(Luận văn thạc sĩ) phương trình hàm sai phân luận văn ths toán học 604601

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-----------------------

ĐỖ ĐỨC DUY

PHƯƠNG TRÌNH HÀM SAI PHÂN

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số:
60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS. LÊ ĐÌNH ĐỊNH

Hà Nội – Năm 2016


Mục lục
Mở đầu

3

1 Kiến thức chuẩn bị

5

1.1

Hàm tuần hoàn và phản tuần hồn cộng tính . . . . . .

5

1.2

Biểu diễn một số lớp hàm tuần hoàn và phản tuần hồn

7

2 Phương trình hàm sai phân bậc nhất
2.1

11

Hàm số xác định bởi các phép biến đổi tịnh tiến và đồng
dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.1.1

Phương trình hàm với phép biến đổi tịnh tiến . .

11

2.1.2

Phương trình hàm với phép biến đổi đồng dạng .

13

2.2

Phương trình dạng f (ax + b) = cf (x) + d . . . . . . . .

16

2.3

Hàm số xác định bởi phép biến đổi phân tuyến tính . .

19

2.4

Ví dụ áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.5

Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

3 Phương trình hàm sai phân tuyến tính bậc hai
3.1

Phương trình hàm sai phân bậc hai với hàm tuần hồn
và phản tuần hồn cộng tính . . . . . . . . . . . . . . .

3.2

25
25

Phương trình với hàm số tuần hồn và phản tuần hồn
nhân tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

3.3

Ví dụ áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

3.4

Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

4 Phương trình hàm sai phân tuyến tính bậc ba
4.1

50

Phương trình hàm sai phân tuyến tính thuần nhất bậc ba 50
1


4.1.1

Phương trình hàm sai phân tuyến tính thuần nhất
bậc ba với ba nghiệm đơn . . . . . . . . . . . . .

4.1.2

Phương trình hàm sai phân tuyến tính thuần nhất
bậc ba với hai nghiệm đơn . . . . . . . . . . . .

4.1.3

53

Phương trình hàm sai phân tuyến tính thuần nhất
bậc ba với nghiệm bội ba . . . . . . . . . . . . .

4.2

50

57

Phương trình hàm sai phân tuyến tính khơng thuần nhất
bậc ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

4.3

Ví dụ áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

4.4

Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

Kết luận

71

Tài liệu tham khảo

72

2


Mở đầu
Sai phân là một kiến thức quan trọng trong Tốn học, có
ứng dụng cao trong khoa học và các ngành kỹ thuật (Q
trình sản suất, quản lý xí nghiệp, điều tra dân số, nghiên cứu
sinh học . . . ). Trong đó, phương trình hàm sai phân là mảng

kiến thức khó, chưa được đề cập nhiều. Hầu hết kiến thức
được tiếp cận ở các em học sinh trường chuyên. Đây là dạng
bài tốn địi hỏi người học phải vận dụng nhiều kiến thức khi
giải như kiến thức về phương trình hàm và kiến thức về sai
phân.
Việc xây dựng có hệ thống các kiến thức cơ bản về phương
trình hàm sai phân, phân loại các dạng phương trình với sự
tổng hợp các phương pháp giải sẽ đóng góp cho việc định
hướng nghiên cứu, tìm hiểu cho học sinh.
Luận văn được chia làm bốn chương với nội dung:
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị.
Chương trình bày các kiến thức cơ bản của Lý thuyết
phương trình hàm, nhằm áp dụng cho các nội dung tiếp theo.
Cịn có ví dụ minh họa cho từng đơn vị kiến thức.
Chương 2. Phương trình hàm sai phân bậc nhất.
Chương trình bày nghiên cứu dạng phương trình hàm sinh
bới các phép biến đổi hình học cơ bản như phép đồng dạng,
phép tịnh tiến.
Chương 3. Phương trình hàm sai phân tuyến tính bậc
hai.
Chương trình bày phương trình hàm sai phân tuyến tính
3


bậc hai với vế phải là hàm số đối với hàm tuần hồn, phản
tuần hồn cộng tính, nhân tính.
Chương 4. Phương trình hàm sai phân tuyến tính bậc
ba.
Nội dung xét về phương trình hàm sai phân thuần nhất bậc
ba với các nghiệm đơn, nghiệm kép, nghiệm bội ba, phương

trình khơng thuần nhất.
Luận văn được hoàn thành với sự hướng dẫn tận tình của
TS. Lê Đình Định - Trường Đại học Khoa học Tự nhiên ĐHQG Hà Nội cùng với sự nỗ lực của bản thân, sự giúp đỡ
động viên của thầy cô, đồng nghiệp và bạn bè.
Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới Thầy
hướng dẫn, các thầy cô trường Đại học Quốc gia Hà Nội, đã
tận tâm chỉ dạy trong suốt thời gian qua. Đồng thời tác giả
cũng xin cảm ơn đến Ban giám hiệu, các thầy cô trường THPT
Yên Viên đã tạo điều kiện cho tác giả hồn thành khóa học
cũng như nghiên cứu luận văn này. Xin cảm ơn gia đình, bạn
bè đã động viên giúp đỡ tác giả.
Cuối cùng, mặc dù đã rất cố gắng nhưng do thời gian và
kiến thức còn hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi những
sai sót. Tác giả rất mong nhận sự đóng góp từ thầy cơ, bạn
bè, đồng nghiệp để hồn thiện hơn.
Hà Nội, Tháng 09 năm 2016
Tác giả
Đỗ Đức Duy

4


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1

Hàm tuần hoàn và phản tuần hồn cộng tính

Định nghĩa 1.1.1. Hàm số f(x) được gọi là hàm tuần hồn cộng tính
chu kỳ a(a>0) trên M nếu M ⊂ D(f ) và

∀x ∈ M ⇒ x ± a ∈ M
f (x + a) = f (x), ∀x ∈ M

(1.1)

Cho f (x) là hàm tuần hoàn trên M. Khi đó T (T > 0) được gọi là
chu kỳ cơ sở của f (x) nếu f (x) tuần hồn với chu kỳ T mà khơng tuần
hồn với bất cứ chu kỳ nào bé hơn T .
Ví dụ 1.1.1. Tồn tại hay không tồn tại một hàm số f (x) khác hằng số,
tuần hồn trên R nhưng khơng có chu kỳ cơ sở.
Lời giải. Xét hàm Dirichle

f (x) =

khi x ∈ Q
khi x ∈
/Q

0
1

Khi đó f (x) là hàm tuần hoàn trên R chu kỳ a ∈ Q+ tùy ý.
Vì trong Q+ khơng có số nhỏ nhất nên hàm f (x) khơng có chu kỳ cơ
sở.
Ví dụ 1.1.2. Cho cặp hàm f (x), g(x) tuần hồn trên M có các chu kỳ
a
b

∈ Q. Chứng minh rằng F (x) = f (x) + g(x)

và G(x) = f (x)g(x) cũng là những hàm tuần hoàn trên M.
cơ sở lần lượt là a và b với

5


Lời giải. Theo giả thiết ∃m, n ∈ N + , (m, n) = 1 sao cho

a
b

=

m
n.

Đặt

T = na = mb. Khi đó:

F (x + T ) = f (x + nx) + g(x + mb) = f (x) + g(x) = F (x), ∀x ∈ M
G(x + T ) = f (x + na)g(x + mb) = f (x)g(x) = G(x), ∀x ∈ M
(1.2)
Hơn nữa, dễ thấy ∀x ∈ M thì x ± T ∈ M . Vậy F (x), G(x) là những
hàm tuần hoàn trên M.
Định nghĩa 1.1.2. Cho hàm số f (x) được gọi là phản tuần hồn cộng
tính chu kỳ b(b > 0) trên M nếu M ⊂ D(f ) và

∀x ∈ M ⇒ x ± b ∈ M
f (x + b) = −f (x), ∀x ∈ M

(1.3)

Nếu f (x) là hàm phản tuần hoàn chu kỳ b0 trên M mà khơng là hàm
phản tuần hồn với bất cứ chu kỳ nào bé hơn b0 trên M thì b0 được gọi
là chu kỳ cơ sở của của hàm phản tuần hồn f (x) trên M .
Ví dụ 1.1.3. Chứng tỏ rằng mọi hàm phản tuần hoàn trên M cũng là
hàm tuần hoàn trên M.
Lời giải. Theo giả thiết, ∃b > 0 sao cho ∀x ∈ M thì x ± b ∈ M và

f (x + b) = −f (x), ∀x ∈ M
Suy ra ∀x ∈ M thì x ± 2b ∈ M và:

f (x + 2b) = f (x + b + b) = −f (x + b) = −(−f (x)) = f (x), ∀x ∈ M
Vậy f (x) là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2b trên M.
Ví dụ 1.1.4. Chứng minh rằng f (x) là hàm phản tuần hoàn chu kỳ b
trên M khi và chỉ khi f (x) có dạng:

f (x) = g(x + b) − g(x)
với g(x) là hàm tuần hoàn chu kỳ 2b trên M.

6


Ví dụ 1.1.5. Chứng minh rằng f (x) là hàm phản tuần hoàn với chu
kỳ b trên M khi và chỉ khi f (x) có dạng:

f (x) = g(x + b) − g(x)
với g(x) là hàm tuần hoàn chu kỳ 2b trên M .
Lời giải. Thật vậy, ta có:

f (x + b) = g(x + 2b) − g(x + b)
= g(x) − g(x + b)
= −(g(x + b) − g(x))
= −f (x), ∀x ∈ M.
Hơn nữa, ∀x ∈ M thì x ± b ∈ M. Do đó f (x) là hàm phản tuần hoàn
chu kỳ b trên M.
Ngược lại, với f (x) là hàm phản tuần hoàn chu kỳ b trên M , chọn

g(x) = − 21 f (x) thì g(x) là hàm tuần hoàn chu kỳ 2b trên M và
1
1
g(x + b) − g(x) = − f (x + b) − (− f (x))
2
2
1
1
= − (−f (x)) + f (x) = f (x), ∀x ∈ M.
2
2

1.2

Biểu diễn một số lớp hàm tuần hồn và phản
tuần hồn

Bài tốn 1.2.1. Cho các số b, c ∈ R\{0} và d ∈ R. Xác định tất cả các
hàm f (x) thỏa mãn điều kiện

f (x + b) = cf (x) + d, ∀x ∈ R

Lời giải.
i) Trường hợp c = 1. Khi đó (1.4) có dạng

f (x + b) = f (x) + d
7

(1.4)


d
d
⇔ f (x + b) − (x + b) = f (x) − x, ∀x ∈ R
b
b
hay

d
g(x + a) = g(x), với g(x) = f (x) − x, ∀x ∈ R
b
Vậy

d
f (x) = g(x) + x
b
trong đó g(x) là hàm tùy ý thỏa mãn g(x + b) = g(x), ∀x ∈ R
ii) Trường hợp c = 1. Đặt
f (x) = g(x) +

d
1−c

thay vào (1.4) ta được

g(x + b) = cg(x)
Đặt
x

g(x) = |c| b h(x)
trong đó

h(x) nếu c > 0
−h(x) nếu c < 0

h(x + b) =

(1.5)

Vậy

f (x) =

x
d
+ |c| b h(x)
1−c

Bài tốn 1.2.2. Cho h(x) là một hàm tuần hồn trên R chu kỳ a(a >

0). Xác định tất cả các hàm f (x) thỏa mãn điều kiện
f (x + a) − f (x) = h(x), ∀x ∈ R

Lời giải. Ta có

h(x) =

(x + a) − x
(x + a)h(x + a) xh(x)
h(x) =
−
, ∀x ∈ R
a
a
a

Khi đó viết (1.6) dưới dạng

f (x + a) − f (x) =

(x + a)h(x + a) xh(x)
−
a
a
8

(1.6)


hay

g(x + a) = g(x), với g(x) = f (x) −

xh(x)
a

Vậy

xh(x)
a
trong đó g(x) là hàm tùy ý thỏa mãn g(x + a) = g(x), ∀x ∈ R
f (x) = g(x) +

Bài toán 1.2.3. Cho h(x) là một hàm phản tuần hoàn trên R chu kỳ

a(a > 0). Xác định tất cả các hàm f (x) thỏa mãn điều kiện
f (x + a) − f (x) = h(x), ∀x ∈ R

(1.7)

Lời giải. Do h(x) là hàm phản tuần hoàn nên

h(x + a) = −h(x)
h(x) h(x + a)
h(x) =
−
2
2
h(x + a) −h(x)
=−
−
, ∀x ∈ R
2

2
Khi đó viết (1.7) dưới dạng

f (x + a) − f (x) =

−h(x + a) −h(x)
−
2
2

hay

g(x + a) = g(x), với g(x) = f (x) +

h(x)
2

Vậy

h(x)
2
trong đó g(x) là hàm tùy ý thỏa mãn g(x + a) = g(x), ∀x ∈ R
f (x) = g(x) −

Bài toán 1.2.4. Cho b = −1 và h(x) là một hàm tuần hoàn trên R chu
kỳ a(a > 0). Xác định tất cả các hàm f (x) thỏa mãn điều kiện

f (x + a) + bf (x) = h(x), ∀x ∈ R

9

(1.8)


Lời giải. Theo tính tuần hồn của hàm h(x) ta có các đẳng thức sau

h(x + a) = h(x)
h(x + a)
h(x)
h(x) =
+b
, ∀x ∈ R
b+1
b+1
Do đó (1.8) trở thành

f (x + a) + bf (x) =

h(x + a)
h(x)
+b
b+1
b+1

hay

g(x + a) = −bg(x)
trong đó

h(x)

b+1
Do b = −1 nên −b = 1, phương trình (1.9) có nghiệm
g(x) = f (x) −

x

g(x) = |b| a q(x)
trong đó q(x) là hàm tùy ý thỏa mãn

10

(1.9)


Chương 2
Phương trình hàm sai phân bậc
nhất
2.1

Hàm số xác định bởi các phép biến đổi tịnh
tiến và đồng dạng

Trong phần này, ta sẽ khảo sát lớp phương trình hàm sinh bởi các
phép biến đổi hình học cơ bản như phép đồng dạng x → ax, phép tịnh
tiến x → x + d và các tổ hợp của chúng.

2.1.1

Phương trình hàm với phép biến đổi tịnh tiến

Bài toán 2.1.1. Cho b ∈ Z+ , d ∈ R. Xác định hàm số f (x) trên tập số
thực sao cho

f (x + b) = f (x) + d, ∀x ∈ R
Lời giải
Đặt f (x) = g(x) + db x. Khi đó ta có

d
d
g(x + b) + (x + b) = g(x) + x + d
b
b
suy ra g(x + b) = g(x) hay g(x) là hàm tuần hồn cộng tính chu kì b
trên R.
Vậy hàm số cần tìm: f (x) = g(x) + db x.
Bài toán 2.1.2. Cho b ∈ R+ , c ∈ R∗ . Xác định hàm số f (x) trên tập
11


số thực sao cho

f (x + b) = cf (x), ∀x ∈ R

(2.1)

Lời giải
x

Đặt f (x) = g(x)c b . Thay vào phương trình (2.1) ta có

g(m + b)c

x+b
b

x

= cg(x)c b

suy ra

g(x + b) = g(x)
hay g(x) là hàm tuần hồn cộng tính chu kỳ b.
x

Do đó ta có:f (x) = g(x)c b , ∀x ∈ R
Bài toán 2.1.3. Cho b ∈ R+ , c, d ∈ R∗ , c = 1. Xác định hàm số f (x)
trên tập số nguyên sao cho

f (x + b) = cf (x) + d, ∀x ∈ R
Lời giải
Đặt f (x) = g(x) +

d
1−c .

Khi đó ta có

g(x + b) +

d
d
= c g(x) +
+d
1−c
1−c

hay g(x + b) = cg(x)
Theo bài tốn (2.1) ta có
x

Đặt g(x) = h(x)c b . Thay vào phương trình ta có

h(x + b)c

x+b
b

x

= ch(x)c b

suy ra

h(x + b) = h(x)
hay h(x) là hàm tuần hồn cộng tính chu kỳ b.
Do đó ta có:
x

g(x) = h(x)c b , ∀x ∈ R

x
d
f (x) = h(x)c b +
, ∀x ∈ R
1−c
12

(2.2)


2.1.2

Phương trình hàm với phép biến đổi đồng dạng

Trong phần này ta xét phương trình hàm dạng f (ax) = cf (x) + d
Bài toán 2.1.4. Cho a ∈ R, a = 1, c ∈ R∗ . Xác định số f (x) trên tập
số nguyên sao cho

f (ax) = cf (x), ∀x ∈ R
Lời giải
Xét các trường hợp
i) Nếu a = - 1 thì ta có f (−x) = cf (x). Khi đó ta có

f (x) = cf (−x) = c2 f (x)
bài tốn có nghiệm khi và chỉ khi c2 = 1.
- Nếu c = 1 thì ta có f (x) là hàm chẵn hay f (x) có dạng

f (x) = h(x) + h(−x), với h(x) là hàm tùy ý trên R.
- Nếu c = - 1 thì ta có f (m) là hàm lẻ hay f (x) có dạng

f (x) = h(x) − h(−x), với h(x)là hàm tùy ý trên R.
ii) Nếu a = −1, c > 0
Đặt f (x) = |x|log|a| |c| g(x). Khi đó

|c|g(ax) = cg(x)
hay g(ax) = g(x), do đó

g(x) = αk
với αk tùy ý, và x = as k, s ∈ N ∗ , k ∈ R, k không chia hết cho a
Suy ra f (x) có dạng

f (x) = ak |x|log|a| |c|
với αk tùy ý, và x = as k, s ∈ N ∗ , k ∈ R, k không chia hết cho a
iii) Nếu a = −1, c < 0 thì g(ax) = −g(x). Do đó ta có

g(x) =

αk
−αk

nếu x = ka2s
nếu x = ka2s+1
13

(2.3)


với αk tùy ý, s ∈ N, k ∈ R, k khơng chia hết cho a.
Suy ra f (x) có dạng

f (x) =

αk |x|log|a| |c|
nếu x = ka2s
−αk |x|log|a| |c| nếu x = ka2s+1

với αk tùy ý, s ∈ N, k ∈ R, k khơng chia hết cho a.
Bài tốn 2.1.5. Cho a ∈ R∗ , a = 1, d ∈ R. Xác định hàm số f (x) trên
tập số nguyên sao cho

f (ax) = f (x) + d, ∀x ∈ R

(2.4)

Lời giải
Xét các trường hợp
i) Nếu a = −1 thì ta có f (−x) = f (x) + d, suy ra

f (x) = f (−x) + d = f (x) + 2d
hay phương trình có nghiệm khi và chỉ khi d = 0.
Với d = 0 ta có f (−x) = f (x) hay f (x) là hàm chẵn trên R.
Vậy hàm số f (x) có dạng

f (x) = h(x) + h(−x), trong đó h(x) là một hàm tùy ý trên R.
ii) Nếu a = −1
Đặt f (x) = g(x) + dlog|a| |x|. Ta có

g(ax) + dlog|a| |ax| = g(x) + dlog|a| |x| + d
suy ra g(ax) = g(x) hay g(x) có dạng

g(x) = αk
với αk tùy ý, x = kas , s ∈ N, k ∈ R, k khơng chia hết cho a.
Vậy hàm số f (x) có dạng

f (x) = αk + dlog|a| |x|
với αk tùy ý, x = kas , s ∈ N, k ∈ R, k không chia hết cho a.
14


Bài toán 2.1.6. Cho a ∈ R∗ , a, c = 1, c, d ∈ R. Xác định hàm số f (x)
trên tập số nguyên sao cho

f (ax) = cf (x) + d, ∀x ∈ R

(2.5)

Lời giải
Đặt f (x) = g(x) +

d
1−c .

g(ax) +

Ta có

d
d
= c g(x) +
1−c

1−c

+d

hay g(ax) = cg(x). Theo bài tốn 2.1.4 ta có
i) Nếu a = - 1 thì phương trình có nghiệm khi c = - 1.
Nếu c = - 1 thì ta có g(m) là hàm lẻ hay g(x) có dạng

g(x) = h(x) − h(−x), với h(x) là hàm tùy ý trên R
Suy ra f (x) có dạng

f (x) = h(x) − h(−x) +

d
với h(x) là hàm tùy ý trên R
1−c

ii) Nếu a = −1, c > 0 thì g(x) có dạng

g(x) = αk |x|log|a| |c|
với αk tùy ý, x = kas , s ∈ N , k không chia hết cho a.
suy ra f (x) có dạng

f (x) = αk |x|log|a| |c| +

d
1−c

với αk tùy ý, x = kas , s ∈ N , k không chia hết cho a.
iii) Nếu c < 0, c = −1 thì g(x) có dạng

g(x) =

αk |x|log|a| |c|
nếu x = ka2s
−αk |x|log|a| |c| nếu x = ka2s+1

với αk tùy ý, s ∈ N , k không chia hết cho a.

15


2.2

Phương trình dạng f (ax + b) = cf (x) + d
b
1−a

∈
/ R. Đặt f (x) = g((1 − a)x) thì phương
trình hàm dạng f (ax + b) = cf (x) + d tương đương với

Nhận xét 2.2.1. Nếu

g ((1 − a)ax + (1 − a)b) , , ∀x ∈ R
Đặt (1 − a)x = y ta có

g (ay + (1 − a)b) = cg(ay), ∀y ∈ (1 − a)R.
nên trong phần này ta chỉ xét phương trình hàm dạng f (ax + b) =
b

∈ R, a = 1
cf (x) + d với a, b, 1−a
b
Bài toán 2.2.1. Cho a, b, 1−a
∈ R∗ , a = 1. Xác định hàm số f (x) trên

tập số nguyên sao cho

f (ax + b) = cf (x), ∀x ∈ R

(2.6)

Lời giải
Đặt x = y +

b
1−a .

Khi đó ta có

f a(y +

b
b
) + b = cf (y +
)
1−a
1−a

hay

b
b
= cf (y +
)
1−a
1−a
b
Đặt f (y + 1−a
) = g(y), ta được
f ay +

g(ay) = cg(y), ∀y ∈ R
Xét các trường hợp i) Nếu a = −1, c = 1 thì g(y) là hàm chẵn trên R.
Nên hàm f (x) có dạng

f (x) = h(x −

b
b
) + h(−x +
), với h(x) là hàm bất kì trên R
1−a
1−a

ii)Nếu a = −1, c = −1 thì g(x) là hàm lẻ trên R. Nên hàm số f (x) có
dạng

f (x) = h(x −

b
b
) − h(−x +
), với h(x) là hàm bất kì trên R
1−a
1−a
16


iii) Nếu a = −1, c > 0 thì theo bài tốn 2.1.4 g(x) có dạng

g(y) = αk |y|log|a| c
với αk tùy ý, y = kas , s ∈ N, k ∈ R không chia hết cho a.
Suy ra f (x) có dạng

f (x) = αk |x −

b log|a| c
|
1−a

b
1−a

= kas , s ∈ N, k ∈ R không chia hết cho a.
iv) Nếu a = −1, c < 0 thì theo bài tốn 2.1.4 g(y) có dạng
với αk tùy ý,x −

αk |y|log|a| |c|
nếu y = ka2s

−αk |y|log|a| |c| nếu y = ka2s+1

g(y) =

với αk tùy ý, s ∈ N, k ∈ R không chia hết cho a
Suy ra f (x) có dạng

g(x) =

b log|a| |c|
αk |x − 1−a
|
nếu x −
b log|a| |c|
−αk |x − 1−a |
nếu x −

b
1−a
b
1−a

= ka2s
= ka2s+1

với αk tùy ý, s ∈ N, k ∈ R không chia hết cho a.
b
∈ R, a = 1, d ∈ R. Xác định hàm số f (x)
Bài toán 2.2.2. Cho a, b, 1−a

trên tập số nguyên sao cho

f (ax + b) = f (x) + d, ∀x ∈ R
Lời giải
Đặt x = y +

b
1−a .

Khi đó ta có

f a(y +

b
b
) + b = f (y +
)+d
1−a
1−a

hay

b
b
= f (y +
)+d
1−a
1−a
b
Đặt f (y + 1−a

) = g(y), ta được
f ay +

g(ay) = g(y) + d, ∀y ∈ R
17

(2.7)


Xét các trường hợp i) Nếu a = −1 thì g(y) là hàm chẵn trên R với d =
0. Nên hàm f (x) có dạng

b
b
f (x) = h(x − ) + h(−x + ), với h(x) là hàm bất kì trên R
2
2
ii)Nếu a = −1, đặt g(y) = h(n) + dlog|a| |y|. Ta có
h(ay) + dlog|a| |ay| = h(y) + glog|a| |y| + d
suy ra h(ay) = h(y)
do đó

h(y) = αk nếu y = as k, s ∈ N ∗ , k ∈ R, (a, k) = 1
vậy f (x) có dạng

f (x) = αk + dlog|a| |x −
nếu x −

b
1−a

b
|, với αk tùy ý,
1−a

= as k, s ∈ N ∗ , k ∈ R, k không chia hết cho a.

b
Bài toán 2.2.3. Cho a, b, 1−a
∈ R, a, c = 1. Xác định hàm số f (x) trên

tập số nguyên sao cho

f (ax + b) = cf (x) + d, ∀x ∈ R

(2.8)

Lời giải
Đặt f (x) = g(x) +

d
1−c .

Khi đó ta có

g(ax + b) +

d
d
= c(g(x) +

)+d
1−c
1−c

hay g(ax + b) = cg(x). Đặt x = y +

g(a(y +

b
1−a .

Khi đó ta có

b
b
) + b) = cg(y +
)
1−a
1−a

suy ra

b
b
) = cg(y +
)
1−a
1−a
b
Đặt g(y + 1−a

) = h(y). Ta có h(ay) = ch(y). Theo bài tốn 2.1.4 ta có
i) Nếu a = −1, c = −1 thì h(y) là hàm lẻ trên R. Nên hàm f (x) có
dạng
b
b
d
f (x) = h(x −
) − h(−x +
)+
,
1−a
1−a
1−c
g(ay +

18


với h(m) là hàm bất kì trên R
ii)Nếu a = −1, c > 0
Đặt h(y) = y log|a| |c| u(y). Khi đó

cu(ay) = cu(y)
Theo bài tốn 2.1.4 ta có

f (x) = (x −

b log|a| |c|
d
)

αk +
1−a
1−c

= as k, s ∈ N ∗ , k ∈ R, k không chia hết cho a.
iii) Nếu a, c = −1, c < 0 đặt h(y) = y log|a| |c| u(y). Khi đó
với αk tùy ý,x −

b
1−a

−cu(ay) = cu(y)
f (x) =

b log|a| |c|
(x − 1−a
)
αk +
b log|a| |c|
−(x − 1−a )
αk

d
1−c

nếu x −
nếu x −

b
1−a

b
1−a

= ka2s
= ka2s+1

với αk tùy ý, s ∈ N ∗ , k ∈ R không chia hết cho a.

2.3

Hàm số xác định bởi phép biến đổi phân tuyến
tính

Bài tốn 2.3.1. Xác định hàm số f (x) trên tập số nguyên sao cho

f (x + 1) =

f (x)
f (x) + 1

(2.9)

Lời giải
Nếu tồn tại m0 ∈ R sao cho f (x) = 0 thì dễ thấy f (x) = 0 với mọi

x∈R
Giả sử f (x) = 0 thì (2.9) tương đương với
f (x) + 1
1
1

=
=
+1
f (x + 1)
f (x)
f (x)
1
f (x)

= g(x) = 0, ∀x ∈ R, ta có g(x + 1) = g(x) + 1. Đây là dạng
trong bài toán 2.1.1 với b = 1 và d = 1 suy ra
Đặt

g(x) = x + a, với a ∈ R
19


Vậy hàm f (x) có dạng

1
với a ∈ R.
a+x
Bài tốn 2.3.2. Cho r, s ∈ R. Xác định hàm số f (x) trên tập số nguyên
sao cho
f (x)
, ∀x ∈ R
(2.10)
f (x + 1) =
rf (x) + s
f (x) =

Lời giải
Nếu tồn tại x0 ∈ R sao cho f (x) = 0 thì dễ thấy f (x) = 0 với mọi

x∈R
Giả sử f (x) = 0 thì (2.10) tương đương với
1
rf (x) + s
s
=
=
+r
f (x + 1)
f (x)
f (x)
Đặt

1
f (x)

= g(x) = 0, ∀x ∈ R, ta có
g(x + 1) = g(x) + 1

Đây là dạng trong bài toán 2.1.3 với b = 1 suy ra
r
, với a ∈ R
g(x) = asx +
1−s
Vậy hàm f (x) có dạng
1−s

1
=
với a ∈ R.
f (x) =
g(x) a(1 − s)sx + r
Bài toán 2.3.3. Cho p, q, r, s ∈ R. Xác định hàm số f (x) trên tập số
nguyên sao cho

f (x + 1) =

pf (x) + q
, ∀x ∈ R
rf (x) + s

Đặt

f (x) =

g(m)
h(x)

thì ta có
g(x)
p h(x)
+q
g(x + 1)
= g(x)
h(x + 1) r
h(x) + s

=

pg(x) + qh(x)
rg(x) + sh(x)
20


Ta tìm hàm g(x) và h(x) thỏa mãn

g(x + 1) = pg(x) + qh(x)
h(x + 1) = rg(x) + sh(x)
từ đó suy ra

g(x + 2) = pg(x + 1) + qh(x + 1)
= pg(x + 1) + q[rg(x) + sh(x)]
= pg(x + 1) + qrg(x) + s[g(x + 1) − pg(x)]
= (p + s)g(x + 1) + (qr − sp)g(x)
hay g(x + 2) − (p + s)g(x + 1) − (qr − sp)g(x).
Đây là phương trình sai phân bậc 2. Giải phương trình này ta tìm được

g(x), h(x). Từ đó ta tìm được hàm số f (x).
Bài tốn 2.3.4. Cho b ∈ R∗ , p, q, r, s ∈ R. Xác định hàm số f (x) trên
tập số nguyên sao cho

f (x + b) =

pf (x) + q
, ∀x ∈ R
rf (x) + s

Lời giải
Đặt

f (x) =

g(x)
h(x)

thì ta có
g(x)
p h(x)
+q
g(x + b)
=
h(x + b) r g(x) + s
h(x)

=

pg(x) + qh(x)
rg(x) + sh(x)

Ta tìm hàm g(x) và h(x) thỏa mãn

g(x + b) = pg(x) + qh(x)
h(x + b) = rg(x) + sh(x)

21

từ đó suy ra

g(x + 2b) = pg(x + b) + qh(x + b)
= pg(x + b) + q[rg(x) + sh(x)]
= pg(x + b) + qrg(x) + s[g(x + b) − pg(x)]
= (p + s)g(x + b) + (qr − sp)g(x)
hay g(x + 2b) − (p + s)g(x + b) − (qr − sp)g(x).
Đây là phương trình sai phân bậc 2b. Giải phương trình này ta tìm được

g(x), h(x). Từ đó ta tìm được hàm số f (x).

2.4

Ví dụ áp dụng

Ví dụ 2.4.1. Tìm tất cả các hàm f (x) trên tập số thực cho

f (x + 3) = f (x) + 1, ∀x ∈ R
Lời giải
Nhận thấy b = 3, d = 1
Đặt f (x) = g(x) + 31 x

⇒ g(x + 3) + 13 (x + 3) = g(x) + 13 x + 1
⇒ g(x + 3) = g(x)
Vậy g(x) là hàm tuần hồn cộng tính với chu kì b = 3
nên f (x) = g(x) + 31 x.
Ví dụ 2.4.2. Tìm tất cả các hàm f (x) trên tập số thực sao cho

f (x + 6) = −f (x) + 4, ∀x ∈ R
Lời giải

Nhận thấy b = 6, c = −1, d = 4
Đặt f (x) = g(x) + 2. Khi đó ta có

g(x + 6) + 2 = −[g(x) + 2] + 4
⇔ g(x + 6) = −g(x)
nên f (x) = g(x) + 2 với g(x) là hàm tuần hồn cộng tính chu kì 2.
22


Ví dụ 2.4.3. Tìm tất cả các hàm f (x) thỏa mãn

f (3x) = 5f (x), ∀x ∈ R
Lời giải
Ta thấy a = 3, c = 5 > 0
Đặt f (x) = |x|log3 5 g(x). Khi đó

⇒ |3x|log3 5 g(3x) = 5|x|log3 5 g(x)
⇔ g(3x) = g(x)
⇒ g(x) là hàm tuần hồn nhân tính có chu kì 3.
⇒ g(x) = αk với αk tùy ý.
Vậy f (x) = αk .|x|log3 5 .
Ví dụ 2.4.4. Tìm tất cả các hàm f (x) thỏa mãn

f (2x + 3) = 5f (x) − 9, ∀x ∈ R
Lời giải
Ta thấy a = 2, b = 3, c = 5, d = −9
Đặt f (x) = g(x) + 49 . Khi đó

⇔ g(2x + 3) +

9
9
= 5 g(x) +
4
4

−9

⇔ g(2x + 3) = 5g(x)
Đặt x = y − 3 ta được

g(2y − 3) = 5g(y − 3)
⇒ h(2y) = 5h(y) với h(y) = g(y − 3)
Theo bài toán 2.1.4 ta được h(y) = αk .|y|log2 5

⇒ g(y − 3) = αk .|y|log2 5
⇒ f (x) = αk .|x + 3|log2 5 +
23

9
4


2.5

Bài tập

Bài toán 2.5.1. Xác định hàm số f (x) trên tập số thực thỏa mãn điều
kiện

f (x + 2) = 3f (x), ∀x ∈ R, f (0) = 1 và f (1) = 3
Bài toán 2.5.2. Xác định hàm số f (x) trên tập số nguyên thỏa mãn
điều kiện

f (3x) = 2f (x) + 5, ∀x ∈ R, f (0) = 1 và f (1) = 3
Bài toán 2.5.3. Xác định dãy số {um , m ∈ Z} sao cho u0 = 32 , u1 = 2

um+2 =

um
, ∀m ∈ Z
um + 1

Bài toán 2.5.4. Cho dãy số {un } thỏa mãn điều kiện

un+1 =

un + 4
, u0 = 0
un + 2

Bài toán 2.5.5. Cho dãy số {un } thỏa mãn điều kiện

un+1 = aun + b, a, b ∈ R
n

uk .

Tính tổng Sn =
k=−n

Bài tốn 2.5.6. Cho hai dãy số {un } và {vn } được xác định như sau
√
u m+n
=
um un , ∀m, n ∈ Z
2
u1 = 5
và

vn+1 = vn + b, b ∈ R
v1 = 3
n

Tính tổng Sn =

uk vk
k=−n

24