(Luận văn thạc sĩ) tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân KONTOROVICH LEBEDEV và FOURIER

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

PHẠM VĂN HOẰNG

TÍCH CHẬP SUY RỘNG ĐỐI VỚI
CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN
KONTOROVICH-LEBEDEV VÀ FOURIER

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Hà Nội - Năm 2012


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

PHẠM VĂN HOẰNG

TÍCH CHẬP SUY RỘNG ĐỐI VỚI
CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN
KONTOROVICH-LEBEDEV VÀ FOURIER

Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH
Mã số: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS. TS. NGUYỄN XUÂN THẢO

Hà Nội - Năm 2012


MỤC LỤC
MỤC LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

LỜI NÓI ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

6

1.1

Không gian Lp và Lp với hàm trọng . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2

Các phép biến đổi tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.3

Tích chập và một số tích chập suy rộng . . . . . . . . . . . . .

12

1.3.1

Sơ lược về tích chập đối với phép biến đổi tích phân . .

12

1.3.2

Định nghĩa tích chập suy rộng . . . . . . . . . . . . . .

14

Chương 2. TÍCH CHẬP SUY RỘNG ĐỐI VỚI HAI PHÉP BIẾN ĐỔI
TÍCH PHÂN K, FC VÀ K, FS

17

2.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.2

Tính chất tốn tử của các tích chập . . . . . . . . . . . . . . .

18

Chương 3. TÍCH CHẬP SUY RỘNG ĐỐI VỚI BA PHÉP BIẾN ĐỔI
TÍCH PHÂN K, FC VÀ FS

36

3.1

Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

3.2

Tính chất của tích chập suy rộng

38

3.3

. . . . . . . . . . . . . . . .

Ứng dụng tích chập suy rộng giải một lớp phương trình, hệ
phương trình tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

1


CÁC KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN

• R+ = {x ∈ R, x > 0}
• C0 (R+ ): tập hợp các hàm số liên tục, bị chặn trên R+ , triệt tiêu tại vơ
cực ( lim f (t) = 0).
t→+∞

• Lα,β
p : không gian các hàm xác định trên R+ thỏa mãn
∞

|f (x)|p K0 (βx)xα dx < ∞.
0

• K : phép biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev:
∞

Kix [f ] =

f (t)Kix (t)dt.

0

• Fc : phép biến đổi tích phân Fourier cosine:
∞

(Fc f )(x) =

2
π

f (t) cos xtdt.
0

• Fc : phép biến đổi tích phân Fourier sine:
∞

(Fs f )(x) =

2
π

f (t) sin xtdt.
0

• h.k.n: hầu khắp nơi.

−2−


LỜI NĨI ĐẦU

Tích chập đối với các phép biến đổi tích phân đã được các nhà tốn học
nghiên cứu từ lâu và được ứng dụng để giải quyết một lớp lớn các bài tốn như
đánh giá tích phân, tính tổng của một chuỗi, tìm nghiệm của các phương trình
tốn lý với dạng biểu diễn nghiệm rất gọn đẹp.
Vào năm 1951, trong cuốn sách của mình, I.N. Sneddon đưa ra một cơng
thức tích chập, trong đẳng thức nhân tử hố của nó có hai phép biến đổi tích
phân Fourier sine và Fourier cosine. Tích chập này xác định như sau (xem [14])
∞

1
(f ∗ g)(x) = √
sc
2π

f (u)[g(|x − u|) − g(x + u)]du,

x > 0,

(0.1)

0

thoả mãn đẳng thức nhân tử hoá và đẳng thức Parseval dưới đây

Fs [f ∗ g])(y) = (Fs f )(y)(Fc g)(y), f, g ∈ L1 (R+ ),

(0.2)

(f ∗ g)(x) = Fs [(Fs f )(y)(Fc g)(y)](x), f, g ∈ L2 (R+ ).

(0.3)

sc

sc

Năm 1998, V. A. Kakichev và Nguyễn Xuân Thảo đã đưa ra định nghĩa
tích chập suy rộng với ba phép biến đổi tích phân bất kì và chỉ ra điều kiện cần
để có tích chập suy rộng trong những điều kiện nào đó (xem [8]). Năm 2010,
S.B Yakubovich và L. E. Britvina đã nghiên cứu tích chập suy rộng mà đẳng
thức nhân tử hóa có chứa hai phép biến đổi tích phân (xem [22]). Tiếp tục
hướng nghiên cứu này, được sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Xuân Thảo,
em nghiên cứu đề tài: Tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích
phân Kontorovich-Lebedev và Fourier. Luận văn gồm phần lời nói đầu,
ba chương, kết luận, cơng trình liên quan đến luận văn, tài liệu tham khảo,

3


trong đó nội dung chính là chương 2 và chương 3.
Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị: trình bày lại một số kiến thức cơ bản
và phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine, Kontorovich-Lebedev...và
các ví dụ.
Chương 2: Một số tích chập suy rộng với hai phép biến đổi tích phân:
giới thiệu bốn tích chập suy rộng được S.B.Yakubovich và L.E.Britvina trong
bài báo. Chương này tác giả đưa ra các tính chất của tích chập suy rộng và
chứng minh chi tiết các tính chất đó. Điều thú vị ở chương này là các kĩ thuật
ước lượng với chuẩn và kĩ thuật tính tốn, biến đổi tích phân.
Chương 3: Tích chập suy rộng mới với ba phép biến đổi tích phân K ,

Fs và Fc : Đây là đóng góp chính của của tác giả trong luận văn. Với tích chập
mới được đưa ra, tác giả đã có các ước lượng với chuẩn để từ đó chỉ ra tích
chập suy rộng mới này như là một hàm số xác định, liên tục trên R+ và thuộc
các không gian Lp (R+ ; xα e−βx dx). Tác giả tìm được những mối liên hệ giữa các
tích chập suy rộng và ứng dụng các tính chất đã nghiên cứu để đưa ra cơng
thức nghiệm cho một lớp các phương trình, hệ phương trình tích phân. Điểm
mới của tác giả là đã xây dựng được tích chập suy rộng được xác định như sau:

(f ∗ g)(x) =

1
π2

H(u, v, x)f (u)g(v)dudv, x > 0

(0.4)

R2+

với H(u, v, x) = [sinh(u + v)e−x cosh(u+v) + sinh(u − v)e−x cosh(u−v) ] có đẳng thức
nhân tử hóa

1
(Fs f )(w)(Fc g)(w).
(0.5)
sinh πw
Kết quả này làm phong phú thêm các tích chập suy rộng và lần đầu tiên trong
Kiw (f ∗ g) =

đẳng thức nhân tử hóa có 3 phép biến đổi tích phân dưới tác động của phép
biến đổi Kontorovich-Lebedev vào tích chập suy rộng. Hơn nữa, tích chập suy
rộng mới này được nghiên cứu trong lớp các không gian hàm Lp (R+ ; xα e−βx dx).

−4−


Không giống như lớp không gian Lα,β
mà S.B. Yakubovich thường dùng trong
p
các nghiên cứu của mình về phép biến đổi Kontorovich-Lebedev, không gian

Lp (R+ ; xα e−βx dx) mà tác giả nghiên cứu ở đây có hàm trọng của khơng gian
không phụ thuộc vào hàm đặc biệt.
Qua đây, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Xuân Thảo,
người đã quan tâm, tận tình hướng dẫn em thực hiện đề tài. Em xin chân thành
cảm ơn các thầy, cô đã giảng dạy các chuyên đề cao học giúp em có kiến thức,
phương pháp nghiên cứu để giải quyết yêu cầu của đề tài. Đồng thời, em xin
chân thành cảm ơn các thầy cô, các anh chị em trong nhóm Seminar Giải tíchĐHKHTN, Seminar Đại số-Giải tích-ĐHKHTN và Seminar Giải tích -ĐHBK
Hà Nội về những đóng góp q báu cho em trong q trình hồn thiện luận văn.

−5−


Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1

Không gian Lp và Lp với hàm trọng

Định nghĩa 1.1.1 Cho p ∈ R, 1 ≤ p < ∞, Ω ⊂ Rn .

Lp (Ω) = {f : Ω → R (hoặc C); f đo được và |f |p khả tích }.
L∞ (Ω) = {f : Ω → R (hoặc C ); f đo được và ∃M : |f (x)| ≤ M -h.k.n }. Các
không gian này có chuẩn tương ứng f

p

1

|f |p dx) p

=
Ω

f

∞

= inf M : |f (x)| ≤ M − h.k.n}

Kí hiệu Lp (Rn ) = Lp .
Giả sử Ω1 ⊂ Rd1 , Ω2 ⊂ Rd2 , (d1 , d2 ∈ N) là hai tập mở và F : Ω1 × Ω2 → R
(hoặc C) là hàm đo được.

F (x, y)dy < +∞ -h.k.n, x ∈ Ω1 , và

Định lí 1.1.1 (Tonelli, [5]) Giả sử
Ω2

|F (x, y)|dy < +∞. Khi đó F khả tích trên Ω1 × Ω2 .
Ω1 Ω2

Định lí 1.1.2 (Fubini, [5]) Cho F khả tích trên Ω1 × Ω2 . Khi đó, với hầu hết

x ∈ Ω1 , ta có F (x, .) : y → F (x, y) khả tích trên Ω2 và x →

F (x, y)dy khả
Ω2

tích trên Ω1 . Kết luận tương tự khi thay đổi vai trò của x cho y , Ω1 cho Ω2 .
Hơn nữa, ta có:

dx
Ω1

F (x, y)dy =
Ω2

dy
Ω2

F (x, y)dx =

F (x, y)dxdy
Ω1 ×Ω2

Ω1

6


Định lí 1.1.3 (Bất đẳng thức Holder,[5] ) Cho f ∈ Lp và g ∈ Lp với

1 ≤ p ≤ +∞. Khi đó f g ∈ L1 và
của p, 1 ≤ p ≤ +∞,

|f g|dx ≤ ||f ||p ||g||p ( p là số liên hợp
Rn

1 1
+ = 1.
p p

Định lí 1.1.4 (Fischer-Riesz,[12]) a) Lp là không gian Banach với 1 ≤ p ≤

+∞. b) Giả sử fn là dãy hội tụ về f trong không gian Lp với 1 ≤ p ≤ +∞,
tức là ||fn − f || → 0. Khi đó, tồn tại dãy con fnk sao cho fnk → f -h.k.n,

∀k, |fnk (x)| ≤ h(x) với h là hàm trong Lp .
Ta biết, hàm Macdonald Kν (z) thỏa mãn phương trình vi phân
2
2d u
z
dz 2

+z

du

− (z 2 + ν 2 )u = 0.
dz

(1.1)

Hàm Macdonald có dáng điệu tiệm cận tại vô cực (xem [6])
1
2

π
Kν (z) =
2z

e−z [1 + O(1/z)], z → ∞,

(1.2)

và ở gần 0 là

z ν Kν (z) = 2ν−1 Γ(ν) + o(1), z → 0, ν = 0,

(1.3)

K0 (z) = − log z + O(1), z → 0.

(1.4)

Ta biết rằng (xem [13]), hàm biến dạng Bessel Kix (t) có thể biểu diễn bởi tích
phân Fourier:

∞

e−t cosh u cos xudu, t > 0,

Kix (t) =

(1.5)

0

ở đây x ∈ R, ix là chỉ số thuần ảo. Hơn nữa, tích phân này có thể mở rộng trên
π
một dải σ ∈ [0, ) ở nửa mặt phẳng trên
2
iσ+∞

1
Kix (t) =
2

e−t cosh z+ixz dz, t > 0
iσ−∞

−7−

(1.6)


và có ước lượng chuẩn:

|Kix (t)| ≤ e−|x| arccos β K0 (βt), 0 < β ≤ 1

(1.7)

Từ công thức (1.5), ta có:
∞

e−t cosh u du > 0, t ∈ (0; ∞)

K0 (t) =

(1.8)

0

1, ta định nghĩa Lα,β
là không
p

Định nghĩa 1.1.2 ([22]) Cho α ∈ R, 0 < β
gian các hàm f (x) xác định trên R+ thỏa mãn
∞

|f (x)|p K0 (βx)xα dx < ∞.

(1.9)

0

Chuẩn của một hàm trên không gian này được tính theo cơng thức

∞

f

Lα,β
p

p

α

|f (x)| K0 (βx)x dx

=

1
p

.

0

Nhận xét 1.1.1 Từ định nghĩa không gian Lα,β
p , khi p = 1, 2, sử dụng bất
đẳng thức Schwartz và tính tốn với các tích phân với hàm Bessel biến dạng
(xem bổ đề 2.1 [19]), chúng ta khơng khó để tìm thấy các quan hệ bao hàm
giữa các khơng gian. Ví dụ, ta thấy L0,1
1 chứa khơng gian L2 (R+ ; dx) vì ta có
ước lượng
∞

0

1
2

∞

K02 (x)dx

|f (x)|K0 (x)dx ≤
0

1
2

∞

|f (x)|2 dx

=

π
||f ||L2 (R+ ;dx) .
2

0

0,1
α

Suy luận tương tự, ta được kết quả Lα,1
1 chứa không gian L2 (R+ ; x dx) và L2 .

−8−


Hơn nữa, ta có:
3
1
1
1
4 Γ 2 (α +
),
α
>
−
||f ||Lα,1
≤
C
||f
||
,
C
=
π
α
α
L
(
R

;dx)
2
+
1
2
2
α
α+1
−1
2
22 Γ ( 2 )
α dx) , Cα =
, α > −1
||f ||Lα,1
≤
C
||f
||
α
L
(
R
;x
1
2
+
1
2Γ 2 (α + 1)
1
1

α− 21
0,1 , Cα = 2
||f ||Lα,1
≤
C
||f
||
Γ(α
+
),
α
>
−
α
L
1
2
2
2

(1.10)
(1.11)
(1.12)

Nhận xét 1.1.2 Từ xα K0 (βx) là bị chặn với α > 0; 0 < β ≤ 1, ta có thể
nhúng: Lp (R+ ; dx) ⊂ Lα,β
p
Định nghĩa 1.1.3 Kí hiệu Lp (R+ ; xα e−βx dx), p > 1, α ∈ R; β > 0 là không
gian các hàm f (x) xác định trên R+ thỏa mãn
∞

|f (x)|p xα e−βx dx < ∞.

(1.13)

0

Chuẩn của một hàm trên không gian này được tính theo cơng thức
∞
p α −βx

||f ||Lp (R+ ;xα e−βx dx) =

|f (x)| x e

dx

1
p

.

0

Nhận xét 1.1.3 Sử dụng công thức 3.381.4 trong [7]
∞

xα e−βx dx = β −α+1 Γ(α + 1), β > 0, α > −1.

(1.14)

0

Do đó, với α > −1; β > 0, xα e−βx là bị chặn , ta có thể nhúng: Lp (R+ ; dx) ⊂

Lp (R+ ; xα e−βx dx).

−9−


1.2

Các phép biến đổi tích phân

Trong luận văn này ta tập trung nghiên cứu một số phép biến đổi tích phân
được xét trong [13, 19, 21]. Phép biến đổi tích phân Fourier:
+∞

1
2π

(F f )(x) =

f (t)e−ixt dt.

(1.15)

−∞

Phép biến đổi tích phân Fourier cosine (xem [14])

∞

2
π

(Fc f )(x) =

f (t) cos xtdt.

(1.16)

0

Phép biến đổi tích phân Fourier sine có dạng như sau (xem [14])
∞

2
π

(Fs f )(x) =

f (t) sin xtdt.

(1.17)

0

Phép biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev, kí hiệu là K , được M.J.
Kontorovich và N.N. Lebedev giới thiệu vào năm 1938 và có dạng (xem [6]):
∞

Kix [f ] =

Kix (t)f (t)dt,

(1.18)

0

có chứa nhân là hàm Macdonald Kν (z) với chỉ số thuần ảo ν = ix.
Các phép biến đổi tích phân Fourier cosine và Fourier sine xác định trong
không gian L1 (R+ ; dt). Hơn nữa, nếu g(x) = (Fc f )(x) hoặc g(x) = (Fs f )(x)
thuộc L1 (R+ ); dt), ta có cơng thức ngược tương ứng f (x) = (Fc g)(x); f (x) =

(Fs g)(x).
Trong không gian L2 (R+ ; dt), các phép biến đổi Fourier cosine và Fourier
sine hiểu theo nghĩa giá trị chính (xem [15])
N

(Fc f )(x) = lim

N →∞

2
π

f (t) cos xtdt,
1
N

−10−

(1.19)


N

2
π

(Fs f )(x) = lim

N →∞

f (t) sin xtdt,

(1.20)

1
N

Theo định lí kiểu Plancherel (xem [15, 13, 19, 21]) các phép biến đổi

Fc , Fs : L2 (R+ ; dt) → L2 (R+ ; dt)
là đẳng cấu, đẳng cự với công thức nghịch đảo tương ứng xác định như sau:
N

2
π

f (x) = lim

N →∞

(Fc f ) cos xtdt,

(1.21)

1
N

N

2
π

f (x) = lim

N →∞

(Fs f ) sin xtdt,

(1.22)

1
N

và có đẳng thức Parseval

Fc f = f

L2 (R+ ;dx) ;

Fs f = f

L2 (R+ ;dx) .

Toán tử Kontorovich-Lebedev là đẳng cấu, đẳng cự

K : L2 (R+ ; tdt) → L2 (R+ ; x sinh πxdx),

(1.23)

trong đó tích phân ở vế phải của (1.18) nói chung không tồn tại theo nghĩa
Lebesgue và ta hiểu chúng theo nghĩa:
N

Kix [f ] = lim

Kix (t)f (t)dt.

N →∞

(1.24)

1
N

Giới hạn ở trên là theo giá trị chính tương ứng với chuẩn của không gian

L2 (R+ ; x sinh πxdx). Hơn nữa, đẳng thức Parseval
∞

∞

x sinh πx|Kix (f )|2 dx =
0

|f (t)|2 dt,
0

−11−

(1.25)


đúng và toán tử ngược xác định bởi:
N

2
f (t) = lim 2
N →∞ π

x sinh πx

Kix (t)
Kix [f ]dx.
t

(1.26)

0

1.3
1.3.1

Tích chập và một số tích chập suy rộng
Sơ lược về tích chập đối với phép biến đổi tích
phân

Giả sử K là một tốn tử tuyến tính từ khơng gian tuyến tính U (X) vào đại
số V (Y ) K : U (X) → V (Y ). Tích chập với hàm trọng γ đối với phép biến đổi

K là một toán tử
∗ : U (X) × U (X) −→ V (Y )
γ

(f, g) → f ∗ g,
sao cho đẳng thức nhân tử hóa sau đây thỏa mãn:
γ

K(f ∗ g)(x) = γ(y)(Kf )(y)(Kg)(y).

(1.27)

Khi đó U (X) cùng với phép nhân chập như trên xác định một đại số.
Lý thuyết tích chập của các phép biến đổi tích phân được nghiên cứu từ
khoảng đầu thế kỷ 20. Đầu tiên là tích chập của phép biến đổi Fourier (xem
[13])
+∞

1
(f ∗ g)(x) = √
2π

f (x − y)g(y)dy
−∞

thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa:

F (f ∗ g)(y) = (F f )(y)(F g)(y).
−12−

(1.28)


Các tích chập tương ứng cũng được xây dựng với các phép biến đổi Laplace, biến
đổi Mellin, biến đổi Hilbert, biến đổi Hankel, biến đổi Kontorovich-Lebedev,
biến đổi Stieltjes,...
Ví dụ 1.3.1 Tích chập của phép biến đổi Fourier cosine được xác định như
sau (xem [14]):
∞

1
(f ∗ g)(x) = √
c
2π

f (y)[g(x + y) + g(|x − y|)]dy, x > 0,

(1.29)

0

thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa

Fc (f ∗ g)(y) = (Fc f )(y)(Fc g)(y).
c

(1.30)

Ví dụ 1.3.2 Xét phép biến đổi kiểu Mellin
+∞

dt
y
ki ( )f (t) , i = 0, 2,
t
t

(Ki f )(y) =
0

trong đó ki (t) là nhân của phép biến đổi Mellin Ki tương ứng. Khi đó ta có
tích chập
∞

1
(f ∗ g)(x) =
m

(2π)2

f (y)[g(x + y) + g(|x − y|)]dy, x > 0,

(1.31)

0

thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa

K0 (f ∗ g)(y) = (K1 f )(y)(K2 g)(y), y > 0.
m

(1.32)

Ví dụ 1.3.3 Đối với phép biến đổi Kontorovich-Lebedev ta có tích chập như
sau:

+∞ +∞

(f ∗ g)(x) =

Θ(x, u, v)f (u)g(v)dudv, x > 0,

k

0

0

−13−

(1.33)


thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa

Iiτk (f ∗ g)(y) = (Iiτk1 f )(y)(Iiτk2 g)(y), y > 0,
k

(1.34)

trong đó k và k3 là cặp nhân liên hợp,
+∞
k

Iiτj f =

+∞

Ikj (τ, u)f (u)du ; Ikj (τ, u) =
0

0

dt
Kiτ kj (ut) √ ,
t

và

Θ(x, u, v) =
+∞ +∞ +∞

1 yz zt ty k3 (xy)k1 (uz)k3 (vt)
√
exp − ( + + )
dydzdt.
2 t
y
z
yzt

1
=
2
0

0

0

Các tích chập trên tuy có đẳng thức nhân tử hóa tổng quát hơn so với (1.28)
nhưng mới chỉ dừng lại ở các phép biến đổi tích phân với chỉ số. Năm 1998,
V.A Kakichev và Nguyễn Xuân Thảo đã đưa ra sơ đồ kiến thiết tổng quát nhất
với tích chập suy rộng với hàm trọng đối với ba phép biến đổi tích phân bất kì
(xem [8]).

1.3.2

Định nghĩa tích chập suy rộng

Cho các tốn tử tuyến tính

Kj : Uj (Xj ) → V (X), j = 1, 2, 3
trong đó Uj (Xj ) là các khơng gian tuyến tính cịn V (X) là một đại số

kj (x, xj )fj (xj )dxj , fj ∈ Uj (Xj ), j = 1, 2, 3.

Fj (x) = (Kj fj )(x) =
Xj

−14−

(1.35)


Giả sử l, m, n là một hoán vị bất kì của tập hợp {1, 2, 3}, γl là một hàm
số thuộc V (X). Tích chập suy rộng với hàm trọng γl đối với các phép biến đổi
tích phân Kl , Km , Kn là một toán tử song tuyến tính được định nghĩa như sau:

∗ : Um (Xm ) × Un (Xn ) −→ V (X)
γ

(fm , fn ) → fm ∗ fn
sao cho đẳng thức nhân tử hóa sau được thỏa mãn:
γl

Kl (fm ∗ fn )(x) = γl (x)(Km fm )(x)(Kn fn )(x).

(1.36)

Sau đây, ta sẽ đưa ra một số điều kiện cần để tồn tại tích chập suy rộng. Giả
sử các phép biến đổi Kj có biến đổi ngược Kj−1

fj (xj ) = (Kj−1 Fj )(xj ) =

kj−1 (xj , x)Fj (x)dx ∈ Uj (XJ ), j = 1, 3,

(1.37)

X

trong đó kj (x, xj ) và kj−1 (xj , x) là nhân tương ứng của các phép biến đổi Kj
và Kj−1 . Giả sử xảy ra đẳng thức
p

γl (x)kl−1 (xl , x)km (x, xm )

ci kn−1 (αi (xl , xm ), x)

=
k=0

thì tích chập suy rộng loại một của hai hàm fm , fn với hàm trọng γl đối với
phép biến đổi tích phân Kl , Km và Kn được xác định như sau:
p

(fm ∗ fn )(xl ) =
(γl )

ci
i=1

fm (xm )fn (αi (xj , xm ))dxm

Xm

Nếu tồn tại tích phân

γl (x)kl−1 (xl , x)km (x, xm )kn (x, xn )dx

Θ( xl , xm , xn ) =
X

−15−

(1.38)


thì tích chập suy rộng loại hai của hai hàm fm và fn với hàm trọng γl đối với
phép biến đổi tích phân Kl , Km và Kn được xác định như sau:

(fm ∗ fn )(xl ) =

Θl,m,n (xl , xm , xn )fm (xm )fn (xn )dxm dxn

(γl )

(1.39)

Xm Xn

Nhận xét 1.3.1 Các tích chập (1.38) và (1.39) đều thỏa mãn đẳng thức nhân
tử hóa (1.36).
Nhận xét 1.3.2 Tích chập (0.2) là tích chập loại một, cịn tích chập (1.33) là
tích chập loại hai.
Nhận xét 1.3.3 Trong các trường hợp riêng, ta có:
1) Nếu Ki = K, j = 1, 3 thì ta được tích chập (1.35), vậy với ba phép biến đổi
tích phân Kj , nói chung có ba tích chập khác nhau.
2) Nếu hai trong ba phép biến đổi tích phân trùng nhau, chẳng hạn K1 = K2 =
γl

γ3

K3 ta có thể có bốn biểu thức tích chập suy rộng (f1 ∗ f3 ), (f1 ∗ f3 ) thường
gặp trong các hệ phương trình tích phân kiểu tích chập và các tích chập suy
γl

γ3

γ3

γ1

rộng (f1 ∗ g3 ) ,(f1 ∗ g3 ), (f1 ∗ g1 ), (f3 ∗ g3 ) tác dụng tương ứng theo sơ đồ sau:

U1 (X1 ) × U3 (X3 ) → U1 (X1 ), U1 (X1 ) × U3 (X3 ) → U3 (X3 )
và

U1 (X1 ) × U1 (X1 ) → U3 (X3 ), U3 (X3 ) × U3 (X3 ) → U1 (X1 )
3) Nếu các toán tử Ki , i = 1, 3 là các toán tử đối xứng, nghĩa là Ki = Ki−1 thì
theo định nghĩa tích chập suy rộng ta suy ra các tích chập suy rộng hoặc cùng
tồn tại hoặc cùng khơng tồn tại và chúng có cùng một nhân.

−16−


Chương 2
TÍCH CHẬP SUY RỘNG ĐỐI VỚI HAI PHÉP BIẾN
ĐỔI TÍCH PHÂN K, FC VÀ K, FS

2.1

Định nghĩa

Năm 2010, trong bài báo của mình (xem [22]), S. B. Yakubovich đã giới
thiệu bốn tích chập suy rộng:

(f ∗ g)(x) =
(1)

1
2πx

f (u)g(v)[e−x cosh(u−v) + e−x cosh(u+v) ]dudv, x > 0. (2.1)
R2+

(f ∗ g)(x) =
(2)

1
2πx

f (u)g(v)[e−x cosh(u−v) − e−x cosh(u+v) ]dudv, x > 0. (2.2)
R2+

(f ∗ g)(x) =
(3)

1
2

f (u)g(v)[e−v cosh(u−x) + e−v cosh(u+x) ]dudv, x > 0.

(2.3)

f (u)g(v)[e−v cosh(u−x) − e−v cosh(u+x) ]dudv, x > 0.

(2.4)

R2+

(f ∗ g)(x) =
(4)

1
2
R2+

Cả bốn tích chập suy rộng nêu trên đều là tích chập suy rộng loại hai, trong đó
tích chập suy rộng (2.1), (2.2) có tính chất giao hốn, tích chập suy rộng (2.3),
(2.4) khơng có tính chất giao hốn. Để thuận tiện trong trình bày các kết quả,
ta kí hiệu:

(f ∗1 g)(x) =
(2)

1
2πx

f (u)g(v)[e−x cosh(u−v) ± e−x cosh(u+v) ]dudv, x > 0, (2.5)
R2+

17


1
2

(f ∗3 g)(x) =
(4)

f (u)g(v)[e−v cosh(u−x) ± e−v cosh(u+x) ]dudv, x > 0.

(2.6)

R2+

Nghiên cứu tính chất ánh xạ của các tích chập (2.5) và (2.6) trong khơng gian

Lα,β
ta thu được đẳng thức nhân tử hóa sau đây:
p
Kix [f ∗1 g] =
(2)

π
F( sc ) f (x) F( sc ) g (x),
2x sinh πx

(2.7)

F( sc ) (f ∗3 g) (x) = F( sc ) f (x)Kix [g].

(2.8)

(4)

2.2

Tính chất tốn tử của các tích chập

Định lí 2.2.1 [22] Phép biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev K : Lα,β
→
p

C0 (R+ ), 1 < p < +∞, α < p − 1, 0 < β ≤ 1 là một tốn tử tuyến tính liên tục
với ước lượng chuẩn: ||K|| ≤ Cα,β,p với
1−p

p

Cα,β,p = 2β

β
2

α
p

Γ

2(p−1)
p

p−α−1
.
2(p − 1)

Trường hợp riêng, ánh xạ K : L0,β
p → C0 (R+ ), ta có: ||K|| ≤
π p−1
p
.
cùng, khi β = 1, ta có đẳng thức ||K|| =
2

(2.9)

2β

π

Chứng minh. Vì f ∈ Lα,β
nên
p
∞

f

Lα,β
p (R+ )

p

1
p

α

|f (x)| K0 (βx)x dx

=

< +∞.

0

Đặt g(x) = Kix [f ], g(x) xác định ∀x > 0. Ta có
+∞

sup |g(x)| = sup |
x≥0

+∞

Kix (t)f (t)dt|

x≥0

|Kix (t)||f (t)|dt

sup
x≥0

0

0

−18−

1−p
p

. Cuối


+∞

+∞

e−|x| arccos β K0 (βt)|f (t)|dt

sup

sup e−|x| arccos β

x≥0

K0 (βt)|f (t)|dt

x≥0
0

0

+∞

K0 (βt)|f (t)|dt.
0

Áp dụng bất đẳng thức Holder, ta có:
+∞

p−1
p

+∞

+∞

α

t− p−1 K0 (βt)dt

K0 (βt)|f (t)|dt
0

1
p

|f (t)|p K0 (βt)tα
0

0
p−1
p

= Cα,β,p f

Lα,β
p

với

+∞

α

α
− p−1

Cα,β,p =

t

K0 (βt)dt = (2β)

1−p
p

β p 2(p−1) p − α − 1
( ) Γ p (
)
2
2(p − 1)

0
+∞

theo công thức 2.16.2.2 trong ([10]):
0

với điều kiện α < p − 1, 0 < β

||K(f )||C0 (R+ )

α−ν
xα−1 Kν (cx)dx = 2α−2 e−α Γ( α+ν
2 )Γ( 2 )

1, 1 < p < ∞. Vậy g ∈ C0 (R+ ), hơn nữa

p−1
p

Cα,β,p ||f ||Lα,β
.
p

Với α = 0, ta có:
0

β p 2(p−1) p − 1
)
||K|| ≤ (2β) ( ) Γ p (
2
2(p − 1)
2(p−1)
1−p
1−p √
1 2(p−1)
2β 1−p
p
= (2β) p (Γ( )) p = (2β) p
π p =
(2.10)
2
π
2 1−p
π p−1

p
p
Với β = 1, từ (2.10), ta có: ||K|| ≤
=
. Mặt khác, chọn
π
2
+ hốn (2.6) về ước lượng
chuẩn, đẳng thức dạng Parseval và đẳng thức nhân tử hóa.
Định lí 2.2.5 [22] Giả sử f ∈ L1 (R+ ; dx) và g ∈ L0,β
1 , 0 < β ≤ 1. Khi đó,
tích chập (2.6) tồn tại với mọi x > 0, là hàm số thuộc L1 (R+ ; dx) và

||(f ∗3 g)||L1 (R+ ;dx ) ≤ ||f ||L1 (R+ ;dx) ||g||L0,β .
1

(4)

(2.22)

Hơn nữa, đẳng thức nhân tử hóa (2.8) là đúng. Ngồi ra, với β ∈ (0; 1) thì

(f ∗3 g)(x) ∈ C0 (R+ ) và với x > 0 đẳng thức dạng Parseval sau đây là đúng:
(4)

∞

(f ∗3 g)(x) =
(4)

2
π

F( sc ) f (w)Kiw [g]

cos wx
dw.
sin wx

(2.23)

0

Chứng minh. Ta có
∞

||(f ∗3 g)||L1 (R+ ;dx ) =
(4)

|(f ∗3 g)|dx
(4)

0

∞

1
2

=

0

|f (u)g(v)[e−v cosh(u−x) ± e−v cosh(u+x) ]|dudv dx
R2+

∞

1
≤
2

e−v cosh(u−x) + e−v cosh(u+x) dxdudv

|f (u)g(v)|
R2+

0
∞

1
=
2

|f (u)g(v)|2K0 (v)dudv ≤

∞

|f (u)|du
0

R2+

|g(v)|K0 (βv)dv

(2.24)

0

= ||f ||L1 (R+ ;dx) ||g||L0,β < ∞.
1

(2.24) đúng do (1.7) đúng với ν = 0 . Do đó, (f ∗3 g)|| ∈ L1 (R+ ; dx).
(4)

Tiếp theo ta sẽ chứng minh đẳng thức nhân tử hóa (2.8) là đúng. Thật vậy,

−31−


ta có:
∞

2
π

F( sc ) (f ∗3 g)(x) =
(4)

(f ∗3 g)(w)
(4)

0

cos wx
dw
sin wx

∞

1
2

2
π

=

0

cos wx
dw
sin wx

f (u)g(v)[e−v cosh(u−w) ± e−v cosh(u+w) ]
R2+

∞

1
2

2
π

=

0

f (u)g(v)×
R2+

∞

∞

2
×[
π

cos(u − w)t Kit (v)dt ±
0

cos(u + w)t Kit (v)dt]dudv

cos wx
dw
sin wx

0
∞

=

21
ππ

f (u)g(v)
0

∞

2
=
π

2
π
0

0

cos wx
dw
sin wx

R3+

∞

∞

2 cos ut cos wt
Kit (v)dudvdt
2 sin ut sin wt

f (u)

cos ut
du ×
sin ut

0

∞

×

Kit (v)g(v)dv

cos wt
dt
sin wt

cos wx
dw
sin wx

0

∞

∞

2
=
π

(F( sc ) f )(t)Kit [g]

cos wt
dt
sin wt

cos wx
dw
sin wx

0

0
∞

=

2
π

2
cos wt
(F( sc ) f )(t)Kit [g]

dt
sin wt
π
0
∞

=

2
π

(F( sc ) f )(w)Kiw [g]

cos xw
dw
sin xw

0

= (F( sc ) f )(x)Kix [g]

−32−

cos wx
dw
sin wx


Với điều kiện 0 < β < 1, ta có:

(f ∗3 g)(x) =
(4)

1
2

f (u)g(v)[e−v cosh(u−w) ± e−v cosh(u+v) ]dudv
R2+

∞ ∞

1
=
2
0

=

∞

2
f (u)g(v)
π
0
∞ ∞

1
π

0

cos wx
dudvdw
sin wx

f (u)g(v)Kiw (v)2
0

=

cos(u − x)w Kiw (v)dw ± cos(u + x)w Kiw (v)dw dudv

0
∞ ∞

2
π

∞

cos uw
f (u)
du
sin uw
0 0
∞

=

2

π

2
π

g(v)Kiw (v)dv

cos wx
dw
sin wx

0

cos wx
dw.
sin wx

F( sc ) f (w)Kiw [g]

(2.25)

0

Điều kiện 0 < β < 1 để tích phân vế phải của (2.25) hội tụ.Thật vậy, ta có

F( sc ) f (w) bị chặn trên (0; +∞). Từ (1.7)
∞

∞

e−|w| arccos β K0 (βv)dv = e−|w| arccos β ||f ||L0,β .

|g(v)Kiw (v)|dv ≤
0

1

0

Vậy tích phân ở vế phải của (2.25) hội tụ. Hơn nữa, có F( sc ) f (w)Kiw [g] ∈

L1 (R+ ). Theo bổ đề Riemann-Lebesgue, có
2
wx
lim (f ∗3 g)(x) = lim
h(w) cos
dw = 0. Vậy (f ∗3 g)(x) ∈ C0 (R+ ).✷
sin
wx
x→+∞
x→+∞
π
(4)
(4)
Mở rộng định lí 2.2.5 vào không gian L0,β
p , 1 < p < ∞; 0 < β

1 và Lp (R+ ; dx),

ta có:

−1
Định lí 2.2.6 [22] Giả sử f ∈ Lp (R+ ; dx) và g ∈ L0,β
+
p , 0 < p < ∞, p

p −1 = 1, 0 < β ≤ 1. Tích chập (2.6) tồn tại với mọi x > 0, là hàm số bị chặn,
liên tục. Hơn nữa, với 1

p < ∞, α > −1, 0 < γ

1 ta có (f ∗3 g)(x) ∈ Lα,γ
r
(4)

−33−


và ước lượng chuẩn
1
r
||f ||Lp (R+ ;dx) ||g||Lp0,β
||(f ∗3 g)||Lα,γ
≤ Cα,γ
r

(2.26)

(4)

với Cα,γ = (2γ)−1 ( γ2 )Γ2 ( α+1

2 ). Nếu giả thiết thêm f ∈ L1 (R+ ; dx)∩Lp (R+ ; dx), 1 <

p < ∞ thì tích chập (2.6) thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa (2.8). Ngồi ra,
với β ∈ (0; 1) thì (f ∗3 g)(x) ∈ C0 (R+ ) và với x > 0 đẳng thức dạng Parseval
(4)

(2.23) là đúng.
Chứng minh. Sử dụng bất đẳng thức Holder, ta có:

(f ∗3 g)(x) =
(4)

1
2

f (u)g(v)[e−v cosh(u−x) ± e−v cosh(u+x) ]dudv
R2+

1
=
2

f (u)g(v)[e

−v cosh(u−x)

±e

−v cosh(u+x)

]

1
1
p+p

dudv

R2+
1
p

1
≤
2

1
p

|f (u)[e−v cosh(u−x) ± e−v cosh(u+x) ] |

p

R2+
1
p
1
p

|g(v)[e−v cosh(u−x) ± e−v cosh(u+x) ] |

×

p

dudv

R2+

=

1
p

1
2

|f (u)|p [e−v cosh(u−x) ± e−v cosh(u+x) ]dudv
R2+
1
p

|g(v)|p [e−v cosh(u−x) ± e−v cosh(u+x) ]dudv

×
R2+

−34−

1
p

1
≤
2

|f (u)|p 2e−v dudv
R2+

∞

[e−v cosh(u−x) ± e−v cosh(u+x) ]du dv

|g(v)|p

×
0

≤

1
p

∞

0
1
p

1
2

|f (u)|p 2e−v dudv

|g(v)|p 2K0 (v) dv
0

R2+

∞

≤

1
p

∞

1
2

1
p

∞

e−v dv

|f (u)|p du

0

0

1
p

∞

|g(v)|p K0 (βv)dv
0

= ||f ||Lp (R+ ;dx) ||g||L0,β .
p

Do đó, tích phân ở vế phải của tích chập suy rộng (2.6) hội tụ tuyệt đối và đều,
tích chập suy rộng (2.6) là hàm liên tục trên R+ . Ta có:
∞

|(f ∗3 g)|r xα K0 (γx)dx

=
||(f ∗3 g)||Lα,γ
r
(4)

(4)

0

∞

1
r

||f ||rLp (R+ ;dx) ||g||rL0,β xα K0 (γx)dx

≤

1
r

p

0
∞
α

x K0 (γx)dx

=

1
r

||f ||Lp (R+ ;dx) ||g||L0,β
p

0

2
α+1
= (2γ)−1 ( )Γ2 (
) ||f ||Lp (R+ ;dx) ||g||L0,β , α > −1
p
γ
2
vì theo cơng thức 2.16.2.2 trong [10]. Nếu f ∈ L1 (R+ ; dx), ta có thể nhúng
0,β
L0,β
g) ∈ L1 (R+ ; dx). Chứng minh
p ⊂ L1 và sử dụng Định lí 2.2.5 ta có: (f ∗
3
(4)

tương tự Định lí 2.2.5, ta được đẳng thức nhân tử hóa (2.8). Với β ∈ (0; 1) thì

(f ∗3 g)(x) ∈ C0 (R+ ) và với x > 0 đẳng thức dạng Parseval (2.23) là đúng. ✷
(4)

−35−