chuyen de he thuc luong trong tam giac vuong

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
A. KIẾN THỨC:
I. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG:
1. Một số hệ thức:
1) c2 = ac’, b2 = ab’

A

2) h2 = b,c,
3) ah = bc
4)

b

c
B

1 1 1
 
h2 b2 c2

H

c,

C

a
b,

5) a2 = b2 + c2

-Với tam giác đều cạnh là a, ta có: h 

a 3
;
2

S

a2 3
4

2. Ví dụ:
VD1.Cho tam giác ABC có AB>AC, kẻ trung tuyến AM và đường cao AH. Chứng
minh:
BC2
a) AB  AC  2AM 
2
b) AB2  AC 2  2BC.MH
2

2

2

VD2.Cho hình thang ABCD (AB//CD có AB = 3cm; CD = 14cm; AC = 15cm; BD =
8cm.
a) Chứng minh AC vng góc với BD.
b) Tính diện tích hình thang.
VD3.Tính diện tích hình bình hành ABCD biết AD = 12; DC = 15; �ADC=700
3. bài tập cơ bản:

1.Cho tam giác ABC vuông cân tại A, trung tuyến BD. Gọi I là hình chiếu của C trên
BD, H là hình chiếu của I trên AC.
Chứng minh: AH = 3HI.
2.Qua đỉnh A của hình vng ABCD cạnh bằng a, vẽ một đường thẳng cắt BC ở E và cắt
đường thẳng DC ở F.


Chứng minh:

1
1
1


AE 2 AF2 a 2

II. TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GĨC NHỌN:
1. Định nghĩa:
2. Tính chất:
- Một số hệ thức lượng giác cơ bản:
sin 2   cos 2  1;

tg.cot g  1;

tg 

sin 
;
cos

cot g 

cos
sin

- Chú ý:
+) 0  sin   1;

0  cos<1;

+) Khi góc  tăng từ 0o đến 90o thì sin  và tg  tăng còn cos  và cotg  giảm.
+) Nếu hai góc phụ nhau thì sin của góc này bằng cos của góc kia, tg của góc này bằng
cotg của góc kia và ngược lại.
sin   cos;

cos  sin;

tg  cotg;

cot g  tg

+) Tỉ số lượng giác của 3 góc đặc biệt.
3. Bài tập:
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 4cm; BC = 6 cm. Tính các TSLG của góc
B và góc C.
Nhận xét: Tam giác vuông khi biết độ dài 2 cạnh ta thường dùng định lí Py-ta-go tính
cạnh cịn lại. Sau đó dùng định nghĩa TSLG để tính các TSLG của góc nhọn.
Bài 2: Chứng minh rằng sin  < tg  ; và cos  < cotg  .
HD: Xét tam giác ABC vuông tại A, B =  .
sinB =

AC
AC
; tgB =
BC
AB

Vì BC > AC nên

AC AC
<
Suy ra sin  < tg  ;
BC AB

Chứng minh tương tụ ta được cos  < cotg  .
Bài 3: Không dùng MTBT hoặc bảng số, hãy sắp xếp cã TSLG sau theo thứ tự tăng dần.
Cotg40o, sin50o, tan70o, cos55o.
HD: Theo định lí về TSLG của hai góc phụ nhau, ta có:
cos55o= sin35o; Cotg40o = tg50o.


Vì sin35o< sin50o< tg50o < tg70o.
Nên cos55o< sin50o< Cotg40o< tg70o
NX: Nhờ có tính chất sin  < tg  mà ta có thể so sánh được các TSLG.
Bài 4: Khơng dùng MTBT hoặc bảng số, tính nhanh gí trị các biểu thức sau:
a) M = sin210o + sin220o + sin245o + sin270o + sin280o .
b) N = tg35o. tg40o.tg45o.tg50o. tg55o.
Bài 5:
a) Biết sin  =

5
, hãy tính cos  , tg  , cotg  .
13

b) Biết tg  =

12
, hãy tính sin  , cos  , cotg  .
35

Bài 6: Cho biểu thức
A

1  2sin cos
với  �45o.
sin 2   cos 2 

a) Chứng minh rằng A 

sin   cos
sin   cos
1
3

b) Tính giá trị của A biết tg  .
HD:
a) A 

sin 2   2sin cos  cos 2 
(sin   cos)(sin   cos)

b) A 

sin   cos
chia cả tử và mẫu cho cos  .
sin   cos

NX. Nếu chi tg thì chia cả tử và mẫu cho sin.
Bài 7. Tìm x biết tgx + cotgx = 2.
HD.
Tìm 1 tỉ số lượng giác của góc đó.
sinx = cosx . Suy ra tgx = 1 = tg45o.


Vậy x = 45o.
4. Bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 20; AC = 21. Tính các TSLG của góc B và
góc C.
Bài 2:
3
4

a) Biết cos  = , hãy tính sin  , tg  , cotg  .
b) Biết cotg  =

8
, hãy tính sin  , cos  , tg  .
15

Bài 3: Khơng dùng MTBT hoặc bảng số, tính nhanh gí trị các biểu thức sau:

a) M = sin242o + sin243o + sin244o + sin245o + sin246o + sin247o+ sin248o.
b) N = cos215o- cos225o+ cos235o - cos245o + cos255o - cos265o + cos275o.
Bài 4. Sắp xếp các TSLG sau theo thứ tự tăng dần:
Sin49o, cotg15o, tg65o, cos50o, cotg41o.
Bài 5. Chứng minh rằng giá trị của các biểu thức sau khơng phụ thuộc vào giá trị của
góc nhọn  .
a) (cos  - sin  )2 + (cos  + sin  )2.
b)

(cos  sin ) 2  (cos  sin ) 2
cos.sin 

Bài 6: Cho tam giác nhọn ABC. Gọi a, b, c là lượt là độ dài các cạnh BC, CA, và AB.
a) Chứng minh răng:

a
b
c


sin A sin B sin C

b) Có thể xảy ra đẳng thức sinA = sinB – sinC không ?
III. HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GĨC TRONG TAM GIÁC VNG:
1. Trong tam giác vng mỗi cạnh góc vng bằng:
a) Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với cos của góc kề.
b) Cạnh góc vng kia nhân với tg góc đối hoặc nhân với cotg góc kề.
b  a sin B  acosC  ctgB  ccot gC
c  acosB  asinC  bctgB  btgC
2. Bài tập:

�D
�  90o , C
�  50o. Biết AB = 2; CD = 1,2. Tính diện
Bài 1: Cho hình thang ABCD có A

tích hình thang.

A

B

2

HD. Vẽ BH  CD thì BH = AD = 1,2; DH = AB =
2.

1,2

Xét tam giác HBC vng tại H, ta có:

50

D

H

HC = HB.cotgC �1

C

CD =CH + HD �3.
Diện tích hình thang ABCD là:
S

(AB  CD).AD
 3 (đvdt)
2

Nhận xét: Vẽ BH  CD.
Bài 2: Tam giác ABC có AB = 4; AC = 3,5. Tính diện tích tam giác ABC trong hai
trường hợp:
�  40o
a) A
�  140o
b) A

HD. Tính đường cao CH. Tính diện tích tam giác.
Nhận xét: Một cách tổng quát ta chứng minh được rằng: Diện tích tam giác bằng nửa
tích hai cạnh nhân với sin của góc nhọn tạo bởi các đường thẳng chứa hai cạnh ấy.
1
1
1
S  a.b.sin C  b.c.sin A  c.a.sin B
2
2
2

Bài 3: Cho tam giác ABC với đường phân giác trong của góc BAC là AD. Biết AB = 6,

�  68o , tính độ dài AD.
AC = 9 và A

Giải.
Gọi diện tích các tam giác ABD, ADC và ABC là lượt là S1, S2, S. Ta có:
1
AB.AD.sin A1
2
1
S2  AD.AC.sin A 2
2
S1 

S

A
1

2
9

6

1
AB.AC.sin A
2
B

C
D

Vì: S = S1 + S2 Nên
1
1
1
AB.AD.sin A1  AD.AC.sin A 2  AB.AC.sin A
2
2
2
� AB.AD.sin A1  AD.AC.sin A 2  AB.AC.sin A
AB.AC.sin A
6.9.sin 68o
� AD 

�6
AB.sin A1  AC.sin A 2 6.sin 34o  9sin 34o

Bài 4. Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, biết HB = 9; HC = 16. Tính góc B và
góc C.
� �53o 7
KQ: B

Bài 5: Giải tam giác ABC vuông tại A biết:
a) a = 18; b = 8.
b) b = 20; C�  38o .
�  65o , đường cao CH = 3,6. Hãy giải tam giác ABC.
Bài 6: Tam giác ABC cân tại A, B

4. Bài tập tự luyện:

Bài 1: Tam giác ABC vuông tại A, AB = 17cm; C�  62o . Tính độ dài đường trung tuyến
AM.
�  127 o . Tính diện tích
Bài 2: Cho hình thang cân ABCD (AB//CD), AB = 2, CD = 5 và A

hình thang.
�  64o . Tính diện tích hình
Bài 3: Hình bình hành ABCD có AD = 4,3; CD = 7,5 và D

bình hành.
Bài 4: Độ dài hai đường chéo của một tứ giác là 9 và 13. Góc nhọn giữa hai đường chéo
là 48o. Tính diện tích tứ giác.
Bài 5: Giải tam giác ABC vuông tại A biết:
�  42o .
a) a = 12; B

b) b = 13; c = 20.


Bài 6: Giải tam giác ABC biết:
�  70o ; B
�  50o
AB = 6,8; A

Bài 7: Giải tam giác ABC biết:
�  66o
AB= 4,7; BC = 7,2; A

B. BÀI TẬP:
C. BÀI TẬP BỔ XUNG:

Bài 1
Cho tam giác ABC, đường thẳng d// BC cắt AB tại M, cắt AC tại N. Gọi I, J lần
lượt là trung điểm của MN và BC.
a/ Chứng minh rằng: A, I, J thẳng hàng.
b/ Gọi P, Q, H lần lượt là hình chiếu của M, N, A lên BC, O = MP  NQ, R là
trung điểm của AH. Chứng minh rằng: J, O, R thẳng hàng.
Giải
a/ áp dụng định lý Talét cho tam giác ABC ta có:

A

MN AN
MN / 2 AN
IN AN

�

�


BC AC
BC / 2 AC
JC AC

R

M

I

A, I, J thẳng hàng.

N

O

b/ Gọi S là trung điểm của PQ  I, O, S thẳng hàng

B

H

P

S

Q

J

C

và O là trung điểm của IS, AH // IS  theo câu a thì ta có J, O, R thẳng hàng.
Bài 2
Cho tam giác ABC vuông tại A, phân giác trong AD, phân giác ngoài AE. Cho
biết AB < AC. Chứng minh các hệ thức sau:
a/

1
1

2


AB AC AD

b/

1
1
2


AB AC AE

Giải
Vẽ DH  AB, DK  AC  DH = DK =
a/ áp dụng định lý Talét cho ABC ta có:
DK CD 1
AD
1
1
1

 �
 �

AB CB 2
AB
2AB 2
2AD

AD

A

2

K
H

E

B

D

C


HD CD 1
AD
1
1
1
1
1
2
2

 �

 �





.
AC CB 2
2
AC
2AC
2AD
AB AC
2AD AD

Cách khác:
Chú ý: SABC =

1
AB.ADsin(AB;AC)
2

1
1
1
AB.AC = SABD + SACD = AB.ADsin450 + AC.ADsin450 
2
2
2

a/ Ta có: SABC =
AB.AC =

2
AB.AC
2AD
AB  AC
2
1
1
2
(AB+AC)AD 

�

��


2
AB  AC
2
AB.AC AD
AB AC AD

b/ Ta có: SABC =

AB.AC =
�

AE

2

1
1
1
AB.AC = SAEC - SABE = AE.ACsin1350 - AB.AEsin450  
2
2
2

(AC - AB) 

AB.AC AE
AC  AB
2

�

�
AC  AB
AB.AC AE
2

1
1
2


.
AB AC AE

Bài 3
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, trung tuyến AM. Chứng minh
các hệ thức sau:
2

MH
�BM �
 2� � 1
a/
BH
�AB �

b/ AB2  AC2  2AM 2 

BC2
2

Giải
A

a/ Do tam giác ABC vuông tại A nên ta có:
BH 

AB2 AB2

BC 2BM

MH  MB  BH  BM 

B

H

M

C

AB2 2BM 2  AB2

2BM
2BM
2

MH 2BM 2  AB2 2BM 2BM 2  AB2
�BM �

.

 2� � 1.

2
2
BH
2BM
AB
AB
�AB �

b/ Ta có: AB2 = AH2 + HB2, AC2 = AH2 + HC2

 AB2+ AC2 = 2AH2+ HB2+ HC2 = 2AH2+ (BM - HM)2+ (MC + HM)2 = 2AH2 + BM2+
MC2+2HM2- 2BM.HM + 2MC.HM = 2(AH2+ HM2) + (BC/2)2+ (BC/2)2 = 2AM2 +
BC2/2.


Bài 4
Cho tam giác đều ABC, O là trung điểm của BC, một góc xOy = 60 0 có cạnh
Ox, Oy luôn cắt AB, AC tại M và N.
a/ Chứng minh rằng OB2 = BM.CN
b/ Chứng minh rằng tia MO, NO ln là phân giác của góc BMN và CMN
c/ Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn tiếp xúc với một đường trịn cố định
khi góc xOy quay quanh O nhưng hai cạnh Ox, Oy vẫn cắt hai cạnh AB và AC
của tam giác ABC.
Giải

A

a/ Ta có: B = C = 600
O1 + O2 = 1200; O1 + M1 = 1200

M

N

H

 M1= O2  N1 = O1  BOM  CNO 

B

C

O

BO/CN = BM/CO  BO.CO = BM.CN  BO = BM.CN
2

b/ Từ (a) ta có:

OM BM
OM ON
OM ON

�

�

NO CO
BM CO
BM OB

Mặt khác: MBO = MON = 600  BOM  ONM  M1 = M2  OM là tia
phân giác của BMN .
c/ Do O là giao điểm của hai tia phân giác của BMN và MNC  O cách đều AB,
MN và AC.
Gọi H là hình chiếu của O lên AB  OH = OB.sinB =
với đường tròn cố định có tâm O bán kính

a 3 a 3
.


 MN luôn tiếp xúc
2 2
4

a 3
.
4

Bài 5
Cho tam giác đều ABC, trên các cạnh BC, AB, AC lấy ba điểm bất kỳ O, M, N
sao cho O khác B, C và MON = 600.
Chứng minh rằng: BM.CN  BC2/4. Dấu bằng xảy ra khi nào?
Giải

A

Ta có: BOM =1800 - B - BMO = 1200 - BMO

N

Mà: BOM = 180 - MON - CON = 120 - CON
0

0

M

B

O

C


 BMO =  CON  BOM  CNO 
2

2
�BO  CO � BC
BM/CO = BO/CN  BM.CN = BO.CO  �
� 4
� 2
�

Bài 6
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, K là
BC2
.
4

chân đường cao vẽ từ A của ABC. Chứng minh rằng: KH.KA �
Giải
Xét AKB và CKH có: AKB = CKH = 900
BAK = HCK (hai góc nhọn cạnh tương ứng vng góc)
A

 AKB  CKH 

KA KC



KB KH
2

2
�KB  KC � BC
 KA.KH  KB.KC ��
� 4
� 2
�

H
B

BC
4

 KH.KA �

C

K

2

Bài 7
Cho tam giác ABC vuông tại A. Chứng minh rằng: tg

�ABC

AC

2
AB  BC

Giải
a/ Xét ABD có A = 900  tg�ABD 

AD
�ABC AD
� tg

AB
2
AB

Vẽ đường phân giác BD ta có:

A

DA BA
DA DC DA  DC
AC

�



DC BC
BA BC AB  BC AB  BC

 tg

O
B

�ABC
AC

.
2
AB  BC

D

E

C

Bài 8
Cho hình thoi ABCD. Gọi R 1, R2 lần lượt là bán kính các đường trịn ngoại tiếp
ABD và ABC. Gọi a là độ dài cạnh hình thoi.
1

1

4

a/ Chứng minh rằng: R2  R2  a2 .
1

2


b/ Tính diện tích hình thoi theo R1 và R2.
Giải
a/ Giả sử trung trực cạnh AB cắt AC tại O 1 và cắt BD tại O2  O1 và O2 là tâm các
đường tròn ngoại tiếp ABD và ABC  O1A = R1 và O2B = R2.
O1AK  ABO 
O2BK  ABO 

O1A AK
R
a

� 1
AB AO
a 2AO
O2A BK
R
a

� 2
AB BO
a 2BO

(1)

A
K
B

(2)

a
O
O2

D

O1
C

a4
a4
2
Từ (1) và (2)  4AO  2 , 4BO  2
R1
R2
2

�1
�R1

2
2
4
 4 AO  BO   a � 2 

�1
1�

1� 1
1
4
� 4a2  a4 � 2  2 �� 2  2  2 .
2�
R2 �
�R1 R2 � R1 R2 a

b/ Ta có: SABCD = 2OA.OB
AOB  AKO2 

OA AB
AB2

� OA 
AK AO2
2R 2

OB AB
AB2
AB4

�
OB

OA.OB

AOB  O1KB 

KB O1B

2R1
4R1R2

AB4 AB4
1 �
4�1
Xét AOB ta có: AB = OA + OB � AB  2  2  AB � 2  2 �
4R2 4R1
�4R1 4R2 �
2

� 1  AB2

2

2

2

(R12  R22 )
4R12R 22
2
�
AB

.
4R12R22
R12  R22

Vậy: OA.OB 

16R4R 4
8R3R3
1
. 2 1 22 2 � SABCD  2 1 22 2 .
4R1R2 (R1  R2 )
(R1  R2 )

Bài 9
Chứng minh rằng trong một tam giác bất kỳ ta có:

b c a
b c
 ma 
2
2

Giải
A

Xét ABC có: AM > AB - BM
Xét ACM có: AM > AC - MC
Cộng từng vế ta có: 2AM > AB + AC - BC  ma 

B

b c a
.
2

Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MA = MD  AB = CD

M

C

D


Xét ACD có: AD < AC + CD = AC + AB  2AM < AC + AB  ma 

b c
.
2

Bài 10
CMR trong tứ giác lồi ABCD ta có bất đẳng thức: AB + CD < AC + BD
Giải
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo  ta có:
AC + BD = (AO + OC) + (BO + OD) =

B

A

= (OA + OB) + (OC + OD) AC + BD > AB + CD.

O

C

D

BTVN
Bài 1
Cho tam giác ABC, kẻ đường cao AH, gọi C 1 là điểm đối xứng của H qua AB, B 1 là
điểm đối xứng của H qua AC. Gọi giao điểm của B 1C1 với AC và AB là I và K. Chứng
minh rằng đường BI, CK là đường cao của tam giác ABC.
Bài 2
Cho tam giác ABC cân tại A và H là trung điểm của cạnh BC. Gọi I là hình chiếu vng
góc của H lên cạnh AC và O là trung điểm của HI. Chứng minh rằng hai tam giác BIC
và AOH đồng dạng với nhau và AO vng góc với BI.