ÔN tập về hệ PHƯƠNG TRÌNH

ÔN TẬP VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
I.ÔN TẬP LÝ THUYẾT:
1.

Khái niệm: Hệ hai phương trình bậc nhất 2 ẩn có dạng:

ax + by = c ( 1)

( I ) 

a ' x + b ' y = c ' ( 2 )

Với a, b, c, a’, b’, c’ là các số cho trước x ; y là ẩn.

- Nếu ( x0; y0) thỏa mãn phương trình (1) và phương trình (2) thì ( x0; y0) gọi là
nghiệm của hệ phương trình.
- Tập hợp tất cả các nghiệm của hệ gọi là tập nghiệm của hệ phương trình.
2. Hệ PT tương đương- quy tắc biến đổi hệ phương trình:
- Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng một tập
nghiệm.
- Hai qui tắc biến đổi hệ phương trình:
+ Qui tắc thê
+ Qui tắc cộng đại số
3. Các phương pháp giải hệ phương trình:
- Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số.
- Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế.
4. Số nghiệm của hệ PT:
a
b
=
- Hệ (I) có nghiệm duy nhất  a ' b '

a
b
c
= ≠
- Hệ (I) vô nghiệm duy nhất  a ' b ' c '
a
b
c
= =
- Hệ (I) vô số nghiệm duy nhất  a ' b ' c '

II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI:
Dạng 1: Giải hệ phương bậc nhất hai ẩn:
A. Các phương pháp giải:
- Giải hệ bằng phương pháp cộng.
- Giải hệ bằng phương pháp thế.
B. Ví dụ: Giải hệ phương trình:
 x − 2 y = 1.(1)
x = 1 + 2 y
x = 1 + 2 y
x = 1 + 2 y
x =1
⇔
⇔
⇔ 


3x + 2 y = 3.( 2) ⇔ 3(1 + 2 y ) + 2 y = 3
3 + 6 y + 2 y = 3
y = 0

y =0

Vậy hệ phương trình có một nghiệm (x; y) = (1; 0).
C. Bài tập: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
2 x − 11 y = −7

10 x + 11 y = 31
a) 

− 5 x + 2 y = 4

6 x − 3 y = −7
d) 

2 x + 3 y = 5

5x − 4 y = 1
g) 


3 x + y = 3

2x − y = 7
b) 
2 x + 5 y = 8

2x − 3y = 0
c) 

2 x + 5 y = 2


6 x − 15 y = 6
e) 
2 x − 3 y = 11

− 4x + 6 y = 5
f) 

−5 x + 2 y = 4

h) 6 x − 3 y = −7
2 x + 5 y = 3

i) 3x − 2 y = 14

Dạng 2: Giải hệ phương qui về bậc nhất hai ẩn:
A. Các bước thực hiện:
Bước 1: Biến đổi hệ đã cho về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
Bước 2: Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
Bước 3: Kết luận nghiệm
B. Ví dụ: Giải hệ phương trình
 x ( y + 3) + 2 y = xy + 33  xy + 3 x + 2 y − xy − 33 = 0
⇔

 xy − 2 x + y − 2 − xy + 10 = 0
( x + 1) ( y − 2 ) = xy − 10
3x + 2 y = 33
3x + 2 y = 33
7 x = 49
⇔

⇔
⇔
 −2 x + y = −8 −4 x + 2 y = −16
−2 x + y = −8

x = 7
x = 7
x = 7
x = 7
⇔
⇔
⇔
⇔
 −2.7 + y = −8 −14 + y = −8
 y = −8 + 14
y = 6
Vậy hệ phương trình có một nghiệm ( x; y ) = (7;6)

C.Bài tập: Giải hệ phương trình
5( x + 2 y ) = 3x − 1

2 x + 4 = 3( x − 5 y ) − 12
a) 
(3x + 2)( 2 y − 3) = 6 xy

(4 x + 5)( y − 5) = 4 xy
b) 
( x + 20)( y − 1) = xy

( x − 10)( y + 1) = xy

c) 
( x + 1)( y − 1) = xy − 1

( x − 3)( y − 3) = xy − 3
d) 

e)
f)

 x ( y + 3) + 2 y = xy + 33

( x + 1) ( y − 2 ) = xy − 10

6( x + y ) = 8 + 2 x − 3 y

5( y − x ) = 5 + 3x + 2 y

g)

x y
 =
2 3

 x + y − 10 = 0

(2 x − 3)( 2 y + 4) = 4 x( y − 3) + 54

( x + 1)(3 y − 3) = 3 y ( x + 1) − 12
h) 
y + 27

 2 y − 5x
+5 =
− 2x
 3
4

 x + 1 + y = 6 y − 5x

7
i)  3

j)

1
1
 2 ( x + 2)( y + 3) − 2 xy = 50

 1 xy − 1 ( x − 2)( y − 2) = 32
 2
2

Dạng 3: Giải hệ phương trình bằng cách dặt ẩn phụ:
A.Các bước thực hiện


Bước 1: Tìm ĐKXĐ của hệ phương trình (nếu cần)
Bước 2: Đặt ẩn phụ cho các biểu thức chung trong các phương trình của
hệ đã cho để được hệ phương trình bậc nhất hai ẩn .
Bước 3: Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn nhận được, từ đó tìm
nghiệm của hệ đã cho.

Bước 4: Kiểm tra và kết luận nghiệm.
B.Ví dụ: Giải hệ phương trình:
3
 1
 x + 1 − y − 1 = −1
 2
4

+
=3
 x + 1 y − 1

Đặt

ĐKXĐ x ≠ −1; y ≠ 1

1
1
= a;
=b
x +1
y −1

 a − 3b = −1
 2a − 6b = −2
−10b = −5
⇔
⇔

Theo cách đặt ta có hệ phương trình: 2a + 4b = 3  2a + 4b = 3 a − 3b = −1

1

b=


2
⇔
⇔
 a − 3. 1 = −1


2

1

b=


2

a = 1


2

1
1
a= ; b=
2
2 vào cách đặt ta được:

Thay

1
 1
=
 x + 1 2
 1
1

=
 y − 1 2

x +1 = 2
 x = 1(thoa man)
⇔
⇔
 y −1 = 2
 y = 3(thoa man)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: x = 1; y = 3
C. Bài tập
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau:

3.( x + 1) + 2.( x + 2 y ) = 4
a. 
4.( x + 1) − ( x + 2 y ) = 9

b.

 x.( y + 3) + 2 y = xy + 33


( x + 1).( y − 2) = xy − 10

Bài 2. Giải các hệ phương trình sau:

a.

1 1
x − y = 3


 3 + 2 = −1

x y

1 1 1
x + y = 6

b. 
2 + 3 = 2

x y 5

c.

1 1 1
 x + y = 16


3 + 6 = 1


x y 4


Bài 3. Giải các hệ phương trình sau:
 3
 x +1 +

a) 
 2 −
 x +1


1
=2
y −1
3
=5
y −1

3
 1
 x + 2 + 2 y −1 = 4

b) 
 4 − 1 =3
 x + 2 2 y −1


c)

 7
−

 x −7

 5 −

 x −7

4
5
=
y +6 3
3
1
=2
6
y +6

Bài 4 Giải các hệ phương trình sau:

2 x − 2 + 3 y − 3 = 14

x −2 + y −3 = 5
a) 

2 ( x + y ) + x + 1 = 4
b) 
( x + y ) − 3 x + 1 = −5

3 x − 1 + 2 y − 2 = 7
c) 
 x − 1 − y − 2 = −1

Dạng 4: Hệ phương trình chứa tham số
4.1: Tìm điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, vơ nghiệm, vơ số
nghiêm:
A. Các bước thực hiện:
Bước 1: Biến đổi hệ phương trình đã cho về hệ có 1 phương trình mới ( chỉ cịn
một ẩn)
Bước 2: Tìm điều kiện để phương trình mới có nghiệm duy nhất, vơ nghiệm ,
vơ số nghiệm,từ đó đi đến kết luận về số nghiệm của hệ phương trình đã cho.
mx − y = 2m

4x − y = m + 6
B. Ví dụ: Cho hệ phương trình: 

Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất và tìm nghiệm của hệ
phương trình theo m?
Vơ số nghiệm? Vơ nghiệm
Bài giải

 y = mx − 2m
 mx − y = 2m
⇔

 2
4 x − my = m + 6


( m − 4 ) x = ( m − 2 ) ( 2m + 3 ) ( *)
Ta có:
Xét phương trình (*):

+ ) Nếu m2 – 4 ≠0  m ≠ ± 2 thì phương trình (*) có nghiệm duy nhất
x=

( m − 2 ) ( 2m + 3 )
( m − 2) ( m + 2)

=

2m + 3
m+2

2m + 3
2m + 3


 x = m + 2
 x = m + 2
⇔

 y = m. 2m + 3 − 2m
y = m


m+2
m+2
 Hệ phương trình cho có nghiệm duy nhất 

+ ) Nếu m2 – 4 = 0  m = ± 2
-) Nếu m = 2 thì phương trình(*) trở thành 0x = 0 ( ln đúng )
=> Phương trình (*) vơ số nghiệm => Hệ phương trình cho vơ số nghiệm
-) Nếu m = - 2 thì phương trình (*) trở thành 0x = 4 ( vơ lý )


=> Phương trình (*) vơ nghiệm => Hệ phương trình cho vô nghiệm
2m + 3

 x = m + 2

y = m

m+2
+) Vậy Với m ≠ ± 2 thì hệ phương trình (*) có nghiệm duy nhất 
Với m = 2 thì hệ phương trình cho vơ số nghiệm.
Với m = - 2 thì hệ phương trình cho vơ nghiệm
C. Bài tập:

 2mx + y = 2

Bài 1: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất : 8 x + my = m + 2
Bài 2: Cho hệ phương trình

 x + my = 2m
( m là tham sơ )

mx + y = 1 − m

Tìm m để hệ phương trình
a. Có nghiệm duy nhất và tìm nghiệm duy nhất đó
b. Vơ nghiệm
c. Vơ số nghiệm
4.2. Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước:
A. Một số bài tốn thường gặp:
Bài tốn 1: Tìm điều kiện ngun của tham số để hệ phương trình có nghiệm (x; y) trong đó x và
y là số ngun.
Bài tốn 2: Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn hệ
thức cho trước.

mx + y = 2m

x − y =1
B. Ví dụ: Cho hệ phương tình 
Tìm giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy
nhất (x; y) sao cho x và y là các số nguyên
Lời giải vắn tắt
Ta có

mx + y = 2m
(m + 1) x = 2 + m ( *)
⇔

x − y = 1
 y = x − 1

 hệ phương trình cho có nghiệm duy nhất
 phương trình ( * ) có nghiệm duy nhất
m+1≠0m≠-1

2m + 1
m + 1 => hệ phương trình có nghiệm
và phương trình (*) có nghiệm
2m + 1 m 
;
( x; y ) = 
÷
 m +1 m +1
1
1 
 2m + 1 m  
⇒ ( x; y ) = 
;
;1 −
÷=  2 −
÷
m +1
m +1
 m +1 m +1 
x=

 Hệ pT cho có nghiệm duy nhất (x; y) với x; y là số nguyên

⇔

1
∈ ¢ mà m ∈ ¢ nên m + 1 ∈ U( 1)
m +1

 m + 1 = 1 hoặc m + 1 = - 1  m = 0 hoặc m = - 2
Vậy với m = 0 hoặc m = - 2 thì hệ phương trình cho có nghiệm duy nhất ( x; y) mà x; y là các số
nguyên
C.BÀI TẬP :

(m + 2) x + y = m

Bài 1 : Cho hệ phương trình : mx − y = 1
a) Giải hệ với m = 1
b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
c) Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm thoả mãn x = y.
( m + 1) x − y = 3

mx + y = m

Bài 2. Cho hệ phương trình
a) Giải hệ phương trình với m = 2
b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn điều kiện x + y > 0.
 x + ( m + 1) y = 1

4 x − y = −2

Bài 3: Cho hệ phương trình
a) Giải hệ phương trình theo m.
b) Tìm số nguyên m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất( x; y) mà x, y
là các số nguyên.
1
c) Tìm m để nghiệm của hệ phương trình thỏa mãn x2 + y2 = 4 .
d) Tìm các giá trị của m để biểu thức

S=

2x − 5 y
x+ y

nhận giá trị nguyên.

(1)
mx - 2my = m+1

x - ( m + 1) y = 2
(2)
Bài 4. Cho hệ phương trình : 
a) Giải hệ phương trình khi m = 2.
b) Giải hệ pt theo m
c) Tỡm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) mà điểm M( x; y)
thuộc góc phần tư thứ nhất
d) Tìm m để hệ phương pháp nghiệm duy nhất (x;y) mà điểm M( x; y) thuộc
một đường thẳng cố định
e) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) mà điểm M( x; y)
thuộc đtrịn có tâm là gốc tọa độ và bán kính là 5
f) Tìm giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm nguyên