(Luận văn thạc sĩ) dáng điệu nghiệm của các phương trình vi phân hàm bị nhiễu

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

BÙI TRỌNG QUY

DÁNG ĐIỆU NGHIỆM
CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM BỊ NHIỄU

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC
Chuyên ngành: Tốn giải tích
Mã số: 60 46 01 02

HÀ NỘI - 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

BÙI TRỌNG QUY

DÁNG ĐIỆU NGHIỆM
CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM BỊ NHIỄU

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC
Chuyên ngành: Tốn giải tích
Mã số: 60 46 01 02

Giảng viên hướng dẫn:
PGS.TS. Đặng Đình Châu

HÀ NỘI - 2015

Lời cảm ơn
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn trực tiếp và chỉ bảo tận tình
của thầy PGS.TS. Đặng Đình Châu. Trước tiên, tơi xin được bày tỏ lịng biết ơn tới
thầy, người đã tận tình chỉ bảo, giúp đỡ và tạo điều kiện về nhiều mặt để tơi có thể
hồn thành luận văn này.
Nhân dịp này, tơi cũng xin bày tỏ lịng biết ơn tới tồn thể thầy giáo, cô giáo
đã và đang công tác tại khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên
Hà Nội, những người đã giảng dạy và cung cấp những kiến thức khoa học quý báu
trong suốt những năm học vừa qua để tơi có nền tảng kiến thức thực hiện luận văn
này.
Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã ln ở bên cạnh, động viên,
nhiệt tình giúp đỡ và chia sẻ những khó khăn trong qng thời gian tơi làm luận văn
cũng như trong suốt các năm học tập tại trường.
Hà Nội, ngày 16 tháng 11 năm 2015
Học viên

Bùi Trọng Quy

1


Lời nói đầu
Phương trình vi phân hàm lần đầu tiên được A.D. Mushkic (nhà toán học Nga)
nghiên cứu từ năm 1950, cho đến nay đã được phát triển một cách khá hồn thiện.
Phương trình vi phân hàm có thể được xem là các phương trình vi phân trong khơng
gian Banach với các không gian pha là những không gian các hàm liên tục trên một
miền J của trục thực R. Các kết quả về lý thuyết định tính của phương trình vi phân
hàm có rất nhiều ứng dụng trong thực tiễn (xem tài liệu [3], [7], [9],[12]). Nội dung

luận văn chủ yếu tập trung nghiên cứu tính chất nghiệm của phương trình vi phân
có chậm. Phương pháp được sử dụng chủ yếu là các phương pháp thông dụng trong
lý thuyết định tính của phương trình vi phân tuyến tính. Trong phần cuối có áp dụng
thêm phương pháp nửa nhóm và phương pháp họ tốn tử tiến hóa trong khơng gian
Banach.
Bố cục của luận văn bao gồm 3 chương:
• Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
• Chương 2: Phương trình vi phân tuyến tính có chậm
• Chương 3: Dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân hàm bị nhiễu.

Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng bản luận văn khó tránh khỏi những hạn chế và
thiếu sót. Chúng tơi rất mong nhận được sự góp ý và những ý kiến phản biện của
quý thầy cô và các bạn. Tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 16 tháng 11 năm 2015
Học viên: Bùi Trọng Quy

2


Mục lục
1

Kiến thức chuẩn bị
1.1

6

Một số khái niệm cơ bản về nửa nhóm liên tục mạnh trong khơng gian
Banach và tốn tử sinh của nó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2

Ứng dụng của phương pháp tốn tử Laplace đối với phương trình vi
phân có chậm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Khái niệm về họ toán tử tiến hóa liên tục mạnh trong khơng gian Banach 10

1.4

Tính chất nghiệm của các phương trình vi phân so sánh tích phân được
trong khơng gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.4.1

Tính ổn định phải và tính ổn định trái theo Lyapunov. . . . . .

13

1.4.2

Các phương trình so sánh tích phân được . . . . . . . . . . . . .

15

1.4.3

Sự tương đương tiệm cận của các phương trình so sánh tích

Phương trình vi phân tuyến tính có chậm
2.1

3

8

1.3

phân được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2

6

15
17

Khái niệm về phương trình vi phân hàm và phương pháp tìm nghiệm
của nó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.1.1

Sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.1.2

Phương pháp giải phương trình vi phân hàm . . . . . . . . . .

19

2.2

Phương trình vi phân tuyến tính có chậm . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.3

Phương pháp nửa nhóm cho phương trình vi phân có chậm . . . . . .

24

Dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân hàm bị nhiễu
3

26


MỤC LỤC

3.1

Họ tốn tử tiến hóa phi tuyến U (t, s) và sự tồn tại duy nhất nghiệm
của phương trình tích phân Volterra có chậm . . . . . . . . . . . . . . .

26

3.2

Các tính chất của họ tốn tử tiến hóa U (t, s) . . . . . . . . . . . . . . . .

28

3.3

Sự tương đương tiệm cận của phương trình vi phân hàm bị nhiễu . . .

31

Kết luận

42

Tài liệu tham khảo

42

Tài liệu tham khảo

43

4


Danh mục các kí hiệu và chữ viết tắt
X - Không gian Banach

L( X ) - Không gian Banach của tất cả tốn tử tuyến tính bị chặn trên X
C (ω ) - Không gian các hàm liên tục trên ω
C ( X, Y ) - Không gian các hàm liên tục từ X đến Y
D ( A) - Miền xác định của A
C k ( J ) - Không gian các hàm khả vi liên tục cấp k trên J

( T (t))t≥0 - Nửa nhóm một tham số các tốn tử tuyến tính
R(λ, A) - Giải của A
ρ( A) - Tập giải của A
U (t, s) - Họ hai tham số của các tốn tử tuyến tính...
Mn(R) - Khơng gian các ma trận (thực) vuông cấp n: A = ( aij )n.n
l2 - Không gian các dãy số (ξ n ) được xác định bởi:
l2 = { ξ ∈ l2 , ξ =

(ξ n )∞
n =1

∞

:

∑ | ξ n |2 < + ∞ }

n =1

với chuẩn

∞

∑ | ξ n |2

||ξ || =

n =1

.

5


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương 1 này chúng tôi sẽ trình bày một số kết quả cơ bản được sử dụng
trong các chương sau. Các kết quả trong chương này khơng có chứng minh và được
trích dẫn trong các tài liệu [2],[4],[8], [10].

1.1

Một số khái niệm cơ bản về nửa nhóm liên tục mạnh
trong khơng gian Banach và tốn tử sinh của nó

Định nghĩa 1.1. Họ các tốn tử tuyến tính bị chặn ( T (t))t≥0 trên khơng gian Banach X
được gọi là nửa nhóm liên tục mạnh nếu nó thỏa mãn:
T (t + s) = T (t) T (s) với mọi t, s ≥ 0
T (0) = 1
và là liên tục mạnh. Tức là ánh xạ quỹ đạo ξ x : t → ξ x (t) = T (t) x là liên tục từ R+ vào X
với mọi x ∈ X.
Các tính chất trên thỏa mãn trên R thay vì R+ ta gọi ( T (t))t∈R là nhóm liên tục
mạnh trên X.

Mệnh đề 1.1. Cho nửa nhóm( T (t))t≥0 trên không gian Banach X, các khẳng định sau là
tương đương:
(a) ( T (t))t≥0 là liên tục mạnh.
(b) lim T (t) x = x với mọi x ∈ X.
t →0

(c) Tồn tại δ > 0, M > 1 và tập con trù mật D ⊂ X sao cho: T (t) ≤ M với mọi t ∈ [0, δ]
và lim T (t) x = x với mọi x ∈ D.
t →0

6


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Mệnh đề 1.2. Cho nửa nhóm liên tục mạnh( T (t))t≥0 , tồn tại hằng số w ∈ R và M ≥ 1 sao
cho T (t) ≤ Mewt với mọi t ≥ 0.
Định nghĩa 1.2. Cho nửa nhóm liên tục mạnh( T (t))t≥0 , gọi
w0 ( T ) = in f {w ∈ R : ∃ Mw ≥ 1, T (t) ≤ Mw ewt ∀t ≥ 0}
là cận tăng trưởng hoặc kiểu tăng trưởng của nửa nhóm.
Trong định nghĩa (1.2), nửa nhóm gọi là bị chặn nếu w = 0, nửa nhóm co nếu có
thể lấy w = 0 và M = 1, nửa nhóm đẳng cự nếu T (t) x = x với mọi t ≥ 0 và
x ∈ X.
Định nghĩa 1.3. Toán tử sinh A : D ( A) ⊆ X → X của nửa nhóm liên tục mạnh ( T (t))t≥0
trên khơng gian Banach X là toán tử
.
1
Ax := ξ x (0) = lim ( T (h) x − x )
h →0 h

xác định với mọi x trong miền

D ( A) := { x ∈ X : ξ x là khả vi}
Mệnh đề 1.3. Với toán tử sinh A : D ( A) ⊆ X → X của nửa nhóm ( T (t))t≥0 ta có các tính
chất sau đây:
(a) Nếu λ ∈ C sao cho R(λ) x =

+∞ −λs
e
T (s) xds
0

tồn tại với mọi x ∈ X thì λ ∈ ρ( A) và

R(λ, A) = R(λ).
(b) Nếu Reλ > w thì λ ∈ ρ( A) và giải thức R(λ, A) xác định trong phần (a).
(c) R(λ, A) ≤
Khi đó R(λ, A) x

M
Reλ−w ∀ λ : Reλ > w.
+∞
= 0 e−λs T (s) xds gọi

là biểu diễn tích phân của giải thức.

Định lý 1.1. (Xem tài liệu [10])( Định lý Hille- Yosida về toán tử sinh)
Đối với toán tử ( A, D ( A)) trên khơng gian Banach X các tính chất sau là tương đương:
(a) (A,D(A)) sinh nửa nhóm co liên tục mạnh.
(b) (A,D(A)) là đóng, xác định trù mật và với mỗi λ > 0 ta có λ ∈ ρ( A) và
λR(λ, A) ≤ 1
7

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
(c) (A,D(A)) là đóng, xác định trù mật và với mỗi λ ∈ C với Reλ > 0 ta có λ ∈ ρ( A) và
R(λ, A) ≤

1
Reλ

.

1.2

Ứng dụng của phương pháp toán tử Laplace đối với phương
trình vi phân có chậm

( Xem tài liệu [2])
Định nghĩa 1.4. Hàm giá trị phức f (t) = u(t) + iv(t) của biến thực t được gọi là hàm gốc
nếu nó thỏa mãn 3 điều kiện sau:
1) f (t) ≡ 0, với mọi t < 0.
2) f (t) liên tục (hoặc liên tục từng khúc), có đạo hàm liên tục đến cấp n (hoặc đạo hàm liên
tục từng khúc đến cấp n).
3) Khi t → +∞, hàm f (t) có bậc tăng bị chặn, tức là tồn tại các số M > 0 và α > 0 sao cho
với mọi t > 0 thì

| f (t)| ≤ Meαt
Tức là hàm | f (t)| tăng không nhanh hơn hàm mũ.
Định nghĩa 1.5. Giả sử f (t) là hàm gốc. Khi đó hàm biến phức F ( p) được xác định bởi công
thức:
F ( p) =

∞
0

f (t)e− pt dt

được gọi là ảnh của f (t) qua phép biến đổi Laplace. Phép biến đổi
L : f (t) → F ( p)
được gọi là phép biến đổi Laplace. Ta kí hiệu:
F ( p) = L[ f (t)]
Giả sử f (t) là hàm gốc và
F ( p) =

+∞
0

8

f (t)e− pt dt


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Định lý 1.2. Giả sử f (t) là hàm gốc
1) Mọi hàm gốc f (t) đều có ảnh.
2) Ảnh F ( p) = L[ f (t)] là hàm chỉnh hình trong nửa mặt phẳng Rep > α0 , trong đó α0 là
chỉ số tăng của hàm f (t).
Định lý 1.3. (Định lý chậm)
Nếu
L : f (t) → F ( p)
là phép biến đổi Laplace thì

L : f ( t − t 0 ) → e − t0 p F ( p )
trong đó t0 là số dương bất kì và Rep > α0 .
Trong quá trình áp dụng phương pháp Laplace để giải các phương trình vi phân,
ngồi việc sử dụng các tính chất cơ bản của phép biến đổi Laplace, chúng ta còn phải
dựa vào định lý về sự tồn tại phép biến đổi ngược của phép biến đổi Laplace sau đây.
Định lý 1.4. ( Định lý Mellin)
Giả sử hàm chỉnh hình F ( p) trong miền Rep > α0 là ảnh của hàm f (t) trơn từng khúc trên
mỗi đoạn hữu hạn của tia [0, ∞) với chỉ số tăng α0 . Khi đó tại các điểm liên tục của hàm f (t)
ta có:

x −i∞
1
e pt F ( p)dp,
2πi x+i∞
Cơng thức trên được gọi là công thức Mellin.

f (t) =

x > α0

Nếu f : [0, ∞) → R là đo được và thỏa mãn:

| f (t)| ≤ aebt ,

t ∈ [0, ∞)

với a và b là hằng số nào đó, thì biến đổi Laplace L( f ) định nghĩa:
∞

e−λt f (t)dt

L( f )(λ) =
0

tồn tại và giải tích trên miền Repλ > b.

9


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Chúng ta kí hiệu

(c)

1
= lim
T →∞ 2πi

c+iT

trong đó c là số thực.

,
c−iT

( Xem trang 313 tài liệu [2]).
Bổ đề 1.1. (Biến đổi Laplace ngược)
Giả sử f : [0, ∞) → R là hàm cho trước, b > 0 là một hằng số sao cho f có biến phân bị chặn
trên tập compact bất kì, t → f (t)e−bt là khả tích Lebesgue trên [0, ∞). Khi đó, với c > b bất
kì,

L( f )(λ)eλt dλ =
(c)

1.3

1
2 [ f ( t +) +
1
2 f (0+)

f (t−)]

t > 0,
t = 0.

Khái niệm về họ toán tử tiến hóa liên tục mạnh trong
khơng gian Banach

(xem tài liệu [8])
Giả sử X là không gian Banach và J = [0, T ] ⊂ R. Với mỗi t ∈ J trong khơng gian
Banach X ta xét tốn tử tuyến tính A(t) : D ( A(t)) ⊂ X → X, ta giả sử f (t) là một
hàm xác định trên J nhận giá trị trong không gian Banach X. Ta xét bài toán với giá
trị ban đầu
du(t)
dt

= A(t)u(t) + f (t) với 0 ≤ s < t ≤ T
u(s) = x

(1.1)

Bài toán với giá trị ban đầu (1.1) được gọi là bài tốn tiến hóa. Giả sử u : [s, T ] → X
là hàm xác định trên J nhận giá trị trong khơng gian Banach X, khi đó ta nói u :

[s, T ] → X là nghiệm "cổ điển" của bài tốn tiến hóa nếu u là hàm liên tục trên [s, T ],
u(t) ∈ D ( A(t))với s < t ≤ T và u là khả vi liên tục trên s < t ≤ T thỏa mãn phương
trình (1.1).
Việc nghiên cứu sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài tốn tiến hóa thường liên quan
đến phương trình Volterra. Xét phương trình Volterra có dạng:
t

x (t) = g(t) +
10

t0

A(τ ) x (τ )dτ

(1.2)


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
với g(t) là hàm vectơ liên tục trên I và chỉ ra nó có một nghiệm liên tục trên đoạn

[ a, b] ⊂ I.
Bổ đề 1.2. Phương trình (1.2) có nghiệm duy nhất xác định trên đoạn [ a; b] ∈ I. Nghiệm
này có thể biểu diễn dưới dạng:
t

x (t) = g(t) +

∞

+

∑

t

n =2 t0

t0
tn
t0

A(t1 ) g(t1 )dt1
...

t2
t0

A(tn ) A(tn−1 )...A(t1 ) g(t1 )dt1 ...dtn−1 dtn
(1.3)

hay:

∞

x (t) = g(t) +

∑ gk ( t )

k =1

trong đó:
t

gk ( t ) =

t0

A(τ ) gk−1 (τ )dτ, g0 (t) = g(t)

Định lý 1.5. Cho X là không gian Banach và giả sử với mỗi t, 0 ≤ s < t ≤ T tốn tử tuyến
tính A(t) bị chặn trên X. Khi đó nếu hàm t → A(t) là liên tục theo chuẩn tốn tử thì với
mỗi x ∈ X bài tốn giá trị ban dầu (1.1) có duy nhất một nghiệm cổ điển u.
Bây giờ ta xét bài toán giá trị ban đầu thuần nhất:
du(t)
dt

= A(t)u(t) với 0 ≤ s < t ≤ T
u(s) = x

(1.4)

Để thuận tiện cho việc trình bày chúng ta xét trường hợp đơn giản sau. Kí hiệu J =

[0, T ] Với mỗi t ∈ J trong không gian Banach X ta xét tốn tử tuyến tính A(t) :
D ( A(t)) ⊂ X → X là bị chặn trong X, tức là A(t) ∈ L( X ) và hàm t → A(t) là liên
tục theo chuẩn toán tử. Trong trường hợp này ta có định lý sau.
Định lý 1.6. Cho X là khơng gian Banach và giả sử với mỗi t, 0 ≤ s < t ≤ T tốn tử tuyến

tính A(t) bị chặn trên X. Khi đó nếu hàm t → A(t) là liên tục theo chuẩn tốn tử thì với
mỗi x ∈ X bài toán giá trị ban dầu thuần nhất (1.4) có duy nhất một nghiệm "cổ điển" u.

11


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Để thuận tiện cho việc biểu diễn nghiệm và nghiên cứu tính chất nghiệm của bài
toán giá trị ban đầu ta xác định một toán tử tuyến tính U (t, s) từ X vào X mà ta gọi
là toán tử nghiệm:
U (t, s) : x → u(t) với 0 ≤ s ≤ t ≤ T
Ở đây u(t) là nghiệm của phương trình thuần nhất (1.4).
Bổ đề 1.3. (Gronwal-Belman)
Giả sử u(t), f (t) là các hàm liên tục trên [t0 , +∞) và u(t) ≥ 0, f (t) ≥ 0 với mọi t ≥ t0 ,
u(t) ≤ c +

t
t0

f (τ )u(τ )dτ

ở đây c là hằng số dương. Khi đó với mọi t ≥ t0 ta có
u(t) ≤ ce

t
t0

f (τ )dτ

Dựa vào bổ đề này ta có thể chứng minh định lý sau:

Định lý 1.7. Họ tốn tử tiến hóa U (t, s) tương ứng với phương trình (1.4) có các tính chất
sau đây:
a) U (t, t) = I.
b) U (t, r )U (r, s) = U (t, s) với 0 ≤ s ≤ r ≤ t ≤ T.
c) (t, s) → U (t, s) là liên tục theo tô pô đều với 0 ≤ s ≤ t ≤ T.
d) ||U (t, τ )||

exp[

t
τ || A ( τ )|| dτ ].( τ

t ).

e) ∂U (t, s)/∂t = A(t)U (t, s) với 0 ≤ s ≤ t ≤ T.
f) ∂U (t, s)/∂s = −U (t, s) A(s) với 0 ≤ s ≤ t ≤ T.
Việc chứng minh các tính chất ta có thể xem trong [8] phần định lý 5.2 trang 128.
Định nghĩa 1.6. Một họ hai tham số của tốn tử tuyến tính bị chặn U (t, s), 0 ≤ s ≤ t ≤ T
trên X gọi là một họ tiến hóa liên tục mạnh nếu thỏa mãn hai điều kiện sau:
(a) U (s, s) = I, U (t, r )U (r, s) = U (t, s) với 0 ≤ s ≤ r ≤ t ≤ T.
(b) (t, s) → U (t, s) là liên tục mạnh với 0 ≤ s ≤ t ≤ T.

12


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

1.4
1.4.1

Tính chất nghiệm của các phương trình vi phân so sánh
tích phân được trong khơng gian Banach
Tính ổn định phải và tính ổn định trái theo Lyapunov.

(Xem tài liệu [8])
Cho X là không gian Banach. Ta giới thiệu vài khái niệm về dáng điệu nghiệm của
phương trình vi phân tuyến tính:
dx
= A(t) x
dt

(1.5)

Giả sử với mỗi t, 0 ≤ s < t ≤ T, toán tử tuyến tính A(t) : D ( A(t)) ⊂ X → X là bị
chặn trong X, tức là A(t) ∈ L( X ) và hàm t → A(t) là liên tục theo tơ pơ đều. Với
tốn tử tiến hóa U (t, s) của phương trình (1.5), kí hiệu U (t, 0) = U (t) và U (t) gọi là
toán tử Cauchy của phương trình (1.5).
Chúng ta nhắc lại rằng phương trình (1.5) là phương trình tuyến tính nên nó ổn định(
chính xác hơn là ổn định phải) nếu mọi nghiệm của nó bị chặn trên [0, ∞).
Bổ đề 1.4. Điều kiện cần và đủ đối với tính ổn định của phương trình (1.5) là tính bị chặn
đều của tốn tử Cauchy của nó:
sup||U (t)|| < ∞.
t ≥0

Nhận xét 1.1. Ta có thể nói rõ hơn điều kiện của bổ đề, là điều kiện cần và đủ của ổn định
phải là sự tồn tại hằng số q > 0 sao cho nghiệm x(t) của phương trình (1.5) thỏa mãn

| x (t)|| ≤ q|| x (0)||

(1.6)

giá trị q0 được xác định bởi:
q0 = sup||U (t)||
t ≥0

Phương trình (1.5) được gọi là ổn định phải nếu tồn tại một hằng số N > 0 sao
cho mỗi nghiệm x (t) bất kỳ của phương trình thỏa mãn với mọi t ≥ s ≥ 0:

|| x (t)|| ≤ N || x (s)||
13

(1.7)


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Có thể chứng tỏ rằng tính ổn định phải đều tương đương với điều kiện sau:
N = sup ||U (t, s)||

(1.8)

t ≥ s ≥0

Giá trị của N là tốt nhất có thể đối với đánh giá (1.7).
Nhận xét 1.2. Giả sử A(t) = A là toán tử hằng. Trong trường hợp U (t, s) = e A(t−s) dễ
thấy điều kiện ổn định:
sup||e At || < ∞

(1.9)

t ≥0

trùng với điều kiện ổn định đều.
Phương trình (1.5) là ổn đinh trái nếu tồn tại hằng số q > 0 sao cho nghiệm x (t)
bất kỳ của phương trình này thỏa mãn đánh giá:

|| x (0)|| ≤ q || x (t)||

t≥0

Trong tài liệu [8] đã chứng minh được rằng: Ổn định trái là tương đương với tính bị
chặn đều của toán tử U −1 (t)
q = sup||U −1 (t)|| < ∞
t ≥0

Chúng ta nhận thấy rằng do nghiệm của phương trình liên hợp

dX
dt

= − A(t) X được

biểu diễn bởi công thức X (t) = X (0)U −1 (t), tính ổn định trái của phương trình (1.5)
tương đương tính ổn định phải của phương trình liên hợp.
Tính ổn định trái đều tương đương với điều kiện:
sup U (t, s) < ∞

(1.10)

t ≥ s ≥0

Ta nói phương trình (1.5) là song ổn định trên nửa [0, ∞) nếu nó là vừa là ổn định trái
và vừa là ổn định phải. Hay phương trình (1.5) là song ổn định nếu và chỉ nếu:
sup {||U ±1 (t)||} < ∞

0≤ t < ∞

hoặc nếu và chỉ nếu:
sup {||U (t, s)||} < ∞

0≤s,t<∞

14

(1.11)


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
So sánh điều kiện này với (1.8) và (1.10) chứng tỏ rằng một phương trình là song ổn
định thì ổn định trái và ổn định phải đều. Nói cách khác là một phương trình là song
ổn định nếu tồn tại hằng số q > 0 sao cho nghiệm x (t) thỏa mãn đánh giá:

(0 ≤ s, t ≤ ∞)

|| x (t)|| ≤ q|| x (s)||

1.4.2

Các phương trình so sánh tích phân được

Giả sử trên nửa khoảng [0, ∞) chúng ta xét 2 phương trình:

dx
= Ak (t) x
dy

(k = 1, 2)

(1.12)

Ta nói các phương trình này là so sánh được nếu:

|| A2 − A1 || =

∞
0

|| A2 (t) − A1 (t)||dt < ∞

Bổ đề 1.5. Nếu một trong hai phương trình so sánh được (1.12) là ổn định trái hoặc ổn định
phải đều hoặc song ổn định, thì phương trình cịn lại cũng vậy.
Định lý 1.8. Giả sử quan hệ (1.12) được thỏa mãn. Khi đó giới hạn
U (∞) = lim U (t)
t→∞

tồn tại và là toán tử khả nghịch.

1.4.3

Sự tương đương tiệm cận của các phương trình so sánh tích phân
được

Nếu phương trình (1.5) là ổn định trái thì nghiệm của các phương trình này sẽ tiến
tới 0 tại vô hạn hoặc đồng nhất bằng 0. Chúng ta nói các phương trình (1.12) là tương
đương tiệm cận nếu giữa các nghiệm của chúng có thể xác lập một ánh xạ đơn trị
x1 (t) ←→ x2 (t) sao cho:
lim [ x2 (t) − x1 (t)] = 0.

t→∞

Định lý 1.9. Giả sử các phương trình (1.12) là so sánh tích phân được và một trong số chúng
là song ổn định. Khi đó, chúng sẽ là tương đương tiệm cận, đồng thời giữa các nghiệm của
15


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
chúng có thể xác lập duy nhất một quan hệ đơn trị x1 (t) ←→ x2 (t) qua đánh giá sau:


∞

|| x2 (t) − x1 (t)|| = O 

|| A2 (s) − A1 (s)|| ds

(1.13)

t

Hơn nữa, giá trị ban đầu được thỏa mãn bởi các nghiệm tương ứng liên kết với toán tử khả
nghịch liên tục.

16


Chương 2
Phương trình vi phân tuyến tính có chậm
2.1

Khái niệm về phương trình vi phân hàm và phương pháp
tìm nghiệm của nó

(Xem tài liệu[7])

2.1.1

Sự tồn tại và duy nhất nghiệm

• Cho Rn là không gian Euclid, x ∈ Rn , | x | =

x12 + x22 + ... + xn2 gọi là chuẩn của

x trong Rn .
• Với h > 0 ta kí hiệu C là khơng gian các ánh xạ liên tục từ [− h, 0] vào Rn . Với

ϕ ∈ C thì chuẩn của ϕ được định nghĩa là:

|| ϕ|| =

sup | ϕ(θ )|
− h ≤ θ ≤0

• CH = { ϕ ∈ C : || ϕ|| ≤ H, H > 0||}
• Giả sử x (u) là một hàm xác định với − h ≤ u < A( A > 0) và với bất kỳ t ∈

[−h, A] cố định ta kí hiệu xt là định nghĩa hạn chế của x (u) trên đơạn [t − h, t],
tức là xt là một phần tử của C xác định bởi:
x t ( θ ) = x ( t + θ ),

−h ≤ θ ≤ 0

.

Giả sử x (t) là đạo hàm phải của x (u) tại u = t và chúng ta xét phương trình vi
phân:
.

x (t) = f (t, xt )
17

(2.1)


Chương 2. Phương trình vi phân tuyến tính có chậm
Ở đây f (t, Φ) ∈ Rn xác định trên Ω ⊂ [0, δ] × CH
f : [0, δ] × CH → Rn
Ta gọi phương trình (2.1) là phương trình vi phân hàm trên Ω.
Sau đây ta xét bài toán với giá trị ban đầu: Tìm nghiệm x (t) của phương trình vi phân
(2.1) thỏa mãn điều kiện cho trước: x (t) = ϕ(t),
Hoặc:

Hoặc:

dx
dt
x (t)

− h + t0 ≤ t ≤ t0

= f (t, xt ) t ≥ t0
= ϕ ( t ) t0 − h ≤ t ≤ t0



 x (t)

= ϕ ( t0 ) +


 x (t)

= ϕ ( t ) t0 − h ≤ t ≤ t0

t

f (τ, xτ )dτ

t≥0

t0

Nghiệm của bài tốn này có thể kí hiệu là x = xt (t0 , ϕ) được định nghĩa như sau.

Định nghĩa 2.1. Một hàm xt (t0 , ϕ) (hoặc x (t0 , ϕ)(t)) được gọi là nghiệm của phương trình
vi phân (2.1) với điều kiện ban đầu ϕ ∈ CH tại t = t0 , t ≥ 0 , nếu tồn tại số A > 0 sao cho
xt (t0 , ϕ) xác định trên [t0 − h, t0 + A] nhận giá trị trong Rn thỏa mãn các tính chất sau:
(i) xt (t0 , ϕ) ∈ CH với t0 ≤ t ≤ t0 + A
(ii) xt0 (t0 , ϕ) = ϕ
(iii) xt (t0 , ϕ) thỏa mãn phương trình (2.1) với t0 ≤ t < t0 + A.
Bằng cách sử dụng nguyên lí ánh xạ co (hoặc bằng phương pháp xấp xỉ liên tiếp)
ta có thể chứng minh các kết quả sau đây.
Bổ đề 2.1. (Tồn tại nghiệm) (Xem tài liệu [7])
Giả sử Ω là tập mở trong R × C, f là hàm liên tục trên Ω. Nếu (t0 , ϕ) ∈ Ω, thì tồn tại
nghiệm của phương trình (2.1) đi qua (t0 , ϕ).
Chúng ta gọi f (t, φ) là Lipschitz với φ trong tập compact K của R × C nếu tồn tại số dương
k > 0 sao cho, với mỗi (t, φi ) ∈ K, i = 1, 2, ...

| f (t, φ1 ) − f (t, φ2 )| ≤ k |φ1 − φ2 |
Bổ đề 2.2. (Duy nhất nghiệm) Giả sử Ω là tập mở trong R × C, f : Ω → Rn liên tục và
f (t, φ) là Lipschitz với φ trên mỗi tập compact trong Ω. Nếu (t0 , ϕ) ∈ Ω thì có duy nhất
nghiệm của phương trình (2.1) đi qua t0 , ϕ.
18


Chương 2. Phương trình vi phân tuyến tính có chậm

2.1.2

Phương pháp giải phương trình vi phân hàm

Ta có thể đi tìm nghiệm của phương trình vi phân hàm (2.1) bằng hai phương
pháp là phương pháp từng bước và phương pháp toán tử Laplace.
(a) Phương pháp từng bước

Theo phương pháp này, cơng thức nghiệm tìm được bằng cách lấy tích phân trên
từng đoạn có độ dài thích hợp. Nói chung khơng nêu được một cơng thức giải tích
trên cả bán trục R+ .
Ví dụ 2.1. Xét phương trình vi phân có chậm sau:
x (t)
ϕ(t)

= 6x (t − 1)
= t, 0 ≤ t ≤ 1

Ta sẽ tìm nghiệm x (t0 , ϕ), t0 = 1 của phương trình vi phân trên [0, 3].
Nghiệm của phương trình vi phân có dạng:

t

x (t) = ϕ(1) + 6x (s − 1)ds,
1

x (t) = ϕ(t) 0 ≤ t ≤ 1
Trên đoạn [1,2] ta có:


x (t)

x (t)

= ϕ (1) +

Trên đoạn [2,3] ta có:




x (t)

 x (t)

= ϕ (2) +

t≥1

t

6x (s − 1)ds,

1≤t≤2

1

= ϕ(t) 0 ≤ t ≤ 1

t

6x (s − 1)ds,
1

= 1 + 3( t − 1)2 ,

2≤t≤3

1≤t≤2

Suy ra :
x (t)
x (t)

= 6(t − 2)[(t − 2)2 + 1] + 4,
= 1 + 3( t − 1)2 , 1 ≤ t ≤ 2

Vậy nghiệm của phương trình trên đoạn [0,3] là:

 x (t) = t, 0 ≤ t ≤ 1
x ( t ) = 1 + 3( t − 1)2 , 1 ≤ t ≤ 2

x (t) = 6(t − 2)[(t − 2)2 + 1] + 4,
19

2≤t≤3

2≤t≤3


Chương 2. Phương trình vi phân tuyến tính có chậm
(b) Phương pháp tốn tử Laplace
Ví dụ 2.2. Xét phương trình vi phân:
x (t)
ϕ(t)

= x ( t − 1)
= t, −1 ≤ t ≤ 0

Sử dụng phép biến đổi Laplace (Xem mục 1.2)
x (t) → X ( p) =

∞
0

x (t)e− pt dt

Khi đó theo định lý về đạo hàm gốc ta có
x (t) → pX ( p)
và x (0) = ϕ(0) = 0
Theo định lý chậm ta có
x ( t − t 0 ) → e − t0 p X ( p )
Vậy nên
0

x ( t − 1) → e

−p

[

e

− pt

−1

1 − e− p 1
ϕ(t)dt + X ( p)] =

− + e− p X ( p)
p
p2

Thay x (t) và x (t − 1) vào phương trình vi phân đã cho ta được phương trình đại số:
1 − e− p 1
pX ( p) =
− + e− p X ( p)
2
p
p
Suy ra
X ( p) = −

1 − e− p
1
+
p ( p − e − p ) p2 ( p − e − p )

Tiếp tục khai triển Taylor ta có:
X ( p) = −

1
p2

1+

1 − e− p
+
p2

=−

e− p e−2p
e−kp
+ 2 + ... + k + ... +
p
p
p

e− p e−2p
e−kp
1+
+ 2 + ... + k + ...
p
p
p

∞ −kp
1
1
e
+
−
∑
2
3
k +2
p
p

k =1 p

20


Chương 2. Phương trình vi phân tuyến tính có chậm
Khi đó so sánh với bảng đối chiếu gốc ảnh (xem [2]) ta có:
x (t) =

∞
t2
( t − k ) k +1
− t η (t) − ∑
η (t − k)
2
( k + 1) !
k =1

Trong đó η (t) là hàm đơn vị thỏa mãn:
η (t) =

2.2

khi
khi

1
0

t≥0

t < 0.

Phương trình vi phân tuyến tính có chậm

Trong phần này chúng tơi sẽ trình bày một số kết quả đối với phương trình vi
phân hàm đơn giản nhất, nội dung của phần này được trích dẫn từ tài liệu [7].
Xét phương trình thuần nhất:
x˙ (t) = Ax (t) + Bx (t − r ),

( A, B ∈ R, x (t) ∈ R).

(2.2)

Sau đây chúng ta sẽ trình bày một vài kết quả về phương trình đặc trưng và nghiệm
cơ bản của phương trình (2.2). Trước hết chúng ta thấy rằng phương trình (2.2)
có nghiệm không tầm thường dạng eλt c khi và chỉ khi phương trình đặc trưng có
nghiệm.
de f

h(λ) := λ − A − Be−λr = 0.

(2.3)

Các bổ đề sau đây cho ta biết các dạng nghiệm của phương trình đặc trưng và các
nghiệm tương ứng của phương trình thuần nhất (2.2).
Bổ đề 2.3. (Xem tài liệu [7] trang 18)
a) Nếu tồn tại một dãy λ j của các nghiệm của phương trình (2.3) sao cho |λ j | → ∞ khi
j → ∞, thì Repλ j → −∞.
b) Vì vậy tồn tại một số thực α sao cho tất cả các nghiệm của (2.3) thỏa mãn Repλ < α và
chỉ có một số hữu hạn các nghiệm của (2.3) nằm trên trục thẳng đứng bất kỳ của mặt phẳng

phức.
Chứng minh. Giả sử λ là nghiệm của phương trình (2.2),

|λ − A| = | B|e−rRepλ
21


Chương 2. Phương trình vi phân tuyến tính có chậm
Nếu |λ| → ∞ thì exp (−rRepλ) → ∞, khi đó điều này kéo theo khẳng định a) của bổ
đề. Đồng thời điều này cũng dẫn đến sự tồn tại của α thỏa mãn điều kiện của bổ đề.
Vì hàm h(λ) là hàm nguyên nên chỉ có một số hữu hạn các không điểm của h(λ) trên
một tập compact bất kỳ. Điều này kéo theo chỉ có hữu hạn số trên trục thẳng đứng
của mặt phẳng phức. Bổ đề được chứng minh.
Định lý 2.1. Giả sử λ là nghiệm bội m của phương trình đặc trưng (2.3). Khi đó mỗi hàm
tk eλt , k = 1, 2, ..., m − 1 là nghiệm của (2.2). Vì phương trình (2.2) là tuyến tính nên tổng
hữu hạn (vơ hạn) các nghiệm này cũng là một nghiệm.
Chứng minh. Nếu x (t) = tk eλt thì:
e−λt [ x˙ (t) − Ax (t) − Bx (t − r )] = tk λ + ktk−1 − Atk − B(t − r )k e−λr
k

∑

=

j =0

k k− j ( j)
j t h (λ)

ở đây biểu thức cuối cùng nhận được bằng cách khai triển nhị thức Newton của

(t − r )k và chú ý rằng các hệ số h j (λ), h(0) (λ)=h(λ) là đạo hàm của hàm h(λ) theo λ.
Nếu λ là không điểm của h(λ) bội m, thì h(λ) = h(1) (λ) = ... = h(m−1) (λ) = 0. Vì
vậy, x (t) = tk eλt là nghiệm của phương trình (2.3) với k = 0, 1, ..., m − 1. Định lý được
chứng minh.
Tiếp theo sử dụng phương pháp biến đổi Laplace ta có định lý sau mà kết quả của
nó cho ta cơng thức tìm nghiệm cơ bản của phương trình (2.2).
Định lý 2.2. Giả sử X (t) là nghiệm cơ bản của phương trình:

( A, B ∈ R, x (t) ∈ R)

x˙ (t) = Ax (t) + Bx (t − r )
thỏa mãn điều kiện:
X (t) =

0,
1,

t<0
t=0

thì ta có biến đổi Laplace
L( X )(λ) = h−1 (λ).
trong đó h(λ)=λ − A − Be−λr . Hơn nữa với mọi c > b ta có
X (t) =

(c)

eλt h−1 (λ)dλ,
22

t > 0,


Chương 2. Phương trình vi phân tuyến tính có chậm
Ở đây a, b là các hằng số thỏa mãn | X (t)| ≤ aebt , t ≥ 0.
Chứng minh. Giả sử X (t) là nghiệm cơ bản của phương trình (2.2) thỏa mãn | X (t)| ≤
aebt , t ≥ 0 với a, b là các hằng số. Theo Định nghĩa 1.5 ta có
L( X )(λ) =

∞
0

X (t)e−λt dt.

Mặt khác nhân 2 vế của phương trình (2.2) với e−λt ta có
e−λt X (t) = Ae−λt X (t) + Be−λt X (t − r )
Tiếp tục lấy tích phân 2 vế từ 0 đến ∞ ta được:
∞
0

X (t)e−λt dt = A

∞
0

∞

X (t)e−λt dt + B

0

X (t − r )e−λt dt

Từ định lý chậm ta có
∞
0

X (t)e

hay

∞
0

−λt

dt = AL( X )(λ) + Be

∞

−λr
0

X (t)e−λt dt

X (t)e−λt dt = AL( X )(λ) + Be−λr L( X )(λ)

Dùng cơng thức tích phân từng phần ta có:
∞

0

X (t)e−λt dt = X (t)e−λt |0∞ + λ

Tức là

∞
0

∞
0

X (t)e−λt dt

X (t)e−λt dt = −1 + λL( X )(λ)

Vậy ta có

−1 + λL( X )(λ) = AL( X )(λ) + Be−λr L( X )(λ)
suy ra
1
= h −1 ( λ ).
−
λr
λ − A − Be
Cuối cùng dùng công thức biến đổi Laplace ngược ta có: với mọi c > b thì
L( X )(λ) =

X (t) =

(c)

eλt h−1 (λ)dλ,

Định lý được chứng minh.
23

t>0