tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân kontorovich - lebedev và fourier

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
PHẠM VĂN HOẰNG
TÍCH CHẬP SUY RỘNG ĐỐI VỚI
CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN
KONTOROVICH-LEBEDEV VÀ FOURIER
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội - Năm 2012
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
PHẠM VĂN HOẰNG
TÍCH CHẬP SUY RỘNG ĐỐI VỚI
CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN
KONTOROVICH-LEBEDEV VÀ FOURIER
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 60 46 01
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS. TS. NGUYỄN XUÂN THẢO
Hà Nội - Năm 2012
MỤC LỤC
MỤC LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
LỜI NÓI ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 6
1.1 Không gian L
p
và L
p
với hàm trọng . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Các phép biến đổi tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Tích chập và một số tích chập suy rộng . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.1 Sơ lược về tích chập đối với phép biến đổi tích phân . . 12
1.3.2 Định nghĩa tích chập suy rộng . . . . . . . . . . . . . . 14
Chương 2. TÍCH CHẬP SUY RỘNG ĐỐI VỚI HAI PHÉP BIẾN ĐỔI
TÍCH PHÂN K, F
C
VÀ K, F
S
17
2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Tính chất toán tử của các tích chập . . . . . . . . . . . . . . . 18
Chương 3. TÍCH CHẬP SUY RỘNG ĐỐI VỚI BA PHÉP BIẾN ĐỔI
TÍCH PHÂN K, F
C
VÀ F
S
36
3.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2 Tính chất của tích chập suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3 Ứng dụng tích chập suy rộng giải một lớp phương trình, hệ
phương trình tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
1
CÁC KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN
• R
+
= {x ∈ R, x > 0}
• C
0
(R

+
): tập hợp các hàm số liên tục, bị chặn trên R
+
, triệt tiêu tại vô
cực ( lim
t→+∞
f(t) = 0).
• L
α,β
p
: không gian các hàm xác định trên R
+
thỏa mãn
∞

0
|f(x)|
p
K
0
(βx)x
α
dx < ∞.
• K: phép biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev:
K
ix
[f] =
∞

0

f(t)K
ix
(t)dt.
• F
c
: phép biến đổi tích phân Fourier cosine:
(F
c
f)(x) =

2
π
∞

0
f(t) cos xtdt.
• F
c
: phép biến đổi tích phân Fourier sine:
(F
s
f)(x) =

2
π
∞

0
f(t) sin xtdt.
• h.k.n: hầu khắp nơi.

−2−
LỜI NÓI ĐẦU
Tích chập đối với các phép biến đổi tích phân đã được các nhà toán học
nghiên cứu từ lâu và được ứng dụng để giải quyết một lớp lớn các bài toán như
đánh giá tích phân, tính tổng của một chuỗi, tìm nghiệm của các phương trình
toán lý với dạng biểu diễn nghiệm rất gọn đẹp.
Vào năm 1951, trong cuốn sách của mình, I.N. Sneddon đưa ra một công
thức tích chập, trong đẳng thức nhân tử hoá của nó có hai phép biến đổi tích
phân Fourier sine và Fourier cosine. Tích chập này xác định như sau (xem [14])
(f ∗
sc
g)(x) =
1
√
2π
∞

0
f(u)[g(|x −u|) −g(x + u)]du, x > 0, (0.1)
thoả mãn đẳng thức nhân tử hoá và đẳng thức Parseval dưới đây
F
s
[f ∗
sc
g])(y) = (F
s
f)(y)(F
c
g)(y), f, g ∈ L
1

(R
+
), (0.2)
(f ∗
sc
g)(x) = F
s
[(F
s
f)(y)(F
c
g)(y)](x), f, g ∈ L
2
(R
+
). (0.3)
Năm 1998, V. A. Kakichev và Nguyễn Xuân Thảo đã đưa ra định nghĩa
tích chập suy rộng với ba phép biến đổi tích phân bất kì và chỉ ra điều kiện cần
để có tích chập suy rộng trong những điều kiện nào đó (xem [8]). Năm 2010,
S.B Yakubovich và L. E. Britvina đã nghiên cứu tích chập suy rộng mà đẳng
thức nhân tử hóa có chứa hai phép biến đổi tích phân (xem [22]). Tiếp tục
hướng nghiên cứu này, được sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Xuân Thảo,
em nghiên cứu đề tài: Tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích
phân Kontorovich-Lebedev và Fourier. Luận văn gồm phần lời nói đầu,
ba chương, kết luận, công trình liên quan đến luận văn, tài liệu tham khảo,
3
trong đó nội dung chính là chương 2 và chương 3.
Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị: trình bày lại một số kiến thức cơ bản
và phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine, Kontorovich-Lebedev và
các ví dụ.

Chương 2: Một số tích chập suy rộng với hai phép biến đổi tích phân:
giới thiệu bốn tích chập suy rộng được S.B.Yakubovich và L.E.Britvina trong
bài báo. Chương này tác giả đưa ra các tính chất của tích chập suy rộng và
chứng minh chi tiết các tính chất đó. Điều thú vị ở chương này là các kĩ thuật
ước lượng với chuẩn và kĩ thuật tính toán, biến đổi tích phân.
Chương 3: Tích chập suy rộng mới với ba phép biến đổi tích phân K,
F
s
và F
c
: Đây là đóng góp chính của của tác giả trong luận văn. Với tích chập
mới được đưa ra, tác giả đã có các ước lượng với chuẩn để từ đó chỉ ra tích
chập suy rộng mới này như là một hàm số xác định, liên tục trên R
+
và thuộc
các không gian L
p
(R
+
; x
α
e
−βx
dx). Tác giả tìm được những mối liên hệ giữa các
tích chập suy rộng và ứng dụng các tính chất đã nghiên cứu để đưa ra công
thức nghiệm cho một lớp các phương trình, hệ phương trình tích phân. Điểm
mới của tác giả là đã xây dựng được tích chập suy rộng được xác định như sau:
(f ∗ g)(x) =
1
π

2

R
2
+
H(u, v, x)f(u)g(v)dudv, x > 0 (0.4)
với H(u, v, x) = [sinh(u +v)e
−x cosh(u+v)
+sinh(u −v)e
−x cosh(u−v)
] có đẳng thức
nhân tử hóa
K
iw
(f ∗ g) =
1
sinh πw
(F
s
f)(w)(F
c
g)(w). (0.5)
Kết quả này làm phong phú thêm các tích chập suy rộng và lần đầu tiên trong
đẳng thức nhân tử hóa có 3 phép biến đổi tích phân dưới tác động của phép
biến đổi Kontorovich-Lebedev vào tích chập suy rộng. Hơn nữa, tích chập suy
rộng mới này được nghiên cứu trong lớp các không gian hàm L
p
(R
+
; x

α
e
−βx
dx).
−4−
Không giống như lớp không gian L
α,β
p
mà S.B. Yakubovich thường dùng trong
các nghiên cứu của mình về phép biến đổi Kontorovich-Lebedev, không gian
L
p
(R
+
; x
α
e
−βx
dx) mà tác giả nghiên cứu ở đây có hàm trọng của không gian
không phụ thuộc vào hàm đặc biệt.
Qua đây, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Xuân Thảo,
người đã quan tâm, tận tình hướng dẫn em thực hiện đề tài. Em xin chân thành
cảm ơn các thầy, cô đã giảng dạy các chuyên đề cao học giúp em có kiến thức,
phương pháp nghiên cứu để giải quyết yêu cầu của đề tài. Đồng thời, em xin
chân thành cảm ơn các thầy cô, các anh chị em trong nhóm Seminar Giải tích-
ĐHKHTN, Seminar Đại số-Giải tích-ĐHKHTN và Seminar Giải tích -ĐHBK
Hà Nội về những đóng góp quý báu cho em trong quá trình hoàn thiện luận văn.
−5−
Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Không gian L
p
và L
p
với hàm trọng
Định nghĩa 1.1.1 Cho p ∈ R, 1 ≤ p < ∞, Ω ⊂ R
n
.
L
p
(Ω) = {f : Ω → R (hoặc C); f đo được và |f|
p
khả tích }.
L
∞
(Ω) = {f : Ω → R (hoặc C ); f đo được và ∃M : |f(x)| ≤ M -h.k.n }. Các
không gian này có chuẩn tương ứng f
p
=


Ω
|f|
p
dx)
1
p
f
∞
= inf


M : |f(x)| ≤ M −h.k.n}
Kí hiệu L
p
(R
n
) = L
p
.
Giả sử Ω
1
⊂ R
d
1
, Ω
2
⊂ R
d
2
, (d
1
, d
2
∈ N) là hai tập mở và F : Ω
1
× Ω
2
→ R
(hoặc C) là hàm đo được.
Định lí 1.1.1 (Tonelli, [5]) Giả sử


Ω
2
F (x, y)dy < +∞ -h.k.n, x ∈ Ω
1
, và

Ω
1

Ω
2
|F (x, y)|dy < +∞. Khi đó F khả tích trên Ω
1
× Ω
2
.
Định lí 1.1.2 (Fubini, [5]) Cho F khả tích trên Ω
1
×Ω
2
. Khi đó, với hầu hết
x ∈ Ω
1
, ta có F (x, .) : y → F (x, y) khả tích trên Ω
2
và x →

Ω
2

F (x, y)dy khả
tích trên Ω
1
. Kết luận tương tự khi thay đổi vai trò của x cho y, Ω
1
cho Ω
2
.
Hơn nữa, ta có:

Ω
1
dx

Ω
2
F (x, y)dy =

Ω
2
dy

Ω
1
F (x, y)dx =

Ω
1
×Ω
2

F (x, y)dxdy
6
Định lí 1.1.3 (Bất đẳng thức Holder,[5] ) Cho f ∈ L
p
và g ∈ L
p

với
1 ≤ p ≤ +∞. Khi đó fg ∈ L
1
và

R
n
|fg|dx ≤ ||f||
p
||g||
p

( p

là số liên hợp
của p, 1 ≤ p ≤ +∞,
1
p
+
1
p

= 1.

Định lí 1.1.4 (Fischer-Riesz,[12]) a) L
p
là không gian Banach với 1 ≤ p ≤
+∞. b) Giả sử f
n
là dãy hội tụ về f trong không gian L
p
với 1 ≤ p ≤ +∞,
tức là ||f
n
− f|| → 0. Khi đó, tồn tại dãy con f
n
k
sao cho f
n
k
→ f-h.k.n,
∀k, |f
n
k
(x)| ≤ h(x) với h là hàm trong L
p
.
Ta biết, hàm Macdonald K
ν
(z) thỏa mãn phương trình vi phân
z
2
d
2

u
dz
2
+ z
du
dz
− (z
2
+ ν
2
)u = 0. (1.1)
Hàm Macdonald có dáng điệu tiệm cận tại vô cực (xem [6])
K
ν
(z) =

π
2z

1
2
e
−z
[1 + O(1/z)], z → ∞, (1.2)
và ở gần 0 là
z
ν
K
ν
(z) = 2

ν−1
Γ(ν) + o(1), z → 0, ν = 0, (1.3)
K
0
(z) = −log z + O(1), z → 0. (1.4)
Ta biết rằng (xem [13]), hàm biến dạng Bessel K
ix
(t) có thể biểu diễn bởi tích
phân Fourier:
K
ix
(t) =
∞

0
e
−t cosh u
cos xudu, t > 0, (1.5)
ở đây x ∈ R, ix là chỉ số thuần ảo. Hơn nữa, tích phân này có thể mở rộng trên
một dải σ ∈ [0,
π
2
) ở nửa mặt phẳng trên
K
ix
(t) =
1
2
iσ+∞


iσ−∞
e
−t cosh z+ixz
dz, t > 0 (1.6)
−7−
và có ước lượng chuẩn:
|K
ix
(t)| ≤ e
−|x|arccos β
K
0
(βt), 0 < β ≤ 1 (1.7)
Từ công thức (1.5), ta có:
K
0
(t) =
∞

0
e
−t cosh u
du > 0, t ∈ (0; ∞) (1.8)
Định nghĩa 1.1.2 ([22]) Cho α ∈ R, 0 < β  1, ta định nghĩa L
α,β
p
là không
gian các hàm f(x) xác định trên R
+
thỏa mãn

∞

0
|f(x)|
p
K
0
(βx)x
α
dx < ∞. (1.9)
Chuẩn của một hàm trên không gian này được tính theo công thức
f
L
α,β
p
=

∞

0
|f(x)|
p
K
0
(βx)x
α
dx

1
p

.
Nhận xét 1.1.1 Từ định nghĩa không gian L
α,β
p
, khi p = 1, 2, sử dụng bất
đẳng thức Schwartz và tính toán với các tích phân với hàm Bessel biến dạng
(xem bổ đề 2.1 [19]), chúng ta không khó để tìm thấy các quan hệ bao hàm
giữa các không gian. Ví dụ, ta thấy L
0,1
1
chứa không gian L
2
(R
+
; dx) vì ta có
ước lượng
∞

0
|f(x)|K
0
(x)dx ≤

∞

0
K
2
0
(x)dx


1
2

∞

0
|f(x)|
2
dx

1
2
=
π
2
||f||
L
2
(R
+
;dx)
.
Suy luận tương tự, ta được kết quả L
α,1
1
chứa không gian L
2
(R
+

; x
α
dx) và L
0,1
2
.
−8−
Hơn nữa, ta có:
||f||
L
α,1
1
≤ C
α
||f||
L
2
(R
+
;dx)
, C
α
= π
1
4
Γ
3
2
(α +
1

2
), α > −
1
2
(1.10)
||f||
L
α,1
1
≤ C
α
||f||
L
2
(R
+
;x
α
dx)
, C
α
=
2
α
2
−1
Γ
2
(
α+1

2
)
2Γ
1
2
(α + 1)
, α > −1 (1.11)
||f||
L
α,1
1
≤ C
α
||f||
L
0,1
2
, C
α
= 2
α−
1
2
Γ(α +
1
2
), α > −
1
2
(1.12)

Nhận xét 1.1.2 Từ x
α
K
0
(βx) là bị chặn với α > 0; 0 < β ≤ 1, ta có thể
nhúng: L
p
(R
+
; dx) ⊂ L
α,β
p
Định nghĩa 1.1.3 Kí hiệu L
p
(R
+
; x
α
e
−βx
dx), p > 1, α ∈ R; β > 0 là không
gian các hàm f(x) xác định trên R
+
thỏa mãn
∞

0
|f(x)|
p
x

α
e
−βx
dx < ∞. (1.13)
Chuẩn của một hàm trên không gian này được tính theo công thức
||f||
L
p
(R
+
;x
α
e
−βx
dx)
=

∞

0
|f(x)|
p
x
α
e
−βx
dx

1
p

.
Nhận xét 1.1.3 Sử dụng công thức 3.381.4 trong [7]
∞

0
x
α
e
−βx
dx = β
−α+1
Γ(α + 1), β > 0, α > −1. (1.14)
Do đó, với α > −1; β > 0, x
α
e
−βx
là bị chặn , ta có thể nhúng: L
p
(R
+
; dx) ⊂
L
p
(R
+
; x
α
e
−βx
dx).

−9−
1.2 Các phép biến đổi tích phân
Trong luận văn này ta tập trung nghiên cứu một số phép biến đổi tích phân
được xét trong [13, 19, 21]. Phép biến đổi tích phân Fourier:
(F f)(x) =

1
2π
+∞

−∞
f(t)e
−ixt
dt. (1.15)
Phép biến đổi tích phân Fourier cosine (xem [14])
(F
c
f)(x) =

2
π
∞

0
f(t) cos xtdt. (1.16)
Phép biến đổi tích phân Fourier sine có dạng như sau (xem [14])
(F
s
f)(x) =


2
π
∞

0
f(t) sin xtdt. (1.17)
Phép biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev, kí hiệu là K, được M.J.
Kontorovich và N.N. Lebedev giới thiệu vào năm 1938 và có dạng (xem [6]):
K
ix
[f] =
∞

0
K
ix
(t)f(t)dt, (1.18)
có chứa nhân là hàm Macdonald K
ν
(z) với chỉ số thuần ảo ν = ix.
Các phép biến đổi tích phân Fourier cosine và Fourier sine xác định trong
không gian L
1
(R
+
; dt). Hơn nữa, nếu g(x) = (F
c
f)(x) hoặc g(x) = (F
s
f)(x)

thuộc L
1
(R
+
); dt), ta có công thức ngược tương ứng f(x) = (F
c
g)(x); f(x) =
(F
s
g)(x).
Trong không gian L
2
(R
+
; dt), các phép biến đổi Fourier cosine và Fourier
sine hiểu theo nghĩa giá trị chính (xem [15])
(F
c
f)(x) = lim
N→∞

2
π
N

1
N
f(t) cos xtdt, (1.19)
−10−
(F

s
f)(x) = lim
N→∞

2
π
N

1
N
f(t) sin xtdt, (1.20)
Theo định lí kiểu Plancherel (xem [15, 13, 19, 21]) các phép biến đổi
F
c
, F
s
: L
2
(R
+
; dt) → L
2
(R
+
; dt)
là đẳng cấu, đẳng cự với công thức nghịch đảo tương ứng xác định như sau:
f(x) = lim
N→∞

2

π
N

1
N
(F
c
f) cos xtdt, (1.21)
f(x) = lim
N→∞

2
π
N

1
N
(F
s
f) sin xtdt, (1.22)
và có đẳng thức Parseval
F
c
f = f
L
2
(R
+
;dx)
; F

s
f = f
L
2
(R
+
;dx)
.
Toán tử Kontorovich-Lebedev là đẳng cấu, đẳng cự
K : L
2
(R
+
; tdt) → L
2
(R
+
; x sinh πxdx), (1.23)
trong đó tích phân ở vế phải của (1.18) nói chung không tồn tại theo nghĩa
Lebesgue và ta hiểu chúng theo nghĩa:
K
ix
[f] = lim
N→∞
N

1
N
K
ix

(t)f(t)dt. (1.24)
Giới hạn ở trên là theo giá trị chính tương ứng với chuẩn của không gian
L
2
(R
+
; x sinh πxdx). Hơn nữa, đẳng thức Parseval

∞
0
x sinh πx|K
ix
(f)|
2
dx =
∞

0
|f(t)|
2
dt, (1.25)
−11−
đúng và toán tử ngược xác định bởi:
f(t) = lim
N→∞
2
π
2
N


0
x sinh πx
K
ix
(t)
t
K
ix
[f]dx. (1.26)
1.3 Tích chập và một số tích chập suy rộng
1.3.1 Sơ lược về tích chập đối với phép biến đổi tích
phân
Giả sử K là một toán tử tuyến tính từ không gian tuyến tính U(X) vào đại
số V (Y ) K : U(X) → V (Y ). Tích chập với hàm trọng γ đối với phép biến đổi
K là một toán tử
∗ : U(X) × U(X) −→ V (Y )
(f, g) → f
γ
∗ g,
sao cho đẳng thức nhân tử hóa sau đây thỏa mãn:
K(f
γ
∗ g)(x) = γ(y)(Kf)(y)(Kg)(y). (1.27)
Khi đó U(X) cùng với phép nhân chập như trên xác định một đại số.
Lý thuyết tích chập của các phép biến đổi tích phân được nghiên cứu từ
khoảng đầu thế kỷ 20. Đầu tiên là tích chập của phép biến đổi Fourier (xem
[13])
(f ∗ g)(x) =
1
√

2π
+∞

−∞
f(x −y)g(y)dy
thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa:
F (f ∗ g)(y) = (F f)(y)(F g)(y). (1.28)
−12−
Các tích chập tương ứng cũng được xây dựng với các phép biến đổi Laplace, biến
đổi Mellin, biến đổi Hilbert, biến đổi Hankel, biến đổi Kontorovich-Lebedev,
biến đổi Stieltjes,
Ví dụ 1.3.1 Tích chập của phép biến đổi Fourier cosine được xác định như
sau (xem [14]):
(f ∗
c
g)(x) =
1
√
2π
∞

0
f(y)[g(x + y) + g(|x −y|)]dy, x > 0, (1.29)
thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa
F
c
(f ∗
c
g)(y) = (F
c

f)(y)(F
c
g)(y). (1.30)
Ví dụ 1.3.2 Xét phép biến đổi kiểu Mellin
(K
i
f)(y) =
+∞

0
k
i
(
y
t
)f(t)
dt
t
, i = 0, 2,
trong đó k
i
(t) là nhân của phép biến đổi Mellin K
i
tương ứng. Khi đó ta có
tích chập
(f ∗
m
g)(x) =
1
(2π)

2
∞

0
f(y)[g(x + y) + g(|x −y|)]dy, x > 0, (1.31)
thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa
K
0
(f ∗
m
g)(y) = (K
1
f)(y)(K
2
g)(y), y > 0. (1.32)
Ví dụ 1.3.3 Đối với phép biến đổi Kontorovich-Lebedev ta có tích chập như
sau:
(f ∗
k
g)(x) =
+∞

0
+∞

0
Θ(x, u, v)f(u)g(v)dudv, x > 0, (1.33)
−13−
thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa
I

k
iτ
(f ∗
k
g)(y) = (I
k
1
iτ
f)(y)(I
k
2
iτ
g)(y), y > 0, (1.34)
trong đó k và k
3
là cặp nhân liên hợp,
I
k
j
iτ
f =
+∞

0
I
k
j
(τ, u)f(u)du ; I
k
j

(τ, u) =
+∞

0
K
iτ
k
j
(ut)
dt
√
t
,
và
Θ(x, u, v) =
=
1
2
+∞

0
+∞

0
+∞

0
exp

−

1
2
(
yz
t
+
zt
y
+
ty
z
)

k
3
(xy)k
1
(uz)k
3
(vt)
√
yzt
dydzdt.
Các tích chập trên tuy có đẳng thức nhân tử hóa tổng quát hơn so với (1.28)
nhưng mới chỉ dừng lại ở các phép biến đổi tích phân với chỉ số. Năm 1998,
V.A Kakichev và Nguyễn Xuân Thảo đã đưa ra sơ đồ kiến thiết tổng quát nhất
với tích chập suy rộng với hàm trọng đối với ba phép biến đổi tích phân bất kì
(xem [8]).
1.3.2 Định nghĩa tích chập suy rộng
Cho các toán tử tuyến tính

K
j
: U
j
(X
j
) → V (X), j = 1, 2, 3
trong đó U
j
(X
j
) là các không gian tuyến tính còn V (X) là một đại số
F
j
(x) = (K
j
f
j
)(x) =

X
j
k
j
(x, x
j
)f
j
(x
j

)dx
j
, f
j
∈ U
j
(X
j
), j = 1, 2, 3. (1.35)
−14−
Giả sử l, m, n là một hoán vị bất kì của tập hợp {1, 2, 3}, γ
l
là một hàm
số thuộc V (X). Tích chập suy rộng với hàm trọng γ
l
đối với các phép biến đổi
tích phân K
l
, K
m
, K
n
là một toán tử song tuyến tính được định nghĩa như sau:
∗ : U
m
(X
m
) ×U
n
(X

n
) −→ V (X)
(f
m
, f
n
) → f
m
γ
∗ f
n
sao cho đẳng thức nhân tử hóa sau được thỏa mãn:
K
l
(f
m
γ
l
∗ f
n
)(x) = γ
l
(x)(K
m
f
m
)(x)(K
n
f
n

)(x). (1.36)
Sau đây, ta sẽ đưa ra một số điều kiện cần để tồn tại tích chập suy rộng. Giả
sử các phép biến đổi K
j
có biến đổi ngược K
−1
j
f
j
(x
j
) = (K
−1
j
F
j
)(x
j
) =

X
k
−1
j
(x
j
, x)F
j
(x)dx ∈ U
j

(X
J
), j = 1, 3, (1.37)
trong đó k
j
(x, x
j
) và k
−1
j
(x
j
, x) là nhân tương ứng của các phép biến đổi K
j
và K
−1
j
. Giả sử xảy ra đẳng thức
γ
l
(x)k
−1
l
(x
l
, x)k
m
(x, x
m
) =

p

k=0
c
i
k
−1
n
(α
i
(x
l
, x
m
), x)
thì tích chập suy rộng loại một của hai hàm f
m
, f
n
với hàm trọng γ
l
đối với
phép biến đổi tích phân K
l
, K
m
và K
n
được xác định như sau:
(f

m
∗
(γ
l
)
f
n
)(x
l
) =
p

i=1
c
i

X
m
f
m
(x
m
)f
n
(α
i
(x
j
, x
m

))dx
m
(1.38)
Nếu tồn tại tích phân
Θ
(
x
l
, x
m
, x
n
) =

X
γ
l
(x)k
−1
l
(x
l
, x)k
m
(x, x
m
)k
n
(x, x
n

)dx
−15−
thì tích chập suy rộng loại hai của hai hàm f
m
và f
n
với hàm trọng γ
l
đối với
phép biến đổi tích phân K
l
, K
m
và K
n
được xác định như sau:
(f
m
∗
(γ
l
)
f
n
)(x
l
) =

X
m


X
n
Θ
l,m,n
(x
l
, x
m
, x
n
)f
m
(x
m
)f
n
(x
n
)dx
m
dx
n
(1.39)
Nhận xét 1.3.1 Các tích chập (1.38) và (1.39) đều thỏa mãn đẳng thức nhân
tử hóa (1.36).
Nhận xét 1.3.2 Tích chập (0.2) là tích chập loại một, còn tích chập (1.33) là
tích chập loại hai.
Nhận xét 1.3.3 Trong các trường hợp riêng, ta có:
1) Nếu K

i
= K, j = 1, 3 thì ta được tích chập (1.35), vậy với ba phép biến đổi
tích phân K
j
, nói chung có ba tích chập khác nhau.
2) Nếu hai trong ba phép biến đổi tích phân trùng nhau, chẳng hạn K
1
= K
2
=
K
3
ta có thể có bốn biểu thức tích chập suy rộng (f
1
γ
l
∗ f
3
), (f
1
γ
3
∗ f
3
) thường
gặp trong các hệ phương trình tích phân kiểu tích chập và các tích chập suy
rộng (f
1
γ
l

∗g
3
) ,(f
1
γ
3
∗ g
3
), (f
1
γ
3
∗ g
1
), (f
3
γ
1
∗ g
3
) tác dụng tương ứng theo sơ đồ sau:
U
1
(X
1
) ×U
3
(X
3
) → U

1
(X
1
), U
1
(X
1
) ×U
3
(X
3
) → U
3
(X
3
)
và
U
1
(X
1
) ×U
1
(X
1
) → U
3
(X
3
), U

3
(X
3
) ×U
3
(X
3
) → U
1
(X
1
)
3) Nếu các toán tử K
i
, i = 1, 3 là các toán tử đối xứng, nghĩa là K
i
= K
−1
i
thì
theo định nghĩa tích chập suy rộng ta suy ra các tích chập suy rộng hoặc cùng
tồn tại hoặc cùng không tồn tại và chúng có cùng một nhân.
−16−
Chương 2
TÍCH CHẬP SUY RỘNG ĐỐI VỚI HAI PHÉP BIẾN
ĐỔI TÍCH PHÂN K, F
C
VÀ K, F
S
2.1 Định nghĩa

Năm 2010, trong bài báo của mình (xem [22]), S. B. Yakubovich đã giới
thiệu bốn tích chập suy rộng:
(f ∗
(1)
g)(x) =
1
2πx

R
2
+
f(u)g(v)[e
−x cosh(u−v)
+ e
−x cosh(u+v)
]dudv, x > 0. (2.1)
(f ∗
(2)
g)(x) =
1
2πx

R
2
+
f(u)g(v)[e
−x cosh(u−v)
− e
−x cosh(u+v)
]dudv, x > 0. (2.2)

(f ∗
(3)
g)(x) =
1
2

R
2
+
f(u)g(v)[e
−v cosh(u−x)
+ e
−v cosh(u+x)
]dudv, x > 0. (2.3)
(f ∗
(4)
g)(x) =
1
2

R
2
+
f(u)g(v)[e
−v cosh(u−x)
− e
−v cosh(u+x)
]dudv, x > 0. (2.4)
Cả bốn tích chập suy rộng nêu trên đều là tích chập suy rộng loại hai, trong đó
tích chập suy rộng (2.1), (2.2) có tính chất giao hoán, tích chập suy rộng (2.3),

(2.4) không có tính chất giao hoán. Để thuận tiện trong trình bày các kết quả,
ta kí hiệu:
(f ∗
(
1
2
)
g)(x) =
1
2πx

R
2
+
f(u)g(v)[e
−x cosh(u−v)
± e
−x cosh(u+v)
]dudv, x > 0, (2.5)
17
(f ∗
(
3
4
)
g)(x) =
1
2

R

2
+
f(u)g(v)[e
−v cosh(u−x)
± e
−v cosh(u+x)
]dudv, x > 0. (2.6)
Nghiên cứu tính chất ánh xạ của các tích chập (2.5) và (2.6) trong không gian
L
α,β
p
ta thu được đẳng thức nhân tử hóa sau đây:
K
ix
[f ∗
(
1
2
)
g] =
π
2x sinh πx

F
(
c
s
)
f


(x)

F
(
c
s
)
g

(x), (2.7)

F
(
c
s
)
(f ∗
(
3
4
)
g)

(x) =

F
(
c
s
)

f

(x)K
ix
[g]. (2.8)
2.2 Tính chất toán tử của các tích chập
Định lí 2.2.1 [22] Phép biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev K : L
α,β
p
→
C
0
(R
+
), 1 < p < +∞, α < p − 1, 0 < β ≤ 1 là một toán tử tuyến tính liên tục
với ước lượng chuẩn: ||K|| ≤ C
α,β,p
với
C
α,β,p
=

2β

1−p
p

β
2


α
p
Γ
2(p−1)
p

p −α − 1
2(p −1)

. (2.9)
Trường hợp riêng, ánh xạ K : L
0,β
p
→ C
0
(R
+
), ta có: ||K|| ≤

2β
π

1−p
p
. Cuối
cùng, khi β = 1, ta có đẳng thức ||K|| =

π
2


p−1
p
.
Chứng minh. Vì f ∈ L
α,β
p
nên
f
L
α,β
p
(R
+
)
=

∞

0
|f(x)|
p
K
0
(βx)x
α
dx

1
p
< +∞.

Đặt g(x) = K
ix
[f], g(x) xác định ∀x > 0. Ta có
sup
x≥0
|g(x)| = sup
x≥0
|
+∞

0
K
ix
(t)f(t)dt|  sup
x≥0
+∞

0
|K
ix
(t)||f(t)|dt
−18−
 sup
x≥0
+∞

0
e
−|x|arccos β
K

0
(βt)|f(t)|dt  sup
x≥0
e
−|x|arccos β
+∞

0
K
0
(βt)|f(t)|dt

+∞

0
K
0
(βt)|f(t)|dt.
Áp dụng bất đẳng thức Holder, ta có:
+∞

0
K
0
(βt)|f(t)|dt 

+∞

0
t

−
α
p−1
K
0
(βt)dt

p−1
p

+∞

0
|f(t)|
p
K
0
(βt)t
α

1
p
= C
p−1
p
α,β,p
f
L
α,β
p

với
C
α,β,p
=
+∞

0
t
−
α
p−1
K
0
(βt)dt = (2β)
1−p
p
(
β
2
)
α
p
Γ
2(p−1)
p
(
p −α − 1
2(p −1)
)
theo công thức 2.16.2.2 trong ([10]):

+∞

0
x
α−1
K
ν
(cx)dx = 2
α−2
e
−α
Γ(
α+ν
2
)Γ(
α−ν
2
)
với điều kiện α < p − 1, 0 < β  1, 1 < p < ∞. Vậy g ∈ C
0
(R
+
), hơn nữa
||K(f)||
C
0
(R
+
)
 C

p−1
p
α,β,p
||f||
L
α,β
p
.
Với α = 0, ta có:
||K|| ≤ (2β)
1−p
p
(
β
2
)
0
p
Γ
2(p−1)
p
(
p −1
2(p −1)
)
= (2β)
1−p
p
(Γ(
1

2
))
2(p−1)
p
= (2β)
1−p
p

√
π

2(p−1)
p
=

2β
π

1−p
p
(2.10)
Với β = 1, từ (2.10), ta có: ||K|| ≤

2
π

1−p
p
=


π
2

p−1
p
. Mặt khác, chọn
f(t) ≡ 1 =⇒ K
ix
[f] = K
ix
[1] =
+∞

0
K
ix
1dx =
2
π
cosh
−1
(
πx
2
).
Vậy
||K||
C
0
(R

+
)
= sup
x≥0
2
π
cosh
−1
(
πx
2
) ≥
2
π
1 =
2
π
.
Do đó, với α = 0; β = 1 ta có ||K|| =
2
π
. ✷
−19−
Định lí 2.2.2 [22] Giả sử f(x), g(x) ∈ L
1
(R
+
; dx). Khi đó, tích chập (2.5) là
một hàm số xác định và liên tục với mọi x > 0. Hơn nữa, với α > p − 1; 0 <
β ≤ 1, 1 ≤ p < ∞, ta có f ∗

(
1
2
)
g ∈ L
α,β
p
và ước lượng chuẩn
||(f ∗
(
1
2
)
g)||
L
α,β
p
≤ A
α,p,β
||f||
L
1
(R
+
;dx)
||g||
L
1
(R
+

;dx)
, trong đó,
A
α,p,β
=
1
π

+∞

0
x
−α−p
e
−px
K
0
(βx)dx

1
p
=π
1
2p
−1
(2p)
1−
α+1
p


Γ
2
(α −p + 1)
Γ(α −p +
3
2
)

1
p
×
×

2
F
1

α −p + 1
2
,
α −p
2
+ 1, α − p +
3
2
, 1 −
β
2
p
2



1
p
. (2.11)
với
2
F
1

x, y, z, t

là hàm siêu hình học.
Trường hợp riêng, khi β = 1, p = 1, ta có:
||(f ∗
(
1
2
)
g)||
L
α,1
1
≤ C
α
||f||
L
1
(R
+

;dx)
||g||
L
1
(R
+
;dx)
với C
α
=
1
2
α
√
π
Γ
2
(α)
Γ(α +
1
2
)
.
Ngoài ra, đẳng thức dạng Parseval tổng quát cho ta
(f ∗
(
1
2
)
g)(x) =

1
πx
∞

0
(F
(
c
s
)
f)(w)(F
(
c
s
)
g)(w)K
ix
(w)dw, ; x > 0. (2.12)
Cuối cùng, nếu thêm giả thiết x
−1
(F
(
c
s
)
g)(x) ∈ L
2
((0; 1); dx) thì đẳng thức
(2.7) đúng.
−20−

Chứng minh. Dễ thấy cosh x =
e
x
+ e
−x
2
≥
1
2
2
√
e
x
e
−x
= 1, ∀x, suy ra
|(f ∗
(
1
2
)
g)(x)| =
1
2πx
|

R
2
+
f(u)g(v)[e

−x cosh(u−v)
± e
−x cosh(u+v)
]dudv|
≤
1
2πx

R
2
+
|f(u)g(v)|

|e
−x cosh(u−v)
| + |e
−x cosh(u+v)
|

dudv
≤
1
2πx

R
2
+
|f(u)g(v)|

e

−x
+ e
−x

dudv
=
e
−x
πx

R
2
+

|f(u)||g(v)|

dudv
=
e
−x
πx
||f||
L
1
(R
+
;dx)
||g||
L
1

(R
+
;dx)
. (2.13)
Xét
||(f ∗
(
1
2
)
g)||
L
α,β
p
=

∞

0
|(f ∗
(
1
2
)
g)(x)|
p
K
0
(βx)x
α

dx

1
p
≤

∞

0

e
−x
πx
||f||
L
1
(R
+
;dx)
||g||
L
1
(R
+
;dx)

p
K
0
(βx)x

α
dx

1
p
=||f||
L
1
(R
+
;dx)
||g||
L
1
(R
+
;dx)

∞

0
e
−px
π
p
x
p
K
0
(βx)x

α
dx

1
p
=||f||
L
1
(R
+
;dx)
||g||
L
1
(R
+
;dx)
1
π

∞

0
x
α−p
e
−px
K
0
(βx)dx


1
p
=A
α,p,β
||f||
L
1
(R
+
;dx)
||g||
L
1
(R
+
;dx)
,
trong đó A
α,p,β
=
1
π

∞

0
x
α−p
e

−px
K
0
(βx)dx

1
p
. Từ công thức 2.16.63 [10],
∞

0
x
α−1
e
−px
K
ν
(cx)dx = l
α
ν
−21−
với giả thiết
Re(c + p) > 0; Re(α) > |Reν|,
trong đó
l
α
ν
=
p
x−α

c
−ν
2
α
√
πΓ


α −ν, α + ν
α +
1
2



2
F
1
(
α −ν
2
;
α −ν + 1
2
; α +
1
2
; 1 −
c
2

p
2
)

.
Áp dụng với phép thế α := α + 1 −p; ν := 0; c := β; p := p, ta có
A
α,p,β
=
1
π

∞

0
x
α−p
e
−px
K
0
(βx)dx

1
p
=
1
π
l
α+1−p

0
1
p
=
1
π

p
0−(α+1−p)
β
0
2
α+1−p
√
πΓ


α + 1 −p, α + 1 −p
α + 1 −p +
1
2


×
×

2
F
1
(

α −p + 1
2
;
α −p
2
+ 1; α − p +
3
2
; 1 −
β
2
p
2
)

1
p
=π
1
2p
−1
(2p)
1−
α + 1
p

Γ
2
(α −p + 1)
Γ(α −p +

3
2
)

1
p
×
×

2
F
1

α −p + 1
2
,
α −p
2
+ 1, α − p +
3
2
, 1 −
β
2
p
2


1
p

.
Vậy (2.11) được chứng minh.
β = 1, p = 1, ta có: ||(f ∗
(
1
2
)
g)||
L
α,1
1
≤ A
α,1,1
||f||
L
1
(R
+
;dx)
||g||
L
1
(R
+
;dx)
.
Khi đó,
C
α
= A

α,1,1
= π
−
1
2
2
−α
Γ
2
(α)
Γ(α + 1)

2
F
1

α
2
,
α
2
+ 1, α +
1
2
, 0


=
1
2

α
√
π
Γ
2
α
Γ(α +
1
2
)
−22−
Sử dụng biểu diễn tích phân (1.5) và công thức (2.16.48.19) trong [10]:
e
−t cosh b
=
2
π
+∞

0
cos bxK
ix
(t)dx.
Ta có:
(f ∗
(
1
2
)
g)(x) =

1
2πx

R
2
+
f(u)g(v)[e
−x cosh(u−v)
± e
−x cosh(u+v)
]dudv
=
1
2πx
∞

0
∞

0
f(u)g(v)
2
π

∞

0

cos(u −v) + cos(u + v)
cos(u −v) − cos(u + v)


K
iw
(x)dw

dudv
=
1
π
2
x
∞

0
∞

0
∞

0
f(u)g(v)

2 cos uw cos vw
−2 sin uw sin −vw

K
iw
(x)dwdudv
=
2

π
2
x
∞

0
∞

0
∞

0
f(u)g(v)

cos uw cos vw
sin uw sin vw

K
iw
(x)dwdudv
=
2
π
2
x
π
2
∞

0



2
π
f(u)(
cos uw
sin uw
)du


2
π
∞

0
g(v)(
cos vw
sin vw
)dv

K
iw
(x)dw
=
1
πx
∞

0
(F

(
c
s
)
f)(w)(F
(
c
s
)
g)(w)K
iw
(x)dw.
Vậy (2.12) được chứng minh.
Tiếp theo, ta sẽ chứng minh (2.7) đúng. Trước hết, ta chỉ ra:
π
2x sinh πx

F
(
c
s
)
f

(x)

F
(
c
s

)
g

(x) ∈ L
2
(R
+
; x sinh πxdx).
Thật vậy, từ
∞

0
π
2
4
1
sinh πx
2
|(F
(
c
s
)
f)(x)|
2
|(F
(
c
s
)

g)(x)|
2
x sinh πxdx
=
π
2
4
∞

0
|(F
(
c
s
)
f)(x)|
2
x
sinh πx
|x
−1
(F
(
c
s
)
g)(x)|
2
dx.
−23−