(Luận án tiến sĩ) tỷ số HV đối với các bán không gian đàn hồi

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LÊ THỊ HUỆ

TỶ SỐ H/V ĐỐI VỚI CÁC BÁN KHÔNG GIAN ĐÀN HỒI

LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ HỌC

Hà Nội - 2018


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LÊ THỊ HUỆ

TỶ SỐ H/V ĐỐI VỚI CÁC BÁN KHÔNG GIAN ĐÀN HỒI

Chuyên ngành: Cơ học vật rắn
Mã số: 62 44 01 07

LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
1. GS. TS. Phạm Chí Vĩnh
2. TS. Trần Thanh Tuấn

Hà Nội - 2018

LỜI CAM ĐOAN
Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu và
kết quả được trình bày trong luận án là trung thực và chưa từng được ai cơng
bố trong bất kỳ cơng trình nào khác.
Nghiên cứu sinh

Lê Thị Huệ


LỜI CẢM ƠN

Luận án này được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của
GS. TS. Phạm Chí Vĩnh và TS. Trần Thanh Tuấn, những người thầy đã tận
tình giúp đỡ tơi trên con đường khoa học. Các Thầy đã dìu dắt tơi trên con
đường làm cơ học, luôn tạo ra những thử thách giúp tôi tự học hỏi, tìm tịi và
sáng tạo. Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn vơ cùng sâu sắc đến Thầy Phạm Chí Vĩnh
và Thầy Trần Thanh Tuấn.
Tơi muốn bày tỏ sự cảm ơn chân thành đến ban Giám hiệu Trường Đại học
Lâm nghiệp, ban chủ nhiệm Khoa Cơ điện và Công trình và đặc biệt là các thầy
cơ Bộ mơn Tốn trường Đại học Lâm nghiệp đã động viên, khuyến khích, tạo
mọi điều kiện cho tơi hồn thành luận án. Tơi xin chân thành cảm ơn các thầy
cô trong Bộ môn Cơ học, Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa học
Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, các anh chị trong nhóm sermina của thầy
Phạm Chí Vĩnh đã hướng dẫn, chia sẻ kinh nghiệm, tạo một môi trường nghiên
cứu khoa học tốt nhất cho bản thân tơi.
Cuối cùng, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến gia đình tơi đã ln ln
giúp đỡ, động viên và ủng hộ tơi trong suốt q trình làm luận án.
Nghiên cứu sinh

Lê Thị Huệ

Mục lục
Danh sách bảng kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vii

Danh sách hình vẽ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

viii

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Chương 1. Tổng quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1. Sóng Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.1. Sóng Rayleigh trong bán khơng gian thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2. Sóng Rayleigh trong bán không gian phủ một lớp đàn hồi . . . . . . 10
1.2. Lịch sử phát triển của sóng Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.3. Hai vấn đề cơ bản của sóng Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1. Phương trình tán sắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2. Tỷ số H/V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12
13
15

1.4. Nội dung chính của luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

Chương 2. Các công thức tỷ số H/V đối với bán không gian đàn hồi
trực hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1. Ma trận trở kháng mặt dạng hiện của sóng Rayleigh đối với bán không
gian đàn hồi trực hướng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.1. Ma trận trở kháng mặt dạng hiện đối với bán không gian đàn hồi trực
hướng nén được. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.2. Ma trận trở kháng mặt dạng hiện đối với bán không gian đàn hồi trực
hướng không nén được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2. Cơng thức tỷ số H/V của sóng Rayleigh đối với bán không gian đàn
trực hướng nén được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1. Phương trình tỷ số H/V của sóng Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2. Cơng thức chính xác dạng hiện của tỷ số H/V . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3. Công thức xấp xỉ dạng hiện của tỷ số H/V của sóng Rayleigh . .

iii

hồi
23
23
27
30

2.3. Cơng thức tỷ số H/V của sóng Rayleigh đối với bán không gian đàn
trực hướng không nén được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1. Phương trình tỷ số H/V của sóng Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2. Cơng thức chính xác dạng hiện của tỷ số H/V . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3. Công thức xấp xỉ dạng hiện của tỷ số H/V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

hồi
33
33
36
36

2.4. Kết luận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

Chương 3. Các công thức tỷ số H/V đối với bán không gian đàn hồi
có ứng suất trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.1. Ma trận trở kháng mặt dạng hiện của sóng Rayleigh đối với bán khơng
gian đàn hồi có ứng suất trước. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.1.1. Ma trận trở kháng mặt dạng hiện của bán khơng gian đàn hồi có ứng
suất trước nén được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.1.2. Ma trận trở kháng mặt dạng hiện đối với bán khơng gian đàn hồi, có
ứng suất trước, khơng nén được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2. Cơng thức tỷ số H/V của sóng Rayleigh đối với bán khơng gian đàn hồi
có ứng suất trước nén được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2.1. Phương trình tỷ số H/V của sóng Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2.2. Cơng thức chính xác dạng hiện của tỷ số H/V . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2.3. Công thức xấp xỉ dạng hiện của tỷ số H/V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.2.4. Công thức tỷ số H/V đối với các hàm năng lượng biến dạng cụ thể .
55
3.3. Công thức tỷ số H/V đối với bán không gian đàn hồi có ứng suất trước
khơng nén được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.3.1. Phương trình tỷ số H/V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.3.2. Công thức chính xác dạng hiện của tỷ số H/V . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.3.3. Công thức xấp xỉ dạng hiện của tỷ số H/V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.3.4. Công thức tỷ số H/V đối với các hàm năng lượng biến dạng cụ thể .
69
3.3.5. Ứng dụng: xác định ứng suất trước từ giá trị đo được của tỷ số H/V
76
3.4. Kết luận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iv

79


Chương 4. Các công thức xấp xỉ của tỷ số H/V đối với bán không
gian đàn hồi trực hướng phủ một lớp mỏng đàn hồi . . . . . . . . . . . . 81
4.1. Công thức xấp xỉ của tỷ số H/V đối với bán không gian đàn hồi trực
hướng nén được phủ một lớp mỏng đàn hồi trực hướng nén được . . . . . . . 82
4.1.1. Mối liên hệ giữa biên độ của véc tơ ứng suất và véc tơ chuyển dịch
tại mặt biên phân cách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.1.2. Công thức xấp xỉ của tỷ số H/V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.1.3. Các trường hợp đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.2. Công thức xấp xỉ của tỷ số H/V đối với bán không gian đàn hồi trực
hướng không nén được phủ một lớp mỏng đàn hồi trực hướng không nén được
91
4.2.1. Mối liên hệ giữa biên độ của véc tơ ứng suất và chuyển dịch tại mặt

biên phân cách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.2.2. Công thức xấp xỉ của tỷ số H/V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.2.3. Các trường hợp đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.3. Công thức xấp xỉ của tỷ số H/V đối với bán không gian đàn hồi trực hướng
nén được phủ một lớp mỏng đàn hồi monoclinic có mặt phẳng đối xứng x3 = 0
nén được. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.3.1. Mối liên hệ giữa biên độ của véc tơ ứng suất và véc tơ chuyển dịch
tại mặt biên phân cách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.3.2. Công thức xấp xỉ của tỷ số H/V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.3.3. Các trường hợp đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.4. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

105

Chương 5. Các công thức xấp xỉ của tỷ số H/V đối với bán khơng
gian đàn hồi có ứng suất trước phủ một lớp mỏng đàn hồi có ứng suất
trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.1. Công thức xấp xỉ của tỷ số H/V đối với bán không gian đàn hồi có ứng
suất trước nén được phủ một lớp mỏng có ứng suất trước nén được . . . 107
5.1.1. Mối liên hệ giữa biên độ của véc tơ ứng suất và véc tơ chuyển dịch
tại mặt biên phân cách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.1.2. Công thức xấp xỉ của tỷ số H/V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.1.3. Các trường hợp đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.1.4. Công thức tỷ số H/V đối với hàm năng lượng biến dạng cụ thể 116

v


5.2. Công thức xấp xỉ của tỷ số H/V đối với bán khơng gian đàn hồi có ứng
suất trước khơng nén được phủ một lớp mỏng có ứng suất trước không nén

được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.2.1. Mối liên hệ giữa biên độ của véc tơ ứng suất và véc tơ chuyển dịch
tại mặt biên phân cách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.2.2. Công thức xấp xỉ của tỷ số H/V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.2.3. Các trường hợp đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.3. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

126

Chương 6. Các công thức chính xác của tỷ số H/V đối với bán khơng
gian đàn hồi có ứng suất trước phủ một lớp đàn hồi có ứng suất trước
127
6.1. Ma trận chuyển của lớp đàn hồi có ứng suất trước . . . . . . . . . . . . . . . . 128
6.1.1. Ma trận chuyển của lớp đàn hồi có ứng suất trước nén được . . 128
6.1.2. Ma trận chuyển của lớp đàn hồi có ứng suất trước khơng nén được .
129
6.2. Cơng thức chính xác của tỷ số H/V đối với bán không gian đàn hồi có
ứng suất trước nén được phủ một lớp có ứng suất trước nén được . . . . . 131
6.2.1. Mối liên hệ giữa biên độ của véc tơ chuyển dịch và ứng suất của lớp
và bán không gian tại mặt phân cách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.2.2. Cơng thức chính xác của tỷ số H/V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.3. Cơng thức chính xác của tỷ số H/V đối với bán khơng gian đàn hồi có
ứng suất trước khơng nén được phủ một lớp đàn hồi có ứng suất trước không
nén được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
6.3.1. Mối liên hệ giữa biên độ của véc tơ ứng suất và chuyển dịch của lớp
và bán không gian tại mặt phân cách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
6.3.2. Công thức chính xác của tỷ số H/V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
6.4. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

138

Kết luận và kiến nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

140

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

143

Phụ lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

149

vi


Danh sách bảng kí hiệu
λ: Hằng số Lame
µ: Hằng số Lame

hy4 ρ: Mật độ khối lượng
c1 : Vận tốc sóng dọc
c2 : Vận tốc sóng ngang
c: Vận tốc của sóng Rayleigh
M: Ma trận trở kháng mặt của sóng Rayleigh
u: Véc tơ chuyển dịch
t: Véc tơ ứng lực
cij : Các hằng số đàn hồi
σij : Các thành phần của tensor ứng suất
λk : Độ dãn chính của biến dạng dọc theo trục xk

σk : Ứng suất Cô-si dọc theo phương xk
W : Hàm năng lượng biến dạng
shx: sinhx
chx: coshx
p: là áp suất thủy tĩnh
N: Ma trận của phát biểu Stroh
H/V: Tỷ số giữa các giá trị chuyển dịch ngang và chuyển dịch thẳng đứng của
sóng Rayleigh tại bề mặt của bán không gian.

vii


Danh sách hình vẽ
1.1

Bán khơng gian đàn hồi x2 ≥ 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1

Đường cong chính xác (nét liền) và xấp xỉ (nét đứt) của tỷ số H/V
của sóng Rayleigh trong khoảng γ ∈ [0, 0.8] đối với bán không gian
đàn hồi đẳng hướng nén được. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Đường cong chính xác (nét liền) và xấp xỉ (nét đứt) của tỷ số H/V
bình phương của sóng Rayleigh trong khoảng α ∈ [0.5, 4] đối với
bán không gian đàn hồi trực hướng nén được: (a) σ = 3, δ = 0.6
(đường cong phía dưới), (b) σ = 0.3, δ = 0.4 (đường cong phía trên).
Đường cong chính xác (nét liền) và xấp xỉ (nét đứt) của tỷ số H/V
bình phương của sóng Rayleigh trong khoảng δ ∈ [0, 1] đối với bán
không gian đàn hồi trực hướng nén được: (a) α = 3, σ = 3 (đường
cong phía dưới), (b) α = 3, σ = 0.2 (đường cong phía trên). . . . . .

Đường cong chính xác (nét liền) và xấp xỉ (nét đứt) của tỷ số
H/V của sóng Rayleigh trong khoảng σ ∈ [1, 10] đối với bán không
gian đàn hồi trực hướng nén được với α = 4, δ = 0.5. . . . . . . . . .
Đường cong chính xác (nét liền) và xấp xỉ (nét đứt) của tỷ số
H/V bình phương trong khoảng d ∈ [0, 5] đối với bán không gian
đàn hồi trực hướng không nén được. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2

2.3

2.4

2.5

3.1

3.2
3.3

. 33

. 34

. 34

. 35

. 38

(Bên trái) Một số đường cong tỷ số H/V bình phương trong miền
của λ1 và λ2 đối với hàm năng lượng biến dạng Neo-Hookean.
(Bên phải) Sự phụ thuộc của tỷ số H/V bình phương vào λ2 . . . . . . 56
Một số đường cong của tỷ số H/V bình phương trong miền của λ1
và λ2 đối với hàm năng lượng Varga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Tỷ số H/V bình phương là hàm của λ1 (trái) với λ2 = 1 và là hàm
của λ2 với λ1 = 1 (phải) đối với hàm năng lượng Varga. Cả hai
hình đều vẽ trong trường hợp λ3 = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

viii


3.4
3.5

3.6
3.7

3.8

3.9

3.10
3.11

3.12
3.13

3.14

Một số đường cong của tỷ số H/V bình phương trong miền của λ1
và λ2 với λ3 = 1 đối với hàm năng lượng Blatz-Ko. . . . . . . . . . . . 60
Tỷ số H/V bình phương được tính bởi cơng thức chính xác (đường
liền) và bằng hai công thức xấp xỉ (đường chấm chấm và chấm
gạch) là hàm của λ1 (trái) và λ2 (phải) với λ3 = 1 đối với hàm
năng lượng Blatz-Ko. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Một số đường cong của tỷ số H/V trong miền của λ1 và (trái)
đối với hàm năng lượng Foam Rubbers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Sự phụ thuộc của tỷ số H/V tức là κ vào hệ số Poisson đối với
vật liệu đẳng hướng khơng có ứng suất được tính theo cơng thức
chính xác và cơng thức xấp xỉ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Một số đường cong của tỷ số H/V bình phương trong miền tồn
tại của λ và σ¯2 (vùng tối) đối với hàm năng lượng Neo-Hookean
không nén được. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Tỷ số H/V bình phương được tình bằng cơng thức chính xác (đường
nét liền) và bởi hai công thức xấp xỉ (đường chấm chấm và chấm
gạch) là hàm của λ (trái) và σ¯2 (phải) với λ3 = 1 đối với hàm
nămg lượng Neo-Hookean không nén được. . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Một số đường cong của tỷ số H/V bình phương trong miền tồn tại
của λ và σ¯2 (vùng tối) đối với hàm năng lượng Varga không nén được. 74
Tỷ số H/V được tính bằng cơng thức chính xác (đường nét liền)
và hai công thức xấp xỉ (đường chấm chấm và chấm gạch) là hàm
của λ (trái) và σ¯2 (phải) với λ3 = 1 đối với hàm năng lượng Varga
không nén được. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Một số đường cong của tỷ số H/V bình phương trong miền của λ
và σ¯2 đối với vật liệu Varga không nén được. . . . . . . . . . . . . . . 76
Tỷ số H/V bình phương được tính bởi cơng thức chính xác (đường
liền) và hai cơng thức xấp xỉ (đường chấm chấm và chấm gạch) là
hàm của λ (trái) và σ¯2 (phải) với λ3 = 1 đối với hàm năng lượng
m = 1/2 không nén được. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Kết quả và tổng sai số tương đối thu được khi giải bài toán ngược
với vật liệu Varga khơng nén được. Hai hình phía trên là trường
hợp phép đo tỷ số H/V được chọn với nhiễu 2%. Hai hình phía
dưới với nhiễu 5%. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

ix


4.1

4.2

4.3
4.4

5.1

5.2

Đường cong chính xác và xấp xỉ bậc 3 của tỷ số H/V đối với bán
không gian đàn hồi đẳng hướng phủ lớp đàn hồi đẳng hướng nén
được, với e1 = 3, e2 = 3, e3 = 1, e¯1 = 9, e¯2 = 1/9, e¯3 = 7„ rµ = 1,
rv = 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Đường cong chính xác và xấp xỉ bậc 3 của tỷ số H/V đối với bán
không gian đàn hồi trực hướng phủ lớp đàn hồi trực hướng nén
được, với e1 = 2.3, e2 = 2.5, e3 = 0.5, e¯1 = 3.7, e¯2 = 1, e¯3 = 0.5,
rµ = 0.8, rv = 2.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sự phụ thuộc của tỷ số H/V vào ε ∈ [0, 1] đối với bán không gian
đàn hồi đẳng hướng không nén được phủ một lớp mỏng. . . . . .
Sự phụ thuộc của tỷ số H/V vào ε ∈ [0, 1] đối với bán không gian

đàn hồi trực hướng không nén được phủ một lớp mỏng. . . . . .

. . . 90

. . . 91
. . . 97
. . . 98

Đồ thị của κ được tính bởi cơng thức xấp xỉ bậc 3 (5.46) (đường
nét đứt) và cơng thức chính xác đối với hàm năng lượng biến dạng
Neo-Hookean. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
Đồ thị của κ được tính bởi cơng thức xấp xỉ bậc 3 (5.46) (đường
nét đứt) và cơng thức chính xác đối với hàm năng lượng biến dạng
Blatz-Ko. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

x


Mở đầu
Tính thời sự của đề tài luận án
Các bài tốn truyền sóng trong các mơi trường đàn hồi, nổi bật là sóng
mặt Rayleigh, là cơ sở lý thuyết cho nhiều ứng dụng khác nhau trong khoa học
và công nghệ. Sóng mặt Rayleigh truyền trong mơi trường đàn hồi đẳng hướng
nén được, mà Rayleigh [29] tìm ra hơn 120 năm trước, vẫn đang được nghiên
cứu một cách mạnh mẽ vì những ứng dụng to lớn của nó trong nhiều lĩnh vực
khác nhau của khoa học và công nghệ như địa chấn học, âm học, địa vật lý, công
nghệ truyền thông và khoa học vật liệu. Có thể nói rằng những nghiên cứu của
Rayleigh về sóng mặt truyền trong bán khơng gian đàn hồi có ảnh hưởng sâu
rộng đến cuộc sống hiện đại như Adams và các cộng sự [3] đã chia sẻ. Nó được
sử dụng để nghiên cứu động đất, thiết kế mobile phone và nhiều thiết bị điện tử

cực nhỏ. Đã có một số lượng bài báo rất lớn nghiên cứu về sóng mặt Rayleigh.
Như đã viết trong [61], Google Scholar một trong những cơng cụ tìm kiếm tài
liệu khoa học mạnh nhất, cho chúng ta hơn một triệu đường links cho yêu cầu
tìm kiếm "Rayleigh waves". Kết quả đáng kinh ngạc này chỉ ra rằng, lĩnh vực
nghiên cứu về sóng mặt Rayleigh có vị trí cao trong khoa học, và đang được sự
quan tâm rất lớn của các nhà khoa học trên thế giới.
Trong những năm gần đây, rất nhiều vật liệu mới được tạo ra và đang được sử
dụng rộng rãi trong khoa học và công nghệ. Do vậy, việc đánh giá các tính chất
cơ học của các cấu trúc trước và trong quá trình sử dụng là hết sức cần thiết và
quan trọng [19]. Trong nhiều phương pháp đánh giá, phương pháp truyền sóng
[13] được sử dụng nhiều nhất vì nó khơng làm các cấu trúc bị hư hại. Đối với
phương pháp truyền sóng, sóng mặt Rayleigh là một cơng cụ thuận tiện vì năng
lượng của chúng truyền chủ yếu trên bề mặt nên dễ kích động và dễ thu nhận.
Khi sử dụng sóng Rayleigh ta có thể sử dụng vận tốc truyền của chúng hoặc
sử dụng tỷ số H/V (tỷ số giữa các giá trị cực đại của mô đun của chuyển dịch
ngang và mô đun của chuyển dịch thẳng đứng tại biên của bán khơng gian của
sóng Rayleigh). Trước tiên, một sóng Rayleigh được truyền vào trong cấu trúc
1


cần xác định tính chất cơ học. Sau đó ta phải đo vận tốc truyền của chúng (nếu
sử dụng vận tốc sóng), hoặc tỷ số H/V.
Nếu sử dụng vận tốc sóng làm cơng cụ đánh giá khơng phá hủy thì ta phải
đo vận tốc truyền của sóng. Sau đó một bài tốn ngược được thiết lập dựa trên
phương trình tán sắc (phương trình xác định vận tốc sóng) và các giá trị đo
được của vận tốc. Giải bài toán ngược ta thu được các đặc trưng cơ học cần tìm
của cấu trúc. Việc giải các bài toán ngược sẽ đơn giản rất nhiều nếu ta có các
cơng thức vận tốc sóng thay cho phương trình tán sắc.
Nếu sử dụng tỷ số H/V làm công cụ đánh giá không phá hủy thì ta phải đo
tỷ số H/V. Một bài tốn ngược được thiết lập dựa trên phương trình xác định

tỷ số H/V và các giá trị đo được của chúng. Tương tự, việc giải các bài toán
ngược sẽ đơn giản rất nhiều nếu ta có các cơng thức tỷ số H/V thay cho phương
trình tỷ số H/V.
So với vận tốc sóng, tỷ số H/V là công cụ tiện lợi hơn bởi hai lí do sau. Thứ
nhất, việc đo tỷ số H/V dễ hơn vận tốc sóng vì nó khơng phụ thuộc vào khoảng
cách giữa điểm kích động sóng và điểm thu nhận sóng, và thời gian chuyển động
(xem [15]). Thứ hai, vì tỷ số H/V là một đại lượng khơng thứ nguyên nên các
giá trị đo được của chúng được sử dụng trực tiếp trong việc thiết lập và giải bài
toán ngược. Trong khi đó vận tốc sóng (c) là một đại lượng có thứ nguyên, nên
để sử dụng chúng trong bài tốn ngược ta cần xác định thêm vận sóng tốc sóng
ngang (c2 ). Mặc dù tỷ số H/V tiện lợi hơn vận tốc sóng nhưng cho đến nay nó
vẫn chưa được sử dụng trong đánh giá các tính chất cơ học của các cấu trúc,
vì các phương trình xác định tỷ số H/V và các cơng thức tính chúng chưa được
thiết lập. Do vậy việc tìm ra các phương trình tỷ số H/V và các cơng thức xác
định chúng là hết sức cần thiết, có ý nghĩa về cả phương diện lí thuyết lẫn ứng
dụng thực tế, và đang được các nhà khoa học trong nước, quốc tế quan tâm.

Mục tiêu của luận án
Mục tiêu chính của luận án là thiết lập các công thức tỷ số H/V của sóng
Rayleigh đối với bán khơng gian đàn hồi tự do đối với ứng suất và bán không
gian đàn hồi phủ một lớp đàn hồi.

Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu
1. Đối tượng nghiên cứu: Sóng Rayleigh trong các bán không gian đàn hồi tự do
đối với ứng suất, sóng Rayleigh trong các bán khơng gian đàn hồi phủ một lớp
2


đàn hồi.
2. Phạm vi nghiên cứu: Tỷ số H/V của sóng Rayleigh trong bán khơng gian đàn

hồi tự do đối với ứng suất và bán không gian đàn hồi phủ một lớp đàn hồi.

Phương pháp nghiên cứu
Trong luận án tác giả sử dụng 5 phương pháp chủ yếu để đạt được các mục tiêu
đề ra:
1. Phương pháp ma trận trở kháng mặt: Sử dụng để tìm ra các phương trình tỷ
số H/V của sóng Rayleigh trong bán khơng gian đàn hồi tự do đối với ứng suất.
2. Phương pháp lý thuyết phương trình bậc ba: Sử dụng để tìm ra cơng thức
chính xác dạng hiện của tỷ số H/V của sóng Rayleigh trong bán khơng gian đàn
hồi tự do đối với ứng suất.
3. Phương pháp bình phương tối thiểu: Sử dụng để tìm ra cơng thức xấp xỉ dạng
hiện của tỷ số H/V của sóng Rayleigh trong bán khơng gian đàn hồi tự do đối
với ứng suất.
4. Phương pháp điều kiện biên hiệu dụng: Sử dụng để tìm ra các cơng thức xấp
xỉ tỷ số H/V của sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi phủ một lớp mỏng
đàn hồi.
5. Phương pháp ma trận chuyển: Sử dụng để tìm ra các cơng thức chính xác tỷ
số H/V của sóng Rayleigh trong bán khơng gian đàn hồi có ứng suất trước phủ
một lớp đàn hồi có ứng suất trước.

Những đóng góp mới của luận án
1) Tìm ra các cơng thức chính xác của tỷ số H/V của sóng Rayleigh đối với:
• Bán không gian đàn hồi trực hướng nén được và khơng nén được.
• Bán khơng gian có ứng suất trước nén được và khơng nén được.
• Bán khơng gian đàn hồi có ứng suất trước nén được (khơng nén được) phủ

một lớp đàn hồi có ứng suất trước nén được (khơng nén được).
2) Tìm ra các cơng thức xấp xỉ của tỷ số H/V của sóng Rayleigh đối với:
• Bán không gian đàn hồi trực hướng nén được và không nén được.
• Bán khơng gian có ứng suất trước nén được và không nén được.

3


• Bán không gian đàn hồi trực hướng nén được (không nén được) phủ một

lớp mỏng đàn hồi trực hướng nén được (khơng nén được).
• Bán khơng gian đàn hồi trực hướng nén được phủ một lớp mỏng đàn hồi

monoclinic có mặt phẳng đối xứng x3 = 0, nén được.
• Bán khơng gian đàn hồi có ứng suất trước nén được (khơng nén được) phủ

một lớp mỏng đàn hồi có ứng suất trước nén được (không nén được).
Các kết quả chính của luận án đã được cơng bố trên 04 bài báo quốc
tế thuộc danh mục ISI (01 bài báo SCI-Q1, 01 bài báo SCI-Q2, 02 bài
báo SCIE-Q2), 02 bài báo tạp chí uy tín trong nước (Vietnam Journal
of Mechanics), 01 báo cáo hội nghị Cơ học toàn quốc.

Cấu trúc của luận án
Luận án gồm 6 chương, phần mở đầu và phần kết luận.
Chương 1: Tổng quan
Trình bày sự phát triển và các thành tựu của sóng Rayleigh. Tổng quan về
tình hình nghiên cứu cơng thức tỷ số H/V của sóng Rayleigh ở trong nước và
trên thế giới.
Chương 2: Các công thức tỷ số H/V đối với bán không gian đàn
hồi trực hướng
Nội dung của chương 2 là tìm ra các cơng thức chính xác và xấp xỉ của tỷ số
H/V đối với các bán không gian đàn hồi trực hướng nén được, không nén được.
Chương 3: Các công thức tỷ số H/V đối với bán khơng gian đàn
hồi có ứng suất trước
Nội dung của chương 3 là tìm ra các cơng thức chính xác và xấp xỉ của tỷ

số H/V đối với các bán khơng gian đàn hồi có ứng suất trước nén được, không
nén được.
Chương 4: Các công thức xấp xỉ của tỷ số H/V đối với bán không
gian đàn hồi trực hướng phủ một lớp mỏng đàn hồi
Nội dung của chương 4 là tìm ra các cơng thức xấp xỉ của tỷ số H/V đối với
bán không gian đàn hồi trực hướng phủ một lớp mỏng đàn hồi trực hướng (nén
được và không nén được), bán không gian đàn hồi trực hướng nén được phủ một
lớp mỏng đàn hồi monoclinic có mặt phẳng đối xứng x3 = 0, nén được.
Chương 5: Các công thức xấp xỉ của tỷ số H/V đối với bán khơng
gian đàn hồi có ứng suất trước phủ một lớp mỏng đàn hồi có ứng suất
4


trước
Nội dung của chương 5 là tìm ra các cơng thức xấp xỉ của tỷ số H/V đối với
bán không gian đàn hồi có ứng suất trước phủ một lớp mỏng đàn hồi có ứng
suất trước (nén được và khơng nén được).
Chương 6: Các cơng thức chính xác của tỷ số H/V đối với bán
khơng gian đàn hồi có ứng suất trước phủ một lớp đàn hồi có ứng
suất trước
Nội dung của chương 6 là tìm ra các cơng thức chính xác của tỷ số H/V đối
với bán khơng gian đàn hồi có ứng suất trước nén được và khơng nén được phủ
một lớp đàn hồi có ứng suất trước có độ dầy tùy ý (nén được và khơng nén
được).
Cần chú ý rằng, từ các cơng thức chính xác của tỷ số H/V ở Chương 6 ta có
thể suy ra các công thức xấp xỉ của tỷ số H/V ở Chương 5 bằng cách sử dụng
khai triển Taylor theo độ dày của lớp mỏng. Tuy nhiên, phương pháp ma trận
chuyển dùng ở Chương 6 chỉ có hiệu lực đối với lớp đẳng hướng có ứng suất
trước. Trong khi đó phương pháp điều kiện biên hiệu dụng sử dụng ở Chương
5 (cũng như Chương 4) khơng chỉ có hiệu lực cho lớp đẳng hướng có ứng suất

trước mà cịn có hiệu lực đối với các lớp dị hướng có ứng suất trước.

5


Chương 1
Tổng quan
1.1. Sóng Rayleigh
Sóng Rayleigh là sóng cơ học lan truyền trong một bán không gian đàn hồi tự
do đối với ứng suất. Năng lượng của sóng tập trung trên bề mặt của bán không
gian và giảm rất nhanh theo chiều sâu (hầu như bằng không ở độ sâu một bước
sóng). Do vậy sóng Rayleigh là sóng mặt (surface wave). Sự tồn tại của sóng
Rayleigh được chứng minh đầu tiên bởi Rayleigh [29] vào năm 1885, cho trường
hợp đơn giản nhất khi bán không gian đàn hồi là đẳng hướng.

1.1.1. Sóng Rayleigh trong bán khơng gian thuần nhất
Để hiểu q trình truyền của sóng Rayleigh, luận án giới thiệu một cách vắn tắt
cách xác định trường chuyển dịch, cách dẫn ra phương trình xác định vận tốc
(phương trình tán sắc) của sóng Rayleigh truyền trong bán khơng gian đàn hồi
là đẳng hướng. Xét bán không gian đàn hồi đẳng hướng nén được chiếm phần

Hình 1.1: Bán khơng gian đàn hồi x2 ≥ 0.
6


khơng gian x2 ≥ 0 (Hình 1.1). Xét trạng thái biến dạng phẳng
ui = ui (x1 , x2 , t),

i = 1, 2,

u3 ≡ 0,

(1.1)

trong đó ui là các thành phần của véctơ chuyển dịch. Các thành phần ứng suất
σij liên hệ với các thành phần chuyển dịch bởi các hệ thức
σ11 = (λ + 2µ)u1,1 + λu2,2 ,

(1.2)

σ22 = λu1,1 + (λ + 2µ)u2,2 ,
σ12 = µ(u1,2 + u2,1 )

trong đó dấu phẩy chỉ đạo hàm theo các biến khơng gian xk , λ, µ là các hằng số
Lame. Bỏ qua lực khối, phương trình chuyển động có dạng
σ11,1 + 12,2 = ă
u1 ,

(1.3)

12,1 + 22,2 = ă
u2 .

Du chấm chỉ đạo hàm theo biến thời gian t, ρ là mật độ khối lượng.
Thay (1.2) vào (1.3) ta thu được

 c2 u
2
2
2

1 1,11 + c2 u1,22 + (c1 − c2 )u2,12 = uă1 ,
(c2 c2 )u1,12 + c2 u2,11 + c2 u2,22 = uă2 ,
1

trong ú c1 =

2

+ 2µ
, c2 =
ρ

2

(1.4)

1

µ
là vận tốc sóng dọc và vận tốc sóng ngang
ρ

trong mơi trường đàn hồi đẳng hướng nén được.
Giả thiết biên x2 = 0 của bán không gian tự do đối với ứng suất, tức là:
σ12 = σ22 = 0 tại x2 = 0. Khi đó, từ (1.2) suy ra
µ(u1,2 + u2,1 ) = 0, λu1,1 + (λ + 2µ)u2,2 = 0

tại x2 = 0.

(1.5)

Các thành phần chuyển dịch phải tắt dần ở vô cùng, tức là:
u1 = u2 = 0

tại x2 = +∞.

(1.6)

Như vậy các thành phần chuyển dịch u1 , u2 phải thỏa mãn phương trình (1.4)
cùng với điều kiện biên (1.5) và điều kiện tắt dần (1.6).
Phương trình đặc trưng
Giả sử sóng Rayleigh truyền theo hướng 0x1 với vận tốc c (> 0), số sóng k (> 0).
Khi đó nghiệm của (1.4) được tìm dưới dạng
u1 = U1 (y)eik(x1 −ct) , u2 = U2 (y)eik(x1 −ct) ,
7

(1.7)


trong đó y = kx2 , Um (y) (m = 1, 2) là các hàm cần tìm. Thay biểu diễn nghiệm
(1.7) vào (1.4) dẫn đến các phương trình đối với các hàm Um (y)
(c21 − c2 )U1 − c22 U1 − i(c21 − c22 )U2 = 0,
(c22 − c2 )U2 − c21 U2 − i(c21 − c22 )U1 = 0,

(1.8)

trong đó dấu phẩy " " chỉ đạo hàm theo biến y . Đây là một hệ hai phương trình
vi phân với hệ số là hằng số. Nghiệm riêng (nghiệm cơ bản) của hệ (1.8) được
tìm dưới dạng:
U1 (y) = Ae−sy , U2 (y) = Be−sy ,

(1.9)
trong đó A, B, s là các hằng số. Thay (1.9) vào hệ (1.8) dẫn đến một hệ hai
phương trình tuyến tính thuần nhất đối với A, B . Do A, B không đồng thời bằng
không nên định thức của hệ phải bằng không, tức là:
c21 c22 s4 − [2c21 c22 − (c21 + c22 )c2 ]s2 + (c21 − c2 )(c22 − c2 ) = 0.

(1.10)

Phương trình (1.10) được gọi là phương trình đặc trưng của sóng Rayleigh. Đó
là một phương trình bậc hai đối với s2 với biệt thức ∆ là:
∆ = (c21 − c22 )2 c4 > 0.

(1.11)

Chú ý rằng các hệ số của phương trình đặc trưng (1.10) đều là thực và phụ
thuộc vào vận tốc sóng c chưa xác định. Trên trường phức, phương trình (1.10)
có bốn nghiệm s1 , s2 , −s1 , −s2 . Giả sử s1 , s2 là hai nghiệm của (1.10) có phần
thực dương. Khi đó, nghiệm tổng quát của hệ (1.8) thỏa mãn điều kiện tắt dần
(1.6) là:
U1 (y) = A1 e−s1 y + A2 e−s2 y ,
U2 (y) = α1 A1 e−s1 y + α2 A2 e−s2 y ,

(1.12)

trong đó αk xác định bởi
αk = i

(c21 − c2 ) − c22 s2k
, k = 1, 2.
(c21 − c22 )sk

(1.13)

Dễ dàng chứng minh các mệnh đề sau.
Mệnh đề 1.1. Nếu sóng Rayleigh tồn tại thì vận tốc sóng c của nó phải thỏa
mãn bất đẳng thức:
0 < c < c2 .
(1.14)

8


Mệnh đề 1.2. Giả sử sóng Rayleigh tồn tại. Khi đó hai nghiệm có phần thực
dương của của phương trình đặc trưng (1.10) là:
s1 =

1−

c2
, s2 =
c21

1−

c2
.
c22

(1.15)

Phương trình tán sắc
Phương trình tán sắc là phương trình xác định vận tốc truyền của sóng
Rayleigh.
Từ (1.13) và (1.15) ta có
α1 = is1 , α2 =

i
.
s2

(1.16)

Tính đến (1.7), (1.12) và (1.16), chuyển dịch của sóng Rayleigh là:

u1 = (A1 e−s1 y + A2 e−s2 y )eik(x1 −ct) ,
u2 = (is1 A1 e−s1 y + i A2 e−s2 y )eik(x1 −ct) ,

(1.17)

s2

trong đó s1 , s2 xác định bởi (1.15). Từ điều kiện tự do đối với ứng suất (1.5) ta
có:

c2 A2


= 0,
2s1 A1 + (2 − 2 )
c2 s 2

(1.18)
c2
A2


= 0.
(2 − 2 )A1 + 2s2
s2

c2

Do A1 , A2 không thể đồng thời bằng không nên định thức của (1.18) phải bằng
không, suy ra:
(2 −

hay

c2 2
) −4
c22

√
(2 − x)2 − 4 1 − x

1−

c2
c21

1−

c2
=0
c22

1 − γx = 0, 0 < x < 1,

(1.19)

(1.20)

trong đó x = c2 /c22 , γ = c22 /c21 (0 < γ < 3/4). Phương trình (1.20) chính là phương
trình tán sắc của sóng Rayleigh trong mơi trường đàn hồi đẳng hướng nén được,
được Rayleigh [29] tìm vào năm 1885. Từ phương trình này vận tốc sóng c của
sóng Rayleigh được xác định.
Trong khoảng (0, 1) phương trình (1.20) tương đương với phương trình bậc
ba sau
x3 − 8x2 + 8(3 − 2γ)x − 16(1 − γ) = 0.
(1.21)
Thật vậy, với 0 < x < 1, phương trình (1.20) ⇔ (2 − x)4 = 16(1 − x)(1 − γx) ⇔
phương trình (1.21) (sau khi giản ước và chia hai vế cho x).
9


Ta có mệnh đề sau.
Mệnh đề 1.3 (tham khảo [1]) Với mọi giá trị của (tham số) γ thuộc khoảng
(0, 3/4), phương trình (1.21), do vậy phương trình (1.20), có một nghiệm duy
nhất trong khoảng (0, 1).
Từ Mệnh đề 1.3 suy ra định lý sau về sự tồn tại duy nhất sủa sóng Rayleigh.
Định lý 1.1. Ln tồn tại duy nhất một sóng Rayleigh truyền trong bán

khơng gian đàn hồi đẳng hướng nén được tự do đối với ứng suất. Vận tốc của
nó là nghiệm của phương trình (1.21) (hay phương trình (1.20)) thuộc khoảng
(0, 1).
Dễ thấy A2 = 2s1 s2 A1 /(x − 2), A1 tùy ý khác không, là nghiệm của hệ (1.18).
Do vậy, chuyển dịch của sóng Rayleigh là

u1 = A1 e−s1 y + 2s1 s2 e−s2 y eik(x1 −ct)
x−2
, y = kx2 ,
(1.22)
u2 = is1 A1 e−s1 y + 2s1 e−s2 y eik(x1 −ct)
x−2

√

trong đó A1 là một hằng số tùy ý khác không, s1 , s2 xác định bởi (1.15), c = c2 x,
x được xác định bởi phương trình (1.21) (hay phương trình (1.20)), k = ω/c, ω
là tần số sóng (cho trước).
Đặt uk = Uk (y)eik(x1 −ct) (k = 1, 2), từ (1.17) ta có:

U1 (0) = A1 + A2 ,
(1.23)
U2 (0) = is1 A1 + i A2 .
s2

Véctơ U(0) = [U1 (0) U2 (0)]T được gọi là véc tơ phân cực (của sóng Rayleigh).
Nhận xét 1.1.
(i) Từ (1.23) ta thấy rằng, nếu biết véc tơ phân cực thì các hằng số A1 , A2
hồn tồn xác định bởi hệ phương trình (1.23).
(ii) Theo (1.22) véc tơ phân cực U(0) xác định chính xác đến một hằng số

(phức) tùy ý khác khơng. Vì U(0) = U2 (0)[U1 (0)/U2 (0) 1]T nên để xác định ta
chọn U(0) = [U1 (0)/U2 (0) 1]T . Đại lượng κ = |U1 (0)/U2 (0)| được gọi là tỷ số H/V
(của sóng Rayleigh). Để phân biệt, ta gọi U1 (0)/U2 (0) là "tỷ số H/V".

1.1.2. Sóng Rayleigh trong bán không gian phủ một lớp đàn hồi
Sau khi thay thế ảnh hưởng của lớp lên bán không gian bằng điều kiện biên
hiệu dụng [58], liên hệ giữa véctơ ứng lực và véctơ chuyển dịch tại mặt biên của
bán không gian, sóng Rayleigh truyền trong bán khơng gian phủ một lớp đàn
hồi được xem xét như một sóng Rayleigh truyền trong bán không gian đàn hồi
10


(không bị phủ). Tuy nhiên, bán không gian đàn hồi khơng cịn tự do đối với ứng
suất mà chịu điều kiện biên hiệu dụng.
Trong khi có duy nhất một sóng Rayleigh truyền trong bán không gian đàn
hồi tự do đối với ứng suất, mang đặc tính sóng Lamb (truyền trong một lớp đàn
hồi), sóng Rayleigh trong bán khơng gian đàn hồi phủ một lớp đàn hồi có vơ số
mode. Sự xuất hiện của lớp đàn hồi làm cho sóng Rayleigh có nhiều đặc tính
thú vị hơn, nhưng cũng làm cho việc tìm ra các phương trình tán sắc dạng hiện
trở nên khó khăn hơn, so với trường hợp chỉ có bán khơng gian. Hầu hết chúng
được tìm ra trong thời gian gần đây, xem [52]-[58].

1.2. Lịch sử phát triển của sóng Rayleigh
Sóng mặt Rayleigh được Rayleigh tìm ra từ 1885 đối với môi trường đàn hồi
đẳng hướng nén được, vẫn đang được nghiên cứu một cách mạnh mẽ vì những
ứng dụng to to lớn của nó trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học và công
nghệ, như địa vật lý, âm học, khoa học vật liệu, công nghệ truyền thơng.
Lịch sử phát triển của sóng mặt Rayleigh có thể chia làm hai giai đoạn. Giai
đoạn 1: từ năm 1885 đến năm 1965; giai đoạn 2: từ năm 1965 đến nay.
Trong giai đoạn 1, các nghiên cứu về sóng Rayleigh chủ yếu phục vụ dự báo

và phòng chống động đất vì sóng mặt Rayleigh là ngun nhân chính tàn phá
các cơng trình xây dựng trên bề mặt trái đất khi động đất xảy ra. Nó cũng được
sử dụng (một cách tích cực) để đánh giá các đặc trưng cơ học của vỏ trái đất.
Các nghiên cứu về sóng Rayleigh trong giai đoạn này chủ yếu xét trong bán
không gian đàn hồi đẳng hướng hoặc đẳng hướng ngang.
Giai đoạn 2 đánh dấu bằng sự kiện quan trọng, khi White và Voltmer [62]
chế tạo thành công thiết bị IDT (Interdigital Transducer) vào năm 1965. Với
thiết bị này, sóng Rayleigh được tạo ra dễ dàng trong các vật liệu. Từ thời điểm
này, sóng Rayleigh trở thành một công cụ vô cùng tiện lợi trong đánh giá không
phá hủy các đặc trưng cơ học, phát hiện các vết nứt, khuyết tật của các cấu trúc
trước và trong quá trình sử dụng. Ngày nay, vật liệu mới được tạo ra thường
xuyên và việc theo dõi "tình trạng sức khỏe" (health monitoring) của các cấu
trúc (như cánh máy bay,...) trong quá trình sử dụng là hết sức cần thiết, nên
ứng dụng của sóng Rayleigh trong cơng nghệ hiện đại là rất lớn. Gần đây, sóng
Rayleigh được tạo ra dễ dàng hơn bằng một thiết bị laser [16] nên phạm vi ứng
dụng của nó càng mở rộng. Các nghiên cứu về sóng Rayleigh trong giai đoạn
này đã mở rộng xét các bán không gian đàn hồi dị hướng, các bán không gian
đàn hồi phức tạp như micropolar, porous, piezoelectic,...
11


Để sử dụng sóng Rayleigh trong đánh giá khơng phá hủy, sóng Rayleigh được
tạo ra (bởi IDT hay lade) và truyền vào trong cấu trúc vật liệu. Nó được thu lại
tại một khoảng cách cho trước tính từ vị trí nó được tạo ra. Vì thời gian chuyển
động của nó đã biết nên vận tốc của chúng được xác định. Từ các giá trị đo
được của vận tốc sóng và phương trình tán sắc (dạng hiện) của sóng Rayleigh,
một bài toán ngược (fitting đường cong tán sắc thực nghiệm với đường cong tán
sắc lý thuyết) sẽ được giải để tìm ra các đặc trưng cơ học của cấu trúc. Chú ý
rằng, để thiết lập được bài tốn ngược, ngồi các giá trị đo được của vận tốc
sóng, cần có phương trình tán sắc dạng hiện của sóng Rayleigh. Do vậy, phương

trình tán sắc dạng hiện là mục tiêu chính của bất kỳ nghiên cứu nào về sóng
mặt Rayleigh.

1.3. Hai vấn đề cơ bản của sóng Rayleigh
Xét bán khơng gian đàn hồi dị hướng x2 ≥ 0 (Hình 1.1). Giả thiết bán không
gian chịu trạng thái biến dạng phẳng suy rộng
un = un (x1 , x2 , t),

n = 1, 2, 3,

(1.24)

trong đó un là các thành phần của véctơ chuyển dịch. Giả sử một sóng Rayleigh
truyền trong bán khơng gian với vận tốc c(> 0), số sóng k(> 0) theo hướng x1 và
tắt dần theo hướng x2 . Khi đó các thành phần chuyển dịch un (n = 1, 2, 3) và các
thành phần σn2 (n = 1, 2, 3) của véc tơ ứng lực trên các mặt phẳng x2 = const có
dạng
un = Un (y)eik(x1 −ct) , σn2 = ikΣn (y)eik(x1 −ct) , n = 1, 2, 3, y = kx2 .

(1.25)

Chú ý rằng, c và k liên hệ với nhau bởi hệ thức k.c = ω , trong đó ω là tần số
sóng. Vì ω cho trước nên ta chỉ cần xác định một trong hai đại lượng, hoặc c
hoặc k .
Theo Ting [36], Fu [14] các véc tơ Σ(0) = [Σ1 (0) Σ2 (0) Σ3 (0)]T và
U(0) = [U1 (0) U2 (0) U3 (0)]T (véc tơ phân cực) liên hệ với nhau bởi đẳng thức
sau:
Σ(0) = iM(c)U(0)
(1.26)
trong đó M là một ma trận (vng cấp sáu) hermitian (là ma trận vuông phức

¯ ji với i = j ), phụ thuộc vào vận tốc sóng Rayleigh c
có các phần tử Mij = M
chưa xác định (và các tham số vật liệu của bán không gian đã biết). Giả sử bán
không gian tự do đối với ứng suất, tức là Σ(0) = 0. Khi đó, từ (1.26) suy ra:
M(c)U(0) = 0.
12

(1.27)


Do U(0) = 0 nên ta có
|M(c)| = 0.

(1.28)

Đó chính là phương trình để xác định vận tốc sóng c, được gọi là phương trình
tán sắc (secular equation). Sau khi xác định c, giải phương trình (1.27) ta xác
định được véc tơ phân cực U(0). Theo Nhận xét 1.1, trường chuyển dịch và ứng
suất của sóng Rayleigh hồn tồn xác định sau khi xác định được véc tơ phân
cực. Như vậy, nếu sóng Rayleigh tồn tại, hai bài tốn cơ bản của nó là:
(i) Tìm phương trình tán sắc để xác định vận tốc sóng c.
(ii) Xác định véc tơ phân cực để xác định trường chuyển dịch và ứng suất
của sóng Rayleigh.
Chú ý rằng, đối với trạng thái biến dạng phẳng, sóng Rayleigh chỉ có hai
thành phần chuyển dịch (khác khơng); u1 , u2 , và khi đó bài tốn xác định véc
tơ phân cực chính là bài tốn xác định "tỷ số H/V" tức là "U1 (0)/U2 (0)".

1.3.1. Phương trình tán sắc
• Sóng Rayleigh trong bán khơng gian

Đối với sóng Rayleigh, phương trình tán sắc dạng tường minh (dạng hiện) có ý
nghĩa đặc biệt quan trọng. Nó được sử dụng để giải bài toán thuận: xác định
trường chuyển dịch và ứng suất của sóng Rayleigh và khảo sát sự phụ thuộc của
vận tốc sóng vào các tham số vật liệu, và đặc biệt, nó là cơ sở lý thuyết để giải
bài toán ngược: xác định các tham số vật liệu từ các giá trị đo được của vận tốc
sóng. Do vậy, phương trình tán sắc dạng hiện là mục tiêu quan trọng đối với bất
kỳ nghiên cứu nào liên quan đến sóng Rayleigh.
Về mặt tốn học phương trình tán sắc có dạng F (c, tk ) = 0, trong đó c là
vận tốc truyền sóng, tk (k = 1, 2, ..., n) là các tham số vật liệu. Phương trình
F (c, tk ) = 0 được gọi là "phương trình tán sắc dạng hiện (hay dạng tường minh)"
nếu hàm F (c, tk ) được biểu diễn qua c và tk một cách tường minh. Trong trường
hợp ngược lại, nó được gọi là "phương trình tán sắc dạng ẩn".
Đối với các mơi trường đàn hồi đẳng hướng, phương trình đặc trưng của
sóng, ví dụ như (1.10), là phương trình trùng phương. Từ các biểu thức nghiệm
của nó, ta có thể chọn được hai trong bốn nghiệm đảm bảo sự tắt dần của sóng
Rayleigh ở vơ cùng. Sử dụng hai nghiệm này vào điều kiện biên tự do ứng suất,
ta thu được phương trình tán sắc dạng hiện của sóng. Phương pháp sử dụng
biểu diễn nghiệm của phương trình đặc trưng của sóng được gọi là "phương
pháp truyền thống".
Khi mơi trường đàn hồi là trực hướng hay dị hướng cao hơn (chẳng hạn môi
13