BTVN buổi 1

CLB Hỗ trợ học tập

Bài tập Chương 1
1

Logic (Nhóm 2 không học)

Câu 1: Chứng minh p → (p ∧ q)và p → q tương đương logic.
Câu 2: Chứng minh [A ∧ (A ∨ B)] → B là hằng đúng.
Câu 3: Chứng minh rằng A ↔ B và (A ∧ B) ∨ (A ∧ B) là tương đương logic.
Câu 4: Cho mệnh đề A, B và C thỏa mãn (A ∧ C) → (B ∧ C) và (A ∨ C) → (B ∨ C) là các mệnh đề
đúng. Chứng minh rằng A → B là mệnh đề đúng.
Câu 5: Xét xem 2 mệnh đề có tương đương logic khơng?
(A ∨ B) → C và (A → C) ∧ (B → C)
Câu 6: Mệnh đề sau đúng hay sai? Vì sao? "Nếu n là số lẻ và n chia hết cho 2 thì n là số nguyên tố".

2

Tập hợp

Câu 7: Cho tập E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10},
a) A ∪ B =

b) A ∩ B =

c) A =

A = {1, 2, 3, 4, 5},

d) B =

e) A\B =

B = {4, 5, 6, 7, 8}. Khi đó:

g) B\A =

h) A

B=

Câu 8: Cho A,B,C là các tập hợp bất kì. Chứng minh rằng:
a. (A \ B) \ C = A \ (B ∪ C)
b. (A \ B) \ C = (A \ B) ∪ (A ∩ C)
c. A \ (B ∪ C) ⊂ (B \ C) ∪ (A \ B)
Câu 9: A, B, C là tập con của E (E là tập vũ trụ). Chứng minh rằng nếu (A ∪ C) ⊂ (A ∪ B) và
(A ∩ C) ⊂ (A ∩ B) thì C ⊂ B.
Câu 10(VI-20141): Cho tập hợp A = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 = 4}, B = {(x, y) ∈ R2 | x − y = 0}. Xác
định A ∩ C.
Câu 11: Cho A = {1, 2, 3}, B = {5, 6, 7, 8}. Hãy viết ra tất cả các phần tử của tích Decartes A x B.
Câu 12(IV-20141): Cho A ∪ B = {a; b; c; d}, A \ B = {a; d}, B \ A = {b; e}. Xác định A, B.
Câu 13: Cho A = {1, 2, 3}, B = {5, 6, 7, 8}
Hãy viết ra tất cả các phần tử của tích Decartes A x B.

3

Ánh xạ

Câu 14: Cho hai ánh xạ f, g:
−→

g
R
1
x −→
x
a) Ánh xạ nào là đơn ánh, tồn ánh. Tìm g(R)
f

:

R\{0}

b) Xác định ánh xạ h = g ◦ f

:

R −→

R

x −→

2x
1 + x2


CLB Hỗ trợ học tập
Câu 15: Cho ánh xạ f
f

:

R2

−→

(x; y) −→

R2
(x2 + y; x + y)

Ánh xạ f có đơn ánh, tồn ánh, song ánh khơng? Vì sao?
Câu 16: Ánh xạ f : R → R, xác định bởi f (x; y) = x2 + 6x + 7, ∀x ∈ R và tập A = {x ∈ R| − 2

x

2}.

Xác định tập f (A) và f −1 (A).
Câu 17: Ánh xạ f : R2 → R2 , f (x; y) = (x + y; x − y) và tập A = {(x; y) ∈ R2 |x2 + y 2 = 16}. Xác định
tập f (A) và f −1 (A).
Câu 18: Cho ánh xạ f : (−∞; 2] → [2; +∞) xác định bởi f (x) = x2 − 4x + 6. Chứng minh f là song ánh
và tìm ánh xạ ngược.
Câu 19: Chứng minh các tính chất của ảnh và nghịch ảnh của ánh xạ f : X → Y
a) f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B); A, B ⊂ X
b) f (A ∩ B) ⊂ f (A) ∩ f (B); A, B ⊂ X. Nêu ví dụ chứng tỏ điều ngược lại khơng đúng.
c) Chứng minh f là đơn ánh khi và chỉ khi f (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B); ∀A, B ⊂ X

4

Cấu trúc đại số (Nhóm 2 và nhóm 3 không học)

Câu 20: Cho tập A = {x ∈ Z|x = 2k + 1, k ∈ Z}
Tập A với các phép tốn cộng (+) và nhân (.) thơng thường có lập thành nhóm Abel?
Câu 21: Các tập sau với các phép tốn cộng (+) và nhân (.) thơng thường có lập thành một vành,
trường khơng?
a) Tập A = {x ∈ Z|x = 2k, k ∈ Z}

√
b) Tập B = {a + b 2|a, b ∈ Z}

Câu 22: Cho G = (R \ {0}) × R và ∗ là một phép tốn hai ngơi trên G xác định bởi:
(x1 , y1 ) ∗ (x2 , y2 ) = (x1 x2 , x1 y2 + y1 ). Hỏi (G, ∗) có phải là một nhóm khơng? Tại sao?
Câu 23: Cho G = {f1 , f2 , f3 , f4 , f5 , f6 } là tập các ánh xạ từ R\{(0; 1)} → R\{(0; 1)}, xác định như sau:
1
1
1
x
f1 (x) = x, f2 (x) =
, f3 (x) = 1 − , f4 (x) = , f5 (x) = 1 − x, f6 (x) =
. CMR: G với phép toán
1−x
x
x
1−x
là phép hợp thành tích ánh xạ lập thành một nhóm khơng Abel.

5

Số phức

Câu 24: Chuyển các số phức sau về dạng chính tắc:
√
√
√
√
(i + 1)20
6
a) (1 + i 2)10
b) 1 − i 3
c)
d) (4 − i 8)3 .(5 + i 6)7
12
(i − 1)
Câu 25: Tìm nghiệm phức của phương trình:
210
a) z 8 = 2
b) 1 + (z + 2i) + (z + 2i)2 + (z + 21)3 + (z + 2i)4 = 0
c) z 6 − 4iz 3 + 5 = 0
z
Câu 26: Cho ánh xạ f : C → C, f (z) = 3z 4 + 5iz 2
a) f có đơn ánh? tồn ánh hay khơng? Vì sao?

b) Cho B = −2 . Tìm f −1 {B}

Câu 27: Cho ánh xạ f : C → C, f (z) = iz 2 + (4 − i)z − 9i, với i là đơn vị ảo. Tìm f −1 {7}.
Câu 28: Cho

1 , 2 , 3 , ..., 2019

là các căn bậc 2019 phân biệt phức của 1. Tính
21

Câu 29: Cho zk = cos

π + k2π
π + k2π
+ i. sin
; k ∈ N. Tính S =
zm
36
36
m=13

2019 2
i=1 i