Giải tích i tuần 1 20201 (bản in)

Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ học tập

Giới hạn hàm số
I

Định nghĩa

1

Giới hạn hàm số

Cho hàm số f (x) xác định trên khoảng (a, b)
Ta nói hàm f (x) có giới hạn là A (hữu hạn) khi x dần đến x0 ∈ [a, b]. Ký hiệu lim f (x) = A
x→x0

Nếu với bất kỳ dãy {xn } trong (a, b) \ {x0 } mà xn → x0 thì lim f (xn ) = A
xn →x0

Định lý tương đương: Hàm f (x) xác định trên (a, b) được gọi là có giới hạn A khi x → x0 ∈ [a, b]
nếu thỏa mãn điều kiện sau
∀ε > 0, ∃δ > 0 : 0 < |x − x0 | < δ ⇒ f (x) − A < ε

2

Giới hạn trái, giới hạn phải
Giới hạn trái Ký hiệu x → x−
0 là x dần tới x0 nhưng luôn nhỏ hơn x0 . Ta gọi A là giới hạn

trái tại x0 nếu
lim f (x) = A

x→x−
0

Giới hạn phải Ký hiệu x → x+
0 là x dần tới x0 nhưng luôn lớn hơn x0 . Ta gọi A là giới hạn
phải tại x0 nếu
lim f (x) = A

x→x+
0

Điều kiện tồn tại giới hạn
∃ lim f (x) = A ⇔ lim+ f (x) = lim− f (x) = A
VD: Xét hàm f (x) =






x→x0

x→x0

x→x0

x + 1 (x ≥ 0)




−x2

(x < 0)

Ta có lim+ f (x) = lim (x + 1) = 1 , lim− f (x) = lim −x2 = 0
x→0

x→0

x→0

x→0

Do đó lim+ f (x) = lim− f (x) nên không tồn tại giới hạn của f (x) tại x = 0
x→0

II
1

x→0

Tính chất và phép tốn
Tính chất

(1) (Tính duy nhất của giới hạn) lim f (x) = a, lim f (x) = b ⇒ a = b
x→x0

x→x0

Nhóm Giải tích 1 - CLB Hỗ trợ học tập
Life is like a piano. The white keys represent happiness and the black show sadness. But as you go
through life’s journey, remember that the black keys also create music.

1


Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ học tập

(2) lim f (x) = a ⇔ lim f (x) − a = 0
x→x0

x→x0

(3) f (x) = C ⇒ lim f (x) = C
x→x0

(4) Nếu lim f (x) = a và ∀x ∈ Uε0 (x0 ) \ {x0 } : f (x) ≤ c thì a ≤ c
x→x0

(5) Nếu lim f (x) = a và a > p thì f (x) > p với ∀x ∈ Uε0 (x0 ) \ {x0 }
x→x0

(6) (Nguyên lý kẹp) Với ba hàm f (x), g(x), h(x) thỏa mãn f (x) ≤ g(x) ≤ h(x). Nếu như
lim f (x) = lim h(x) = A

x→x0

x→x0

thì ta có
lim g(x) = A

x→x0

2

Tính giới hạn của hàm số

Để tính giới hạn của hàm số, ta có thể sử dụng:
Các phép tính cơ bản
(1) lim u(x) ± v(x) = lim u(x) ± lim v(x) (Trừ trường hợp giới hạn ở vế trái có dạng ∞ − ∞)
x→x0

x→x0

x→x0

(2) lim u(x)v(x) = lim u(x). lim v(x) (Trừ trường hợp giới hạn ở vế trái có dạng 0.∞)
x→x0

x→x0

x→x0

lim u(x)

(3) lim

x→x0

u(x)
x→x0
=
v(x)
lim v(x)

Trừ trường hợp giới hạn ở vế trái có dạng vơ định

x→x0

∞
0
hoặc
0
∞

Tính liên tục của hàm số sơ cấp Nếu hàm số sơ cấp f (x) xác định tại lân cận điểm x0 thì
lim f (x) = f (a)

x→x0

III

Vô cùng bé, vô cùng lớn (VCB, VCL)

Hàm f (x) được gọi là VCB (Vô cùng bé) khi x → a (a hữu hạn hoặc vô cùng) nếu lim f (x) = 0
x→a

Hàm f (x) được gọi là VCL (Vô cùng lớn) khi x → a (a hữu hạn hoặc vô cùng) nếu lim |f (x)| = +∞
x→a

Khi xét hàm VCB, ta giữ lại biểu thức có bậc thấp hơn (Hoặc tiến về 0 chậm hơn) và ngắt bỏ
các biểu thức có bậc cao hơn
VD: Khi x → 0, ta có
x8 − x2 + x ∼ x
Một số VCB tương đương thường dùng (x → 0)
x ∼ sin x ∼ tan x ∼ arcsin x ∼ arctan x
ln(1 + x) ∼ x ∼ ex − 1
Nhóm Giải tích 1 - CLB Hỗ trợ học tập
Life is like a piano. The white keys represent happiness and the black show sadness. But as you go
through life’s journey, remember that the black keys also create music.

2


(1 + x)α ∼ 1 + αx

Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ học tập

Lưu ý Không được phép thay các VCB tương đương vào tổng hoặc hiệu, chỉ được thay vào tích
hoặc thương
Khi xét hàm VCL, ta giữ lại biểu thức có bậc cao hơn (Hoặc tiến ra vơ cùng nhanh hơn) và ngắt
bỏ các biểu thức có bậc thấp hơn
VD: Khi x → +∞, ta có
2

ex + x8 ∼ ex

2

x5 + 5x − x ∼ x5

IV

Áp dụng

Lưu ý Trước khi tính giới hạn, nếu tích phân có dạng vơ định thì ta phải ghi rõ dạng vơ định
vào bài làm. Có tất cả 7 dạng vơ định
0 ∞
,
, 0.∞ , ∞ − ∞ , 00 , 0∞ , 1∞
0 ∞

1

Ví dụ
x + sin3 x − tan x4 + (arcsin x)5
x→0
2x + 3x2 + 2 arctan (x2 )

VD1 Tính giới hạn lim
Dạng

0
0

Khi x → 0, ta có

T S ∼ x + x3 − x4 + x5 ∼ x
M S ∼ 2x + 3x2 + 2x2 ∼ 2x

Do đó
x + sin3 x − tan x4 + (arcsin x)5
x
1
lim
= lim
=
2
2
x→0
x→0
2x + 3x + 2 arctan (x )
2x
2
x n − an
(a > 0, m = n)
x→a xm − am

VD2 Tính giới hạn lim
Dạng

0
0

Biến đổi

(x − a) xn−1 + axn−2 + ... + an−2 x + an−1

x n − an
nan−1
nan−m
=
lim
=
=
x→a xm − am
x→a (x − a) (xm−1 + axm−2 + ... + am−2 x + am−1 )
mam−1
m

x2


 e − cos x (x = 0)
x2
VD3 Tìm hằng số a để hàm số f (x) =
liên tục trên R


a
(x = 0)
lim

Với x0 = 0 thì ta ln có
Nhóm Giải tích 1 - CLB Hỗ trợ học tập
Life is like a piano. The white keys represent happiness and the black show sadness. But as you go
through life’s journey, remember that the black keys also create music.

3


Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ học tập
2

2

ex − cos x
ex0 − cos x0
lim f (x) = lim
= f (x0 )
=
x→x0
x→x0
x2
x20
Do đó f (x) liên tục trên R \ {0}
Xét với x = 0, tại đó f (0) = a. Ta có
2

ex − cos x
lim± f (x) = lim±
x→0
x→0
x2

Dạng

0
0

Biến đổi
x
2
2
2 sin2
ex − cos x
ex − 1
1 − cos x
x2
2 =1+ 1 = 3
lim±
= lim±
+ lim±
= lim± 2 + lim±
2
2
2
2
x→0
x→0
x→0
x→0 x
x→0
x
x
x
x

2
2
3
Để f (x) liên tục tại x = 0 thì limx→0± f (x) = f (0) hay a =
2
1

VD4 Tính giới hạn lim

x→+∞

xx x − x

(Dạng ∞ − ∞) Khi x → +∞, ta có biến đổi
1

x

xx

1

1

−x=x x

x x −1

−1
1

=x e

xx − 1 = e

x→+∞

2

xx x − x

ln x
x

−1∼

−1

∼

1

x x − 1 x ln x

ln x
x

ln x
.x ln x = lim ln2 x = +∞
x→+∞ x

x→+∞

1

Do đó lim

x x −1 ln x

= lim

Bài tập

1. Tính các giới hạn sau
a) lim

x→0

πx2 + 2
πx2 + 5

πx2 +1

b) lim

x→+∞

sin ln(x + 1) − sin ln x

1

1 + sin x sin x
xx − x
c) lim
d) lim
x→0
x→1 (x − 1)2
1 + tan x
2. So sánh các cặp vô cùng bé sau khi x → 0
a)(GK 20181) α(x) = x + x2 ; β(x) = ln(1 + x)
√
b) α(x) = x + x ; β(x) = ln 1 + 3 4 arctan (x4 )



x sin 1 (x = 0)
xα
3. Khảo sát sự liên tục của hàm số f (x) =
với α ∈ R


0
(x = 0)
4. Tính giới hạn lim

x→+∞

n

x(x + 1)(x + 2)... x + (n − 1) − x

Nhóm Giải tích 1 - CLB Hỗ trợ học tập
Life is like a piano. The white keys represent happiness and the black show sadness. But as you go
through life’s journey, remember that the black keys also create music.

4


Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ học tập

3

Đáp án

1.
a) Giới hạn này không phải dạng vô định nên ta thay trực tiếp x = 0 vào biểu thức
πx2 +1

πx2 + 2
πx2 + 5

lim

x→0

=

π.0 + 2
π.0 + 5

π.0+1

=

2
5

b) (Dạng ∞ − ∞) Ta có
ln(x + 1) + ln x
ln(x + 1) − ln x
sin
2
2
1
ln 1 +
ln(x2 + x)
x
sin
= 2 cos
2
2
1
ln 1 +
2
1
1 x→+∞
ln(x + x)
x
∼ sin
∼

Ta có 2 cos
≤ 2, ∀x , sin
−−−−→ 0
2
2
2x
2x
sin ln(x + 1) − sin ln x = 2 cos

Do đó lim

x→+∞

sin ln(x + 1) − sin ln x = 0

c) (Dạng 1∞ ) Ta có
1

1 + sin x
1 + tan x

ln

1 + sin x sin x
1
1 + sin x
ln
=
ln
1 + tan x

sin x
1 + tan x
sin x − tan x
sin x − tan x
sin x(cos x − 1)
= ln 1 +
∼
=
1 + tan x
1 + tan x
sin x + cos x

Do đó

ln  lim

x→0

1 + sin x
1 + tan x

1
sin x


1
ln
x→0 sin x

 = lim

⇒ lim

x→0

d)

Dạng

0
0

1 + sin x
1 + tan x

1 + sin x
1 + tan x
1
sin x

cos x − 1
=0
x→0 sin x + cos x

= lim

= e0 = 1

Khi x → 1, ta có
xx − x = x xx−1 − 1 = x e(x−1) ln x − 1 ∼ x(x − 1) ln x ∼ (x − 1) ln x
ln x = ln(1 + (x − 1)) ∼ x − 1

xx − x
(x − 1)2
=
lim
=1
x→1 (x − 1)2
x→1 (x − 1)2

Do đó lim
2.

a) Khi x → 0, ta có
α(x) = x + x2 ∼ x
β(x) = ln(1 + x) ∼ x
Do đó α(x) và β(x) là 2 VCB tương đương khi x → 0
Nhóm Giải tích 1 - CLB Hỗ trợ học tập
Life is like a piano. The white keys represent happiness and the black show sadness. But as you go
through life’s journey, remember that the black keys also create music.

5


Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ học tập

b) Khi x → 0, ta có x +

√

x∼

√

x nên α(x) =

x+

√

x∼

√

1

x = x4

Cũng với x → 0, ta có

√
4
β(x) = ln 1 + 3 4 arctan (x4 ) ∼ 3 4 arctan (x4 ) ∼ 3 x4 = |x|

Vậy α(x) là VCB bậc thấp hơn β(x)
3.
Với x = x0 = 0 thì
lim f (x) = lim x sin

x→x0

x→x0

1
1
= x0 sin α = f (x0 )
α
x
x0

Do đó f (x) liên tục trên R \ {0}. Xét với x = 0. Ta có sin

1
≤ 1, ∀x, lim x = 0
x→0
xα

Khi đó
lim f (x) = lim x sin

x→0

x→0

1
= 0 = f (0)
xα

Vậy f (x) liên tục trên R
4.

(Dạng ∞ − ∞) Ta có
n

x(x + 1)(x + 2)... x + (n − 1) − x =

x(x + 1)(x + 2)... x + (n − 1) − xn
n−1

k

x

n−1−k

n

x(x + 1)(x + 2)... x + (n − 1)

k=0

=

n(n − 1) n−1
x
+ o xn−1
2
n−1

k

xn−1−k

n

x(x + 1)(x + 2)... x + (n − 1)

k=0

Xét số hạng tổng quát của tổng trong M S. Khi x → +∞, ta có
k

xn−1−k

n

x(x + 1)(x + 2)... x + (n − 1)

= xn−1−k

n

k

xn + o (xn )

∼ xn−1

Do đó
n−1

n−1

k

xn−1−k

n

x(x + 1)(x + 2)... x + (n − 1)

k=0

xn−1 = nxn−1

∼
k=0

Vậy
lim

x→+∞

n

x(x + 1)(x + 2)... x + (n − 1) − x

n(n − 1) n−1
x
+ o xn−1
n−1

2
= lim
=
x−1
x→+∞
nx
2

Nhóm Giải tích 1 - CLB Hỗ trợ học tập
Life is like a piano. The white keys represent happiness and the black show sadness. But as you go
through life’s journey, remember that the black keys also create music.

6


Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ học tập

Đạo hàm - Vi phân
I

Định nghĩa

1

Đạo hàm

Cho y = f (x) xác định trong miền X, ta có đạo hàm của f (x)
∆y
f (x + ∆x) − f (x)

= lim
,x∈X
∆x→0 ∆x
∆x→0
∆x

y = f (x) = lim
Đạo hàm một phía

∆y
f (x0 + ∆x) − f (x0 )
= lim −
∆x→0 ∆x
∆x→0
∆x
∆y
f (x0 + ∆x) − f (x0 )
Đạo hàm bên phải: f (x+
= lim +
0 ) = lim +
∆x→0 ∆x
∆x→0
∆x
Đạo hàm bên trái: f (x−
0 ) = lim −

−
Nhận xét Hàm số f (x) tồn tại đạo hàm tại x0 ⇔ f (x+
0 ) = f (x0 )
y

Ý nghĩa hình học
f (x0 ) là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = f (x)
Phương trình tiếp tuyến của đường cong y = f (x) tại điểm x0 :
f (x0 ) =

∆y

y − y0
∆y
=
∆x
x − x0

⇔ y = y0 + f (x0 )(x − x0 )

O

∆x

x

Liên hệ giữa đạo hàm và liên tục
∃f (x0 ) ⇒ f (x) liên tục tại x0
Nhưng điều ngược lại thì khơng đúng. Chẳng hạn với f (x) = |x|. Hàm này liên tục tại x = 0
nhưng khơng có đạo hàm tại đó. Thật vậy:
|0 + ∆x| − |0|
−∆x
= lim −
= −1

∆x→0
∆x→0
∆x
∆x
|0 + ∆x| − |0|
∆x
f (0+ ) = lim +
= lim +
=1
∆x→0
∆x→0 ∆x
∆x

f (0− ) = lim −

f (0+ ) = f (0− )
Đạo hàm của hàm số ngược
Hàm số x = ϕ(y) có hàm ngược y = f (x). Nếu như hai điều kiện sau thỏa mãn:
i) y = f (x) liên tục tại x = x0 = ϕ(y0 )
ii) ϕ (y0 ) = 0
Khi đó ta có
f (x0 ) =

1
ϕ (y0 )

Nhóm Giải tích 1 - CLB Hỗ trợ học tập
Life is like a piano. The white keys represent happiness and the black show sadness. But as you go
through life’s journey, remember that the black keys also create music.

7


Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ học tập

Phép tốn và cơng thức Các hàm f (x), g(x) khả vi tại x = x0 . Khi đó
(1) (f ± g) (x0 ) = f (x0 ) ± g (x0 )
(2) (f g) (x0 ) = f (x0 )g(x0 ) + f (x0 )g (x0 )
(3)

f
g

(x0 ) =

f (x0 )g(x0 ) − f (x0 )g (x0 )
g(x0 )

2

, g(x0 ) = 0

Đạo hàm của một số hàm sơ cấp
(1) C = 0 (C ∈ R)
(2) (xα ) = αxα−1
(3) (ax ) = ax ln a
1
(4) (ln x) = , loga |x| =
x

ln x
ln a

1
(a > 0)
x ln a
1
1
(5) (sin x) = cos x, (cos x) = sin x, (tan x) =
, (cot x) = − 2
2
cos x
sin x
1
1
1
1
(6) (arcsin x) = √
, (arccos x) = − √
, (arctan x) =
, (arccot x) = −
2
1+x
1 + x2
1 − x2
1 − x2
=

(7) (Đạo hàm của hàm hợp) Nếu như ∃yu (u0 ), ∃ux (x0 ) thì y = y u(x) có đạo hàm tại x0 và

yx (x0 ) = yu (u0 ).ux (x0 )

2

Vi phân

Hàm f khả vi tại x0 nếu số gia của hàm f tại x0 viết được dưới dạng
∆f = A∆x + α(∆x)
trong đó A là một hằng số và α(∆x) là một VCB bậc cao hơn ∆x (∆x → 0)
Hàm f khả vi tại x0 ⇔ f có đạo hàm tại x0
Cơng thức tính vi phân Nếu y = f (x) và x là một biến độc lập thì
df = f (x)dx
Quy tắc tính vi phân: Với u = u(x) và v = v(x), ta có
(1) d(u + v) = du + dv

(2) d(αu) = αdu (α ∈ R)

(3) d(uv) = vdu + udv

(4) d

u
v

=

vdu − udv
v2

Ứng dụng vi phân tính gần đúng

Để tính gần đúng f (x0 + ∆), ta sử dụng cơng thức tính gần đúng
f (x0 + ∆x) ≈ f (x0 ) + df (x0 ) = f (x0 ) + f (x0 )∆x

Nhóm Giải tích 1 - CLB Hỗ trợ học tập
Life is like a piano. The white keys represent happiness and the black show sadness. But as you go
through life’s journey, remember that the black keys also create music.

8


Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ học tập

II

Đạo hàm và vi phân cấp cao

1

Đạo hàm cấp cao

Nếu hàm f khả vi n lần, để tính đạo hàm cấp n của f thì ta có thể áp dụng:
Định nghĩa f (n) (x) = f (n−1) (x)
Công thức Leibnitz Nếu u = u(x), v = v(x) là hai hàm khả vi n lần thì
n
(n)

(uv)

=

k=0

n (k) (n−k)
u v
k

Cơng thức đạo hàm cấp cao của một số hàm sơ cấp
(1) (ax )(n) = ax lnn a (a > 0)

(3)
(4)
(5)
(6)

(n)

= an α(α − 1)...(α − n + 1)(ax + b)α−n
nπ
nπ
(sin x)(n) = sin x +
, (cos x)(n) = cos x +
2
2
nπ
(n)
sin(ax + b)
= an sin ax + b +
, cos(ax + b)
2
(−1)n−1 an (n − 1)!

(n)
ln(ax + b)
=
(ax + b)n
(−1)n−1 (n − 1)!
(n)
loga |x|
=
xn ln a

(2) (ax + b)α

2

(n)

= an cos ax + b +

nπ
2

Vi phân cấp cao

Để tính vi phân cấp n của hàm f (x), ta sử dụng định nghĩa
dn f = d dn−1 f
Trong trường hợp x là biến độc lập thì ta có
d2 x = d3 x = ... = dn x = 0
Do đó
dn f = f (n) (dx)n

III
1

Áp dụng
Ví dụ

VD1 Tính gần đúng nhờ vi phân A = 4, 032 + 9
√
Xét hàm f (x) = x2 + 9. Chọn x0 = 4, ∆x = 0, 03. Khi đó A = f (4, 03) = f (4 + 0, 03)
Nhóm Giải tích 1 - CLB Hỗ trợ học tập
Life is like a piano. The white keys represent happiness and the black show sadness. But as you go
through life’s journey, remember that the black keys also create music.

9


Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ học tập

Sử dụng cơng thức tính gần đúng, ta có
A = f (4 + 0, 03) ≈ f (4) + f (4).0, 03
√
√
= 42 + 9 +
x2 + 9

.0, 03
x=4

0, 03x

=5+ √
x2 + 9

x=4

= 5 + 0, 024 = 5, 024
1
(50)
VD2 Cho f (x) = 2
. Tính f (−2)
x + 2x + 1
1
Viết lại f (x) =
= (x + 1)−2
(x + 1)2
(50)
Khi đó f (50) (−2) = (x + 1)−2
= (−2)(−3)(−4)...(−51) (x + 1)−52
x=−2



ln (ex + x) (x > 0)
VD3 (GK 20181) Cho f (x) =
. Tính f (0+ )


0
(x = 0)

x=−2

= 51!

Theo định nghĩa, ta có
f (0+ ) = lim +
∆x→0

ln e∆x + ∆x
ln(1 + ∆x)
f (0 + ∆x) − f (0)
= lim +
= lim +
=1
∆x→0
∆x→0
∆x
∆x
∆x

VD4 Xét tính khả vi và tìm vi phân của các hàm số sau:


x


(x = 0)

1
a) f (x) = 1 + e x

b) g(x) = ln |x| (x = 0)



0
(x = 0)
a) Với x = x0 = 0 thì f có đạo hàm nên khả vi tại đó


 1
df = f (x)dx = 
1 +

1 + ex
Với x = 0 thì

∆x
f (0+ ) = lim+ 1 +
x→0

1
e ∆x

f (0− ) = lim− 1 +
x→0

1
e ∆x

∆x

1




2  dx


ex
1

x 1 + ex

−0
= lim+

∆x

∆x



x→0

1
1+

1
e ∆x

=0

−0
= lim+
x→0

1
1+

1
e ∆x

=1

Do đó hàm f không khả vi tại x = 0



ln |x|
|x| ≥ 1
b) Ta có g(x) =


− ln |x| 0 < |x| < 1
Nhóm Giải tích 1 - CLB Hỗ trợ học tập
Life is like a piano. The white keys represent happiness and the black show sadness. But as you go
through life’s journey, remember that the black keys also create music.

10

Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ học tập

Với x = x0 = ±1, hàm g có đạo hàm nên khả vi tại đó



 1 ln |x|
|x| > 1
g (x) = x

− 1 ln |x| 0 < |x| < 1

x
Với x = −1 thì
f (−1+ ) = lim +
∆x→0

− ln | − 1 + ∆x| + ln | − 1|
− ln(1 − ∆x)
= lim +
=1
∆x→0
∆x
∆x

f (−1− ) = lim −
∆x→0

ln | − 1 + ∆x| − ln | − 1|
ln(1 − ∆x)
= lim −
= −1
∆x→0
∆x
∆x

Do đó f (−1± ) = ±1 nên g không khả vi tại x = −1
Tương tự, ta cũng có f (1± ) = ±1 nên g cũng không khả vi tại x = 1

2

Bài tập

1. (GK 20191) Cho y = (x2 + 1)ex−1 . Tính y (40) (1)
2. Xét tính khả vi của các hàm số sau



 sin x (x = 0)
x
a) f (x) =


0
(x = 0)




xα sin 1 (x = 0)
x
3. Cho hàm số f (x) =


0
(x = 0)

b) f (x) =

1−

√
1 − x2

a) Xác định α để hàm f khả vi trên R
b) Xác định α để hàm f xác định và liên tục trên R
4. Cho f (x) = sin(β arccos x). Tính f (n) (x)



x (x ∈ Q)
5. Xét tính khả vi của hàm số f (x) =


0
x∈R\Q

Nhóm Giải tích 1 - CLB Hỗ trợ học tập

Life is like a piano. The white keys represent happiness and the black show sadness. But as you go
through life’s journey, remember that the black keys also create music.

11