(Luận văn thạc sĩ) các bất đẳng thức, đẳng thức trong tam giác và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-------------------

HÀ TRỌNG HẬU

CÁC BẤT ĐẲNG THỨC, ĐẲNG THỨC TRONG TAM
GIÁC VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

H{ Nội – Năm 2013


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-------------------

HÀ TRỌNG HẬU

CÁC BẤT ĐẲNG THỨC, ĐẲNG THỨC TRONG TAM
GIÁC VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ng{nh: Phương phá p toá n sơ cá p
M~ số:

604640

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS. LE ĐÌNH ĐỊNH

H{ Nội – Năm 2013


MỤC LỤC
MỞ ĐÀ U .......................................................................................................................................................................... 5
LỜI CẢ M ƠN................................................................................................................................................................. 7
NHỮNG KÍ HIẸ U DÙ NG TRONG ......................................................................................................................... 8
LUẠ N VAN ....................................................................................................................................................................... 8
Chương 1:........................................................................................................................................................................ 9
KIÉ N THỨC CHUẢ N BỊ ............................................................................................................................................... 9
1.1 Định lí hà m só sin: ........................................................................................................................................... 9
1.2 Định lí hà m só cos: .......................................................................................................................................... 9
1.3 Định lí hà m só tan: .......................................................................................................................................... 9
1.4 Cong thức tính diẹ n tích tam giá c: ......................................................................................................... 10
1.5 Cong thức tính bá n kính: ........................................................................................................................... 10
1.6 Cong thức đường trung tuyé n : ............................................................................................................... 11
1.7 Cong thức phan giá c trong: ....................................................................................................................... 11
1.8 Cong thức hình chié u: ................................................................................................................................. 11
1.9 Mọ t só đả ng thức cơ bả n trong tam giá c............................................................................................. 11
1.10 Một số bất đẳng thức cơ bản ................................................................................................................. 17
1.10.1 Bất đẳng thức Cauchy ...................................................................................................................... 17
1.10.2 Bất đẳng thức Bunhiacopxki (B.C.S) .......................................................................................... 17
1.10.3 Bất đẳng thức TrêBưSep ................................................................................................................ 18
Chương 2:..................................................................................................................................................................... 20
TÌM MÓ I LIEN HẸ CHO NHỮNG ĐẠ I LƯỢNG TRONG TAM GIÁ C .......................................................... 20
2.1 Đưa v{o những thơng số thích hợp cho tam gi|c ............................................................................ 20
2.1.1 Đưa thong só mới và o tam giá c ...................................................................................................... 20
2.1.2 Những đại lượng biểu diễn công thức (2.1.4) thỏa m~n những bất phương trình

(2.1.1)................................................................................................................................................................... 22
2.1.3. Những miền con của G, tương ứng với những tam gi|c tù, tam gi|c nhọn v{ tam
gi|c vng. ......................................................................................................................................................... 24
2.1.4 Tìm biểu thức của những đại lượng cơ bản trong tam gi|c thông qua thông số p,x,y
................................................................................................................................................................................ 26
2.1.5.Tìm mối liên hệ giữa những đại lượng trong một tam gi|c ................................................ 28
2.2 Phương trình bạ c ba theo cá c yé u tó trong tam giá c ................................................................. 35
2.2.1 Phương trình bạ c ba theo yé u tó cạ nh củ a tam giá c.............................................................. 35
Chương 3:.................................................................................................................................................................... 60


CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC ............................. 60
3.1 Phương ph|p chứng minh bất đẳng thức dựa v{o miền gi| trị của h{m số cos v{ sin .... 60
3.2 Phương ph|p sử dụng bất đẳng thức côsi để chứng minh c|c bất đẳng thức trong tam
gi|c. ............................................................................................................................................................................ 66
3.3 Phương ph|p sử dụng bất đẳng thức Trêbưsep để chứng minh c|c bất đẳng thức trong
tam gi|c. ................................................................................................................................................................... 74
3.4 Phương phá p chứng minh bá t đả ng thức trong tam giá c nhờ bá t đả ng thức Jenxen....... 81
KẾT LUẬN .................................................................................................................................................................... 94
T{iliệuthamkhảo ..................................................................................................................................................... 95


MỞ ĐÀ U
Trong hoạt động dạy v{ học của nh{ trường, vấn đề tìm tịi đúc kết n}ng
tầm giải to|n theo hướng tổng qu|t, từ đó l{m rõ nội dung những b{i to|n
ở dạng đặc biệt, giúp cho việc dạy có định hướng cụ thể, logic, người học
dễ tiếp thu v{ có nhiều cơ hội s|ng tạo, đó cũng chính l{ đổi mới phương
ph|p dạy học .
L{ gi|o viên giảng dạy ở bộ môn to|n trung học phổ thông, chúng tôi đ~
gặp nhiều trắc trở trong công t|c giảng dạy nhiều dạng to|n ở bậc phổ

thơng trung học. Vì mỗi b{i to|n có nhiều c|ch giải kh|c nhau, mỗi c|ch
giải thể hiện kh|i niệm to|n học của nó. Trong c|c c|ch giải kh|c nhau đó,
có c|ch giải thể hiện tính hợp lí trong dạy học, có c|ch giải thể hiện tính
s|ng tạo của to|n học.
Những vá n đè lien quan đé n tam giá c luon là vá n đè hay và khó ở phỏ
thong đó i với cả người dạ y và người họ c. Vì cá c hẹ thức trong tam giá c rá t
nhiè u, phong phú và đa dạ ng. Trong luạ n van nà y chú ng toi xin đưa ra mọ t
só cá ch phan loạ i cá c hẹ thức, cá ch tìm ra cá c hẹ thức trong tam giá c đẻ
người họ c thá y vá n đè bả n chá t hơn.
Luạ n van được chia là m ba chương:
Chương 1: KIé n thức chuẩ n bị
- Chương nà y hẹ thó ng lạ i cá c định lí, cong thức và mọ t só đả ng thức, bá t
đả ng thức cơ bả n nhá t củ a tam giá c như định lí hà m só sin, hà m só cos,…,
cá c cong thức tính diẹ n tích, đường cao bá n kính…
- Phà n 1.9 hẹ thó ng lạ i những đả ng thức vè yé u tó gó c cơ bả n trong tam
giá c


- Phà n 1.10 neu lạ i mọ t só bá t đả ng thức cơ bả n dù ng trong luạ n van đẻ
chứng minh cá c bà i toá n bá t đả ng thức trong tam giá c.
Chương 2: Tìm mối liên hệ cho những đại lượng trong tâm giác
Trong chương nà y đưa ra hai cá ch đẻ tìm được cá c hẹ thức trong tam
giá c.
Cá ch thứ nhá t là đưa và o thong só thích hợp cho tam giá c
Cá ch thứ hai là chỉ ra cá c yé u tó trong tam giá c là nghiẹ m củ a phương
trình bạ c ba tương ứng từ đó dựa và o tính chá t nghiẹ m tìm ra cá c hẹ thức
trong tam giá c.
2.1 Đưâ vào những thơng sớ thích hợp cho tâm giác
Bà ng cá ch đạ t
𝑝 =

𝑎+𝑏+𝑐
2

𝑥=

4𝑏 − (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)
𝑎+𝑏+𝑐

8𝑏 2 − 3 𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 + 2(𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎)
𝑦=
(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2
Ta sẽ xay dựng ra cá c đả ng thức và bá t đả ng thức trong tam giá c. Thié t lạ p
ra cá c cong thức củ a cá c yé u tó trong tam giá c như gó c, đọ dà i trung
tuyé n, đọ dà i đường cao, đọ dà i cá c loạ i bá n kính, cong thú c diẹ n tích.
Á p dụ ng đẻ giả i mọ t só bá t đả ng thức trong tam giá c.
2.2 Phương trình bậ c bâ theo cấ c yé u tó trong tâm giấ c


Cá c yé u tó trong tam giá c có thẻ bié n đỏ i theo ba đạ i lượng, có thẻ gọ i là
ba đạ i lượng cơ bả n củ a tam giá c đó là R, r, p. Ta sẽ chỉ ra rà ng cá c yé u tó
củ a tam giá c (cạ nh, đường cao, hà m só lượng giá c củ a cá c gó c…) là
nghiẹ m củ a phương trình bạ c ba mà hẹ só theo ba yé u tó cơ bả n củ a tam
giá c.

Chương 3Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức trong tâm
giác
Chương nà y là dù ng kié n thức phỏ thong, cá c bá t đả ng thức quen thuọ c
như miè n giá trị củ a hà m sin, hà m cos, bá t đả ng thức Cauchy, bá t đả ng
thức Chebyshev, bất đẳng thức Jenxen đẻ chứng minh cũ ng như xay dựng

cá c bá t đả ng thức trong tam giá c. Phà n nà y là đú c rú t củ a chú ng toi qua
quá trình bò i dưỡng , dạ y on thi Đạ i họ c và họ c sinh giỏ i.

LỜI CẢ M ƠN
Luạ n van được hoà n thà nh dưới sự hướng dã n tạ n tình củ a Thà y, Ts. Lê
Đình Định. Thà y đã hé t lò ng giú p đỡ, dạ y bả o, đọ ng vien trong suó t quá
trình họ c tạ p cũ ng như là m luạ n văn. Toi xin gửi tới Thà y lời cả m ơn sau
sá c nhá t!
Toi xin bà y tỏ lời cả m ơn chan thà nh đé n tá t cả cá c thà y co trong khoa
toá n – cơ – tin củ a trường ĐHKHTN – ĐHQGHN đã chỉ bả o tạ n tình trong
suó t quá trình toi họ c tạ p tạ i trường.
Nhan dịp nà y, cho toi bà y tỏ lò ng bié t ơn tới gia đình, cả m ơn tới bạ n bè
đã cỏ vũ , đọ ng vien toi trong suó t quá trình họ c.


Do thời gian có hạ n, trình đọ bả n than cò n hạ n ché nen luạ n van khong
thẻ khong có những thié u só t. Toi rá t mong được sự đó ng gó p ý kié n củ a
thá y co và cá c bạ n đẻ luạ n van được hoà n thiẹ n hơn. Xin chan thà nh cả m
ơn.
Vĩnh Phú c, 10\05\2013
Hà Trọ ng Hạ u

NHỮNG KÍ HIẸ U DÙ NG TRONG
LUẠ N VĂN
∆ 𝐴𝐵𝐶 ∶ Tam giá c ABC
A, B, C : Cá c đỉnh củ a tam giá c hay só đo gó c trong tam giá c ABC
a, b, c : Đọ dà i cá c cạ nh đó i diẹ n cá c gó c A, B, C
𝑙𝑎 , 𝑙𝑏, 𝑙𝑐 : Đọ dà i cá c đường phan giá c trong xuá t phá t từ A, B, C
𝑅: Đọ dà i bá n kình đường trò n ngoạ i tié p ∆ 𝐴𝐵𝐶
𝑟: Đọ dà i bá n kính đường trò n nọ i tié p ∆ 𝐴𝐵𝐶

𝑟𝑎 , 𝑟𝑏 , 𝑟𝑐 : Đọ dà i bá n kính đường trò n bà ng tié p trong cá c gó c A, B, C củ a
∆ 𝐴𝐵𝐶
𝑝: Nửa chu vi
𝑆: Diẹ n tích tam giá c


Chương1:
KIÉ N THỨC CHUẢ N BỊ
1.1 Định lí hầ m só sin:
𝑎
𝑏
𝑐
=
=
= 2𝑅.
𝑠𝑖𝑛𝐴 𝑠𝑖𝑛𝐵 𝑠𝑖𝑛𝐶
1.2 Định lí hầ m só cos:
𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 − 2𝑏𝑐. 𝑐𝑜𝑠𝐴
𝑏 2 = 𝑎2 + 𝑐 2 − 2𝑎𝑐. 𝑐𝑜𝑠𝐴
𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 − 2𝑎𝑏. 𝑐𝑜𝑠𝐴
1.3 Định lí hầ m só tan:
𝐴−𝐵

𝑎 − 𝑏 𝑡𝑎𝑛 2
=
𝑎 + 𝑏 𝑡𝑎𝑛 𝐴+𝐵
2

𝐵−𝐶

𝑏 − 𝑐 𝑡𝑎𝑛 2
=
𝑏 + 𝑐 𝑡𝑎𝑛 𝐵+𝐶
2

𝐶−𝐴

𝑐 − 𝑎 𝑡𝑎𝑛 2
=
𝑐 + 𝑎 𝑡𝑎𝑛 𝐶+𝐴
2


1.4 Công thức tính diẹ n tích tâm giấ c:
1
1
1
𝑆∆𝐴𝐵𝐶 = 𝑎𝑕𝑎 = 𝑏𝑕𝑏 = 𝑐𝑕𝑐
2
2
2
1
1
1
= 𝑎𝑏. 𝑠𝑖𝑛𝐶 = 𝑏𝑐. 𝑠𝑖𝑛𝐴 = 𝑐𝑎. 𝑠𝑖𝑛𝐵
2
2
2
=

𝑎𝑏𝑐
= 𝑝𝑟 = (𝑝 − 𝑎)𝑟𝑎 = (𝑝 − 𝑏)𝑟𝑏 = (𝑝 − 𝑐)𝑟𝑐
4𝑅

=

𝑝(𝑝 − 𝑎)(𝑝 − 𝑏)(𝑝 − 𝑐) (cong thức He-ron).

1.5 Công thức tính bấ n kính:
 Bá n kính đường trò n ngoạ i tié p
𝑅=

𝑎
𝑏
𝑐
𝑎𝑏𝑐
=
=
=
2𝑠𝑖𝑛𝐴 2𝑠𝑖𝑛𝐵 2𝑠𝑖𝑛𝐶
4𝑆

 Bá n kính đường trò n nọ i tié p
𝑟 = (𝑝 − 𝑎)𝑡𝑎𝑛

=

𝐴
𝐵
𝐶

= (𝑝 − 𝑏)𝑡𝑎𝑛 = (𝑝 − 𝑐)𝑡𝑎𝑛
2
2
2

𝑆
𝑝

 Bá n kính đường trò n bà ng tié p:
𝑟𝑎 = 𝑝𝑡𝑎𝑛

𝐴
𝑆
=
2 𝑝−𝑎

𝑟𝑏 = 𝑝𝑡𝑎𝑛

𝐵
𝑆
=
2 𝑝−𝑏

𝑟𝑐 = 𝑝𝑡𝑎𝑛

𝐶
𝑆
=
.
2 𝑝−𝑐

1.6 Công thức đường trung tuyé n :
𝑚𝑎

2

𝑏 2 + 𝑐 2 𝑎2
=
−
2
4

𝑚𝑏

2

𝑐 2 + 𝑎2 𝑏 2
=
−
2
4

𝑚𝑐

2

𝑎2 + 𝑏 2 𝑐 2
=
− .

2
4

1.7 Công thức phân giấ c trong:
𝑙𝑏 =

2𝑐𝑎
𝐵
𝑐𝑜𝑠
𝑐+𝑎
2

𝑙𝑐 =

2𝑎𝑏
𝐶
𝑐𝑜𝑠
𝑎+𝑏
2

𝑙𝑎 =

2𝑏𝑐
𝐴
𝑐𝑜𝑠
𝑏+𝑐
2

1.8 Công thức hình chié u:
𝑎 = 𝑏. 𝑐𝑜𝑠𝐶 + 𝑐. 𝑐𝑜𝑠𝐵 = 𝑟(𝑐𝑜𝑡

𝐵
𝐶
+ 𝑐𝑜𝑡 )
2
2

𝑏 = 𝑎. 𝑐𝑜𝑠𝐶 + 𝑐. 𝑐𝑜𝑠𝐴 = 𝑟(𝑐𝑜𝑡

𝐴
𝐶
+ 𝑐𝑜𝑡 )
2
2

𝑐 = 𝑎. 𝑐𝑜𝑠𝐵 + 𝑏. 𝑐𝑜𝑠𝐴 = 𝑟(𝑐𝑜𝑡

𝐵
𝐴
+ 𝑐𝑜𝑡 ).
2
2

1.9Mọ t só đẩ ng thức cơ bẩ n trong tâm giấ c
Bài tập 1.9.1Chứng minh rà ng trong mọ i ∆𝐴𝐵𝐶 ta luon có :
𝐴

𝐵

𝐶

2

2

2

1.9.1.1𝑠𝑖𝑛𝐴 + 𝑠𝑖𝑛𝐵 + 𝑠𝑖𝑛𝐶 = 4𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 .
1.9.1.2 𝑠𝑖𝑛2𝐴 + 𝑠𝑖𝑛2𝐵 + 𝑠𝑖𝑛2𝐶 = 4𝑠𝑖𝑛𝐴𝑠𝑖𝑛𝐵𝑠𝑖𝑛𝐶.


1.9.1.3𝑠𝑖𝑛2 𝐴+𝑠𝑖𝑛2 𝐵 + 𝑠𝑖𝑛2 𝐶 = 2(1 + 𝑐𝑜𝑠𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵𝑐𝑜𝑠𝐶).
𝐴

𝐵

𝑐

2

2

2

1.9.1.4 𝑐𝑜𝑠𝐴 + 𝑐𝑜𝑠𝐵 + 𝑐𝑜𝑠𝐶 = 1 + 4𝑠𝑖𝑛 𝑠𝑖𝑛 𝑠𝑖𝑛 .
1.9.1.5𝑐𝑜𝑠2𝐴 + 𝑐𝑜𝑠2𝐵 + 𝑐𝑜𝑠2𝐶 = −1 − 4 𝑐𝑜𝑠𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵𝑐𝑜𝑠𝐶.
1.9.1.6 𝑐𝑜𝑠 2 𝐴+𝑐𝑜𝑠 2 𝐵 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝐶 = 1 − 2𝑐𝑜𝑠𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵𝑐𝑜𝑠𝐶.
Chứng minh
Cá c bà i đè u chứng minh tương tự nhau, đó là sử dụ ng cá c cong thức
lượng giá c đẻ bié n đỏ i vé trá i thà nh vé phả i. Lưu ý A + B + C = π. Ta

chứng minh 1.9.1.3cá c ý cò n lạ i tương tự
Ta có
𝑠𝑖𝑛2 𝐴+𝑠𝑖𝑛2 𝐵 + 𝑠𝑖𝑛2 𝐶
=

1 − cos2A 1 − cos2B
+
+ 1 − cos 2 C
2
2

= 2 − 𝑐𝑜𝑠(𝐴 + 𝐵)𝑐𝑜𝑠(𝐴 − 𝐵) − 𝑐𝑜𝑠 2 𝐶
= 2 + 𝑐𝑜𝑠𝐶 𝑐𝑜𝑠(𝐴 − 𝐵) − 𝑐𝑜𝑠𝐶
= 2 + 𝑐𝑜𝑠𝐶(−2)𝑠𝑖𝑛

𝐴+𝐶−𝐵
𝐴−𝐵−𝐶
𝑠𝑖𝑛
2
2

= 2(1 + 𝑐𝑜𝑠𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵𝑐𝑜𝑠𝐶).

∎

Bài tập 1.9.2Chứng minh rà ng trong mọ i ∆ABC ta luon có :
𝐴

𝐵

𝐶

𝐴

𝐵

𝐶

2

2

2

2

2

2

1.9.2.1𝑐𝑜𝑡 + 𝑐𝑜𝑡 + 𝑐𝑜𝑡 = 𝑐𝑜𝑡 𝑐𝑜𝑡 𝑐𝑜𝑡 .
𝐴

𝐵

𝐵

𝐶

𝐶

𝐴

2

2

2

2

2

2

1.9.2.2𝑡𝑎𝑛 𝑡𝑎𝑛 + 𝑡𝑎𝑛 𝑡𝑎𝑛 + 𝑡𝑎𝑛 𝑡𝑎𝑛 = 1.
1.9.2.3𝑐𝑜𝑡𝐴𝑐𝑜𝑡𝐵 + 𝑐𝑜𝑡𝐵𝑐𝑜𝑡𝐶 + 𝑐𝑜𝑡𝐶𝑐𝑜𝑡𝐴 = 1.
1.9.2.4 𝑡𝑎𝑛𝐴 + 𝑡𝑎𝑛𝐵 + 𝑡𝑎𝑛𝐶 =
𝑡𝑎𝑛𝐴𝑡𝑎𝑛𝐵𝑡𝑎𝑛𝐶. ( ∆𝐴𝐵𝐶 𝑘𝑕ô𝑛𝑔 𝑣𝑢ô𝑛𝑔)


Chứng minh
Cá ch chứng minh củ a bó n bà i là tương tự nhau, ta chứng minh bà i
1.9.2.3 cá c bà i cò n lạ i tương tự.
Ta có
𝑐𝑜𝑡(𝐴 + 𝐵) = −𝑐𝑜𝑡𝐶 ↔

𝑐𝑜𝑡𝐴𝑐𝑜𝑡𝐵 − 1
= −𝑐𝑜𝑡𝐶
𝑐𝑜𝑡𝐴 + 𝑐𝑜𝑡𝐵

↔ 𝑐𝑜𝑡𝐴𝑐𝑜𝑡𝐵 + 𝑐𝑜𝑡𝐵𝑐𝑜𝑡𝐶 + 𝑐𝑜𝑡𝐶𝑐𝑜𝑡𝐴 = 1.

∎

Bài tập 1.9.3Chứng minh rà ng trong mọ i ∆ABC và k ∈ Z luon có :
1.9.3.1𝑠𝑖𝑛(2𝑘 + 1)𝐴 + 𝑠𝑖𝑛(2𝑘 + 1)𝐵 + 𝑠𝑖𝑛(2𝑘 + 1)𝐶
𝐴
𝐵
𝐶
= (−1)𝑘 4𝑐𝑜𝑠(2𝑘 + 1) 𝑐𝑜𝑠(2𝑘 + 1) 𝑐𝑜𝑠(2𝑘 + 1) .
2
2
2
1.9.3.2 𝑠𝑖𝑛2𝑘𝐴 + 𝑠𝑖𝑛2𝑘𝐵 + 𝑠𝑖𝑛2𝑘𝐶 = (−1)𝑘+1 4𝑠𝑖𝑛𝑘𝐴𝑠𝑖𝑛𝑘𝐵𝑠𝑖𝑛𝑘𝐶
1.9.3.3𝑐𝑜𝑠(2𝑘 + 1)𝐴 + 𝑐𝑜𝑠(2𝑘 + 1)𝐵 + 𝑐𝑜𝑠(2𝑘 + 1)𝐶
𝐴
𝐵
𝑐
= 1 + (−1)𝑘 4𝑠𝑖𝑛(2𝑘 + 1) 𝑠𝑖𝑛(2𝑘 + 1) 𝑠𝑖𝑛(2𝑘 + 1) .
2
2
2
1.9.3.4𝑐𝑜𝑠2𝑘𝐴 + 𝑐𝑜𝑠2𝑘𝐵 + 𝑐𝑜𝑠2𝑘𝐶 = −1 + (−1)𝑘 4 𝑐𝑜𝑠𝑘𝐴𝑐𝑜𝑠𝑘𝐵𝑐𝑜𝑠𝑘𝐶.
1.9.3.5 𝑡𝑎𝑛𝑘𝐴 + 𝑡𝑎𝑛𝑘𝐵 + 𝑡𝑎𝑛𝑘𝐶 = 𝑡𝑎𝑛𝑘𝐴𝑡𝑎𝑛𝑘𝐵𝑡𝑎𝑛𝑘𝐶.
𝐴

𝐵

𝐶

2

2

2

1.9.3.6𝑐𝑜𝑡(2𝑘 + 1) + 𝑐𝑜𝑡(2𝑘 + 1) + 𝑐𝑜𝑡(2𝑘 + 1) =
𝐴
𝐵
𝐶
𝑐𝑜𝑡(2𝑘 + 1) 𝑐𝑜𝑡(2𝑘 + 1) 𝑐𝑜𝑡(2𝑘 + 1) .
2
2
2


𝐴

𝐵

𝐵

𝐶

2

2

2

2

1.9.3.7𝑡𝑎𝑛(2𝑘 + 1) 𝑡𝑎𝑛(2𝑘 + 1) + 𝑡𝑎𝑛(2𝑘 + 1) 𝑡𝑎𝑛(2𝑘 + 1) +
𝐶

𝐴

2

2

𝑡𝑎𝑛(2𝑘 + 1) 𝑡𝑎𝑛(2𝑘 + 1) = 1.
1.9.3.8𝑐𝑜𝑡𝑘𝐴𝑐𝑜𝑡𝑘𝐵 + 𝑐𝑜𝑡𝑘𝐵𝑐𝑜𝑡𝑘𝐶 + 𝑐𝑜𝑡𝑘𝐶𝑐𝑜𝑡𝑘𝐴 = 1.
1.9.3.9𝑐𝑜𝑠 2 𝑘𝐴+𝑐𝑜𝑠 2 𝑘𝐵 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑘𝐶 = 1 + (−1)𝑘 2𝑐𝑜𝑠𝑘𝐴𝑐𝑜𝑠𝑘𝐵𝑐𝑜𝑠𝑘𝐶.
1.9. 3.10𝑠𝑖𝑛2 𝑘𝐴+𝑠𝑖𝑛2 𝑘𝐵 + 𝑠𝑖𝑛2 𝑘𝐶 = 2 + (−1)𝑘+1 2𝑐𝑜𝑠𝑘𝐴𝑐𝑜𝑠𝑘𝐵𝑐𝑜𝑠𝑘𝐶.
Chứng minh
Bài 1.9.3.1 là bà i tỏ ng quá t củ a bài 1.91.1
Ta có : 𝑠𝑖𝑛(2𝑘 + 1)𝐴 + 𝑠𝑖𝑛(2𝑘 + 1)𝐵 + 𝑠𝑖𝑛(2𝑘 + 1)𝐶 =
= 2𝑠𝑖𝑛(2𝑘 + 1)

𝐴+𝐵
𝐴−𝐵
𝐶
𝐶
𝑐𝑜𝑠(2𝑘 + 1)
+ 2𝑠𝑖𝑛(2𝑘 + 1) 𝑐𝑜𝑠(2𝑘 + 1)
2
2
2

2

= 2(−1)𝑘 𝑐𝑜𝑠(2𝑘
+ 1)

𝐶
𝐴−𝐵
𝐴+𝐵
𝑐𝑜𝑠(2𝑘 + 1)
+ 𝑐𝑜𝑠(2𝑘 + 1)
2
2
2
𝐴

𝐵

𝐶

2

2

2

= (−1)𝑘 4𝑐𝑜𝑠(2𝑘 + 1) 𝑐𝑜𝑠(2𝑘 + 1) 𝑐𝑜𝑠(2𝑘 + 1) .

∎

Bài 1.9.3.2 ; 1.9.3.3 ; 1.9.3.4: là n lượt là bà i tỏ ng quá t củ a bài1.9.1.2;

1.9.1.4; 1.9.1.5 cá ch chứng minh tương tự bài1.9.3.1.
Bài 1.9.3.5 là bà i tỏ ng quá t củ a bài1.9.2.4
Ta có : 𝑡𝑎𝑛𝑘𝐴 = 𝑡𝑎𝑛 𝑘𝜋 − 𝑘(𝐵 + 𝐶) = −𝑡𝑎𝑛(𝑘𝐵 + 𝑘𝐶)
=

𝑡𝑎𝑛𝑘𝐵 + 𝑡𝑎𝑛𝑘𝐶
.
1 − 𝑡𝑎𝑛𝑘𝐵𝑡𝑎𝑛𝑘𝐶

Từ đó có được 𝑡𝑎𝑛𝑘𝐴 + 𝑡𝑎𝑛𝑘𝐵 + 𝑡𝑎𝑛𝑘𝐶 = 𝑡𝑎𝑛𝑘𝐴𝑡𝑎𝑛𝑘𝐵𝑡𝑎𝑛𝑘𝐶.

∎

Bài 1.9.3.6 là bà i tỏ ng quá t củ a bài 1.9.2.1 chứng minh tương tự
bài1.9.3.5.


Bài 1.9.3.7 là bà i tỏ ng quá t củ a bài 1.9.2.2
Ta có
𝐴
𝜋 𝐵+𝐶
= 𝑡𝑎𝑛(2𝑘 + 1)( −
)
2
2
2
𝐵
𝐶
= 𝑐𝑜𝑡 (2𝑘 + 1) + (2𝑘 + 1)
2

2
1
=
𝐵
𝐶
𝑡𝑎𝑛 (2𝑘 + 1) + (2𝑘 + 1)
𝑡𝑎𝑛(2𝑘 + 1)

2

=

2

𝐵

𝐶

2

𝐵

2
𝐶

2

2

1 − 𝑡𝑎𝑛(2𝑘 + 1) 𝑡𝑎𝑛(2𝑘 + 1)

𝑡𝑎𝑛(2𝑘 + 1) + 𝑡𝑎𝑛(2𝑘 + 1)

Từ đó có được
𝐴
𝐵
𝐵
𝐶
𝑡𝑎𝑛(2𝑘 + 1) 𝑡𝑎𝑛(2𝑘 + 1) + 𝑡𝑎𝑛(2𝑘 + 1) 𝑡𝑎𝑛(2𝑘 + 1) + 𝑡𝑎𝑛(2𝑘
2
2
2
2
𝐶
𝐴
+ 1) 𝑡𝑎𝑛(2𝑘 + 1) = 1.
∎
2
2
Bài 1.9.3.8 là bà i tỏ ng quá t củ a bài 1.9.2.3 cá ch chứng minh tương tự
bài 1.9.3.7.
Bài 1.9.3.9 là bà i tỏ ng quá t củ a bài1.9.1.6.
Ta có :𝑐𝑜𝑠 2 𝑘𝐴+𝑐𝑜𝑠 2 𝑘𝐵 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑘𝐶 =
1
1
(1 + 𝑐𝑜𝑠2𝑘𝐴) + (1 + 𝑐𝑜𝑠2𝑘𝐵) + (−1)𝑘 𝑐𝑜𝑠𝑘𝐶𝑐𝑜𝑠𝑘(𝐴 + 𝐵)
2
2
= 1 + (−1)𝑘 𝑐𝑜𝑠𝑘𝐶 𝑐𝑜𝑠𝑘(𝐴 − 𝐵) + 𝑐𝑜𝑠𝑘(𝐴 + 𝐵)
= 1 + (−1)𝑘 2𝑐𝑜𝑠𝑘𝐴𝑐𝑜𝑠𝑘𝐵𝑐𝑜𝑠𝑘𝐶.
Bài 1.9.3.10 là bà i tỏ ng quá t củ a bài 1.9.1.3 chứng minh tương tự

bài1.9.3.9.
Bài tậ p 1.9.4 Chứng minh rà ng với x, y, z là ba gó c bá t kì ta có những
đả ng thức sau
1.9.4.1 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑦 + 𝑠𝑖𝑛𝑧 − 𝑠𝑖𝑛(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)

∎


= 4𝑠𝑖𝑛

𝑥+𝑦
𝑦+𝑧
𝑧+𝑥
𝑠𝑖𝑛
𝑠𝑖𝑛
.
2
2
2

1.9.4.2𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑦 + 𝑐𝑜𝑠𝑧 + 𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)
= 4𝑐𝑜𝑠

𝑥+𝑦
𝑦+𝑧
𝑧+𝑥
𝑐𝑜𝑠
𝑐𝑜𝑠
.
2

2
2

1.9.4.3𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑡𝑎𝑛𝑦 + 𝑡𝑎𝑛𝑧 − 𝑡𝑎𝑛(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)
=−

𝑠𝑖𝑛(𝑥 + 𝑦)𝑠𝑖𝑛(𝑦 + 𝑧)𝑠𝑖𝑛(𝑥 + 𝑧)
.
𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑦 𝑐𝑜𝑠𝑧 𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)

1.9.4.4 𝑐𝑜𝑡𝑥 + 𝑐𝑜𝑡𝑦 + 𝑐𝑜𝑡𝑧 − 𝑐𝑜𝑡(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)
=

𝑠𝑖𝑛(𝑥 + 𝑦)𝑠𝑖𝑛(𝑦 + 𝑧)𝑠𝑖𝑛(𝑥 + 𝑧)
.
𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑦 𝑠𝑖𝑛𝑧 𝑠𝑖𝑛(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)
Chứ ng minh

Bài tập 1.9.4.1Ta có 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑦 + 𝑠𝑖𝑛𝑧 − 𝑠𝑖𝑛(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)
𝑥+𝑦
𝑥−𝑦
𝑥 + 𝑦 + 2𝑧
𝑦+𝑥
𝑐𝑜𝑠
− 2𝑐𝑜𝑠
𝑠𝑖𝑛
2
2
2
2

𝑥+𝑦
𝑥−𝑦
𝑥 + 𝑦 + 2𝑧
= 2𝑠𝑖𝑛
𝑐𝑜𝑠
− 𝑐𝑜𝑠
2
2
2
𝑥+𝑦
𝑦+𝑧
𝑧+𝑥
= 4𝑠𝑖𝑛
𝑠𝑖𝑛
𝑠𝑖𝑛
.
2
2
2

= 2𝑠𝑖𝑛

Bài tập 1.9.4.2 Chứng minh tương tự bài1.9.4.1.
Bài tập 1.9.4.3Ta có 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑡𝑎𝑛𝑦 + 𝑡𝑎𝑛𝑧 − 𝑡𝑎𝑛(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)
=
=

𝑠𝑖𝑛(𝑥 + 𝑦)
𝑠𝑖𝑛(𝑥 + 𝑦)
−

𝑐𝑜𝑠𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦 𝑐𝑜𝑠𝑧 𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)

𝑠𝑖𝑛(𝑥 + 𝑦)
. 𝑐𝑜𝑠𝑧 𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 𝑦 + 𝑧) − 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦
𝑐𝑜𝑠𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦𝑐𝑜𝑠𝑧 𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)

=

𝑠𝑖𝑛(𝑥 + 𝑦)
. 𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 𝑦 + 2𝑧) + 𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 𝑦)
2𝑐𝑜𝑠𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦𝑐𝑜𝑠𝑧 𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)
− 𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 𝑦) − 𝑐𝑜𝑠(𝑥 − 𝑦)


=−

𝑠𝑖𝑛(𝑥 + 𝑦)𝑠𝑖𝑛(𝑦 + 𝑧)𝑠𝑖𝑛(𝑥 + 𝑧)
.
𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑦 𝑐𝑜𝑠𝑧 𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)

Bài tậ p 1.9.4.4 tương tựbài1.9.4.3.
Nhậ n xé t : Thay{ 𝑥, 𝑦, 𝑧} trong cá c cong thức củ a bà i tạ p 1.9.4 bởi
{𝑘𝐴, 𝑘𝐵, 𝑘𝐶}; {(2𝑘 + 1)𝐴, (2𝑘 + 1)𝐵, (2𝑘 + 1)𝐶}; {2𝑘𝐴, 2𝑘𝐵, 2𝑘𝐶};
𝐴
𝐵
𝐶
{(2𝑘 + 1) , (2𝑘 + 1) , (2𝑘 + 1) }
2
2
2

Với 𝐴, 𝐵, 𝐶 là ba gó c trong tam giá c 𝑘 là mọ t só nguyen ta được cá c cong
thức củ a bài tập 1.9.1; bài tập 1.9.2; bài tập 1.9.3.

1.10 Một số bất đẳng thức cơ bản
1.10.1 Bất đẳng thức Cauchy
Cho n số không }m𝑎1 , 𝑎2 , … . 𝑎𝑛 . Ta có bất đẳng thức :
𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑛
=
𝑛

𝑛

𝑎1 𝑎2 … 𝑎𝑛 .

Dấu đẳng thức xảy ra khi v{ chỉ khi 𝑎1 = 𝑎2 = ⋯ = 𝑎𝑛 .
1.10.2 Bất đẳng thức Bunhiacopxki (B.C.S)
Cho n cặp số bất kỳ 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 ; 𝑏1 , 𝑏2 , … , 𝑏𝑛
Ta có bất đẳng thức:
(𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 + … + 𝑎𝑛 𝑏𝑛 )2 ≤ (𝑎12 +𝑎22 + ⋯ + 𝑎𝑛2 )(𝑏12 +𝑏22 + ⋯ + 𝑏𝑛2 ).
Hay gọn hơn :
𝑛

𝑛

𝑎𝑖2 )(

𝑎𝑖 𝑏𝑖 )2 ≤ (

(
𝑖=1

𝑛

𝑖=1

𝑏𝑖2 ).
𝑖=1

Dấu đẳng thức xảy ra khi v{ chỉ khi :
∃𝑘: 𝑎𝑖 = 𝑘𝑏𝑖 (∗)


Với 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 (Nếu 𝑏𝑖 ≠ 0 ∀𝑖 (∗) lược viết :

𝑎1
𝑏1

=

𝑎2
𝑏2

=⋯=

𝑎𝑛
𝑏𝑛

)

1.10.3 Bất đẳng thức TrêBưSep

Cho hai d~y số sắp thứ tự giống nhau:
𝑎1 ≤ 𝑎2 ≤ … ≤ 𝑎𝑛 𝑏1 ≤ 𝑏2 ≤ … ≤ 𝑏𝑛
Ta có bất đẳng thức sau:
𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑛
𝑛

𝑏1 + 𝑏2 + ⋯ + 𝑏𝑛
𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 + … + 𝑎𝑛 𝑏𝑛
≤(
)
𝑛
𝑛

Dấu bất đẳng thức xảy ra khi:
𝑎1 = 𝑎2 = … = 𝑎𝑛 hoặc 𝑏1 = 𝑏2 = … = 𝑏𝑛
Chứng minh
1
𝟏. 𝟏𝟎. 𝟑 ↔
𝑛

𝑛

𝑖=1

𝑛

1
𝑎𝑖 𝑏𝑖 ≥ (
𝑛
𝑛

↔𝑛

𝑎𝑖 𝑏𝑖 ≥ (
𝑖=1

𝑛

↔

𝑖=1

𝑛

𝑏𝑖 )
𝑖=1

𝑏𝑖 )
𝑖=1

𝑛

𝑎𝑖 𝑏𝑖 ≥ (
𝑗 =1 𝑖=1

𝑖=1

1
𝑎𝑖 )(
𝑛

𝑛

𝑎𝑖 )(

𝑛

𝑛

𝑛

𝑎𝑖 𝑏𝑖 )(
𝑗 =1

𝑎𝑖 𝑏𝑖 )
𝑖=1

𝑛

↔

(𝑎𝑖 𝑏𝑖 − 𝑎𝑗 𝑏𝑗 ) ≥ 0
𝑖,𝑗
𝑛

↔

(𝑎𝑖 𝑏𝑗 + 𝑎𝑗 𝑏𝑗 − 𝑎𝑖 𝑏𝑗 − 𝑎𝑗 𝑏𝑖 ) ≥ 0
𝑖 <𝑗

𝑛

↔

𝑎𝑖 (𝑏𝑖 − 𝑏𝑗 ) + 𝑎𝑗 (𝑏𝑗 − 𝑏𝑖 ) ≥ 0
𝑖=1
𝑛

↔

(𝑎𝑗 − 𝑎𝑖 ) + 𝑎𝑗 (𝑏𝑗 − 𝑏𝑖 ) ≥ 0
𝑖=1

BĐT cuối cùng đúng vì 𝑎𝑗 ≥ 𝑎𝑖 v{ 𝑏𝑗 ≥ 𝑏𝑖 với 𝑗 > 𝑖 do đó có đpcm.
1.10.4 Bấ t đẩ ng thức Jenxen
Bá t đả ng thức Jenxen là bá t đả ng thức á p dụ ng cho hà m só lò i. Trước hé t
xin nhá c lạ i định nghĩa hà m lò i.
1.10.4.1 Cho hà m só 𝑦 = 𝑓(𝑥) xá c định tren [a, b]. Hà m f được gọ i là lò i
tren đó né u thỏ a mã n điè u kiẹ n sau đay :
∀𝑥1, 𝑥2 ∈ (𝑎, 𝑏), ∀𝑚, 𝑛 ≥ 0: 𝑚 + 𝑛 = 1, thì
𝑓(𝑚𝑥1 + 𝑛𝑥2 ) ≤ 𝑚𝑓(𝑥1 ) + 𝑛𝑓(𝑥2 ).
1.10.4.2Hà m só 𝑦 = 𝑓(𝑥) xá c định tren [a, b] gọ i là lõ m tren đó , né u như
−𝑓(𝑥) là lò i.
Điè u kiẹ n đủ dù ng đẻ xé t xem khi nà o mọ t hà m só là lò i (hoạ c lõ m)
 Cho f(x) là hà m liên tụ c đé n đạ o hà m cá p hai tren (a, b).
*Né u như f’’(x)> 0∀𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏) thì f(x) là hà m lò i tren (a, b).
*Né u như f’’(x)< 0∀𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏) thì f(x) là hà m lõ m tren (a, b).
1.10.4.3 Bá t đả ng thức Jenxen
Cho f (x) là hà m lò i tren [a, b]. Giả sử 𝑥1, 𝑥2,………, 𝑥𝑛 ∈ [𝑎, 𝑏] và 𝑘𝑖 > 0, 𝑖 =

1, 2, … , 𝑛; 𝑘1 + 𝑘2 + ⋯ + 𝑘𝑛 = 1. Chứng minh rà ng


𝑛

𝑓

𝑛

𝑘𝑖 𝑥𝑖 ≤
𝑖=1

𝑘𝑖 𝑓(𝑥𝑖 ).
𝑖=1

1
Hẹ quẩ : Trong bá t đả ng thức Jenxen lá y𝑘1 = 𝑘2 = … = 𝑘𝑛 = , khi đó né u
𝑛

f(x) là lò i tren [a, b], ta có bá t đả ng thức sau:
𝑓

𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑛
1
≤ [𝑓(𝑥1 ) + 𝑓(𝑥2 ) + ⋯ + 𝑓(𝑥𝑛) ].
𝑛
𝑛

Chương2:

TÌM MỐI LIÊN HỆ CHO NHỮNG ĐẠI LƯỢN
TRONG TAM GIÁ C
2.1 Đưâ vào những thơng sớ thích hợp cho tâm giác
Ta ký hiệu 𝑐 và 𝑎 là độ dài tương ứng cạnh lớn nhất và nhỏ nhất của một tam
giác. Còn 𝑏 là cạnh thứ ba của nó. Khi đó
0<𝑎 ≤ 𝑏 ≤ 𝑐 <𝑎+𝑏

(2.1.1)

2.1.1 Đưâ thông só mớivào tâm giấ c
𝑝 =

𝑥=

𝑎+𝑏+𝑐
,
2
4𝑏 − (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)
,
𝑎+𝑏+𝑐


8𝑏 2 − 3 𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 + 2 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎
𝑦=
𝑎+𝑏+𝑐 2

𝟐. 𝟏. 𝟐

Chứng minh rằng những bất đẳng thức sau đúng:
𝑝 > 0 ; 0 < 𝑥 < 1; 𝑥 < 𝑦 ≤ 2𝑥 − 𝑥 2

(𝟐. 𝟏. 𝟑)

Lời giải.
1. Bất đẳng thức 𝑝 > 0hiển nhiên.
2. Từ (2.1.1) ta nhận được
4𝑏 – (𝑎 + 𝑏 + 𝑐) = 3𝑏 − (𝑎 + 𝑐) ≥ 𝑏 + 2𝑎 − (𝑎 + 𝑐)
= (𝑎 + 𝑏) − 𝑐 > 0
Nghĩa là 𝑥 > 0.
3. 4𝑏 – (𝑎 + 𝑏 + 𝑐) = 𝑏 + 2𝑏 − (𝑎 + 𝑐) < 𝑏 + 2(𝑎 + 𝑐) − (𝑎 + 𝑐) =
(𝑎 + 𝑏 + 𝑐) ,
Nghĩa là 𝑥 < 1.
4. Nhân ba bất đẳng thức sau:
𝑏 + 𝑐 − 𝑎 > 0,

𝑏 + 𝑎 − 𝑐 > 0, 2 > 0

ta nhận được 2b2 − 2a2 − 2c 2 + 4ac > 0, mà ta có thể viết dưới dạng
5𝑏 2 − 3𝑎2 − 3𝑐 2 + 2 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 > 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 (3𝑏 − 𝑎 − 𝑐)
8b2 − 3 a2 + b2 + c 2 + 2(ab + bc + ca) 3b − a − c
Hoặc là
>
(a + b + c)2
a+b+c
Nghĩa là 𝑦 > 𝑥.


5. Ta nhân ba bất đẳng thức sau 𝑎 − 𝑏 ≤ 0, 𝑐 − 𝑏 ≥ 0, 8 > 0, ta nhận
được 8𝑏 2 + 8𝑎𝑐 − 8𝑏𝑐 − 8𝑎𝑏 ≤ 0, mà nó có thể viết lại được
5𝑏 2 − 3𝑎2 − 3𝑐 2 + 2 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎

≤ 2 (𝑎 + 𝑏 + 𝑐) (3𝑏 − 𝑎 − 𝑐) − (3𝑏 − 𝑎 − 𝑐)2
Hoặc là

8𝑏 2 − 3 𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 + 2(𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎)
(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2
4𝑏 − 𝑎 + 𝑏 + 𝑐
3𝑏 − 𝑎 − 𝑐 2
≤
−
𝑎+𝑏+𝑐
𝑎+𝑏+𝑐 2
Nghĩa là 𝑦 ≤ 2𝑥 – 𝑥 2 .
Ta giải hệ phương trình (2.1.2) đối với a, b và c ta tìm được
𝑎 =

1
4

1

1

2

4

𝑝 3 − 𝑥 − 𝑡 ; 𝑏 = 𝑝 𝑥 + 1 ; 𝑐 = 𝑝(3 − 𝑥 + 𝑡), (2.1.4)

ở đây𝑡 =

𝑥 2 + 10𝑥 + 1 − 8𝑦(2.1.5)

Biểu thức (2.1.5) cho t có nghĩa. Thật vậy, từ (2.1.3) ta có
8𝑦 ≤ 16𝑥 − 8𝑥 2 = 𝑥 2 + 10𝑥 + 1 − (3𝑥 − 1)2 ≤ 𝑥 2 + 10𝑥 + 1(2.1.6)
2.1.2 Những đại lượng biểu diễn công thức (2.1.4) thỏâ mãn những
bất phương trình (2.1.1)
Lời giải.
1. Ta có 8𝑦 > 8𝑥 = 16𝑥 − 8 + 8(1 − 𝑥) > 16𝑥 − 8, có thể viết lại biểu
thức này thành (3 − 𝑥)2 > 𝑥 2 + 10𝑥 + 1 − 8𝑦 hoặc là vì (2.1.3) và (2.1.6)
dẫn đến 3− 𝑥 > 𝑡 nghĩa là 𝑎 > 0
2. Ta có 8𝑦 ≤ 16𝑥 − 8𝑥 2 hoặc là


(3𝑥 − 1)2 ≤ 𝑡 2
Với 𝑥 <

1
3

(2.1.7)

bất phương trình (2.1.7) có thể viết dưới dạng

(3𝑥 − 1) ≥ − 𝑡

(2.1.8)
1

Bất đẳng thức trên cũng đúng cho ≥ . Ta viết (2.1.8) thành
3

1
4

1

𝑝 2𝑥 + 2 ≥ 𝑝 3 − 𝑥 − 𝑡 , ta nhận được 𝑏 ≥ 𝑎.
4

1

3. Với 𝑥 > bất phương trình (2.1.7) có thể viết dưới dạng
3

(3𝑥 − 1) ≤ 𝑡

(2.1.9)
1

Bất đẳng thức trên cũng đúng cho 𝑥 ≤ . Ta viết (2.1.9) thành
3

1
4

1

𝑝 2𝑥 + 2 ≤ 𝑝 3 − 𝑥 + 𝑡 , ta nhận được b ≤ 𝑐.
4

4. Ta viết bất phương trình 8𝑦 > 8𝑥 vào dạng (𝑥 + 1)2 > 𝑥 2 + 10𝑥 + 1 −
8𝑦 hoặc là vì (2.1.3) và (2.1.5) có dạng 𝑥 + 1 > 𝑡, nó có thể viết lại
1
4

1

1

4

4

𝑝(3 − 𝑥 − 𝑡) + 𝑝(2𝑥 + 2) > 𝑝(3 − 𝑥 + 𝑡) , nghĩa là 𝑎 + 𝑏 > 𝑐.

Thông qua 2.1.1 và 2.1.2ta đã thiết lập quan hệ giữa những cặp số (a,b,c) và
(x,y, p) thỏa mãn (2.1.1) và (2.1.3). Mối quan hệ này là tương ứng một - một.
Ta có thể nói p bằng nửa chu vi tam giác là phần tử tuyến tính. Thơng số 𝑥 và
𝑦 là những đại lượng góc. Với sự cố định một 𝑥 và một 𝑦 thỏa mãn
0 < 𝑥 < 1; 𝑥 < 𝑦 ≤ 2𝑥 − 𝑥 2 (2.1.10)
Thì tất cả những tam giác (𝑥, 𝑦, 𝑝) là đồng dạng. Bất đẳng thức (2.1.10) xác
định trong hệ tọa độ 𝑂𝑥𝑦 một miền giới hạn bởi đường thẳng 𝑦 = 𝑥 và
parabol 𝑦 = 2𝑥 − 𝑥 2 , nhưng khơng tính những điểm nằm trên đoạn OM, còn


những điểm nằm trên cung OM trừ hai điểm đầu đều thuộc tập G tương ứng
với vô hạn những tam giác, mà chúng đồng dạng với cùng một tam giác.
Những điểm của miền G xác định tất cả những tam giác với những lớp đồng
dạng.
2.1.3. Những miền con củâ G, tương ứng với những tâm giác tù, tâm

giác nhọn và tâm giác vng.
Ta ký hiệu 𝐶 là góc lớn nhất của tam giác, ta có
𝑎2 + 𝑏 2 − 𝑐 2
𝑐𝑜𝑠𝐶 =
.
2𝑎𝑏
Và suy ra tam giác tù , tam giác nhọn , tam giác vuông phụ thuộc vào biểu
thức 𝑎2 + 𝑏 2 − 𝑐 2 > 0, = 0 hoặc< 0.
Từ (1.4) có sự phụ thuộc
7𝑥 2 − 10𝑥 − 1
7𝑥 2 − 10𝑥 − 1
𝑦 ≥−
hoặc 𝑦 < −
𝑥−3 2
(𝑥 − 3)2
Phần đồ thị của hàm 𝑦 = −

7x 2 − 10x−1
(x−3)2

, 0 < 𝑥 < 1, nằm trong miền G, thể

hiện như một cung đường cong T, mà nó cắt đường parabol 𝑦 = 2𝑥 − 𝑥 2 tại
điểm M và P( 3- 2 2 , 8 2 - 11).
1. Những tam giác vuông nhận được với tất cả những điểm trong miền
3 − 2 2 ≤ 𝑥 < 1,

7𝑥 2 − 10𝑥 − 1
𝑦=−
(𝑥 − 3)2

Với những điểm trên cung PM của T trừ điểm M.
2. Những tam giác tù nhận được từ những điểm trong miền
0 < 𝑥 < 3 − 2 2,

𝑥 < 𝑦 ≤ 2𝑥 − 𝑥 2 ,


𝑥 = 3 − 2 2, 3 − 2 2 < 𝑦 < 8 2 – 1.

(2.1.12)

7𝑥 2 − 10𝑥 − 1
𝑥<𝑦<−
(𝑥 − 3)2

3 − 2 2 < 𝑥 < 1,

nghĩa là tất những điểm giới hạn bởi đường cong T, đường thẳng 𝑦 = 𝑥, và
parabol 𝑦 = 2𝑥 − 𝑥 2 .
3. Những tam giác nhọn nhận được từ những điểm trong miền
3 − 2 2 ≤ 𝑥 < 1, −

7𝑥 2 − 10𝑥−1

< 𝑦 ≤ 2𝑥 − 𝑥 2 . (2.1.13)

(𝑥−3)2

Nghĩa là tất cả những điểm giới hạn bởi đường T và cung PQM của parabol

𝑦 = 2𝑥 − 𝑥 2 .
4. Ta tìm những điểm trong G tương ứng với những tam giác cân:
Từ 𝑎 = 𝑏, ta tìm được 1 − 3𝑥 =
năng với x ≤

1
3

𝑥 2 + 10𝑥 + 1 − 8𝑦, mà nó chỉ có khả

. Bình phương 2 vế đẳng thức trên, ta nhận được dạng

𝑦 = 2𝑥 − 𝑥 2 . Như vậy ta nhận được cung parabol:
OQ : 𝑦 = 2𝑥 − 𝑥 2 , 0 < 𝑥 ≤

1
3

Tương tự ta cũng nhận được những tam giác cân b=c trên cung parabol:
QM: 𝑦 = 2𝑥 − 𝑥 2 ,

1
3

Y

≤ 𝑥 < 1.

M
1

5

3

9

Ta có 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 chỉ tại điểm Q( , ).

1

Q
P

O
0

1

X