận được thiết lập

9


theo cách mà Vĩnh và Linh [48] đã sử dụng. Tuy nhiên, đối với vật liệu đàn hồi
không nén được, tình hình trở nên khó khăn hơn, vì phải khử áp suất thủy tĩnh
ra khỏi các phương trình cơ bản.
(ii) Khai triển Taylor véctơ ứng suất tại mặt trên của lớp theo độ dày của
nó đến cấp cần thiết.
(iii) Sử dụng phương trình ma trận, biểu diễn các hệ số của khai triển Taylor
ở bước (ii) qua các đạo hàm theo hướng tiếp tuyến và đạo hàm theo thời gian
(lấy tại mặt dưới của lớp).
(iv) Rút ra điều kiện biên tiền hiệu dụng (cấp cần thiết) bằng cách thay
các kết quả thu được ở bước (iii) vào khai triển Taylor và sử dụng điều kiện tự
do đối với ứng suất tại mặt trên của lớp.
Điều kiện biên tiền hiệu dụng là một hệ thức tuyến tính giữa véctơ chuyển
dịch và véctơ ứng suất của lớp (không phải của bán không gian) tại biên phân
chia. Hai ma trận hệ số của hệ thức này phụ thuộc vào các đạo hàm theo hướng
tiếp tuyến, đạo hàm theo thời gian, các tham số vật liệu của lớp và độ dày của
lớp.
(v) Từ điều kiện biên tiền hiệu dụng và điều kiện liên kết (trượt, lò xo) suy
ra điều kiện biên hiệu dụng.
Đối với liên kết gắn chặt, điều kiện biên hiệu dụng nhận được trực tiếp từ
điều kiện biên tiền hiệu dụng vì véctơ trạng thái liên tục qua biên phân chia.
Tuy nhiên, đối với liên kết trượt, liên kết lò xo, véctơ trạng thái không liên tục
qua biên phân chia nên việc rút ra các điều kiện biên hiệu dụng khó khăn hơn.
Như sẽ thấy ở chương 2, để vượt qua khó khăn, phải hạn chế nghiên cứu
trong lớp các bài toán sóng phẳng. Điều này có nghĩa, các điều kiện biên hiệu
dụng thu được cho liên kết trượt và liên kết lị xo chỉ được sử dụng cho các bài

tốn sóng phẳng.
Trong nhiều bài toán thực tế, lớp vật liệu phủ bán khơng gian khơng phải là
mỏng mà có độ dày tùy ý. Việc tìm ra các điều kiện biên hiệu dụng chính xác
cho các lớp vật liệu này có ý nghĩa đặc biệt quan trọng. Cho đến nay, chưa có
một điều kiện biên hiệu dụng chính xác nào được tìm ra.
Luận án sẽ phát triển phương pháp điều kiện biên hiệu dụng để tìm ra các
điều kiện biên hiệu dụng chính xác cho lớp đàn hồi trực hướng, với cả ba liên
kết: liên kết gắn chặt, liên kết trượt và liên kết lò xo.
Như sẽ thấy ở chương 2, ma trận chuyển dạng hiện của một lớp đàn hồi
trực hướng có độ dày tùy ý là cơ sở để phát triển phương pháp. Vì khả năng
tìm được các ma trận chuyển dạng hiện của một lớp đàn hồi là rất hạn chế,

10


chỉ có thể đối với vật liệu đàn hồi trực hướng, vật liệu đàn hồi đẳng hướng có
ứng suất trước, nên phạm vi ứng dụng của cách tiệm cận này hẹp hơn rất nhiều
so với phạm vi ứng dụng của cách tiệm cận “khai triển Taylor-phương trình ma
trận”. Với lý do đó mà luận án trình bày cả hai cách tiệm cận.
Chi tiết của phương pháp điều kiện biên hiệu dụng cho liên kết trượt, liên
kết lò xo đối với vật liệu nén được và không nén được sẽ được trình bày trong
chương 2. Hai nội dung chủ yếu của chương này là, rút ra các điều kiện biên
tiền hiệu dụng, và sau đó là các điều kiện biên hiệu dụng.
Chú ý rằng, các điều kiện biên hiệu dụng thu được trong luận án có thể sử
dụng cho nhiều bài toán khác nhau (liên kết gắn chặt: cho bài toán động tùy
ý; liên kết trượt và liên kết lò xo: cho bài tốn sóng phẳng bất kỳ). Tuy vậy,
trong phạm vi giới hạn của luận án, chúng được sử dụng để nghiên cứu bài tốn
truyền sóng Rayleigh trong các bán khơng gian đàn hồi phủ một lớp đàn hồi.

1.2

Sóng Rayleigh trong các bán không gian đàn
hồi được phủ một lớp vật liệu

1.2.1

Sóng Rayleigh trong các bán khơng gian đàn hồi phủ
một lớp mỏng

Cấu trúc một lớp vật liệu dày phủ một lớp vật liệu mỏng, mơ hình hóa như
một bán không gian phủ lớp mỏng, đã và đang được sử dụng rộng rãi trong công
nghệ hiện đại (xem chẳng hạn Fu [20] (2007), Steigmann và Ogden [70] (2007),
Qian và cộng sự [62] (2009) và các tài liệu tham khảo ở trong đó, Weiqiu Chen
và cộng sự [84] (2017) ). Việc đánh giá (đo) các tính chất cơ học của cấu trúc
này trước và trong quá trình sử dụng, do vậy là quan trọng và hết sức cần thiết
[19, 32, 83]. Trong số các phương pháp đo khác nhau, phương pháp sóng mặt
được sử dụng rộng rãi nhất [19, 83] vì nó khơng phá hủy cấu trúc, giá thành
rẻ, dễ thực hiện và tốn ít thời gian [24], trong đó sóng mặt Rayleigh là công cụ
thuận tiện nhất [24, 25]. Trước hết, sóng Rayleigh được truyền vào cấu trúc cần
đo, sau đó vận tốc truyền của nó được xác định. Một bài toán ngược được thiết
lập để đánh giá các tham số cơ học của cấu trúc từ các giá trị đo được của vận
tốc sóng. Cơ sở tốn học của bài tốn này chính là phương trình tán sắc dạng
hiện của sóng Rayleigh.
Do vậy, nghiên cứu sự truyền của sóng Rayleigh trong các cấu trúc bán không
gian phủ một lớp vật liệu mỏng, là cần thiết và hết sức có ý nghĩa trong ứng dụng

11


thực tế.

Mục tiêu đầu tiên và quan trọng nhất của các nghiên cứu về sóng Rayleigh
là tìm ra phương trình tán sắc dạng hiện của nó, phương trình xác định vận
tốc sóng Rayleigh từ các tham số vật liệu và hình học của cấu trúc. Thứ nhất,
vì vận tốc sóng Rayleigh có mặt trong các biểu thức của chuyển dịch và ứng
suất. Muốn xác định chúng trước hết phải xác định được vận tốc sóng Rayleigh.
Mà để xác định vận tốc sóng Rayleigh, phải tìm ra phương trình tán sắc dạng
hiện. Thứ hai, phương trình tán sắc dạng hiện là cơ sở toán học để giải bài toán
ngược, một bài toán quan trọng trong các ứng dụng thực tế, như đã nói ở trên.
Đối với sóng Rayleigh truyền trong BKG đàn hồi không phủ, tự do đối với
ứng suất, đã có một số lượng lớn các PTTS dạng hiện [11, 12, 14, 16, 41],[44][47],[57, 58],[75]-[77] và các công thức vận tốc sóng [42, 43], [51]-[56] được tìm
ra. Tuy nhiên, đối với sóng Rayleigh truyền trong BKG đàn hồi phủ một lớp
vật liệu, như đã nêu ở chương tổng quan, mới chỉ có một số lượng hạn chế các
PTTS dạng hiện được tìm thấy. Điều này cho thấy sự khó khăn phức tạp hơn
nhiều trong việc tìm ra các PTTS dạng hiện của sóng Rayleigh truyền trong
BKG đàn hồi phủ một lớp vật liệu.
Với giả thiết lớp mỏng, tức là độ dày không thứ nguyên ε = k.h (h là độ
dày của lớp, k là số sóng) của lớp nhỏ hơn nhiều so với một, phương trình tán
sắc của sóng Rayleigh, truyền trong BKG đàn hồi phủ một lớp đàn hồi mỏng,
thường được tìm dưới dạng xấp xỉ (bậc n) F = 0, trong đó F là một đa thức bậc
n đối với ε với các hệ số là các hàm số của các tham số vật liệu của cấu trúc và
vận tốc sóng.
Bromwich [9] (1899) là người đầu tiên nghiên cứu sự truyền của sóng Rayleigh
trong bán khơng gian đàn hồi đẳng hướng phủ lớp mỏng đàn hồi đẳng hướng
(BKG-LM-ĐHĐH). Lớp và bán không gian được giả thiết là nén được và liên
kết gắn chặt với nhau. Bromwich đã tìm ra PTTS xấp xỉ bậc một bằng biến đổi
trực tiếp từ các điều kiện tự do đối với ứng suất và điều kiện liên tục.
Achenbach và Keshava [2] (1967) thiết lập PTTS xấp xỉ bậc bốn của sóng
Rayleigh truyền trong BKG-LM-ĐHĐH nén được, liên kết gắn chặt, phương
trình xấp xỉ bậc ba cho liên kết trượt. Tuy nhiên, các phương trình này có độ
chính xác khơng cao. Hơn nữa, chúng chứa một hệ số khơng có cơ sở để xác định

(hệ số trượt, bắt nguồn từ lý thuyết bản Mindlin [34]), nên việc sử dụng cần
tránh, như đã nhấn mạnh bởi Touratier [79], Muller và Touratier [35], Stephen
[71]. Achenbach và Keshava [2] thay thế lớp mỏng bằng bản mỏng và sử dụng
lý thuyết bản Mindlin [34]. Tuy nhiên, các tác giả này không thiết lập các điều

12


kiện biên hiệu dụng để thay thế ảnh hưởng của lớp lên BKG.
Hai năm sau, Tiersten [73] (1969) tìm ra PTTS xấp xỉ bậc hai của sóng
Rayleigh truyền trong BKG-LM-ĐHĐH liên kết gắn chặt, bằng cách sử dụng
PPĐKBHD. Mặc dù là xấp xỉ bậc hai nhưng PTTS thu được bởi Tiersten có
độ chính xác cao hơn PTTS xấp xỉ bậc bốn thiết lập bởi Achenbach và Keshava
[2].
Năm 1996, sau khi tìm ra ĐKBHD mới, xấp xỉ bậc một, cho cấu trúc BKGLM-ĐHĐH liên kết gắn chặt bằng phương pháp khai triển Taylor, Bovik [8] sử
dụng nó để thiết lập PTTS xấp xỉ bậc hai của sóng Rayleigh truyền trong cấu
trúc này. PTTS mà ông thu được không trùng với PTTS của Tiersten, và qua
một số khảo sát số Bovik kết luận PTTS xấp xỉ của ơng chính xác hơn, do vậy
ĐKBHD mà ơng mới thiết lập chính xác hơn ĐKBHD xấp xỉ bậc một tìm ra
bởi Tiersten [73].
Chú ý 1.2: Để thu được PTTS xấp xỉ bậc n cần sử dụng điều kiện biên hiệu
dụng xấp xỉ bậc n. Tuy nhiên, sử dụng điều kiện biên hiệu dụng xấp xỉ bậc một,
Tiersten và Bovik thiết lập PTTS xấp xỉ bậc hai, Achenbach và Keshava thiết
lập PTTS xấp xỉ bậc ba (cho liên kết trượt), bậc bốn (cho liên kết gắn chặt),
Do vậy, các PTTS thu được không đầy đủ.
Vật liệu đàn hồi dị hướng và đàn hồi phức hợp được sử dụng ngày càng rộng
rãi trong các ứng dụng thực tế. Việc mở rộng các kết quả thu được cho các vật
liệu này là yêu cầu cấp bách. Steigmann và Ogden [70] (2007) tìm ra PTTS xấp
xỉ bậc hai của sóng Rayleigh truyền trong BKG-LM đẳng hướng ngang có ứng
suất dư, liên kết gắn chặt, Wang [80] (2006) tìm ra PTTS xấp xỉ bậc nhất cho

BKG đàn hồi đẳng hướng phủ lớp đàn điện, liên kết gắn chặt.
Để tăng độ chính xác cho lời giải của các bài tốn ngược, cần thiết lập các
PTTS xấp xỉ bậc cao. Vĩnh và cộng sự tìm ra PTTS xấp xỉ bậc ba của sóng
truyền trong BKG-LM-ĐH trực hướng khơng nén được [50] (2014), Vĩnh và
Linh thiết lập các PTTS xấp xỉ bậc ba của sóng truyền trong BKG-LM-ĐH
trực hướng nén được [48] (2012) , BKG-LM-ĐH có biến dạng trước nén được
[49] (2013). Trong các nghiên cứu trên, lớp và BKG được giả thiết liên kết gắn
chặt với nhau.
Để thu được các PTTS xấp xỉ, Steigmann và Ogden, Wang, Vĩnh và Linh,
Vĩnh và cộng sự, đều sử dụng PPĐKBHD: thay thế lớp mỏng bằng các ĐKBHD,
sau đó sóng Rayleigh truyền trong BKG-LM tự do đối với ứng suất được khảo
sát như là sóng Rayleigh truyền trong BKG chịu các ĐKBHD.
Như vậy, đã có nhiều nghiên cứu dành cho sóng Rayleigh truyền trong các

13


BKG đàn hồi phủ LM đàn hồi, và đã có nhiều PTTS xấp xỉ được tìm ra. Tuy
nhiên, trong các nghiên cứu đã tiến hành, liên kết giữa lớp và BKG được giả
thiết là liên kết gắn chặt. Chỉ có duy nhất một nghiên cứu trong đó liên kết
được xét là liên kết trượt. Đó là cơng trình của Achenbach và Keshava [2] (1967).
Tuy vậy, PTTS xấp xỉ (bậc ba) thu được trong cơng trình này có độ chính xác
khơng cao, và chứa một hệ số khơng có cơ sở xác định nên không tiện lợi khi sử
dụng, như đã nhấn mạnh ở trên.
Hơn nữa, trong các cơng trình đã thực hiện, vật liệu của BKG và LM đều giả
thiết là nén được. Vật liệu đàn hồi không nén được đang được sử dụng rộng rãi
trong công nghệ hiện đại. Do vậy, nghiên cứu sự truyền của sóng Rayleigh trong
BKG-LM trong đó hoặc BKG hoặc LM hoặc cả hai là vật liệu đàn hồi khơng
nén được là hết sức có ý nghĩa. Cần chú ý rằng, chưa có một nghiên cứu nào
được tiến hành, trong đó BKG là nén được (không nén được), LM là không nén

được (nén được).
Với những lý do nêu trên, luận án tập trung nghiên cứu sự truyền của
sóng Rayleigh trong các BKG-LM đàn hồi (nén được hoặc khơng nén
được) với liên kết trượt.

1.2.2

Sóng Rayleigh trong các bán khơng gian đàn hồi phủ
một lớp có độ dày tùy ý

Người đầu tiên nghiên cứu sự truyền của sóng Rayleigh trong BKG đàn hồi
phủ một lớp đàn hồi có độ dày tùy ý là Love [31] (1911). Liên kết giữa BKG
và lớp là liên kết gắn chặt, vật liệu của cả lớp và BKG được giả thiết là đẳng
hướng và không nén được. Vào thời kỳ này, nghiên cứu của Love nhằm phục vụ
các ứng dụng trong lĩnh vực động đất và địa chấn học. Bằng cách biến đổi trực
tiếp, Love tìm ra PTTS chính xác dạng hiện từ các điều kiện biên (tự do đối
với ứng suất tại mặt trên của lớp) và điều kiện liên tục (của chuyển dịch và ứng
suất tại biên phân chia giữa lớp và BKG).
Tuy nhiên, Love không thành công trong việc mở rộng kết quả thu được cho
trường hợp nén được, tức là: cả lớp và BKG đều là đàn hồi đẳng hướng nén
được. PTTS chính xác dạng hiện cho trường hợp này được tìm ra vào năm 1953
bởi Haskell [22], và được trình bày dưới dạng ngắn gọn tường minh hơn bởi
Ben-Menahem và Singh [6] (2000). Để thu được PTTS, Haskell khai triển trực
tiếp một định thức cấp sáu, bắt nguồn từ hai điều kiện tự do với ứng suất và
bốn điều kiện liên tục của chuyển dịch và ứng suất.
Việc tìm ra PTTS chính xác dạng hiện (dạng tường minh) của sóng Rayleigh
14


truyền trong BKG và lớp tạo thành từ các vật liệu phức tạp hơn, như vật liệu

đàn hồi trực hướng, vật liệu đàn hồi có ứng suất trước, là một nhiệm vụ khó
khăn hơn nhiều, so với vật liệu đàn hồi đẳng hướng. Đó là vì, đối với vật liệu
đàn hồi đẳng hướng, dễ dàng xác định hai nghiệm đặc trưng của bán không gian
thỏa mãn điều kiện tắt dần đối với sóng Rayleigh. Tuy nhiên, đối với vật liệu
đàn hồi trực hướng, vật liệu đàn hồi có ứng suất trước, điều này là khơng thể.
Ogden và Sotiropoulos tìm ra PTTS chính xác dạng hiện cho vật liệu đàn
hồi có biến dạng trước không nén được [39] (1995), vật liệu đàn hồi có biến dạng
trước, nén được [40] (1996). Đối với vật liệu đàn hồi trực hướng nén được, PTTS
chính xác dạng hiện được tìm ra bởi Sotiropoulos [69] (1999). Tuy nhiên, các
PTTS thu được chưa hoàn toàn tường minh, như đã chỉ ra bởi Vinh và cộng
sự [60] (2016). Để thu được các PTTS, các tác giả đều khai triển trực tiếp định
thức cấp sáu bắt nguồn từ điều kiện biên và điều kiện liên tục. Vì việc khai triển
định thức cấp sáu là rất phức tạp, hơn nữa khơng được các tác giả trình bày,
nên người đọc khơng thể theo dõi và kiểm tra. Do vậy, một số lỗi in ấn trong
PTTS thu được bởi Sotiropoulos [69] tồn tại trong nhiều năm mới được phát
hiện (xem Vĩnh và cộng sự [60]) .
Từ các phân tích nêu trên, luận án đặt mục tiêu tìm ra các PTTS chính xác,
hồn tồn tường minh, của sóng Rayleigh truyền trong các BKG đàn hồi trực
hướng phủ một lớp đàn hồi trực hướng với liên kết gắn chặt, liên kết trượt và
liên kết lị xo. Vật liệu của BKG và lớp có thể là nén được và khơng nén được.
Tức là, có bốn khả năng xảy ra: BKG và lớp đều là nén được, hoặc không nén
được (hai khả năng), BKG và lớp khơng cùng tính chất nén được hay khơng nén
được (hai khả năng).

1.3

Các vấn đề được nghiên cứu trong luận án

Từ các phân tích tổng quan, luận án lựa chọn các vấn đề sau để tiến hành
nghiên cứu:

(i) Phát triển PPĐKBHD theo cách tiệm cận “khai triển Taylor-phương trình
ma trận” cho lớp vật liệu mỏng, đàn hồi dị hướng, với liên kết trượt, liên kết lò
xo.
(ii) Phát triển PPĐKBHD dựa trên “ma trận chuyển” cho lớp đàn hồi trực
hướng độ dày hữu hạn, với liên kết gắn chặt, liên kết trượt và liên kết lò xo.
(iii) Thiết lập các điều kiện biên hiệu dụng cho lớp trực hướng nén được
(không nén được) phủ trên bán không gian với liên kết trượt và liên kết lò xo.

15