(Luận văn thạc sĩ) một số phương pháp phân rã giải bài toán cân bằng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGÔ THỊ THƯƠNG

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP PHÂN RÃ GIẢI BÀI
TOÁN CÂN BẰNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - Năm 2017


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGÔ THỊ THƯƠNG

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP PHÂN RÃ GIẢI BÀI
TỐN CÂN BẰNG

Chun ngành: Tốn ứng dụng
Mã số:

60460112

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
GS. TSKH. Phạm Kỳ Anh

Hà Nội - Năm 2017


Mục lục
Lời cảm ơn

iii

Danh mục ký hiệu

iv

Lời nói đầu

1

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

4

1.1

Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2

Bài toán cân bằng

1.3

4

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.2.1

Bài toán tối ưu hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.2.2

Bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.2.3

Bài toán điểm bất động Kakutani . . . . . . . . . . . . .

15

1.2.4

Cân bằng Nash trong trị chơi khơng hợp tác . . . . . . .

15

1.2.5

Bài toán điểm yên ngựa . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

Sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng . . . . . . . . . . . . .

17

Chương 2. Một số phương pháp phân rã giải bài toán cân bằng 21
2.1

Phương pháp phân rã dựa vào ánh xạ Combettes . . . . . . . .

21

2.1.1

Ánh xạ Combettes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.1.2

Thuật toán và sự hội tụ của phương pháp phân rã dựa
vào ánh xạ Combettes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

Phương pháp đạo hàm tăng cường phân rã . . . . . . . . . . . .

33

2.2.1

Thuật toán đạo hàm tăng cường . . . . . . . . . . . . . .

33

2.2.2

Thuật toán và sự hội tụ của phương pháp đạo hàm tăng

2.1.3
2.2

cường phân rã . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

Phương pháp đạo hàm tăng cường hai bước phân rã . . . . . . .

55

2.2.3
2.3

i


2.3.1

Phương pháp đạo hàm tăng cường suy rộng . . . . . . .

2.3.2

Thuật toán và sự hội tụ của phương pháp đạo hàm tăng
cường hai bước phân rã

2.3.3

55

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

Kết luận

67

Tài liệu tham khảo

68

ii


Lời cảm ơn

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học
Quốc gia Hà Nội dưới sự hướng dẫn tận tình và nghiêm khắc của GS. TSKH.
Phạm Kỳ Anh. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp
các thắc mắc của tôi trong suốt q trình làm luận văn. Tơi xin bày tỏ lòng
biết ơn sâu sắc tới Thầy.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Khoa Toán - Cơ - Tin học, Phòng Sau đại
học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN, cũng như q thầy cơ
tham gia giảng dạy khóa cao học 2015 - 2017 đã có cơng lao giảng dạy tôi trong
suốt thời gian học tập tại Trường.
Nhận dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn
bè và đồng nghiệp đã ln bên tôi cổ vũ, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá
trình học tập và thực hiện luận văn tốt nghiệp.
Hà Nội, ngày 18 tháng 11 năm 2017
Học viên

Ngô Thị Thương

iii


Danh mục ký hiệu
conv

Bao lồi

domf

Miền hữu dụng của song hàm f

gphf

Đồ thị của song hàm f

EP (f, C)

Bài toán cân bằng liên kết f và C

KKM

Ánh xạ KKM

M EP (f, C)

Tập nghiệm của bài tốn cân bằng hỗn hợp

NC (x)

Nón pháp tuyến của C tại x ∈ C

∂f (x)

Dưới vi phân của f tại x

P rC (x)

Hình chiếu của x lên C

proxf (x)

Toán tử gần kề của f

Sol(f, C)

Tập nghiệm của bài toán cân bằng

1


Lời nói đầu
Cho H là khơng gian Hilbert thực với tích vơ hướng ., . và chuẩn . tương
ứng. Cho C là tập lồi, đóng, khác rỗng của H và song hàm f : C × C → R sao
cho f (x, x) = 0 với mọi x ∈ C. Trong luận văn này, chúng tơi xét bài tốn cân
bằng EP (f, C) sau đây
Tìm x∗ ∈ C sao cho f (x∗ , y) ≥ 0 ∀y ∈ C.
Bài toán cân bằng EP (f, C) còn được gọi là bất đẳng thức Ky Fan để ghi nhận
sự đóng góp của ông trong lĩnh vực này.
Bài toán cân bằng bao hàm lớp các bài toán quan trọng như bài toán tối ưu

hóa, bất đẳng thức biến phân, bài tốn điểm n ngựa, bài tốn cân bằng Nash
trong lý thuyết trị chơi khơng hợp tác, bài tốn điểm bất động, . . . Chính vì
vậy, bài tốn cân bằng có nhiều ứng dụng trong thực tiễn, chẳng hạn trong vật
lý, trong ngành kỹ thuật, lý thuyết trò chơi, trong vận tải, kinh tế, hệ thống
mạng, . . . Tính ứng dụng cao của lớp bài tốn này chính là động lực để các nhà
toán học nghiên cứu phương pháp giải. Phương pháp giải bài tốn cân bằng có
thể chia ra thành ba hướng tiếp cận phổ biến. Hướng đầu tiên là sử dụng hàm
khoảng cách. Thay vì giải quyết bài tốn cân bằng EP (f, C) trực tiếp, phương
pháp sử dụng hàm khoảng cách chuyển bài toán gốc thành bài toán tối ưu phù
hợp. Khi đó, phương pháp tối ưu hóa địa phương sẽ được sử dụng để giải bài
toán tối ưu. Phương pháp dựa trên hàm khoảng cách được Zhu và Marcotte sử
dụng cho bất đẳng thức biến phân. Sau đó, Mastroeni phát triển cho bài toán
cân bằng. Hướng tiếp cận thứ hai dựa trên nguyên lý bài toán phụ. Bài toán
cân bằng EP (f, C) được biến đổi tương đương về bài toán bổ trợ, bài toán
này thường giải dễ dàng hơn bài toán gốc. Nguyên lý này được giới thiệu lần
đầu tiên bởi Cohen cho bài toán tối ưu và sau đó được ứng dụng vào các bất
đẳng thức biến phân. Mastroeni sau này mở rộng ngyên lý bài toán phụ cho
2


bài toán cân bằng EP (f, C) với song hàm đơn điệu mạnh và thỏa mãn một
điều kiện Lipschitz cụ thể. Hướng tiếp cận thứ ba là phương pháp điểm gần kề.
Phương pháp điểm gần kề lần đầu tiên được nghiên cứu bởi Martinet để giải
các bất đẳng thức biến phân và sau đó được nghiên cứu sâu bởi Rockafellar để
tìm khơng điểm của tốn tử đơn điệu cực đại. Gần đây, nhiều nhà nghiên cứu
đã sử dụng phương pháp này cho bài tốn cân bằng EP (f, C), ví dụ như các
tác giả Moudafi, L. D. Muu, T. D. Quoc,. . .
Theo ba hướng tiếp cận đó, một số phương pháp giải bài toán cân bằng
EP (f, C) đã được đề xuất như phương pháp điểm bất động, phương pháp
điểm gần kề, phương pháp đạo hàm tăng cường, . . . Những phương pháp trên,

tại mỗi vòng lặp, chúng ta phải giải các bài toán con với song hàm f , điều này
gặp khó khăn nếu song hàm f phức tạp. Một hướng tiếp cận khác là phân rã
song hàm f thành tổng của hai song hàm hoặc nhiều hơn. Khi đó, các bài tốn
con có thể giải độc lập và dễ dàng hơn. Người ta gọi chung phương pháp đó là
phương pháp phân rã giải bài tốn cân bằng EP (f, C).
Trong luận văn này, chúng tơi tìm hiểu hai phương pháp phân rã đã có và
đề xuất một phương pháp phân rã mới giải bài toán cân bằng. Hai phương
pháp chúng tơi tìm hiểu đó là phương pháp phân rã dựa vào ánh xạ Combettes
được đề xuất bởi Moudafi trong [4] và phương pháp đạo hàm tăng cường phân
rã được đề xuất bởi tác giả P. K. Anh và T. N. Hai trong [3]. Bên cạnh đó,
chúng tôi muốn đề xuất phương pháp đạo hàm tăng cường hai bước phân rã.
Phương pháp dựa trên phương pháp đạo hàm tăng cường suy rộng trong [7] và
phương pháp đạo hàm tăng cường phân rã. Thuật toán và sự hội tụ của mỗi
phương pháp được chúng tơi trình bày chi tiết trong luận văn.
Ngoài Lời mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận văn gồm hai chương:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng tơi trình bày tóm
tắt các khái niệm liên quan và nêu ví dụ về song hàm, bài toán cân bằng, một
số lớp bài toán liên quan của bài toán cân bằng và sự tồn tại nghiệm của bài
toán cân bằng.
Chương 2: Một số phương pháp phân rã giải bài toán cân bằng. Ở đây,
chúng tơi trình bày lại hai phương pháp đó là phương pháp phân rã dựa vào
ánh xạ Combettes và phương pháp đạo hàm tăng cường phân rã. Thuật toán,
3


sự hội tụ và ví dụ minh họa của mỗi phương pháp được chúng tơi trình bày lại
và tính tốn chi tiết. Cuối cùng, chúng tôi đề xuất phương pháp đạo hàm tăng
cường hai bước phân rã. Thuật toán và sự hội tụ của phương pháp được chúng
tôi chứng minh một cách rõ ràng. Bên cạnh đó, chúng tơi có đưa ra được ví dụ
minh họa cho phương pháp với những tính tốn chi tiết.

Mặc dù đã hết sức cố gắng nhưng do vấn đề nghiên cứu khá phức tạp và
kinh nghiệm nghiên cứu còn hạn chế nên luận văn có thể vẫn cịn nhiều khiếm
khuyết. Trong q trình đọc dịch tài liệu, viết luận văn cũng như xử lý văn bản
chắc chắn khơng tránh khỏi những sai sót nhất định. Tác giả rất mong nhận
được những ý kiến đóng góp của q thầy cơ và các bạn để luận văn được hoàn
thiện hơn.
Hà Nội, ngày 18 tháng 11 năm 2017
Học viên

Ngô Thị Thương

4


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Chương này trình bày một số khái niệm liên quan đến song hàm f , bài toán
cân bằng, một số trường hợp riêng quan trọng và sự tồn tại nghiệm của bài
toán cân bằng.

1.1

Một số khái niệm cơ bản

Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gian Hilbert H.
Định nghĩa 1.1.1 (Xem [3]). Ánh xạ F : C → H được gọi là
1. γ-đơn điệu mạnh trên C nếu tồn tại hằng số γ > 0 sao cho
F (x) − F (y), x − y ≥ γ x − y

2

≥ 0 ∀x, y ∈ C.

2. đơn điệu trên C nếu
F (x) − F (y), x − y ≥ 0 ∀x, y ∈ C.
3. γ-giả đơn điệu mạnh trên C nếu tồn tại hằng số γ > 0 sao cho với mọi
x, y ∈ C, ta có
F (y), x − y ≥ 0 ⇒ F (x), x − y ≥ γ x − y 2 .
4. giả đơn điệu trên C nếu với mọi x, y ∈ C, ta có
F (y), x − y ≥ 0 ⇒ F (x), x − y ≥ 0.
Ví dụ 1.1.1. Cho ánh xạ F : C → Rn với F (x) = Ax. Khi đó
5


1. Nếu A là ma trận vuông, đối xứng, nửa xác định dương thì F đơn điệu
trên C.
2. Nếu A là ma trận vuông, đối xứng, xác định dương trên C thì F γ-đơn
điệu mạnh trên C.
Định nghĩa 1.1.2 (Xem [3]). Song hàm f : C × C → R được gọi là
1. γ-đơn điệu mạnh trên C nếu tồn tại hằng số γ > 0 sao cho
f (x, y) + f (y, x) ≤ −γ x − y

2

∀x, y ∈ C.

2. đơn điệu trên C nếu
f (x, y) + f (y, x) ≤ 0 ∀x, y ∈ C.
3. γ-giả đơn điệu mạnh trên C nếu tồn tại hằng số γ > 0 sao cho với mọi
x, y ∈ C, ta có

f (x, y) ≥ 0 ⇒ f (y, x) ≤ −γ x − y 2 .
4. giả đơn điệu trên C nếu với mọi x, y ∈ C, ta có
f (x, y) ≥ 0 ⇒ f (y, x) ≤ 0.
Chú ý rằng nếu ánh xạ F là γ-đơn điệu mạnh (đơn điệu, γ-giả đơn điệu
mạnh, giả đơn điệu) trên C thì song hàm
f (x, y) := F (x), y − x
cũng γ-đơn điệu mạnh (đơn điệu, γ-giả đơn điệu mạnh, giả đơn điệu) trên C.
Định nghĩa 1.1.3 (Xem [3]). Phép chiếu trên C, kí hiệu bởi P rC (.), được
định nghĩa như sau
P rC (x) = argmin{ y − x : y ∈ C} ∀x ∈ H.
Định nghĩa 1.1.4 (Xem [1]). Ánh xạ T : C → H được gọi là ánh xạ co trên
C với hằng số δ ∈ [0, 1) nếu
T (x) − T (y) ≤ δ x − y ∀x, y ∈ C.
Nếu δ = 1 thì T được gọi là ánh xạ khơng giãn trên C. Ký hiệu F ix(T ) là tập
các điểm bất động của T , tức là F ix(T ) = {x ∈ C : T x = x}.
6


Định nghĩa 1.1.5 (Xem [3]). Ánh xạ F : C → H được gọi là liên tục Lipschitz
trên C nếu tồn tại hằng số L > 0 sao cho
F (x) − F (y) ≤ L x − y ∀x, y ∈ C.

(1.1)

Định nghĩa 1.1.6 (Xem [3]). Song hàm f : C × C → R được gọi là
(i) thỏa mãn bất đẳng thức Lipschitz nếu tồn tại hằng số K > 0 sao cho với
mọi x, y, z, t ∈ C, ta có
[f (x, y) − f (z, y)] − [f (x, t) − f (z, t)] ≤ K x − z . y − t .

(1.2)

(ii) thỏa mãn bất đẳng thức kiểu Lipschitz nếu tồn tại hằng số c1 > 0 và
c2 > 0 sao cho với mọi x, y, z ∈ C, ta có
f (x, y) + f (y, z) ≥ f (x, z) − c1 x − y

2

− c2 y − z 2 .

(1.3)

Mệnh đề 1.1.1 ([3]). Nếu f (x, y) = F (x), y − x và F liên tục Lipschitz với
hằng số L thì
(i) f thỏa mãn (1.2) với hằng số K = L.
(ii) f thỏa mãn (1.3) với hằng số c1 = c2 = L2 .
Chứng minh.

(i) Với mọi x, y, z, t ∈ C, ta có

[f (x, y) − f (z, y)] − [f (x, t) − f (z, t)] =

F (x), y − t − F (z), y − t

=

F (x) − F (z), y − t

≤

L x − z ,y − t

≤L x−z . y−t .
(ii) Với mọi x, y, z ∈ C, ta có
f (x, z) − f (x, y) − f (y, z) = F (x), z − x − F (x), y − z − F (y), z − y
= F (x), z − y − F (y), z − x
= F (x) − F (y), z − y
≤L x−y . z−y
L
≤ ( x − y 2 + z − y 2 ).
2

7


Định nghĩa 1.1.7 ([3]). Song hàm f : C ×C → R được gọi là liên tục Lipschitz
kiểu mới nếu tồn tại hằng số Q > 0 sao cho với mọi x, y, z ∈ C, ta có
f (x, y) − f (y, z) − f (x, z) ≤ Q x − y . y − z .

(1.4)

Mệnh đề 1.1.2 ([3]). Cho song hàm f : C × C → R. Khi đó, các khẳng định
sau được thỏa mãn
(i) Nếu f thỏa mãn (1.2) thì f cũng thỏa mãn (1.4).
(ii) Nếu f thỏa mãn (1.4) thì f cũng thỏa mãn (1.3).
(iii) Nếu f (x, y) = F (x), y − x trong đó F : C → H liên tục Lipschitz với
hằng số L thì f thỏa mãn (1.4) với hằng số Q = L.
Chứng minh.

(i) Với mọi x, y, z, t ∈ C, ta có

[f (x, y) − f (z, y)] − [f (x, t) − f (z, t)] ≤ K x − z . y − t .
Chọn t = z, ta có
V T (1.5) = |f (x, y) − f (z, y) − f (x, z)|.
Do f (y, z) + f (z, y) ≤ 0 ∀y, z ∈ C nên ta có
|f (x, y) + f (y, z) − f (x, z)| ≤ |f (x, y) − f (z, y) − f (x, z)|
≤K x−z . y−z .
(ii) Với mọi x, y, z ∈ C, ta có
|f (x, y) + f (y, z) − f (x, z)| ≤ Q x − y . y − z
Q
≤ ( x − y 2 + y − z 2 ).
2
Khi đó
f (x, z) − f (x, y) − f (y, z) ≤ |f (x, y) + f (y, z) − f (x, z)|
Q
≤ ( x − y 2 + y − z 2 ).
2
Như vậy (1.3) thỏa mãn với c1 = c2 =
8

Q
.
2

(1.5)


(iii) Như trong Mệnh đề 1.1.1 ta đã chứng minh được rằng f thỏa mãn (1.2)
với K = L. Do đó, theo (i), ta có
|f (x, y) + f (y, z) − f (x, z)| ≤ L x − y . y − z .

Sau đây, chúng ta xét một số ví dụ minh họa cho định nghĩa song hàm liên
tục Lipschitz kiểu mới.
Ví dụ 1.1.2. Xét song hàm fq : C × C → R
fq (x, y) := F (x) + G(y) + q, y − x + ϕ(y) − ϕ(x) ∀x, y ∈ C,
trong đó F, G : C → H liên tục Lipschitz trên C với hằng số L1 và L2 , q ∈ H
tùy ý và ϕ : C → R là một hàm tùy ý.
Ta sẽ chứng minh fq thỏa mãn (1.4). Thật vậy, với mọi x, y, z ∈ C, ta có
|fq (x, y) + fq (y, z) − fq (x, z)|
=| F (x) + G(y) + q, y − x + F (y) + G(z) + q, z − y −
− F (x) + G(z) + q, z − x |
=| F (x) − F (y), y − z F (x) − F (y), y − z + G(y) − G(z), y − x |
≤| F (x) − F (y), y − z | + | G(y) − G(z), y − x |
≤(L1 + L2 ) x − y . y − z = Q x − y . y − z .
Ví dụ 1.1.3. Cho
n

[ai , bi ] ⊂ Rn , bi > ai > 0

C=
i=1

và
f (x, y) = ϕ(x, x) − ϕ(x, y) ∀x, y ∈ C,
trong đó
ϕ:C ×C →C
được định nghĩa bởi

n

yi

,
ωj xj

ϕ(x, y) =
i=1

9

j=i


với x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ) ∈ C, ωj , j = 1, n là các số dương tùy ý
thỏa mãn

n

ωi = 1.
i=1

Ta sẽ chứng minh f thỏa mãn (1.4). Thật vậy, với mọi x = (x1 , . . . , xn ), y =
(y1 , . . . , yn ), z = (z1 , . . . , zn ) ∈ C, ta có
n

f (x, y) =
i=1

xi − yi
.
ωj xj
j=i

Do đó
n

zi − yi
yi − zi
+
ωj xj
ωj y j

|f (x, y) + f (y, z) − f (x, z)| =
i=1

j=i

j=i

n

i=1

j=i

j=i

ωj (xj − yj )

n

i=1

≤
≤

j=i

(yi − zi )

=

1
ωj xj

1
−
ωj y j

(yi − zi )

=

Ω
(a(n − 1)ω)2

ωj y j
j=i
n

ωj xj
j=i

n

|yi − zi |
i=1

|xj − yj |
j=1

Ω
x−y . y−z
n(a(n − 1)ω)2

trong đó ω = min{ωi : 1, n}, Ω = max{ωi : 1, n} và a = min{ai : 1, n}.
Cho u : C → R là hàm lồi, nửa liên tục dưới, λ > 0 tùy ý. Với mỗi x ∈ C
hàm
y → λu(y) +

1
y−x
2

2

là hàm lồi, nửa liên tục dưới. Toán tử
P roxu (x) : C → C
x → argmin λu(x) +

1
y−x
2

được xác định và được gọi là toán tử gần kề của u.
10

2

:y∈C


Định nghĩa 1.1.8 ([3]). Song hàm f : C × C → R được gọi là liên tục τ Holder một phần trên C nếu tồn tại hằng số L > 0 và τ ∈ (0, 1] sao cho với
mọi x, y, z ∈ C, một trong hai điều kiện sau được thỏa mãn
(i) |f (x, y) − f (z, y)| ≤ L x − z τ .
(ii) |f (x, y) − f (x, z)| ≤ L y − z τ .
Ví dụ 1.1.4. Cho
f : [0, +∞) × [0, +∞) → R
√
2 √
(x, y) → e−x ( y − x).
Ta sẽ chứng minh f liên tục 12 -Holder một phần. Thật vậy, với mọi x, y, z ∈
[0, +∞), ta có

√
2 √
|f (x, y) − f (x, z)| = e−x | y − z|.

Ta chứng minh

√
√
| y − z| ≤

|y − z|.

Điều này tương đương với việc chứng minh
√
2 yz ≥ y + z − |y − z|.
Thật vậy, nếu y ≥ z thì ta có
y + z − |y − z| = y + z − y + z = 2z.
Từ đó suy ra bất đẳng thức sau luôn đúng
√
2 yz ≥ 2z.
Ngược lại, nếu y < z, ta có
y + z − |y − z| = y + z + y − z = 2y.
Từ đó, ta cũng suy ra được bất đẳng thức sau luôn đúng
√
2 yz ≥ 2y.
Vậy ta đã chứng minh được
√
2 yz ≥ y + z − |y − z|.
11


Do đó, với mọi x, y, z ∈ [0, +∞), ta có
|f (x, y) − f (x, z)| ≤

|y − z|

Vì vậy f liên tục 21 -Holder một phần.
Định nghĩa 1.1.9 (Xem [2]). Dưới vi phân của hàm u : H → R tại x là tập
∂u(x) := {ω ∈ H : u(y) − u(x) ≥ ω, y − x : y ∈ H}.

Ví dụ 1.1.5.

1. Cho hàm f (x) = x , x ∈ Rn . Khi đó
∂f (0) = {x∗ ∈ Rn : x∗ , x ≤ x ∀x ∈ Rn }.

2. Cho hàm f (x) = |x|, x ∈ R. Ta có
∂f (0) = {x∗ ∈ R : x∗ , x ≤ |x| ∀x ∈ R}
= [−1, 1].
Định nghĩa 1.1.10 (Xem [2]). Nón pháp tuyến của C tại x ∈ C được định
nghĩa bởi
NC (x) := {q ∈ q, y − x ≤ 0 ∀y ∈ C}.
Để chứng minh các kết quả ở chương tiếp theo, chúng ta cần bổ đề sau.
Bổ đề 1.1.1 (Xem [3]). Cho f : C → R là hàm lồi, khả dưới vi phân trên C.
Khi đó, x∗ là nghiệm của bài toán
min{f (x) : x ∈ C}
nếu và chỉ nếu 0 ∈ ∂f (x∗ ) + NC (x∗ ).

1.2

Bài toán cân bằng

Ngày nay, trong xu thế hội nhập của thế giới và mối liên quan mật thiết
của các đối tác, một phương án tối ưu có thể tốt cho đối tác này nhưng lại
không thỏa mãn đối tác khác. Ta xét mơ hình có nhiều đối tác tham gia, trong
đó mỗi đối tác đều có một hàm lợi ích riêng. Giả sử mỗi quyết định của đối
tác này phụ thuộc vào chiến lược của đối tác khác. Thơng thường lợi ích của
12


đối tác hay mâu thuẫn, thậm chí đối kháng nhau. Trong trường hợp này, một

phương án tối ưu cho tất cả các đối tác thường là không tồn tại. Khi đó, người
ta nghĩ đến một phương án mang tính cân bằng để "thu hút" được mọi đối
tác, theo nghĩa nếu bất kỳ một đối tác nào đó ra khỏi điểm cân bằng, thì đối
tác đó sẽ bị thua thiệt. Ta sẽ hiểu rõ thêm về khái niệm cân bằng khi xét bài
tốn cân bằng Nash trong trị chơi khơng hợp tác, sẽ trình bày dưới đây. Một
cách hình thức ta sẽ mơ tả bài tốn cân bằng như sau: Cho C là tập con lồi,
đóng, khác rỗng trong khơng gian Hilbert thực H và f : C × C → R là song
hàm phi tuyến. Bài toán cân bằng liên kết f và C, viết tắt EP (f, C), được
phát biểu như sau:
Tìm x∗ ∈ C thỏa mãn f (x∗ , y) ≥ 0 ∀y ∈ C,
trong đó f (x, x) = 0 với mọi x ∈ C. Chúng ta gọi các song hàm thỏa mãn tính
chất này là song hàm cân bằng trên C. Như thường lệ, ta sẽ gọi C là tập chấp
nhận được và f là song hàm cân bằng của bài toán EP (f, C).
Về mặt hình thức, bài tốn này khá đơn giản, tuy nhiên nó bao hàm nhiều
lớp bài tốn liên quan thuộc khá nhiều lĩnh vực, ví dụ như bài tốn tối ưu hóa,
bất đẳng thức biến phân, bài tốn điểm n ngựa, bài tốn cân bằng Nash
trong lý thuyết trị chơi khơng hợp tác, bài toán điểm bất động, . . .
1.2.1

Bài tốn tối ưu hóa

Xét bài tốn
min{ϕ(x)|x ∈ C}.
Đặt
f (x, y) := ϕ(y) − ϕ(x).
Hiển nhiên
ϕ(x) ≤ ϕ(y) ∀y ∈ C ⇔ f (x, y) ≥ 0 ∀y ∈ C.
Như vậy, bài toán tối ưu trên là một trường hợp riêng của bài toán EP (f, C).

13

1.2.2

Bất đẳng thức biến phân
n

Cho F : C → 2R là một ánh xạ đa trị (tức là mỗi x ∈ C, giá trị F (x) là
một tập hợp trong Rn ). Xét bài tốn
Tìm x∗ ∈ C, v ∗ ∈ F (x) sao cho v ∗ , y − x∗ ≥ 0 ∀y ∈ C.

(VI)

Ta có thể minh họa bất đẳng thức biến phân (VI) dưới góc độ mơ hình kinh tế
như sau. Giả sử C là một tập hợp các chiến lược (tập ràng buộc) các phương
án sản xuất có thể lựa chọn. Với mỗi phương án sản xuất x ∈ C, tập (ánh xạ
giá) F (x) là tập hợp các giá thành chi phí có thể ứng với mỗi phương án x. Khi
đó, bài tốn (VI) chính là bài tốn tìm phương án sản xuất x∗ trong tập chiến
lược C và giá v ∗ tương ứng với x∗ sao cho chi phí là thấp nhất. Trong trường
hợp, ánh xạ giá không phụ thuộc vào phương án sản xuất, tức là F (x) = c với
mọi x ∈ C, khi đó, bất đẳng thức biến phân (VI) trở thành bài toán quy hoạch
quen thuộc
min{cT x : x ∈ C}.

(LP)

Trong bài tốn quy hoạch này, véctơ giá c khơng phụ thuộc vào phương án sản
xuất.
Về mặt hình học, bất đẳng thức biến phân (VI) là bài tốn tìm một điểm
x∗ ∈ C sao cho trong tập F (x∗ ) có một phần tử là véctơ pháp tuyến (ngồi)

của tập C tại điểm x∗ .
Giả sử x ∈ C, tập F (x) lồi, compact, khác rỗng. Với mọi x, y ∈ C, để mơ
tả bài tốn (VI) về bài tốn cân bằng, ta đặt
f (x, y) := max v, y − x .
v∈F (x)

Từ đây suy ra f (x, y) ≥ 0 với mọi y ∈ C khi và chỉ khi x là nghiệm của bài
toán (VI). Một trường hợp riêng quan trọng của bài toán (VI) là khi C = Rn+
và F đơn trị. Khi đó, bài tốn (VI) tương đương với bài toán sau và được gọi
là bài tốn bù
Tìm x ≥ 0 sao cho F (x) ≥ 0, xT F (x) = 0.
Ta chỉ ra rằng bài tốn (CP) tương đương với bất đẳng thức biến phân
Tìm x ≥ 0 sao cho F (x), y − x ≥ 0 ∀y ≥ 0.
14

(CP)


Sự tương đương ở đây được hiểu theo nghĩa là tập nghiệm của hai bài toán này
trùng nhau. Thật vậy, nếu x là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân
thì
F (x), y − x ≥ 0 ∀y ≥ 0.
Lần lượt chọn y = x + ei (véctơ đơn vị thứ i), ta có
Fi (x) = F (x), x + ei − x) = F (x), ei ≥ 0.
Vậy, Fi (x) ≥ 0 với mọi i. Ngoài ra nếu chọn y = 0, ta có
0 ≤ − F (x), x ≤ 0.
Suy ra xT F (x) = 0. Điều ngược lại, mọi nghiệm của bài toán bù đều là nghiệm
của bất đẳng thức biến phân là hiển nhiên.
Bài toán quy hoạch lồi
min{u(x) : x ∈ C}

(CO)

trong đó u là một hàm khả dưới vi phân trên tập lồi C, có thể mơ tả dưới dạng
bất đẳng thức biến phân (VI), với F = ∂u. Thật vậy, khi F = ∂u, bài tốn
(VI) viết được là
Tìm x∗ ∈ C, v ∗ ∈ ∂u(x∗ ) sao cho v ∗ , y − x∗ ≥ 0 ∀y ∈ C.
Nếu x∗ là nghiệm của bất đẳng thức biến phân, do v ∗ ∈ ∂u(x∗ ) nên theo định
nghĩa của dưới vi phân, ta có
v ∗ , y − x∗ + f (x∗ ) ≤ f (y) ∀y ∈ C.
Mặt khác
v ∗ , y − x∗ ≥ 0 ∀y ∈ C.
Từ đây suy ra f (x∗ ) ≤ f (y) với mọi y ∈ C. Vậy x∗ là một nghiệm của bài toán
(CO). Trái lại, nếu x∗ là nghiệm của bài tốn (CO), thì theo điều kiện cần và
đủ tối ưu của quy hoạch lồi, ta có
0 ∈ ∂u(x∗ ) + NC (x∗ ).
Từ đây theo định nghĩa nón pháp tuyến của C tại x∗ ta suy ra x∗ là nghiệm
của bất đẳng thức biến phân (VI) với F = ∂u.
15


1.2.3

Bài toán điểm bất động Kakutani

Cho F : C → 2C . Điểm x được gọi là điểm bất động của F nếu x ∈ F (x).
Giả sử với mọi x ∈ C, F (x) lồi, compact, khác rỗng. Khi đó, bài tốn tìm một
điểm bất động của F có thể mơ tả dưới dạng bài tốn cân bằng EP (f, C). Để
chứng tỏ điều này, với mỗi x, y ∈ C, ta đặt
f (x, y) := max x − v, y − x .

v∈F (x)

Nếu x ∈ F (x) thì theo định nghĩa của f (x, y), ta có
f (x, y) ≥ 0 ∀y ∈ C.
Ngược lại, giả sử x là nghiệm của bài toán EP (f, C), tức là x ∈ C và f (x, y) ≥ 0
với mọi y ∈ C. Khi đó, lấy y là hình chiếu của x lên tập lồi đóng F (x). Theo
tính chất của hình chiếu, ta có
x − y, y − x = max x − v, y − x .
v∈F (x)

Do x là nghiệm của EP (f, C) nên
0 ≤ f (x, y) = x − y, y − x = − x − y 2 .
Suy ra x = y ∈ F (x). Vậy x là điểm bất động của F .
1.2.4

Cân bằng Nash trong trị chơi khơng hợp tác

Xét một trị chơi có p người chơi (đấu thủ). Giả sử Cj ⊂ Rpj là tập các
phương án mà đấu thủ thứ j có thể lựa chọn trong đó (gọi là tập chiến lược).
Đặt C := C1 × C2 × · · · × Cp và gọi ϕj : C → R là hàm lợi ích của đấu thủ thứ
j khi đấu thủ này chọn phương án chơi xj ∈ Cj , còn các đấu thủ k khác chọn
phương án chơi là xk ∈ Ck với mọi k = j.
Định nghĩa 1.2.1. Ta gọi x∗ = (x∗1 , . . . , x∗p ) là điểm cân bằng của ϕ =
(ϕ1 , . . . , ϕp ) trên tập C := C1 × C2 × · · · × Cp nếu với mọi j và mọi yj ∈ Cj , ta
có
ϕj (x∗1 , . . . , x∗j−1 , yj , x∗j+1 , . . . , x∗p ) ≤ ϕj (x∗1 , . . . , x∗j−1 , x∗j , x∗j+1 , . . . , x∗p ).
16


Định nghĩa này cho thấy rằng nếu một đấu thủ thứ j nào đó rời khỏi phương

án cân bằng, trong khi các đấu thủ khác vẫn giữ phương án cân bằng thì đấu
thủ j sẽ bị thua thiệt. Đây chính là lý do mà khái niệm cân bằng này được chấp
nhận trong thực tế. Dưới đây bài toán cân bằng Nash sẽ được hiểu là bài tốn
tìm một điểm cân bằng của ϕ trên C. Ta sẽ ký hiệu bài toán này là N (ϕ, C).
Bài toán cân bằng Nash có thể mơ tả dưới dạng bài tốn cân bằng EP (f, C).
Thật vậy, xây dựng song hàm f : C × C → R bằng cách đặt
p

[ϕj (x) − ϕj (x1 , . . . , xj−1 , yj , xj+1 , . . . , xp )].

f (x, y) :=
j=1

Nếu x∗ là điểm cân bằng Nash thì f (x∗ , y) ≥ 0 với mọi y ∈ C. Ngược lại, giả
sử x∗ ∈ C là nghiệm của bài toán EP (f, C), tức là
f (x∗ , y) ≥ 0 ∀y ∈ C.
Ta sẽ chứng tỏ x∗ = (x∗1 , . . . , x∗p ) với x∗j ∈ Cj là một điểm cân bằng Nash. Thật
vậy, nếu trái lại, sẽ tồn tại j và một yj ∈ Cj sao cho
ϕj (x∗1 , . . . , x∗j−1 , x∗j , x∗j+1 , . . . , x∗p ) < ϕj (x∗1 , . . . , x∗j−1 , yj , x∗j+1 , . . . , x∗p ).
Khi đó, với phương án y = (x∗1 , . . . , x∗j−1 , yj , x∗j+1 , . . . , x∗p ), theo định nghĩa của
hàm f , ta có
f (x∗ , y) = ϕj (x∗1 , . . . , x∗j−1 , yj , x∗j+1 , . . . , x∗p ) − ϕj (x∗ ) < 0.
Điều này mâu thuẫn với x∗ là nghiệm của bài toán EP (f, C).
1.2.5

Bài toán điểm yên ngựa

Cho A ⊆ H, B ⊆ H và L : A × B → R. Bài tốn điểm n ngựa là bài tốn
tìm (x∗ , y ∗ ) ∈ A × B sao cho
L(x∗ , y) ≤ L(x∗ , y ∗ ) ≤ L(x, y ∗ ) ∀(x, y) ∈ A × B.

Một điểm (x∗ , y ∗ ) ∈ A × B thỏa mãn bất đẳng thức trên gọi là điểm yên ngựa
của L trên A × B. Ta chỉ ra rằng bài tốn điểm n ngựa có thể mơ tả dưới
dạng bài toán cân bằng. Thật vậy, với mỗi u = (x, y)T , v = (x , y)T , ta đặt
C := A × B, f (u, v) := L(x , y) − L(x, y ).
17


Khi đó, nếu u∗ là nghiệm của bài tốn cân bằng EP (f, C), tức là
u∗ ∈ A × B, f (u∗ , v) ≥ 0 ∀v ∈ C
thì
L(x , y ∗ ) ≥ L(x∗ , y ) ∀x ∈ A, y ∈ B.
Vậy (x∗ , y ∗ ) là điểm yên ngựa. Điều ngược lại, nếu (x∗ , y ∗ ) là điểm yên ngựa
của L trên A × B, thì u∗ = (x∗ , y ∗ ) là lời giải của bài toán cân bằng được suy
ra từ định nghĩa.

1.3

Sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng

Trong mục này, chúng ta nói đến sự tồn tại, tính duy nhất nghiệm của bài
toán cân bằng.
Mệnh đề 1.3.1 (Xem [1]). Cho C là một tập con lồi, compact, khác rỗng trong
không gian Hilbert H và song hàm cân bằng f : C × C → R có các tính chất
(i). f (., y) nửa liên tục trên với mọi y ∈ C.
(ii). f (x, .) lồi, nửa liên tục dưới và khả dưới vi phân trên C với mọi x ∈ C.
Khi đó, bài tốn EP (f, C) có nghiệm.
Chứng minh. Với mỗi x ∈ C ta gọi S(x) là tập nghiệm của bài toán
min{f (x, y) : y ∈ C}.

(CO)

Do C compact và f (x, .) nửa liên tục dưới nên theo định lý Weirerstrass,
bài toán này tồn tại nghiệm. Hơn nữa, do C lồi, compact, f (x, .) lồi nên S(x)
lồi, compact. Theo định lý cực đại Berge, ánh xạ S nửa liên tục trên. Vậy theo
định lý điểm bất động Kakutani, tồn tại x∗ ∈ C thỏa mãn x∗ ∈ S(x∗ ).
Bây giờ, ta sẽ chỉ ra x∗ là nghiệm của bài toán cân bằng EP (f, C). Thật
vậy, do f (x, .) lồi và khả dưới vi phân trên C, theo điều kiện cần và đủ của quy
hoạch lồi, ta có
0 ∈ ∂2 f (x∗ , x∗ ) + NC (x∗ ).

18


Theo định nghĩa của dưới vi phân và nón pháp tuyến, tồn tại v ∗ ∈ ∂2 f (x∗ , x∗ )
thỏa mãn
v ∗ , y − x∗ ≥ 0 ∀y ∈ C.
Do v ∗ ∈ ∂2 f (x∗ , x∗ ) nên
v ∗ , y − x∗ ≤ f (x∗ , y) − f (x∗ , x∗ ) = f (x∗ , y) ∀y ∈ C.
Vậy f (x∗ , y) ≥ 0 với mọi y ∈ C. Điều này chứng tỏ x∗ là nghiệm của bài
toán EP (f, C).
Hệ quả 1.3.1 (Xem [1]). Cho C là một tập lồi đóng (khơng cần compact) và
song hàm cân bằng f như ở mệnh đề trên. Giả sử điều kiện bức (C1 ) sau đây
được thỏa mãn
Tồn tại tập compact B sao cho
C ∩ B = ∅ ∀x ∈ C\B, ∃y ∈ C : f (x, y) < 0.
Khi đó, bài tốn EP (f, C) có nghiệm
Mệnh đề 1.3.2 (Xem [1]). Cho C là tập lồi, đóng, khác rỗng và f : C ×C → R
là song hàm cân bằng. Khi đó
(i) Nếu f đơn điệu chặt trên C, thì bài tốn cân bằng EP (f, C) có nhiều nhất
một nghiệm.

(ii) Nếu f (., y) nửa liên tục trên với mọi y ∈ C, f (x, .) lồi, nửa liên tục dưới
với mọi x ∈ C và f đơn điệu mạnh trên C, thì bài tốn EP (f, C) tồn tại
duy nhất nghiệm.
Chứng minh.

(i) Giả sử EP (f, C) có hai nghiệm x∗ , y ∗ ∈ C. Khi đó
f (x∗ , y ∗ ) ≥ 0 và f (y ∗ , x∗ ) ≥ 0.

Thế nhưng, nếu f (x∗ , y ∗ ) ≥ 0 thì theo tính đơn điệu chặt ta phải có
f (y ∗ , x∗ ) < 0. Điều này mâu thuẫn với f (y ∗ , x∗ ) ≥ 0.
(ii) Lấy x0 ∈ C bất kỳ. Do f (x0 , .) nửa liên tục dưới và f (x0 , x0 ) = 0 nên tồn
tại µ sao cho
f (x0 , v) ≥ µ ∀v ∈ C ∩ B(x0 , 1).
19


trong đó B(x0 , 1) ký hiệu là hình cầu tâm x0 , bán kính 1. Ta sẽ chỉ ra f
thỏa mãn điều kiện bức (C1). Thật vậy, với x ∈ C\B(x0 , 1) bất kỳ, ta có
λ=

x0

1
< 1.
−x

Khi đó, v = λx + (1 − λ)x0 ∈ ∩B(x0 , 1). Theo tính lồi của f (x0 , .), ta thu
được
f (x0 , v) ≤ λf (x0 , x) + (1 − λ)f (x0 , x0 ) = λf (x0 , x).
1

Vì λ = 0
nên ta suy ra
x −x
f (x0 , x) ≥ µ x0 − x .
Từ đây áp dụng tính đơn điệu mạnh (với hằng số γ) của f , ta có
f (x, x0 ) ≤ −f (x0 , x) − γ x − x0

2

≤ −µ x0 − x − γ x − x0

2

≤ − x0 − x (µ + γ x − x0 ).
Do đó nếu x − x0 > −

µ
thì
γ

f (x, x0 ) ≤ −µ x0 − x − γ x − x0
Bây giờ lấy tập compact U := C ∩ B(x0 , ) với

2

< 0.

> max{1, −µ, γ}, ta sẽ

có f (x, x0 ) < 0 ∀x ∈ C\U . Vậy tính bức của f được thỏa mãn. Do đó bài

tốn EP (f, C) có nghiệm. Tính duy nhất nghiệm được suy ra từ phần (i)
do tính đơn điệu mạnh kéo theo đơn điệu chặt.

Bài tốn cân bằng EP (f, C) có mối liên hệ chặt chẽ với bài toán sau, được
gọi là bài toán đối ngẫu của EP (f, C)
Tìm y ∗ ∈ C sao cho f (x, y ∗ ) ≤ 0 ∀x ∈ C.

(DEP)

Ta ký hiệu tập nghiệm của bài toán đối ngẫu là DS. Mối quan hệ giữa hai
bài toán này được thể hiện ở mệnh đề dưới đây.
Mệnh đề 1.3.3 (Xem [1]). Giả sử f : C × C → R là song hàm cân bằng. Khi
đó
20