(Luận văn thạc sĩ) quá trình markov trên time scale

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
--------------------------

Trịnh Thị Bích Hiên

Q trình Markov trên Time scale

Tóm tắt luận văn thạc sỹ khoa học

Hà Nội - 2011


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
--------------------------

Trịnh Thị Bích Hiên

Q trình Markov trên Time scale

Chun ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học
Mã số: 60 46 15

Tóm tắt luận văn thạc sỹ khoa học

Người hướng dẫn khoa học:
GS.TS. Nguyễn Hữu Dư

Hà Nội - 2011

Mục lục
1 Kiến thức chuẩn bị
1.1 Một số định nghĩa và tính chất cơ bản về thang thời gian
1.1.1 Các định nghĩa cơ bản . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Phép tính vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Toán tử cực vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Kiến thức cơ bản về hàm siêu bội . . . . . . . . . . . . .
1.4 Kiến thức về quan hệ truy hồi và các liên phân số . . . .
1.5 Quá trình ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Chuyển động Brown . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Thời gian địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8 Quá trình Feller - Dynkin . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9 Công thức Dynkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10 Toán tử đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11 Tính thuận nghịch của một q trình Markov . . . . . .

1
1
1
2
5
11
11
13
17
18
19
20

21
22
23

2 Chuyển động Brown trên một thang thời gian
2.1 Sự tồn tại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Tính duy nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Tính thuận nghịch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Thời điểm chạm đầu tiên của quá trình sinh và chết hai
phía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Thời điểm chạm trên một tập con rời rạc của T . . . . .

24
24
30
35
36
39

3 Một số tính chất của chuyển động Brown trên thang thời
gian rời rạc Tq
42
3.1 Giới thiệu quá trình trên Tq . . . . . . . . . . . . . . . . 42
i


3.2
3.3

Phân phối thời điểm chạm cho Tq . . . . . . . . . . . . .

Giải thức của quá trình tiêu vong trên Tq ∩ (0, ∞) . . . .

45
52

Kết luận

54

Tài liệu tham khảo

55

ii


Lời nói đầu
Lý thuyết về thang thời gian (time scale), lần đầu tiên được trình
bày bởi Stefan Hilger trong luận án tiến sỹ khoa học của ông vào năm
1988 (với sự hướng dẫn của Bernd Aulbach) nhằm thống nhất việc trình
bày các bài tốn trong trường hợp liên tục và rời rạc.
Cho đến nay đã có hàng chục quyển sách và hàng ngàn bài báo viết về
thang thời gian. Các yếu tố giải tích trên thang thời gian đã được các
tác giả nghiên cứu một cách sâu rộng và tương đối đầy đủ. Và từ đó
nhiều kết quả quen thuộc trong trường hợp liên tục và rời rạc đã được
"chuyển dịch" sang thời gian. Chẳng hạn về hệ động lực trên thang thời
gian, đã có những kết quả rất sâu sắc về sự ổn định, tính dao động, bài
tốn giá trị biên,...
Nếu như lý thuyết tất định trên thang thời gian đã nhận được rất
nhiều sự chú ý trong thời gian gần đây và gần như toàn bộ lý thuyết

giải tích trên đường thẳng thực đã được phát triển trên thang thời gian
thì những nghiên cứu về giải tích ngẫu nhiên trên thang thời gian lại rất
hạn chế và chỉ mới đạt được những kết quả ban đầu. Ngay cả việc xây
dựng các q trình ngẫu nhiên có các đặc tính tương tự như các q
trình quen thuộc trên R vẫn cịn gặp nhiều khó khăn. Mục đích của luận
văn này là xây dựng quá trình chuyển động Brown với không gian trạng
thái là một thang thời gian. Chúng tôi cũng nghiên cứu vài tính chất
của q trình chuyển động Brown trên một thang thời gian cụ thể Tq .
Nhờ định lý nổi tiếng của Levy chúng ta biết rằng chuyển động Brown
trên R được đặc trưng bởi các tính chất sau: một quá trình ngẫu nhiên
(ξt )t∈R+ nhận giá trị trên R là chuyển động Brown khi và chỉ khi:
(I.) ξ có quỹ đạo mẫu liên tục,
(II.) ξ là một martingale,
iii


(III.) (ξt2 − t)t∈R+ là một martingale.
Đối với quá trình với thời gian liên tục nhận giá trị trên Z, nếu chúng
ta thay điều kiện (I) bằng giả thiết tương tự là tất cả những bước nhảy
của quá trình chỉ có kích thước ±1 thì sẽ nhận được đặc trưng của quá
trình Poisson (định lý Wantanabe (1972)). Chú ý rằng với cả hai trường
hợp khi quá trình nhận giá trị trên R hay Z thì tính Markov của ξ là
một hệ quả hiển nhiên từ các giả thiết.
Trong luận văn này chúng tơi chỉ muốn thống nhất cách nhìn định lý
Levy và định lý Wantanabe bằng cách chỉ ra rằng, trên một thang thời
gian T tuỳ ý không bị chặn trên và dưới, luôn tồn tại duy nhất (theo
phân phối) một quá trình ξ thoả mãn điều kiện (II) và (III) cộng với
một giả thiết tương tự của (I) hoặc tính chất "trượt tự do" của bước
nhảy ngẫu nhiên. Cụ thể
(I’.) Với x < y < z trên T và các thời điểm 0 ≤ r < t < ∞ nếu ξr = x

và ξt = z hoặc ξr = z và ξt = x thì ξs = y với s nào đó thoả mãn
r < s < t.
Hơn nữa chúng tơi chứng minh rằng q trình này là một q trình
Markov Feller - Dynkin thuận-nghịch với tốn tử cực vi được tính tốn
hiển. Để chứng minh sự tồn tại, ta xây dựng hiển một phép chuyển đổi
thời gian cho chuyển động Brown chuẩn tắc. Sau đó, dựa trên kết quả
nói rằng nếu một q trình ngẫu nhiên có phân phối thời điểm chạm
của một quá trình Markov mạnh thì nó là một chuyển đổi thời gian của
q trình Markov đó (kết quả của Chacon và Jamison và được mở rộng
bởi Walsh, xem [5]).
Cùng với việc thiết lập sự tồn tại và tính duy nhất của chuyển động
Brown trên T trong chương 2, ta đưa ra toán tử sinh của nó. Tốn tử
sinh này là một phiên bản tự nhiên của toán tử sinh của chuyển động
Brown chuẩn tắc f → 21 f ” . Chú ý rằng từ (II) và (III) ta có hệ quả đơn
giản là ξ có cùng cấu trúc covariance như chuyển động Brown trên R,
nghĩa là Ex [ξs ξt ] − Ex [ξs ]Ex [ξt ] = s ∧ t với mọi x ∈ T.
Việc nghiên cứu những tính chất xa hơn của chuyển động Brown trên
T là một yêu cầu tự nhiên. Trong luận văn, chúng tôi nghiên cứu vấn đề
này cho trường hợp đặc biệt khi T = Tq := {(±q)k : k ∈ Z} ∪ {0} với
q > 1. Trong trường hợp này, q trình ξ bắt đầu tại x có cùng phân bố
như quá trình ( q1k ξq2k t )t∈R+ khi ξ được bắt đầu tại q k x với k ∈ Z. Tính
chất "chia thang" như chuyển động Brown này cho phép ta tính tốn
iv


hiển những biến đổi Laplace của thời điểm chạm và giải thức của ξ dưới
dạng các số hạng của các liên phân số. Ta có thể đánh giá những liên
phân số này dưới dạng các hàm siêu bội cơ bản
Nội dung của khóa luận gồm ba chương:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này chúng tôi liệt kê

các khái niệm cơ bản về quá trình ngẫu nhiên; định nghĩa và một số tính
chất của chuyển động Brown; định nghĩa về time scale; các tính chất cơ
bản nhất về ∆-đạo hàm, tích phân trên time scale; khái niệm tốn tử
cực vi của q trình Markov; khái niệm tốn tử đặc trưng; khái niệm về
thời gian địa phương; quá trình Feller-Dynkin; công thức Dynkin; các
kiến thức cơ bản về hàm siêu bội; kiến thức về các quan hệ truy hồi và
các liên phân số.
Chương 2: Nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất của chuyển động Brown
trên một thang thời gian cho trước. Để chứng minh sự tồn tại, chúng
tôi áp dụng một phép chuyển đổi thời gian thích hợp vào chuyển động
Brown trên đường thẳng thực để xây dựng được một quá trình Markov
Feller-Dynkin thoả mãn những đặc trưng Levy của chuyển động Brown
trên thang thời gian. Tính duy nhất suy ra từ việc so sánh phân phối
của thời điểm chạm và dựa vào một kết quả rằng nếu một q trình có
cùng phân phối thời điểm chạm với một q trình Markov mạnh, q
trình đó sẽ là ảnh của quá trình Markov qua một phép chuyển đổi thời
gian.
Chương 3: Nghiên cứu một số tính chất của chuyển động Brown trên
thang thời gian rời rạc Tq . Bằng việc ước lượng những liên phân số dưới
dạng các hàm siêu hình học, chúng tôi đưa ra công thức hiển cho biến
đổi Laplace của thời điểm chạm cũng như giải của chuyển động Brown
trên Tq . Ngồi ra, sử dụng tính thuận nghịch của quá trình đối với độ
đo tự nhiên trên khơng gian trạng thái, chúng tơi tìm ra "phân phối của
thời điểm chạm" của độ đo Itô tương ứng và số mũ Laplace của nghịch
đảo của thời gian địa phương.
Vì thời gian và khả năng có hạn cùng với tài liệu tham khảo rất hạn
chế nên không tránh khỏi những thiếu sót và tính chưa hồn thiện của
vấn đề đặt ra, mặc dù bản thân tôi đã cố gắng rất nhiều trong q trình
thực hiện luận văn. Tơi xin tiếp thu mọi ý kiến nhận xét của các thầy
cô, các nhà toán học và các nghiên cứu sinh và các học viên cao học.

Cuối cùng tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn,
GS. TS Nguyễn Hữu Dư, người đã cho tôi đề tài, hướng dẫn và tận tình
v


chỉ bảo tơi trong suốt q trình tơi hồn thành luận văn.
Nhân đây tôi cũng xin cảm ơn các thầy cơ và bạn bè trong Khoa Tốn
- Cơ - Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên đã trang bị cho tơi
những kiến thức bổ ích trong những năm vừa qua, cũng như các thầy
phản biện đã dành thời gian đọc và đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho
tơi trong q trình học tập cũng như nghiên cứu.
Hà Nội, năm 2011
Học viên
Trịnh Thị Bích Hiên

vi


Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
1.1

Một số định nghĩa và tính chất cơ bản
về thang thời gian

1.1.1

Các định nghĩa cơ bản

Thang thời gian là một tập con đóng tuỳ ý khác rỗng của tập các số
thực R. Thường ta ký hiệu là T. Ta trang bị cho thang thời gian T tôpô
cảm sinh từ tôpô thông thường trên tập các số thực R. Các thí dụ về
thang thời gian là
(a) R; Z; [0; 1] ∪ [2; 3]; tập Cantor là những thang thời gian.
(b) Q; R\Q không phải là thang thời gian vì nó khơng phải là tập đóng.
Định nghĩa 1.1.1. Cho T là một thang thời gian. Với mỗi t ∈ T, ta
định nghĩa toán tử bước nhảy tiến (forward jump) và toán tử bước nhảy
lùi (backward jump) như sau:
(i) Toán tử bước nhảy tiến: σ : T → T
σ(t) := inf {s ∈ T, s > t} ;
(ii) Toán tử bước nhảy lùi: ρ : T → T
ρ(t) := sup {s ∈ T, s < t} .
1


Ngồi ra:
- Nếu σ(t) > t thì ta nói t là điểm cô lập phải (right-scattered).
- Nếu ρ(t) < t thì ta nói t là điểm cơ lập trái (left-scattered).
- Điểm t ∈ T mà nó vừa là cơ lập phải, vừa là cô lập trái gọi là điểm
cô lập (isolated).
- Nếu t < sup T và σ(t) = t thì ta nói t là điểm trù mật phải (rightdense).
- Nếu t > inf T và ρ(t) = t thì ta nói t là điểm trù mật trái (left-dense).
- Điểm vừa là trù mật phải vừa là trù mật trái gọi là điểm trù mật
(dense).
- Hàm hạt graininess: µ : T → [0; +∞), µ(t) := σ(t) − t.
- Ta ký hiệu:
Tk :=




T\ {sup T} nếu sup T < ∞
nếu sup T = ∞


T

Để cho đơn giản, ngoại trừ những trường cần nhấn mạnh, từ đây trở
đi ta ký hiệu các đoạn trên thang thời gian là (a; b]; [a; b); [a; b] thay cho
cách viết (a; b]T ; [a; b)T ; [a; b]T .
Quy ước:
inf ∅ = sup T (nghĩa là, nếu t = max T thì σ(t) = t).
sup ∅ = inf T (nghĩa là, nếu t = min T thì ρ(t) = t).

1.1.2

Phép tính vi phân

Định nghĩa 1.1.2. Xét hàm số f : T → R. ∆-đạo hàm (còn gọi là
đạo hàm Hilger) của f tại t ∈ T là một số (nếu nó tồn tại), ký hiệu
f ∆ (t), nếu với mọi ε > 0 cho trước tồn tại lân cận U của t sao cho
[f (σ(t)) − f (s)] − f ∆ (t)[σ(t) − s] ≤ ε |σ(t) − s| với mọi s ∈ U . Hàm f
được gọi là ∆-khả vi (nói ngắn gọn là khả vi) trên Tk nếu f ∆ (t) tồn tại
với mọi t ∈ Tk .
2


Định lý 1.1.3. Xét hàm số f : T → R và t ∈ Tk . Khi đó ta có:
1. Nếu f khả vi tại t thì f liên tục tại t.
2. Nếu f liên tục tại t và t là điểm cơ lập phải thì f khả vi tại t và

f ∆ (t) =

f (σ(t)) − f (t)
.
µ(t)

3. Nếu t là điểm trù mật phải thì f là khả vi tại t khi và chỉ khi giới hạn
f (t) − f (s)
f (t) − f (s)
lim
tồn tại hữu hạn và khi đó f ∆ (t) = lim
.
s→t
s→t
t−s
t−s
4. Nếu f là khả vi tại t thì f (σ(t)) = f (t) + µ(t)f ∆ (t)
Nhận xét 1.1.4. Ta xét hai trường hợp T = R và T = Z
1. Nếu T = R thì từ định lý 1.1.3.3 suy ra hàm f : R → R là ∆-khả vi
f (t) − f (s)
khi và chỉ khi f (t) = lim
tồn tại, tức là f khả vi (theo
s→t
t−s
nghĩa thông thường) tại t.
f (t) − f (s)
= f (t).
Trường hợp này ta có f ∆ (t) = lim
s→t
t−s

2. Nếu T = Z thì từ định lý 1.1.3.2 suy ra f : Z → R là ∆-khả vi tại
t ∈ Z và f ∆ (t) = f (t + 1) − f (t) = ∆f (t), ở đây ∆ là toán tử sai
phân tiến thông thường.
Định lý 1.1.5. Cho f và g : T → R là các hàm khả vi tại t ∈ Tk . Khi
đó:
1. Hàm tổng f + g : T → R khả vi tại t và (f + g)∆ (t) = f ∆ (t) + g ∆ (t).
2. Với hằng số α tuỳ ý, hàm αf : T → R khả vi tại t và (αf )∆ (t) =
αf ∆ (t).
3. Hàm tích f g : T → R khả vi tại t và
(f g)∆ (t) = f ∆ (t)g(t) + f (σ(t))g ∆ (t) = f (t)g ∆ (t) + f ∆ (t)g(σ(t)).
1
1 ∆
f ∆ (t)
4. Nếu f (t)f (σ(t)) = 0 thì khả vi tại t và ( ) (t) = −
.
f
f
f (t)f (σ(t))
3


f ∆
f ∆ (t)g(t) − f (t)g ∆ (t)
f
.
5. Nếu g(t)g(σ(t)) = 0 thì khả vi tại t và ( ) (t) =
g
g
g(t)g(σ(t))
Định lý 1.1.6. Cho α là một hằng số, m ∈ N.

1. Hàm f được xác định bởi f (t) = (t − α)m , ta có
m−1

(σ(t) − α)k (t − α)m−1−k .

∆

f (t) =
k=0

2. Hàm g được xác định bởi g(t) =

1
, ta có
(t − α)m

m−1

1

∆

g (t) = −
k=0

(σ(t) − α)m−k (t − α)k+1

,

với (t − α)(σ(t) − α) = 0.

Đạo hàm cấp cao được định nghĩa theo quy nạp như sau:
3

n

f ∆∆ = (f ∆ )∆ ; f ∆ = (f ∆∆ )∆ ; · · · ; f ∆ = (f ∆

n−1

)∆ .

Tương tự,
2

n

f σ (t) = f (σ(t)); f σ = (f σ )σ ; · · · ; f σ = (f σ

n−1

)σ .

(n)

Ký hiệu Sk là tập tất cả các dòng ∧ có độ dài n có dạng a1 a2 · · · an .
Trong đó ai là σ hay ∆ với ký hiệu σ có mặt đúng k lần và ký hiệu ∆
có mặt đúng n − k lần.
(n)

Định lý 1.1.7. (Công thức Leibniz). Nếu f ∧ tồn tại với mọi ∧ ∈ Sk

thì
n
n

k

f ∧ g∆ ,

(f g)∆ =
k=0

(n)

∧∈Sk

với mọi n ∈ N.
(n)

Thí dụ: Nếu T = R thì f ∧ = f (n−k) với mọi ∧ ∈ Sk , ở đây f (n) là
(n)
đạo hàm cấp n thông thường của f nếu nó tồn tại và Sk = nk (lực
(n)
lượng của tập Sk ).
4


Ta có
n

n

∆n

(f g)

f

=
k=0

∧

g

∆k

=
k=0

(n)

∧∈Sk

n (n−k) (k)
f
g ,
k

đây là cơng thức Leibniz thơng thường.
Nếu T = Z thì
n

∆n

(f g) (t) =
k=0

n
k

n−k

k

i

(−1)
i=0

n−k
k
f (t+n−i)
(−1)j
g(t+k−j),
i
j
j=0

với f và g là các hàm xác định trên Z.

1.1.3

Tích phân

Việc xây dựng độ đo Lebesgue trên thang thời gian; định nghĩa và
tính chất của tích phân Riemann và tích phân Lebesgue cũng như mối
quan hệ giữa hai loại tích phân này được trình bày rất đầy đủ trong [22].
Sau đây ta chỉ đưa ra một số định nghĩa và tính chất cơ bản mà sẽ được
sử dụng trong các chương sau.
Định nghĩa 1.1.8.
1. Một hàm f : T → R gọi là regulated nếu tồn tại giới hạn bên phải
(hữu hạn) tại tất cả các điểm trù mật phải trong T và tồn tại giới
hạn bên trái (hữu hạn) tại tất cả các điểm trù mật trái trong T.
2. Một hàm f : T → R gọi là rd-liên tục nếu nó liên tục tại các điểm
trù mật phải và giới hạn bên trái là tồn tại (hữu hạn) tại các điểm
trù mật trái trong T.
3. Cho X là một khơng gian Banach, ánh xạ
f : Tk × X −→

X

(t, x) −→ f (t, x)
gọi là rd-liên tục nếu thoả mãn các điều kiện sau:
(a) f liên tục tại mỗi điểm (t, x) với t là trù mật phải hay t = max T,
5


(b) Các giới hạn f (t− , x) :=

lim

f (s, y) và lim f (t, y) tồn tại tại

(s,y)→(t,x)

y→x

mỗi điểm (t, x) với t là trù mật trái.
Ta ký hiệu:
Crd (T, R) = {f : T −→ R, f

là rd-liên tục}.

1
Crd
(T, R) = {f : T −→ R, f

là khả vi và f ∆ ∈ Crd (T, R)}.

Định lý 1.1.9. Tập hợp Crd R(T, C) tất cả các hàm rd-liên tục và regressive trên T cùng với phép toán ⊕ xác định bởi p ⊕ q := p + q + µpq
lập thành một nhóm Abel.
−q
Phần tử khả nghịch của phần tử q của nhóm này là q =
.
1 + µq
Định lý 1.1.10. Xét hàm f : T −→ R, ta có
1. Nếu f liên tục thì f là rd-liên tục.
2. Nếu f là rd-liên tục thì f là regulated.
3. Toán tử bước nhảy σ là rd-liên tục.
4. Nếu f là regulated (hay rd-liên tục) thì f σ cũng là regulated (rd-liên
tục)
5. Giả sử f là liên tục. Nếu g : T −→ R là regulated hay rd-liên tục f g

cũng có tính chất như vậy.
Định nghĩa 1.1.11. Hàm liên tục f : T −→ R gọi là tiền khả vi với
miền khả vi D nếu các điều kiện sau đồng thời được thoả mãn:
+ D ⊂ Tk ,
+ Tk \ D là không quá đếm được và không chứa điểm cô lập phải nào
của T,
+ f khả vi tại mỗi t ∈ D.
Định lý 1.1.12. Mỗi hàm regulated trên một khoảng compact đều bị
chặn.
6


Định lý 1.1.13. (Định lý giá trị trung bình). Cho f và g là các hàm
nhận giá trị thực, xác định trên T và là tiền khả vi với miền khả vi D.
Khi đó, nếu |f ∆ (t)| ≤ g ∆ (t) với mọi t ∈ D thì |f (s) − f (r)| ≤ g(s) − g(r)
với mọi r, s ∈ T, r ≤ s.
Hệ quả 1.1.14. Cho f, g : T −→ R là tiền khả vi với miền khả vi D.
1. Nếu f ∆ (t) ≥ 0 ∀t ∈ D thì f (t) ≥ f (s) với mọi t, s ∈ T, t ≥ s.
2. Nếu U là khoảng compact với các điểm mút là r, s ∈ T thì
sup |f ∆ (t)| |s − r|.

|f (s) − f (r)| ≤

t∈U k ∩D

3. Nếu f ∆ (t) = 0 với mọi t ∈ D thì f là hàm hằng.
4. Nếu f ∆ (t) = g ∆ (t) với mọi t ∈ D thì g(t) = f (t) + C với mọi t ∈ D,
với C là một hằng số.
Định lý 1.1.15. (Sự tồn tại tiền nguyên hàm). Cho f là một hàm
regulated. Khi đó tồn tại một hàm tiền khả vi F với miền khả vi D sao

cho F ∆ (t) = f (t) với mọi t ∈ D.
Định nghĩa 1.1.16. Ta gọi hàm F trong định lý 1.1.15 là một tiền
nguyên hàm của f .
Tích phân bất định của một hàm regulated f là f (t)∆t := F (t)+C,
ở đây C là một hằng số tuỳ ý và F là một tiền nguyên hàm của f .
Tích phân xác định của một hàm regulated f là
s

f (t)∆t := F (s) − F (r)

(r, s ∈ T).

r

Một hàm F : T −→ R gọi là một nguyên hàm của f : T −→ R nếu
F ∆ (t) = f (t), với mọi t ∈ Tk
Ví dụ
- Khi T = R thì

b

b

f (t)∆t =
a

f (t) dt,
a

ở đây f là hàm liên tục.

7


- Khi T = Z thì


b−1



t=a f (t)
b


f (t)∆t = 0



a


− a−1
t=b f (t)

nếu a < b
nếu a = b
nếu a > b,

với f là một hàm tuỳ ý: Z −→ R.
- Khi T = hZ = {hk, k ∈ Z} (h > 0) thì


b


−1


h f (kh)h


nếu a < b
a



k=

b

h

f (t)∆t = 0
nếu a = b


a

a



−1


h

−
f (kh)h nếu a > b,


b


k=
h
với f là một hàm tuỳ ý: hZ −→ R.
Định lý 1.1.17. Cho a, b, c ∈ T, α ∈ R, f, g ∈ Crd (T, R). Ta có
σ(t)

f (s) ∆s = f (t)µ(t),ở đây t ∈ Tk .

1.
t
b

b

[f (t) + g(t)] ∆t =

2.
a

a

b
a

f (t) ∆t = −

f (t) ∆t.
b

b

c

f (t) ∆t =
a

f (t) ∆t.

a

a

5.

a

a

b

4.

g(t) ∆t.

b

αf (t) ∆t = α

3.

b

f (t) ∆t +

b

f (t) ∆t +
a

f (t) ∆t.
c

8


b

b

f (σ(t))g ∆ (t) ∆t = (f g)(b) − (f g)(a) −

6.
a

a

b

b
∆

f ∆ (t)g(σ(t)) ∆t.

f (t)g (t) ∆t = (f g)(b) − (f g)(a) −

7.

f ∆ (t)g(t) ∆t.

a

a

a

f (t) ∆t = 0.

8.

a

b

9. Nếu |f (t)| ≤ g(t) với mọi t ∈ [a; b) thì |

b

f (t) ∆t |≤
a

g(t)∆t.
a

b

10. Nếu f (t) ≥ 0 với mọi t ∈ [a; b) thì

f (t) ∆t ≥ 0.
a

Định nghĩa 1.1.18. Cho a ∈ T, sup T = ∞ và f là rd-liên tục trên
[a; ∞). Tích phân suy rộng của hàm f trên [a; ∞) được định nghĩa như
sau:
∞

b

f (t) ∆t := lim

f (t) ∆t.

b→∞

a

a

Định lý 1.1.19. Cho f : R −→ R là khả vi liên tục và g : T −→ R là
∆-khả vi. Khi đó hàm f ◦ g : T −→ R là ∆-khả vi và ta có

 1


∆
∆
(f ◦ g) (t) =
f (g(t) + hµ(t)g (t)) dh g ∆ (t).


0

Với mỗi thang thời gian T tuỳ ý thì tập t ∈ T, t là điểm cô lập phải
là không quá đếm được (Kết quả này được chứng minh trong [15]). Với
a, b tuỳ ý thuộc T, a < b, ta ký hiệu tập
Ia,b := i, ti ∈ [a; b)và là điểm cô lập phải .
Định lý sau đây cho ta mối quan hệ đầy ý nghĩa giữa tích phân
Riemann trên thang thời gian và tích phân Riemann thơng thường. Cách
chứng minh của định lý này có thể được tìm thấy trong [23].

9


Định lý 1.1.20. Cho f : [a; b] ∩ T −→ R bị chặn.
Ta có
b

b

f (t) ∆t =
a

σ(ti )

(f (ti ) − f (t)) dt.

f (t) dt +
i∈Ia,b

a

ti

Áp dụng định lý 1.1.20, ta tính được:
b

bn+1 − an+1
+
t ∆t =
n+1

n

1.
a
b

2.
a

1
b
∆t = ln +
t
a

i∈Ia,b

i∈Ia,b

n n
t −
n+1 i

n−1
j=0

(σ(ti )n−j )tji
n+1

µ(ti ).

σ(ti )
µ(ti )
− ln
.
ti
ti

b1−n − a1−n
1
(σ(ti ))1−n − t1−n
i
−n
∆t
=
+
µ(t
)t
+
i i
i∈Ia,b
n
1−n
1−n
a t
ở đây 0 ∈
/ [a; b], n ∈ N, n = 1.
b

3.

b

αt ∆t =

4.
a
b

1
αb − αa +
ln α

i∈Ia,b

,

αti µ(ti )lnα + 1 − αµ(ti ) , với α > 0.

1
sin αb − sin αa + i∈Ia,b αµ(ti ) cos αti
α
αµ(ti )
µ(ti )
] sin
, với α = 0.
i∈Ia,b cos[α(ti +
2
2

cos αt ∆t =

5.
a

−2
b

1
cos αa − cos αb + i∈Ia,b αµ(ti ) sin αti
α
µ(ti )
αµ(ti )
]sin
, với α = 0.
sin[α(t
+
i
i∈Ia,b
2
2

sin αt ∆t =

6.
a

−2

Định lý 1.1.21. (Về đổi biến đổi với tích phân). Giả sử V : T −→ R là

một hàm tăng chặt và T = V (T) là một thang thời gian .
Nếu f : T −→ R là một hàm rd-liên tục, V là khả vi và có đạo hàm V ∆
là rd-liên tục thì
V (b)

b

(f ◦ V −1 )(s) ∆s, với a, b ∈ T.

f (t)V ∆ (t)∆t =
a

V (a)

10


1.2

Tốn tử cực vi

Định nghĩa 1.2.1. Cho khơng gian Banach E. Giả sử P t là một nửa
nhóm liên tục mạnh các tốn tử tuyến tính bị chặn trên E, tức là P (t +
s) = P (t)P (s) ∀t, s ≥ 0 và với mỗi x ∈ E ánh xạ t → P (t)x liên tục trên
R+ . Toán tử cực vi (ký hiệu là A) được xác định trên tập con DA nào đó
của E, trong đó DA là tập các x ∈ E sao cho giới hạn lim t−1 (P t x − x)
t→0

tồn tại (theo sự hội tụ theo chuẩn). Ta định nghĩa toán tử A như sau:
Ax = lim t−1 (P t x − x).

t→0

Nói cách khác, Ax là đạo hàm bên phải của ánh xạ t → P t x tại t = 0
d+ t
Ax =
P x|t=0 .
dt
Người ta chứng minh được rằng miền xác định DA của tốn tử A là
khơng gian con tuyến tính, trù mật trong E, cịn A là tốn tử tuyến tính
đóng.

1.3

Kiến thức cơ bản về hàm siêu bội

Những kiến thức này có thể tìm thấy ở bài báo [20] hoặc các cuốn sách
[14, 21]. Ta lấy 0 < q < 1.
Định nghĩa các lũy thừa q-dịch chuyển bởi:
n−1

(1 − zq k ) với n ∈ N, z ∈ C,

(z; q)n :=
k=0

∞

(1 − zq k ) với z ∈ C.

(z; q)∞ :=

k=0

Định nghĩa của (z; q)n có thể mở rộng nhất quán bởi việc đặt:
(z; q)k =

(z; q)∞
với k ∈ Z; z ∈ C.
(zq k ; q)∞

Để thuận tiện, ta sử dụng kí hiệu:
(a1 , a2 , ..., ar ; q)k = (a1 ; q)k (a2 ; q)k ...(an ; q)k .
11


Ta đánh số chuỗi q−siêu hình học r Φs bởi hai số nguyên không âm r và
s. Với bất kỳ {ai } ∈ C; {bi } ∈ C\{q −k }k≥0 chuỗi này được xác định như
sau:
∞
r Φs (a1 , ..., ar ; b1 , ...bs ; q; z)

k(k−1)

:=
k=0

(a1 , ..., ar ; q)k ((−1)k q 2 )1+s−r z −k
.
(b1 , ..., bs , q; q)k

Chuỗi này hội tụ với tất cả z ∈ C nếu r ≤ s và hội tụ trên miền |z| < 1

nếu r = s + 1. Chuỗi hội tụ chỉ tại z = 0 nếu r > s + 1.
Sử dụng tính chất:
(a; q)n
n n(n−1)
=
(−1)
q 2 ,
a→∞
an
lim

chúng ta nhận được các đẳng thức hữu ích sau:
lim

a→∞

r+1 Φs (a, a1 , ..., ar ; b1 , ..., bs ; q;

z
) = r Φs (a1 , ...ar ; b1 , ..., bs ; q; z) (1.1)
a

lim r Φs+1 (a1 , ..., ar ; b, b1 , ..., bs ; q; bz) = r Φs (a1 , ...ar ; b1 , ..., bs ; q; z) (1.2)

b→∞

với những z nằm ở miền hội tụ của các chuỗi trên.
Định lý 1.3.1 (Định lý q−nhị thức).
1 Φ0 (a; −; q; z)

=

(az; q)∞
nếu |z| < 1; |q| < 1, a ∈ C.
(z; q)∞

Trong luận văn này chúng ta sử dụng hai q−phiên bản của hàm mũ.
Đó là,
1
eq (z) := 1 Φ0 (0; −; q; z) =
=
(z; q)∞

∞

k=0

zk
(q; q)k

với

|z| < 1

và
Eq (z) := 0 Φ0 (−; −; q; −z) =

1
= (−z; q)∞
eq (−z)

∞

=
k=0

12

q

k(k−1)
2

(−z)k
(q; q)k

với z ∈ C


Chúng ta cũng sử dụng chuỗi q−siêu hình học hai phía. Các chuỗi
này được xác định bởi các biểu thức sau:
∞
r ψs (a1 , ..., ar ; b1 , ..., bs ; q; z) :=
k=−∞

k(k−1)
2

(a1 , ..., ar ; q)k ((−1)k q
(b1 , ..., bs ; q)k

)s−r z k
(1.3)

Dễ dàng nhìn thấy tổng này hội tụ với


 b1 ...bs < |z|
nếu s > r,
a1 ...ar



b1 ...bs
a1 ...ar

< |z| < 1 nếu s = r.

và phân kỳ trong trường hợp ngược lại.
Chúng ta cũng sẽ sử dụng phần mở rộng sau đây của đồng nhất thức
tích ba lớp Jacobi (xem phương trình (1.49) của [20]).
∞
0 ψ1 (−; c; q; z)

k(k−1)

:=
k=−∞

1.4

(q, z, zq ; q)∞
(−1)k q 2 z k
=
,
(c; q)k
(c, zc ; q)∞

|z| < |c| .

Kiến thức về quan hệ truy hồi và các
liên phân số

Với các số phức an và bn khác 0, n ∈ Z ta xét quan hệ truy hồi 3 số hạng
sau (cịn gọi là phương trình sai phân)
Un+1 = bn Un − an Un−1

(1.4)

Ta thiết lập mối liên kết của nó với các liên phân số. Biến đổi phương
trình (1.4) về dạng
an
Un
=
Un−1
bn − UUn+1
n

Đặt Wn =

Un

. Ta thấy Wn là nghiệm của phương trình
Un−1
Wn Wn+1 = bn Wn − an .

13

(1.5)


Lặp lại quan hệ truy hồi này chúng ta nhận được
−Wn =

−an
.
an+1
bn −
an+2
bn+1 −
an+k
bn+2 − . . . −
bn+k − Wn+k

với mọi k ≥ 0.
Ta gọi biểu thức này là liên phân số mở rộng liên kết với phép truy
hồi (1.5)
Nghiệm (Un )n ∈ Z của (1.4) được gọi là nghiệm cực tiểu nếu với mọi
|Un |
nghiệm độc lập tuyến tính Vn ta có lim |Vn | = 0.
n→∞

Nghiệm cực tiểu của (1.4), nếu nó tồn tại, là duy nhất chính xác đến
một nhân tử hằng (xem [1]).
Để làm sáng tỏ điều này, ta xét phép biến đổi phân số tuyến tính:
sn (z) =

−an
,
bn + z

n
= sm+1 ◦ sm+2 ◦ ... ◦ sn . Ký hiệu S n = S0n . Khi
và xét phép hợp thành Sm
−an
đó liên phân số vô hạn cổ điển (đôi khi viết K
) là giới hạn của
bn
dãy
−a1
S n (0) =
.
−a2
b1 +
−a3
b2 +
. . . + −an
bn

Nếu Pn và Qn là hai nghiệm của (1.4) với điều kiện ban đầu P−1 =
1; P0 = 0; Q1 = 0 và Q0 = 1 thì ta thấy rằng
S n (z) =

Pn + zPn−1
Qn + zQn−1

−an
được gọi là hội tụ nếu S n (0) hội tụ tới một
bn
giới hạn (hữu hạn) khi n → ∞. Nếu giới hạn này tồn tại, nó được gọi là
giá trị cổ điển (classical) của các liên phân số. Tuy nhiên cách lý giải này
hơi tùy tiện vì có thể xảy ra trường hợp là tất cả các dãy (wn )n∈N cách
Phân số liên tục K

14


xa 0 nhưng Sn (wn ) hội tụ tới cùng giới hạn khác với giới hạn của Sn (0).
Thật vậy, xét dãy an → a∗ và bn → b∗ khi n → ∞. Khi đó sn (z) → s∗ (z).
Với mỗi n, hàm sn (z) có một cặp các điểm cố định, các cặp điểm cố định
này hội tụ đến cặp điểm cố định x và y của hàm s∗ (z). Để định ý ta giả
sử |x| < |y|. Do đó, dễ thấy x là điểm hút cịn y là điểm đẩy.
n
Ta thấy khi wn nằm xa điểm đẩy cố định của s∗ thì dãy số ( lim Sm
(wn ))m∈N
n→∞

phải dần tới x khi m → ∞. Từ đẳng thức
lim S n (wn ) =

n→∞

lim

n
S m ◦ Sm
(wn ), ∀m ≥ 0,

lim

n
Sm ◦ Sm
(wn )) = lim Sm (x)

n→∞,n≥m

ta suy ra
lim S n (wn ) = lim (

n→∞

m→∞ n→∞,n≥m

m→∞

Lưu ý rằng nếu đặt wn = (S n )−1 (z) thì S n (wn ) = z với mọi z bất kỳ
trong C. Nhưng nếu chọn wn như vậy thì wn phải hội tụ đến điểm đẩy
cố định y. Ý nghĩa chính xác của việc diễn tả wn phải "tránh xa" điểm
đẩy cố định được đưa ra trong định lý 1.4.1 dưới đây.
Trường hợp các dãy an → a∗ và bn → b∗ thỏa mãn điều kiện "nếu
a∗ = 0 thì b∗ = 0" được gọi là trường hợp giới hạn 1- tuần hoàn. Hơn
nữa, nếu các điểm cố định của s∗ là khác biệt và có moduli khác nhau

(|x| = |y|) thì liên phân số thuộc loại loxodromic. Tất cả những liên
phân số mà chúng ta nghiên cứu đều rơi vào loại này. Định lý sau đây
kết hợp các định lý 4 trong chương II và định lý 28 trong chương III của
[1]. Trong định lý này d(·, ·) là metric cầu trên mặt phẳng phức C.
Định lý 1.4.1. Cho K

−an
bn

là giới hạn 1-tuần hồn của loại loxo-

dromic. Khi đó,
1. Tồn tại một số f ∈ C sao cho với mỗi chuỗi (wn )n∈N thoả mãn


 lim inf d(wn , Sn−1 (∞)) > 0, khi f = ∞,
n→∞


 lim inf d(wn , S −1 (0)) > 0,
n
n→∞

chúng ta có Sn (wn ) → f .
Đặc biệt Sn (0) → f .
15

khi f = ∞,

2. Xét dãy W0 ∈ C và Wn = Sn−1 (W0 ) với n > 0. Ký hiệu s∗ = lim sn
n→∞

∗

và giả sử rằng s có các điểm cố định x, y với |x| < |y| (như vậy x
là điểm hút và y là điểm đẩy của s∗ ).
- Nếu W0 = f thì lim Wn = x. Hơn nữa, nếu f = ∞ thì W0 =
n→∞

U0
U−1

trong đó Un là nghiệm cực tiểu của (1.4).
- Ngược lại ta sẽ có lim Wn = y.
n→∞

Chứng minh. Chứng minh có thể tìm thấy ở [1].
Chú ý rằng mối quan hệ Wn = Sn−1 (W0 ) với n > 0 nói rằng Wn chính
là nghiệm của phương trình (1.5). Đồng thời quan hệ này là công thức
hiển cho giá trị của các liên phân số, nếu như liên phân số này hội tụ tới
một giá trị hữu hạn. Điều kiện W0 = f cho ta biết nó là nghiệm tối thiểu
của phương trình truy hồi liên quan. Đó chính là nội dung của Định lý
của Pincherle [1]. Từ đó ta nhận được bổ đề mà chúng ta sẽ sử dụng về
sau.
Bổ đề 1.4.2. Giả sử rằng (Wn )n∈Z là nghiệm của (1.5) và các giới hạn
1
(bn ±
n→∞ 2

β± := lim

b2n − 4an ),

tồn tại và hữu hạn. Trong đó các nhánh của căn bậc hai được chọn sao
cho |β− | < |β+ |.
Nếu lim Wn = −β+ thì lim Wn = −β− . Hơn nữa, với bất kỳ m ∈ Z
n→∞

n→∞

cố định, dãy Un xác định bởi


n


n > m,

k=m+1 Wk ,


Un := 1,
n = m,





−1

( m
k=n+1 Wk ) , n < m,
sẽ là là nghiệm tối thiểu của (1.4)
Chứng minh. Vì β− là giới hạn của các điểm cố định hút của các phép
biến đổi tương ứng, và β+ là điểm đẩy cố định nên định lý 1.4.1 nói rằng
16


dãy Wn là giá trị cổ điển của liên phân số
an
an+1
bn −
an+2
bn+1 −
bn+2 − . . .
nếu và chỉ nếu lim d(−Wn+k , β+ ) > 0. Như vậy, nghiệm tối thiểu Un tồn
k→∞

tại và Wn =

Un

Un−1
được chứng minh.

. Theo định nghĩa ta có Un =

Un
Um

với ∀n ∈ Z. Bổ đề

Hai liên phân số được gọi là liên quan với nhau bởi phép biến đổi
tương đương nếu các dãy các xấp xỉ của chúng là giống nhau. Ví dụ, cho
ck , k ∈ Z là các số phức khác 0. Vì với ∀n ≥ 0 ta có
a0
b0 +

=

a1
b1 + . . . +

an
bn + w n

c0 a0
,
c 0 c 1 a1
c0 b 0 +
cn−1 cn an
c1 b 1 + . . . +
cn bn + cn wn

nên ta nói rằng các khai triển của liên phân số ở hai vế là liên quan với
nhau bởi một phép biến đổi tương đương.
Chú ý rằng vì chúng ta cho phép các chỉ số trong (1.4) và (1.5) lấy
giá trị trong Z. Vì vậy, bằng việc đảo ngược chỉ số (lấy với n là các số
nguyên âm) chúng ta có phép truy hồi khác, liên phân số khác, nghiệm
tối thiểu khác... Khi chúng ta cần phân biệt chúng ta sẽ nói rõ rằng Un

như một nghiệm tối thiểu của (1.4) theo hướng dương nếu định nghĩa
có được (tức giới hạn tồn tại); và nghiệm tối thiểu của (1.4) theo hướng
−n
âm nếu lim UV−n
= 0 với một nghiệm độc lập tuyến tính nào đó khác Vn .
n→∞

1.5

Quá trình ngẫu nhiên

Cho (Ω, F, P) là một không gian xác suất. Một họ tăng {Ft }t≥0 các
σ- đại số con của F, (tức là Ft ⊂ Fs ⊂ F với mọi 0 ≤ t < s < ∞)
được gọi là một bộ lọc của (Ω, F, P). Bộ lọc được gọi là liên tục phải
nếu Ft = ∩s>t Fs với ∀t ≥ 0. Bộ lọc được gọi là thoả mãn các điều kiện
thơng thường nếu nó là liên tục phải và F0 chứa tất cả các tập con của
các tập có P−độ đo khơng.
17