Giải tích i tuần 4

Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ học tập

Ứng dụng đạo hàm vào khảo sát hàm số
I

Chiều biến thiên và cực trị hàm số

Cho hàm số f (x)
Xét chiều biến thiên
• Tìm tập xác định D
• Tính đạo hàm f (x)


f (x) = 0 ⇒ f (x) = C, ∀x ∈ [a, b]

• Xét dấu của f (x) và lập bảng biến thiên của f 
f (x) > 0 ⇒ f (x) đơn điệu tăng trên [a, b]

f (x) < 0 ⇒ f (x) đơn điệu giảm trên [a, b]
Chú ý Nếu f (x) ≥ 0 (≤ 0), ∀x ∈ [a, b] thì f (x) đơn điệu khơng giảm (không tăng) trên [a, b]
1
1
VD Hàm số f (x) = có f (x) = − 2 < 0, ∀x = 0
x
x
Kết luận: Hàm số nghịch biến trên (−∞, 0) ∪ (0, +∞)
Tìm cực trị
Điểm nghi ngờ cực trị x0 là f (x0 ) = 0 hoặc f (x0 ) không tồn tại
Có hai cách để nhận biết điểm cực trị
• Lập bảng biến thiên và quan sát. Nếu f (x) đổichiều khi đi qua x0 thì x0 là điểm cực trị




f (x0 ) = f (x0 ) = ... = f (n−1) (x0 ) = 0
• Sử dụng đạo hàm cấp cao để kiểm tra. Giả sử


f (n) (x0 ) = 0


là cực đại nếu f (n) (x0 ) < 0


 n chẵn thì x0 là điểm cực trị 

Khi đó 
là cực tiểu nếu f (n) (x0 ) > 0


n lẻ thì x0 khơng là điểm cực trị
Chú ý Ta cịn có thể sử dụng chiều biến thiên của hàm số để chứng minh bất đẳng thức
VD1 Tìm khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số sau
y = f (x) =

3

(1 − x)(x − 2)2

Giải
Tập xác định: D = R

Hàm số xác định và liên tục trên R
Nhóm Giải tích 1 - CLB Hỗ trợ học tập
Life is like a piano. The white keys represent happiness and the black show sadness. But as you go
through life’s journey, remember that the black keys also create music.

1


Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ học tập

1
Ta có f (x) =
3

3

x−2
1−x

2

2
+
3

2

1−x
x−2

3

=

3

4
−x
3
với ∀x = 1, x = 2
(1 − x)2 (x − 2)

Lập bảng biến thiên
−∞

x

4
3
0

−

1
−

f (x)

−

−

+

+∞

0

√
3

f (x)

+∞

2

− 4
3

−∞

Kết luận:
4
,2
3

• Hàm số f (x) đồng biến trên
• Hàm số f (x) nghịch biến trên

−∞,

4
3

và (2, +∞)

• f (x) đạt cực đại tại x = 2 và ymax = y(2) = 0
4
3

4
• f (x) đạt cực tiểu tại x = và ymin = y
3

√
−34
=
3

VD2 Chứng minh bất đẳng thức
2x arctan x ≥ ln (1 + x2 ), ∀x ∈ R

Giải
Đặt f (x) = 2x arctan x − ln (1 + x2 ) ∀x ∈ R
2x
2x
Khi đó f (x) = 2 arctan x +
−

= 2 arctan x = 0 ⇔ x = 0
1 + x2 1 + x 2
Lập bảng biến thiên
x

−∞
−

f (x)

+∞

0
0

+∞

+
+∞

f (x)
0
Từ bảng biến thiên, ta có f (x) ≥ 0, ∀x (đpcm)

Nhóm Giải tích 1 - CLB Hỗ trợ học tập
Life is like a piano. The white keys represent happiness and the black show sadness. But as you go
through life’s journey, remember that the black keys also create music.

2

Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ học tập

II

Tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn

Ta thực hiện các bước sau để giải quyết bài tốn
• Tìm các điểm cực trị của hàm f (x) trên [a, b]
• Tính giá trị của f tại các điểm tới hạn tìm được và tại hai đầu mút
• So sánh các giá trị của f từ đó suy ra GTLN và GTNN
Nếu f liên tục và bị chặn trên một khoảng giới nội hoặc không giới nội (a, b) thì ta có thể mở rộng
hàm f và sử dụng phép biến đổi biến số đưa về hàm liên tục trên đoạn. Do vậy, trong trường hợp
này để tìm cận trên đúng và cận dưới đúng của f trên (a, b), ta có thể
• Tính các điểm cực trị của f trên (a, b)
• Tính giá trị của f tại các điểm tới hạn và tính f (a+ ) và f (b− )
f (a+ ) = lim+ f (x) ,
x→a

VD Tìm GTLN và GTNN của hàm số y =

3

f (b− ) = lim− f (x)
x→b

(x2 − 2x)2 trên đoạn [0, 3]
Giải

2 2x − 2
∀x ∈ [0, 3] \ {0; 2}. Điểm cực trị của y = f (x) trên (0, 3) là x = 1 và x = 2
Ta có y = . √
3 3 x2 − 2x
√
Ta có f (0) = 0, f (1) = 1, f (2) = 0, f (3) = 3 9
Vậy min f (x) = 0 khi x ∈ {0; 2}
x∈[0,3]
√
3
max f (x) = 9 khi x = 3
x∈[0,3]

III
1

Xác định tính lồi, lõm của hàm số
Định nghĩa
y

Hàm lồi
Cho f (x) là hàm số xác định trên [a, b]. Hàm f (x) gọi là

y = f (x)

lồi trên [a, b] nếu với ∀t ∈ [0, 1] thì
tf (a) + (1 − t)f (b) ≥ f ta + (1 − t)b
Với f (x) là hàm lồi và t =

1

thì ta có
2

f (a) + f (b)
≥f
2

a+b
2

f (a)+f (b)
2

f

a+b
2

a

a+b
2

b

x

Nhóm Giải tích 1 - CLB Hỗ trợ học tập
Life is like a piano. The white keys represent happiness and the black show sadness. But as you go
through life’s journey, remember that the black keys also create music.

3


Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ học tập
y

Hàm lõm
Cho f (x) là hàm số xác định trên [a, b]. Hàm f (x) gọi là
f

lõm trên [a, b] nếu với ∀t ∈ [0, 1] thì

f (a)+f (b)
2

tf (a) + (1 − t)f (b) ≤ f ta + (1 − t)b
Với f (x) là hàm lõm và t =

1
thì ta có
2

f (a) + f (b)
≤f
2

2

y = f (x)
a+b
2

a+b
2

a

a+b
2

x

b

Định lý

Nếu f (x) > 0 trong đoạn [a, b] thì f (x) lồi trong [a, b]
Nếu f (x) < 0 trong đoạn [a, b] thì f (x) lõm trong [a, b]

3

Điểm uốn
Định nghĩa

Điểm I c, f (c) là điểm uốn của y = f (x) nếu điểm đó phân chia hai phần lồi và lõm của đồ thị
hàm số
Cách tìm
Để tìm điểm uốn, ta giải phương trình f (x) = 0 ra nghiệm x = c. Khi đó I c, f (c) chính là

điểm uốn của đồ thị

4

Ví dụ
π
, ta có bất đẳng thức
2
tan x + tan y
x+y
tan
≤
2
2

VD1 Chứng minh rằng với 0 < x < y <

Giải
Xét hàm f (x) = tan x. Ta có f (x) =

2 sin x
> 0, ∀x ∈
cos3 x

0,

π
. Do đó f (x) lồi trên
2

0,

π
2

hay

tf (x) + (1 − t)f (y) ≥ f tx + (1 − t)y , ∀t ∈ [0, 1]
Thay f (x) = tan x, ta được
t tan x + (1 − t) tan y ≥ tan tx + (1 − t)y

Nhóm Giải tích 1 - CLB Hỗ trợ học tập
Life is like a piano. The white keys represent happiness and the black show sadness. But as you go
through life’s journey, remember that the black keys also create music.

4


Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ học tập

1
Chọn t = , ta được đpcm
2
VD2 Xét tính lồi lõm của hàm số y = (x − 1)ex
Giải
Tập xác định: D = R
Ta có y = (x + 1)ex . Nhận thấy y ≥ 0 ⇔ x ≥ −1. Do đó hàm số lồi trên [1, +∞), lõm trên
(−∞, 1]. Điểm uốn của đồ thị hàm số là điểm x = −1

IV
1

Khảo sát đồ thị của hàm số
Đường cong thông thường

Đối với đường cong y = f (x)
Tìm các đường tiệm cận
• Tiệm cận ngang y = y0 là tiệm cận ngang (TCN) của đồ thị ⇔ lim f (x) = y0
x→+∞

• Tiệm cận đứng x = x0 là tiệm cận đứng (TCĐ) của đồ thị ⇔ lim f (x) = ∞
x→x0

• Tiệm cận xiên y = ax+b là tiệm cận xiên (TCX) của đồ thị ⇔ lim f (x) − (ax + b) = 0,
x→∞

trong đó
f (x)
x→∞ x

a = lim

,

b = lim f (x) − ax
x→∞

Lược đồ khảo sát đồ thị hàm số Gồm có 3 phần
• Tìm miền xác định

• Xác định các đường tiệm cận, chiều biến thiên, tính lồi lõm và lập bảng biến thiên
• Vẽ đồ thị

2

Đường cong cho bởi phương trình tham số

Đối với đường cong cho bởi phương trình tham số




x = x(t)

t ∈ [a, b] , quy trình tương tự



y = y(t)
như đối với đường cong y = f (x), chỉ khác là ta phải khảo sát thông qua biến trung gian t

Nhóm Giải tích 1 - CLB Hỗ trợ học tập
Life is like a piano. The white keys represent happiness and the black show sadness. But as you go
through life’s journey, remember that the black keys also create music.

5


Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ học tập

Tính đạo hàm
Ta sử dụng các công thức sau
dy
dy dt
y (t)
= .
=
dx
dt dx
x (t)
d2 y
y (t)x (t) − y (t)x (t)
=
3
2
dx
x (t)
Tìm các
 đường tiệm cận


 lim x(t) = x0
• Nếu t→t0
thì x = x0 là tiệm cận đứng


 lim y(t) = ∞
t→t0

• Nếu




 lim x(t) = ∞
t→t0

thì y = y0 là tiệm cận ngang



 lim y(t) = y0
t→t0


y(t)


 lim
=a
t→∞
t→t0 x(t)
• Nếu x, y −−−→ ∞ và


 lim y(t) − ax(t) = b

thì y = ax + b là tiệm cận xiên

t→t0

Nhóm Giải tích 1 - CLB Hỗ trợ học tập
Life is like a piano. The white keys represent happiness and the black show sadness. But as you go
through life’s journey, remember that the black keys also create music.

6