BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN (Tiết 1) pps

§ 2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN (Tiết 1)
I.Mục tiêu
1:Kiến thức
Cần làm cho học sinh nắm được
+ Các khái niệm cơ bản như bất phương trình, hệ bất phương trình một ẩn, nghiệm và tập
nghiệm của bất phương trình, điều kiện của bất phương trình, giải bất phương trình.
+ Bất phương trình và hệ bất phương trình chứa tham số
+ Một số phương pháp biến đổi bất phương trình thường dùng.
2:Kĩ năng
Sau khi học xong bài này học sinh
+ Giải các bất phương trình đơn giản
+ Xác định tập nghiệm của bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn.
+ Liên hệ giữa nghiệm của bất phương trình và nghiệm của hệ bất phương trình
3: Thái độ
+ Tự giác,tích cực trong học tập
+ Biết phân biệt các khái niệm cơ bản và vận dụng trong từng trường hợp cụ thể
+ Tư duy các vấn đề của toán học một cách logic và hệ thống
II: Chuẩn bị của giáo viên và học sinh
1: Chuẩn bị của học sinh
+ Cần ôn lại một số kiến thức đã học như mệnh đề, phương trình,hệ phương trình, điều kiện
của phương trình,
+ Cách biểu diễn tập nghiệm trên trục số
+ Ôn tập lại bài 1
+ Đọc bài trước ở nhà
2:Chuẩn bị của giáo viên
+ Sách giáo khoa, giáo án, các câu hỏi gợi mở
+ Dụng cụ giảng dạy phấn, bảng
III: Phân phối thời lượng
Tiết 1:Từ đầu đến hết mục II
Tiết 2:Phần còn lại và bài tập
IV.Tiến trình dạy học

1:Ổn định lớp
2:Kiểm tra bài cũ.
Cho
( )
3f x x= −
a; Hãy tìm tập xác định của hàm số
b; Với giá trị nào của x thì
( )
0f x >
Câu trả lời mong đợi của học sinh
a; Tập tập xác định của hàm số là
3 0 3x x
− ≥ ⇔ ≥
b; Ta có

( ) 0
3 0
3 0
3
f x
x
x
x
>
− >
⇔ − >
⇔ >
Vậy với x>3 thì f(x)>0
3: Tiến trình bài mới
3.1: Đặt vấn đề

Ở cấp 2 chúng ta đã được làm quen với các bất phương trình, hệ bất phương trình một ẩn và
hai ẩn tuy nhiên nó không được định nghĩa một cách tường minh,cụ thể.Vậy để hiểu rõ hơn
về bất phương trình, hệ bất phương trình một ẩn và các tính chất của nó, chúng ta cùng nhau
đi nghiên cứu bài hôm nay “Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn”
3.2: Tiến trình bài mới
I: Khái niệm bất phương trình một ẩn
Hoạt động 1: Bất phương trình một ẩn.
Hoạt động của giáo
viên
Hoạt động của
HS
Ghi bảng
+ Em hãy cho biết VT và
VP của bất đẳng thức
trên
3 0x − >
+Từ bài kiểm tra bài cũ
em thấy bất đẳng thức là
mệnh đề đúng khi nào?
Sai khi nào?
Vì thế
3 0x − >
là hàm
mệnh đề và được gọi là
một bất phương trình
một ẩn.
+ Em hãy định nghĩa bất
phương trình một ẩn?
+ GV nêu định nghĩa?
HS suy nghĩ trả lời

+VT là:
3x −
+ VP là 0
Mệnh đề đúng khi
3x >
Mệnh đề sai khi
3x >
HS suy nghĩ trả lời
Bất phương trình
một ẩn là một hàm
mệnh đề chứa biến
Học sinh theo dõi
và ghi chép
+Định nghĩa:

- Bất phương trình một ẩn x là mệnh đề
chứa biến có dạng
( ) ( ) ( ( ) ( );
( ) ( ); ( ) ( )
f x g x f x g x
f x g x f x g x
< ≤
> ≥
(1)
-
( )f x
và
( )g x
lần lượt là vế trái và vế phải
của bất phương trình (1).

-
0
¡x ∈
sao cho (1) là mệnh đề đúng được
gọi là một nghiệm của bất phương trình.
- TậpA=
{
0 0 0
: ( ) ( )¡x f x g x∈ <
là mệnh đề
đúng
}
là tập nghiệm của bất phương trình.
+ Một em lấy ví dụ về
bất phươg trình ?
+GV nêu ví dụ2: Cho bất
phương trình
2 3.x ≤
a: Trong các số -2;
1
2 ; ;
2
π
số nào là nghiệm,
số nào không là nghiệm
của bất phương trình trên
b: Giải bất phương trình
đó và biểu diễn tập
nghiệm của nó trên trục
số

GV hướng dẫn hs làm
bài
GV nhắc lại:
Số thực
0
x
sao cho
0 0 0 0
0 0 0 0
( ) ( ) ;( ( ) ( );
( ) ( ); ( ) ( )
f x g x f x g x
f x g x f x g x
< ≤
> ≥
là mệnh đề đúng được
gọi là một nghiệm của
bất phương trình (1).
Ví dụ 1: 2x+3>5
HS suy nghĩ và trả
lời:
a: Số -2 là nghiệm
vì 2.(-2) = -4
4
≤
3.
Các số còn lại
không là nghiệm.
b: Giải bất phương
trình cho tập

nghiệm:
3
2
x ≤
.

- Khi A=
∅
thì bất phương trình vô nghiệm.
Ví dụ 1: 2x+3>5 là bất phương trình
VT là 2x+3
VP là 5
+Ví dụ 2
Cho bất phương trình
2 3.x ≤
a: Trong các số -2;
1
2 ; ; 10
2
π
số nào là
nghiệm, không là nghiệm của bất phương
trình trên.
b:Giải bất phương trình và biểu diễn tập
nghiệm của nó trên trục số.
Lời giải:
a; Ta có:
Cách 1 theo định nghĩa.
Số -2 là nghiệm vì 2.(-2) = -4
4

≤
3.
Số
1
2
2
không phải là ngiệm vì
1 5
2
2 2
=
và
5
2. 5 3
2
= >
Số π không phải là ngiệm vì 2.π=3.3,14>3
Cách 2: Giải nghiệm của bất phương trình.
b; Tập nghiệm của bất phương trình là
3
2
x ≤
.
0
3
2

Hoạt động 2:Điều kiện của bất phương trình
Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng
+ Cho phương trình

( ) ( )f x g x=
(1) thì điều
kiện của phương trình là
gì?
+ Tương tự đối với
phương trình thì điều
kiện của bất phương
trình là gì?
+ GV nêu định nghĩa?
+Từ ví dụ kiểm tra bài
cũ em hãy cho biết?
- Điều kiện của biểu
thức trong căn bậc chẵn
là gì?
- Điều kiện của biểu
thức chứa biến ở mẫu số
là gì?
+GV nêu chú ý
+Ví dụ: Tìm điều kiện
của bất phương trình
sau?
2
3 1x x x− + − ≤
+ Ví dụ2:Hãy tìm điều
kiện của các bất phương
trình sau?
HS trả lời.Là điều
kiện của ẩn x để
f(x) và g(x) có
nghĩa

+Là điều kiện của
ẩn x để f(x) và g(x)
có nghĩa
+ Biểu thức trong
căn bậc chẵn lớn
hơn và bằng 0
+ Mẫu số khác 0
Hs suy nghĩ tìm và
điền điều kiện
3 0
1 0
x
x
− ≥


+ ≥

Hs suy nghĩ tìm và
điền điều kiện
2. Điều kiện của bất phương trình
Điều kiện của bất phương trình là điều kiện
của ẩn số x để
( ) à ( )f x v g x
có nghĩa được
gọi là điều kiện xác định ( hay gọi tắt là
điều kiện )
Chú ý:
*
2

( ) ( )
n
f x n ∈¥
Điều kiện là
( ) 0f x ≥
( )
( )
f x
g x
Điều kiện là
( ) 0g x ≠
Ví dụ1: Điều kiện của bất phương trình
2
3 1x x x− + − ≤
là
3 0 à 1 0x v x− ≥ + ≥
Ví dụ2:Điều kiện xác định của các bpt sau.
a:
1
1x
x
< +
a:
1
1x
x
< +
b:
2
1x x> +

2
0
:
1
: 1 0
x
a
x
b x x
≠


> −

+ > ∀
b:
2
1x x> +
Bài làm.
2
0
:
1
: 1 0
x
a
x
b x x
≠



> −

+ > ∀
Hoạt động 3. Bất phương trình chứa tham số
Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng
+Em có nhận xét gì về
sự khác nhau giữa hai
bất phương trình sau?
( )
5 3 3 1
2 3 4 1(2)
x m x
x x
+ > −
+ > +
+GV nêu định nghĩa.
+GV nêu ví dụ
HS suy nghĩ trả lời.
- Bất phương trình
(1) có thêm số m
Học sinh theo dõi và
ghi chép
3. Bất phương trình chứa tham số
+ Định nghĩa:
Bất phương trình chứa tham số là bất
phương trình ngoài ẩn số còn có thêm một
hay nhiều chữ đại diện cho một số nào
đó.Ta gọi các chữ số đó là tham số.
+ Giải và biện luận bất phương trình chứa

tham số là xét xem với các giá trị nào của
tham số bất phương trình có nghiệm,vô
nghiệm.
Ví dụ : Cho 2 bất phương trình:
2(m-1)x +3 < 0
x
2
- mx+1
≥
0
x: là ẩn số
m: là tham số
Hoạt động 4: Hệ bất phương trình một ẩn.
Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng
+Giải 2 bất phuiwng
trình sau
4 0x − <

3 0x − ≥
Với giá trị x bằng bao
nhiêu thỏa mãn cả hai
bất phương trình trên?
Việc ta đi tìm được
được giá trị của x như
vậy là việc giải hệ bất
phương trình gồm 2
bất phương trình
+Từ đó em hãy nêu
định nghĩa về hệ bất
phương trình một ẩnvà

nghiệm của nó?
+ Giáo viên đưa ra
định nghĩa về hệ bất
phương trình ?
+Ví dụ 1 :Giải hệ bất
phương trình:
+HS trả lời
4
3
x
x
<


≥

HS trả lời
+Hệ bất phương trình
(ẩn x) gồm hai hay
nhiều bất phương trình
ẩn x
1. Định nghĩa.
+ Hệ bất phương trình (ẩn x) gồm một số
bất phương trình ẩn x mà ta phải tìm các
nghiệm chung của chúng.
+ Mỗi giá trị của x đồng thời là nghiệm
của tất cả các bất phương trình của hệ
được gọi là một nghiệm của hệ bất
phương trình đã cho.
+ Giải hệ bất phương trình là tìm tập

nghiệm của nó.
+Để giải một hệ bất phương trình ta giải
từng bất phương trình rồi lấy giao của
các tập nghiệm.
2: Ví dụ
Ví dụ : Giải hệ bất phương trình:



≥+
≥−
01
03
x
x
+ Giải hệ bất phương
trình ta làm gì?
+ Nghiệm của hệ bất
phương trình là gì?
GV chú ý nếu khi lấy
giao của hai tập
nghiệm trên trục số
chính là khoảng trống
của trục số
+Giải từng bất phương
trình trong hệ.
+Học sinh lên bảng
trình bày lời giải
3 0 (1)
1 0 (2)

x
x
− ≥


+ ≥


Giải bất phương trình (1)
3 0 3x x− ≥ ⇔ ≤
Giải bất phương trình (2)
1 0 1x x+ ≥ ⇔ ≥ −
Nghiệm cuả hệ bất phương trình là giao
của các bất phương trình
Biểu diễn nghiệm trên trục số.
Chú ý trong thực hành người ta thường
làm như sau.
3 0 (1) 3
1 3
1 0 (2) 1
x x
x
x x
− ≥ ≥
 
⇔ ⇔ − ≤ ≤
 
+ ≥ ≥ −
 
VI:Tóm tắt bài học

- Các khái niệm định nghĩa về bất phương trình hệ bất phương trình,điều kiện xác định của
các biểu thức.
- Cách biểu diễn tập hợp nghiệm trên trục số
V: Bài tập về nhà
- Ôn lại bài hôm nay và đọc bài hôm sau
- Làm bài tập 1,2,3
III: Một số phép biến đổi bất phương trình
1: Bất phương trình tương đương
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của HS Ghi bảng
+ Thế nào là hai phương
trình tương đương?
+ Tương tự phương
trình em nào cho thầy
biết thế nào là hai hệ
bất phương trình tương
đương ?
+ GV nêu định nghĩa
hai hệ bất phương trình
tương đương
+ Hệ bất phương trình
1 0
1 0
x
x
− ≥


+ ≥


trên tương đương với hệ
nào sau đây?
(a)
1 0
1 0
x
x
− ≥


+ ≤


(b)
1 0
1 0
x
x
− ≤


+ ≥

(c)
1 0
1 0
x
x
− ≤



+ ≤


(d)
1x ≤
.
GV gợi ý tìm tập
nghiệm của từng bất
phương trình
+ Hai phương trình
được gọi là tương
đương nếu chúng có
cùng tập nghiệm
+ Hai bất phương trình
được gọi là tương
đương nếu chúng có
cùng một tập nghiệm
1 0 1
1 0 1
x x
x x
− ≥ ≤
 
⇔
 
+ ≥ ≥ −
 
1 0 1
( )

1 0 1
x x
a
x x
− ≥ ≤
 
⇔
 
+ ≤ ≤ −
 
1 0 1
( )
1 0 1
x x
b
x x
− ≤ ≥
 
⇔
 
+ ≥ ≥ −
 
1 0 1
( )
1 0 1
x x
c
x x
− ≤ >
 

⇔
 
+ ≤ < −
 
( ) 1 1 1d x x≤ ⇔ − ≤ ≤
Trả lời chọn (d)
1. Bất phương trình tương đương
- Hai bất phương trình được gọi là
tương đương nếu chúng có cùng một
tập nghiệm
- Kí hiệu “
⇔
”để chỉ sự tương đương
của hai bất phương đó.
Ví dụ : Hai hệ bất phương trình:



≥+
≥−
01
03
x
x
và



−≥
≥

1
3
x
x
Là hai hệ bất phương trình tương
đương và viết :



≥+
≥−
01
03
x
x

⇔




−≥
≥
1
3
x
x
2. Phép biến đổi tương đương.
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của HS Ghi bảng
- GV nêu định nghĩa về

phép biến đổi tương
đương bất phương trình.
Học sinh theo dõi và
ghi chép
2. Phép biến đổi tương đương.
Khi giải một bất phương trình (hệ bất
phương trình )
Phép biến đổi tương đương là việc ta
liên tiếp biến đổi nó thành những bất
phương trình (hệ bất phương trình)
tương đương cho đến khi được bất
phương trình (hệ bất phương trình ) đơn
giản nhất mà ta có thể viết ngay tập
nghiệm
Ví dụ
3 0 3
1 3
1 0 1
x x
x
x x
− ≥ ≥
 
⇔ ⇔ − ≤ ≤
 
+ ≥ ≥ −
 
3. Cộng (trừ)
Hoạt động của giáo viên
Hoạt động

của HS
Ghi bảng
+ GV nêu ra tính chất Học sinh
theo dõi và
ghi chép
3. Cộng (trừ)
+Tính chất sgk(83)
+
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P x Q x P x f x Q x f x< ⇔ ± < ±
+ Nhận xét: Nếu cộng hai vế của bất
phương trình
( ) ( ) ( )P x Q x f x< +
với
biểuthức
( )f x−
Ta được
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).P x Q x f x P x f x Q x< + ⇔ − <
+ Chuyển vế và đổi dấu một hạng tử trong
một bất phương trình ta được một phương
Ví dụ 1
Các bất phương trình sau có
tương không?
(a)
1x
>
và
1x x x+ > +
;
(b)
1x > −

và
1x x x+ > − +
;
(c)
0x
>
và
;x x x+ >
(d)
1x
> −
và
1 0x
+ ≥
.
+ Ví dụ2 :Giải bất phương
trình:
2
( 2)(2 1) 2 ( 1)( 3)x x x x x+ − − ≤ + − +
GV gợi ý
Trả lời
.Chọn (a)
HS nên
bảng trình
bày
trình tương đương
Ví dụ 1:
Các bất phương trình sau có tương không?
(a)
1x >

và
1x x x+ > +
;
(b)
1x
> −
và
1x x x+ > − +
;
(c)
0x >
và
;x x x+ >
(d)
1x > −
và
1 0x + ≥
.
Trả lời .Chọn (a).
+Ví dụ :Giải bất phương trình:
2
2 2 2
2 2
2 2
( 2)(2 1) 2 ( 1)( 3)
2 4 2 2 3 3
2 3 4 2 2 3
2 3 4 (2 2 3) 0
1 0
1

x x x x x
x x x x x x x
x x x x
x x x x
x
x
+ − − ≤ + − +
⇔ − + − − ≤ + + − −
⇔ + − ≤ + −
⇔ + − − + − ≤
⇔ − ≤
⇔ ≤
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
( ,1)−∞

4. Nhân (chia)
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của HS Ghi bảng
+ GV nêu ra tính chất
Ví dụ 1
Các bất phương trình
sau có tương đương
không ?
(a)
1x
>
và
x x x>
;
(b)
1x

> −
và
x x x> −
;
(c)
0x
>
và
0x x >
;
(d)
1x
> −
và
2
x x> −
.
Ví dụ 2 :Giải bất
phương trình
2 2
2 2
1
2 1
x x x x
x x
+ + +
>
+ +
+Nhận xét mẫu thức
của bài toán

+Nhân 2 vế bất phương
trình với mẫu thức
chung: (x
2
+2)(x
2
+1)
+Chuyển vế và rút gọn
+Kết luận tập nghiệm
Học sinh theo dõi
và ghi chép
Trả lời .Chọn (a).
4. Nhân (chia)
+ Tính chất sgk (84)
+
( ) ( ) ( ). ( ) ( ). ( )P x Q x P x f x Q x f x< ⇔ <
nếu
( ) 0,f x x> ∀
( ) ( ) ( ). ( ) ( ). ( )P x Q x P x f x Q x f x< ⇔ >
nếu
( ) 0,f x x< ∀
Ví dụ 1: Các bất phương trình sau có tương
đương không ?
(a)
1x
>
và
x x x>
;
(b)

1x > −
và
x x x> −
;
(c)
0x
>
và
0x x >
;
(d)
1x
> −
và
2
x x> −
.
Trả lời .Chọn (a)
Ví dụ 2 : Giải bất phương trình:
2 2
2 2
2 2 2 2
4 2 3 2 4 2 3
4 2 3 2 4 2 3
1
2 1
( 1)( 1) ( )( 2)
1 2 2
1 ( 2 2 ) 0
1 0

1
x x x x
x x
x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
x
x
+ + +
>
+ +
⇔ + + + > + +
⇔ + + + + + > + + +
⇔ + + + + + − + + + >
⇔ − + >
⇔ <

5. Bình phương
Hoạt động của giáo Hoạt động của HS Ghi bảng
viên
Ví dụ 1:
+ Các bất đẳng thức
nào tương đương với
nhau? tại sao?
(a)
1x >
và
2
1;x >
(b)

1x > −
và
2
1x >
;
(c)
0x >
và
0x >
;
(d)
1 1x + > −
và
2
1 2.x + >
+ Ví dụ 2
Giải bất phương trình.
2 2
2 2 3x x x x+ + > − +
+ GV gợi ý làm bài
- Điều kiện của bất
phương trình là gì?
- Làm thế nào để mất
căn bậc hai?
HS theo dõi và ghi
chép
+ Điều kiện.
2
2
2 0

2 3 0
x x
x
x x

+ + >

∀ ∈

− + >


¡
+ Bình phương 2 vế
của bất phương
trình
5. Bình phương
+ Tính chất sgk (84)
Nếu hai vế của bất phương trình không âm
và bình phương hai vế bất phương trình ấy
mà không làm thay đổi điều kiện của nó thì
ta được một bất phương trình tương đương.
2 2
( ) 0, ( ) 0
( ) ( )
( ) ( )
P x Q x
P x Q x x
P x Q x
> >


⇔ < ∀

<

Ví dụ 1:
+ Các bất đẳng thức nào tương đương với
nhau? tại sao?
(a)
1x >
và
2
1;x >
(b)
1x > −
và
2
1x >
;
(c)
0x >
và
0x >
;
(d)
1 1x + > −
và
2
1 2.x + >
Trả lời (a);(c)

Ví dụ 2:Giải bất phương trình:
2 2
2 2 3x x x x+ + > − +

Điều kiện.
2
2
2 0
2 3 0
x x
x
x x

+ + >

∀ ∈

− + >


¡
Bình phương 2 vế của bất phương trình
(
)
(
)
2 2
2 2
2 2
2 2 3

2 2 3
4 1
1
4
x x x x
x x x x
x
x
⇔ + + > − +
⇔ + + > − +
⇔ >
⇔ >
Vậy nghiệm của bất phương trình là
1
4
x >
+ GV nêu chú ý
Chú ý:
+ Chỉ bình phương hai vế của bất phương
trình khi hai vế của bất phương trình không
âm.
+ Tổng quát hóa cách giải bất phương trình
dạng :
)(xf
>
)(xg



≥

>
⇒





≥
≥
>
⇔
0)(
)()(
0)(
0)(
)()(
xg
xgxf
xg
xf
xgxf
6. Chú ý
Hoạt động của giáo
viên
Hoạt động của HS Ghi bảng
+ GV nêu chú ý
+ GV nêu ví dụ và
hướng dẫn
Ví dụ1: Giải bất
phương trình

6
334
44
325 xxxx −−
−>
−+
+ Điều kiện của bất
HS theo dõi và ghi
chép
6. Chú ý
Khi biến đổi các biểu thức ở hai vế của
một bất phương trình thì điều kiện của bất
phương trình có thể bị thay đổi.
+ Để tìm nghiệm của một bất phương trình
ta phải tìm các giá trị của x thỏa mãn điều
kiện của bất phương trình đó và nó là
nghiệm của bất phương trình mới.
Ví dụ 1: Giải bất phương trình
6
334
44
325 xxxx −−
−>
−+
Điều kiện
3 0 3x x− ≥ ⇔ ≤
phương trình?
+ Chuyển vế và rút
gọn?
+ Kết hợp điều kiện =>

tập nghiệm của bất
phương trình.
Ví dụ 2: Giải bất
phương trình:
1
1
≥
x
Tương tự ví dụ 1
Ta có thể nhân cả 2 vế
của bất phương trình
với x đươc không?
5 2 3 4 3 3
4 4 6
5 2 3 4 3 3
0
4 4 6
2 3 4 3 3
0
2 6
3 2 3
0
2 3 2
2
3
x x x x
x x x x
x x x
x x
x

x
+ − − −
> −
+ − − −
⇔ − + >
+ − − −
⇔ + >
− −
⇔ + + − >
⇔ > −
Vậy nghiệm của bất phương trình là
2
3
3
x
x

> −



≤

+ Để giải một bất phương trình, cũng như
việc giải phương trình ta thực hiện theo các
bước sau :
B1. Tìm điều kiện của bất phương trình .
B2. Biến đổi các bất phương trình và tìm
nghiệm .
B3. Kết hợp với điều kiện để tìm nghiệm

của bất phương trình ban đầu .
B4 . Kết luận .
+ Khi thực hiện phép nhân (chia) hai vế của
bất phương trình P(x) < Q(x) với biểu thức
f(x) ta cần lưu ý đến điều kiện về dấu của
f(x)
+ Nếu f(x) nhận cả giá trị dương lẫn giá trị
âm thì ta phải lần lượt xét từng trường
hợp .Mỗi trường hợp dẫn đến một hệ bất
phương trình .
Ví dụ 2: Giải bất phương trình:
1
1
≥
x
Ví dụ 3:Giải bất
phương trình
2
1
4
17
2
+>+ xx
Ta có thể bình phương
2 vế của bất phương
trình được không?
Điều kiện
0x ≠
1
1

1
1 0
1
0 (1)
x
x
x
x
≥
⇔ − ≥
−
⇔ ≥
Xét 2 trường hợp
1
0
0 1
1
x
x
x
x
−

≥

⇔ < <


<


1
0
0
1
1
x
x
x
x
x
−

<
≥


⇔
 
>


>

Bất phương trình vô
nghiệm
Vậy nghiệm của bất phương trình là
0 1x
< <
3: Khi giải bất phương trình P(x) < Q(x)
mà phải bình phương hai vế thì ta lần lượt

xét hai trường hợp
a; P(x), Q(x) cùng có giá trị dương , ta bình
phương hai vế bất phương trình .
b; P(x),Q(x) cùng có giá trị âm ta viết
P(x) < Q(x)
( ) ( )P x Q x⇔ − > −
rồi bình
phương hai vế
Ví dụ 3:Giải bất phương trình
2
1
4
17
2
+>+ xx
Điều kiện
x∀
Xét 2 trường hợp
TH1:
1 1
0
2 2
x x+ < ⇔ < −
Với mọi
1
2
x < −
đều là nghiệm của bất
phương trình
TH2:

1 1
0
2 2
x x+ ≥ ⇔ ≥ −
Hai vế của bất phương trình dương nên
bình phương hai vế ta được.
2
2
2 2
2
1
1
2
2
17 1
17 1
4 4
4 2
1
2
4
1
4
2
x
x
x x x
x x
x
x

x


≥ −

≥ −

 
⇔
 
 
 
 
+ > + +
+ > +
 ÷
 ÷
 ÷



 
 


≥ −

⇔



<

⇔ − ≤ <
Vậy nghiệm của bất phương trình là
1
4
2
4
1
2
x
x
x

− ≤ <


⇔ <


< −


+ Dạng tổng quát:











>
≥



<
≥
⇔>
)()(
0)(
0)(
0)(
)()(
2
xgxf
xg
xg
xf
xgxf
VI:Tóm tắt bài học
- Các khái niệm định nghĩa về bất phương trình hệ bất phương trình
- Cách biểu diễn tập hợp nghiệm trên trục số
- Các phép biến đổi tương đương của bất phương trình
- Hai dạng toán giải bất phương trình tổng quát