12 bài tập trắc nghiệm vận dụng cao về hình học không gian DẠNG 1 bài TOÁN cực TRỊ HÌNH KHÔNG GIAN file word có lời giải

VẬN DỤNG CAO VỀ HÌNH KHƠNG GIAN (P1 và P2)
DẠNG 1. BÀI TỐN CỰC TRỊ HÌNH KHƠNG GIAN
Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vng cạnh a, cạnh bên SB  b và tam
giác SAC cân tại S. Trên cạnh AB lấy một điểm M với AM  x  0  x  a  . Mặt phẳng   
qua M song song với AC và SB cắt BC,SB,SA lần lượt tại N,P,Q. Xác định x để SMNPQ lớn
nhất.
A. a.

B.

a
.
4

C.

a
.
2

D.

a
.
3

�
2�
0

x


Câu 2: Cho tứ diện ABCD có AB  CD  2 x, �
�và AC  AD  BC  BD  1 .
�
2 �
�
�
Gọi I , J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Tìm x để thể tích tứ diện ABCD lớn
nhất.
A.

1
3

.

B.

3
.
3

C.

5
.
2

D.

3
.
4

Câu 3: Trong các hình nón trịn xoay cùng có diện tích tồn phần bằng  . Tính thể tích hình
nón lớn nhất?
A.

 2
.
9

B.

 2
.
12

C.

 2
.
2

D.

 2
.
3

Câu 4: Trên cạnh AD của hình vng ABCD cạnh a, người ta lấy điển M với
AM  x  0  x  a  , và trên nữa đường thẳng Ax vng góc tại A với mặt phẳng của hình
vng, người ta lấy điểm S với SA  y

 y  0  . Với giả thiết

x2  y 2  a 2 , tìm giá trị lớn

nhất của thể tích hình chóp S.ABCM.
A.

3a 2
.
42

B.

3a 2
.
12

C.

2a 2
.
2

D.

3a 2

.
8

Câu 5: Cho tứ diện ABCD có AB  CD  2 x và 4 cạnh cịn lại đều có độ dài bằng 1. Xác
định x để diện tích tồn phần đạt giá trị lớn nhất.
A.

1
.
2

B.

2
.
2

C. 2.

D.

2
.
5

Câu 6: Cho tứ diện ABCD sao cho AB  2 x, CD  2 y và 4 cạnh cịn lại đều có độ dài bằng
1. Xác định x và y để diện tích tồn phần đạt giá trị lớn nhất.
A. x  y 
Trang 1

1
.
2

B. x  y 

2
.
2

C. x  y  1.

1
D. x  y  .
3


Câu 7: Cho tam diện Oxyz có các góc xOy  yOz  zOx   . Trên Ox,Oy,Oz lần lượt lấy
A,B,C sao cho OA  OB  OC  x . Tính  để diện tích xung quanh lớn nhất.
A.


.
2

B.


.
4

C.


.
3

D.




.
4



Câu 8: Hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh SA=x, x � 0 , 3 , tất cả các cạnh cịn lại có độ
dài bằng 1. Xác định x để hình chóp có thể tích lớn nhất.
A.

3
.
3

B.

3
.
4

C.

6
.
2

D.

3
.
5

Câu 9: Trong các hình trụ có diện tích tồn phần khơng đổi 2a 2 . Tìm thể tích hình trụ lớn
nhất.
A.

 3a 3
.
3

B.

 3a 3
.
5

C.

 3a 3

.
2

D.

2a 3
3 3

.

Câu 10: Trong các hình trụ có diện tích xung quanh cộng diện tích một đáy khơng đổi là
2a 2 . Tìm thể tích hình trụ lớn nhất.
A.

a 3 6
3

B.

a 3 6
9

C.

2a 3 6
9

D.

2a 3 6

3

Câu 11: Trong tất cả các hình trụ có cùng thể tích V, tính diện tích tồn phần hình trụ nhỏ
nhất.
A. 3 3 2V 2 .

B. 3 3

V 2
.
2

C. 3 3

V 2
.
4

D. 3 3 V 2 .

Câu 12: Trong tất cả hình nón có độ dài đường sinh là a, tìm hình nón có thể tích lớn nhất.
A. MaxV 

2a 3 3
.
27

B. MaxV 

 3 3

a .
9

C. MaxV 

 3 3
a .
27

D. MaxV 

2 3 3
a .
9

Đáp án
1-C
11-A

2-B
12-A

3-B

4-D

5-B

6-B

7-A

LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: Đáp án C
Gọi O  AC �BD do tam giác SAC cân tại S nên SO  AC .
Trang 2

8-C

9-D

10-C


Lại có AC  BD � AC   SBD  suy ra AC  SB
�MN AC
�
Từ đó suy ra MNPQ là hình chữ nhật vì �MQ SB
�AC  SB
�
Lại có

BM MN
ax
AM MQ
x

� MN 
.a 2 ;


� MQ  .SB
BA
AC
a
AB
SB
a

Do đó SMNPQ   a  x  .x.

b 2
lớn nhất �  a  x  x lớn nhất
a

 a  x  x

Mặt khác  a  x  x �

2

4



a 2 dấu bằng xảy ra � a  x  x � x  a .
2
4

Câu 2: Đáp án B
�BI  CD

� CD   AIB 
Ta có: �
�AI  CD
Ta có: VABC D  VA.IBC  VA.IB D 

1
1
1
IC.S IBA  ID.S IBA  CD.S AIB
3
3
3

Lại có AI  BI � IJ  AB � S AIB 

1
1
IJ .AB  .2 x. AI 2  AJ 2
2
2

1
 x 1  x 2  x 2  x 1  2 x 2 � VABCD  .2 x.x 1  2 x 2
3
2
x 2�
1 2 x2
Mặt khác x 

Do đó ۣ VABC D

2
9 3

3 3 x4  1 2 x2 

1
3 3

x 2  1 2 x2 

2
2
. Dấu bằng xảy ra � x  1  2 x � x 

1
3

.

Câu 3: Đáp án B
2
2
Ta có diện tích tồn phần của hình nón là Stp  rl  r   � rl  r  1

1 2
1 2 2
1
2
Lại có V( N )  r h  r . l  r  r

3
3
3
Mặt khác

 rl 

1
1 AM  BC
.AB
Ta có: VS .ABCM  SA.S AMCB  y.
3
3
2
a
. x  a  y � VMax � �
.
 x  a y�
�
�
max
6
Trang 3

1
 r 4  r
3

 1 r 

2 2

1
1
 2
2 r 2  1  2r 2 1

.
do đó VN � 
2r 1  2r 2 �

3 2 2
12
2
2

Câu 4: Đáp án D



2

1
 r 4  r 1  2r2
3


Xét hàm số f  x    x  a  y   x  a  a 2  x 2 với x � a;a 
2
2

Suy ra f '  x   a  x   x  a  .

x
a  x2
2

0

x  a
�
3 3
a3 3
� a  x  x  ax  0 � � a � f max 
� Vmax 
�
4
8
x
� 2
2

2

2

Câu 5: Đáp án B
Gọi E, F lần lượt là trung điểm của CD và AB.
Khi đó SAC D 

1

1
C D. A E  2 x 1  x 2  x 1  x 2
2
2

Tương tự SACB  x 1  x 2  S ABD  S BCD .
Do đó Stp  4 x 1  x 2 �2. x 2  1  x 2   2
Do đó Stp �2 dấu bằng xảy ra � x 

2
.
2

Câu 6: Đáp án B
Gọi E, F lần lượt là trung điểm của CD và AB.
Khi đó SAC D 

1
.2 y. 1  y 2  y 1  y 2 ; S BC D  y 1  y 2
2

Tương tự SACB  x 1  x 2  S ABD .



2
2
Do đó Stp  2 x 1  x  y 1  y



x2  1  x2 1
y2  1  y2 1
2
Mặt khác x 1  x �
 ; y 1 y �

2
2
2
2
2

Do đó Stp �2 dấu bằng xảy ra � x  y 

2
.
2

Câu 7: Đáp án A
Ta có các tam giác O AB  OBC  OCA � S xq  3SOAB 
Dấu bằng khi sin   1 �  


.
2

Câu 8: Đáp án C
Tất cả cạnh đáy bằng 1 nên đáy ABCD là hình thoi.

Trang 4

3OA.OB.sin  3 x2
�
2
2


Vì SB  SC  S D � Hình chiếu H của S lên mặt phẳng đáy là tâm đường trịn ngoại tiếp
tam giác BCD (H có thể nằm ngồi tam giác BCD). Gọi O  AC �B D và M là trung điểm
BC.
Đặt CO  a � CM .CB  CH .CO � CH 
� SH  SC 2  HC 2  1 

1
. Ta có:
4a2

1
AH 
�AC ��
CH
2a

2a

SA

2
Lại có: BO  1  a � S ABC D 

SH 2

1
2a

AH 2

1

1
4a 2

2

1 �
�
2a
�
�
2a �
�

4a2 1

3

B D. AC
 2a 1  a 2
2

1
1
1 �2 1
� 1
� VS . ABC D  �2 a 2 
1  a2 � �
a   1  a 2 �
3
4
3� 4
� 4
2
Dấu bằng khi a 

1
5
6
 1  a 2 � a 2  (thỏa) � SA 
4
8
2

Câu 9: Đáp án D
Gọi bán kính đáy là R và chiều cao hình trụ là h.
2

�R 2 h �
Rh Rh
Theo đề: Stp  2 R  2 Rh  2 a � a  R  Rh  R 


�3 3 � �
2
2
�2 �
2

2
�R�
h

2a 3 3
9

V

2

 R2h

2

2

2

2 a 3 3
.
9

Câu 10: Đáp án C
Gọi bán kính đáy là R và chiều cao hình trụ là h.
Theo đề: Stp   R 2  2 Rh  2 a 2 � 2a 2  R 2  2 Rh  R 2  Rh  Rh �3 3  R 2 h 
3

�2a2 � 2a3 6
�R�
h � �
9
�3 �
2

V

R h
2

2

2 a3 3
.
9

Câu 11: Đáp án A
2
Gọi bán kính đáy là R và chiều cao hình trụ là h. Theo đề: V   R h �  h 

2
2
Ta có diện tích tồn phần là: Stp  2 R  2 Rh  2 R 

Câu 12: Đáp án A
Trang 5

V
R2

2V
V V
 2 R 2   �3 3 2 V 2 .
R
R R

a2

1.


Gọi bán kính đáy là R và chiều cao hình trụ là h. Theo đề:
R2 R2
a �R��
h 
2
2
2

2

Trang 6

2

2

h

2

�R 2 h �
33 � �
�2 �

R2 h

2a3 3
9

V

 R2 h
3

2 a 3 3
27