BTVN buổi 2+3

Mảng Học tập và NCKH
CLB Hỗ trợ Học tập

BCH LCĐ-LCH Viện Toán Ứng dụng và Tin học

BTVN BUỔI 2 VÀ 3
Các phép toán với ma trận

1 −1 0
1. Cho A = 2 1 2 và đa thức P (x) = x2 − 2x + 1. Tính P (A)
0 1 1


2. Cho ma trận A =

−2 3
. Tính A3 − 3A
1 2

3. Tìm tất cả các ma trận vng cấp 2 giao hoán với ma trận
4. Cho ma trận A =

1 2
0 1

2 4
5 3

a) Xác định ma trận f (A) với f (x) = 2x2 − 10x + 2
b) Tìm tất cả các ma trận X thỏa mãn AX = XA
5. Tìm tất cả các ma trận vng cấp 3 giao hoán với ma trận:







1 0 0
1 0 1
2 3 0
a) A = 0 2 0
b) B = 0 1 −2
c) C = 0 2 3
0 0 3
0 0 2
0 0 2

Lũy thừa của ma trận
−i −1
, với i là đơn vị ảo. Tính A3 và A27
1 −i


2 1 0
2. Cho A = 0 1 0, hãy tính A10
0 0 2

1. Cho A =

3. Tính A2019 biết A =

3 −5
1 −1

4. Tính An nếu
a) A =

3 1
0 3

b) A =

4 1
0 3

Nhóm soạn tài liệu: Nguyễn Quang Huy, Trần Thành Đạt
Link group Góc học tập SAMI: />

5. Tính:
n
1 −2 1
a) −1 1 0
−2 0 0

n
a 0 0
c) 0 0 a
b 0 a




a

b) b
0

2
d) 1
1

a −b
6. Tìm tất cả các số thực a, b sao cho
b a

n
0 0
0 a
0 a
n
1 1
2 1
1 2
√

4

=

3 √
−1
1

3

7. Cho t ∈ (0, π) và số nguyên dương n > 1. Tìm tất cả ma trận vuông cấp 2
hệ số thực thỏa mãn
cos t − sin t
Xn =
sin t cos t

Ma trận nghịch đảo
1. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A =

cos ϕ sin ϕ
− sin ϕ cos ϕ



0 1 −1
−1
2. Cho ma trận A = 1 0 1 . Tính (A − 2I)
1 −1 2
3. Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau:



1 0 2
1



a) A = 2 −1 3

b) B = 2
4 1 8
1



1
0 0 1 −1
1
0 3 1 4 

c) C = 
d) D = 
2 7 6 −1
1
0
1 2 2 −1

1 −a
0 1
4. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A = 
0 0
0 0

Nhóm soạn tài liệu: Nguyễn Quang Huy, Trần Thành Đạt
Link group Góc học tập SAMI: />

−2 2
−3 6
1 7


1 1 1
1 −1 −1

−1 0 0 
0 1 −1

0
0
−a 0 

1 −a
0
1

2


Phương trình ma trận
1. Giải các phương trình ma trận sau:




7 10
1 2
a) 3 4 X = 15 22
23 34
5 6
2. Cho A =

2 1 1
X=
3 0 1

b)

9 3
10 3

1 2
1 −1 2
. Tìm X thỏa mãn B T − XA = 2X
,B =
1 −1
1 4 0

3. Giải phương trình X 2 − 2X =

−1 0
, trong đó X là ma trận vng cấp 2
6 3
−1

4. Giải phương trình ma trận

2 0
X
4 2

5. Giải phương trình ma trận

1 T
X − 2E
2

=

1 0
1 1

−1

=2

1 1
2 3

với E là ma trận

đơn vị cấp 2
2 1
1 3
6. Tìm ma trận X thỏa mãn X
= 2X − 2
1 1
2 1

T

4 1
−1 0 1
,B =
. Tìm X thỏa mãn XA − B T = X
2 2
−1 −1 −1




1 1 3
1 3 1
8. Cho hai ma trận A = 1 0 5 và B = 1 1 1
2 2 7
1 2 2
2
Hãy tìm ma trận X thỏa mãn A B + AXA = 0
 2

a +1 1
2
4 4a + 6
9. Cho ma trận A =  5
a+1 1 a+3
7. Cho A =

a) Xác định a ∈ R để det A ≤ 12
b) Với a = 0, tìm ma trận X thỏa mãn AX = A2 + E, trong đó E là ma
trận đơn vị cấp 3

Nhóm soạn tài liệu: Nguyễn Quang Huy, Trần Thành Đạt
Link group Góc học tập SAMI: />
3


Hạng của ma trận
1. Xác định hạng của các ma trận sau:


1 1 −3
a) −1 0 2 
−3 5 0


1 −1 5 −1
1 1 −2 3 

c) 
3 −1 8 1 
1 3 −9 7



1 2 3 6
b) 2 3 1 6
3 1 2 6

2. Tìm m để các ma trận sau có hạng nhỏ nhất:





1
2
−1 −1
m 2 −1 3
a) A = 2 m + 4 −2 −1 
b) B =  2 m 1 2
3 m + 6 −3 m − 3
3 1 2 0



3 1 4 1
2 2−m
4
m 2 3 1


2
c) C = 
d) D = 1 1 − m
3 −1 1 0
3 3 − 2m 8 − m
3 3 7 2


1
2
m

m+1
3. Tìm m để ma trận A = 2 m + 2 2m + 1 2m + 4 có hạng bằng
1 4 − m m − 1 2m − 4


3 m 0 3
4. Tìm m để hạng của ma trận A = m 2 1 2 lớn nhất
2 1 −2 2
5. Tìm và biện luận hạng của ma trận

m
n
A=
0
0


m2
0
4

2

sau theo tham số m, n:

0 0 n
m 0 0

n m 0
0 n m

Định thức
1 a 0 2
2 −1 1 3
1. Tính định thức
−2 0 1 −1
3 2 b 0
Nhóm soạn tài liệu: Nguyễn Quang Huy, Trần Thành Đạt
Link group Góc học tập SAMI: />
4


2. Biết A là ma trận vuông cấp n thỏa mãn |A| = |kA| (k ∈ R). Hãy tìm k
3. Tìm x biết
1 −2 4
a) 1 x x2 = 0
1 3 9

1 x −2
b) −1 1 2 = 0
x 2 3

1
2
1 6 − x2
c)
2
3
2
3

2
x
2
d) 2 2x − 1 x + 1 = 0
3 −1
x2

3
4
3
4
=0
4
5
4 6−x

1 −1 0 −1
2 0 3 2
4. Tìm điều kiện của x và y sao cho
=0
x 0 0 y
0 −2 3 1
5. Chứng minh rằng:
b1 + c1 c1 + a1 a1 + b1
a1 b1 c1
a) b2 + c2 c2 + a2 a2 + b2 = 2 a2 b2 c2
b3 + c3 c3 + a3 a3 + b3
a3 b3 c3
x

a
b)
a
a

a
x
a
a

a
a
x
a

a
a
= (x + 3a)(x − a)3
a
x

x a a
−a x a
c)
−a −a x
−a −a −a

a
a
= x4 + 6a2 x2 + a4

a
x

1 a bc
d) 1 b ca = (b − a)(a − c)(c − b)
1 c ab
6. Hãy tính định thức của ma trận



−1 −1 −2
1
a
A= 0
2 4−a 6

Từ đó hãy chứng minh rằng với mọi số thực a, không tồn tại ma trận D
vuông cấp 3 hệ số thực thỏa mãn D2 = A

Nhóm soạn tài liệu: Nguyễn Quang Huy, Trần Thành Đạt
Link group Góc học tập SAMI: />
5


Hệ phương trình tuyến tính





x + 2y + 3z + 4t
2x + 5y + 6z + 7t
1. Giải hệ phương trình
3x + 7y + 10z + 11t



x + 3y + 3z + 4t

=4
=6
= 11
=3

2. Tìm đa thức bậc ba p(x) = ax3 + bx2 + cx + d thỏa mãn
p(1) = 0; p(−1) = 4; p(2) = 5; p(−2) = −15
3. Xét xem các hệ phương trình tuyến tính sau đây có là hệ Crammer khơng
rồi giải chúng:


x1 + 2x2 + 3x3 − 2x4 = 6



 2x1 − x2 − x3 = 4
2x1 − x2 − 2x3 − 3x4 = 4
3x1 + 4x2 − 2x3 = 11
a)
b)
3x1 + 2x2 − x3 + 2x4 = 4




3x1 − 2x2 + 4x3 = 11

2x1 − 3x2 + 2x3 + x4 = −8
4. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm. Tìm

 (m − 1) x1 + x2 + mx3
2x1 + mx3 + 3xx

−x1 + 3x2 + x3

nghiệm của hệ khi đó
=3
= −1
=m


 2x1 + mx2 − x3 = 0
mx1 + x2 + 2x3 = 0 có nghiệm khơng tầm
5. Tìm m để hệ phương trình

x1 − mx2 − 3x3 = 0
thường

x − 2y + 2z
=m

2x + (m − 3) y + 7z

= m2 có nghiệm duy nhất
6. Tìm m để hệ

x + (m − 1) y + (m + 5) z = 3m3

2x + ay − x
=0

3x + (a + 1) y + 5z = 0 . Tìm giá trị của tham
7. Cho hệ hệ phương trình

x + y + (a + 3) z = 0
số a để hệ có vơ số nghiệm
8. Giải và biện luận các hệ phương trình sau:

x1 + 2x2 − 2x3 − x4
=0

3
ax2 + (1 − a) x3 + (a + 1) x4
=0
a)

2
2x1 + (4 − a) x2 − 4x3 − 2(a + 1) x4 = 0
Nhóm soạn tài liệu: Nguyễn Quang Huy, Trần Thành Đạt
Link group Góc học tập SAMI: />
6


 mx1 + x2 + x3 = 1
x1 + mx2 + x3 = m
b)

x1 + x2 + mx3 = m2

mx1 + x2 + x3 + x4 = 1



x1 + mx2 + x3 + x4 = m
c)
x1 + x2 + mx3 + x4 = m2



x1 + x2 + x3 + mx4 = m3

=1
 x1 + x2 − x3
2x1 + 3x2 + kx3 = 3 . Xác định giá trị của tham số k sao cho:
9. Cho hệ

x1 + kx2 + 3x3 = 2
a) Hệ có vơ số nghiệm
b) Hệ vơ nghiệm
c) Hệ có nghiệm duy nhất
10. Giải hệ phương trình


x1 + 2x2 + 3x3 + . . . + 2018x2018




 2018x1 + x2 + 2x3 + . . . + 2017x2018
2017x1 + 2018x2 + x3 + . . . + 2016x2018


......................................



2x1 + 3x2 + . . . + x2018

Nhóm soạn tài liệu: Nguyễn Quang Huy, Trần Thành Đạt
Link group Góc học tập SAMI: />
=0
=0
=0
=0

7