Bài giảng Toán cao cấp cho các nhà kinh tế 2: Bài 6 - ThS. Đoàn Trọng Tuyến

BÀI 6
NGUN HÀM
VÀ TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH

ThS. Đồn Trọng Tuyến
Trường Đại học Kinh tế Quốc dân

v1.0014105206

1


TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG
Giả sử chi phí cận biên (MC) ở mỗi mức sản lượng Q là:
MC = 25 – 30Q + 9Q2
và chi phí cố định FC = 55

Hãy xác định hàm tổng chi phí.

v1.0014105206

2


MỤC TIÊU
•

Nắm vững được định nghĩa tích phân bất định và các tính chất cơ bản;

•

Hiểu, nhớ và áp dụng được tích phân các hàm cơ bản;

•

Nắm được 4 phương pháp tính tích phân;

•

Nhớ các dạng tích phân cơ bản.

v1.0014105206

3


NỘI DUNG
Ngun hàm của hàm số

Tích phân bất định

Các cơng thức tích phân cơ bản

Các phương pháp tính tích phân

v1.0014105206

4


1. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ

1.1. Khái niệm nguyên hàm
1.2. Biểu thức nguyên hàm tổng quát

v1.0014105206

5


1.1. KHÁI NIỆM NGUYÊN HÀM
Định nghĩa: Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên một khoảng
X nếu
F’(x) = f(x), x  X.
Ví dụ: Hàm số x2 là một nguyên hàm của của hàm số 2x trên R vì
(x2)’ = 2x
Hàm số sin x là một nguyên hàm của của hàm số cos x trên R vì
(sin x)’ = cos x

v1.0014105206

6


1.2. BIỂU THỨC NGUYÊN HÀM TỔNG QUÁT
Định lý: Nếu F(x) là một ngun hàm của f(x) trên khoảng X thì
•

Hàm số F(x) + C, với C là một hằng số bất kỳ, cũng là một nguyên hàm của f(x) trên X.

•

Ngược lại, mọi nguyên hàm của f(x) trên khoảng X đều biểu diễn được dưới dạng:
F(x) + C, với C là một hằng số.

Biểu thức F(x) + C được gọi là biểu thức nguyên hàm tổng quát của f(x) trên X.
Ví dụ: Vì một ngun hàm của hàm số 2x là hàm x2 nên mọi nguyên hàm của hàm số 2x có
dạng F(x) = x2 + C.

v1.0014105206

7


2. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
2.1. Định nghĩa tích phân bất định
2.2. Các tính chất cơ bản của tích phân bất định

v1.0014105206

8


2.1. ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
•

Định nghĩa: Tích phân bất định của hàm số f(x) là biểu thức nguyên hàm tổng quát
F(x) + C, trong đó F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x).

•

Ký hiệu:  f(x)dx

•

Theo ký hiệu trên ta có:  f(x)dx  F(x)  C
Ví dụ:

•

x3
 x dx   C
3
 cos xdx  sin x  C
2

v1.0014105206

9


2.2. CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
1)   f(x)dx  '  f(x)
hay d   f(x)dx   f(x)dx
2)  F'(x)dx  F(x)  C hay  dF(x)  F(x)  C
3)   f(x)  g(x) dx   f(x)dx   g(x)dx
4)  k.f(x)dx  k. f(x)dx (k  const)

v1.0014105206

10

3. CÁC CƠNG THỨC TÍCH PHÂN CƠ BẢN
1)  1dx  x  C
2)
3)
4)
5)

x 1
 C (  1)
 x dx 
 1
dx
  ln x  C
x
ax
x
 C,  e x dx  e x  C
 a dx 
lna
 cos xdx  sin x  C


6)  sin xdx   cos x  C
dx
7) 
 tan x  C
cos2 x
dx
8) 

  cot x  C
sin2 x

v1.0014105206

11


4. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
4.1. Phương pháp khai triển
4.2. Sử dụng tính bất biến của biểu thức tích phân
4.3. Phương pháp đổi biến số
4.4. Phương pháp tích phân từng phần

v1.0014105206

12


4.1. PHƯƠNG PHÁP KHAI TRIỂN
Áp dụng tính chất:  a.f(x)  b.g(x) dx  a  f(x)dx  b  g(x)dx
để đưa một tích phân phức tạp thành các tích phân đơn giản hơn
Ví dụ: Tính tích phân
I1   (3x 4  5 cos x  2e x )dx

Sử dụng quy tắc khai triển, ta đưa I1 về các tích phân cơ bản
I1   (3x 4  5 cos x  2e x )dx
 3  x 4 .dx  5  cos x.dx  2 e x .dx
x5
 3  5 sin x  2e x  C

5

v1.0014105206

13


4.1. PHƯƠNG PHÁP KHAI TRIỂN
Ví dụ: Tính tích phân
I2   (2x  x 3 )2 .dx

Sử dụng quy tắc khai triển, ta đưa I2 về các tích phân cơ bản:
I1   (3x 4  5 cos x  2e x )dx

v1.0014105206

14


4.2. SỬ DỤNG TÍNH BẤT BIẾN CỦA BIỂU THỨC TÍCH PHÂN
Tính bất biến của biểu thức tích phân có nội dung như sau:

 f(x)dx  F(x)  C   f(u)du  F(u)  C, u  u(x)
với u(x) là một biểu thức hàm số có đạo hàm liên tục
Ví dụ: Sử dụng tính bất biến của biểu thức tích phân kết hợp với tích phân các hàm cơ
bản ta suy ra:
ekx
C
1) I1   e .dx 
k

sinkx
3) I3   coskx.dx 
C
k

coskx
C
k
ln ax  b
dx

C
4) I4  
ax  b
a

2) I2   sinkx.dx  

kx

 ax  b 
   ax  b  dx 
a    1

1

5) I5

v1.0014105206



C

   1

15


VÍ DỤ 1
Tính tích phân: I1    2x  5 

2014

.dx

Ta viết lại tích phân trên dưới dạng:
I1    2x  5 

2014

.dx 

2014
1
  2x  5  .d  2x  5 
2

x 2015
.dx 

C
2015

Nhưng do

x

Nên

 2x  5 
2014
1
I1    2x  5  .d  2x  5  
2
4030

v1.0014105206

2014

2015

C

16


VÍ DỤ 2





7

Tính tích phân I2   x 3x  1 .dx
2

Ta viết lại tích phân trên dưới dạng





7





7

I2   x 3x 2  1 .dx   3x 2  1 .xdx 
Nhưng do

Nên

v1.0014105206

7

1
2
2

1
3x
1
.
d
3x

6



 



x8
 x .dx  8  C
7

I2 

1
2
2
3x


1
.d
3x
1
6



 
7



 3x


2

1

48



8

C

17

VÍ DỤ 3
Tính tích phân I3   tan x.dx
Ta viết lại tích phân trên dưới dạng
I3   tan x.dx  

d  cos x 
sin x
.dx   
cos x
cos x

Nhưng do

1
 .dx  ln x  C
x

Nên

I3   

v1.0014105206

d  cos x 
cos x

  ln cos x  C

18

4.3. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
•

Đối với tích phân I = f(x)dx, ta có thể đặt x = (t) là hàm đơn điệu và có đạo hàm liên
tục trên (;). Khi đó
I   f(x)dx   f (t)  . '(t).dt   g(t).dt

•

Khi phép đổi biến được lựa chọn phù hợp thì tích phân theo biến số t sẽ đơn giản
hơn. Nếu ta tính được g(t).dt = G(t) + C thì
I   f(x)dx  G h(x)   C

trong đó t = h(x) là hàm ngược của hàm số x = (t)

v1.0014105206

19


4.3. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
Lưu ý rằng khi tính tích phân các hàm chứa
thì ta có thể đặt t 

n

n

ax  b

ax  b

Từ đó tính x theo t, dx theo dt, sau đó thay vào tích phân có thể khử bớt căn.
tn  b
x
,
a

v1.0014105206

n.t n1
dx 
.dt
a

20


4.3. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ (tiếp theo)
1
.dx
Ví dụ: Tính tích phân: I1  
1  3x  1
•

Đặt t  3x  1
2

•

Suy ra t  3x  1

•

Thay vào tích phân ban đầu ta có I1 

•

Tính tích phân theo t ta được

I1 
•



dx 

2t
dt
3

1 2t
2
t

.
.dt
.dt

1 t 3
3 1 t

2
t
2 
1 
2
2




.dt
1
.dt
t
ln 1  t  C




3 1 t
3 
1 t
3
3

Suy ra I1 

v1.0014105206



t2  1
x
3

2
2
3x  1  ln 1  3x  1  C
3
3

21


4.3. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ (tiếp theo)
Đối với tích phân I = f[(x)].’(x)dx, ta đặt t = (x). Khi đó:

 f (x)  . '(x)dx   f(t)dt  F(t)  C  F (x)   C
Ví dụ: Tính tích phân: I1 

1
1
tan
 x 2 x .dx

1
x

•

Đặt t 

•

Suy ra dt  

•

Khi đó I1   tan t.dt  

•

Vì vậy I1  ln cos

1
dx
2
x



v1.0014105206

d  cos t 
sin t
.dt


 cos t
 cos t  ln cos t  C

1
C
x

22


4.4. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
 udv  uv   vdu

Trong đó u = u(x) và v = v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục
Một số dạng có thể tính được bằng phương pháp tích phân từng phần:

u  P(x)
ax
P(x).e
dx



ax
dv  e dx
u  lnm x
α
m
  x .ln xdx  
α

dv  x dx


v1.0014105206

u  P(x)
P(x).cos
axdx



dv  cos axdx
u  P(x)
  P(x).sin axdx  
dv  sin axdx


23


VÍ DỤ 1
Tính tích phân I1   x.e 2 x .dx
•

Ta đặt:
u  x

2 x
dv  e .dx

•



du  dx


e 2 x
2 x
v   e .dx  2

Theo phương pháp tích phân từng phần ta có

e 2x 1 2x
x.e 2x e 2x


C
I1  x.
e .dx  
2 2 
2
4

v1.0014105206

24


VÍ DỤ 2

Tính tích phân I2 
•

x.ln 2x.dx

Ta đặt:

u  ln 2x

dv  x.dx
•





1

du
dx


x

3


2x 2
 v   x.dx 
3



Theo phương pháp tích phân từng phần ta có

I2 

v1.0014105206

2 3
2
2 3
4
x .ln 2x   x.dx 
x .ln 2x 
x3  C
3
3
3
9

25