PHUONG TRTAI LIEU DAY THEM TOAN 12
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (274.96 KB, 22 trang )
B
h
a
b
c
a
a
a
B
h
THỂ TÍCH KHỐI ĐA DI Ệ N
I/ Các công thức thể tích của khối đa diện:
1. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ:
B: dieän tích ñaùy
h : chieàu cao
Thể tích khối hộp chữ nhật
!
Thể tích khối lập phương
"
#$%&
2. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP
1
3
B : dieän tích ñaùy
h : chieàu cao
3. TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ DIỆN
'(%)*+++
,#-./012!3$**
*4
SABC
SA ' B' C'
V
SA SB SC
V SA' SB' SC'
=
C'
B'
A'
C
B
A
S
Chú ý:
56!789':;8&%
6!789':<==!>8&%
"
6!789':$=?<4" !%
a b c
+ +
56!78':.8,#@&
"
a
"54=#@4=4#,0#8,#@,&A#@B8
C'D4#,0#8,#@:#EF/8G.:#,0
H5IJ8FK#@J8FK#84#,0#8,#@
BÀI TẬP
''=*4#,0.8,;8&#!78L8*;884.=
C
"a
*"
M - (4=*N'
OPF8#-.:&* #$%#'&PN'
'4=.8,#@*4&#,0B8&AB8OPF8#-.:
8.*;884
M - (4=*PN'
"'4=*4#,0.8,;8&&A*;884#,0
*M - (4=*
H'4=*Q4#,0Q;8&&A*;884#,0&
A*B8
"a
M - :(4=*Q
8.F8#-.:&*#-.,#@,#E:4=*Q
R'4=*4*;884S8#;.$*
"a
M - :(4=*
T'(4=*4.D*.8,#@B.F'8.=;884
- :(4=*
U'(4=*4#,0.8 ;8G&;884:*AC
F/8F8G.O:.8,*3=#,084
V
TV
α
=
M - :(
4=*
W'(4=*Q4#,0Q'*.8,#@&
**QM - :(4=*Q
X'(4=*Q4#,0Q?<'*;884.D#,0CQ
*"
M - :(4=*
V'(4=*Q4#,0Q8;8Y'*;884.D
#,0CQ*Q
M - :(4=*Q
''=*Q4#,0;8&*;884.D#,0CQ84
8?*#,0CQHR
V
M - :(4=*Q
'(4=*4#,0.8,;8Y6E*,#@.D
AC*3=.D#,0C84TV
V
M - (4=*
Q
"'(J8FK+++4#,0.8,#@&B8&AB8
"a
C;884:+ACF/8F8#-.:M - (J8FKS#4Z0
F- :(4=+
Q
H'(J8FK.8,+++4#,0.8,#@&B8&A3=#,0
84TV
V
+,#@8.++?< - :(J8FK
+++
Q
R'J8FK#8+++4#,0.$.8,;8&
·
V
TVACB =
6!789'+:.DA++&'.D=L8C++.$84"V
V
8..8,
[ABC
;8&
M #$%#'&+
M - : ( J8FK +++ S#4Z0 F- :( 4= +
HD:
T'(J8FK+++4- B8O\]2!3F8#-.:&
++\D=L8C+\](J8FK#^'=2
M - :(4=+N'
M - :(4=+++N'
M - (4=+\]++N'
%M E)- :(4=+\]++\]+
U'J8F
_
#!
`
8+++'
`
#
`
0
a
.8
`
;8
_
A
`
+
a
8'
`
b
+>
`
.J
_
#
`
0J
a
8
α
\c8C8C+
a
d
`
A
b
d
`
b
;
`
J8F
_
Md
`
%A
_
d
`
A
`
%A
_
_
'A%'.=C+J
`
d
a
J8F
_
W\;
_
d
a
J8F
_
+++'
`
#
`
0
a
.8
`
#A
a
_
_
A+G#!>
a
8;8
8'
`
_
!
a
+e;
`
8#
`
0F
a
8>
`
F8#A
b
.P
b
_
Md
`
8'
`
8!
f
_
A>
`
#
`
0
a
d
`
A
b
d
`
b
J8F
_
\c.J
_
A++
a
d
a
!
f
G
_
Xd
a
J8F
_
#!
`
8+++'
`
#
`
0
a
.8
`
;8
_
8'
`
TV
V
6!>
a
8
N
`
'+
b
.J
_
AC++
_
'>
`
.J
_
=J
b
8C++.;
_
8'
`
"V
V
Md
`
#;
_
%
a
#'
_
+
Md
`
A
b
d
`
b
J8F
_
V';
`
;
_
=Q+++Q+'
`
G
`
b
`
_
#A
a
J
a
8
a
8'
`
>
b
#d
b
#A
a
J
a
8TV
V
Md
`
A
b
d
`
b
;
`
;
_
=#'
`
N'
';
`
J8F
_
+++'
`
#
`
0
a
.8
`
#A
a
_
#A
b
.+
`
#A
a
#A
b
.
_
A+
_
'>
`
.J
_
#
`
0.;
_
8'
`
TV
V
Md
`
A
b
d
`
b
;
`
J8F
_
#'
`
\c.J
_
A++
a
.;
_
d
a
!
f
G
_
Md
`
;
b
8%A
_
d
`
`
.J
_
A
b
J8F
_
CO'
_
a
%A
_
d
`
e8g
';
`
J8F
_
.8
`
#A
a
+++O'
_
\
a
F8#A
b
.
b
+\J
_
=J
b
8#g\+
;
`
J8F
_
a
=G
a
Md
`
d
b
Z;
`
A
b
d
`
b
=G
a
#'
`
"'d
a
J8F
_
#!
`
8.8
`
+++'
`
G
`
b
`
_
#A
a
J
a
8
Md
`
A
b
d
`
;
`
!
`
%A
_
++
\J
_
=J
b
8#g++
a
F'
_
8G..8
`
J
`
a
G
a
!>
_
_
h
a
iMd
`
A
b
d
`
;
`
'
`
=++ih
H'd
a
;
_
=Q+++Q+Md
`
d
b
Z;
`
A
b
d
`
b
;
`
!
`
%A
_
+Q+
a
A
b
d
`
;
`
;
_
=
R'd
a
;
_
=Q+++Q+8'
_
j
a
8'#A
b
.
b
a
QMd
`
d
b
Z;
`
A
b
d
`
b
;
`
'
`
=
j+++Q+
a
;
`
;
_
=#
f
'
"
T6
`
0
b
;
`
'
`
=
a
.;
_
.8
`
;8G'
`
_
8'
`
;8J
a
8\J
_
Ag
_
0A
a
;88'
`
>
`
#
`
0.;f.J
_
A
_
'>
`
#
`
0.;
_
8'
`
HR
V
\cG#!>
a
8';
`
'
`
=F
a
8>
`
F8#A
b
.
_
0A
a
Md
`
A
b
d
`
;
`
'
`
=
"U';
`
'
`
=!
`
8
`
#A
a
*Q'
`
_
#
`
0J
a
8
a
8'
`
*J
a
8
α
\c#!>
a
8'
b
;
`
'
`
=
'
−
aa
a
d
`
A
b
d
`
;
`
'
`
=
W';
`
'
`
=!
`
8
`
#A
a
*Q'
`
_
#
`
0J
a
88'
`
8!
f
_
A>
`
#
`
0J
a
8TV
V
Md
`
A
b
d
`
;
`
'
`
=
Md
`
8'
`
%'.J
_
A
_
'>
`
#
`
0
X'!
`
%A
_
*'
`
#
`
0
a
.8
`
G
_
*
⊥
C8'
`
8!
f
_
A*
a
#
`
0J
a
8TV
V
!
`
8.
⊥
C*
Md
`
A
b
d
`
!
`
%A
_
*
"V'd
a
'
`
=!
`
8
`
#A
a
*Q'
`
_
#
`
0J
a
8
a
8'
`
8!
f
.J
_
A>
_
=>
`
#
`
0.;
_
8'
`
TV
V
Md
`
A
b
d
`
;
`
'
`
=
Md
`
'
b
8
`
8!
f
a
.=C*Q
"'d
a
'
`
=*'
`
#
`
0
a
.8
`
#A
a
_
_
A*
⊥
C8'
`
8!
f
.J
_
A
C*
a
#
`
0J
a
8TV
V
Md
`
A
b
d
`
;
`
'
`
=
k,#l#-.P,#@,#E:4= P
"'d
a
'
`
=*Q'
`
#
`
0Q
a
d
a
;8
_
8'
_
P
a
F8#A
b
.
b
*P
⊥
CQ
8'
`
8!
f
.J
_
AC*Q
a
#
`
0J
a
8TV
V
Md
`
A
b
d
`
;
`
'
`
=
""'d
a
'
`
=.8
`
j'
`
_
jjj#;.;
_
;88'
`
>
`
a
j
jjMd
`
#!>
a
8'j
b
d
a
'
`
=
"H'.8
`
;8G>
b
a
MFA#!>
a
8J
b
8g
a
;88'
`
>
`
CG
`
0
#A
b
.QZ''Q\J
_
=J
b
8g;88'
`
>
`
QJ
`
Q
_
i
a
J
`
Q
_
hMd
`
A
b
d
`
;
`
!
`
%A
_
Qhi
"R'd
a
'
`
=.8
`
#A
a
*'
`
_
#
`
0
`
_
A***
_
'>
`
#
`
0.;
_
8'
`
TV
'
O'
_
Q
a
8'#A
b
.
b
*>
`
.J
_
=J
b
8g
a
;88'
`
>
`
*
Md
`
d
b
Z;
`
A
b
d
`
b
;
`
'
`
=*Q
a
*
Md
`
A
b
d
`
b
;
`
'
`
=*Q
"T'd
a
'
`
=.8
`
*'
`
RTU
`
.J
_
A***
_
'>
`
#
`
0.;
_
8'
`
TV
'
Md
`
A
b
d
`
b
;
`
'
`
=
"U'd
a
'
`
=!
`
8
`
#A
a
*Q#
`
0
a
d
a
;8
_
_
A
_
'>
`
#
`
0.;
_
8'
`
TV
'
O'
_
\
a
F8#A
b
.*\J
_
=J
b
8#g\
a
Z'8Z'8>
`
QJ
`
*
_
h
a
J
`
*Q
_
iMd
`
A
b
d
`
;
`
'
`
=*h\i
B. MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU.
I) MẶT NÓN, HÌNH NÓN, KHỐI NÓN:
1) Mặt nón:
'#!78L8∆%m&j
&'84αCVnαnXV
V
\DFo
e'0ZFY#!78L8%g0
g#!78L8∆8.D4
* d: đường sinh
*
∆
: trục
* O đỉnh
* 2
α
: góc ở đỉnh
2) Hình nón:
4Foe'0ZFY.$
.8,;8g0g.$&
84;8
H
pDiện tích xung quanh:*
eg
π
Fl
l: độ dài đường sinh
r: bán kính đường tròn đáy.
3) Khối nón:
4/8=2F'8:4
#!38(4
pThể tích khối nón:
π
"
F
h: độ dài đường cao
r: bán kính đường tròn đáy
II) MẶT TRỤ, HÌNH TRỤ, KHỐI TRỤ:
1) Mặt trụ:
'#!78L8∆%Z'8Z'8
,.$'q8B8F
\DFoe'0ZY#!78L8%
g0g∆8.DFK
* d: đường sinh
*
∆
: trục
2) Hình trụ:
FKFoe'0ZFY.$
?<g0g.$&
pDiện tích xung quanh:*
eg
π
Fl
l: độ dài đường sinh
r: bán kính đường tròn đáy.
3) Khối trụ:
FK/8=2F'8:4
#!38(FK
pThể tích khối nón: F
h: độ dài đường cao
r: bán kính đường tròn đáy
Chú ý: #((FKl.
III) MẶT CẦU, HÌNH CẦU, KHỐI CẦU:
1) Mặt cầu:
'#-.j(#lZ(rF
M<=3=,#-.\F'8;88
,#-.j.$'q8B8F#!3
8.D2G.j, F
s )*CjF
{ }
Fj\\
=
Chú ý: pjtF
⇔
B.8'C*
pjnF
⇔
B.F'8C*
pjF
⇔
B.FAC*
2) Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu:
'.D2*CjF.D=L8CuO:jFA.=Cu%j'q8,
Sj#.=Cu
p%tF
⇔
Cu;8mC*0Cu
∩
C*
φ
p%F
⇔
Cu=evC*&
s#4(S): tiếp diện, (H): tiếp điểm
p%nF
⇔
CumC*N'#!78FoC4G.,
%F
−
Chú ý:%V0j≡CumC*N'#!78FoCjF
3) Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu:
R
'.D2*CjF#!78L8∆O:jFA∆%j'q8,S
j#∆
p%tF
⇔
∆;8mC*0∆
∩
C*
φ
p%F
⇔
∆=evC*&
s#4∆: tiếp tuyến(H): tiếp điểm
p%nF
⇔
CumC*&#-.=G)
HQ) e8g2- (2
pQ) e8g2*
eg
H
π
F
pM- (2
"
H
π
F
"
BÀI TẬP
'4Foe'04#!78'V., #,0FR.
M %) e8g:4#^'
M - :(4
\$%)#g#E:44'q8,SG.:#,0#.D=L8%)
.M %) %)#4
\$FK4, #,0FR.4'q8,8?#,0B8U.
M %) e8g:FK- :(FK
m(FKY.D=L8Z'8Z'84FK,FK".M %) :%)#!3
&'A
"m4B8.$.D=L8gFK:4#!3.$%).$.8,#@&M
%) e8g- :4#4
H\$FK4, #,0F@'F
"
M %) e8g%) '=2:FK
M - :(FK
'#-.2!3B.FA#!78Fo#,0Z''848?FK:FK
B8"V
V
M 'q8,8?FK:FK
Rm4#E*Y.D=L8#gFK#!3.$.8,;8G4&0@B8
M %) e8g%) #,0- (4
'%G08:#!78Fo#,04Z''.D=L8C*&'.D=L8
#,04.$84TV
V
M %) .8,*
T\D=L8#gFK:FKmFKN'%);8&c
M %) e8g%) '=2:FK
M - :(FK
M - (J8FK8,#@$=FK
U\$(4484Y#EB8V
V
4, #,0B8FM %) :%)#g
#!78Z;884
W\$(J8FK#84@'4#,0.$.8,#@&M - :(FK
8'&=(J8FK0
X\$(%)#@4&B8$=F'8.$(4M - :(4#4
V\$(FK8$=F'8.$(2#!78Fo#,0:(FKB.FA.D:(
2
M %) e8g- :(FK$=F'8.$(2, c
#!78':(FK
M 8,Flw:- (FK$=F'8(2, c'F!
'<==!>8Q+++Q+&
M %) e8g- ::(FK4#!78Fo:#,08'&=,
;8Q+++Q+
M %) e8g- :(44#EG.j:;8Q#,0
#!78Fo$=;8+++Q+
'<==!>8Q+++Q+&k,#lG., .D2#gW
#E:<==!>8#^'
"'%)Q4Q⊥CQR.8,;8&"H
T
k,#lG., .D2#g(#E:%)
H'4=.8,#@*4&#,0B8&AB8
k,#lG., .D2#g,#E4=
R '%)Q4Q⊥CQH.8,;8&T
Wk,#lG., .D2#g(#EQ:%)
T'4=*Q4#,0Q;8&*⊥CQ*
k,#lG., .D2#gR#E*Q
U'4=8,#@*Q4&#,0B8&AB8k,#lG.
, .D2#gR#E*Q
W)'J8FK+++4wq,&#@B8
k,#lG., .D2#g,#E:J8FK
M %) .D2- :(2!>88
X '4=*Q4#,0;8&*⊥CQQr8.=Cug
;884*\D=L8Cum***Q&++Q+
\cU#-.Q+++Q+;B.FA.$.D2
M %) .D2- :(2#!3&'
V '4=.8,#@*4&#,0B8.DA3=#,0.$84B8TV
V
k,#lG., .D2#g,#E:J8FK
M %) .D2- :(2!>88
'4=*4***4@'
k,#lG., .D2#g,#E:J8FK
M %) .D2#4
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
PHỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
)#$F'8;88
)8x.FKjej0jy#$.$;884#!38)FK#$;884F'8
;88
]w0N>#>l
→→→
kji
2!3FAjej0jy
V
======
→→→→→→→→→
ikkjjikji
M#$:#-.:N>
\Cez0zy
→→→
++=⇔
kzjyixOM
→→→→→
++=⇔=
kzjyixuzyxu zzC
'Ce
z0
zy
Ce
z0
zy
zzC
zzyyxxAB
−−−=⇒
"N>B8M#$:N>{8)
'
zzCzzC
zyxvzyxu
==
→→
p
=
=
=
⇔=
→→
zz
yy
xx
vu
p
zzC
zzyyxxvu
±±±=±
→→
p
Rkkzkykxuk
∈=
→
zzC
p
CzzC
Rnmnzmznymynxmxvnum
∈+++=+
→→
HN>/8=!>8
U
→→
vu
/8=!>8C
VC55
z
z
y
y
x
x
kzz
kyy
kxx
ukvRkuvu
==⇔
=
=
=
⇔=∈∃⇔≠
→→→→→→
R#L8N'EZ('F!
\#N'EZ(
−
−
=
−
−
=
−
−
=
⇔=⇔≠
k
kzz
z
k
kyy
y
k
kxx
x
MBkMA
BA
M
BA
M
BA
M
\F8#-.\
+++
z
z
BABABA
zzyyxx
TM ;!8:N>
'N>
zzCzzC
zyxvzyxu
==
→→
'Z|||| zzyyxxvuvuvu
++=
=
→→→→→→
|
| zyxuu
++==
→→
CCC
ABABAB
zzyyxxAB
−+−+−=
V||V|C|
||||
'ZC
→→→→
→→
→→
→→
≠≠
++++
++
==
vv
zyxzyx
zzyyxx
vu
vu
vu
V
=++⇔⊥
→→
zzyyxxvu
UM 4!8:N>
W
