Bài 2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN

BÀI 2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN
Mục tiêu
 Kiến thức
+ Nắm được khái niệm bất phương trình, hệ bất phương trình một ẩn.
+ Nắm được khái niệm tập nghiệm của bất phương trình, hệ bất phương trình một ẩn.
+ Nắm được khái niệm bất phương trình tương đương
 Kĩ năng
+

Xác định tập nghiệm của bất phương trình bậc nhất một ẩn.

+ Kiểm tra bất phương trình tương đương.

Trang 1


I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Bất phương trình một ẩn

Ví dụ:

Bất phương trình ẩn x là một trong các mệnh đề Một số bất phương trình một ẩn
3 x < 1; x 2 − 3 x 3 + 5 ≤ x;
 A( x)

 A( x)
chứa biến 
 A( x)
 A( x)


> B ( x)

< B ( x)
≤ B ( x)

x + x −1
≥ 0.
x2 − 4

.

≥ B ( x)

Ví dụ: x = 3 là nghiệm của bất phương trình
x 2 − 2 x − 1 > 0 , vì 32 − 2.3 − 1 = 2 > 0.

Tập nghiệm của bất phương trình
Nghiệm của bất phương trình là giá trị của ẩn thay
vào bất phương trình ta được một khẳng định đúng.
Tập hợp tất cả các nghiệm của bất phương trình
được gọi là tập nghiệm của bất phương trình.
Bất phương trình tương đương
Hai bất phương trình tương đương là hai bất
phương trình có cùng tập nghiệm.
2. Hệ bất phương trình một ẩn
Hệ bất phương trình ẩn x gồm một số bất phương
trình ẩn x mà ta phải tìm các nghiệm chung

 A1 ( x ) < B1 ( x )


 A2 ( x ) < B2 ( x )

.......
 A ( x) < B ( x)
n
 n


 x2 −1 < 0

Ví dụ: Hệ bất phương trình một ẩn  x + 4 < 0 .
 3x + 1

≥3
 x−2

Giá trị x là nghiệm của tất cả các bất phương trình
của hệ được gọi là nghiệm của hệ bất phương trình.
Giải hệ bất phương trình bằng cách tìm giao các tập
hợp nghiệm của bất phương trình của hệ.
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Điều kiện xác định của bất phương trình
Phương pháp giải
 Biểu thức
 Biểu thức

f ( x)
xác định nếu g ( x ) ≠ 0.
g ( x)
f ( x ) xác định nếu f ( x ) ≥ 0.

Ví dụ: Tìm điều kiện xác định của bất phương trình
sau:
a) 2 x − 3 +

1
< 2 x + 1.
x −8
Trang 2


Tập xác định (TXĐ) của bất phương trình là tập
hợp tất cả các giá trị của biến số x để các biểu thức

b)

2x
2x +1
1
+
≥ 8+
.
x − 4 2x − 5
2x − 5
2

Hướng dẫn giải

f ( x ) , g ( x ) có nghĩa.

a) Bất phương trình xác định khi và chỉ khi
x − 3 ≥ 0
x ≥ 3
⇔
.

x − 8 ≠ 0
x ≠ 8
Vậy điều kiện xác định của bất phương trình là
x ≥ 3
.

x ≠ 8
b) Bất phương trình xác định khi và chỉ khi

x ≠ 2
 x2 − 4 ≠ 0

⇔  x ≠ −2.

2 x − 5 ≠ 0

5
x ≠

2
Vậy điều kiện xác định của bất phương trình là
5

x ∈ ¡ \ −2; 2;  .

2


Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Tìm điều kiện xác định của các bất phương trình sau:
a)

2020 − x ≥ x − 2020.

b)

x +1
1 − 3x
>
.
x+2
x+2

c)

x −3 +

d)

4 x + 1 − 3x − 2 ≥

2x − 3
1 − 3x
>
.

x + 3 ( x − 3) ( x − 4 )
2x +1
.
5

Hướng dẫn giải
a) Bất phương trình xác định khi và chỉ khi
 2020 − x ≥ 0
 x ≤ 2020
⇔
⇔ x = 2020.

 x − 2020 ≥ 0
 x ≥ 2020
Vậy điều kiện xác định của bất phương trình là x = 2020.
b) Bất phương trình xác định khi và chỉ khi x + 2 > 0 ⇔ x > −2.
vậy điều kiện xác định của bất phương trình là x > −2.
c) Bất phương trình xác định khi và chỉ khi

Trang 3


x ≥ 3
x − 3 ≥ 0
 x > −3
x > 3


⇔
⇔

.
x + 3 > 0
x ≠ 4
 x−3 x−4 ≠ 0
x ≠ 3
)(
)
(
 x ≠ 4
Vậy điều kiện xác định của bất phương trình là x ∈ ( 3; 4 ) ∪ ( 4; +∞ ) .
1

x≥−

4
x
+
1
≥
0

2

4
⇔
⇔ x≥
d) Bất phương trình xác định khi và chỉ khi 
3
3 x − 2 ≥ 0
x ≥ 2


3
2
Vậy điều kiện xác định của bất phương trình là x ≥ .
3
Ví dụ 2. Tìm tập xác định của các bất phương trình sau
a)

2 − 3x +

1
≥ 8.
1− 2x

c) 2 x + 6 − x ≥ 1 −

2
.
x − 25
2

b)

2x +1 1
>
+ 2.
x −1
x

d)

3x − 1 2 − x
>
− 2x + 3 .
x2 − 3
x −1

Hướng dẫn giải
2

x≤

2
−
3
x
≥
0

1

3
⇔
⇔ x< .
a) Bất phương trình xác định khi và chỉ khi 
2
1 − 2 x > 0
x < 1

2

1

Vậy tập xác định là D =  −∞; ÷.
2

x −1 ≠ 0
x ≠ 1
⇔
.
b) Bất phương trình xác định khi và chỉ khi 
x > 0
x > 0
Vậy tập xác định là D = ( 0;1) ∪ ( 1; +∞ ) .
x ≤ 6
6 − x ≥ 0

⇔  x ≠ −5.
c) Bất phương trình xác định khi và chỉ khi  2
 x − 25 ≠ 0
x ≠ 5

Vậy tập xác định là D = ( −∞; −5 ) ∪ ( −5;5 ) ∪ ( 5;6 ] .
x ≠ − 3

x − 3 ≠ 0
 x ≠ 3

 x > 1
x
−

1
>
0
⇔
⇔
.
d) Bất phương trình xác định khi và chỉ khi 
x > 1
x
≠
3


2 x + 3 ≥ 0


 x ≥ −3

2
2

(

) (

Vậy tập xác định là D = 1; 3 ∪

)

3; +∞ .

Trang 4


x + 2m + − x − 2 ≥ 5 xác định với mọi

Ví dụ 3. Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình
x ∈ [ −4; −2] .
Hướng dã giải
Bất phương trình xác định ∀x ∈ [ −4; −2] khi và chỉ khi
 x + 2m ≥ 0 ∀x ∈ [ −4; −2]
 x ≥ −2m ∀x ∈ [ −4; −2]
⇔
.

 x ≤ −2 ∀x ∈ [ −4; −2]
 − x − 2 ≥ 0 ∀x ∈ [ −4; −2]
Nhận xét x ≤ −2 ∀x ∈ [ −4; −2] là ln đúng.
Vì vậy ta chỉ cần có m ≥ −

x
 x
∀x ∈ [ −4; −2] ⇔ m ≥ max  − ÷ ⇔ m ≥ 2.
−
4;
−
2
[
] 2
2

Vậy m ≥ 2.
Ví dụ 4. Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình 2 x − m + 4 − 2 x ≥ 2 + 3 x có tập xác định là
một đoạn trên trục số.
Hướng dẫn giải
x − m ≥ 0
x ≥ m
⇔
.
Bất phương trình xác định khi và chỉ khi 
4 − 2 x ≥ 0
x ≤ 2
- Nếu m = 2 thì tập xác định của hàm số là D = { 2} .
- Nếu m > 2 thì tập xác định của hàm số là D = ∅.
- Nếu m < 2 thì tập xác định của hàm số là D = [ m; 2] .
Vậy m < 2 thỏa mãn.
Ví dụ 5. Tìm tất cả các giá trị của k sao cho bất phương trình

k − 2 x − x + 4 > 2 + 3 x có tập xác định là

tập hợp rỗng.
Hướng dẫn giải
k

k − 2 x ≥ 0
x ≤
⇔
2 .
Bất phương trình xác định khi và chỉ khi 
x + 4 ≥ 0
 x ≥ −4

- Nếu

k
= −4 ⇔ k = −8 khi đó tập xác định là D = { −4} .
2

- Nếu

k
k

> −4 ⇔ k > −8 khi đó tập xác định là D =  −4;  .
2
2


- Nếu

k
< −4 ⇔ k < −8 khi đó tập xác định là D = ∅ .
2

Vậy các giá trị cần tìm là k < −8.
Chú ý: Có thể lập luận như sau.

Trang 5


k
< −4 ⇔ k < −8.

2
2x + 7
> 2 − 8 − x xác định
Ví dụ 6. Tìm giá trị của x để bất phương trình x +
x+9

Để bất phương trình có tập xác định là tập rỗng thì

A. x ∈ [ −9;8] .

B. x ∈ ( −9;8] .

C. x ∈ [ 8; +∞ ) .

D. x ∈ ( −∞; −9 ) .

Hướng dẫn giải
x + 9 > 0
 x > −9
⇔
.
Bất phương trình xác định khi 
8 − x ≥ 0
x ≤ 8
Vậy điều kiện xác định là x ∈ ( −9;8] .
Chọn B.
Ví dụ 7. Tìm giá trị của x để bất phương trình
A. x ∈ [ −5; +∞ ) .

x+5

( x − 6)

2

< x + 1 xác định.

C. x ∈ [ −5; +∞ ) \ { 6} .

B. x ∈ ( −5; +∞ ) .

D. x ≠ 6.

Hướng dẫn giải
x + 5 ≥ 0
 x ≥ −5
⇔
.
Bất phương trình xác định khi 
x − 6 ≠ 0
x ≠ 6
Vậy điều kiện xác định là x ∈ [ −5; +∞ ) \ { 6} .
Chọn C.
Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Tập xác định của bất phương trình
A. D = ¡ \ { −2} .

C. D = ( −2; +∞ ) .

B. D = ¡ .

Câu 2: Tập xác định của bất phương trình
A. D = ¡ \ { ±2} .

1
+ 2019 − 2020 x < 0 là
x+2

x
1
+ 3x −
≥ 0 là
x −4
x −3
2

B. D = ¡ \ { ±2;3} .

Câu 3: Điều kiện xác định của bất phương trình
A. x ∈ ¡ .

C. D = ¡ .

1

C. x ∈  −∞;  .
2


B. x ∈ ( −∞; 2] .

B. x ∈ ( −5; 4] .

1 
D. x ∈  ; 4  .
2 

2 − x + 2 x > 3 + 2 x − 1 là

Câu 5: Điều kiện xác định của bất phương trình x +
A. x ∈ [ −5; 4] .

D. D = ( −∞; 2 ) ∪ ( 3; +∞ ) .

4 − x + 2 x < 5 + 1 − 2 x là

B. x ∈ ( −∞; 4] .

Câu 4: Điều kiện xác định của bất phương trình
A. x ∈ ¡ .

D. D = ( −∞; −2 ) .

1

C. x ∈  −∞;  .
2


1 

D. x ∈  ; 2  .
2 

1
< 5 − 4 − x là
x+5
C. x ∈ [ 4; +∞ ) .

D. x ∈ ( −∞; −5 ) .

Trang 6


Câu 6: Các giá trị của x thỏa mãn điều kiện của bất phương trình
A. x < 2.

B. x ≥ 1.

A. x ∈ [ −1; +∞ ) .

x +1

( x − 2)

A. m = 3.

3

x+2 + x+3+

2

1
> 2 x − 3 là
x

 x ≥ −2
.
D. 
x ≠ 0

< x + 1 là

C. x ∈ [ −1; +∞ ) \ { 2} .

B. x ∈ ( −1; +∞ ) .

Câu 9: Để bất phương trình

x ≥ 1
.
D. 
x ≠ 2

 x ≥ −3
.
C. 
x ≠ 0

B. x ≥ −3.

Câu 8: Điều kiện xác định của bất phương trình

1
+ x − 1 < 2 là
2− x

C. 1 ≤ x < 2.

Câu 7: Các giá trị của x thỏa mãn điều kiện của bất phương trình
A. x ≥ −2.

3

D. x ∈ ( −1; +∞ ) \ { 2} .

x − m − 6 − 2 x < 2019 − 2020 x có tập xác định là một đoạn trên trục số thì

B. m < 3.

1
D. m < .
3

C. m > 3.

m − 2 x + 3 x + 1 < 2020 có tập

Câu 10: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình
xác định là một đoạn trên trục số

A. m < −2.

1
C. m > − .
2

B. m > 2.

D. m > −2.

Dạng 2: Hai bất phương trình tương đương
Phương pháp giải
Hai

bất

phương

trình

f1 ( x ) < g1 ( x )

và Ví dụ: Chứng minh rằng hai bất phương trình

f 2 ( x ) < g 2 ( x ) được gọi là tương đương, kí hiệu:

3 x > 2 x + 1 và ( 3 x ) > ( 2 x + 1) là tương đương.
3

3

f1 ( x ) < g1 ( x ) ⇔ f 2 ( x ) < g 2 ( x ) nếu chúng có cùng Hướng dẫn giải
Tập xác định của hai bất phương trình là D = ¡ .
một tập hợp nghiệm.
Vì a > b ⇔ a 3 > b3 nên hai bất phương trình
Ta gọi D là tập xác định của bất phương trình
f ( x ) < g ( x ) và h ( x )

3 x > 2 x + 1 và ( 3 x ) > ( 2 x + 1) là tương đương.
3

là biểu thức xác định

3

∀x ∈ D thì:
 f ( x) + h ( x) < g ( x) + h ( x) ⇔ f ( x) < g ( x) .
 f ( x ) h ( x ) < g ( x ) h ( x ) nếu h ( x ) > 0 ∀x ∈ D.
 f ( x ) h ( x ) > g ( x ) h ( x ) nếu h ( x ) < 0 ∀x ∈ D.
Bình phương hai vế của bất phương trình (hai vế
không âm) mà không làm thay đổi điều kiện của nó
ta thu được bất phương trình tương đương với bất
Trang 7


phương trình đã cho.
Lập phương hai vế của bất phương trình ta thu
được bất phương trình tương đương với bất phương
trình đã cho.
Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Các cặp bất phương trình sau có tương đương khơng? Vì sao?
a) x + 1 < 2 x và 3 x < 4 x − 1.
b) x > 3 và x 2 − 4 x + 3 > 0.
Hướng dẫn giải
a) Với bất phương trình x + 1 < 2 x, cộng 2 x − 1 vào hai vế của bất phương trình, ta được
x + 1 + 2 x − 1 < 2 x + 2 x − 1 ⇔ 3x < 4 x − 1 .
Vậy hai bất phương trình đã cho tương đương.
b) Nhận xét rằng x = 0 là nghiệm của bất phương trình thứ hai nhưng khơng là nghiệm của bất phương
trình thứ nhất.
Vậy hai bất phương trình đã cho khơng tương đương.
Ví dụ 2. Trong các bất phương trình sau đây, bất phương trình nào tương đương với bất phương trình
5 x + 1 > 0 (*)?

a) 5 x + 1 −
b) 5 x + 1 +

1
1
>−
.
x −5
x−5
2x
2x
>
.
5x + 1
5x + 1

Hướng dẫn giải

1
Ta có 5 x + 1 > 0 ⇔ x > − .
5
a) 5 x + 1 −

1
1
>−
(1) không tương đương với 5 x + 1 > 0 vì x = 5 là nghiệm của bất phương trình
x −5
x−5

(*) nhưng khơng phải là nghiệm của bất phương trình (1).
b) Với x > −

2x
2x
1
1
>
⇔ 5x + 1 > 0 ⇔ x > − .
ta có 5 x + 1 +
5
5x + 1
5x + 1
5

Do đó bất phương trình 5 x + 1 +

2x

2x
>
tương đương với bất phương trình 5 x + 1 > 0.
5x + 1
5x + 1

Ví dụ 3. Khơng giải bất phương trình, hãy giải thích vì sao các bất phương trình sau vô nghiệm.
2
a) 2 x + 5 x + 2 + 3 ≤ 0.

b)

x
8 x + 4 2019
+
<
.
2x +1
2020
x

Hướng dẫn giải

Trang 8


2
2
a) Ta có 2 x + 5 x + 2 ≥ 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ 2 x + 5 x + 2 + 3 ≥ 3 > 0, ∀x ∈ ¡ .

Do đó bất phương trình vơ nghiệm.
b) Điều kiện x > 0.
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
x
8x + 4
x 8x + 4
+
≥2
.
= 4 > 1.
2x +1
2x +1
x
x
Mà

2019
x
8 x + 4 2019
< 1 do đó bất phương trình
+
<
vơ nghiệm.
2020
2x + 1
2020
x

Ví dụ 4. Bạn Hồng giải bất phương trình 3 + x ≤ x − 3 như sau
Bất phương trình tương đương với

( 3 + x)

2

≤ ( x − 3) ⇔ 9 + 6 x + x 2 ≤ x 2 − 6 x + 9 ⇔ 12 x ≤ 0 ⇔ x ≤ 0.
2

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = ( −∞;0] .
Theo em bạn Hồng giải như vậy đúng hay sai? Nếu sai hãy sửa lại cho đúng.
Hướng dẫn giải
Bạn Hồng mắc sai lầm ở phép biến đổi bình phương hai vế.
Hướng dẫn giải đúng là
Cách 1.
Với x − 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ 3 , bình phương hai vế của bất phương trình ta được

( 3 + x)

≤ ( x − 3) ⇔ 9 + 6 x + x 2 ≤ x 2 − 6 x + 9 ⇔ 12 x ≤ 0 ⇔ x ≤ 0.

2

2

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = ∅.
Cách 2.
Với x ≤ −3 , bất phương trình trở thành −3 − x ≤ x − 3 ⇔ 2 x ≥ 0 ⇔ x ≥ 0.
(mâu thuẫn với x ≤ −3 ).
Với x > −3 , bất phương trình trở thành 3 + x ≤ x − 3 ⇔ 3 ≤ −3 (vô lí).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = ∅.

Ví dụ 5.
Tìm tất cả các giá trị của m sao cho các bất phương trình sau đây tương đương

( m − 2) x − m + 5 > 0

(1) và ( m + 2 ) x − m + 4 > 0, (2).

Hướng dẫn giải
Ta dễ kiểm tra được m = 2; m = −2 không thỏa mãn, do đó (1) và (2) tương đương với nhau khi và chỉ khi
( m − 2 ) ( m + 2 ) > 0
 m > 2

 m > 2
⇔ 2
⇔
⇔ m = 6.
m−5 m−4
2
=
m = 6

 m − 3m − 10 = m − 6m + 8
m − 2 m + 2
Vậy m = 6 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Trang 9


Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1: Bất phương trình 3 + x +

1
1
> 3x +
tương đương với bất phương trình
2x − 4
2x − 4
3
và x ≠ 2.
2

A. 2 x < 3.

B. x <

3
C. x < .
2

D. Tất cả các bất phương trình trên.

Câu 2: Bất phương trình x +

3
3
< 2020 +
tương đương có bất phương trình.
x − 2019
x − 2019

A. 2 x < 2020.

B. x < 2020 và x ≠ 2019.

C. x < 1010.

D. Tất cả các bất phương trình trên.

Câu 3: Bất phương trình 2 x − 1 ≥ 0 tương đương với bất phương trình nào sau đây?
A. 2 x − 1 +

3
3
≥
.
x −3 x −3

B. 2 x − 1 −

C. ( 2 x − 1) x − 2020 ≥ x − 2020.

D.

3
3
≥−
.
x+3
x+3

2x −1

≥
x − 2020

1
.
x − 2020

Câu 4: Cặp bất phương trình nào sau đây là không tương đương?
x −1
x
≥ 2 .
x +1 x +1

A.

x − 1 ≥ x và x 2 − x − 1 ≥ x 2 − x.

B.

x − 1 ≥ x và

C.

x − 1 − x ≥ 0 và x − 1 ≥ x 2 .

D.

x − 1 ≥ x và − x − 1 + x < 0.

2

Câu 5: Cặp bất phương trình nào sau đây tương đương?
2
A. x − 2 ≤ 0 và x ( x − 2 ) ≤ 0.

2
B. x − 2 < 0 và x ( x − 2 ) > 0.

2
C. x − 2 < 0 và x ( x − 2 ) < 0.

2
D. x − 2 ≥ 0 và x ( x − 2 ) ≥ 0.

Câu 6: Bất phương trình

x − 1 ≥ x tương đương với

A. ( 1 − 2 x ) x − 1 ≥ x ( 1 − 2 x ) .

B. ( 2 x + 1) x − 1 ≥ x ( 2 x + 1) .

2
2
C. ( 1 − x ) x − 1 ≥ x ( 1 − x ) .

D. x x − 1 ≤ x 2 .

Câu 7: Với giá trị nào của m thì hai bất phương trình ( m + 3) x ≥ 3m − 6 và ( 2m − 1) x ≤ m + 2 tương
đương?

A. m = 0 hoặc m = 4.

B. m = 0.

C. m = 4.

D. m = 1.

Câu 8: Với giá trị nào của m thì hai bất phương trình ( m + 2 ) x ≤ m + 1 và 3m ( x − 1) ≤ − x − 1 tương
đương?
A. m = −3.

B. m = −2.

C. m = −1.

D. m = 3.

Câu 9: Với giá trị nào của a thì hai bất phương trình ( a + 1) x − a + 2 > 0 và ( a − 1) x − a + 3 > 0 tương
đương?
A. a = 1.

B. a = 5.

C. a = −1.

D. a = 2.

Trang 10

Dạng 3: Bất phương trình bậc nhất một ẩn
Phương pháp giải
Bất phương trình bậc nhất một ẩn có một trong Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau
các dạng
ax + b < 0; ax + b ≤ 0; ax + b > 0; ax + b ≥ 0 với a ≠ 0.

a)

x+3
− 2 x + 1 > x + 5.
2

b)

2x +1
x+2
−2≤
− x.
3
2

Hướng dẫn giải
a) Tập xác định D = ¡
Bất phương trình đã cho tương đương
x + 3 − 2 ( 2 x − 1) > 2 ( x + 5 )
⇔ x + 3 − 4 x + 2 > 2 x + 10
⇔ 5 − 3 x > 2 x + 10

⇔ 5 x < −5

⇔ x < −1.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
S = ( −∞; −1) .
b) Tập xác định D = ¡ .
Bất phương trình đã cho tương đương
2 ( 2 x + 1) − 12 ≤ 3 ( x + 2 ) − 6 x
⇔ 4 x + 2 − 12 ≤ 3x + 6 − 6 x

⇔ 7 x ≤ 16
⇔x≤

16
.
7

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là

Giải và biện luận bất phương trình dạng
ax + b < 0 (1)

 Nếu a = 0

16 

S =  −∞;  .
7

Ví dụ 2: Giải và biện luận bất phương trình
mx + 4 > 2 x + m 2 (1) theo m.

thì bất phương trình có dạng Hướng dẫn giải

0.x + b < 0.

Bất phương trình tương đương với

- Với b ≥ 0 thì tập nghiệm của bất phương trình là

( m − 2 ) x > m2 − 4

S = ∅.

⇔ ( m − 2 ) x > ( m − 2 ) ( m + 2 ) . (2)

- Với b > 0 thì tập nghiệm của bất phương trình là
S =¡ .

* Nếu m > 2 , bất phương trình ( 2 ) ⇔ x > m + 2.
* Nếu m < 2 , bất phương trình ( 2 ) ⇔ x < m + 2.
Trang 11


 Nếu a > 0 thì ( 1) ⇔ x < −

b
suy ra tập nghiệm là * Nếu m = 2 , bất phương trình
a
0 x > 0 (vơ nghiệm).

trở thành

Kết luận:

b

S =  −∞; − ÷.
a

 Nếu a < 0 thì ( 1) ⇔ x > −

( 2)

* Nếu m > 2 thì tập nghiệm của (1) là
b
suy ra tập nghiệm là
a

 b

S =  − ; +∞ ÷.
 a


S = ( m + 2; +∞ ) .
* Nếu m < 2 thì tập nghiệm của (1) là
S = ( −∞; m + 2 ) .
* Nếu m = 2 thì tập nghiệm của ( 1) là S = ∅.

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Giải các bất phương trình:
a)

3x + 5
x+2
−1 ≤
+ x.
2
3

7 − 3x 2
b) 3 ( 1 − x ) >
.
x +1
Hướng dẫn giải
a) Tập xác định là D = ¡ .
Bất phương trình đã cho tương đương với
3 ( 3x + 5) − 6 ≤ 2 ( x + 2 ) + 6 x
⇔ 9 x + 15 − 6 ≤ 2 x + 4 + 6 x

⇔ x ≤ −5.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = ( −∞; −5] .
b) Tập xác định là D = ¡ \ { −1} .
Bất phương trình đã cho tương đương với
3( 1 − x2 )
x +1

7 − 3x 2
3
7

4
>
⇔
>
⇔−
> 0 ⇔ x + 1 < 0 ⇔ x < −1.
x +1
x +1 x +1
x +1

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = ( −∞; −1) .
2
Ví dụ 2. Giải và biện luận bất phương trình ( m − 4 ) x + 3 > ( 2m − 1) x + m.

Hướng dẫn giải
Tập xác định là D = ¡ .
2
Bất phương trình tương đương ( m − 2m − 3) x > m − 3. (1)

Trang 12


 m = −1
2
.
Ta có m − 2m − 3 = 0 ⇔ 
m = 3
- Nếu m = −1 thì ( 1) ⇔ 0 x > −4 , nghiệm đúng với ∀x ∈ ¡ .
- Nếu m = 3 thì ( 1) ⇔ 0 x > 0 , bất phương trình vơ nghiệm.
- Nếu m < −1 hoặc m > 3 thì ( 1) ⇔ x >

- Nếu −1 < m < 3 thì ( 1) ⇔ x <

1
.
m +1

1
.
m +1

Kết luận:
 Với m = −1 tập nghiệm của bất phương trình là S = ¡ .
 Với m = 3 tập nghiệm của bất phương trình là S = ∅.
 1

; +∞ ÷.
 Với m < −1 hoặc m > 3 , tập nghiệm của bất phương trình là S = 
 m +1

1 

 Với −1 < m < 3, tập nghiệm của bất phương trình là S =  −∞;
÷.
m +1 

Ví dụ 3. Giải và biện luận bất phương trình

2x − m
> 2 − x, ( 1) với m ≠ 1.
m −1

Hướng dẫn giải
+) Nếu m − 1 > 0 ⇔ m > 1 thì bất phương trình (1) đã cho tương đương với
2 x − m > ( m − 1) ( 2 − x ) ⇔ ( m + 1) x > 3m − 2. (2)
Do m > 1 nên m + 1 > 0 nên ta có ( 2 ) ⇔ x >
Vậy khi m > 1 thì nghiệm của (1) là x >

3m − 2
.
m +1

3m − 2
.
m +1

+) Nếu m − 1 < 0 ⇔ m < 1 thì bất phương trình (1) tương đương với
2 x − m < ( m − 1) ( 2 − x ) ⇔ ( m + 1) x < 3m − 2. (3)
Khi m + 1 > 0 ⇔ m > −1, ta có ( 3) ⇔ x <

3m − 2
.
m +1

Khi m + 1 = 0 ⇔ m = −1, ta có ( 3) ⇔ 0 x < −5 (vô nghiệm).
Khi m < −1 ta có ( 3) ⇔ x >

3m − 2
.
m +1

Vậy khi −1 < m < 1 thì bất phương trình có nghiệm x <

3m − 2
.
m +1

Khi m = −1 , bất phương trình vơ nghiệm.
Khi m < −1 , bất phương trình có nghiệm x >

3m − 2
.
m +1
Trang 13


Kết luận:
 3m − 2

; +∞ ÷.
Với m > 1 hoặc m < −1 , tập nghiệm của bất phương trình là S = 
 m +1

3m − 2 

Với −1 < m < 1 , tập nghiệm của bất phương trình là S =  −∞;
÷.
m +1 

Với m = −1 , tập nghiệm của bất phương trình là S = ∅.
Ví dụ 4. Tìm tất cả các giá trị của a sao cho bất phương trình

x − 2a − 3
< 0 nghiệm đúng với mọi x thuộc
x−a+2

 3
đoạn 1;  .
 2
Hướng dẫn giải
Cách 1. Ta có
Ta có

x − 2a − 3
x+7
x+7
< 0 ⇔ 2−
<0⇔
> 2.
x−a+2
x−a+2
x−a+2

x − 2a + 3
 3
< 0 thỏa mãn ∀x ∈ 1; 
x−a+2
 2

⇔

x+7
 3
> 2 thỏa mãn ∀x ∈ 1; 
x−a+2
 2

⇒

x+7
 3
> 0 ∀x ∈ 1; 
x−a+2
 2

 3
⇒ x − a + 2 > 0 ∀x ∈ 1;  (do x + 7 > 0 với x ≥ 1 )
 2
 3
⇔ a < x + 2 ∀x ∈ 1; 
 2
⇔ a < min ( x + 2 ) = 3.
 3
1; 
 2

Do đó a < 3 là điều kiện cần của bài tốn.
 3
Vì x − a + 2 > 0 với ∀x ∈ 1;  .
 2
Khi đó bất phương trình tương đương với x − 2a − 3 < 0

⇔a>

x−3
 3
∀x ∈ 1; 
2
 2

3
 x−3
⇔ a > max 
=− .
÷
 3
2 
4
1; 2  




Vậy các giá trị cần tìm của bài tốn là −

3
< a < 3.
4

Cách 2.
Trang 14

Với 2a + 3 > a − 2 ⇔ a > −5 thì bất phương trình đã cho tương đương a − 2 < x < 2a + 3
Do đó

x − 2a − 3
 3
< 0 với ∀x ∈ 1; 
x−a+2
 2

a − 2 < 1
a < 3
3


⇔
3⇔
3 ⇔ − < a < 3.
4
2a + 3 > 2
a > − 4
Với a − 2 > 2a + 3 ⇔ a < −5.
Ta có

x − 2a + 3
 3
< 0 với ∀x ∈ 1; 
x−a+2
 2

2a + 3 < 1 a < −1


⇔
3 ⇔
7 (vô nghiệm).
a − 2 > 2
a > 4
Với 2a + 3 = a − 2 ⇔ a = −5 thì bất phương trình đã cho trở thành
Vậy các giá trị cần tìm của bài tốn là −

x+7
< 0 (vô nghiệm).
x+7

3
< a < 3.
4

Chú ý: Đây là bài tốn tìm điều kiện của tham số để một bất phương trình chứa ẩn ở mẫu nghiệm đúng
 3
với mọi x ∈ 1;  nhưng trong bài tốn này có liên quan đến bất phương trình bậc nhất. Trong cách 1,
 2
chúng ta rất dễ nhầm lẫn điều kiện cần là điều kiện đủ. Ta để ý rằng

x − 2a + 3
 3
< 0 với ∀x ∈ 1;  không
x−a+2
 2

 3
tương đương với x − a + 2 > 0 với ∀x ∈ 1;  .
 2
Ví dụ 5. Tìm a, b nguyên dương sao cho mọi nghiệm của bất phương trình x − a + 1 ≤ 2b + 4 (1) cũng là
nghiệm của bất phương trình 2 x − b − 5 ≤ 2b + 2 (2).
Hướng dẫn giải
Điều kiện để (1) và (2) có nghiệm là b ≥ −1.
Gọi T1 , T2 lần lượt là tập nghiệm của (1), (2). Ta có
 −b + 3 3b + 7 
T1 = [ a − 2b − 5; 2b + a + 3] ; T2 = 
;
2 
 2
Để mọi nghiệm của (1) đều là nghiệm của (2) thì
 −b + 3 3b + 7 
T1 ⊂ T2 ⇔ [ a − 2b − 5; 2b + a + 3] ⊂ 
;
2 
 2

Trang 15


−b + 3

a
−
2
b

−
5
≥

2 ⇔  2a − 4b − 10 ≥ −b + 3 ⇔ 2a − 3b ≥ 13 ( 3) .
⇔


4b + 2a + 6 ≤ 3b + 7
2a + b ≤ 1 ( 4 )
2b + a + 3 ≤ 3b + 7

2
Ta thấy (4) vô nghiệm (vì a, b ∈ ¢ , a, b > 0 ) ⇒ Hệ (3), (4) vơ nghiệm.
Vậy khơng có giá trị nào của a và b thỏa mãn bài toán.
Chú ý: Trong cách giải trên ta đã tìm hai tập nghiệm của hai bất phương trình theo a, b và cho T1 ⊂ T2 .
Ở đây chúng ta chú ý phân biệt điều kiện để hai bất phương trình có nghiệm chung, hay mọi nghiệm của
bất phương trình này là nghiệm của bất phương trình kia.
Ví dụ 6. Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình sau vô nghiệm m 2 x + 4m − 3 < x + m 2 .
A. m = 1.

B. m ≠ 1.

C. m = −1.

D. m < −1.

Hướng dẫn giải
2
2

Viết lại bất phương trình dưới dạng ( m − 1) x − ( m − 4m + 3) < 0.

Khi đó, bất phương trình vơ nghiệm khi và chỉ khi
 m 2 − 1 = 0
m = ±1
⇔
⇔ m = 1.


2
2
−
m
−
4
m
+
3
≥
0
−
m
−
4
m
+
3
≥
0
(

)
(
)



Vậy m = 1 , bất phương trình vơ nghiệm.
2
Ví dụ 7. Tìm tất cả các giá trị của m sao cho bất phương trình m ( x − 2 ) + x + m ≥ 0 có nghiệm

x ∈ [ −1; 2] .
A. m ≥ −2.

B. m ≠ −2.

C. m ≤ −2.

D. m < −2.

Hướng dẫn giải
Bất phương trình tương đương với

( m2 + 1) x ≥ 2m2 − m ⇔ x ≥

2m 2 − m
(vì m 2 + 1 > 0 ).
2
m +1

 2m 2 − m


S
=
Tập nghiệm của bất phương trình là
 m 2 + 1 ; +∞ ÷.


 2m 2 − m

; +∞ ÷ ≠ ∅
Yêu cầu bài toán trở thành [ −1; 2] ∩  2
 m +1

2m 2 − m
⇔
≤ 2 ⇔ 2m 2 − m ≤ 2m 2 + 2 ⇔ m ≥ −2.
2
m +1
Vậy m ≥ −2 .
Chọn A.
Bài tập tự luyện dạng 3
Câu 1: Tập nghiệm S của bất phương trình 5 x − 1 ≥

2x
+ 3 là
5
Trang 16


A. S = ¡ .

B. S = ( −∞; 2 ) .

 5

C. S =  − ; +∞ ÷.
 2


 20

D. S =  ; +∞ ÷.
 23


Câu 2: Bất phương trình
A. 4.

3x + 5
x+2
−1 ≤
+ x có bao nhiêu nghiệm nguyên lớn hơn −10 ?
2
3
B. 5.

C. 9.

D. 10.

Câu 3: Tập nghiệm S của bất phương trình x + x − 2020 ≤ 2020 + x − 2020 là
A. S = [ 2020; +∞ ) .

B. S = ( −∞; 2020] .

C. S = { 2020} .

D. S = ∅.

Câu 4: Tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình
A. 15.

B. 11.

x−2
≤
x−4

4
bằng
x−4

C. 26.

D. 0.

Câu 5: Tập nghiệm S của bất phương trình ( x − 3) x − 2 ≥ 0 là
A. S = { 2} ∪ ( 3; +∞ ) .

B. S = ( 3; +∞ ) .

C. S = { 2} ∪ [ 3; +∞ ) .

D. S = [ 3; +∞ ) .

2
Câu 6: Bất phương trình ( 2 x − 1) ( x + 3) − 3x + 1 ≤ ( x − 1) ( x + 3 ) + x − 5 có tập nghiệm là

2

A. S =  −∞; − ÷.
3


 2

B. S =  − ; +∞ ÷.
 3


(

Câu 7: Tập nghiệm S của bất phương trình x + 3
 3

A. S =  ; +∞ ÷
÷.
 6



3
B. S =  −∞;  .
6 


C. S = ¡ .

) ≥ ( x − 3)
2

D. S = ∅.
2

+ 2 là

C. S = ¡ .

D. S = ∅.

Câu 8: Tập nghiệm S của bất phương trình 5 ( x + 1) − x ( 7 − x ) > −2 x là
A. S = ¡ .

 5

B. S =  − ; +∞ ÷.
 2


5


C. S =  −∞; ÷.
2


D. S = ∅.

Câu 9: Bất phương trình ( m − 1) x > 3 vơ nghiệm khi
A. m ≠ 1.

B. m < 1.

C. m = 1.

D. m > 1.

Câu 10: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình m ( x − 1) < 2020 x − 3 có nghiệm.
A. m ≠ 2020.

B. m > 2020.

C. m = 2020.

D. m < 2020.

2
Câu 11: Bất phương trình ( m − 3m + 2 ) x < 2 − m vô nghiệm khi

A. m ≠ 1.

B. m ≠ 2.

C. m = 1; m = 2.

D. m ∈ ¡ .

2
2
Câu 12: Bất phương trình 4m ( 2 x − 1) ≥ ( 4m + 5m + 9 ) x − 12m nghiệm đúng với mọi x ∈ ¡ khi

A. m = −1.

9
B. m = .
4

C. m = 1.

9
D. m = − .
4

Trang 17


Câu 13: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình

(m

2

− m ) x + m < 6 x − 2 vô nghiệm. Tổng các phần tử trong S bằng

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

2
Câu 14: Bất phương trình ( m + 9 ) x + 3 ≥ m ( 1 − 6 x ) nghiệm đúng với mọi x ∈ ¡ khi

A. m ≠ 3.

B. m = 3.

C. m ≠ −3.

D. m = −3.

Câu 15: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình ( x + m ) m + x > 3x + 4 có tập nghiệm là

( −m − 2; +∞ ) .
A. m = 2.

B. m ≠ 2.

C. m > 2.

D. m < 2.

Dạng 4: Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn
Phương pháp giải
2 x − 4 < 0
.
Ví dụ 1. Giải hệ bất phương trình 
từng bất phương trình của hệ bất phương trình. Khi
3 − 2 x > −3
Để giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn ta giải

đó tập nghiệm của hệ bất phương trình là giao của Hướng dẫn giải
các tập nghiệm của từng bất phương trình.

Ta có
2 x − 4 < 0
2 x < 4
x < 2
⇔
⇔
⇔ x < 2.

3 − 2 x > −3 −2 x > −6
x < 3
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
S = ( −∞; 2 ) .
3 x − 5 ≤ 0

Ví dụ 2: Giải hệ bất phương trình  2 x + 3 ≥ 0.

x +1 > 0

Hướng dẫn giải
5
+) 3 x − 5 ≤ 0 ⇔ x ≤ . Tập nghiệm của bất phương
3
5

trình thứ nhất là S1 =  −∞;  .
3

3
+) 2 x + 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ − . Tập nghiệm của bất
2
 3

phương trình thứ hai là S 2 =  − ; +∞ ÷.
 2

+ x + 1 > 0 ⇔ x > −1 . Tập nghiệm của bất phương
thứ ba là S3 = ( −1; +∞ ) .
Vậy tập nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là
Trang 18


5

S = S1 ∩ S2 ∩ S3 =  −1;  .
3


Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Giải các hệ bất phương trình sau
( 2 − x ) 2 > 4 + 3 x + x 2
b) 
.
3
3
2
( x + 2 ) < x + 6 x − 9 x − 1

2 x − 4 > 5 x + 4
;
a) 
3 x + 1 ≥ 6 x − 5
Hướng dẫn giải
a) Ta có
8

2 x − 4 > 5 x + 4
3 x < −8
8
x < −
⇔
⇔
3⇔ x<− .

3
3 x + 1 ≥ 6 x − 5
3 x ≤ 6
 x ≤ 2

8

Vậy tập nghiệm của hệ bất phương trình là S =  −∞; − ÷.
3

b) Ta có
2
2
( 2 − x ) 2 > 4 + 3 x + x 2
 4 − 4 x + x > 4 + 3x + x
⇔

 3
3
2
3
2
3
2
( x + 2 ) < x + 6 x − 9 x − 1  x + 6 x + 12 x + 8 < x + 6 x − 9 x − 1

x < 0
7 x < 0
−3

⇔
⇔
3⇔ x< .
7

21x < −9
 x < − 7
−3 

Vậy tập nghiệm của hệ bất phương trình là S =  −∞; ÷.
7 

Ví dụ 2. Giải các hệ bất phương trình sau
x +1 ≥ 0

;
a)  2 x + 2 < 6
3 x − 2 ≤ 2 x + 3


x −1 ≤ 2x − 3

.
b) 3 x < x + 5
5 − 3 x ≤ 2 x − 3
(
)


Hướng dẫn giải
a) Ta có
x +1 ≥ 0
 x ≥ −1  x ≥ −1




⇔ 2 x < 4 ⇔  x < 2 ⇔ −1 ≤ x < 2.
2 x + 2 < 6
3 x − 2 ≤ 2 x + 3  x ≤ 5
x ≤ 5



Vậy tập nghiệm của hệ bất phương trình là S = [ −1; 2 ) .
b) Ta có

Trang 19



x ≥ 2
x −1 ≤ 2x − 3
x ≥ 2

5
11
5



⇔ 2 x < 5 ⇔  x < ⇔ ≤ x < .
3 x < x + 5
2
5
2

5 − 3 x ≤ 2 x − 3
5 x ≥ 11 
(
)


 11
 x ≥ 5
11 5 
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S =  ; ÷.
 5 2
Ví dụ 3. Tìm tất cả các giá trị của m sao cho hệ bất phương trình sau có nghiệm duy nhất
3 x + 2 − 2m ≤ 0
.

 mx + m − 1 ≤ 0
Hướng dẫn giải
+) 3 x + 2 − 2m ≤ 0 ⇔ x ≤

2m − 2
.
3

2m − 2 

.
Tập nghiệm của bất phương trình thứ nhất là T1 =  −∞;
3 

+) mx + m − 1 ≤ 0 ⇔ mx ≤ 1 − m . (*)

Trường hợp 1: Với m = 0 thì 0 x ≤ 1 luôn đúng. Tập nghiệm của (*) là T2 = ¡ .
Khi đó, tập nghiệm của hệ là T = T1 ∩ T2 = T1 , do đó nghiệm của hệ khơng phải là duy nhất.
Do đó m = 0 không thỏa mãn.
Trường hợp 2: Với m > 0 , khi đó x ≤

1− m
.
m

1− m 

.
Tập nghiệm của (*) là T2 =  −∞;
m 


 2m − 2 1 − m  
;
Khi đó tập nghiệm của hệ là T = T1 ∩ T2 =  −∞; min 
 , do đó nghiệm của hệ khơng phải là
m ÷
 3


duy nhất. Do đó m > 0 khơng thỏa mãn.
Trường hợp 3: Với m < 0 , khi đó x ≥

1− m
.
m

1 − m

; +∞ ÷.
Tập nghiệm của (*) là T2 = 
 m

Khi đó, hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi
m = 1
2m − 2 1 − m

2
=
⇔ 2m + m − 3 = 0 ⇔ 
3.
3
m
m = − 2
3
Do m < 0 nên m = − .
2
Trang 20


3
Vậy giá trị m thỏa mãn là m = − .
2
Ví dụ 4. Giải và biện luận bất phương trình −1 ≤

x+m

≤ 1. (1)
mx + 1

Hướng dẫn giải
Với m = 0 , khi đó ( 1) ⇔ −1 ≤ x ≤ 1.
Với m ≠ 0 , điều kiện xác định: x ≠

−1
m

Ta viết lại bất phương trình (1) dưới dạng
2

x+m
 x+m 
 x+m
 x + m

≤1⇔ 
− 1÷
+ 1÷ ≤ 0
÷ ≤1⇔ 
mx + 1
 mx + 1 
 mx + 1  mx + 1 
⇔ ( 1 − m 2 ) ( x 2 − 1) ≤ 0. (2)
Xét 3 trường hợp:
+) Trường hợp 1: 1 − m 2 = 0 ⇔ m = ±1.
Với m = 1 thì 0 x ≤ 0 (ln đúng).
Vậy (2) nghiệm đúng với mọi x ≠ −1.

Với m = −1 thì 0 x ≤ 0 (luôn đúng).
Vậy (2) nghiệm đúng với mọi x ≠ 1.
2
+) Trường hợp 2: 1 − m > 0 ⇔ m < 1.
2
Khi đó ( 2 ) ⇔ x − 1 ≤ 0 ⇔ x ≤ 1 (luôn thỏa mãn với x ≠ −

1
)
m

2
+) Trường hợp 3: 1 − m < 0 ⇔ m > 1.
2
Khi đó ( 2 ) ⇔ x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1 (luôn thỏa mãn với x ≠ −

1
)
m

Kết luận:
Với m = 1 , bất phương trình nghiệm đúng với mọi x ≠ −1.
Với m = −1 , bất phương trình nghiệm đúng với mọi x ≠ 1.
Với m < 1 , bất phương trình có nghiệm là x ≤ 1.
Với m > 1 , bất phương trình có nghiệm là x ≥ 1.
 a ( x − 2 ) ≥ x − 3
Ví dụ 5. Tìm tất cả các giá trị của a sao cho hệ bất phương trình 
có nghiệm.
8 ( a + 1) x > 8ax + 9
Hướng dẫn giải

Trang 21


( a − 1) x ≥ 2a − 3
 a ( x − 2 ) ≥ x − 3

⇔
Ta có 
9
x >
8 ( a + 1) x > 8ax + 9
8


(1)

+) Trường hợp 1: a − 1 > 0 ⇔ a > 1.
2a − 3

 x ≥ a − 1
.
Khi đó ( 1) ⇔ 
x > 9

8

(2)

Hệ (2) ln có nghiệm với ∀a > 1.

+) Trường hợp 2: a − 1 < 0 ⇔ a < 1.
2a − 3

x
≤

9
2a − 3
a −1
⇔ .
Ta có ( 1) ⇔ 
9
8
a
−
1
a >

8
Hệ có nghiệm ⇔

9 2a − 3
15
<
⇒ a < ⇒ a < 1 (thỏa mãn).
8 a −1
7

9

+) Trường hợp 3: a − 1 = 0 ⇔ a = 1 ta có ( 1) ⇔ x > .
8
Vậy hệ ln có nghiệm với mọi giá trị của a.
Chú ý: Bài toán giải và biện luận hệ bất phương ln là một bài tốn khó bởi vì nó có rất nhiều trường
hợp, ngồi việc ta phải tính tốn, nắm được cách giải của dạng bài, ta cịn phải trình bày một cách có hệ
thống để người đọc có cảm giác khơng rườm rà. Bài tốn tìm điều kiện của tham số để một hệ có nghiệm
thực tế cũng là giải và biện luận theo tham số a. Bạn đọc thông qua hướng dẫn giải này hãy tóm tắt lại
việc giải và biện luận của hệ đã cho.

 m ( mx − 1) < 2
.
Ví dụ 6. Tìm tất cả các giá trị của m sao cho hệ bất phương trình sau có nghiệm 
 m ( mx − 2 ) ≥ 2m + 1
Hướng dẫn giải
2
2
 m x < m + 2
m x < m + 2
⇔ 2
.
Hệ bất phương trình tương đương có 
 m ( mx − 2 ) ≥ 2m + 1 m x ≥ 4m + 1

0 x < 2
, hệ bất phương trình vơ nghiệm.
+) Với m = 0 , ta có hệ bất phương trình trở thành 
0 x ≥ 1

 x <
+) Với m ≠ 0 , ta có hệ bất phương trình tương đương với 

x ≥

Suy ra hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi

m+2
m2
.
4m + 1
m2

m + 2 4m + 1
1
>
⇔m< .
2
2
m
m
3

Trang 22


Vậy 0 ≠ m <

1
là giá trị cần tìm.
3

Ví dụ 7. Tìm tất cả các giá trị của m sao cho hệ bất phương trình sau có nghiệm duy nhất

( x − 3) 2 ≥ x 2 + 7 x + 1
.

 2m ≤ 8 + 5 x
A. m =

13
.
72

B. m = 13.

D. m =

C. m = 72.

72
.
13

Hướng dẫn giải
2
2
2
Bất phương trình ( x − 3) ≥ x + 7 x + 1 ⇔ x − 6 x + 9 ≥ x + 7 x + 1 ⇔ x ≤
2

8
.
13

8

Tập nghiệm S1 =  −∞;  .
13 

Bất phương trình 2m ≤ 8 + 5 x ⇔ x ≥

2m − 8
.
5

 2m − 8

; +∞ ÷.
Tập nghiệm S 2 = 
 5

Hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi S1 ∩ S 2 là tập hợp có đúng một phần tử.
Do đó

8 2m − 8
72
=
⇔m= .
13
5
13

Vậy m =

72
là giá trị thỏa mãn yêu cầu bài toán.
13

Bài tập tự luyện dạng 4
 3
Câu 1: Tập S =  −1; ÷ là tập nghiệm của hệ bất phương trình nào sau đây?
 2
 2 ( x − 1) < 1
.
A. 
 x ≥ −1

 2 ( x − 1) > 1
.
B. 
 x ≥ −1

 2 ( x − 1) < 1
.
C. 
 x ≤ −1

 2 ( x − 1) < 1
.
D. 
 x ≤ −1

5


6 x + 7 > 4 x + 7
. là
Câu 2: Số nghiệm nguyên của hệ bất phương trình 
 8 x + 3 < 2 x + 25
 2
A. vô số.

B. 4.

C. 8.

D. 0.

5 x − 2 < 4 x + 5
Câu 3: Tổng tất cả các nghiệm nguyên của hệ bất phương trình  2
bằng
2
 x < ( x + 2 )
A. 21.

B. 27.

C. 28.

D. 29.

Trang 23

 2 x − 1 < − x + 2019

Câu 4: Tập nghiệm S của hệ bất phương trình 
2020 − 6 x là
3
+
x
>

2
A. S = ∅.

 2014 2020 
;
B. S = 
÷.
3 
 8

2014 

C. S =  −∞;
÷.
8 


 2018

; +∞ ÷.
D. S = 

 3


2 x − 1 > 0
Câu 5: Hệ bất phương trình 
có nghiệm khi và chỉ khi
x − m < 2
3
A. m < − .
2

3
B. m ≤ − .
2

3
C. m > − .
2

3
D. m ≥ − .
2

3 ( x − 6 ) < −3

Câu 6: Hệ bất phương trình  5 x − m
có nghiệm khi và chỉ khi
>7

 2

A. m > −11.

B. m ≥ −11.

C. m < −11.

D. m ≤ −11.

 x2 −1 ≤ 0
Câu 7: Hệ bất phương trình 
có nghiệm khi và chỉ khi
x − m > 0
A. m > 1.

B. m = 1.

C. m < 1.

D. m ≠ 1.

3 x + 4 > x + 9
Câu 8: Hệ bất phương trình 
vơ nghiệm khi và chỉ khi
1 − 2 x ≤ m − 3 x + 1
5
A. m > .
2

5
B. m ≥ .

2

5
C. m < .
2

D. m ≤

5
2

 2m ( x + 1) ≥ x + 3
Câu 9: Để hệ bất phương trình 
có nghiệm duy nhất thì
 4mx + 3 ≥ 4 x
5
A. m = .
2

3
B. m = .
4

3
5
C. m = ; m = .
4
2

D. m = −1.

Đáp án và lời giải
Dạng 1. Điều kiện xác định của bất phương trình
1–A
2–B
3–C
4–D
HƯỚNG DẪ GIẢI TRẮC NGHIỆM

5–B

6–D

7–C

8–C

9–B

10 – D

Câu 9. Chọn B.
x − m ≥ 0
x ≥ m
⇔
.
Bất phương trình xác định khi 
6 − 2 x ≥ 0
x ≤ 3
 Nếu m = 3 thì tập xác định của hàm số là D = { 3} .

 Nếu m > 3 thì tập xác định của hàm số là D = ∅.
 Nếu m < 3 thì tập xác định của hàm số là D = [ m;3] .
Trang 24


Để tập xác định là một đoạn thì m < 3.
Câu 10. Chọn D.
m

m − 2 x ≥ 0
x ≤
⇔
2.
Bất phương trình xác định khi 
x +1 ≥ 0
 x ≥ −1
+)

m
= −1 ⇔ m = −2 thì tập xác định của hàm số là D = { −1} .
2

+)

m
< −1 ⇔ m < −2 thì tập xác định của hàm số là D = ∅.
2

+)

m
 m
> −1 ⇔ m > −2 thì tập xác định của hàm số là D =  −1;  .
2
2


Dạng 2. Hai bất phương trình tương đương
1-D
2–B
3–B
4–A
HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM

5–A

6–B

7–B

8–D

9–B

Câu 7. Chọn B.
Điều kiện: x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1.
Vì x ≥ 1 nên 2 x + 1 > 0 hay ( 2 x + 1) x − 1 ≥ x ( 2 x + 1) ⇔ x − 1 ≥ x.
Câu 8. Chọn B.
Xét ( m + 3) x ≥ 3m − 6 (1); ( 2m − 1) x ≤ m + 2 (2).
+) m = 1 , thì hệ số của x ở (1) dương, hệ số của x ở (2) dương. Suy ra nghiệm của hai bất phương trình

ngược chiều. Vậy m = 1 khơng thỏa mãn.
+) m = 0 , ta được

( 1) : 3x ≥ −6 ⇔ x ≥ −2;
(2): − x ≤ 2 ⇔ x ≥ −2.
Ta thấy thỏa mãn nhưng chưa đủ kết luận là đáp án B vì trong đáp án A cũng có m = 0 . Ta thử tiếp m = 4.
+) Với m = 4 , thì hệ số của x ở (1) dương, hệ số của x ở (2) dương. Suy ra nghiệm của hai bất phương
trình ngược chiều nên m = 4 không thỏa mãn.
Vậy m = 0 thỏa mãn.
Câu 9. Chọn D.
Viết lại ( m + 2 ) x ≤ m + 1 (1) và ( 3m + 1) x ≤ 3m − 1 (2).
+) Thay m = −3 vào (1) và (2), ta được

( 1) : − x ≤ −2 ⇔ x ≥ 2;
( 2 ) : −8 x ≤ −10 ⇔ x ≥

5
.
4

Vậy với m = −3 thì hai bất phương trình đã cho không tương đương.
Trang 25