(Luận văn thạc sĩ) một số dạng toán về xác định dãy số và giới hạn dãy số luận văn thạc sĩ toán học 60 46 01 13

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
======================

TRẦN THỊ THANH THỦY

MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ XÁC ĐỊNH DÃY SỐ
VÀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Chuyên ngành:PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số: 60 46 01 13

Người hướng dẫn khoa học
GS.TSKH.NGND. NGUYỄN VĂN MẬU

HÀ NỘI - 2013


Lời nói đầu
Dãy số là một chuyên đề quan trọng trong chương trình chun tốn ở các
trường THPT chun. Các bài toán liên quan đến dãy số thường là những bài tốn
khó, thường gặp trong các kì thi học sinh giỏi mơn Tốn cấp quốc gia, khu vực, quốc
tế, Olympic 30/04 và Olympic toán Sinh viên. Các dạng toán về dãy số rất phong phú
và đa dạng và cũng rất phức hợp nên khó phân loại và hệ thống hóa thành các chuyên
đề riêng biệt. Mục tiêu của luận văn này nhằm đề cập tới một số vấn đề cơ bản của
dãy số liên quan đến chương trình tốn bậc trung học phổ thông. Nội dung của đề tài:"
Một số dạng toán về xác định dãy số và giới hạn của dãy số" là hệ thống lại một số
phương pháp giải các bài toán về dãy số, ứng dụng dãy số trong giải một số bài toán
và một số cách xây dựng bài toán mới về dãy số. Để giải quyết được các bài toán này,

ta cần những kiến thức tổng hợp về dãy số, tính chất của dãy số, giới hạn của dãy
số,...Mục tiêu của luận văn là hệ thống phương pháp và xây dựng bài toán minh họa,
tổng quát về các vấn đề đã nêu ở trên.
Bố cục luận văn gồm 4 chương.
• Chương 1. Cơ sở lý thuyết.
Trong chương này, tơi trình bày khái niệm cơ bản về dãy số gồm một số định
nghĩa và các định lý cơ bản, một vài các dãy số đặc biệt và một số bài tốn áp
dụng.
• Chương 2. Một số phương pháp giải bài tốn tìm cơng thức số hạng
tổng qt của dãy số.
Mục đích của chương này trình bày các phương pháp tìm cơng thức số hạng tổng
qt của dãy số như: Phương pháp quy nạp, phương pháp thế lượng giác, phương
pháp sử dụng phương trình sai phân và tính chất của hàm số, kỹ thuật tuyến
tính hóa một số phương trình sai phân.
• Chương 3. Một số phương pháp giải bài tốn tìm giới hạn của dãy số.
Chương này hệ thống một số phương pháp tìm giới hạn của dãy số như: phương
pháp sử dụng định nghĩa và tiêu chuẩn Cauchy, xác định số hạng tổng quát rồi
tính giới hạn, phương pháp sử dụng tính đơn điệu, nguyên lý giới hạn kẹp, phương
pháp sai phân, phương pháp sử dụng định lý Stolz và định lý Cesaro.
• Chương 4. Một số ứng dụng của dãy số.
Chương này trình bày một số ứng dụng của dãy số để giải phương trình hàm, bất
phương trình hàm, để chứng minh bất đẳng thức và một số phương pháp thiết
lập bài toán mới về dãy số.

1


Lời cảm ơn
Tác giả xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến GS.TSKH.NGND.
Nguyễn Văn Mậu. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp các

thắc mắc của học trò trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và giúp đỡ tác giả hoàn
thành luận văn này.
Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới các thầy giáo, cô giáo Khoa
Toán-Cơ-Tin học và Semina Phương pháp toán sơ cấp của Trường Đại học Khoa học
Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội đã nhận xét góp ý cho bản luận văn này.
Tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã luôn quan tâm, động viên cổ vũ và tạo điều
kiện để tác giả có thể hồn thành nhiệm vụ của mình.
Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng và nghiêm túc trong học tập và nghiên cứu khoa
học, song trong q trình thực hiện khơng tránh khỏi những sơ suất. Vì vậy, tác giả
rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy giáo, cơ giáo và các bạn đồng
nghiệp để bản luận văn được hoàn thiện hơn.
Tác giả xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 20 tháng 12 năm 2013

2


Bảng kí hiệu
N
N∗
Z
Z+
Z∗+
R
R∗
R+
R∗+
C

tập

tập
tập
tập
tập
tập
tập
tập
tập
tập

các số tự nhiên
các số tự nhiên khác không
các số nguyên
số nguyên không âm
số nguyên dương
số thực
số thực khác không
số thực không âm
số thực dương
số phức

3


Mục lục
Lời mở đầu

1

Bảng kí hiệu

3

1 Cơ sở lý thuyết
1.1 Định nghĩa và các định lý cơ bản . . . . . . .
1.2 Một vài dãy số đặc biệt . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Cấp số cộng . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Cấp số nhân . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Cấp số điều hòa . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Dãy Fibonacci . . . . . . . . . . . . . .
1.2.5 Dãy Farey . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.6 Dãy số dạng xn+1 = f (xn ) . . . . . . .
1.2.7 Dãy số dạng xn+1 = xn ± (xn )α và định
1.3 Một số bài toán áp dụng . . . . . . . . . . . .

. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
lý trung
. . . . .

. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .

. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
bình Cesaro
. . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

1

1
4
4
4
5
5
6
6
7
7

2 Một số phương pháp giải bài tốn tìm cơng thức số hạng tổng quát
của dãy số
2.1 Phương pháp quy nạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Phương pháp thế lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Một số định lý bổ sung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Một số bài toán được định hướng bởi các công thức lượng giác .
2.3 Phương pháp sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Định nghĩa sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Phương trình sai phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Nghiệm của phương trình sai phân . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.4 Một số bài tập vận dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Tuyến tính hóa một số phương trình sai phân . . . . . . . . . . . . . .

16
16
20
20
21
28

28
28
29
32
36

3 Một số phương pháp giải bài tốn tìm giới hạn của dãy số
3.1 Phương pháp sử dụng định nghĩa và tiêu chuẩn Cauchy . . . .
3.2 Phương pháp xác định số hạng tổng quát rồi tính giới hạn . .
3.2.1 Phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Một số bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Phương pháp sử dụng tính đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Phương pháp sử dụng nguyên lý giới hạn kẹp . . . . . . . . .
3.5 Phương pháp sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43
43
46
46
46
51
57
62

4

.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.


3.6

Phương pháp sử dụng định lý Stolz và định lý Cesaro . . . . . . . . . .

68

4 Một số ứng dụng của dãy số
4.1 Ứng dụng của dãy số để giải phương trình hàm, bất phương trình hàm
4.2 Ứng dụng của dãy số để chứng minh bất đẳng thức . . . . . . . . . . .
4.3 Một số phương pháp thiết lập bài toán mới về dãy số . . . . . . . . . .
4.3.1 Xây dựng dãy số là nghiệm của một họ phương trình . . . . . .

71
71
75
81
81

Kết luận

85

Tài liệu tham khảo

86

5


Chương 1
Cơ sở lý thuyết
Trong chương này, tơi trình bày khái niệm cơ bản về dãy số gồm một số định nghĩa
và các định lý cơ bản, một vài các dãy số đặc biệt và một số bài toán áp dụng.

1.1

Định nghĩa và các định lý cơ bản

Định nghĩa 1.1. Dãy số (thực) là một hàm số xác định trên tập con của tập số tự
nhiên Với M ⊂ N, thay cho ký hiệu
u:M→R
n → u(n)
ta thường dùng ký hiệu (un )n∈M , {un }n∈M , (un ) hay {un }.
Định nghĩa 1.2 ([1]-[3]). Cho dãy un , n ∈ N .
• Dãy un được gọi là dãy đơn điệu tăng nếu un ≤ un+1 ∀n ∈ N.
• Dãy (un ) được gọi là dãy (đơn điệu) giảm nếu un ≥ un+1 ∀n ∈ N.
• Dãy (un ) được gọi là dãy (đơn điệu) tăng nghiêm ngặt nếu un < un+1 ∀n ∈ N.
• Dãy (un ) được gọi là dãy (đơn điệu) giảm nghiêm ngặt nếu un > un+1 ∀n ∈ N.
Nhận xét 1.1.

• Nếu (xn ) tăng, (yn ) tăng thì (xn + yn ) tăng .

• Nếu (xn ) giảm, (yn ) giảm thì (xn + yn ) giảm.

• Nếu (xn ) tăng thì (−xn ) giảm. Và nếu (xn ) giảm thì (−xn ) tăng.
• Nếu hai dãy dương (xn ), (yn ) cùng tăng (giảm) thì (xn yn ) tăng (giảm).
• Một dãy có thể khơng tăng, cũng khơng giảm. Ví dụ xn = (−1)n ∀n ∈ N.

1


Định nghĩa 1.3 ([1]-[3]). Cho dãy số (xn ) n ∈ N.
• Dãy (xn ) được gọi là bị chặn trên, nếu tồn tại hằng số M sao cho
xn ≤ M

∀n.

(1.1)

• Dãy (xn ) được gọi là bị chặn dưới, nếu tồn tại hằng số m sao cho
xn ≥ m

∀n.

(1.2)

Các số M thỏa mãn (1.1) được gọi là cận trên của dãy số, số bé nhất trong các cận
trên được gọi là cận trên đúng của (un ), ký hiệu sup un . Các số m thỏa mãn (1.2) được
n

gọi là cận dưới của dãy số, số lớn nhất trong các cận dưới được gọi là cận dưới đúng
của (un ), ký hiệu inf un .
n

Một dãy số vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới được goi là dãy bị chặn.
Định lý 1.1. Dãy (un ) bị chặn khi và chỉ khi tồn tại hằng số c ≥ 0 sao cho
|un | ≤ c

∀n.

Định nghĩa 1.4 ([1]-[3]). Dãy số {un } được gọi là một dãy số tuần hoàn (cộng tính)
nếu tồn tại số nguyên dương l sao cho
un+l = un , ∀n ∈ N.

(1.3)

Số nguyên dương l nhỏ nhất để dãy {un } thỏa mãn (1.3) được gọi là chu kì cơ sở của
dãy.
Dãy {un } được gọi là một dãy phản tuần hồn (cộng tính) nếu tồn tại số nguyên dương
l sao cho
un+l = −un , ∀n ∈ N.

(1.4)

Số nguyên dương l nhỏ nhất để dãy {un } thỏa mãn (1.4) được gọi là chu kì cơ sở của
dãy.
Nhận xét 1.2. Dãy tuần hoàn chu kỳ 1 khi và chỉ khi đó là dãy hằng.
Định nghĩa 1.5 ([1]-[3]). Dãy {un } được gọi là dãy tuần hoàn nhân tính nếu tồn tại
số nguyên dương s (s > 1) sao cho
usn = un , ∀n ∈ N.

(1.5)

Số nguyên dương s nhỏ nhất để dãy số {un } thỏa mãn (1.5) được gọi là chu kì cơ sở

của dãy tuần hồn nhân tính. Dãy {un } được gọi là dãy phản tuần hồn nhân tính
nếu tồn tại số ngun dương s (s > 1) sao cho
usn = −un , ∀n ∈ N.
2

(1.6)


Số nguyên dương s nhỏ nhất để dãy số {un } thỏa mãn (1.6) được gọi là chu kì cơ sở
của dãy phản tuần hồn nhân tính.
• Dãy phản tuần hồn chu kì l là dãy tuần hồn chu kì 2l.

Nhận xét 1.3.

• Dãy phản tuần hồn nhân tính chu kì s là dãy tuần hồn chu kì s2
Định nghĩa 1.6. Dãy số (un ) được gọi là hội tụ về a, ký hiệu lim un = a, nếu với mọi
n→∞

ε > 0 cho trước tùy ý, tìm được chỉ số n0 sao cho với mọi n ≥ n0 đều có |un − a| < ε,
tức là
lim un = a ⇔ ∀M > 0, ∃n0 ∈ N : ∀n > n0 , |un − a| < ε.

n→∞

Định lý 1.2 (Tính duy nhất của giới hạn). Giới hạn của một dãy hội tụ là duy nhất.
Định lý 1.3 (Tính thứ tự của dãy hội tụ). Cho lim xn =
n→∞

• Nếu a >

thì ∃n0 ∈ N : ∀n ≥ n0 ⇒ a > xn .

• Nếu a <

thì ∃n0 ∈ N : ∀n ≥ n0 ⇒ a < xn .

và a ∈ R. Khi đó

Định lý 1.4 (Chuyển qua giới hạn trong bất đẳng thức). Cho lim xn =
n→∞

và a ∈ R.

Khi đó
• Nếu ∃n0 ∈ N : ∀n ≥ n0 ⇒ xn ≥ a thì

≥ a.

• Nếu ∃n0 ∈ N : ∀n ≥ n0 ⇒ xn ≤ a thì

≤ a.

Định lý 1.5 (Định lý giới hạn kẹp giữa). Cho ba dãy số (xn ), (yn ), (zn ) thỏa mãn
• ∃n0 ∈ N : ∀n ≥ n0 ⇒ zn ≤ xn ≤ yn .
• Các dãy (yn ), (zn ) cùng hội tụ đến .
Khi đó dãy (xn ) hội tụ và lim xn = .
n→∞

Định lý 1.6 (Tính chất đại số của dãy hội tụ). Cho hai dãy hội tụ (xn ), (yn ) và
lim xn = a; lim yn = b. Khi đó

n→∞

n→∞

• Dãy (−xn ) hội tụ và lim (−xn ) = −a.
n→∞

• Dãy (|xn |) hội tụ và lim |xn | = |a|.
n→∞

• Dãy (xn + yn ) hội tụ và lim (xn + yn ) = a + b.
n→∞

• Dãy (xn − yn ) hội tụ và lim (xn − yn ) = a − b.
n→∞

3


• Dãy (kxn ) hội tụ và lim (kxn ) = ka.
n→∞

• Dãy (xn · yn ) hội tụ và lim (xn · yn ) = ab.
n→∞

• Với b = 0 thì dãy (
lim (

n→∞

1
1
)= .
yn
b

1
) được xác định từ một chỉ số nào đó là hội tụ và
yn

xn
• Với b = 0 thì dãy ( ) được xác định từ một chỉ số nào đó là hội tụ và
yn
xn
a
lim ( ) = .
n→∞ yn
b
Định lý 1.7. Mọi dãy hội tụ đều bị chặn.
Định lý 1.8. Mọi dãy đơn điệu và bị chặn đều hội tụ.
Định lý 1.9 (Bolzano Veierstrass). Từ một dãy bị chặn, luôn rút ra được dãy con hội
tụ.
Định lý 1.10 (Tiêu chuẩn Cauchy). Dãy (xn ) hội tụ khi và chỉ khi ∀ε > 0 cho trước
tùy ý, tìm được chỉ số n0 sao cho với mọi m, n ≥ n0 đều có |xn − xm | < ε.

1.2

Một vài dãy số đặc biệt

1.2.1

Cấp số cộng

Định nghĩa 1.7. Dãy số u1 , u2 , u3 , . . . được gọi là một cấp số cộng với công sai d
(d = 0) nếu un = un−1 + d, ∀n = 2, 3, . . .
Tính chất 1.1. Dãy số {un } là cấp số cộng với cơng sai d thì:
• un = u1 + (n − 1)d và uk =

uk−1 + uk+1
với mọi k = 2, 3, . . .
2

• Nếu cấp số cộng hữu hạn phần tử u1 , u2 , . . . , un thì u1 + un = uk + un−k với mọi
k = 2, 3, . . . , n − 1.
• Sn = u1 + u2 + . . . . + un =

1.2.2

n
n
(u1 + un ) = [2u1 + (n − 1) d] .
2
2

Cấp số nhân

Định nghĩa 1.8. Dãy số u1 , u2 , u3 , . . . được gọi là một cấp số nhân với công bội q
(q = 0, q = 1) nếu un = un−1 .q với mọi n = 2, 3, . . .
Tính chất 1.2. Dãy số {un } là cấp số nhân với cơng bội q thì:

4


• un = u1 .q n−1 với mọi n = 2, 3, . . .
• u2k = uk−1 uk+1 với mọi k = 2, 3, . . .
u1 (q n − 1)
• Sn = u1 + u2 + · · · + un =
, (q = 1).
q−1
Nhận xét 1.4. Theo định nghĩa ta có:
i) Nếu {un } là một cấp số cộng và a > 0 thì dãy {vn } với vn = aun , ∀n ∈ N lập thành
một cấp số nhân.
ii) Nếu {un } là một cấp số nhân với số hạng dương và 0 < a = 1 thì dãy {vn } với
vn = loga un , ∀n ∈ N lập thành một cấp số cộng.
Nhận xét 1.5. Nếu |q < 1| thì {un } được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. Tổng của cấp
u1
số nhân lùi vơ hạn được tính theo cơng thức S =
.
1−q

1.2.3

Cấp số điều hòa

Định nghĩa 1.9. Dãy số {un } thỏa mãn điều kiện:
un =

2un−1 un+1
, ∀n > 1,
un−1 + un+1

được gọi là cấp số điều hòa.

1.2.4

Dãy Fibonacci

Định nghĩa 1.10. Dãy u1 , u2 , . . . được xác định như sau:
u1 = 1, u2 = 1
un = un−1 + un−2 , ∀n = 3, 4, . . .
được gọi là dãy Fibonacci.
Dãy Fibonacci có rất nhiều tính chất thú vị và xuất hiện một cách tự nhiên trong
nhiều lĩnh vực khác nhau. Bằng phương pháp sai phân có thể tìm được cơng thức tổng
qt của dãy là:
Cơng thức Binet.
√
1 1+ 5
un = √
2
5

n

5

√
1 1− 5
−√
2
5

n

.


1.2.5

Dãy Farey

Định nghĩa 1.11. Dãy Farey Fn với mỗi số nguyên dương n là tập hợp các phân số
a
tối giản dạng với 0 ≤ a ≤ b ≤ n và (a, b) = 1 sắp xếp theo thứ tự tăng dần.
b
0 1 1 1 2 1 3 2 3 4 1
; ; ; ; ; ; ; ; ; ;
.
Ví dụ 1.1. F5 =
1 5 4 3 5 2 5 3 4 5 1
1
p p
p”
Ngoại trừ F1 , Fn có số lẻ các phần tử và luôn nằm ở giữa. Gọi , và
là các
2
q q
q”
số hạng liên tiếp trong dãy Farey thì:
pq − qp = 1;

p
p + p”
.
=
q
q + q”

Số các số hạng N (n) trong dãy Farey được tính theo công thức:
n

N (n) = 1 +

ϕ(k) = 1 + φ(n),
k=1

trong đó ϕ (k) là hàm Euler của số nguyên dương k.

1.2.6

Dãy số dạng xn+1 = f (xn )
Đây là dãy số thường gặp nhất trong các bài toán về giới hạn dãy số. Dãy số

này sẽ hoàn toàn xác định khi biết giá trị ban đầu x0 . Do vậy sự hội tụ của dãy số sẽ
phụ thuộc vào tính chất của hàm số f (x) và x0 . Một đặc điểm quan trọng của dãy số
này là nếu a là giới hạn của dãy số thì a phải là nghiệm của phương trình x = f (x).
Chúng ta có một số kết quả cơ bản như sau:
Định lý 1.11. Cho dãy số (xn ) : x0 = α, xn+1 = f (xn ). Khi đó, nếu hàm số y = f (x)
đồng biến, thì dãy đã cho đơn điệu.
Khi đó, để biết dãy tăng hay giảm, cần xét dấu của biểu thức f (x) − x.
Định lý 1.12. Cho dãy số (xn ) : x0 = α, xn+1 = f (xn ). Khi đó, nếu hàm số y = f (x)

nghịch biến, thì dãy đã cho có hai dãy con (x2k ) và (x2k+1 ) đơn điệu ngược chiều.
Trong trường hợp này hai dãy con (x2n ) và (x2n+1 ) là hai dãy con kề nhau. Để biết
dãy nào tăng, dãy nào giảm ta xét dấu của f (f (x)) − x.
Định nghĩa 1.12. Cho D là một tập đóng và bị chặn. Ánh xạ f : D → D được gọi là
một ánh xạ co trên D nếu tồn tại số thực q, 0 < q < 1 sao cho |f (x) − f (y)| ≤ q |x − y|
với mọi x, y thuộc D.
Định lý 1.13. Nếu f (x) là một ánh xạ co trên D thì dãy số {xn } xác định bởi
x0 = a ∈ D, xn+1 = f (xn ) hội tụ. Giới hạn của dãy số là nghiệm duy nhất trên D của
phương trình x = f (x).
6


Dãy số dạng xn+1 = xn ± (xn )α và định lý trung bình
Cesaro

1.2.7

Định lý 1.14 (Định lý trung bình Cesaro). Nếu lim xn = a thì
n→∞

lim

n→∞

x1 + x2 + · · · + xn
= a.
n

Định lý này có thể phát biểu dưới dạng tương đương như sau:
xn

= a."
n→∞ n

"Nếu lim (xn+1 − xn ) = a thì lim
n→∞

1.3

Một số bài toán áp dụng

Bài toán 1.1. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để dãy số un lập thành một cấp
số cộng là dãy đã cho phải thỏa mãn hệ thức
2um+n = u2m + u2n ; ∀m, n ∈ N.

(1.7)

Lời giải Điều kiện cần. Giả sử dãy {un } là cấp số cộng với cơng sai d. Khi đó
un = u0 + (n − 1)d.
Cho nên
2um+n = 2u0 + 2(m + n − 1)d
và
u2n + u2m = u0 + (2n − 1)d + u0 + (2m − 1)d = 2[u0 + 2(m + n − 1)d].
Ta có điều cần phải chứng minh.
Điều kiện đủ. Giả sử dãy un thỏa mãn điều kiện (1.7). Ta chứng minh dãy un là
một cấp số cộng với công sai d = u1 − u0 .
Thay m = 0 vào (1.7) ta được
2un = u0 + u2n .
Suy ra
u2n = 2un − u0 .

(1.8)

u2m = 2um − u0 .

(1.9)

Tương tự cho n = 0, ta được

Thay (1.8) và (1.9) vào (1.7), ta thu được
2um+n = 2un + 2um − 2u0
7


hay
um+n = um + un − u0 .

(1.10)

Thay m = 1 vào (1.10), ta có
un+1 = un + u1 − u0 .
Vậy {un } là một cấp số cộng.
Bài toán 1.2. Chứng minh rằng để 3 số a, b, c là những số hạng của cùng một cấp số
cộng, điều kiện cần và đủ là tồn tại 3 số nguyên khác không p, q, r sao cho:
pa + qb + rc = 0
.
p+q+r =0

Lời giải.
Điều kiện cần. Giả sử a, b, c là các số hạng thứ k + 1, l + 1, m + 1 của một cấp số
cộng có số hạng đầu tiên u0 và cơng sai d. Từ hai đẳng thức đầu ta suy ra:

u0 = d

la − kb
b−a
; d=
.
l−k
l−k

Sau đó mang các giá trị này thay vào đẳng thức thứ 3 thì được:
(l − m)a + (m − k)b + (k − l)c = 0.
Vì vậy nếu đặt: p = l − m; q = m − k; r = k − l thì p, q, r là 3 số nguyên khác 0 thỏa
mãn đề bài.
Điều kiện đủ. Giả sử tồn tại các số p, q, r sao cho:
pa + qb + rc = 0,
p + q + r = 0.
Vai trò của các a, b, c như nhau nên có thể coi rằng: a ≥ b ≥ c . Khi đó q = −(p + r),
vậy pa − (p + r)b + rc hay p(a − b) = r(b − c).
Vì a − b ≥ 0; b − c ≥ 0 nên các số nguyên p, r có cùng dấu.
Thay p, q, r bởi −p, −q, −r, nếu cần có thể xem p, r là hai số ngun dương.
b−c
a−b
thì ta cũng có d =
.
Đặt d =
r
p
Vậy:
a − b = rd
b − c = pd.

8


Do đó:
b = c + pd
a = b + rd = c + (p + r)d.
Các đẳng thức này chứng tỏ rằng a, b, c là các số hạng thứ p + r + l và p + l của cấp
số cộng có số hạng đầu tiên c và cơng sai d.
Bài toán 1.3. Chứng minh rằng dãy số un của những diện tích được xác định bởi
hình dưới đây là một cấp số cộng:

Lời giải. Gọi u1 là diện tích hình trịn được xác định đầu tiên:
r12 .π
π
= .
2
2

u1 = S1 =

Từ đó, ta có diện tích hình sừng trâu kí hiệu u2 và
u2 = S2 − S1 =

3
2

2

.

π π
5π
− =
.
2
2
8

làm các thao tác tương tự với u3 , u4 , u5 , . . .

π
Ta nhận thấy hiệu số giữa hai số hạng liên tiếp của (un ) ln là .
8
π
Nói cách khác, (un ) chính là một cấp số cộng mà cơng sai là .
8
Bài tốn 1.4. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để các dãy số dương un lập thành
một cấp số nhân là dãy đã cho phải thỏa mãn hệ thức
u2m+n = u2m u2n , ∀m, n ∈ N.
Lời giải. Đặt lnun = bn , ∀n ∈ N, khi đó un = ebn và (1.11) có dạng
e2bm+n = eb2m +b2n , ∀m, n ∈ N.
9

(1.11)


hay
2bm+n = b2m + b2n , ∀m, n ∈ N

(1.12)

Theo bài tốn (1.1) thì (1.12) chính là điều kiện cần và đủ để dãy {bn } lập thành một
cấp số cộng với công sai d = b1 − b0 .
Theo nhận xét(1.4) ta có điều phải chứng minh.
Bài tốn 1.5 (Thảm Sierpinki). Một hình vng đơn vị được chia thành 9 hình vng
bằng nhau, hình vng ở giữa được tơ màu, 8 hình vng cịn lại sẽ được chia theo
cách trên. Nếu ta tiếp tục như thế đến vô tận thì giới hạn của phần diện tích được tơ
màu là bao nhiêu?

Lời giải.
Ta đặt un là phần diện tích được thêm vào sau mỗi lần chia.

1
Vào lần thứ n ta sẽ thêm vào 8(n − 1) hình vng có diện tích là của hình vng
9
8
lần trước. Vậy un = un−1 .
9
1
Ta suy ra rằng un là một cấp số nhân với u1 = .
9
Vậy diện tích thu được vào lần thứ n là:
8
9
8
1−
9

n

1−
Sn = u1 + u2 + · · · + un = u1 .
Do đó khi n → ∞ : lim Sn = 1
n→∞

Thì diện tích thu được là 1 (đvdt).

10

=1−

8
9

n

,

u1 =

1
9


Bài toán 1.6. Người ta dựng một dãy các đường tròn liên tiếp tiếp xúc nhau ∆n , n ≥ 1
theo quy tắc sau:
• Hình trịn ∆0 có bán kính là R
• Hình trịn ∆n có bán kính bằng một nửa bán kính của hình trịn ∆n−1 .
1. Chứng minh rằng: mọi hình trịn ∆n đều nằm trong ∆0 .
2. Người ta gọi An là diện tích thu được là hợp tất cả các hình trịn ∆1 , ∆2 ,. . . , ∆n

1
trên. Chứng minh rằng: dãy An giới hạn bằng diện tích của hình trịn ban đầu ∆0 .
3
Lời giải. Ta tạo một chuỗi hình trịn nội tiếp ∆n , n ≥ 1.

• Hình trịn ∆0 có bán kính là R.
• Hình trịn ∆n có bán kính bằng một nửa bán kính của hình trịn ∆n−1 (n ≥ 1) .
Vậy ta có cấp số nhân của các bán kính của những hình trịn này là:


R0 = R



1
R1 = R
(Rn ) :
(n ≥ 1).
2


1

 Rn = Rn−1
2
1. Chứng minh rằng: mọi hình trịn ∆n đều nằm trong ∆0 .
Có nghĩa là ta phải chứng minh tổng các bán kính từ R1 đến Rn nhỏ hơn hoặc bằng
R.
S = R1 + R2 + · · · + Rn ≤ R.

11


Ta có

1
2
1
1−
2

n

1−
S = R1 + R2 + · · · + Rn = R1

(tổng một cấp số nhân có cơng bội

⇒ lim R1
n→+∞

1
1−
2
1
1−
2

.

1
).
2

n

= lim 2R1 1 −
n→+∞

1
2

n

= R,

R1 =

R
2

.

Vậy tất cả các hình trịn ∆n đều nằm trong ∆0 .
2. Gọi An là diện tích thu được là hợp tất cả các hình trịn ∆1 , ∆2 ,. . . , ∆n trên. Chứng
1
minh rằng: dãy An giới hạn bằng diện tích của hình trịn ban đầu ∆0 .
3
Ta có 


2
 R0 = R
1
1
1 2
= Sn−1 .
(Rn ) :
(n ≥ 1) ⇒ Sn = πRn2 = π Rn−1 = πRn−1
R1 = 21 R

2
4
4

Rn = 12 Rn−1
Gọi An là diện tích này (trừ S0 ), suy ra
n

1
1−
1
4
An = S1 + S2 + · · · + Sn = S1
= S0 1 −
1
3
1−
4
1
(tổng một cấp số nhân công sai ).

4
Vậy
n
1
1
1
lim An = lim S0 1 −
= S0 .
n→+∞
n→+∞ 3
4
3

1
4

n

Bài toán 1.7. Cho hình vng C0 có cạnh là a người ta xét một dãy các hình vng
C1 , C2 , C3 , . . . , Cn , . . . được dựng như hình vẽ dưới đây. Với quan hệ các khoảng cách
như sau:
AA1 =

13
13
13
AC; A1 A2 = AA1 ; . . . ; An An+1 = An−1 An ; . . .
24
24
24

1. Có phải tất cả các hình vng đều nằm trong hình vng C0 ?
2. Xác định hình vng nhỏ nhất có đỉnh là A (kí hiệu AB’C’D’ trong đó B’ thuộc
(AB); C’ thuộc (AC); D’ thuộc (AD))chứa tất cả các hình vng Cn .
Lời giải. ABCD là hình vng có cạnh là a.
Các cạnh của hình vng C1 , C2 , . . . , Cn được dựng sao cho
AA1 =

13
13
13
AC; A1 A2 = AA1 ; . . . ; An An+1 = An−1 An ; . . .
24
24
24
12


Độ dài AA1 , A1 A2 , . . . , An−1 An lập thành cấp số nhân (un ) với


 u1 = 13 AC
24
13

 q= .
24
Ta có tổng độ dài AA1 A2 A3 . . . An .
13
1−

n
13
1−q
24
= AC.
Sn = AA1 +A1 A2 +· · ·+An−1 An = u1 +u2 +· · ·+un = u1 .
11
1−q
24
24
n
13
13
13
Ta có lim
> 1.
1−
=
n→∞ 11
24
11
Vậy khơng phải tất cả các hình vng đều nằm trong hình vng ABCD.
13
−
1−
11
⇔

13
24

13
24
n

≤

n

13
AC ≥ AC ⇔
1−
11

13
24

n

.

n

≥1

2
2
⇔ n ≥ log 13
⇔ n ≥ 3, 052.
13

13
24

Vậy từ hình vng thứ 4, các hình vng khơng cịn nằm trong hình vng ABCD
2) Để hình vng AB C D có thể chứa hết các tam giác vng thì
13
1−
n→+∞ 11

13
24

AC = lim

Hình vng AB C D có cạnh AB =

n

√
13 √
a 2 = a 2.
11

13
a.
11

Bài toán 1.8. Chứng minh rằng dãy số {un } (un = 0, ∀n ∈ N) lập thành một cấp số

13

điều hòa khi và chỉ khi
1

un+1 =

, ∀n ∈ N∗ .

2
1
−
un un−1

(1.13)

Lời giải. Ta có
2
1
2
1
1
2un−1 .un+1
1
=
−
, ∀n ∈ N∗ ⇔
=
+
⇔ un =

,
(1.13) ⇔
un+1
un un−1
un
un+1 un−1
un−1 + un+1
tức là {un } là một cấp số điều hịa.
Bài tốn 1.9 (VMO, 1994, Bảng B). Cho dãy số Fibonacci {un }, (n = 1, 2, 3, . . . )
được xác định bởi:
u1 = u2 = 1, un+2 = un+1 + un
với mọi n = 1, 2, 3, . . . Hãy tìm số nguyên dương m sao cho
m−1

um
2k

+

um
2k+1

s−1
s.us−1
2k .u2k+1 ,

=

∀k = 1, 2, 3, . . .

s=1

Lời giải. * Từ giả thiết thì số m cần tìm phải thỏa mãn với k = 1, khi đó có:
m−1

um
2

+

um
3

s−1
s.us−1
2 .u3

=
s=1

hay
m−1

s.2s−1 .

m

1+2 =

(1.14)

s=1
m−1

Đặt tổng ở vế phải của (1.14) là S thì ta có 2S =

s.2s .

s=1

Từ đó ta có
m−1

S = 2S − S =

s.2s −

s=1
m−1

= (m − 1) 2m−1 −

m−1

s.2s−1

s=1

2s−1 (s − (s − 1))

s=1

= (m − 1) 2m−1 − (2m−1 − 1) = (m − 2) .2m−1 + 1.
Từ (1.14) và (1.15) ta có
1 + 2m = (m − 2) .2m−1 + 1 ⇒ m = 4.
* Với m = 4 sử dụng hệ thức đã biết của dãy Fibonacci
u22k+1 + u22k = u2k .u2k+1 , ∀k = 1, 2, 3, . . .
14

(1.15)


Ta có
u42k+1 + u42k − 2u22k+1 .u22k = u22k+1 .u22k + 2u2k .u2k+1 + 1.
hay
u42k+1 + u42k = 3u22k+1 .u22k + 2u2k .u2k+1 + 1, ∀k = 1, 2, 3, . . .
Vậy m = 4 là số duy nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán.

15


Chương 2
Một số phương pháp giải bài tốn
tìm cơng thức số hạng tổng quát
của dãy số
2.1

Phương pháp quy nạp
Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) đúng với mọi số nguyên dương n, ta

thực hiện ba bước quy nạp sau đây:
+ Bước 1:(Bước cơ sở). Kiểm tra A(n) đúng khi n = 1.
+Bước 2: (Bước quy nạp hay bước di truyền). Với k ∈ Z, k ≥ 1, giả sử A(n) đúng khi
n = k, ta chứng minh A(n) cũng đúng khi n = k + 1.
+Bước 3: Kết luận A(n) đúng với mọi số nguyên dương n.
Bài toán 2.1 (Đề thi OLYMPIC 30/4/1999). Xác định số hạng tổng quát của dãy số
{un } biết rằng:
u1 = 2
un+1 = 9u3n + 3un

(n = 1, 2, 3, . . . ) .
V1 = 6
Vn+1 = Vn3 + 3Vn .

Lời giải. Đặt Vn = 3un (n = 1, 2, 3, . . . ). Ta có:
Chọn x1 , x2 sao cho:

x1 + x2 = 6
x1 .x2 = −1.

* Với n = 1, ta có:
1−1

V1 = 6 = x1 + x2 = x31

1−1

+ x32

.

* Với n = k, (k ∈ N) ta giả sử:
k−1

Vk = x31

k−1

+ x32

.

* Với n = k + 1, ta có:
k−1

Vn+1 = Vn3 + 3Vn = (x13

k−1

+ x32
16

3

k−1

) + 3(x31

k−1

+ x32

)


k

k−1

k

= x31 + x32 + 3(x1 .x2 )3

k−1

(x13

k−1

= x31 + x32 (vì (x1 x2 )3
k

k

k−1

+ x32

= (−1)

3k−1

k−1

) + 3(x31

k−1

+ x32

)

= −1.

Theo nguyên lý quy nạp thì:
n−1

Vn = x31

+ x32

√ 3n−1
√
1
3 − 10
+ 3 + 10
3
trình: x2 − 6x − 1 = 0).

Vậy un =

n−1

3n−1

, ∀n ∈ N.
. (Vì x1 , x2 là các nghiệm của phương

Bài toán 2.2. Cho dãy số {xn }+∞
n=1 xác định như sau:
√
x1 = 2
√
xn+1 = 2 + xn , ∀n = 1, 2, . . .
a) Tính x1 , x2 , x3 .
b) Tìm số hạng tổng quát của dãy.
Lời giải. a) Ta có
x1 =
x2 =
x3 =

√

√
2 = 2.
2+

√

π

π
2
= 2. cos = 2. cos 2 ,
2
4
2

2=

√
2 + x2 =

2 1 + cos

b) Với k ∈ N, k ≥ 1, giả sử xk = 2. cos
xk+1 =

π
4

=

4cos2

π
23

=

4cos2

2 1 + cos

√
2 + xk =

π
2k+1

π
π
= 2. cos 4 .
4
2
2

. Khi đó:

2 1 + cos

Theo nguyên lý quy nạp ta có xn = 2. cos

π
π
= 2. cos 3 ,
8
2

π
2n+1

π
2k+1

= 2 cos

π
2k+2

.

, ∀n = 1, 2, 3, . . .

Bài toán 2.3 (Đề thi OLYMPIC 30/4/2001). Cho dãy số {xn } xác định bởi:

 x1 = 1
3
3
 xn+1 = (1 + )xn + 2 − , n ≥ 1.
n
n
Chứng minh rằng tất cả các số hạng của dãy số là số nguyên.
Lời giải.
* n = 1: x1 = 1 = 1 +

(1 − 1).1.(1 + 4)
.
6
17

* n = k, (k ∈ N). Giả sử xk = 1 +

(k − 1).k.(k + 4)
.
6

* n = k + 1 . Ta có:
xk+1 =

1+

3
k

=

1+

3
k

xk + 2 −

1+

3
k

(k − 1) k (k + 4)

3
+2−
6
k

(k − 1) k (k + 4) (k − 1) (k + 4)
+
+2
6
2
(k 2 − k) (k + 4) (k − 1) (k + 4)
=1+
+
+2
6
2
k 3 + 4k 2 − k 2 − 4k + 3k 2 + 9k
,
=1+
6
k 3 + 6k 2 + 5k
k(k + 1)(k + 5)
=1+
=1+
.
6
6

=1+

Theo nguyên lý quy nạp:
xn = 1 +
Hơn nữa:

(n − 1) n (n + 4)
, ∀n ∈ N.
6

.
(n − 1) n (n + 4) = (n − 1) n (n + 1) + 3n (n − 1) ..6.

Vậy xn ∈ N, ∀n ∈ N.
Bài toán 2.4 (Đề đề nghị thi OLYMPIC 30/4/2003). Cho dãy số (un ) được xác định
bởi:

√

 u1 = 3

 un+1

√
.
un + 2 − 1
√
=
, ∀n = 1, 2, 3, . . .
1 + (1 − 2)un

Lời giải. Ta có:

√
π
2
√
√
1 − cos
1−
2
√
π
2− 2
2−1
2
4
2
√ =
√ =√
tan =
=
=
2−1 .
π
8
2
2+ 2
2+1
1 + cos
1+
4
2

π √
suy ra, tan = 2 − 1.
8
* n = 2:
π
π
π
u1 + tan
tan + tan
8 =
3
8 = tan π + π .
u2 =
π
π
π
1 − u1 tan d 8
3
8
1 − tan . tan
3
8
18


* n = k ≥ 2:
uk = tan

π
π

+ (k − 1)
.
3
8

* n = k + 1:
uk+1

π
π
π
√
tan
+ (k − 1)
+ tan
uk + 2 − 1
3
8
8 .
√
=
=
π
π
π
1 + 1 − 2 uk
+ (k − 1)
. tan
1 − tan
3

8
8
π
π π
π
π
+ (k − 1) +
= tan
+k .
3
8
8
3
8

= tan
Vậy:

π
π
+ (n − 1)
.
3
8
π
π
π π
⇒ u2003 = tan
+ 2002
= tan

+
3
8
3
4
π
π
√
tan + tan
√
3+1
3
4
√
2
+
=
−
3 .
=
=
π
π
1− 3
1 − tan . tan
3
4
un = tan

Bài toán 2.5 (Đề OLYMPIC 30/4/2003). Cho dãy số {un } xác định bởi:


 u =4
1
3
 (2n + 1)u = 2n + 2n.u ; n ≥ 2.
n
n−1
Cnk
, ∀n ≥ 1.
k=0 2k + 1
n

Chứng minh rằng: un =
Lời giải.

C1
C1k
1
4
= C10 + 1 = 1 + = (Đúng).
3
3
3
k=0 2k + 1
* n = p ∈ N. Giả sử
1

* n = 1: u1 =

p

up =
k=0

Cpk
.
2k + 1

(2.1)

* n = p + 1:
Từ giả thiết suy ra:
(2p + 3) up+1 = 2p+1 + 2 (p + 1) up .

(2.2)

p+1
p+1

2

= (1 + 1)

p+1

k
Cp+1
.

=

k=0

(p + 1) Cpk = (p + 1)

p!
(p + 1)!
= (p + 1 − k)
k! (p − k)!
k! (p + 1 − k)!
19

(2.3)