Chuyên đề xác định số phức liên hợp luyện thi THPT Quốc Gia

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (430.92 KB, 13 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Tailieumontoan.com



Sưu tầm

CHUYÊN ĐỀ

XÁC ĐỊNH SỐ PHỨC LIÊN HỢP

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. ĐỊNH NGHĨA

+ Một số phức là một biểu thức dạng z= +a bi với ,a b∈  và i2 = − , 1

i được gọi là đơn vị ảo, a được gọi là phần thực và b được gọi là phần ảo của số phức .z= +a bi.
+ Tập hợp các số phức được kí hiệu là . =

{

a bi a b+ / , ∈;i2 = −1

}

+ Chú ý:

- Khi phần ảo b= ⇔ =0 z alà số thực.
- Khi phần thực a= ⇔ = ⇔0 z bi zlà số thuần ảo.
- Số 0= +0 0i vừa là số thực, vừa là số ảo.

+ Hai số phức bằng nhau: a bi c di a c với , , ,a b c d
b d

=


+ = + ⇔ = ∈

  .

+ Hai số phức z1= +a bi; z2 = − − được gọi là hai số phức đối nhau. a bi

2. SỐ PHỨC LIÊN HỢP

Số phức liên hợp của z= +a bi với ,a b∈  là a bi− và được kí hiệu bởi z . Rõ ràng z z=

3. BIỂU DIỄN HÌNH HỌC

Trong mặt phẳng phức Oxy (Ox là trục thực, Oy là trục ảo ), số phức z= +a bi với ,a b∈  được biểu diễn

bằng điểm M a b

( )

; .

4. MÔĐUN CỦA SỐ PHỨC

Môđun của số phức z= +a bi a b ,

(

∈ 

)

là 2 2

z = a +b .

5. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP SỐ PHỨC

Cho hai số phức ; z'= +a' b i' với , , ', 'a b a b ∈  và số k∈ .
a) Tổng hai số phức: z+ = + + +z' a a' (b b i')

b) Hiệu hai số phức: z+ = − + −z' a a' (b b i') .

c) Nhân hai số phức: z z. '=

(

a+bi

)(

a'+b i'

) (

= a a. '−b b. '

) (

+ a b. '+a b i'.

)

d) Chia 2 số phức: + Số phức nghịch đảo: 1
2

z z

z

− =

+ Nếu z≠0thì z' z z'.2

z = z , nghĩa là nếu muốn chia số phức 'z cho số phức

z≠0thì ta nhân cả tử và mẫu của thương z'

z cho z .

6. CĂN BẬC HAI CỦA SỐ THỰC ÂM: Căn bậc hai của số thực a âm là ±i a

7. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI TRÊN TẬP SỐ PHỨC

Cho phương trình bậc 2: 2

0 (1)

Az +Bz+ =C

Trong đó A,B,C là những số phức A≠0.

Xét biệt thức ∆ =B2−4AC

+ Nếu ∆ ≠0thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt: 1 ; 2

2 2

B B

z z

A A

σ σ

− + − −

= =

Trong đó σ là một căn bậc 2 của ∆ .

+ Nếu ∆ =0thì phương trình (1) có nghiệm kép: z1=z2 = −B

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

CHÚ Ý:

+ Mọi phương trình bậc n: A z0 n +A z1 n−1+ +... A zn−1 +An = ln có n nghiệm phức (không nhất thiết 0
phân biệt).

+ Hệ thức Vi-ét đối với phương trình bậc 2 số phức hệ số thực: Cho phương trình bậc 2 :

0 ( , , ; 0)

Az +Bz+ =C A B C∈ A≠ có 2 nghiệm phân biệt (thực hoặc phức). Ta có:

1 2

1 2 .

B
S z z

A
C
P z z

A

−
 = + =




 = =



II. CÁC D

ẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

 Thực hiện các phép tốn.
 Tìm phần thực, phần ảo.
 Số phức liên hợp.

 Tính mơ đun của số phức.

 Phương trình bậc nhất theo z (và liên hợp của z).
 Hỏi tổng hợp về các khái niệm.

BÀI TẬP MẪU

(ĐỀ MINH HỌA LẦN 2 - BDG 2019 - 2020) Số phức liên hợp của số phức z= + là 2 i

A. z = − + . 2 i B. z = − − . 2 i C. z = − . 2 i D. z = + . 2 i

Phân tích hướng dẫn giải

1. DẠNG TỐN: Đây là dạng tốn xác định số phức liên hợp khi đã biết số phức.

2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

Số phức zcó dạng: z a bi= + .

Số phức liên hợp của số phức z có dạng: z a bi= − .

3. HƯỚNG GIẢI:

Ta có thể giải bài tốn cụ thể như sau:

Lời giải

Chọn C

Số phức z= + có số phức liên hợp là 2 i z = − . 2 i

Bài tập tương tự và phát triển: 
 Mức độ 1

Câu 1. Cho số phức z= − +2 3i . Số phức liên hợp của z là

A. z = 13. B. z = −2 3i . C. z = −3 2i . D. z = − −2 3i .

Lời giải
Chọn D

2 3
= − −

z i .

Câu 2. Số phức z thỏa mãn z= − −3 2ilà

A. z= − − 3 2i B. z= − + 3 2i C. z= − 3 2i D. z= +3 2i

Lời giải
Chọn B

Ta có z= − −3 2i suy ra z= − + . 3 2i

Câu 3. Tìm số phức liên hợp của số phức z=

(

2+i

)( )

−3 .i

A. z = − . 3 6i B. z = + . 3 6i C. z = − + . 3 6i D. z = − − . 3 6i

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Chọn B

Ta có: z=

(

2+i

)( )

−3i = −3 6i⇒ = + . z 3 6i

Câu 4. Tìm số phức liên hợp của số phức z=3 2 3

(

+ i

) (

−4 2i−1

)

.

A. z =10− . i B. z =10 3+ . i C. z = − . 2 i D. z =10+ . i

Lời giải
Chọn A

Ta có: z=3(2 3 ) 4(2+ i − i− = + − + =1) 6 9 i 8i 4 10 i+ ⇒ =z 10 i− .

Câu 5. Tìm số phức liên hợp của số phức z biết z=i z. + . 2

A. 1 i− . B. − + . 1 i C. − − . 1 i D. 1 i+ .

Lời giải
Chọn A

Ta có . 2 2 2 1

( )

1 2

i

z i z z i

i

= + ⇔ = = = +

− . Vậy z = − . 1 i

Câu 6. Cho các số phức z1= + , 2 3i z2 = + . Số phức liên hợp của số phức 4 5i w=2

(

z1+z2

)

là

A. w=28i. B. w= +8 10i. C. w=12 16− i. D. w=12 8+ . i

Lời giải
Chọn C

Ta có w=2 6 8

(

+ i

)

=12 16+ i⇒ =w 12 16− i.

Câu 7. Kí hiệu ,a b lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức z= − − . Tìm ,4 3i a b .

A. a= , 4 b= . 3 B. a= − , 4 b= − . 3i C. a= − , 4 b= . 3 D. a= − , 4 b= − . 3

Lời giải
Chọn D

Câu 8. Cho điểm M là điểm biểu diễn của số phức z. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z.

A. Phần thực là 3 và phần ảo là 4− . B. Phần thực là 4− và phần ảo là 3i .

C. Phần thực là 3 và phần ảo là 4i− . D. Phần thực là 4− và phần ảo là 3.

Lời giải
Chọn D

Câu 9. Cho số phức z có số phức liên hợp z = − . Tổng phần thực và phần ảo của số phức 3 2i z bằng.

A. − . 1 B. 1. C. − . 5 D. 5 .

Lời giải
Chọn D

Ta có: z= + . Vậy tổng phần thực và phần ảo của số phức 3 2i z bằng 5.

Câu 10. Cho số phức z= − . Tìm phần ảo của của số phức liên hợp 3 2i

z

.

A. − . 2i B. − . 2 C. 2 . D. 2i .

Lời giải
Chọn C

Ta có: z= + ⇒3 2i phần ảo của z là 2 .

 Mức độ 2

O x

y

−

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Câu 1. Cho số phức z thoả mãn 1
3 2

z

i
i = −

+ Số phức liên hợp z là.

A. z = +5 i. B. z = − −5 i. C. z = − −1 5i. D. z = − +1 5i.

Lời giải
Chọn A

(

3 2

)( )

1 5

z= + i − = − . i i

Số phức liên hợp z = +5 i.

Câu 2. Tìm số phức liên hợp của số phức z=

(

2+i

)(

− +1 i

)(

2i+1

)

2.

A. z = +5 15i. B. z = + . 5 5i C. z = + . 1 3i D. z = −5 15i.

Lời giải

Chọn A

(

)(

)

(2 )( 1 )(2 1) 3 3 4 5 15

z= + − +i i i+ = − +i − + i = − i⇒ = +z 5 15i.

Câu 3. Số phức liên hợp của số phức

(

)

1 3

i
z

i

−
=

− là

A. z= − +4 4i. B. z= −4 4i. C. z= − −4 4i. D. z= +4 4i.

Lời giải
Chọn A

Ta có:

(

)

1 3

i
z

i

−
=

−

(

)

(

)

( )(

)

1 3 1

1 1

i i

− +

− + = − − . Suy ra 4 4i z= − +4 4i.

Câu 4. Tìm số phức z thỏa mãn 2 1 3

1 2

i i

z

i i

+ = − +

− + .

A. 22 4

25 25i

− + . B. 22 4

25+25i. C.

22 4

25−25i. D.

22 4

25i+25.

Lời giải
Chọn C

Dùng máy tính: 22 4
25 25

z= + i. Vậy 22 4

25 25

z = − i.

Câu 5. Cho hai số phức z= +1 3i, w= −2 i. Tìm phần ảo của số phức u=z w. .

A. 5 . B. − . 7i C. − . 7 D. 5i .

Lời giải
Chọn C

1 3

z= − i; u=z.w= −

(

1 3i

)(

2− = − − . i

)

1 7i

Vậy phần ảo của số phức u bằng 7− .

Câu 6. Cho số phức z thỏa mãn

(

3 2+ i z

)

= + . Số phức liên hợp 7 5i z của số phức z là

A. 31 1

5 5

z= − i. B. 31 1

13 13

z= − i. C. 31 1

13 13

z= − + i. D. 31 1

5 5

z= − + i.

Lời giải
Chọn B

Ta có:

(

3 2+ i z

)

= +7 5i 7 5 31 1

3 2 13 13

i

z i

i
+

⇒ = = +

+ .

Vậy 31 1

13 13

z= − i.

Câu 7. Cho số phức z thỏa mãn:

( )

1+i z=14 2− . Tổng phần thực và phần ảo của i z bằng

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Lời giải
Chọn B

Ta có:

(

)

14 2 14 2 6 8 6 8

1
−

+ = − ⇔ = = − ⇒ = +

+
i

i z i z i z i

i
Vậy tổng phần thực phần ảo của z là 14.

Câu 8. Cho số phức z thỏa mãn: (3 2 )+ i z+ −(2 i)2 = + . Hiệu phần thực và phần ảo của số phức 4 i z
là:

A. 0 B. 2 C. 1 D. 3.

Lời giải
Chọn A

Ta có :

(3 2 )+ i z+ −(2 i) = +4 i ⇔ +(3 2 )i z= + −4 i

(

2−i

)

2 ⇔ +(3 2 )i z= +1 5i 1 5
3 2
i
z

i
+
⇔ =

+
1

z i

⇔ = +

⇒ phần thực của số phức z là a= , phần ảo của số phức 1 z là b= . 1
Vậy a b− = . 0

Câu 9. Cho số phức z thỏa mãn

(

4+7i z

) (

− −5 2i

)

=6iz. Tìm phần ảo của số phức z?

A. 18

17. B.

18
17

− . C. 13

− . D. 13

17.

Lời giải
Chọn C

(

) (

)

(

)

5 2

(

(

5 2

)(

)(

)

)

18 13 18 13

4 7 5 2 6 4 5 2

4 4 4 17 17 17

i i

i z i iz i z i z i

i i i

− −

+ − − = ⇔ + = − ⇔ = = = = −

+ + − .

Câu 10. Cho số phức z a bi  . Số phức z có ph2 ần ảo là?

A.2ab. B. a b2 2. C. a2b2. D. 2abi .

Lời giải
Chọn A

Ta có z2



abi



2a2 b2 2abi. Phần ảo của z là 2ab . 2

 Mức độ 3

Câu 1. Cho số phức z= +

(

1 i

)

n, biết n∈ và thỏa mãn log4

(

n− +3

)

log4

(

n+9

)

= . Tìm phần thực 3
của số phức z.

A. a= − 8. B. a= 7. C. a= 0. D. a= 8.

Lời giải
Chọn D

Đk:n>3

(

)(

)

43 2 6 91 0 7 7.

n

pt n n n n n

n

=


⇔ − + = ⇔ + − = ⇔ = − ⇒ =



(

)

1 8 8 .

z= +i = − i Phần thực của z là 8 .

Câu 2. Tổng phần thực và phần ảo của số phức z thoả mãn iz+ −

( )

1 i z = − bằng 2i

A. − . 6 B. 2 . C. − . 2 D. 6 .

Lời giải
Chọn D

Đặt z x yi= +

(

x y, ∈  . Khi đó

)

iz+ −

( )

1 i z = − ⇔2i i x

(

+yi

) ( )(

+ −1 i x−yi

)

= − 2i

(

)

2 2 0 4

2 2

x y x

x y yi i

y y

− = =

 

⇔ − − = − ⇔ ⇔

= =

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Câu 3. Cho hai số phức z1= +1 2i và z2 = − +m 3

(

m2−6

)

i,

(

m∈  . Tìm tập hợp tất cả các giá trị

)

m để z1+z2 là số thực.

A.

{ }

− . 2 B.

{ }

2 . C.

{

−2; 2

}

. D.

{

− 6; 6

}

.

Lời giải
Chọn C

Ta có:

(

)

1 2 2 4 .

z +z = − +m m − i Để z1+z2 là số thực

4 0 2

m m

⇔ − = ⇔ = hoặc m= −2.

Câu 4. Tìm phần ảo của số phức z thỏa mãn z+2z=

(

2−i

) (

3 1−i

)

.

A. 9 . B. − . 9 C. 13 . D. − . 13

Lời giải
Chọn C

Ta có z+2z=

(

2−i

) (

3 1− ⇔ +i

)

z 2z= − −9 13i.

Đặt z= +a bi a b

(

, ∈  . Khi đó

)

(

) (

)

9 13 3 9 3

13 13

a a

a bi a bi i

b b

= − = −

 

+ + − = − − ⇔ ⇔

− = − =

  .

Câu 5. Cho số phức

(

)

3 2

9 6 4 7 2

m m m m i

z

m i

− + − + +

+ . với m là tham số thực. Với giá trị nào của m
thì z là số thực.

A. m= −1, 3m= − . B. m=4, 5m= . C. m=1, 3m= . D. m=2, 4m= .

Lời giải
Chọn C

(

)

2 1 4 3

z= m+ + m − m+ i.

z là số thực khi và chỉ khi 2 4 3 0 1
3

m

m m

m

=


− + = ⇔ 

 .

Câu 6. Cho hai số phức z=

(

a−2b

) (

− a b i−

)

và w= − . Biết 1 2i z=w i. . Tính S= + . a b

A. S = . 7 B. S = − . 7 C. S = − . 4 D. S = − . 3

Lời giải
Chọn B

Ta có z=

(

a−2b

) (

− a b i−

)

= −

(

1 2 .i i

)

= + . 2 i

2 2

a b

a b

− =



⇒ − + =


a
b

= −

⇔  = −

 . Vậy S a b= + = − . 7

Câu 7. Cho số phức z a bi= + ( với a b, ∈ ) thỏa z

(

2+ = − +i

)

z 1 i

(

2z+ . Tính S a b3

)

= + .

A. S = . 7 B. S = − . 5 C. S = − . 1 D. S = . 1

Lời giải
Chọn C

(

)

(

2 3

)

(

)

1 3

(

1 2

)

(

1 2

) (

)

(

1 2

)

z + = − +i z i z+ ⇔ z + + − =i i z + i ⇔ + z + z − i=z + i

Suy ra:

(

1 2+ z

) (

2+ z −3

)

2 =5 z2 ⇔ z = 5

Khi đó, ta có: 5 2

(

)

(

2 3

)

(

1 2

)

11 2 11 2 3 4
1 2

i

i z i z z i i z i

i
+

+ = − + + ⇔ + = + ⇔ = = −

+
Vậy S= + = − = − . a b 3 4 1

Câu 8. Cho số phức

z

bất kỳ, xét các số phức α =z2+

( )

z 2,β =z z. +i z

(

−z

)

. Khẳng định nào sau
đây đúng?

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

C.

α

là số ảo, β là số thực. D. α β là các số ảo. ,

Lời giải
Chọn A

Đặt z= +a bi, ,

(

a b∈  .

)

Ta có: α =z2+

( )

z 2 =a2− +b2 2abi+a2 − −b2 2abi=2

(

a2−b2

)

(

)

2 2 2 2

. .2 2

z z i z z a b i bi a b b

β = + − = + + = + − .

Vậy: α β là các số thực. ,

Câu 9. Cho số phức z thỏa mãn .z z− =z 2 và z =2. Số phức 2

= − −

w z z i bằng:

A. z = −2 3i . B. z= −6 3i . C. z= − −1 2i . D. z= − −1 4i .

Lời giải
Chọn A

Gọi = +z x yi với x, y∈ .
Ta có z = ⇔2 x2 +y2 =4

( )

1 .

Mà .z z− =z 2 ⇔ z z.

( )

− =1 2 ⇔ − =z 1 1

(

)

2 2 2 2

( )

1 1 2 0 2

⇔ x− +y = ⇔x +y − x= .

Từ

( )

1 và

( )

2 ta có hệ phương trình

2 2
2 2

4 2

2 0

 + =  =

 ⇔

  =

+ − =

 



x y x

y

x y x

Với 2 2

0
=


⇒ =
 =



x

z

y nên

3 2 3

= − − = −

w z z i i.

Câu 10. Cho số phức z thỏa mãn

( )

1−i z+4z = − . Khi đó, mơđun của 7 7i z bằng bao nhiêu?

A. z = 5. B. z = . 3 C. z = . 5 D. z = 3.

Lời giải

Chọn A

Giả sử z= +a bi a b

(

, ∈  .

)

( )

1−i z+4z = −7 7i ⇔ −

( )(

1 i a bi+

) (

+4 a bi−

)

= − . 7 7i

4 4 7 7

a bi ai b a bi i

⇔ + − + + − = − 5 7 1

3 7 2

a b a

a b b

+ = =

 

⇔ ⇔

− − = − =

  ⇒ = + . z 1 2i

Vậy z = 5.

Câu 11. Cho số phức z a bi= +

(

a b, ∈ 

)

thoả mãn

(

3−i z

)

=1+i 7 + −5 i

z . Tính P= + a b.

A. P= −2. B. P=2. C. P= −1. D. P=1.

Lời giải
Chọn D

Ta có

(

3−i z

)

=1+i 7 + −5 i

z ⇔

(

)

(

)

1 7

3− = + + −5

i z

i z i

z

⇔

(

3 5

) (

)

(

1 27

)

− + − = i z

z z i

z

⇔

(

) (

)

2 2

8
3z −5 + −1 z = z

z

⇔ 4 3 2

10 z −32 z +26 z − =8 0⇔

(

z −2 5

)

(

z3−6 z2+ +z 2

)

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Với z =2 thay vào biểu thức

(

3−i z

)

=1+i 7 + −5 i

z ta được

1 7

1− =i +i

z ⇔
1 7
1
+
=
−
i
z
i ⇔

1 7 1 7

2 2
− +
= +
z i
1 7
2
1 7
2
 −
=

⇒ 
+
 =

a
b

Vậy a b+ =1.

Câu 12. Cho số phức z thỏa mãn z− = +4

( )

1 i z − +

(

4 3z i

)

. Môđun của số phức z bằng

A. 4 B. 2 C. 1 D. 16

Lời giải
Chọn B

Giả sử z= +a bi a b

(

, ∈  .

)

Ta có: z− = +4

( )

1 i z − +

(

4 3z i

)

⇔z

(

1 3+ i

)

− + = +4 4i

( )

1 i z

(

)(

)

( )

2 2

1 3 4 4 1

a bi i i i a b

⇔ + + − + = + +

(

)

2 2 2 2

3 4 3 4

a b a b i a b a b i

⇔ − − + + + = + + +

2 2

3 4

a b a b

a b a b

 − − = +

⇔ 
+ + = +

2 2
3 4
2 4

a b a b

a b
 − − = +
⇔ 
= − −

2

5 8 5 16 16

2 4

b b b

a b
− − = + +
⇔ 
= − −

2

5 8 0

20 64 48 0

2 4
b
b b
a b
− − ≥


⇔ + + =
 = − −


( )

8
5
2

6
5
2 4
b
b N
b L
a b
 ≤ −


= −



⇔  = −

= − −


2
0
b
a
= −

⇔  =
 .

Vậy z = . 2

 Mức độ 4

Câu 1. Cho a là số thực, phương trình z2+

(

a−2

)

z+2a− = có 3 0 2 nghiệm z , 1 z . G2 ọi M, N là

điểm biểu diễn của z , 1 z trên m2 ặt phẳng tọa độ. Biết tam giác OMN có một góc bằng 120° ,

tính tổng các giá trị của a .

A. − . 6 B. 6 . C. −4. D. 4.

Lời giải
Chọn B

Vì O , M, N không thẳng hàng nên z , 1 z 2 không đồng thời là số thực, cũng không đồng thời

là số thuần ảo ⇒ z , 1 z là hai nghi2 ệm phức, khơng phải số thực của phương trình

(

)

2 2 3 0

z + a− z+ a− = . Do đó, ta phải có: 2

12 16 0

a a

∆ = − + < ⇔ ∈ −a

(

6 2 5; 6 2 5+

)

Khi đó, ta có:

2
1

2 12 16

2 2

2 12 16

2 2

a a a

z i

a a a

z i
 − − + −
= −



− − + −
 = +


.

1 2 2 3

OM ON z z a

⇒ = = = = − và 2

1 2 12 16

MN = z −z = − +a a− .

Tam giác OMN cân nên MON =120°

2 2 2

cos120

2 .

OM ON MN

OM ON

+ −

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

(

)

8 10 1

2 2 3 2

a a

a

− +

⇔ = −

−

6 7 0

a a

⇔ − + = a= ±3 2 (thỏa mãn).

Câu 2. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z− +3 4i ≤ Trong mặt phẳng 2. Oxy tập hợp điểm biểu
diễn số phức w=2z+ −1 i là hình trịn có diện tích

A. S =9π . B. S =12π . C. S =16π . D. S =25π .

Lời giải
Chọn C

2 1

w i

w= z+ − ⇒ =i z − +

( )

3 4 2 3 4 2 1 6 8 4 7 9 4 1

w i

z− + i ≤ ⇔ − + − + i ≤ ⇔ w− + − +i i ≤ ⇔ w− + i ≤

Giả sử w= +x yi

(

x y, ∈  , khi đó

)

( ) (

1 ⇔ x−7

) (

2+ y+9

)

2 ≤16

Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức w là hình trịn tâm I

(

7; 9− , bán kính

)

r=4.
Vậy diện tích cần tìm là S =π.42 =16 .π

Câu 3. Cho số phức z thỏa mãn z− = . Biết tập hợp các điểm biểu diễn số phức w xác định bởi 1 5

(

2 3

)

3 4

w= + i z+ + là mi ột đường trịn bán kính R. Tính R.

A. R=5 10 B. R=5 5 C. R=5 13 D. R=5 17

Lời giải
Chọn C

Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z− = là đường tròn 1 5

( )

C tâm I

( )

1; 0 và bán
kính R= . Ta có 5

( )

C nhận trục hoành là trục đối xứng nên tọa độ điểm biểu diễn z cũng nằm
trên đường tròn này hay z− = . 1 5

Ta có

(

2 3

)

3 4

w= + i z+ + i ⇔ =w

(

2 3+ i

)

( )

z− + +1

(

2 3i

)

+ +3 4i ⇔ − +w

(

5 7i

) (

= 2 3+ i

)

( )

z−1

(

5 7

) (

2 3

)

( )

w i i z

⇔ − + = + − ⇔ w− +

(

5 7i

)

=5 13.

Câu 4. Cho số phức thỏa mãn . Biết tập hợp các điểm biểu diễn số
phức là đường trịn tâm và bán kính . Giá trị của bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Giả sử và .

Theo giả thiết: .

z

(

z− +2 i

)

(

z− − =2 i

)

25 M

2 2 3

w= z− + i I a b

( )

; c a b c+ +

10 18 17 20

z= +a bi

(

a b; ∈ 

)

w= +x yi

(

x y; ∈ 

)

(

z− +2 i

)

(

z− − =2 i

)

25⇔a− + +2

(

b 1

)

i  a− − +2

(

b 1

)

i=25

(

) (

)

2 1 25

a b

⇔ − + + =

( )

(

)

(

)

2 2 3 2 2 3 2 2 3 2

w= z− + ⇔ +i x yi= a bi− − + ⇔ +i x yi= a− + − b i

2 2 2

3 2 3

x
a

x a

y b y

b

+
 =


= −

 

⇒ ⇔

= − −

  =



</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Thay vào ta được: .

Suy ra, tập hợp điểm biểu diễn của số phức là đường tròn tâm và bán kính .

Vậy .

Câu 5. Gọi là điểm biểu diễn của số phức thỏa mãn . Tìm tất cả các số thực
sao cho tập hợp các điểm là đường tròn tiếp xúc với trục .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải
Chọn B

Đặt . Khi đó.

Do đó tập hợp các điểm biểu diễn của số phức là đường trịn tâm và bán

kính . Để đường tròn này tiếp xúc với trục thì .

Vậy .

Câu 6. Trong các số phức thỏa mãn . Số phức có mơđun nhỏ nhất là

A. B. C. D.

Lời giải
Chọn D

Đặt . Khi đó

(1)

Mà . Mà

(Theo (1))

Đẳng thức xảy ra (2)

Từ (1) và (2) .

Câu 7. Cho số phức thỏa mãn . Tìm mơ đun nhỏ nhất của số phức .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

( )

(

) (

)

2 2

2 3

2 1 25 2 5 100

2 2

x y

+ −

 −  + +  = ⇔ − + − =

   

   

w I

( )

2;5 R=10

a b c+ + =

M z z+ − +m 1 3i =4

m M Oy

5; 3

m= − m= m=5;m= −3 m= −3 m=5

(

)

, ,

z= +x yi x y∈

1 3 4 1 3 4

+ − + = ⇔ + + − + =

z m i x yi m i

(

)

(

)

(

)

2

(

)

1 3 4 1 3 4

⇔ x+ − +m y+ i = ⇔ x+ −m + y+ =

(

)

2

(

)

1 3 16

⇔ x+ −m + y+ =

M z I

(

1−m;− 3

)

R= Oy 1 4 1 4 3

1 4 5

m m

m

m m

− = = −

 

− = ⇔ ⇔

− = − =

 

5; 3

m= m= −

z z− −2 4i = −z 2i z
3 2

z= + i z= − +1 i z= − +2 2i z= +2 2i

z= +a bi z− −2 4i = −z 2i

⇔

(

a− + −2

) (

b 4

)

i = + −a

(

b 2

)

i

⇔

(

) (

)

2 2

(

)

2 4 2

a− + −b =a + −b
⇔ a b+ =4

2 2

z = a +b

(

2 2

)(

2 2

)

(

)

1 1

BCS

a +b + ≥ a b+

⇔

(

)

2
2 2

8
2

a b
a +b ≥ + =

⇔ 2 2

2 2

a +b ≥

⇔ z ≥2 2 ⇒ min z =2 2

⇔

1 1

a b
=

⇒ 2

a
b


 =

 ⇒ z= +2 2i

z z− = −1 z i w=2z+ −2 i

3 2
2

2 3 2

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Chọn A

Giả sử . Khi đó .

Khi đó .

Vậy mô đun nhỏ nhất của số phức là .

Câu 8. Cho các số phức thoả mãn . Đặt . Tìm giá trị nhỏ nhất của .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải
Chọn D

Gọi số phức với , . Ta có .

Mà số phức

Giả sử số phức . Khi đó .

Ta có:

(theo ).

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức là đường trịn tâm , bán kính .
Điểm là điểm biểu diễn của số phức thì đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi nhỏ
nhất.

Ta có , .

Mặt khác .

Do vậy nhỏ nhất bằng .

Câu 9. Cho số phức thỏa mãn , số phức thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ
nhất của .

A. B. C. D.

Lời giải
Chọn D

Gọi biểu diễn số phức thì thuộc đường trịn có tâm , bán

kính .

biểu diễn số phức thì thuộc đường trịn có tâm , bán

kính . Giá trị nhỏ nhất của chính là giá trị nhỏ nhất của đoạn .

Ta có và ở ngoài nhau.

= + ⇒ = −

z a bi z a bi z− = −1 z i ⇔ − +a 1 bi = +a

(

b−1

)

i

(

)

2 2 2

(

)

1 1

⇔ a− +b =a + b− ⇔ − =a b 0

w =2z+ −2 i =2

(

a+ai

)

+ − =2 i

(

2a+2

) (

+i a−1

)

(

) (

)

w 2 2 2 1

⇒ = a+ + a− 2 3 2

8 4 5

= a + a+ ≥

w 3 2

z z =2 w= +

(

1 2i z

)

− +1 2i w

2 3 5 2 5 5

= +

z a bi a b∈  z = ⇔2 a2+b2 =2 2 2

⇔a +b =

( )

(

1 2

)

1 2

= + − +

w i z i

(

1 2

)(

)

1 2

⇔ = +w i a bi+ − + i ⇔ =w

(

a−2b− +1

) (

2a b+ +2

)

i

= +

w x yi

(

x y, ∈ 

)

2 1 1 2

2 2 2 2

= − − + = −

 ⇔

 = + +  − = +

 

x a b x a b

y a b y a b

(

) (

)

1 2 2 2

+ + − = − + +

x y a b a b

(

) (

)

2 2 2 2 2

1 2 4 4 4 4

⇔ x+ + y− =a + b − ab+ a +b + ab

(

) (

)

(

2 2

)

1 2 5

⇔ x+ + y− = a +b ⇔

(

x+1

) (

2+ y−2

)

2 =20

( )

w I

(

−1; 2

)

R= 20=2 5

M w w OM

( )

2 2

1 2 5

= − + =

OI IM = =R 2 5

≥ −

OM OI IM ⇔OM ≥ 5−2 5 ⇔OM ≥ 5

w 5

z z− − =1 i 1 w w− −2 3i =2

z−w

17+3 13+3 13−3 17−3

( )

;

M x y z= +x iy M

( )

C1 I1

( )

1;1

1 1

R =

(

;

)

N x y′ ′ w= +x′ iy′ N

( )

C2 I2

(

2; 3−

)

2 2

R = z−w MN

(

)

1 2 1; 4

I I = −



1 2 17

I I

⇒ = >R1+R2 ⇒

( )

C1

( )

C2

MN

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Câu 10. Cho số phức thoả mãn . Gọi và là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của biểu thức . Tính môđun của số phức

A. . B. . C. . D. .

Lời giải
Chọn C

Đặt . Ta có .

Mặt khác .

Đặt ,

Suy ra .

Ta có .

Do đó , .

z z− −3 4i = 5 M m

2 2

P= +z − −z i w=M +mi.

2 309

w = w = 2315 w = 1258 w =3 137

z = +x yi P=

(

x+2

)

2 +y2 −x2 +

(

y−1

)

2=4x+2y+3

(

) (

)

3 4 5 3 4 5

z− − i = ⇔ x− + y− =

3 5 sin

x= + t y= +4 5 cost

4 5 sin 2 5 cos 23

P= t+ t+

10 4 5 sint 2 5 cost 10

− ≤ + ≤

</div>

Chuyên đề xác định số phức liên hợp luyện thi THPT Quốc Gia

<b>Tailieumontoan.com </b>

<b> </b>

<b>Sưu tầm</b>

<b>CHUYÊN ĐỀ </b>

<b>XÁC ĐỊNH SỐ PHỨC LIÊN HỢP </b>

<b>I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ </b>

{

}

( )

(

)

(

)(

) (

) (

)

<b>II. CÁC D</b>

<b>ẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ </b>

(

)( )

(

)( )

(

) (

)

( )

(

)

(

)

<i>z</i>

(

)( )

(

)(

)(

)

(

)(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

( )(

)

(

)(

)

(

)

(

)

( )

(

)

(

)

(

) (

)

(

) (

)

(

)

(

<sub>(</sub>

<sub>)(</sub>

)(

<sub>)</sub>

)





(