ĐẠI số sơ cấp CHƯƠNG 2

MỤC L
CHƯƠNG II: CÁC TẬP HỢP SỐ..............................................................................3
§ 1. TẬP HỢP SỐ TỰ NHIÊN..................................................................................3
1.1. ĐỊNH NGHĨA.............................................................................................3
1.2. QUAN HỆ THỨ TỰ...................................................................................3
1.3. SỐ LIỀN SAU.............................................................................................4
1.4. PHÉP CỘNG VÀ PHÉP NHÂN TRÊN �...............................................5
1.4.1. Định nghĩa..............................................................................................5
1.4.2. Định lí....................................................................................................5
1.5. PHÉP TRỪ..................................................................................................5
1.6. PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CĨ DƯ............................................5
1.7. LŨY THỪA.................................................................................................6
§ 2. VÀNH SỐ NGUN.........................................................................................6
2.1. XÂY DỰNG VÀNH SỐ NGUYÊN............................................................6
2.2. PHÉP TOÁN TRONG �...........................................................................7
2.2.1. Phép trừ..................................................................................................7
2.2.2. Cách viết số nguyên...............................................................................7
2.2.3. Thực hành phép cộng trong �...............................................................8
2.2.4. Thực hành phép nhân trong �...............................................................9
2.3. QUAN HỆ THỨ TỰ TRONG �...............................................................9
2.3.1. Định nghĩa..............................................................................................9
2.3.2. Quan hệ  và phép cộng, phép nhân.......................................................9
§ 3. LÍ THUYẾT CHIA HẾT TRONG VÀNH �.....................................................9
3.1. CHIA HẾT VÀ CHIA CÓ DƯ...................................................................9
3.1.1. Thương và dư.......................................................................................10
3.1.2. Chia hết................................................................................................10
3.1.3. Dấu hiệu chia hết..................................................................................10
3.2. ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT.....................................................................11
3.2.1. Định nghĩa............................................................................................11
3.2.2. Định lí và các hệ quả............................................................................11
3.2.3. Cách tìm UCLN....................................................................................11

3.2.4. Các tính chất của UCLN.......................................................................12
3.3. BỘI CHUNG NHỎ NHẤT (BCNN)........................................................12
1


3.3.1. Các định nghĩa......................................................................................12
3.3.2. Sự tồn tại và cách tìm BCNN...............................................................12
3.3.3. Tính chất của BCNN............................................................................13
3.4. SỐ NGUYÊN TỐ......................................................................................13
3.4.1. Định nghĩa............................................................................................13
3.4.2. Định lí cơ bản.......................................................................................13
3.4.3. Ứng dụng..............................................................................................13
§ 4. TRƯỜNG SỐ HỮU TỈ.....................................................................................14
4.1. XÂY DỰNG TRƯỜNG SỐ HỮU TỈ �.................................................14
4.2. SỐ NGUYÊN – SỐ HỮU TỈ - PHÂN SỐ...............................................15
4.3. QUAN HỆ THỨ TỰ TRÊN �................................................................16
4.3.1. Các định nghĩa......................................................................................16
4.3.2. Định lí..................................................................................................17
4.3.3. Quan hệ thứ tự và các phép tốn trên �..............................................17
4.3.4. Tính trù mật của �..............................................................................17
4.4. SỐ HỮU TỈ VÀ SỐ THẬP PHÂN...........................................................17
4.4.1. Các định nghĩa......................................................................................17
4.4.2. Các kết quả...........................................................................................18
§ 5. TRƯỜNG SỐ THỰC........................................................................................18
5.1. SỐ THỰC..................................................................................................18
5.2. QUAN HỆ THỨ TỰ TRÊN R.................................................................19
5.3. CẬN TRÊN(SUP), CẬN DƯỚI (INP).....................................................19
5.3.1. Cận trên................................................................................................19
5.3.2. Cận dưới...............................................................................................20
5.4. PHÉP TOÁN TRÊN R.............................................................................20

5.5. ĐỊNH LÍ....................................................................................................20
THỰC HÀNH GIẢI TỐN CHƯƠNG 2................................................................21
CHỦ ĐIỂM 1. SỐ NGUYÊN TỐ...................................................................21
CHỦ ĐIỂM 2. TÍNH CHIA HẾT...................................................................25
CHỦ ĐIỂM 3. BỘI VÀ ƯỚC CỦA CÁC SỐ................................................28
BÀI TẬP CHƯƠNG 2.............................................................................................32
Y

2


CHƯƠNG II:
CÁC TẬP HỢP SỐ
Để xây dựng các tập hợp số và nghiên cứu các phép toán trên các tập hợp
số đó, ta cần dùng các kiến thức sau đây đã có trong phần mở đầu của nhiều giáo
trình:
 Khái niệm tập hợp, thuộc, phần tử, tập con, tập rỗng �, tập đơn tử {a} ,
tập hữu hạn, tập vô hạn.
 Khái niệm ánh xạ, đơn ánh, toàn ánh, son ánh (tập hợp tương đương).
 Khái niệm hợp, giao, hiệu, tích Đềcác của hai tập hợp, phần bù của một
tập con và tính chất của chúng.
 Khái niệm quan hệ hai ngôi, quan hệ tương đương và tập thương, quan
hệ thứ tự bộ phận, thứ tự toàn phần, thứ tự tốt.
 Khái niệm phép tốn đại số hai ngơi, nửa nhóm, vị nhóm, nhóm, vành,
miền ngun, trường.
§ 1. TẬP HỢP SỐ TỰ NHIÊN
1.1. ĐỊNH NGHĨA
Trước hết, ta đưa khái niệm bản số của một tập hợp: Mỗi tập hợp A đều có
một bản số, kí hiệu là CardA hay |A| sao cho hai tập hợp tương đương thì có
cùng bản số:

CardA = CardB  A  B
Bản số là một khái niệm đặc trưng về “số lượng” cho lớp các tập hợp tương
đương.
Bản số của một tập hợp hữu hạn được gọi là một số tự nhiên. Tập hợp số tự
nhiên được kí hiệu là �.
Vậy a ��� A hữu hạn sao cho a  CardA
Ví dụ 1. Ta biết rằng � là một tập hợp hữu hạn. Vậy Card � ��. Kí hiệu
Card� 0 và gọi là số khơng.
Ví dụ 2. Tập đơn tử {a} ��. Kí hiệu Card{a}  1 và gọi là số một.
1.2. QUAN HỆ THỨ TỰ
3


Trên tập � các số tự nhiên ta xác định một quan hệ hai ngơi, kí hiệu là ≤,
như sau:
Giả sử a, b  � với a = CardA, b = CardB. Ta nói a nhỏ hơn hoặc bằng b
và viết a ≤ b nếu tồn tại một đơn ánh từ A vào B. Nếu a ≤ b và a ≠ b thì ta viết a
< b và đọc là a nhỏ hơn b. Nếu a nhỏ hơn hoặc bằng b (tương ứng a nhỏ hơn b),
ta cũng nói “b lớn hơn hoặc bằng a” (tương ứng b lớn hơn a).
Có thể thấy rằng định nghĩa quan hệ nói trên không phụ thuộc vào việc lựa
chọn các tập hợp A, B mà a = CardA, b = CardB.
Có thể chứng minh được rằng quan hệ ≤ xác định như trên là một quan hệ
thứ tự toàn phần trong tập hợp số tự nhiên �, hơn nữa là một quan hệ thứ tự
tốt (để chứng minh là quan hệ thứ tự tốt, cần dùng các kiến thức ở điểm 1.3 sau
đây).
Ví dụ 3. x  �, 0 a . Thật vậy, vì 0  Card�, mà � là tập con của mọi
tập hợp.
1.3. SỐ LIỀN SAU
Giả sử a, b  �. Ta bảo b là số liền sau a, kí hiệu b = a’, nếu tồn tại các tập
hữu hạn A, B sao cho a = CardA, b = CardB, A  B và B \ A là một tập đơn

phần tử (tức B\A = {x}). Khi đó ta cũng nói a là số liền trước b.
Ví dụ 4. 1 là số liền sau của 0. Thật vậy, ta có 0  Card�, 1  Card{x} , và
��{x}, {x} \ � {x} .
Có thể chứng minh rằng:
a)

Mọi số tự nhiên đều có một số liền sau duy nhất.

b) Số 0 khơng phải là số liền sau của bất kỳ số tự nhiên nào. Mọi số tự
nhiên khác 0 đều là số liền sau của một số tự nhiên duy nhất.\
c)

Với a, b  � nếu a < b thì a’  b’.

d) Do đó, giữa số tự nhiên a và số liền sau a’ của nó khơng tồn tại số tự
nhiên nào khác.
Chú ý: Với các khái niệm đã trình bày ở trên có thể hình dung được tồn
bộ tập hợp số tự nhiên: Trước hết 0  Card� là một số tự nhiên và số 0 không
đứng liền sau số nào. Số 1  Card{a} là số liền sau duy nhất của số 0, và giữa số

4


0 và số 1 khơng có số tự nhiên nào khác. Kí hiệu 1’ = 2, 2’ = 3, … thì tập hợp số
tự nhiên được viết thành một dãy số như sau:
0, 1, 2, 3, …
Từ đó có thể chứng minh rằng tập hợp � các số tự nhiên là tập vô hạn đếm
được.
1.4. PHÉP CỘNG VÀ PHÉP NHÂN TRÊN �
1.4.1. Định nghĩa

Giả sử a, b  �; A, B là hai tập hữu hạn sao cho a = CardA, b = CardB,
A  B = �.
Ta định nghĩa:
a + b = Card(AB)
a.b = Card(B)
1.4.2. Định lí
Tập hợp các số tự nhiên � lập thành một vị nhóm đối với phép cộng, kí
hiệu là ( �, +), và một vị nhóm đối với phép nhân, kí hiệu là ( �, .), ngồi ra
phép nhân có tính chất phân phối đối với phép cộng.
Phần tử trung hòa đối với vị nhóm cộng là số 0; đối với vị nhóm nhân là số
1.
 Kí hiệu �* = �\{0}, ta thấy �* cũng lập thành một vị nhóm đối với
phép nhân. Hơn nữa vị nhóm cộng ( �, +) và vị nhóm nhân ( �*, .) đều thỏa
mãn luật giản ước, nghĩa là
a + b = b + c  a = b a, b, c  �;
a.b = b.c  a = b a, b, c  �*.
 Phép cộng trong vị nhóm ( �, +) và phép nhân trong vị nhóm ( �*, .) có
tính bảo tự đối với quan hệ thứ tự <, nghĩa là
a < b  a + c < b + c a, b, c  �;
a < b  a.c < b.c a, b, c  �*.
1.5. PHÉP TRỪ

5


Cho hai số tự nhiên a, b  �. Nếu có số tự nhiên c  � sao cho a + c = b
thì c được gọi là hiệu của b và a và kí hiệu là c = b – a; quy tắc tìm hiệu b – a
được gọi là phép trừ. Ta chứng minh được rằng hiệu c = b – a tồn tại khi và chỉ
khi a  b, và phép nhân cũng thỏa mãn luật phân phối đối với phép trừ.
1.6. PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ

Cho hai số tự nhiên a, b, b  0. Nếu có số tự nhiên q sao cho a = bq thì ta
nói a chia hết cho a, kí hiệu a �b , hoặc b chia hết a, kí hiệu b|a. Số q (nếu có)
được xác định duy nhất và được gọi là thương của a và b, kí hiệu q = a:b hoặc
q

a
b . Quy tắc tìm thơng của hai số gọi là phép chia.

Tuy nhiên với hai số tự nhiên bất kỳ a, b không phải ln ln có a chia hết
cho b hoặc b chia hết cho a, mà ta có định lí sau:
Với mọi cặp số tự nhiên a, b, b0, bao giờ cũng tồn tại duy nhất một cặp số
tự nhiên q, r sao cho:
a = bq + r, 0  r < b.
Số q và r trong định lí về phép chia có dư nói trên lần lượt được gọi là
thương và dư trong phép chia số a cho số b.
1.7. LŨY THỪA
Giả sử a, n  �. Đặt an = a.a.a…a (n lần) và gọi là a lũy thừa n; a gọi là cơ
số, n gọi là số mũ của lỹ thừa. Với a  0, ta quy ước viết a0 = 1.
Khi đó ta có các tính chất sau của phép lũy thừa.

a .a  a
n

m

n m

an
; m  a nm ;
a

(a n ) m  a n.m ; (a.b) n  a nb n
n

n
�a � a

�� n
�b � b (với a chia hết cho b).

§ 2. VÀNH SỐ NGUYÊN
Cần mở rộng tập hợp số tự nhiên � để được một tập hợp số mà trong đó
phép trừ ln ln thực hiện được, tức phương trình a + x = b, a, b  �, ln
ln có nghiệm.
6


2.1. XÂY DỰNG VÀNH SỐ NGUYÊN
2.1.1. Xét tập tích Đềcác � � = {(a, b) | a, b  �}. Trên tập hợp này ta xác
định một quan hệ tương đương, kí hiệu là , như sau:
(a, b), (c, d)  �, (a, b)  (c, d)  a + d = b + c
Khi đó  là một quan hệ tương đương, do đó nó xác định trên � �một sự
chia lớp tương đương. Ta kí hiệu

� ���/ :
là tập thương của � � theo quan hệ tương đương . Kí hiệu (a, b) là
phần tử của � đại bởi cặp (a, b)  � �.
2.1.2. Trên tập hợp �, phép cộng và phép nhân được định nghĩa như sau:
Với (a, b)  �, (c, d )  �, ta định nghĩa
( a, b) + (c, d ) = (a  c, b  d )

(a, b) . (c, d ) = ( ac  bd , ad  bc )
2.1.3. Ta chứng minh được rằng phép cộng định nghĩa như trên có tính chất
giao hốn, tính kết hợp, tồn tại phần tử trung hòa là 0  (n, n) , n �, mọi phần
tử x  (a, b) ��đều có phần tử đối là  x  (b, a) ��sao cho x + (-x) = 0 . Phép
nhân định nghĩa như trên cũng có tính giao hốn, tính kết hợp, tồn tại phần tử
trung hòa là 1  ( n  1, n) , n � sao cho x �� đều có x.1  1.x  x , và phép
nhân có tính phân phối đối với phép cộng. Nói khác đi, ta có
Định lí. Tập hợp � lập thành một vành giao hốn có đơn vị đối với phép
cộng và nhân xác định như trên; kí hiệu là ( �; +, .); hơn nữa ( �; +, .) là một
miề nguyên (vành � không chứa ước của không).
2.2. PHÉP TỐN TRONG �
2.2.1. Phép trừ
Vì ( �; +) lập thành một nhóm đối với phép cộng nên phương trình b + x =
a, a, b  �, ln có nghiệm duy nhất trong �, nghiệm đó được gọi là hiệu của b
và a và kí hiệu là a – b, đó chính là tổng của a và –b. Phép tốn tìm hiệu của hai
số được gọi là phép trừ.
7


2.2.2. Cách viết số nguyên
Ta xét ánh xạ f : �� �

n a (n,0)
Có thể thấy rằng f là một đơn ánh, bảo tồn phép cộng và phép nhân. Vì thế,
ta có thể đồng nhất số tự nhiên n với số nguyên ( n,0) , và do đó ���. Từ đó
suy ra rằng mỗi số nguyên hoặc là một số tự nhiên hoặc là số đối của một số tự
nhiên. Thật vậy, giả sử x  (a, b) , a, b  �, x là một số nguyên tùy ý thì theo
quy ước trên:


Nếu a  b thì x  (a, b)  (n,0) �n , với n = a – b  �;


Nếu a < b thì x  (a, b)  (0, n) �n , với n = b – a  � được gọi là số
nguyên âm, số đối của số tự nhiên n.
Từ đó, ta có thể viết tập các số nguyên như sau

� = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
Do đó, tập các số nguyên � là tập vô hạn đếm được.
2.2.3. Thực hành phép cộng trong �
Để tiện thực hành phép cộng (và cả phép nhân) trong �, ta đưa thêm vào
khái niệm giá trị tuyệt đối của số nguyên x  �, kí hiệu là |x|, được xác định
như sau:
Khi đó, với x, y  �, phép cộng x+ y được thực hiện như sau:
a)
đã biết.
b)

Nếu x và y đều là số tự nhiên thì cộng x + y như cộng hai số tự nhiên

Nếu x là số tự nhiên, y là số nguyên âm,

x  n  (n,0) ,

y  m  (0, m) thì
Chú ý rằng trong cả hao trường hợp trên phép trừ hai số nguyên chuyển về
phép trừ hai số tự nhiên và đều thực hiện được.
8

c)

Nếu x, y là hai số nguyên âm thì
x  y  (0, n)  (0, m)  (0, n  m) �(n  m)  (| x |  | y |)

nghĩa là để cộng hai số nguyên âm, ta cộng hai giá trị tuyệt đối của chúng
và đặt dấu “” trước kết quả nhận được.
2.2.4. Thực hành phép nhân trong �
Lí luận tương tự như trên, ta xét tích x.y với x, y  � như sau
a)

Nếu x, y đều là số tự nhiên thì ta nhân chúng như nhân hai số tự nhiên.

b) Nếu x, y đều là hai số ngun âm thì tích xy là tích của hai giá trị
tuyệt đối của chúng:
xy = |x| . |y|.
c) Nếu một trong hai số là số tự nhiên, cịn số kia là số ngun âm thì để
viết tích xy, ta nhân hai giá trị tuyệt đối của chúng và đặt dấu “” trước kết quả
nhận được:
xy = - |x| . |y|.
2.3. QUAN HỆ THỨ TỰ TRONG �
2.3.1. Định nghĩa
Giả sử x, y  �. Ta nói x nhỏ hơn hoặc bằng y và viết x  y nếu y – x  �.
Khi đó ta cũng nói y lớn hơn hoặc bằng x và viết y  x.
Nếu x  y và x  y (x  y và x  y) thì ta nói x nhỏ hơn y (x lớn hơn y).
Ta chứng minh được rằng quan hệ  xác định như trên là một quan hệ thứ
tự toàn phần trên �.
2.3.2. Quan hệ  và phép cộng, phép nhân
Phép cộng thỏa mãn tính bảo tự đối với quan hệ  trong �, nghĩa là
a, b, c  �, a  b  a+ c  b + c

Đối với phép nhân, điều đó khơng đúng nữa, mà ta chỉ có: Với a, b, c  �:
 Nếu a  b và c  0 thì ac  bc;
 Nếu a  b và c < 0 thì ac  bc;

9


trong đó c  �, c > 0 tức là c  �*, được gọi là số nguyên dương; c  �, c
< 0 tức là c {..., -3, -2, -1}, được gọi là số ngun âm.
§ 3. LÍ THUYẾT CHIA HẾT TRONG VÀNH �
3.1. CHIA HẾT VÀ CHIA CÓ DƯ
Các khái niệm này là mở rộng của các khái niệm chia hết và chia có dư
trong tập hợp số tự nhiên �.
3.1.1. Thương và dư
Ta chứng minh được rằng: Với mọi cặp số nguyên a, b, b  0, tồn tại duy
nhất cặp số nguyên q, r thỏa mãn các hệ thức:
a = bq + r,

0  r < |b|.

Khi đó, ta nói rằng a chia cho b được thương q và dư r. Số q được gọi là
thương thiếu và số r được gọi là số dư trong phép chia có dư của a chia cho b.
3.1.2. Chia hết
Nếu trong phép chia a cho b (b  0) mà số dư r = 0 thì ta nói a chia hết cho
b , ta cũng nói b chia hết a, hoặc b là ước của a,
b hoặc a là bội của b, kí hiệu aM
kí hiệu b|a.
Ta chứng minh được:
 Tập hợp các ước của 1 là {-1; 1};
 Nếu b|a thì b|(-a), -b|a, (-b)|(-a), |b| | |a|;

 a  �, a  0: a|a;
 Với a, b  �, nếu a|b và b|a thì a =  b;
 Với a, b, c  �, nếu a|b và b|c thì a|c;
 Với a1, a2, ..., an  �, nếu b|ai, i = 1,..., n, thì với x 1, x2, ..., xn  �, ta
có b|(a1x1 + a2x2 + ... + anxn).
3.1.3. Dấu hiệu chia hết
Bằng kĩ thuật “đồng dư” và dùng cách viết các số tự nhiên dưới dạng thập
phân (không đề cập ở đây), ta chứng minh được:

Một số tự nhiên chia hết cho 2 khi và chỉ khi chữ số tận cùng bên phải
là 0; 2; 4; 6; 8.
10



Một số tự nhiên chia hết cho 5 khi và chỉ khi chữ số hàng đơn vị của
nó là 0 hoặc 5.

Điều kiện cần và đủ để một số tự nhiên chia hết cho 3 là tổng các chữ
số của nó chia hết cho 3.

Điều kiện cần và đủ để một số tự nhiên chia hết cho 9 là tổng các chữ
số của nó chia hết cho 9.

Điều kiện cần và đủ để một số tự nhiên chia hết cho 4 là số gồm hai
chữ số tận cùng bên phải của nó chia hết cho 4.

Điều kiện cần và đủ để một số tự nhiên chia hết cho 25 là số gồm hai
chữ số tận cùng bên phải của nó chia hết cho 25.
3.2. ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT

3.2.1. Định nghĩa
a. Một số nguyên d được gọi là ước chung của các số nguyên a1, a2, ..., an
nếu d đồng thời là ước của mỗi số nguyên đó.
b. Một ước chung d của các số nguyên a1, a2, ..., an sao cho mọi ước chung
của a1, a2, ..., an đều là ước của d, được gọi là ước chung lớn nhất (UCLN) của
các số đó, kí hiệu là d = (a1, a2, ..., an).
c. Các số nguyên a1, a2, ..., an được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu UCLN
của chúng bằng 1.
d. Các số nguyên a1, a2, ..., an được gọi là nguyên tố sánh đôi hay nguyên
tố cùng nhau đôi một nếu hai số bất kỳ trong chúng nguyên tố cùng nhau: (ai, aj)
=
1;
i, j = 1,... , n, i j.
3.2.2. Định lí và các hệ quả
Tồn tại UCLN của các số nguyên a1, a2, ..., an cho trước. Từ đó suy ra:
a.

Nếu d = (a1, a2, ..., an) thì tồn tại các số nguyên k1, k2, ..., kn
sao
cho
d = k1a1 + k2a2 + ... + knan.
b. Điều kiện ắt có và đủ để a 1, a2, ..., an nguyên tố cùng nhau là
tồn tại các số nguyên k1, k2, ..., kn sao cho
k1a1 + k2a2 + ... + knan = 1.
3.2.3. Cách tìm UCLN
11


Để tìm UCLN của hai số nguyên a và b (a > b), trước hết ta thực hiện phép
b thì (a, b) = b. Nếu trái lại, giả sử a = bq + r 1, 0

chia có dư của a cho b. Nếu aM
< r1 < b, ta lại chia tiếp b cho r1, lại chia hai trường hợp như trên. Cứ tiếp tục như
thế (quá trình phải kết thúc sau hữu hạn bước), giả sử r n là số dư cuối cùng khác
0. Khi đó (a, b) = rn. Q trình tìm UCLN như vậy gọi là thuật tốn Ơclit.
Muốn tìm UCLN của nhiều số a 1, a2, ..., an, ta tìm UCLN liên tiếp: giả sử
(a1, a2) = d2; (a2, a3) = d3, ..., (an-1, an) = dn.
Khi đó d = (a1, a2, ..., an) = dn.
3.2.4. Các tính chất của UCLN
 Với k  �, k > 0 ta có (ka1, ka2, ..., kan) = k(a1, a2, ..., an)
 Với k  �, k > 0 và k|ai, i = 1, 2, ..., n ta có

an � �a1 , a2 ,..., an �
�a1 a2
,
,...,
�
� �
�
k �� k
�k k
�
an �
�a1 a2
� , ,..., � 1
d �
 d = (a1, a2, ..., an)  �d d
 Nếu (a, b) = 1 và b|ac thì b|c.
 Nếu (a, b) = 1 và (a, c) = 1 thì (a, bc) = 1.
3.3. BỘI CHUNG NHỎ NHẤT (BCNN)
3.3.1. Các định nghĩa

a. Giả sử a1, a2, ..., an là các số ngyên khác 0. Số nguyên b được gọi là bội
chung của a1, a2, ..., an nếu b là bội đồng thời của mỗi số nguyên đó.
b. Một bội chung m của các số nguyên khác không a 1, a2, ..., an sao cho mọi
bội chung của a1, a2, ..., an đều là bội của m được gọi là bội chung nhỏ nhất
(BCNN) của các số đó, kí hiệu là m = [a1, a2, ..., an].
3.3.2. Sự tồn tại và cách tìm BCNN
Đã chứng minh được rằng:
 Tồn tại BCNN của các số nguyên khác không a 1, a2, ..., an cho
trước.

ab
 Với hai số nguyên dương a, b, ta có [a, b] = (a, b)
12


Chú ý rằng với hai số nguyên a, b khác khơng, ta có:
[a, b] = [|a|, |b|], nên ta ln có thể giả thiết a > 0, b > 0.
 Để tìm BCNN của nhiều số nguyên dương a 1, a2, ..., an, ta có thể tìm
BCNN liên tiếp như sau:
[a1, a2] = m2; [a2, a3] = m3, ..., [an-1, an] = mn.
Khi đó BCNN (a1, a2, ..., an) = [a1, a2, ..., an] = mn.
3.3.3. Tính chất của BCNN
 Với k  �, k > 0 ta có [ka1, ka2, ..., kan] = k[a1, a2, ..., an]
 Với d  �, d > 0 và d|ai, i = 1, 2, ..., n ta có

an � �a1 , a2 ,..., an �
�a1 a2
� , ,..., � �
�
d �� d

�d d
�

 m = [a1, a2, ..., an] 

�m m
m�
� , ,..., � 1
an �
�a1 a2

 Nếu các số a1, a2, ..., an ngun tố sánh đơi thì
[a1, a2, ..., an] = |a1, a2, ..., an|;
 Nếu số nguyên b là bội chung của các số a 1, a2, ..., an nguyên tố
sánh đơi thì b là bội của tích a1.a2...an.
3.4. SỐ NGUYÊN TỐ
Chỉ cần xét khái niệm số nguyên tố trong tập �.
3.4.1. Định nghĩa
Số tự nhiên lớn hơn 1, không có ước nào khác 1 và chính nó được gọi là số
nguyên tố.
Có thể chứng minh rằng ước nhỏ nhất lớn hơn 1 của một số tự nhiên lớn
hơn 1 là một số ngun tố. Hơn nữa, có vơ số số nguyên tố.
3.4.2. Định lí cơ bản
Mỗi số tự nhiên lớn hơn 1 đều phân tích được thành tích của những thừa số
ngun tố và sự phân tích đó là duy nhất nếu không kể đến thứ tự của các thừa
số.
Giả sử a > 1 là một số tự nhiên. Khi đó có sự phân tích duy nhất
13

a  p11 . p2 2 ... pk k
trong đó p1, p2, ..., pk là các ước nguyên tố đôi một khác nhau của a; gọi là
dạng phân tích tiêu chuẩn của số a.
3.4.3. Ứng dụng
1. Cho a là số tự nhiên với dạng phân tích tiêu chuẩn
a  p11 . p2 2 ... pk k

Khi đó d là ước của a khi và chỉ khi nó có dạng
d  p11 . p22 ... pkk với 0     , i = 1, 2, ..., k
i
i
2. Giả sử a, b là hai số tự nhiên lớn hơn 1, có dạng phân tích tiêu chuẩn:
a  p11 . p2 2 ... pk k ,   0, i = 1, 2, ..., k
i

b  p11 . p22 ... pkk ,   0, i = 1, 2, ..., k
i
1
2
k
Khi đó (a, b) = p1 . p2 ... pk , i = min(i, i)  0, i = 1, 2, ..., k

1
2
k
p
.
p
...
p

1
2
k
[a, b] =
, i = max(i, i)  0, i = 1, 2, ..., k

§ 4. TRƯỜNG SỐ HỮU TỈ
4.1. XÂY DỰNG TRƯỜNG SỐ HỮU TỈ �
Cần phải mở rộng vành số nguyên � để được một tập hợp số mới trong đó
có phép chia cho một số khác 0 ln ln thực hiện được.
4.1.1. Kí hiệu �* = �. Xét tập hợp

� �* = {(a, b) | a, b  �, b  0}.
Trên tập hợp này ta xét quan hệ tươn đương  xác định như sau:
(a, b), (c, d)  � �* ; (a, b)  (c, d)  ad = bc
Quan hệ tương đương  xác định trên tập � � một sự chia lớp tương
đương. Kí hiệu:

� = � �*/ 

14


nghĩa là � là tập thương của � �* theo quan hệ tương đương . Phần tử
của � đại diện bởi cặp (a, b) được kí hiệu là ( a, b) . Như vậy
( a, b)  (c, d )  ad = bc

4.1.2. Trên tập � ta xác định hai phép toán cộng và nhân như sau
(a, b)  (c, d )  (ad  bc, bd )
(a, b).(c, d )  (a, b)

4.1.3. Ta chứng minh được tằng tập hợp � lập thành một trường đối với hai
phép toán cộng và nhân xác định như trên: Trường � được gọi là trường số hữu
tỉ. Mỗi phần tử của � được gọi là một số hữu tỉ.
Trong trường �, thì:
 Phần tử trung hịa đối với phép cộng là 0  (0, n) , n  �*
 Phần tử đối của ( a, b) là (a, b)  (a, b)
 Phần tử trung hòa đối với phép nhân là 1  (n, n) , n  �*
1

 Phần tử nghịch đảo của ( a, b)  0 là ( a, b)  (b, a )
4.1.4. Phép trừ và phép chia trong �
Theo các định nghĩa và nhận xét trên, ta có thể xác định được hiệu và
thương của hai phần tử trong � như sau:
(a, b)  (c, d )  (a, b)  ( c, d )  ( ad  bc, bd )

với (c, d ) �0 tức c  0, d  0 thì
1

( a, b) : (c, d )  ( a, b).(c, d )  ( a, b).( d , c)  ( ad , bc)
4.2. SỐ NGUYÊN – SỐ HỮU TỈ - PHÂN SỐ
4.2.1. Xét ánh xạ f: �  �
a a (a,1)

15


Có thể thấy rằng f là một đơn cấu vành (đơn ánh, bảo tồn phép cộng và
phép nhân), vậy có thể xem � là một vành con của �, nói khác đi có thể đồng
nhất mỗi số nguyên a  � với ảnh f(a) = (a,1) :

a  �, a  ( a,1)  �
nghĩa là mỗi số nguyên cũng là một số hữu tỉ, và các phép toán trên � hạn
chế trên � cũng chính là các phép tốn trên �.
4.2.2. Giả sử a  �, a  0. Khi đó theo trên, có thể đồng nhất a  (a,1) �0 , vì
thế nó có nghịch đảo trong � là (1, a ) , ta kí hiệu số nghịch đảo này là a-1, tức
a-1 = (1, a) , a  �, a  0.
Giả sử x là một số hữu tỉ tùy ý, khi đó có thể viết
x = ( a, b) , a, b  �, b  0
1
= ( a,1).(1, b)  ab

Theo định nghĩa phép chia, tích ab-1 được gọi là thương của a cho b và
a
được kí hiệu là a : b hoặc b . Vậy mỗi số hữu tỉ x = (a, b) đều được viết dưới
a
a
dạng b . Ta nói đó là sự biểu diễn số hữu tỉ x dưới dạng phân số b , và a gọi là
tử số, b  0 là mẫu số của phân số đó.
4.2.3. Hệ quả
Từ định nghĩa sự bằngnhau của các số hữu tỉ (các đại diện thuộc cùng lớp
tương đương), từ cách biểu diễn các số hữu tỉ dưới dạng phân số, ta thấy:
a c
 � ad  bc
b d

a c ad  bc
 
bd
b d

a a a


 b b b

�a � b
��
 �b � a

a c ad+bc
 
b
d
bd


a c ac
. 
 b d bd

1



16


a c ad
: 
b

d bc


17


a
Phân số b được gọi là tối giản nếu (a, b) = 1. Mọi phân số đều đưa
được về dạng tối giản với mẫu số dương.
4.3. QUAN HỆ THỨ TỰ TRÊN �
4.3.1. Các định nghĩa
a
a. Giả sử x  �, x = b , a, b  �, b  0. Ta nói x lớn hơn hoặc bằng 0, kí
hiệu x  0, nếu ab  0.
b. Giả sử x, y  �. Khi đó ta nói y lớn hơn hoặc bằng x, kí hiệu y  x,
nếu y – x  0. Nếu x  y (y  x) và x  y thì ta nói x nhỏ hơn y (y lớn hơn x).
c. Số hữu tỉ lớn hơn 0 được goi là số dương. Số hữu tỉ nhỏ hơn 0 được gọi
là số âm.
4.3.2. Định lí
Quan hệ  xác định như trên là một quan hệ thứ tự toàn phần trên �.
4.3.3. Quan hệ thứ tự và các phép tốn trên �
 Phép cộng thỏa mãn tính bảo tự đối với quan hệ , nghĩa là
x  y  x + z  y + z, x, y, z  �.
 Tuy nhiên đối với phép nhân ta chỉ có:
x  y  xz  yz, x, y, z  �, z > 0.
x  y  xz  yz, x, y, z  �, z < 0.
4.3.4. Tính trù mật của �
Có thể chứng minh rằng: Với mọi x, y  �, x > y, tồn tại số hữu tỉ z sao
cho x < z < y.
Như vậy, giữa hai số hữu tỉ bất kì bao giờ cũng tồn tại vô số số hữu tỉ khác.

Điều này khác với tập số tự nhiên và tập số nguyên, vì giữa a và a+1 (a �hoặc
a �) khơng tồn tại số tự nhiên hay số nguyên nào khác. Ta nói rằng trường số
hữu tỉ được sắp thứ tự và trù mật.
Tuy vậy, tập hợp � vẫn là tập vô hạn đếm được.
4.4. SỐ HỮU TỈ VÀ SỐ THẬP PHÂN


4.4.1. Các định nghĩa
 Số hữu tỉ x được gọi là một số thập phân nếu nó được đại diện bởi một
phân số với mẫu số là một lũy thừa của 10.


Giả sử x là một số hữu tỉ không âm. Cách viết
x = n, a1a2...

trong đó n  x < n + 1, n  �, ai  {0, 1, ..., 9} được gọi là sự biểu diễn số
x dưới dạng số thập phân, trong đó n được gọi là phần nguyên, a 1a2...là phần
thập phân.


Giả sử x là một số hữu tỉ không âm. Số thập phân biểu diễn x dạng
x = n, a1a2...ai (ai+1...ai+k),

trong đó dãy chữ số trong ngoặc được lặp lại vo hạn lần, được gọi là số
thập phân vơ hạn tuần hồn, cịn (ai+1...ai+k) được gọi là chu kì của nó.
4.4.2. Các kết quả
 Tồn tại một song ánh giữa tập hợp các số hữu tỉ và tập hợp các số thập
phân vô hạn tuần hồn với chu kì khác (9).
 Mỗi số hữu tỉ là phân số thập phân đều biểu diễn được bởi một số thập
phân vơ hạn tuần hồn chu kì (0), hay số thập phân hữu hạn.

 Mỗi số hữu tỉ không phải là phân số thập phân đều biểu diễn được bởi
một số thập phân vơ hạn tuần hồn chu kì khác (9).
Các kết quả này sẽ được sử dụng để xây dựng tập hợp số thực.
§ 5. TRƯỜNG SỐ THỰC
Trong thực tiễn, có những bài tốn mà khơng thể dùng các số hữu tỉ để giải
được. Chẳng hạn số đo x của đường chéo hình vng có độ dài bằng 1 được tính
bởi x2 = 2. Nhưng có thể chứng minh (bằng phản chứng) rằng khơng có số hữu tỉ
nào bình phương bằng 2. Do đó, rỏ ràng xuất hiện yêu cầu phải mở rộng trường
số hữu tỉ đến một tập hợp số mới mà trong đó có những bài tốn loại nói trên có
lời giải, nói khác đi, các phương trình đại số dạng x n = a, a > 0, a Q có nghiệm
và hơn nữa…
5.1. SỐ THỰC
Ta đã biết mỗi số hữu tỉ dều biểu diễn dưới dạng một số thập phân hữu
hạn(cũng là số thập phân vơ hạn tuần hồn với chu kì(0)) hoặc một số thập phân
vơ hạn tuần hồn có chu kì khác (9).


Bây giờ ta lý hiệu R là tập hợp các số thập phân vô hạn, bao gồm tất cả các
số thập phân vơ hạn tuần hồn khơng có chu kì (9) và các số thập phân vơ hạn
khơng tuần hồn. Nghĩa là R bao gồm các kí hiệu dạng
a0, a1 a2… an… và - a0, a1 a2… an…
trong đó a0 N, ai {0,1,….,9}, i=1,2,…,n
Tập hợp R được gọi là tập hợp số thực, mỗi phần tử α  R được gọi là một
số thực. Rõ ràng Q  R. Số thực α không phải là số hữu tỉ được gọi là số vơ tỉ.
Giả sử α  R có dạng
α = a0, a1 a2… an… hoặc α = -a0, a1 a2… an…
Ta gọi a0(-a0) là phần nguyên của α , còn a1 a2… an… là phần thập phân của
α. Số thực α mà dạng thập phân (vơ hạn) của nó không mang dấu”-“ được gọi là
số thực dương, trái lại số thực âm. Hai số thực có dạng thập phân vô hạn chỉ
khác nhau về dấu được gọi là hai số đối nhau. Số đối của α dược kí hiệu là .

Với mọi số thực α, giá trị tuyệt đối của α, kí hiệu là  α , được xác định như
sau:
α=
5.2. QUAN HỆ THỨ TỰ TRÊN R
Giả sử α,   R.
 Nếu cả α và  đều không âm
α = a0, a1 a2… an… ,  = b0, b1 b2… bn
Ta nói α nhỏ hơn , kí hiệu α < , nếu có số thứ tự nhiên k sao
cho
a0 = b0, a1 = b1,…, ak-1 = bk-1, ak < bk. (gọi là quan hệ thứ tự từ
điển)
 Nếu trong hai số α và  có một số âm và một số khơng âm thì ta
ln coi số âm nhỏ hơn số khơng âm(từ đó, mọi số thực âm đều nhỏ hơn 0
và mọi số thực dương đều lớn hơn 0).
 Nếu cả α và  đều là số âm thì so sánh  α  và    theo trường hợp
đầu và sẽ có α <      <  α  .
 Nếu α <  hoặc α =  thì ta nói α nhỏ hơn hoặc bằng  và viết α ≤
.


Ta chứng minh được rằng quan hệ ≤ xác định như trên là một quan hệ thứ
tự toàn phần.
5.3. CẬN TRÊN(SUP), CẬN DƯỚI (INP)
5.3.1. Cận trên
Giả sử M  R. M được gọi là bị chặn trên tại số thực α sao cho với mọi x 
M đều có x ≤ α. Số thực α được gọi là một số chặn trên của M.
Nếu M bị chặn trên thì tập hợp các số chặn trên của M là một tập vô hạn.
Nếu trong tập hợp số chặn trên của M có số nhỏ nhất thì số nhỏ nhất đó được gọi
là cận trên của M và kí hiệu là supM (sup = supremum).
Người ta chứng minh được rằng mọi bộ phận khơng rỗng của R bị chặn

trên đều có cận trên.
5.3.2. Cận dưới
Giả sử M  R. M được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số thực  sao cho
với mọi x  M đều có  ≥ x. Số thực  được gọi là một số chặn dưới của M.
Nếu M bị chặn dưới thì tập hợp các số chặn dưới của M là một tập vô hạn.
Nếu trong tập hợp số chặn dưới của M có số lớn nhất thì số lớn nhất đó được gọi
là cận dưới của M và kí hiệu là infM (inf = infimum).
Người ta chứng minh được rằng mọi bộ phận khơng rỗng của R bị chặn
dưới đều có cận dưới.
5.4. PHÉP TOÁN TRÊN R
5.4.1. Xấp xỉ thiếu cấp n
Giả sử α là một số thực khơng âm có dạng thập phân là
α = a0, a1 a2… an…
Với mọi chỉ số n  N, ta đặt
α = a0, a1 a2… an…= a0 + + + …+
Thì α n là một số hữu tỉ và α = sup{ α n n  N}.
Ta gọi α n là xấp xỉ thiếu cấp n của α (hoặc giá trị gần đúng thiếu cấp của n).
Giả sử α ,  là hai số thực không âm, α n, n lần lượt là xấp xỉ thiếu cấp n
của α và . Ta định nghĩa tổng và tích của α và  như sau:
α +  = sup{ α n + n  n  N};
α *  = sup { α n * n  n  N}.


5.4.2. Với α ,  là hai số thực âm, ta định nghĩa
α +  = - ( α  +   );
α *  =  α  *   .
5.4.3. Với α ,   R, α âm,  không âm ta định nghĩa
α +  =  + α =    -  α  nếu  α  ≤   ;
α +  =  + α = -( α  -   ) nếu  α  >   ;
α *  =  * α = -( α  *   ).

Tức là các trường hợp α ,  cùng âm hoặc một trong chúng là số âm được
đưa về trường hợp α ,  cùng khơng âm(5.4.2)
5.5. ĐỊNH LÍ
Tập số thực R lập thành một trường đối với các phép toán cộng và nhân
xác định như trên. Trường R được gọi là trường số thực.
Có thể chứng minh được rằng tập số thực có tính trù mật hữu tỉ, nghĩa là
với mọi cặp số thực α ,  nếu α <  thì có vơ số hữu tỉ (cũng là số thực)  sao
cho α << .
Hơn nữa, tập số thực có lực lượng vơ hạn không đếm được; lực lượng của
tập hợp R được gọi là lực lượng continum, kí hiệu CardR = c.

THỰC HÀNH GIẢI TOÁN CHƯƠNG 2
CHỦ ĐIỂM 1. SỐ NGUYÊN TỐ
Bài tốn số 1. Tìm số ngun tố a biết rằng 2a +1 là lập phương của một số
nguyên tố.
a. Phân tích:
Cần chú ý rằng mỗi số ngun tố chỉ có ước là 1 và chính nó. Mặt khác,
mọi số ngun tố khác 2 đều là số lẻ. Ta có lời giải sau:
b. Lời giải:
- Với a = 2, ta có 2a +1 = 5, khơng thích hợp
- Với a  2, do a là số nguyên tố nên a lẻ.
Vậy 2a +1 là lập phương của một số lẻ nghĩa là
2a +1 = (2k + 1)3
 2a +1 = 8k3 + 12k2 + 6k + 1


 a = k(4k2 + 6k + 3)
Từ đó k là ước của a. Do a là là số nguyên tố nên k = 1 hoặc k = a.
- Nếu k = 1 thì 2a + 1 = (2*1 + 1)3  a = 13 thích hợp
- Nếu k = a từ a = a(4a 2 + 6a + 3) do a nguyên tố nên suy ra 1 = 4a 2 + 6a +

3. Khơng có số ngun tố a nào thỏa mãn phương trình này vì vế phải ln lớn
hơn 1.
Kết luận a = 13.
c. Khai thác bài toán:
Bài toán trên đã được giải dựa trên cơ sở mỗi số ngun tố chỉ có ước là 1
và chính nó. Bằng cách lí luận tương tự ta có thể giải bài toán sau:
Bài toán 1.1: Chọn số nguyên tố a sao cho 3a + 1 cũng là số nguyên tố.
(Hướng dẫn: a có dạng 2k hoặc 2k + 1).
Bài tốn 1.2: Tìm số nguyên tố b sao cho b + 2 bà b – 2 đều là các số
nguyên tố.(Hướng dẫn: b có dạng 3k, 3k  1).
Bài tốn số 2: Tìm các số nguyên tố a, b,c thỏa mãn điểu kiện:
abc = 3(a + b + c)
a. Phân tích:
Căn cứ vao tính chất nếu p là số nguyên tố thì p ≥ so đó p – 1 ≥ 1, và từ
chỗ abc chia hết cho 3 tac có ít nhất một trong ba thừa số do chia hết cho 3, ta có
lời giải như sau:
b. Lời giải:
Từ abc = 3(a + b + c) suy ra a chia hết cho 3 hoặc b chia hết cho 3 hoặc c
chia hết cho 3, giả sử a chia hết cho 3, vì a là số nguyên tố nên a = 3.
Vậy

3bc = 3(3 + b + c)
 bc = 3 + b + c
 b + c – bc = 3
 b – bc + c – 1 = 4
(b-1)(c-1) = 4

Do b và c là số nguyên tố nên b – 1 ≥ 1, c- 1 ≥ 1 và α  4  α = 1, 2, 4.
Vậy ta có các trường hợp sau:
Hoặc 

Hoặc 
Hoặc 
Kết luận: Các số phải tìm là (3;3;3), (3;2;5), (3;5;2), (5;3;2), (5;2;3),
(2;3;5),(2;5;3).
c. Khai thác bài toán:
Bằng cách lý luận tương tự ta có thể giải bài tốn sau:
Bài tốn 2.1: Tìm các số ngun tố a, b sao cho a.b = a + b.
Bài toán 2.2: (mở rộng của bài tốn 2.1). Tìm các số tự nhiên a, b, c sao
cho a + b + c = abc
Bài toán số 3: Cho p là số nguyên tố. Chứng minh rằng với mọi số nguyên
m > 1, ta có:
A = (m + 1)(m + 2)…(pm – 1)(pm)
Chia hết cho pm mà khơng chia hết cho pm+1.
a. Phân tích:
Vì p là số nguyên tố nên để chứng minh A chia hết cho p m cần chỉ ra A chứa
thừa số p. Mặt khác, từ số 1 đến số (pm) có pm số tự nhiên liên tiếp, mà cứ p số
(kể từ số 1) lại có một bội của p vì vậy ta sẽ cố gắng làm xuất hiện tích của (pm)
số tự nhiên liên tiếp tính từ số 1.
b. Lời giải:
A=.
Nhóm tất cả các bội của p ta có:
A=
=
= pm.1.2….(p-1)(p+1)…(mp-1).
Vậy A chia hết cho pm
Cần chú ý rằng trong tích 1.2….(p-1)(p+1)…(mp-1) khơng có thừa số nào
chia hết cho p và tất cả các bội của p đã bị nhóm lại rồi, do p là số ngun tố nên
tích 1.2….(p-1)(p+1)…(mp-1) khơng chia hết cho p.

Vậy A không chia hết cho pm+1
c. Khai thác bài toán :


Cho số nguyên tố p những giá trị cụ thể hoặc cho số nguyên dương m
những giá trị cụ thể nào đó ta được các bài tốn (dạng đặc biệt của bài toán số 3)
như sau:
Bài toán 3.1: Chứng minh rằng với mọi m  Z+, m>1, ta có
(m+1)…(2m-1)2m chia hết cho 2m mà khơng chia hết cho 2m+1
Bài tốn 3.2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố p ta có
B = 6.7…(5p-1)5p chia hết cho p5 mà khơng chia hết cho p6.
Đặc biệt chú ý đến tính chất “là số nguyên tố “ của p, ta có bài tốn sau:
Bài tốn 3.3: Bài tốn 3 nói trên cịn đúng nữa không trong trường hợp p
không phải là số nguyên tố mà chỉ là số nguyên dương?.
Bài toán số 4:Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3 sao cho 4p + 1 cũng là số
nguyên tố. Chứng minh rằng 4p -1 là hợp số.
a. Phân tích:
Có 4p -1, 4p, 4p +1 là 3 số nguyên tố liên tiếp nên ta có hướng chứng minh
4p – 1 là hợp số nhờ tính chia hết cho 3.
b. Lời giải:
Vì p > 3 và p là số nguyên tố nên (p,3) =1. Mặt khác 4p + 1 cũng là số
nguyên tố.
Vậy trong 3 số nguyên tố liên tiếp 4p -1, 4p, 4p +1 chia hết cho 3. Do p > 3
nên 4p – 1 > 3, từ đó suy ra 4p – 1 là hợp số.
c. Khai thác bài toán:
Bằng cách lý luận tương tự ta có thể giải các bài toán sau:
Bài toán 4.1: Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3, sao cho 2p – 1 cũng là số
nguyên tố. Chứng minh 2p + 1 là hợp số.
Bài toán 4.2: Cho p là số nguyên tố lớn hơn 5 sao cho 5p + 1 cũng là số
nguyên tố. Chứng minh 5p – 1 là hợp số.

Bài toán số 5: Tìm số nguyên tố p sao cho p + 2 và p + 4 cũng là số
nguyên tố.
a. Phân tích:
Ta có thể tìm p nhờ xác định dư trong phép chia p cho một số nào đó,
chẳng hạn cho 3.
b. Lời giải: