ĐẠI số sơ cấp CHƯƠNG 3

MỤC LỤC

1


CHƯƠNG 3:
ĐA THỨC – PHÂN THỨC HỮU TỈ - BIẾN ĐỔI HỮU TỈ
§1.
1.1.

BIỂU THỨC TỐN HỌC

CÁC PHÉP TỐN SƠ CẤP

x3

Trong toán học sơ cấp, người ta khảo sát các phép toán sau đây:

a) Các phép cộn, trừ, nhân, chia (gọi là bốn phép toán số học) và phép nâng lên lũy thừa

với số mũ hữu tỉ. Các phép tốn đó được gọi là các phép toán đại số.
b) Các phép toán khác: phép nâng lên lũy thừa với số mũ vô tỉ, phép lấy loogarit, phép

lấy các hàm số lượng giác v.v… được gọi là các phép toán siêu việt.
1.2.

BIỂU THỨC TỐN HỌC

Một biểu thức tốn học là cách viết chỉ rõ các phép toán và thứ tự thực hiện các
phép tốn đó trên các số ( lấy giá trị trong trường K).
Một biểu thức tốn học trong đó các phép toán trên các đối số chỉ là các phép

cộng, trừ, nhân, chia, lũy thừ nguyên, khai căn (hay lũy thừa với số mũ phân) được gọi
là biểu thức đại số.
Nếu biểu thức đại số chỉ chứa các phép toán cộng, trừ, nhân, chia, lũy thừa
nguyên dương của đối số thì nó được gọi là biểu thức đại số hữu tỉ, nếu có chứa căn
thức của đối số thì nó được gọi là biểu thức đại số vô tỉ.
Một biểu thức đại số hữu tỉ được gọi là biểu thức đại số hữu tỉ ngun nếu nó
khơng chứa phép chia cho biến, tức là có dạng một đa thức, ngược lại thì gọi là biểu
thức đại số phân thức hữu tỉ.
Một biểu thức tốn học có các phép tốn siêu việt thực hiện trên các đối số được
gọi là biểu thức siêu việt.
Trong giáo trình, thơng thường trường cơ sở K được lấy là trường các số hữu tỉ
Q, trường các số thực R, hoặc trường các số phức C.
Ví dụ 1.

Là các biểu thức đại số của đối số x trên trường số thực R, trong đó A(x) là biểu
thức đại số hữu tỉ nguyên, B(x) là biểu thức đại số hữu tỉ phân (hay phân thức), C(x) là
biểu thức đại số vô tỉ.
2


Ví dụ 2.

Ví dụ 3.

Là biểu thức đại số hữu tỉ phân của hai đối số x, y trên trường Q.

Là biểu thức siêu việt của ba đối số x,y,z trên trường Q.
Chú ý: Để phân loại 1 biểu thức là đại số hay siêu việt, cần chú ý đến tính chất
của phép tốn thực hiện trên các đối số chứ không phải trên các hệ số ( là các phần tử
của trường cơ sở K).

Ví dụ 4.

Là biểu thức đại số của đối số x trên trường R.
1.3.

GIÁ TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC. MIỀN XÁC ĐỊNH CỦA BIỂU THỨC

Cho biểu thức toán học A(x1, x2,…, xn) với các đối số là x1, x2,…, xn. Ta gọi giá
trị của biểu thức tại bộ giá trị a1, a2,…, an của các đối số của trường K là kết quả của
việc thực hiện tất cả các phép tốn trong biểu thức đó trên trường K khi thay x 1 = a1, x2
= a2,…, xn = an khi đó bộ giá trị a1, a2,…, an được gọi là bộ giá trị thừa nhận được của
các đối số. Tập hợp tất cả các bộ giá trị thừa nhận được của các đối số được gọi là
miền các định hay tập xác định của biểu thức đó.
Ví dụ 5.
Cho
Khi đó (0, 0, 0) là bộ giá trị thừa nhận được và . Còn là bộ giá trị khơng thừa
nhận được trên trường R vì khơng có nghĩa trên trường R.
Ví dụ 6.
Trên trường số thực, biểu thức B(x) = có miền xác định là (-, 3], biểu thức
C(x) = có miền xác định là (-, 3), biểu thức D(x) = log 5(x – 2) có miền xác định
là (2, +.
Ví dụ 7.
Trên trường số thực, biểu thức
3


f(x, y, z) =
có miền xác định là tập hợp các bộ ba số thực, trong đó số thứ nhất là các số
thực khác 3, số thứ hai là các số thực lớn hơn 1, số thứ ba là các số thực lớn hơn 2.
§2.

2.1.

VÀNH ĐA THỨC MỘT ẨN

CÁC ĐỊNH NGHĨA

Cho A là một vành giao hoán, chứa đơn vị ( thông thường, ta lấy A là vành số
nguyên Z, trường số hữu tỉ Q, trường số thực R, hoặc trường số phức C. Ta gọi là đa
thức trên A, một tổng hình thức có dạng:
f(x) = a0 + a1x + …+ anx, hoặc viết gọn là:

ak ∈ A

Trong đó các
, k = 0, 1, 2, …, n, được gọi là các hệ số (hoặc hệ tử) của
f(x), a0 được gọi là hệ số tự do, x là một kí hiệu gọi là ẩn mà ta quy ước rằng x 0 = 1, xk
= x.x …x (k thừa số bằng x), các akxk gọi là các hạng tử hay số hạng hay đơn thức.
Nếu an 0 thì an được gọi là hệ số cao nhất của đa thức f(x), còn anxn được gọi là
hạng tử cao nhất của f(x), số tự nhiên n được gọi là bậc của đa thức f(x), đơi khi được
kí hiệu là degf(x) (viết tắt của chữ degree nghĩa là bậc).
Hai đa thức f(x) và g(x) được gọi là bằng nhau nếu và chỉ nếu các hệ số tương
ứng của chúng bằng nhau, nghĩa là nếu cho
f(x) = a0 + a1x + …+ anxn với an 0
g(x) = b0 + b1x + …+ bnxn với bn 0
thì f(x) = g(x)

⇔

n = m và ak = bk ,

Ta gọi đa thức không là đa thức mà tất cả các hệ số đều bằng không, và ta cũng kí
hiệu nó là 0. Vậy một đa thức bằng đa thức không khi và chỉ khi mọi hệ số của nó đều
bằng 0.
Với mỗi c A, ta gọi giá trị của đa thức f(x) trên vành A tại x = c là phần tử

Ta kí hiệu A[x] là tập hợp tất cả các đa thức của ẩn x trên vành A.
Cách viết đa thức f(x) như trên

được gọi là dạng chính tắc tiến. Cịn cách viết

4


được gọi là dạng chính tắc lùi của f(x).
Ví dụ: f(x) = x3 + 2x + là dạng chính tắc lùi cịn f(x) = là dạng chính tắc tiến của
cùng một đa thức với hệ số thực.
Từ định nghĩa sự bằng nhau của hai đa thức, ta suy ran gay mỗi đa thức đều có
một dạng chính tắc tiến duy nhất và một dạng chính tắc lùi duy nhất.
2.2.

PHÉP CỘNG, TRỪ ĐA THỨC
Giả sử cho hai đa thức:
f(x) = a0 + a1x + …+ anxn A[x]
g(x) = b0 + b1x + …+ bmxm A[x]
với n m; n, m N. ta gọi tổng của chúng, kí hiệu bởi f(x) + g(x) là đa thức:
h(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + (am + bm)xm + am+1xm+1 + … + anxn .

Chú ý rằng trong thực hành muốn cộng hai đa thức, ta viết chúng dưới dạng cùng
lùi hoặc cùng tiến và đa thức nọ dưới đa thức kia sao cho các lũy thừa cùng bậc của x
nằm trên một cơt. Khi đó, cộng hai đa thức thực chất là thực hiện phép cộng các hệ số

tương ứng của cùng lũy thừa.
Ví dụ
f ( x ) = 2x7
g ( x) =

+ x5

− 2 x3 – x 2 + 6

 3 x 6 – 2 x 5 + x 4 + 2 x 3 – 5 x 2 – 3

h ( x ) = f ( x ) + g ( x ) = 2 x 7 3 x 6 – x5 + x 4    – 6 x 2 + 3
Từ định nghĩa, ta suy ran gay rằng phép cộng đa thức của A[x] có các tính chất
sau đây (để cho gọn, ta kí hiệu đa thức bởi f, g, h, …)
1. Giao hoán: f + g = g + f
2. Kết hợp: (f + g) + h = f + (g + h).
3. Tồn tại phần tử không, là đa thức

sao cho

4. Với mỗi f(x) = a0 + a1x + …+ anxn A[x] tồn tại một phần tử đối duy nhất, được

gọi là đa thức đối, đó là:
- f(x) = - a0 - a1x - …- anxn A[x]
sao cho f(x) + (- f(x)) = 0.
5


Chú ý:
1) Nói cách khác đi, tập hợp các đa thức một ẩn A[x] trên vành A lập thành một nhóm

cộng aben.
2) Cũng từ tính chất trên, ta định nghĩa được hiệu của hai đa thức f(x) và g(x), kí hiệu

f(x) – g(x), là đa thức k(x) cho bởi
k(x) = f(x) + (- g(x)).
2.3.

PHÉP NHÂN ĐA THỨC
Giả sử cho hai đa thức trên vành A giao hốn, có đơn vị
f(x) = a0 + a1x + …+ anxn A[x]
g(x) = b0 + b1x + …+ bmxm A[x]
Ta gọi tích của f(x) và g(x), kí hiệu f(x) g(x), là đa thức:
h(x) = a0 .b0 + (a1b0)x + … + (anbm-1)xn+m-1 + anbmxn+m
hoặc có thể viết dưới dạng:
với
Từ định nghĩa trên ta chứng minh được các tính chất sau:
1. Giao hốn: fg = gf
2. Kết hợp: (f g)h = f(gh).
3. Tồn tại đa thức đơn vị, đó là đa thức
1 = 1 + 0x + … + 0xn
sao cho f(x).1 = 1.f(x) = f(x), f A[x].
4. Phép nhân đa thức phân phối đối với phép cộng đa thức
f(g + h) = fg + fh.
Tổng hợp các tính chất của phép cộng và phép nhân các đa thức một ẩn, ta có

Định lí. Giả sử A là một vành giao hốn có đơn vị. Khi đó A[x] cũng là một vành
giao hốn có đơn vị đối với phép cộng và phép nhân đa thức định nghĩa như trên.
Vì thế, ta gọi A[x] là vành đa thức một ẩn x trên A
2.4.

PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH

Giả sử cần biểu diễn một đa thức đã cho dưới dạng địi hỏi nào đó. Dựa vào định
nghĩa hai đa thức bằng nhau (nếu và chỉ nếu các hệ số tương ứng với cùng một lũy
thừa của ẩn là bằng nhau – nói khác đi là hai đa thức phải “như nhau”, phải “hằng

6


đẳng”), ta có thể tính được các hệ số của sự biểu diễn đòi hỏi bằng cách giải một hệ
phương trình sơ cấp. Phương pháp này được gọi là phương pháp hệ số bất định.
Ví dụ 1.

Biểu diễn biểu thức:

f(x) = (x – 1)(x – 2)( x + 3) + 5x + 4 thành dạng chính tắc của một đa thức.
Ta thấy bậc của đa thức là 3, với hệ số của x 3 là 1, và số hạng tự do bằng ( - 1)( 2)(3) + 4 = 10. Vậy ta có thể viết:
f(x) = x3 + ax2 + bx + 10
Trong đẳng thức trên, lần lượt lấy x = 1, x = 2, ta được:

Giải hệ hệ phương trình này, ta được a = 0, b = - 2, và đa thức phải tìm là:
f(x) = x3 – 2x + 10
Ví dụ 2.

Biểu diễn biểu thức

g(x) = ( x2 – 5x + 4)(x – 1)
dưới dạng chính tắc lùi của (x + 1).
Ta có thể viết:

g(x) = ( x2 – 5x + 4)(x – 1) = a(x + 1)3 + b(x + 1)2 +c(x + 1) + d.
Ta có ngay a = 1.
Lần lượt lấy x = -1, x = 1, x = 4, ta được:

Giải hệ phương trình, ta được b = - 9, c = 24, d= -20.
Do đó:
g(x) = (x + 1)3 + 9(x + 1)2 + 24(x + 1) – 20 .
Ví dụ 3.

Hãy tìm các số a, b sao cho đa thức

f(x) = x4 + 2x3 + ax2 + 2x + b
là bình phương của một đa thức khác. Tìm đa thức đó.
Vì đa thức đã cho có bậc 4 nên đa thức phải tìm sẽ có bậc 2 và có dạng mx 2 + px
+ q.
Hệ số m chỉ có thể lấy một trong hai giá trị +1 và – 1 vì hệ số của x 4 trong f(x) là
1.
Với m = 1, ta có:
7


f (x) = (x2 + px + q)2 = x4 + 2px3 + (p2 +2q)x2 + 2pqx + q2
Cho các hệ số của các lũy thừa cùng bậc ở hai vế của f(x) bằng nhau, ta được:

Từ (1) ta được p = 1, thay vào (3) ta được q = 1, thay tiếp vào (2) và (4) ta được a
= 3, b = 1. Vậy
f(x) = (x2 + x + 1)2 = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1
Với m = -1, ta được:
f(x) = -(x2 + x + 1)2 = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1
§3.

PHÉP CHIA ĐA THỨC

Từ đây về sau, ta sẽ xét các trường số P, thay cho vành giao hoán có đơn vị A, và
vành đa thức một ẩn P[x] thay cho A[x]. Thông thường, các trường số P sẽ là trường số
hữu tỉ Q, trường số thực R, trường số phức C.
3.1. NHẬN XÉT
Để chứng minh định lí chủ yếu về phép chia đa thức, ta cần nhận xét sau đây về
tổng và tích của hai đa thức.
Nhận xét 1:
Bậc của tổng hai đa thức không lớn hơn bậc của cao nhất trong hai đa thức đó,
nghĩa là:

Thật vậy, giả sử

Nếu m = n thì

do đó
cịn nếu m < n thì

do đó
nhận xét 2:
Bậc của tích hai đa thức khác không, bằng tổng các bậc của hai đa thức đó, nghĩa
là:
8


Thật vậy, giả sử f(x) và g(x) là hai đa thức viết như trên. Khi đó:

Hệ số cao nhất , do đó:

3.2. ĐỊNH LÍ PHÉP CHIA CĨ DƯ
Cho hai đa thức f và g , trong đó g .Khi đó tồn tại duy nhất một cặp đa thức q, r
sao cho:
f = gq + r,
trong đó hoặc r = 0, hoặc deg(f) < deg(g). Khi đó ta gọi q là thương và r là dư
của phép chia f cho g.
Chứng minh:
a) Sự tồn tại
Nếu f = 0 hoặc deg(f) < deg(g), ta lấy q = 0 và r = f, định lí được chứng minh. Do
đó, có thể giả thiết rằng deg(f) deg(g), và giả sử:
,

Xét đa thức . Khi đó q1.g có hạng tử cao nhất là:

Do đó đa thức có bậc nhỏ hơn n. Nếu hoặc deg(f 1) < deg(g1) thì ta dừng lại và
được ĐPCM. Nếu khơng thì bây giờ thay vai trị của f bởi f 1, ta được có bậc nhỏ hơn
bậc của . Cứ tiếp tục như vậy, ta được dãy f, f 1, f2…, mà bậc của chúng giảm dần ngặt.
Vì vậy phải tồn tại một chỉ số k của fk có bậc nhỏ hơn bậc của g, hoặc fk = 0, và ta có:

…………….

Cộng các đửng thức với vế, rồi ước lược, ta có:

trong đó nếu thì . Khi đó ta chọn và .
b)Tính duy nhất
9


Giả sử có f = gq + r và f’ = gq’ + r’, với r, r’ nếu khác không thì deg(r), deg(g) và

deg(r’) < deg(g). Trừ vế với vế, ta có:
0 = g(q – q’) + (r – r’)
Hay g(q – q’) = r’ – r.
Nếu r’ thì deg(r’ – r) < deg(g) theo nhận xét ở trên do đó deg[g(q – q’)] < deg(g),
mâu thuẫn với nhận xét 2. Vậy phải có r = r’, do đó q = q’. (ĐPCM).
Ví dụ. Cho hai đa thức

Thực hiện phép chia f(x) cho g(x).
Ta có thể sắp đặt phép tính như sau:

Ta cịn có thể sắp đặt các phép tính một cách thuận lợi hơn theo sơ đồ sau:

Ở khung trên bên trái ta viết số hạng cao nhất của g(x) là , rồi trong cột thứ nhất
ta viết các số hạng khác của g(x) đổi dấu đi, còn f(x) thì viết ở dịng đầu. Trong dịng
cuối cùng, là số hạng cao nhất của thương. Ta khơng cần viết tích của số hạng cao
nhất của g(x) với hạng tử cao nhất của thương vì khi trừ vào f(x) thì tích đó mất đi.
Cịn tích của số hạng cao nhất của thương (tức ) với các hạng tử khác đã đổi dấu của
g(x) thì ta viết vào dịng thứ hai. Rồi ta chia số hạng cao nhất của dư thứ nhất (cụ thể
10


là ) cho số hạng cao nhất của g(x), ta được số hạng thứ hai của thương là -2x. Rồi lại
tiếp tục như trên, ta viết tích của – 2x với các số hạng đã đổi dấu của g(x)vào dòng thứ
ba. Sau đó ta chia số hạng cao nhất của dư thứ hai (cụ thể là ) cho số hạng cao nhất
của g(x), v.v… Muốn được dư thì việc cộng các số hạng đồng dạng viết ở các cột bắt
đầu từ cột với lũy thừa bậc 3 của x.
3.3. PHÉP CHIA HẾT
Cho hai đa thức f(x), g(x) . Ta nói f(x) chia hết cho g(x) hay g(x) chia hết f(x)
nếu tồn tại h(x) sao cho f(x) = g(x).h(x) và kí hiệu:

Ta cũng nói f(x) là bội của g(x) hay g(x) là ước của f(x).
Chú ý:
1) Ta thấy ngay rằng mỗi phần tử khác không, , tức là mỗi đa thức bậc khơng,
đều là ước của mọi đa thức vì
.
2) Cũng thấy ngay rằng mỗi đa thức f(x) đều là bội của chính nó và là bội của
mọi đa thức af(x), . các ươc khả nghịch (tức là các hằng số và ước dạng a.f(x) với của
đa thức f(x) được gọi là các ước tầm thường của f(x). Từ đây về sau, khi nói đến các
ước của đa thức f(x) bậc n, ta chỉ nói đến các ước thật sự, hay các ước khơng tầm
thường, tức là các đa thức có bậc lớn hơn 0 và bé hơn n.
Từ định nghĩa ta suy ran gay các tính chất sau ( để cho gọn, ta kí hiệu các đa thức
bởi f, g, h,… như thường lệ).
1) Nếu thì thương q là duy nhất.
2) Nếu thì hoặc f = 0, hoặc .
3) Nếu và nếu thì tồn tại .
4) Nếu .
5) Nếu thì
6) Nếu và thì .
3.4. ĐỊNH LÍ BƠDU (Bezout)
Trong phép chia đa thức thì trường hợp đơn giản nhất song quan trọng nhất và
nhiều ứng dụng nhất là trường hợp chia cho đa thức x – c, với . Định lí sau đây sẽ cho
ta biết ngay cách tìm dư trong phép chia đó.
Định lí Bơdu. Dư của phép chia đa thức f(x) cho x – c là giá trị f(c).
Chứng minh:
11


Theo định lí về phép chia có dư, ta có:

trong đó hoặc r(x) = 0 hoặc deg(r(x)) = 0 (vì bậc của x – c là 1), nghĩa là r(x) là

một hằng số thuộc trường P. Mặt khác ta có:

mà r(x) là đa-thức-hằng, có giá trị tại c bằng f(c) nên r(x) = f(c) hay số dư là hằng
số f(c).
Hệ quả: f(x) chia hết cho (x – c) khi và chỉ khi f(c) = 0 (nghĩa là c là nghiệm của
f(x) như sẽ nói trong mục sau).
3.5. SƠ ĐỒ HOOCNE (Horner)
Là thuật tốn cho phép ta tìm nhanh thương và dư trong phép chia một đa thức
f(x) bất kì cho x – c
Giả sử
Chia f(x) cho x – c, ta được thương q(x) có bậc n – 1

và dư là hằng số , nghĩa là:

Dùng phương pháp hệ số bất định, ta có:

…………….

Từ đó suy ra

……………..

…………………....

…………………

Dãy đẳng thức truy hồi đó được trình bày trong sơ đồ sau gọi là sơ đồ hoocne:
…
…

…
…

r

Quy tắc: Mỗi phần tử ở dòng dưới bằng tích của c với phần tử đứng ngay trước
nó cộng với phần tử tương ứng ở dòng trên.

12


Kết hợp với định lí Bơdu, r = f(c), ta thấy sơ đồ hoocne cũng cho ta tính nhanh
giá trị của đa thức f(x) tại x = c, nhất là khi f(x) có bậc cao.
Ví dụ 1. Tìm thương và dư trong đa thức

f(x)

2

2

2

3
3

5

13

24

Vậy thương là và dư 24 = f(2).
Ví dụ 2. Tìm thương và dư trong phép chia đa thức
cho
f(x)

1
1

0
0

2
2

Vậy thương là và dư
§4.

ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT CỦA HAI ĐA THỨC

4.1. ĐỊNH NGHĨA
Giả sử f(x) và g(x) là hai đa thức trên trường số P. Ta gọi đa thức h(x) là ước
chung của f(x) và g(x) nếu f(x) và g(x) đề chia hết cho h(x).
Đa thức d(x) được gọi là ước chung lớn nhất (UCLN) của f(x) và g(x), kí hiệu
là:
d(x) = (f(x), g(x))
nếu
a) d(x) là ước chung của f(x) và g(x).
b) d(x) chia hết cho mọi ước chung của f(x) và g(x).

c) hệ số cao nhất của d(x) bằng 1.
Hai đa thức f(x) và g(x) được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu
(f(x), g(x)) = 1
Nghĩa là nếu f(x) và g(x) khơng có các ước chung nào ngồi các hằng số khác
khơng.
Chú ý: Khi nói đến UCLN của hai đa thức thì hai đa thức là khác khơng.
4.2. THUẬT TỐN ƠCLIT (Euclide)
Để tìm UCLN của hai đa thức, ta dùng thuật toán giống như thuật toán ơclit để
tìm UCLN của hai số nguyên.
13


Như thường lệ, để cho gọn, ta sẽ viết các đa thức bởi f, g, q, r …, thay cho f(x),
g(x), q(x), r(x)… Giả sử f và g là hai đa thức khác không trên trường P và . Sử dụng
liên tiếp định lí về phép chia có dư, ta được:
chia f cho g:

chia g cho r:

chia r cho :
…………….

……………

chia cho :
chia cho :

.

Vì nên phải tồn tại số tự nhiên k khác 0 sao cho

và quá trình chia kết thúc. Khi đó lấy chia cho hệ số cao nhất của nó, ta được
d(x), chính là UCLN của f và g.
Thật vậy, đi từ dưới lên trong chuỗi đẳng thức trên, ta suy ra rằng là ước chung
của f và g.
Đi từ trên xuống trong dãy đẳng thức trên, ta suy ra rằng nếu h là một ước chung
của f và g thì h cũng là ước chung của . Mặt khác, ta đã chia cho hệ số cao nhất của nó
trên d(x) có hệ số cao nhất bằng 1 (ĐPCM).
Ta chứng tỏ rằng UCLN của hai đa thức f(x) và g(x) là duy nhất. Thật vậy, nếu
và là hai UCLN của f(x) và g(x) thì , do đó ,
vì vậy và cùng bậc. Mặt khác, hệ số cao nhất của và đều bằng 1, do đó c – 1 và
vì thế .
Từ thuật tốn Ơclit và nhận xét trên ta được:
Định lí 1. Đối với hai đa thức khác không f(x) và g(x) của P(x) luôn tồn tại và
duy nhất UCLN của chúng.
Ví dụ. Tìm UCLN của hai đa thức:

Ta dùng thuật tốn Ơclit, được trình bày như sau:

1

14


0
Dư cuối cùng khác không chia cho hệ số cao nhất của nó là , do đó UCLN:

Đối với UCLN của hai đa thức, tính chất quan trọng nhất là:
Định lí 2. Giả sử (f(x), g(x)) = d(x), khi đó tồn tại các đa thức u(x) và v(x) sao
cho:
f(x).u(x) + g(x).v(x) = d(x)

Ngược lại, nếu đa thức d(x) là một ước chung của f(x) và g(x) và thỏa mãn (1) thì
d(x) là UCLN của f(x) và g(x).
Chứng minh:
Từ thuật tốn Ơclit

……………
.
và như đã biết, trong đó a là hệ số cao nhất của . Thay ngược dần lên các đa thức
trên ta được:

Đảo lại, nếu d là ước chung của f và g và thỏa mãn (1) và giả sử h là một ước
chung bất kì của f và g thì khi đó h là ước chung của fu và gv, và vậy h là ước chung
của fu + gv, nghĩa là h là ước của d. Vậy d là UCLN của f và g (ĐPCM).
Từ định lí, ta suy ran gay hệ quả rất thường dùng:
Hai đa thức f(x) và g(x) là nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi tồn tại hai đa thức
u(x) và v(x) sao cho:
f(x).u(x) + g(x).v(x) = 1.
§5.
5.1.

NGHIỆM CỦA ĐA THỨC

ĐỊNH NGHĨA
Nghiệm của đa thức là số sao cho giá trị của f(c) bằng 0.

15


Như vậy nghiệm của đa thức f(x) cũng là nghiệm của phương trình f(x) = 0 tuy
vậy cần phân biệt các khái niệm đa thức và phương trình đa thức (xem chương 6).

5.2.

SỐ NGHIỆM VÀ HỆ THỨC GIỮA CÁC NGHIỆM

Định lý 1. Mỗi đa thức f(x) bậc
n nghiệm phân biệt trên P.

n ≥1

trên trường số P đều có khơng q

Chứng minh:
Giả sử f(x) có n + 1 nghiệm phân biệt là

(x − c1 )(x − c 2 )...(x − c n+1 )

c1 , c2 ,..., cn +1.

Khi đó f(x)

M

do đó:

f (x) = (x − c1 )(x − c 2 )...(x − cn +1 ).q(x)
với q(x)

≠

0. Từ đó suy ra deg(f(x))

≥

n + 1, mâu thuẩn với giả thuyết.

Định lý 2. Mọi đa thức bậc n trên trường số phức đều có đúng n nghiệm phức.
n ≥1
Đây là hệ quả của “định lí cơ bản của số học” là “mọi đa thức bậc
trên
trường số phức đều có ít nhất là một nghiệm phức”. Định lí này có nhiều cách chứng
minh do tầm quan trọng đặc biệt của nó, song ở đây ta thừa nhận mà khơng chứng
minh vì khn khổ của giáo trình.

Định lí 3. (định lí Viet). Nếu đa thức
f (x) = a 0 x n + a1 x n −1 + ... + an , ai ∈ P, a0 ≠ 0

có n nghiệm trên P là

c1 , c2 ,..., cn

thì:

a1

c1 + c2 + ... + cn = − a
0

a2

c1c2 + ... + c1cn + c2 c3 + ... + cn −1cn = a

0


a3
c1c2 c3 + c1c2 c4 + ... + cn−2 cn−1cn = −
a0

.....................................................

c c ....c = ( −1) n an
1 2 n
a0


16


Chứng minh:
Do

c1 , c2 ,..., cn

là n nghiệm của f(x) nên:

f (x) = a 0 (x − c1 )(x − c 2 )...(x − c n )

= a0  x n − (c1 + c 2 + ... + c n ) x n−1 + (c1c 2 + ... + c1c n + c 2c 3 + ... + c n −1c n ) x n−2 + ... + (−1) n c1c2 ...cn  .

So sánh các hệ số tương ứng của các lũy thừa của x ở hai vế, ta được các hệ
thức phải chứng minh.

Trường hợp đặc biệt, với n = 2, ta thu được định lí Viet quen thuộc trong giáo
trình bậc Trung học.
Sau này ta sẽ nhiều lần sử dụng đến nhận xét sau: Nếu f(x) là một đa thức với
hệ số thực có một nghiệm phức (khơng thực) là

α = a − bi

, thì số phức liên hợp

cũng là nghiệm của nó.

Thật vậy, vì
5.3.

α = a + bi

f (x) ∈ R [ x ]

nên ta có

f (α ) = f (α ) = 0.

NGHIỆM BỘI
Một số

c∈P

được gọi là nghiệm bội k của đa thức

f (x) ∈ P [ x ]

nếu

f (x) = (x − c) k .g (x), k ≥ 2

và g(x) không nhận c làm nghiệm. Khi đó k = 2 thì c được
gọi là nghiệm kép của f(x). Nếu c là nghiệm nhưng khơng phải là nghiệm bội của f(x)
thì khi cần ta sẽ nói là nghiệm đơn.
Để thử xem một nghiệm có phải là một nghiệm bội hay khơng, ta có thể dùng
định lí sau:
Định lí. Giả sử c là một nghiệm của f(x). Khi đó c là nghiệm bội của f(x) nếu và
chỉ nếu c là nghiệm của đạo hàm f’(x).
Chứng minh:
Nếu c là nghiệm bội của f(x) thì có

k≥2

Từ đó suy ra f’(c) = 0.
Đảo lại do c là nghiệm của f(x) nên ta có:
17

sao cho

f (x) = (x − c) k .g(x), g(c) ≠ 0.


f (x) = (x − c) m .g (x).

Với g(x)

≠0

, g(x) chia hết cho (x - c), tức là

nếu c là nghiệm của đạo hàm f’(x) thì

g (x) ≠ 0

m≥2

. Phải chứng minh rằng

. Thật vậy, nếu m = 1 thì

f '(x) = (x − c).g'(x) + g(x)
f '(c) = g(c) ≠ 0

do đó
5.4.

, trái giả thiết.

ÁP DỤNG VÀO BÀI TỐN CHIA HẾT

n≥m

Định lí. Một đa thức f(x) bậc n chia hết cho đa thức g(x) bậc m (
) khi và
chỉ khi tất cả m nghiệm của g(x) đều là nghiệm của f(x); mỗi nghiệm được kể một số
lần bằng số bội của nó.

Chứng minh:

f (x)Mg(x)
Nếu
của g(x) thì

thì f(x) = g(x).h(x). Nếu
g (x) = (x − c) k .q(x)

c∈P

là nghiệm đơn hay nghiệm bội k

, khi đó

f (x) = (x − c) k .q(x).h(x).

Vậy c là nghiệm (với số bội lớn hơn hoặc bằng k) của f(x).
Đảo lại, nếu tất cả các nghiệm của f(x) (kể cả bội) là

g (x) = a(x − c1 )(x − c 2 )...(x − c m )

, trong đó a là hệ số cao nhất của g(x), các

có thể trùng nhau.
Vì

c1 , c2 ,..., cm

c1 , c2 ,..., cm

cũng là nghiệm của f(x) nên ta có:

f (x) = (x − c1 )(x − c 2 )...(x − c m ).h(x).
f (x)Mg(x).
Từ đó ta thấy ngay

18

thì

c1 ,....., cm


Ví dụ. Chứng minh rằng đa thức

f (x) = x 3m + x3n+1 + x3 p + 2

chia hết cho đa thức

g (x) = x 2 + x + 1; ∀m, n, p ∈ N .

Giải:
Gọi
nên

ω

là một nghiệm bất kỳ của g(x). Khi đó

ω2 + ω +1 = 0

hay

ω 2 = −ω − 1

ω 3 = −ω 2 − ω = 1.

Vậy

ω3 = 1

. Thay

ω

vào f(x) và chú ý rằng

ω 3 = 1,

ta có:

f (ω ) = ω 3m + ω 3n +1 + ω 3 p + 2 = 1 + ω + ω 2 = 0.

Vậy

ω

f (x)Mg(x).
cũng là nghiệm của f(x). Do đó

NGHIỆM NGUYÊN VÀ NGHIỆM HỮU TỈ CỦA ĐA THỨC

5.5.

Trong thực hành, việc tìm nghiệm nguyên và nghiệm hữu tỉ của các đa thức với
hệ số hữu tỉ nhiều khi có ý nghĩa thực tiễn lớn và đem lại nhiều thú vị.
Trước hết ta hãy để ý rằng nếu

f (x) ∈ Q [ x ]

thì ta ln ln có thể đưa về dạng

f (x) ∈ Z[x]

để tìm nghiệm, vì ta ln ln có thể quy đồng mẫu số các hệ số hữu tỉ
của f(x), và giả sử mẫu số chung của các hệ số của f(x) thì các nghiệm của phương
trình với hệ số hữu tỉ f(x) = 0 cũng là nghiệm của phương trình g(x) = m. f(x) = 0 với
hệ số nguyên. Vì thế trong vấn đề tìm nghiệm, ta chỉ cần xét

f (x) ∈ Z[x].

Định lí. Cho đa thức:

f (x) = a 0 x n + a1 x n −1 + ... + an ; ai ∈ Z , a0 ≠ 0.
p
q
Nếu phân số

a0

(tối giản) là nghiệm của f(x) thì p là ước của

.
Chứng minh:

19

an

và q là ước của


p
q
Vì

là nghiệm của f(x) nên
pn
p n−1
a0 n + a1 n−1 + ... + an = 0.
q
q

Do đó

a0 p n + a1 p n −1q + ... + an q n = 0.
Từ đó
a0 p n = − q(a1p n−1 + ... + a nq n−1 ),

nên

a0 p n Mq.

Cũng vậy,

an p n = − p (a 0 p n−1 + ... + a n −1q n −1 ),

Do (p, q) = 1 nên từ đó suy ra

a0 Mq

và

nên

an p n Mp.

an Mp.

Hệ quả:
1) Mọi nghiệm nguyên (nếu có) của đa thức với hệ số nguyên phải là ước của số hạng tự

do.
2) Mọi nghiệm hữu tỉ của một đa thức với hệ số nguyên và hệ số cao nhất bằng 1 đều là

nghiệm nguyên.
Chú ý: Bao giờ ta cũng chuyển được việc tìm nghiệm hữu tỉ của một đa thức với
hệ số nguyên về việc tìm nghiệm nguyên của một đa thức thích ứng.
Thật vậy, xét phương trình:

a0 x n + a1 x n −1 + ... + an = 0, ∀ai ∈ Z , a0 ≠ 0.

Nhân 2 vế của phương trình với

a0 n−1

, ta có:

(a 0 x)n + a1 (a 0 x) n −1 + ... + a0 n −1an = 0

Đặt

y = a0 x

, ta được phương trình:

y n + a1 y n−1 + ... + a 0 n−1 an = 0
20


với hệ số cao nhất của y là 1. Do đó nếu phương trình sau cùng có nghiệm hữu tỉ
thì nghiệm đó là nghiệm ngun. Tìm được nghiệm của
x0 =

y
a0

y0 ,

ta tìm được nghiệm hữu tỉ

của phương trình đã cho.

Định lí 2. Nếu

α ≠ ±1

là nghiệm nguyên của đa thức

f (x) = a 0 x n + a1 x n→1 + ... + an ∈ Z [x]
f (1)
1−α

thì

và

f ( −1)
1+ α

phải là các số nguyên (*).

Chứng minh:
Nếu

α

là nghiệm của f(x) thì
q(1) =

Do

f (x) = (x − α ) q(x).

Thay x = 1 và x = - 1, ta có:

f (1)
f ( −1)
, q( −1) =
.
1−α
1+α

α ∈ Z , f (x) ∈ Z[x],q(x) ∈ Z[x]

nên

q(1) ∈ Z,q(−1) ∈ Z.

Ví dụ. Tìm nghiệm hữu tỉ của đa thức
f (x) = x 4 + 2 x3 − 4 x 2 − 5 x − 6.

Giải:
Nghiệm hữu tỉ của f(x) (nếu có) phải là nghiệm nguyên, và là ước số của -6 tức

±1, ±2, ±3, ±6.

Ta có

f (1) = −12, f (−1) = −6,

α

do đó

±1

khơng phải là nghiệm. Thay lần

±2, ±3, ±6

lượt các giá trị còn lại của
(
) vào biểu thức (*) trên, nếu được giá trị
nguyên thì dùng sơ đồ Hoocne để thử xem nó có phải là nghiệm của f(x) khơng. Với

α = 3, +6, −6,

các biểu thức (*) không cho kết quả nguyên. Dùng sơ đồ Hoocne ta

được:
f(x)

1
2

2

-4

-5

-6

1

4

4

4

21

0


Suy ra f(2) = 0, tức là 2 nghiệm nguyên của f(x). Chia f(x) cho x – 2, và tiếp tục
sơ đồ Hoocne với thương và với
f(x)
-3

1

α = −3

1

4

4

1

1

0

3

Khi đó ta có :
f (x) = (x − 2)(x − 3)(x 2 + x + 1).

Như vậy f(x) có hai nghiệm nguyên là 2 và -3 và chỉ chúng mà thôi (vì

x2 + x + 1

khơng có nghiệm ngun thậm chí nghiệm thực. Cũng khơng cần thử tiếp với
nữa).
§6.
6.1.

α =3

ĐA THỨC NHIỀU ẨN

ĐƠN THỨC

Cho P là một trường hợp (thông thường ta xét các trường hợp số Q, R, C). Biểu

thức dạng:
ax1k1 x2k2 ...xnkn

được gọi là một đơn thức,

a∈P

(hay đối số) lấy các giá trị trên P, và

được gọi là hệ số,

k1 , k2 ,..., k n ∈ N

x1 ,..., x n

được gọi là các số ẩn

.

Nếu a = 0, ta gọi (1) là đơn thức không.
Nếu

a≠0

, số

k = k1 + k2 + ... + kn

được gọi là bậc của đơn thức (1).

Hai đơn thức:
ax1k1 x2k 2 ...xnkn

và

bx1k1 x2k2 ...xnkn

được gọi là hai đơn thức đồng dạng (tức là chúng chỉ khác nhau ở hệ số, còn các
ẩn số như nhau với cùng số mũ tương ứng).
Ví dụ. Các đơn thức trên trường R:
3
− x5 y 7 z 4 , 5 x5 y 7 z 4 , ln(2).x 5 y 7 z 4 .
4
22


là đồng dạng cùng có bậc là 16.
6.2.

ĐA THỨC
Một tổng hữu hạn các đơn thức dạng:
ax1k1 x2k2 ...xnkn , ki ∈ N

được gọi là một đơn thức nhiều ẩn với các ẩn (hay các đối số)

x1 , x2 ,..., xn .

Ta có thể kí hiệu đa thức nhiều ẩn bởi:
n

f (x1 , x 2 ,..., x n ) = ∑ ai x1 i1 x2i2 ...x nin
k

k

k

i =0

Mỗi đơn thức được gọi là một số hạng (hay hạng tử) của đa thức.
Nếu tất cả các hệ số
thức không.

ai

của đa thức đều bằng 0 thì đa thức đó được gọi là đa

Nếu trong một tổng các đơn thức có những đơn thức đồng dạng thì ta có thể rút
gọn chúng. Sauk hi rút gọn, ta có thể viết đa thức dưới dạng một tổng của các đơn thức
đôi một không đồng dạng. Ta gọi đó là dạng chính tắc của đa thức.
Bậc của đa thức nhiều ẩn (đã viết dưới dạng chính tắc) là bậc cao nhất trong các
bậc của các đơn thức. Đơi khi người ta cịn gọi đó là bậc đối với tập thể các ẩn, để
phân biệt với bậc của mỗi ẩn có mặt trong đa thức (là bậc cao nhất của ấn đó trong đa
thức).
Nếu tất cả các số hạng của đa thức đều có bậc bằng nhau thì ta gọi đa thức đó là
đa thức đẳng cấp (hay đa thức thuần nhất).
Ví dụ:
f (x, y, z) = 3x 2 y 5 z 3 − 2 x 4 z 2 +

3 3 3 4

x y z
4

là đa thức 3 ẩn trên trường R, đẳng cấp bậc 10 (đối với tập thể các ẩn), có bậc 4
đối với ẩn x, bậc 5 đối với ẩn y và bậc 4 đối với ẩn z.
6.3.

HẰNG ĐẲNG THỨC

Các khái niệm bộ giá trị thừa nhận được, giá trị của đa thức, miền xác định của
một đa thức nhiều ẩn được định nghĩa bằng cách xem chúng như biểu thức toán học
23


x1 , x2 ,..., xn

(Bài 1). Hai đa thức của cùng một số ẩn
được gọi là hẳng đẳng (hoặc có
khi gọi là đồng nhất) nếu chúng có giá trị bằng nhau tại một bộ giá trị thừa nhận lấy
trong miền xác định của các đối số, chúng lập thành một hằng đẳng thức (hay đồng
nhất thức).
Sau đây là một số hằng đẳng thức đáng nhớ:
(x + y) 2 = x 2 + 2 xy + y 2 .
1.

(x − y) 2 = x 2 − 2 xy + y 2 .
2.

(x + y)(x − y) = x 2 − y 2 .
3.

2

4.

2

 x+ y  x− y

÷ −
÷ = xy.
 2   2 
(x + y)3 = x 3 + 3x 2 y + 3 xy 2 + y 3 .

5.

(x − y)3 = x 3 − 3 x 2 y + 3 xy 2 − y 3 .
6.

x3 − y 3 = (x − y)(x 2 + xy + y 2 ).
7.

x3 + y 3 = (x + y)(x 2 − xy + y 2 ).
8.

(x + a)(x + b) = x 2 + (a + b) x + ab.
9.

x3 + y 3 + z 3 − 3 xyz = (x + y + z)(x 2 + y 2 + z 2 − xy − yz − xz).
10.

x n − y n = (x − y)(x n −1 + x n−2 y + ... + xy n−2 + y n −1 ).
11.

x 2 k − y 2 k = (x + y)(x 2 k −1 − x 2 k −2 y + x 2 k −3 y 2 − ... − y 2 k −1 ).
12.

(x1 + x 2 + ... + x n ) 2 = x12 + x22 + ... + xn2 + 2 x1 x2 + 2 x1 x3 + ... + 2 xn−1 xn..
13. Nhị thức Niuton (Newton)

24


n

(x + y) n = Cn0 x n + C1n x n−1 y + ... + Cnn y n = ∑ Cnk x n− k y k
k =0

trong đó

Cnk =

đặc biệt
§7.

n(n − 1)...(n − k + 1)
n!
=
, k = 0,1,..., n;
1.2..k
k !(n − k)!

Cn0 = Cnn = 1.

ĐA THỨC BẤT KHẢ QUY – PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
7.1.

ĐỊNH NGHĨA

p(x) ∈ P(x)

Giả sử
là đa thức có bậc lớn hơn 0. Ta nói p(x) là bất khả quy trên
trường P nếu nó khơng thể phân tích được thành tích của hai đa thức bậc khác 0 và nhỏ
hơn bậc của p(x). Trường hợp trái lại thì p(x) được gọi là khả quy hoặc phân tích được
trên P.
Chú ý rằng tính chất bất khả quy phụ thuộc vào trường cơ sở. Chẳng hạn đa
thức

x2 − 5

là bất khả quy trên Q, nhưng lại khả quy trên R, vì

x 2 − 5 = (x − 5)(x + 5).

trên C, vì

Hoặc

x2 + 4

là bất khả quy trên Q, trên R, nhưng lại khả quy

x 2 + 4 = (x + 2i)(x − 2i).

Tính chất:
a) Mọi đa thức bậc nhất đều bất khả quy trên mọi trường số.
b) Đa thức p(x) là bất khả quy khi và chỉ khi mọi ước của nó đều là đa thức bậc 0 hoặc là

đa thức có dạng ap(x) với

a ≠ 0, a ∈ P.

c) Đa thức p(x) là bất khả quy trên P khi và chỉ khi với mọi đa thức

f (x)Mp(x),
hoặc

( f (x), p(x)) = 1.

Chứng minh:

25

f (x) ∈ P[x]

thì hoặc