HH9 c1 chuyen de he thuc luong trong tam giac vuong nguyen quoc tuan

Phương pháp giải toán từ cơ bản đến nâng cao- Hình học 9

***

Quý II- 2019

Chương I: Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Chủ đề 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông
Phương pháp:
+Trong một tam giác vng, bình phương mỗi cạnh
góc vng bằng tích của cạnh huyền với hình chiếu
của cạnh góc vng đó lên cạnh huyền.
b 2 = ab '

, c 2 = ac '

+ Trong một tam giác vng, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng
tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vng trên cạnh huyền
Cơng thức:

h 2 = b '.c '

+ Trong một tam giác vng, tích hai cạnh góc vng bằng tích của cạnh huyền
với đường cao tương ứng
Công thức:

ah = bc

+ Trong một tam giác vuông, nghịch đảo bình phương đường cao bằng tổng các
nghịch đảo bình phương hai cạnh góc vng
Cơng thức:

1
1
1
= 2+ 2
2
h
b
c

Bài tập mẫu 1: Cho tam giác vuông ABC vuông tại A, đường cao AH.
Biết: BH = 9cm, CH = 16cm .
a. Tính độ dài các cạnh AB, AC

b. Tính chiều cao AH.

Hướng dẫn giải

NguyễnQuốcTuấn(TổngbiêntậpcủaXuctu.com)

Trang số 5


Phương pháp giải toán từ cơ bản đến nâng cao- Hình học 9

***

Q II- 2019

a. Ta có BC = BH + HC = 9 + 16 = 25(cm)

Tam giác ABC vuông ở A, AH ⊥ BC (theo giả thiết). Sử dụng hệ thức về góc
vng và hình chiếu của nó lên cạnh huyền ta có :
AB 2 = BH .BC = 9.25 = 225 ⇒ AB = 225 = 15 (cm) .
AC 2 = CH .CB = 16.25 = 400

Từ đây suy ra AC = 400 = 20 (cm)
Chú ý: Sau khi tính được AB (hoặc AC) ta có thể sử dụng định lý Pitago để tính
cạnh cịn lại.
b. Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao thuộc cạnh huyền và hai hình chiếu của
hai góc vng trên cạnh huyền
Ta có: AH 2 = BH .HC = 9.16 = 144 ⇒ AH = 144 = 12 (cm)
Cách khác: Trong tam giác vng ABH, theo Pitago
Ta có : AH 2 = AB 2 − BH 2 = 152 − 92 = 225 − 81 = 144 ⇒ AH = 144 = 12 (cm)
Bài tập mẫu 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH .
a. Biết AH = 6cm, BH = 4,5cm, Tính AB, AC, BC,HC
b. Biết AB = 6cm, BH = 3cm, Tính AH,AC,CH
Hướng dẫn giải
a. Áp dụng định lý Pi-Ta-Go cho tam giác vuông AHB vuông tại H
Ta có: AB 2 = AH 2 + BH 2 = 62 + 4, 52 = 56, 25

NguyễnQuốcTuấn(TổngbiêntậpcủaXuctu.com)

Trang số 6


Phương pháp giải toán từ cơ bản đến nâng cao- Hình học 9

***

Quý II- 2019

Suy ra: AB = 56, 25 = 7, 5 ( cm )
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác
vuông ABC vuông tại A, AH là chiều
cao ta được:

Suy ra :

1
1
1
=
+
2
2
AH
AB
AC 2

1
1
1
AB 2 − AH 2 7,52 − 62 20, 25
1
=
−
=
=
=
=

2
2
2
2
2
2 2
AC
AH
AB
AB . AH
7,5 .6
2025 100

Vậy: AC 2 = 100 hay nói cách khác: AC = 100 = 10 ( cm )
Theo định lý Pi-Ta-Go ta có: BC 2 = AB 2 + AC 2 = 7, 52 + 102 = 156, 25
Suy ra : BC = 156, 25 = 12,5 ( cm )
Theo hệ thức lượng trong tam giác ta có: AC 2 = HC.BC ⇒ HC =

AC 2 102
=
= 8 ( cm )
BC 12, 5

b. Trong tam giác vng ABH vng tại H.
Ta có: AB 2 = AH 2 + BH 2
⇔ AH 2 = AB 2 − BH 2 = 62 − 32 = 27

Vậy: AH = 27 ≈ 5, 2 ( cm )
Trong tam giác vuông ABC vuông tại A, AH là đường cao ta có:

Suy ra

1
1
1
=
+
2
2
AH
AB
AC 2

1
1
1
AB 2 − AH 2 36 − 27
1
=
−
=
=
=
2
2
2
2
2
AC
AH

AB
AB . AH
27.37 108

Do đó: AC 2 = 108 ⇒ AC = 108 = 10, 39 ( cm )
Mặt khác: BC 2 = AB 2 + AC 2 = 36 + 108 = 144 ⇒ BC = 144 = 12 ( cm )

NguyễnQuốcTuấn(TổngbiêntậpcủaXuctu.com)

Trang số 7


Phương pháp giải toán từ cơ bản đến nâng cao- Hình học 9

Áp dụng hệ thức lượng ta có: AC 2 = BC.CH ⇔ CH =

***

Quý II- 2019

AC 2 108
=
= 9 ( cm )
BC
12

Bài tập mẫu 3: Cho tam giác vng ABC vng tại A, đường cao AH, tính
diện tích tam giác ABC, biết AH = 12cm, BH = 9cm.

Hướng dẫn giải

Áp dụng định lý Pi-Ta-Go trong tam giác
AHB vuông tại H
Ta có: AB 2 = AH 2 + BH 2 = 92 + 122 = 225
Vậy: AB = 225 = 15 ( cm )
Trong tam giác vuông ABC vuông tại A, AH là đường cao ta có:

Suy ra

1
1
1
=
+
2
2
AH
AB
AC 2

1
1
1
AB 2 − AH 2 225 − 144
1
=
−
=
=
=
2

2
2
2
2
AC
AH
AB
AB . AH
225.144 400

Do đó: AC 2 = 400 ⇒ AC = 400 = 20 ( cm )
Tam giác ABC là tam giác vuông tại A, AB và AC là hai cạnh góc vng của tam
giác nên: S =

(

1
1
AB. AC = 15.20 = 150 cm 2
2
2

)

Bài tập mẫu 4: Cho tam giác ABC, biết BC = 7,5 cm, CA= 4,5cm, AB= 6cm
a. Tam giác ABC là tam giác gì? Tính đường cao AH của tam giác ABC ;
b. Tính độ dài các đoạn thẳng BH, CH
Hướng dẫn giải

NguyễnQuốcTuấn(TổngbiêntậpcủaXuctu.com)

Trang số 8


Phương pháp giải toán từ cơ bản đến nâng cao- Hình học 9

***

Quý II- 2019

a. Tam giác ABC là tam giác vuông.
Thật vậy : 7,52 = 4,52 + 62 ⇔ 5625 = 5625
Thỏa mãn hệ thức BC 2 = AB 2 + AC 2
Do đó ∆ ABC là tam giác vuông tại A
Trong tam giác vuông ABC vuông tại A, AH là đường cao ta có:
1
1
1
AB 2 + AC 2 62 + 4,52 56, 25
1
=
+
=
= 2
=
=
2
2
2
2

2
2
AH
AB
AC
AB . AC
6 .4,5
729 12,96

Vậy AH 2 = 12,96 ⇒ AH = 12,96 = 3, 6 ( cm ) .
b. Áp dụng định lý Pi-Ta-Go cho tam giác AHB vuông tại H ta được:
AB 2 = AH 2 + BH 2 ⇒ BH 2 = AB 2 − AH 2 = 62 − 3,62 = 23,04

Do đó: BH = 23, 04 = 4,8 ( cm )
Áp dụng định lý Pi-Ta-Go cho ∆ AHC vuông tại H ta được: AC 2 = AH 2 + HC 2
⇒ HC 2 = AC 2 − AH 2 = 4,52 − 3,62 = 7,29 ⇒ HC = 7, 29 = 2, 7 ( cm )

Bài tập mẫu 5: Cho tam giác vng với các cạnh góc vng lần lượt là 7 và
24. Kẻ đường cao ứng với cạnh huyền. Tính độ dài đường cao và các đoạn
thẳng mà đường cao đó chia ra trên cạnh huyền.
Hướng dẫn giải
Khơng mất tính tổng qt gọi các cạnh của tam giác vng có độ dài lần lượt như
hình vẽ.
Áp dụng hệ thức lương trong tam giác vuông ABC vuông tại B, AH là đường cao

NguyễnQuốcTuấn(TổngbiêntậpcủaXuctu.com)

Trang số 9

Phương pháp giải toán từ cơ bản đến nâng cao- Hình học 9

Ta được:

=

***

Quý II- 2019

1
1
1
AB 2 + AC 2
=
+
=
AH 2 AB 2 AC 2
AB 2 . AC 2

7 2 + 24 2
625
1
⇒ AH 2 = 45,1584
=
=
2
2
7 .24
28224 45,1584

Do đó: AH = 45,1584 = 6, 72
Đường cao AH chia cạnh huyền BC thành các đoạn HB, HC.
Áp dụng định lý Pi-Ta-Go trong tam giác vuông AHC vuông tại H, ta có:
AC 2 = AH 2 + HC 2 ⇔ HC 2 = AC 2 − AH 2 = 242 − 6, 722 = 530,8416 ⇒ HC = 530,8416 = 23,04 .

Áp dụng định lý Pi-Ta-Go trong tam giác vuông AHB vng tại H, ta có:
AB 2 = AH 2 + BH 2 ⇔ BH 2 = AB 2 − AH 2 = 7 2 − 6, 722 = 3,8416 ⇒ BH = 3,8416 = 1,96 ( cm )

Bài tập mẫu 6: Cho một tam giác vuông, biết tỉ số hai cạnh góc vng là

5
,
12

cạnh huyền là 26cm. Tính độ dài các cạnh góc vng và hình chiếu của cạnh
góc vng trên cạnh huyền.
Hướng dẫn giải
Khơng mất tính tổng qt gọi các cạnh của tam giác vng có độ dài lần lượt như
hình vẽ.
Gọi độ dài của AB = x ( cm ) , khi đó độ dài của AC =

5
x ( cm )
12

Do tam giác ABC là tam giác vuông tại A nên áp dụng định lý Pi-Ta-Go ta được:
2

25 2

25 
 5 

BC 2 = AB 2 + AC 2 ⇔ 262 = x 2 +  x  ⇔ 676 = x 2 +
x ⇔ x 2 1 +
 = 676
144
 12 
 144 

NguyễnQuốcTuấn(TổngbiêntậpcủaXuctu.com)

Trang số 10


Phương pháp giải toán từ cơ bản đến nâng cao- Hình học 9

⇔ x2.

***

Quý II- 2019

169
= 676 ⇔ x 2 = 576 ⇔ x = 576 = 24 ( cm )
144

Vậy AB= 24(cm) và AC =

Ta lại có

5
.24 = 10 ( cm ) .
12

1
1
1
AB 2 + AC 2
=
+
=
AH 2 AB 2 AC 2
AB 2 . AC 2

24 2 + 102
676
169
=
=
=
2
2
24 .10
57600 14400

Nên: AH =

14400 120
=

( cm )
169
13

Đường cao AH chia cạnh huyền BC thành các đoạn HB, HC.
Áp dụng định lý Pi-Ta-Go trong tam giác vuông AHC vuông tại H ta có:
2

2500
 120 
AC 2 = AH 2 + HC 2 ⇔ HC 2 = AC 2 − AH 2 = 10 2 − 
 =
169
 13 

Do đó: HC =

2500 50
=
≈ 3,85 ( cm ) .
169 13

Áp dụng định lý Pi-Ta-Go trong tam giác vuông AHB vuông tại H ta có:
2

 120  82944
AB = AH + BH ⇔ BH = AB − AH = 24 − 
 =
169
 13 

2

2

Do đó: BH =

2

2

2

2

2

82944 288
=
≈ 22,15 ( cm )
169
13

Bài tập mẫu 7: Cho tam giác ABC vuông ở A. Biết

AB 5
= , đường cao
AC 7

AH = 15cm. Tính HB, HC.

NguyễnQuốcTuấn(TổngbiêntậpcủaXuctu.com)

Trang số 11


Phương pháp giải toán từ cơ bản đến nâng cao- Hình học 9

***

Q II- 2019

Hướng dẫn giải
Ta có:

AB 5
5
= ⇔ AB = AC .
AC 7
7

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vng
ta có :
2

5

AC  + AC 2

1
7


⇒
=
=
2
2
AH
5

2
 AC  . AC
7


Do đó:

1
1
1
AB 2 + AC 2
=
+
=
AH 2 AB 2 AC 2
AB 2 . AC 2

 25 
2
 + 1 AC
74

49


=
25
25 AC 2
AC 4
49

1
74
1
74
152.74
2
=
⇔
=
⇔
AC
=
= 666 ⇔ AC = 666 ≈ 25,81( cm )
AH 2 25 AC 2
152 25 AC 2
25
5
7

5
7

Suy ra: AB = AC = .25,81 = 18, 44 (cm)
Đường cao AH chia cạnh huyền BC thành các đoạn HB, HC.
Áp dụng định lý Pi-Ta-Go trong tam giác vuông AHC vng tại H
Ta có: AC 2 = AH 2 + HC 2 ⇔ HC 2 = AC 2 − AH 2 = 666 − 225 = 441 ⇒ HC = 441 = 21( cm ) .
Áp dụng định lý Pi-Ta-Go trong tam giác vng AHB vng tại H
Ta có: AB 2 = AH 2 + BH 2 ⇔ BH 2 = AB 2 − AH 2 = 18, 442 − 152 = 115, 0336
Do đó: BH = 115, 0336 ≈ 10, 73 ( cm )
Bài tập mẫu 8: Cho hình thang cân ABCD (AB// CD), biết AB=26cm, AD
=10cm và đường chéo AC vng góc với cạnh bên BC. Tính diện tích của
hình thang ABCD.

NguyễnQuốcTuấn(TổngbiêntậpcủaXuctu.com)

Trang số 12


Phương pháp giải toán từ cơ bản đến nâng cao- Hình học 9

***

Quý II- 2019

Hướng dẫn giải
Gọi các đỉnh của hình thang cân như hình vẽ.
Hạ chiều cao CH của hình thang cân ABCD.
Do ABCD là hình thang cân nên: AD = CB = 10 ( cm )
Mặt khác: tam giác ACB là tam giác vuông tại C(theo giả thiết )
Do đó: Áp dụng định lý Pi-Ta-Go trong tam giác ACB ta có:
AB 2 = AC 2 + BC 2 ⇔ AC 2 = AB 2 − BC 2 = 262 − 102 = 576 ⇔ AC = 576 = 24 ( cm )

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ACB, với CH là đường cao ta được:
57600
1
1
1
AC 2 + CB 2 24 2 + 10 2
676
=
+
=
=
=
⇒ CH =
≈ 9, 23 ( cm )
2
2
2
2
2
2
2
CH
CB
AC
AC .CB
24 .10
57600
676
CB 2 10 2

Lại có: CB = HB. AB ⇒ HB =
=
= 3,85 ( cm )
AB
26
2

Mặt khác: DC = AB − 2 HB = 26 − 2.2,85 = 20,3 ( cm )
Nên diện tích hình thang cân ABCD là: S = CH.

DC + AB
20,3 + 26
≈ 9, 23.
≈ 213,67 cm2
2
2

(

)

Bài tập mẫu 9: Cho tam giác ABC vuông ở A, AB = 12cm, AC =16cm, phân
giác AD, đường cao AH. Tính độ dài các đoạn thẳng HB, HD, HC .
Hướng dẫn giải
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vng ta có :
1
1
1
12 2 + 162
400

=
+
=
=
2
2
2
2
2
AH
AB
AC
12 .16
36864

NguyễnQuốcTuấn(TổngbiêntậpcủaXuctu.com)

Trang số 13


Phương pháp giải toán từ cơ bản đến nâng cao- Hình học 9

Vậy: AH 2 =

***

Quý II- 2019

36864
36864

⇒ AH =
= 9, 6 ( cm )
400
400

Áp dụng định lý Pi-Ta-Go trong ∆ ABC , ta được:
BC 2 = AB 2 + AC 2 = 122 + 16 2 = 400 ⇒ BC = 20 ( cm )
AB 2 122 144
=
=
= 7, 2 ( cm )
Ta lại có: AB = BH .BC ⇒ BH =
BC
20
20
2

Ngoài ra: AC 2 = HC.BC ⇒ HC =

AC 2 162
=
= 12,8 ( cm )
BC
20

Theo tính chất của đường phân giác ta được:

DB DC
=
(1)

AB AC

Mà DC = BC − BD (2)
Thay (2) vào (1) ta được hệ thức:

DB BC − BD
DB 20 − BD
=
⇔
=
AB
AC
12
16

⇔ 16 BD = ( 20 − BD )12 ⇔ 16 BD = 240 − 12 BD ⇔ 28BD = 240 ⇔ BD ≈ 8,57 ( cm )

Nhìn vào hình vẽ ta được: HD = BD − BH ≈ 8,57 − 7, 2 ≈ 1,37 ( cm )
Bài tập mẫu 10: Cho tam giác ABC vuông ở A, phân giác AD đường cao AH.
Biết BD = 15cm, CD = 20cm. Tính độ dài các đoạn thẳng BH, HC.
Hướng dẫn giải
Ta có: BC = BD + DC = 15 + 20 = 35 ( cm )
Áp dụng tính chất đường phân giác ta có tỉ lệ thức:
DB DC
15
20
3
4
3
=

⇔
=
⇔
=
⇔ AB = AC (1)
AB AC
AB AC
AB AC
4

NguyễnQuốcTuấn(TổngbiêntậpcủaXuctu.com)

Trang số 14


Phương pháp giải toán từ cơ bản đến nâng cao- Hình học 9

***

Quý II- 2019

Áp dụng định lý Pi-Ta-Go cho ∆ ABC vuông tại A ta được: BC 2 = AB 2 + AC 2 ( 2 )
2

Thay (1) vào (2) ta được: BC 2 =  AC  + AC 2 ⇔ AC 2 + AC 2 = BC 2
16
4

3

9

25
352.16
 9

2
2
2
2
2
⇔  + 1 AC = 35 ⇔
AC = 35 ⇔ AC =
= 784 ⇔ AC = 784 = 28 ( cm )
16
25
 16 
3
4

3
4

Từ đây suy ra: AB = . AC = .28 = 21( cm )
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC vuông tại A, đường cao AH
1
1
1
AB 2 + AC 2 212 + 282
1225

25
Ta có:
=
+
=
=
=
=
2
2
2
2
2
2
2
AH
AB
AC
AB . AC
21 .28
3345744 7056

Từ đây suy ra: AH =

7056 84
=
= 16,8 ( cm )
25
5

Áp dụng định lý Pi-Ta-Go trong tam giác vng AHC vng tại H ta có:
AC 2 = AH 2 + HC 2 ⇔ HC 2 = AC 2 − AH 2 = 282 − 16,82 = 501, 76 ⇒ HC = 501, 76 = 22, 4 ( cm ) .

Áp dụng định lý Pi-Ta-Go trong tam giác vng AHB vng tại H ta có:
AB 2 = AH 2 + BH 2 ⇔ BH 2 = AB 2 − AH 2 = 212 − 16,82 = 158, 76 ⇒ BH = 158, 76 = 12, 6 ( cm )

Bài tập mẫu 11: Cho tam giác ABC vng ở A, đường cao AH, tính chu vi
của tam giác ABC. Biết AH = 14 cm,

HB 1
= .
HC 4

Hướng dẫn giải
Ta có:

HB 1
= ⇔ HC = 4 HB
HC 4

NguyễnQuốcTuấn(TổngbiêntậpcủaXuctu.com)

Trang số 15


Phương pháp giải toán từ cơ bản đến nâng cao- Hình học 9

***

Quý II- 2019

Áp dụng hệ thức lượng trong ∆ ABC, ta có :
AH 2 = HB. HC ⇔ 14 2 = HB.4 HB ⇔ HB 2 =

14 2
= 49
4

Vậy HB = 7 ( cm ) và HC = 28 ( cm ) .
Từ đó suy ra: BC = 28 + 7 = 35 ( cm )
Áp dụng định lý Pi-Ta-Go trong tam giác AHB vuông tại H, ta có:
AB 2 = AH 2 + HB 2 = 142 + 7 2 = 245 ⇒ AB ≈ 15, 65 ( cm )

Áp dụng định lý Pi-Ta-Go trong tam giác AHC vng tại H, ta có:
AC 2 = AH 2 + HC 2 = 142 + 282 = 980 ⇒ AC = 31,3 ( cm )

Do đó: Chu vi tam giác ABC là: C = AB + BC + AC = 31,3 + 15, 65 + 35 = 81,95 ( cm )
Bài tập mẫu 12: Cho hình thang vng ABCD, A = D = 900 , AB = 15cm, AD =
20cm. Các đường chéo AC và BD vng góc với nhau ở O
a. Tính độ dài các đoạn thẳng OB, OD

b. Tính độ dài đường chéo AC

c. Tính diện tích hình thang ABCD
Hướng dẫn giải
a. Áp dụng định lý Pi-Ta-Go cho ∆ DAB vng tại A
Ta có: BD 2 = AB 2 + AD 2 = 152 + 202 = 625
Vậy BD = 625 = 25 ( cm )
Trong tam giác DAB vuông tại A, AO là đường cao của đường thẳng.

NguyễnQuốcTuấn(TổngbiêntậpcủaXuctu.com)

Trang số 16


Phương pháp giải toán từ cơ bản đến nâng cao- Hình học 9

Nên ta có:

***

Q II- 2019

1
1
1
AB 2 + AD 2 152 + 202
625
=
+
=
=
=
2
2
2
2
2
2
2

OA
AB
AD
AB . AD
15 .20
90000

90000 300
=
= 12 ( cm )
625
25

Từ đây suy ra: OA =

Áp dụng định lý Pi-Ta-Go cho tam giác AOD vng tại O, ta có:
AD 2 = AO 2 + OD 2 ⇒ OD 2 = AD 2 − AO 2 = 202 − 12 2 = 256 ⇒ OD = 256 = 16 ( cm )

Áp dụng định lý Pi-Ta-Go cho tam giác AOB vng tại O, ta có:
AB 2 = AO 2 + OB 2 ⇒ OB 2 = AB 2 − AO 2 = 152 − 122 = 81 ⇒ OB = 81 = 9 ( cm )

b. Ta có: AC = AO + OC
Do ABCD là hình thang nên: ∆OBA ∽ ∆ODC
Từ đó ta có tỉ lệ thức:

OB OD
OA.OD 12.16
=
⇔ OC =
=

= 21,33 ( cm )
OA OC
OB
9

Vậy: AC = OA + OC ≈ 12 + 21,33 = 33,33 ( cm )
c. Áp dụng định lý Pi-Ta-Go cho tam giác ODC vuông tại O ta có:
DC 2 = OD 2 + OC 2 = 162 + 21, 332 = 277, 33 ⇒ DC = 277,33 ≈ 16, 65 ( cm )

Do đó: S ABCD =

(

1
1
AD. ( AB + DC ) ≈ 20. (15 + 16, 65 ) = 316,5 cm 2
2
2

)

Bài tập mẫu 13: Cho hình chữ nhật ABCD. Đường phân giác trong của góc B
2
7

5
7

cắt đường chéo AC thành hai đoạn lần lượt có độ dài là 4 m và 5 m. Tính
các kích thước của hình chữ nhật.

Hướng dẫn giải

NguyễnQuốcTuấn(TổngbiêntậpcủaXuctu.com)

Trang số 17


Phương pháp giải toán từ cơ bản đến nâng cao- Hình học 9

***

Quý II- 2019

Trong ∆ ABC gọi BE là đường phân giác của B .
Theo tính chất của đường phân giác
Ta có:

AE AB
Thay vào ta được:
=
CE CB

AE CE
AE AB
=
⇔
=
(1) .
AB CB
CE CB

2
AB 2 9
AB
AB 3
⇔ 7 =
⇔
= ⇔
=
2
5 CB
CB
4
CB
16
5
7
4

Áp dụng định lý Pi-Ta-Go cho tam giác ABC vuông tại B ta có: AC 2 = AB 2 + BC 2
AC 2 AB 2 + BC 2 9 + 16 52
AC 5
=
=
= 2 ⇒
=
Xét tỉ số:
2
2
CB

CB
16
4
CB 4
2
7

5
7

Mặt khác: AC = AE + EC = 4 + 5 = 10 . Thay vào ta được: BC = 8

⇒ AB =

3BC 3.8
=
= 6 . Vậy các kích thước của hình chữ nhật là 6m và 8m.
4
4

Bài tập mẫu 14: Cho ∆ ABC vuông tại A, vẽ đường cao AH. Chu vi ∆ ABH là
30cm và chu vi của tam giác ACH là 40cm. Tính chu vi của tam giác ABC.
Hướng dẫn giải
Gọi P1 ; P2 ; P3 lần lượt là chu vi của tam giác AHB, CHA và CAB.
Dễ thấy: ∆AHB ∽ ∆CHA .
Nên ta có:

P1 AB
AB 3
AB AC

AB 2 AC 2 AB 2 + AC 2 BC 2
=
⇒
= ⇒
=
⇒ 2 = 2 =
= 2
P2 CA
CA 4
3
4
3
4
32 + 4 2
5

Từ đây ta có các tỉ lệ tương ứng :

AB AC BC
=
=
3
4
5

NguyễnQuốcTuấn(TổngbiêntậpcủaXuctu.com)

Trang số 18

Phương pháp giải toán từ cơ bản đến nâng cao- Hình học 9

***

Quý II- 2019

Mặt khác : ∆AHB ∽ ∆CHA ∽ ∆CAB . Ta cũng có được: P1 : P2 : P3 = AB : AC : BC = 3: 4 : 5
Do đó : Khi Chu vi của tam giác ABH là 30cm và chu vi của tam giác ACH là
40cm thì chu vi tam giác ABC là 50cm.
Bài tập mẫu 15: Cho tam giác ABC vuông tại A có cạnh AB=6cm và
AC=8cm. Các đường phân giác trong và ngồi của góc B cắt đường thẳng
AC lần lượt là M và N. Tính các đoạn thẳng AM và AN.
Hướng dẫn giải
Áp dụng định lý Pi-Ta-Go cho tam giác ABC vuông tại A ta được:
BC 2 = AB 2 + AC 2 = 62 + 82 = 100 ⇒ BC = 10 ( cm )

Theo tính chất của đường phân giác ta có hệ thức:

Từ đây suy ra:

AM CM
AM AB
=
⇔
=
AB
CB
CM CB

AM

AB
AM
6
=
⇔
=
⇔ AM = 3
AM + CM AB + CB
8
16

Trong tam giác BMN do BM, BN lần lượt là đường phân giác trong và phân giác
ngồi của góc B cua tam giác ABC
Do đó BM ⊥ BN ⇒ Tam giác BMN là tam giác vng tại B.
Trong đó AB là đường cao ứng với cạnh huyền MN
 AM = 3 ( cm )
.
 AN = 2 ( cm )

Ta có: BA2 = AM . AN ⇒ AN = 12 ( cm ) ⇒ 

Bài tập mẫu 16: Cho tam giác ABC. Từ một điêm M bất kì trong tam giác kẻ
MD, ME, MF lần lượt vng góc với các ạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng:
BD 2 + CE 2 + AF 2 = DC 2 + EA2 + FB 2

NguyễnQuốcTuấn(TổngbiêntậpcủaXuctu.com)

Trang số 19

Phương pháp giải toán từ cơ bản đến nâng cao- Hình học 9

***

Q II- 2019

Hướng dẫn giải
Ta có biến đổi: VT = BD 2 + CE 2 + AF 2 = ( BM 2 − DM 2 ) + ( CM 2 − ME 2 ) + ( AM 2 − MF 2 )
(Do các tam giác BMD, CME, AMF là các tam giácvuông tại D, E, F)
⇒ VT = BM 2 − DM 2 + CM 2 − ME 2 + AM 2 − MF 2

= CM 2 − DM 2 + AM 2 − ME 2 + BM 2 − MF 2

= ( CM 2 − DM 2 ) + ( AM 2 − ME 2 ) + ( BM 2 − MF 2 )
= DC 2 + EA2 + FB 2 = VP

(Do các tam giác CMD, AME, BMF là các tam giác vuông tại D, E, F) (đpcm)
Bài tập mẫu 17: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, biết AB =
4cm, AC = 7,5cm, tính HB, HC.
Hướng dẫn giải
Áp dụng định lý Pi-Ta-Go cho tam giác
vuông ABC vuông tại A ta được:
BC 2 = AB 2 + AC 2 = 42 + 7,52 = 72, 25 .

Do đó: BC = 72, 25 = 8, 5 ( cm )
Mặt khác: ta áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABC có: AB 2 = BC.BH
Suy ra: BH =

AB 2 42
16

=
=
≈ 1,88 ( cm )
BC 8,5 8,5

Tương tự ta cũng có: AC 2 = BC.HC ⇒ HC =

AC 2 7,52 56, 25
=
=
= 6, 62 ( cm )
BC
8,5
8,5

TRỌN BỘ SÁCH THAM KHẢO TOÁN 9 MỚI NHẤT-2019

NguyễnQuốcTuấn(TổngbiêntậpcủaXuctu.com)

Trang số 20


Phương pháp giải toán từ cơ bản đến nâng cao- Hình học 9

***

Quý II- 2019

Bộ phận bán hàng: 0918.972.605
Đặt mua tại: />FB: facebook.com/xuctu.book/

Email:

NguyễnQuốcTuấn(TổngbiêntậpcủaXuctu.com)

Trang số 21