Bài toán về hàm số và đồ thị hàm số - Tài liệu Toán 9 - hoc360.net

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>CÁC BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ HS</b>

<b>Câu 1: Cho hai hàm số </b>

2
1
2

<i>y</i> <i>x</i>

và <i>y x</i>  4<i> có đồ thị lần lượt là ( P ) và ( d )</i>
<i>1) Vẽ hai đồ thị ( P ) và ( d ) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.</i>

<i>2 ) Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị ( P ) và ( d ).</i>

<b>HD</b>

Cho hai hàm số

2
1
2

<i>y</i> <i>x</i>

và <i>y x</i>  4 có đồ thị lần
<i>lượt là ( P ) và ( d )</i>

<i>1) Vẽ hai đồ thị ( P ) và ( d ) trên cùng một mặt</i>
phẳng tọa độ.

<i>2 ) Tọa độ giao điểm của hai đồ thị ( P ) và ( d ) là:</i>
M( 2; –2 ) và N(–4 ; –8 )

<b>Câu 2: Trong mp(Oxy)</b>

a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số y =
1
4<i>x</i>

2

b) Cho đường thẳng (D): y =
3

2<i>x+m</i> _{đi qua điểm C(6;}
7). Tìm tọa độ giao điểm của (D) và (P).

a) Lập bảng giá trị:

x – 4 – 2 0 2 4

2

1

y x

4

 4 1 0 1 4

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

b)

Vì (D) đi qua điểm C(6; 7) nên ta có:
3

6 m 7 m 2
2

3
(D) : y x 2

2

    

  

Xét phương trình hồnh độ giao điểm của (P) và (D):

2 2

1 3

x x 2 x 6x 8 0

4 2     

Giải được x1 = 4; x2 = 2
Với x1 = 4 thì y1 = 4
Với x2 = 2 thì y2 = 1

Vậy tọa độ giao điểm của (D) và (P) là (4; 4) và (2; 1).

<b>Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P) có phương trình </b>

2

1
2


<i>y</i> <i>x</i>

và hai điểm
A, B thuộc (P) có hồnh độ lần lượt là <i>xA</i> 1;<i>xB</i> 2.

a) Tìm tọa độ của hai điểm A, B.

b) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua hai điểm A, B.
<b>c) Tính khoảng cách từ O (gốc tọa độ) đến đường thẳng (d). </b>

a)

Vì A, B thuộc (P) nên:

2

A A

2

B B

1 1

x 1 y ( 1)

2 2

1

x 2 y 2 2

2

     

    

Vậy

1

A 1; , B(2;2)
2

 



 

  _.

b)

Gọi phương trình đường thẳng (d) là y = ax + b.
Ta có hệ phương trình:

1 3 1

a b 3a a

2 2 2

2a b 2 2a b 2 b 1

  

    

  

 

  

 _ _  _ _  _

   _{Vậy (d):}

1

y x 1

2

 

.

c)

(d) cắt trục Oy tại điểm C(0; 1) và cắt trục Ox tại điểm D(– 2; 0)
 OC = 1 và OD = 2

Gọi h là khoảng cách từ O tới (d).

Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao vào  vng OCD, ta có:

2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 5 2 5

h
h OC OD 1 2  4  5

Vậy khoảng cách từ gốc O tới (d) là
2 5

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b>Câu 4Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): </b><i>y</i>2<i>x n</i>  và parabol 3

(P): <i>y x</i> 2.

1. Tìm n để đường thẳng (d) đi qua điểm A(2;0).

2. Tìm n để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hồnh độ lần

lượt là <i>x x</i>1, 2 thỏa mãn:
2

1 2 2 1 2 16

<i>x</i>  <i>x</i> <i>x x</i>  _.

HD: 1. Đường thẳng (d) đi qua <i>A</i>



2;0



 2.2 <i>n</i>  3 0 <i>n</i> .7
2. Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:

2 ₂ ₃ 2 ₂ _{3 0}

<i>x</i>  <i>x n</i>   <i>x</i>  <i>x n</i>  

Ta có   ' 1 (<i>n</i> 3) 4  <i>n</i>.

Phương trình có hai nghiệm phân biệt    ' 0 4 <i>n</i> 0 <i>n</i>_{ (*)}4
Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:

1 2
1 2

2 (1)
. 3 (2)
<i>x</i> <i>x</i>

<i>x x</i> <i>n</i>

 




 


2

1 2 2 1 2 16 (3)

<i>x</i>  <i>x</i> <i>x x</i> 

Cách 1: Thay <i>x</i>2  2 <i>x</i>1 ở (1) vào (3) ta có:









2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 2

2 2 2 16 4 2 2 16

4 20 5. 2 5 3

          

       

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

Thay <i>x</i>15;<i>x</i>2 3 vào (2) ta có: 5.( 3)  <i>n</i> 3 <i>n</i>12

Cách 2: Thay 2 ở (3) bằng <i>x</i>1<i>x</i>2

Ta có:







 



2 2 2

1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2

2 2

1 2 1 2 1 2

1 2 1

1 2 1 2

1 2 2

16 16

16 16

8 5

( ).2 16 8

2 3

        

      

  

 

       _  _

  

 

<i>x</i> <i>x</i> <i>x x</i> <i>x x</i> <i>x</i> <i>x x</i> <i>x</i> <i>x x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

Thay <i>x</i>15;<i>x</i>2 3 vào (2) ta có: 5.( 3)  <i>n</i> 3 <i>n</i>12(thỏa mãn điều kiện (*)

Vậy <i>n </i>12.

Câu 5: Cho hai hàm số y = x2_{và y = mx + 4 ,với m là tham số}

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m ,đồ thị của hai hàm số đã cho luôn cắt nhau
tại hai điểm phân biệt A1(x1 ;y1) và A2(x2 ;y2)Tìm tất cả các giá trị của m sao cho (y1)2
+ (y2)2 = 72

<b>Câu 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho Parabol (P): </b>y x 2 và đường thẳng (d):
y 2x 2m 8   <i>_{(với m là tham số).}</i>

a) Khi m = – 4, tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và Parabol (P) .

b) Chứng minh rằng đường thẳng (d) và Parabol (P) ln cắt nhau tại hai điểm
phân biệt có hồnh độ x1; x2. Tìm m để x1 + 2x2 = 2.

Xét phương trình hồnh độ giao điểm của (P) và (d):

2 2

x 2mx 2m 8   x  2mx 2m 8 0   _(*)

a)

Khi m = – 4, phương trình (*) trở thành:

2 x 0

x 8x 0

x 8



 _{  }




Với x = 0 thì y = 0; với x = – 8 thì y = 64

Vậy khi m = – 4 thì tọa độ giao điểm của (P) và (d) là (0; 0) và (– 8; 64).
(P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt có các hồnh độ dương

 _{Phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt x}₁_{, x}₂

b)

2 2

' m 2m 8 (m 1) 7 0 m

        

 _{Phương trình (*) ln có 2 nghiệm phân biệt}
 _{(d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.}

Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có:

1 2

1 2

x x 2m

x x 2m 8

 




 

 

(1)
(2)

Theo đề bài: x12x2 2 (3)

Từ (1) và (3), ta có hệ:

1 2 1

1 2 2

x x 2m x 2 2m

x 2x 2 x 4m 2

   

 



 

   

 

Thay vào (2) được:

2

(2 2m)(4m 2)  2m 8  4m 7m 2 0 

Giải phương trình được

1
m 2;m

4

 

Vậy

1
m 2;

4

 

_  _

 _{là các giá trị cần tìm.}

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

a/ Trong hệ trục tọa độ Oxy cho hai đường thẳng (d1):





2

1 2

<i>y</i> <i>m</i>  <i>x</i> <i>m</i>

(m là tham số) và
(d2): <i>y</i>3<i>x</i>4_{. Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng (d1) và (d2) song song với}

nhau

b/ Cho phương trình: <i>x</i>2 2



<i>m</i>1



<i>x</i>2<i>m</i> 5 0 (với m là tham số). Tìm các giá trị của m để

phương trình đó có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn









2

1 2 1 2 1 2 2 0

<i>x</i>  <i>mx</i>  <i>m</i> <i>x</i>  

a/ Để đường thẳng (d1) và (d2) song song với nhau thì

2 2 2

' 1 3 4

2
2

' 2 4 2

2

<i>m</i>

<i>a a</i> <i>m</i> <i>m</i>

<i>m</i>
<i>m</i>

<i>b b</i> <i>m</i> <i>m</i>

<i>m</i>

 

     

 _

     

   

  

   




Vậy với m = - 2 thì đường thẳng (d1) song song vi đường thẳng (d2)
b/ <i>x</i>2 2



<i>m</i>1



<i>x</i>2<i>m</i> 5 0

Ta có:









2 2 2

' <i>m</i> 1 2<i>m</i> 5 <i>m</i> 4<i>m</i> 6 <i>m</i> 2 2 0

            _{với mọi m, nên phương trình ln}

có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
Theo vi ét ta có

1 2

1 2

2 2

2 5

<i>x</i> <i>x</i> <i>m</i>

<i>x x</i> <i>m</i>

  




 

 _Để



<i>x</i>12 2<i>mx</i>12<i>m</i>1





<i>x</i>2 2



0

=> _<i>x</i>12 2



<i>m</i>1



<i>x</i>12<i>m</i> 5 2 <i>x</i>14_



<i>x</i>2 2



0

=>



4 2 <i>x</i>1

 

<i>x</i>2 2



0_=>



2 <i>x</i>1

 

<i>x</i>2 2



0_=>2<i>x</i>2  4 <i>x x</i>1 22<i>x</i>10

=> 2



<i>x</i>2<i>x</i>1



 <i>x x</i>1 2 4 0

Thay vào ta có : 2 2



<i>m</i> 2

 

 2<i>m</i> 5



 4 0 =>4<i>m</i> 4 2 <i>m</i> 5 4 0 _=>

3

2 3 0

2

<i>m</i>  <i>m</i>

Vậy

3
2

<i>m </i>

<i><b>Câu 8: Cho các hàm số y = x</b>2_{có đồ thị là (P) và y = x + 2 có đồ thị là (d).}</i>

a) Vẽ (P) và (d) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông (đơn vị trên các trục bằng
nhau).

b) Xác định tọa độ các giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính.

<i>c) Tìm các điểm thuộc (P) cách đều hai điểm A</i>
3

( 1 ; 0)

2  <i>_{và B}</i>

3
(0; 1)

2  _.
HD: a)Bảng một số giá trị tương ứng của (P):

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

y 4 2 0 2 4
Vẽ (d): y = x + 2: Cho x = 0  _{y = 2} _{(0; 2)} (d)

Cho x = 1  _{y = 3} _{(1; 3)} (d)

Đồ thị:

b) Phương trình hồnh độ giao điểm của (P) và (d):
x2_{= x + 2}_ _x2_{– x – 2 = 0}



2
1

<i>x</i>
<i>x</i>



 _

 

4 (2;4)
1 ( 1;1)

<i>y</i>
<i>y</i>

 


 _{  }


Vậy:(d) cắt (P) tại hai điểm (2; 4) và (-1; 1).

c) Gọi M(xM; yM)  (P) và cách đều hai điểm A, B

Ta có: yM =

2

<i>M</i>

<i>x</i> _{và MA = MB. Đặt x}

M = x, a =

3
1
2 
MA2_{= (x}

A – xM )2 + (yA – yM )2= (a – x)2 + (0 – x2)2 = a2 – 2ax + x2 + x4.
MB2_{= (x}

B – xM )2 + (yB – yM )2 = (0 – x)2 + (a – x2)2 = x2 + a2 – 2ax2 + x4.
MA = MB  _MA2_{= MB}2

 _a2_{– 2ax + x}2_{+ x}4_{= x}2_{+ a}2_{– 2ax}2_{+ x}4_.

 _2ax2_{– 2ax = 0}_ _x2_{– x = 0}

0
1

<i>x</i>
<i>x</i>



 



 

0 (0;0)
1 (1; 1)

<i>y</i>
<i>y</i>

 


 _{ }


</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

<b>Câu 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): </b>y



k 1 x 4



 (k là tham
số) và parabol (P): y x 2_.

1. Khi k2, hãy tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P);

2. Chứng minh rằng với bất kỳ giá trị nào của k thì đường thẳng (d) ln cắt parabol
(P) tại hai điểm phân biệt;

3. Gọi y1; y2 là tung độ các giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P). Tìm
k sao cho: y1y2 y y1 2 .

HD:

Với k = 2 ta có đường thẳng (d): y = 3x + 4

Khi đó phương trình hồnh độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) là:
x2_{= 3x + 4}

 x2 + 3x  4 = 0

Do a + b + c = 1 + 3  4 = 0 nên phương trình có 2 nghiệm: x = 1; x =  4
Với x = 1 có y = 1 Với x = 4 có y = 16

Vậy khi k=2 : (d) cắt (P) tại 2 điểm có toạ độ là (1; 1); (4; 16)

Phương trình hồnh độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) là:

x2_{= (k  1)x + 4 } _x2_{ (k  1)x  4 = 0}

Ta có ac = 4 < 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k.
Vậy đường thẳng (d) và parabol (P) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt.

Với mọi giá trị của k; đường thẳng (d) và parabol (P) cắt nhau tại 2 điểm phân

biệt có hồnh độ x1, x2 thoả mãn:

1 2

1 2

x x k 1

x x 4

  






 _{Khi đó:}y1 x12 ; y2 x22

Vậy y1 + y2 = y1y2 

2 2 2 2

1 2 1 2

x x x x _{ (x}

1 + x2)2  2x1x2 = (x1 x2)2
 (k 1)2_{+ 8 = 16  (k}_{ 1)}2_{= 8 }_{k 1 2 2}_{ } _hoặc_{k 1 2 2}_{ }

Vậy k 1 2 2  _hoặck 1 2 2  _{thoả mãn đầu bài.}

<b>Câu 10: Cho hàm số y = ax</b>2

a) Xác định hệ số a biết rằng đồ thị của hàm số đã cho đi qua điểm M ( -2 ; 8)
b) Vẽ trên cùng một mặt phẳng tọa độ đồ thị ( P) của hàm số đã cho với giá trị a

vừa tìm được và đường thẳng (d) đi qua M (-2;8) có hệ số góc bằng - 2 .Tìm
tọa độ giao điểm khác M của (P) và ( d).

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

+ Đồ thị (P) của hàm số y =ax2 đi qua điểm M -2;8





, nên: 8 = a x (-2)2_{suy ra a =}
2

Vậy: a=2_{và hàm số đã cho là:}y =2x2

+ Đường thẳng (d) có hệ số góc bằng -2, nên có phương trình dạng: y =-2x+b

+ (d) đi qua điểm M -2;8





, nên 8 = 2 x(-2) + b suy ra b = 4 và (d) : y = -2x + 4
+ Vẽ (P); Vẽ (d)

+ Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phương trình:

2 2

2x =-2x+4 x +x-2=0

+ Phương trình có hai nghiệm: x =1;x =-21 2

Do đó hoành độ giao điểm thứ hai của (P) và (d) là x =1 y =2 1 =22

Vậy giao điểm khác M của (P) và (d) có tọa độ: N(1;2)

<b>Câu 11: Cho hàm số y = mx – m + 2 có đồ thị là đường thẳng (d</b>m).
1.Khi m = 1 , hay x vẽ (d1).

2.Tìm toạ độ điểm cố định mà đường thẳng (dm) luôn đi qua với mọi giá trị của m.
Tính khoảng cách lớn nhất từ điểm M(6 ; 1) đến đường thẳng (dm) khi m thay đổi.
HD: Cho hàm số y = mx – m + 2 (dm)

1.Khi m = 1 thì (d1) : y = x + 1.

Bảng giá trị :

x -1 0
y = x + 1 0 1

Vẽ : Đồ thị hàm số y = x + 1 là 1 đường thẳng đi qua hai điểm (-1 ; 0) và (0 ; 1).
2. Gọi A(xA ; yA) là điểm cố định mà (dm) luôn đi qua khi m thay đổi.

Ta có : yA = mxA – m + 2.
 yA – 2 = m(xA – 1) (*)

Xét phương trình (*) ẩn m , tham số xA , yA :

Pt(*) vô số nghiệm m khi

1 0 1

2 0 2

<i>A</i> <i>A</i>

<i>A</i> <i>A</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<i>y</i> <i>y</i>

  

 



 

  

 

Vậy (dm) luôn đi qua 1 điểm A(1 ; 2) cố định khi m thay đổi.

Ta có : AM = (6 1) 2(1 2) 2  26

Từ M kẻ MH  (dm) tại H.
+Nếu H  A thì MH = 26_.(1)

+Nếu H khơng trùng A thì ta có tam giác AMH vng tại H
=> HM < AM = 26 (2)

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

<b>Câu 12: Cho hàm số y = ax + b. Tìm a, b biết rằng đồ thị của hàm số đã cho song </b>

song với đường thẳng y = -3x + 5 và đi qua điểm A thuộc Parabol (P): y =

1

2_x2_có
hồnh độ bằng -2.

HD: + Đồ thị hàm số <i>y ax b</i>  _{song song với đường thẳng}<i>y</i>3<i>x</i>5_,

nên <i>a </i>3 và <i>b </i>5.

+Điểm A thuộc(P)có hồnh độ<i>x </i>2_{nên có tung độ}





2

1

2 2

2

<i>y </i>  

.Suy ra: <i>A </i>



2; 2



+ Đồ thị hàm số <i>y</i>3<i>x b</i> _{đi qua điểm}<i>A </i>



2; 2



_nên:_{2 6}_{  }<i>_b</i> <i>_b</i>_₄

Vậy: <i>a </i>3_và<i>b </i>4

<b>Câu 13: Cho Parabol (P) : y = x</b>2_{và đường thẳng (d): y =mx - 2 (m là tham số, m ≠ 0}
)

a. Vẽ đồ thị (P) trên mặt phẳng Oxy.

b. Khi m = 3, tìm tọa độ giao điểm của (p) và (d).

c. Gọi A(xA; yA), B(xB; yB) là hai giao điểm phân biệt của (P) và (d). tìm các giá
trị của m sao cho yA + yB = 2(xA + xB) – 1

HD: Cho Parabol (P) : y = x2_{và đường thẳng (d): y = mx – 2 (m là tham số, m ≠ 0 )}
a. Vẽ đồ thị (P) trên mặt phẳng Oxy.

TXĐ: R
BGT:

x -2 -1 0 1 2

y = x2 4 1 0 1 4

Điểm đặc biệt:

Vì : a = 1 > 0 nên đồ thị có bề lõm quay lên trên.

Nhận trục Oy làm trục đối xứng. Điểm thấp nhất O(0;0)
ĐỒ THỊ:

b. Khi m = 3, tìm tọa độ giao điểm của (p) và (d).
Khi m = 3 thì (d) : y = 3x – 2

Phương trình tìm hồnh độ giao điểm:
x2_{= 3x – 2}

x2_{- 3x + 2 = 0}
(a+b+c=0)

=>x1 = 1 ; y1 = 1 và x2 = 2; y2 = 4
Vậy khi m = 3 thì d cắt P tại hai điểm
(1; 1) và (2; 4).

c. Gọi A(xA; yA), B(xB; yB) là hai giao điểm phân biệt của (P) và (d). tìm các
giá trị của m sao choyA + yB = 2(xA + xB) – 1(*)

1

-1

-2

2
4

1

y=x
2

0 x

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

Vì A(xA; yA), B(xB; yB) là giao điểm của (d) và (P) nên:





A A

B B

A B A B

y = mx 2
y = mx 2

y y =m x x 4




  

































         



     

  

A B A B A B A B

A B

A B A B A B

Thay vào (*) ta có:

m x x 4 2 x x 1 m x x 2 x x 3

2 x x ₃ ₃

m m 2

x x x x x x

<b>Câu 14: a) Cho hàm số y = ax + b. tìm a, b biết đồ thị hàm số đẫ cho đi qua hai điểm </b>

A(-2; 5) và B(1; -4).

b)Cho hàm số y = (2m – 1)x + m + 2

- tìm điều kiện của m để hàm số ln nghịch biến.

-Tìm giá trị m để đồ thị hàm số cắt trục hồnh tại điểm có hồnh độ bằng

2
3


HD: 1.Ta có a, b là nghiệm của hệ phương trình
5 = -2a + b

-4 = a + b




 

-3a = 9

-4 = a + b




 

a = - 3

b = - 1




Vậy a = - 3 vào ta có b = - 1

2. Cho hàm số y = (2m – 1)x + m + 2

- Để hàm số nghịch biến thì 2m – 1 < 0  _{m < \f(1,2 .}

-Để đồ thị hàm số cắt trục hồnh tại điểm có hồnh độ bằng

2
3


. Hay đồ thị hàm số

đi qua điểm có toạ độ (

2
3


;0). Ta phải có pt 0 = (2m– 1).(-\f(2,3 ) +m +2  _{m = 8}

<b>Câu 15: Cho hàm số y = x</b>2 _{và y = x + 2}

a) Vẽ đồ thị của các hàm số này trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy
b) Tìm tọa độ các giao điểm A,B của đồ thị hai hàm số trên bằng phép tính
c) Tính diện tích tam giác OAB

HD: Cho hàm số y = x2 _{và y = x + 2}

a) Vẽ đồ thị của các hàm số này trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy
Lập bảng :

x 0 - 2 x - 2 - 1 0 1 2

y = x + 2 2 0 y = x2 4 1 0 1 4

Group: />

O
y

x

A

B

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

<b>Truy cập Website hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí</b>

b)Tìm toạ độ giao điểm A,B :

Gọi tọa độ các giao điểm A( x1 ; y1 ) , B( x2 ; y2 ) của hàm số y = x2 có đồ thị
(P) và y = x + 2 có đồ thị (d)

Viết phương trình hồnh độ điểm chung của (P) và (d)
x2 _{= x + 2  x}2 _{– x – 2 = 0}

( a = 1 , b = – 1 , c = – 2 ) có a – b + c = 1 – ( – 1 ) – 2 = 0

1 1

<i>x</i>

  _; 2

2
2
1

<i>c</i>
<i>x</i>

<i>a</i>



  

thay x1 = -1  y1 = x2 = (-1)2 = 1;
x2 = 2  y2 = 4

Vậy tọa độ giao điểm là A( - 1 ; 1) , B( 2 ; 4 )
c)Tính diện tích tam giác OAB :

OC =|xC | =| -2|= 2 ; BH = |yB | = |4| = 4 ; AK = | yA | = |1| = 1

- SOAB = SCOH - SOAC =

1

2_{(OC.BH - OC.AK)= ... =}
1

2_{(8 - 2)= 3đvdt}

<b>Câu 16: Cho hàm số : y = (2m – 1)x + m + 1 với m là tham số và m </b> ¿

1

2_{. Hãy xác}

định m trong mỗi trường hơp sau :

a) Đồ thị hàm số đi qua điểm M ( -1;1 )

b) Đồ thị hàm số cắt trục tung, trục hoành lần lượt tại A , B sao cho tam giác
OAB cân.

HD: a) Vì đồ thị hàm số đi qua điểm M(-1;1) => Tọa độ điểm M phải thỏa mãn hàm
số :

y = (2m – 1)x + m + 1 (1)

Thay x = -1 ; y = 1 vào (1) ta có: 1 = -(2m -1 ) + m + 1
<=> 1 = 1 – 2m + m + 1
<=> 1 = 2 – m

<=> m = 1

Vậy với m = 1 Thì ĐT HS : y = (2m – 1)x + m + 1 đi qua điểm M ( -1; 1)
c) ĐTHS cắt trục tung tại A => x = 0 ; y = m+1 => A ( 0 ; m+1)

 OA = <i>m </i>1

Đt h/s cắt truc hoành tại B => y = 0 ; x =

1

2 1

<i>m</i>
<i>m</i>

 

 => B (
1

2 1

<i>m</i>
<i>m</i>

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

=> OB =

1

2 1

<i>m</i>
<i>m</i>

 

 _{Tam giác OAB cân => OA = OB}

<=> <i>m </i>1 =

1

2 1

<i>m</i>
<i>m</i>

 

 _{Giải PT ta có : m = 0 ; m = -1}

<b>Câu 17: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): </b>y



k 1 x 4



 (k là tham
số) và parabol (P): y x 2_.

1. Khi k2, hãy tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P);

2. Chứng minh rằng với bất kỳ giá trị nào của k thì đường thẳng (d) luôn cắt parabol
(P) tại hai điểm phân biệt;

3. Gọi y1; y2 là tung độ các giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P). Tìm
k sao cho: y1y2 y y1 2 .

HD:

Với k = 2 ta có đường thẳng (d): y = 3x + 4

Khi đó phương trình hồnh độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) là:
x2_{= 3x + 4 } _x2_{+ 3x  4 = 0}

Do a + b + c = 1 + 3  4 = 0 nên phương trình có 2 nghiệm: x = 1; x =  4
Với x = 1 có y = 1Với x = 4 có y = 16

Vậy khi k =2 đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại 2điểm có toạ độ là (1; 1); (4; 16)

Phương trình hồnh độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) là:
x2_{= (k  1)x + 4 } _x2_{ (k  1)x  4 = 0}

Ta có ac = 4 < 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k.
Vậy đường thẳng (d) và parabol (P) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt.

Với mọi giá trị của k; đường thẳng (d) và parabol (P) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt có hồnh độ x1, x2 thoả mãn:

1 2

1 2

x x k 1

x x 4
  






 _{Khi đó:}y1 x12 ; y2 x22

Vậy y1 + y2 = y1y2 

2 2 2 2

1 2 1 2

x x x x

 (x1 + x2)2  2x1x2 = (x1 x2)2 (k 1)2 + 8 = 16

 (k 1)2_{= 8 }k 1 2 2  _hoặck 1 2 2 

Vậy k 1 2 2  hoặc k 1 2 2  thoả mãn đầu bài.

<b>Câu 18: Cho 3 đường thẳng có phương trình:</b>

<i>(d1): y</i>3<i>x</i>1 <i>(d2): y</i>2<i>x</i>1<i> (d3): </i>

2

(3 ) 5

<i>y</i>  <i>m x m</i>  _với<i>_{m }</i>₃

<i>a) Tìm toạ độ giao điểm A của (d1) và (d2).</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

<i>c) Gọi C là giao điểm (d1) với trục hoành, B là giao điểm của (d2) với trục hồnh.</i>

<i>Tính đoạn BC.</i>

<i>HD: a) Toạ độ giao điểm A là nghiệm của hệ </i>

3 1 2

2 1 5

<i>y</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>y</i> <i>x</i> <i>y</i>

  

 



 

  

  <i>_{Vậy A(-2;-5)}</i>

b) Để (d<i>1), (d2), (d3) đồng quy thì (d3) đi qua A</i>

Khi đó có: 2(3 <i>m</i>)2<i>m</i> 55 _ 1

9
2

<i>m </i>

; <i>m </i>2 2 (t/m)

Kết luận: <i>m </i>2_hoặc

9
2

<i>m </i>

c) Toạ độ

1
( ;0)

3

<i>C </i>

Toạ độ

1
( ;0)

2

<i>B</i>

;

1 1 5

2 3 6

<i>B</i> <i>C</i>

<i>BC</i><i>x</i>  <i>x</i>   

<b>Câu 19: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Parabol (P) : y = x</b>2_{và đường thẳng (d) : y}
= 2x + 3

1. Chứng minh rằng (d) và (P) có hai điểm chung phân biệt

2. Gọi A và B là các điểm chung của (d) và (P) . Tính diện tích tam giác OAB (
O là gốc toạ độ)

Giải

1. Chứng minh rằng (d) và (P) có hai điểm chung phân biệt

Hoành độ giao điểm đường thẳng (d) và Parabol (P) là nghiệm của phương trình
x2_{= 2x + 3 => x}2_{– 2x – 3 = 0 có a – b + c = 0}

Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt

x1 = -1 và x2 =

3
3
1

<i>c</i>
<i>a</i>



 

Với x1 = -1 => y1 = (-1)2 = 1 => A (-1; 1)
Với x2 = 3 => y2 = 32 = 9 => B (3; 9)

Vậy (d) và (P) có hai điểm chung phân biệt A và B

2. Gọi A và B là các điểm chung của (d) và (P) . Tính diện tích tam giác OAB ( O là
gốc toạ độ)

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

1

D C

B

A
9

3
-1 0

1 9

. .4 20

2 2

<i>ABCD</i>

<i>AD BC</i>

<i>S</i>   <i>DC</i>  

. 9.3

13,5

2 2

<i>BOC</i>

<i>BC CO</i>

<i>S</i>   

. 1.1

0,5

2 2

<i>AOD</i>

<i>AD DO</i>

<i>S</i>   

Theo công thức cộng diện tích ta có:

S(ABC) = S(ABCD) - S(BCO) - S(ADO)

= 20 – 13,5 – 0,5 = 6 (đvdt)

<b>Câu 20: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): 2x – y – a</b>2_{= 0 và}
Parabol (P):

y = ax2_{(a là tham số dương)}

a) Tìm giá trị a để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B. Chứng tỏ khi đó A
và B nằm bên phải trục tung.

b) Gọi x1 ; x2 lần lượt là hồnh độ của A và B. Tìm giá trị nhỏ nhất của

1 2 1 2

4 1

M

x x x x

 



HD : a) Phương trình hồnh độ giao điểm của (d) và (P) là :
ax2_{= 2x – a}2_{<=> ax}2_{- 2x + a}2_{= 0}

∆/_{= 1 – a}3

Để (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt điều kiện cần và đủ là :
∆/_{= 1 – a}3_{> 0 <=> a < 1}

Vậy với a > 0 và a < 1 thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt.

- Với điều kiện a > 0 và a < 1 theo hệ thức Vi-ét ta có : x1 + x2 = 2 > 0 và x1x2
= a > 0

=> x1 > 0 và x2 > 0 => hai điểm A và B đều có hồnh độ dương nên chúng nằm bên
phải trục tung.

b) Gọi x1 ; x2 lần lượt là hồnh độ của A và B.

Để có x1 ; x2<i><b> thì a ≤ 1 ; </b></i> 1 2 1 2

4 1

M

x x x x

 

 _{= 2 +}

1

<i>a</i>

minM = 3 khi và chỉ khi a lớn nhất khi đó a = 1 và khi đó A và B trùng nhau
Vậy minM = 3 <=> a = 1.

<b>Câu 21 : Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P) là đồ thị của hàm số </b>

2

1

y x

2


và
đường thẳng (d) có hệ số góc m và đi qua điểm I ( 0 ; 2 ).

a) Viết phương trình đường thẳng (d).

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

c) Gọi x1 , x2 là hoành độ hai giao điểm của (d) và (P). Tìm giá trị của m
để x31x32 32

HD: a) Phương trình đường thẳng (d) có dạng : y = ax + b
Vì đường thẳng (d) có hệ số góc m nên ta có: y = mx + b.

Vì: (d): y = mx + b qua điểm I(0; 2): Nên: 2 = m.0 + b => b = 2.
Vậy phương trình đường thẳng (d)là : y = mx +2.

b)Ta có: (P):

2

1

y x

2


(d): y = mx +2.

PT hoành độ giao điểm của (P) và (d):

 

2 2

1

x mx 2 x 2mx 4 0 1

2      

Vì: a = 1 > 0 và c = - 4 < 0  _{a; c trái dấu} _{PT (1) có hai nghiệm phân biệt}
(P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt.

c) PT (1) ln có hai nghiệm phân biết x1; x2 phân biệt:
Theo Viet ta có:

1 2

1 2

x + x = 2 m
x x = -4





Ta có:











 



2

3 3 2 2

1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2

x _x _ x _x x _ x x _x _ x _x  x _x _ 3x x _32

 

 _{2m [ (2m)}2_{– 3(-4)] = 32}_ _8m3_{+ 24m – 32 = 0}

 _m3 _{+ 3m – 4 = 0} _ _m3 _{- m + 4m - 4 = 0}

 _{m ( m}2_{– 1) + 4( m – 1) = 0} _ _{m ( m}_{– 1)( m + 1) + 4( m – 1) = 0}

 _{( m – 1) [ m( m + 1) + 4] = 0}  _{( m – 1)( m}2 _{+ m + 4) = 0}

Ta thấy : m2 _{+ m + 4 = m}2_{+ 2.}

1
2_{m +}

1
4_-

1

4_{+ 4 = (m +}
1
2₎2₊

15

4 _{> 0 với mọi m}
Nên : m – 1 = 0  _{m = 1}

Vây: m = 1 thì x13x32 32

<b>Câu 22: Cho parabol y = x</b>2_{(P) và đường thẳng y = mx (d), với m là tham số.}
1/ Tìm các giá trị của m để (P) và (d) cắt nhau tại điểm có tung độ bằng 9.

2/ Tìm các giá trị của m để (P) và (d) cắt nhau tại 2 điểm, mà khoảng cách giữa hai
điểm này bằng 6

HD : 1/ P.trình hồnh độ giao điểm (P) và (d) :

1
2

2

0

0 ( ) 0 <i>x</i>

<i>x</i> <i>mx</i> <i>x x m</i>

<i>x</i> <i>m</i>




    _{  }




</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

2/ Từ câu 1 => (P) và (d) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi <i>m </i>0_{. Khi đó}
giao điểm thứ nhất là gốc toạ độ O ( x = 0; y = 0), giao điểm thứ 2 là điểm A có ( x =
m; y = m2_).

Khoảng cách giữa hai giao điểm : AO = <i>m</i>2<i>m</i>4  6 <i>m</i>4<i>m</i>2 6 0 ₍₁₎

Đặt <i>t m t</i> 2;( 0)_{khi đó (1)} 2

6 0

<i>t</i> <i>t</i>

    _{=> (t}₁_{= 3 ( nhận ) v t}₂_{= - 2 ( loại))}

Với t1 = 3  m2 = 3 => <i>m </i> 3 ( nhận)

Vậy với <i>m </i> 3 thì (P) cắt (d) tại hai điểm có khoảng cách bằng 6.

<b>Câu 23: a.Trên mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm M có hồnh độ bằng 2 và M</b>

thuộc đồ thị hàm số y2x2. Lập phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và
điểm M ( biết đường thẳng OM là đồ thị hàm số bậc nhất).

b.Cho phương trình x2  5x 1 0 1 

 

. Biết phương trình (1) có hai nghiệm x ;x1 2.

Lập phương trình bậc hai ẩn y ( Với các hệ số là số nguyên ) có hai nghiệm lần lượt

là 1 1 2 2

1 1

y 1 và y 1

x x

   

<b>Câu 24: Cho parabol (P): </b>

2

1

y x

2


và đường thẳng (d): y = (m – 1)x – 2 (với m là
tham số).

a) Vẽ (P).

b) Tìm m để (d) tiếp xúc với (P) tại điểm có hồnh độ dương.

c) Với m tìm được ở câu b), hãy xác định tọa độ tiếp điểm của (P) và (d).

<b>a)+ Lập bảng giá trị đúng (chọn tối thiểu 3 giá trị của x trong đó phải có giá trị x = 0).</b>
+ Vẽ đúng dạng của (P).

b, + Phương trình hồnh độ giao điểm của (P) và (d):

2

1

x (m 1)x 2

2   

 x2_{– 2(m – 1)x +4 = 0}

+ Lập luận được:





2

' 0

1 4 0

'

0 1 0

 

 _

  

 




 

   

 



<i>m</i>
<i>b</i>

<i>m</i>

<i>a</i> _

 







m 1 hc m 3

m 1 _{+ Kết luận được: m}

= 3

c,+ Tìm được hoành độ tiếp điểm:

b ' m 1 3 1

x 2

a 1 1

  

   

+Tính được tung độ tiếp điểm: y = 2 và kết luận đúng tọa độ tiếp điểm là (2; 2).

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

1/ Tìm các giá trị của a và b để (P) và (d) cùng đi qua điểm M(1; 2)

2/ Với a, b vừa tìm được, chứng minh rằng (P) và (d) cịn có một điểm chung
N khác M. Tính diện tích tam giác MON (với O là gốc toạ độ)

<b>HD: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Parabol (P) : y = ax</b>2



<i>a </i>0



_{và đường}
thẳng (d): y = bx + 1

1/ Tìm các giá trị của a và b để (P) và (d) cùng đi qua điểm M(1; 2)

M (P)  …  a = 2  y = 2x2_{M  (d)  …  b = 1  y = x + 1}

2/ Với a, b vừa tìm được, chứng minh rằng (P) và (d) cịn có một điểm chung N khác
M. Tính diện tích tam giác MON (với O là gốc toạ độ) .Xét pt hoành độ gđ: 2x2_{= x +}
1  2x2_{- x - 1 = 0}





1 2

1 1
1; 2 ; ;

1 1

2 2

2 2

<i>x</i> <i>y</i>

<i>M</i> <i>N</i>

<i>x</i> <i>y</i>

  



 

 _ _

 

     





1 2



0, 75(dvdt)

<i>MON</i> <i>thang</i>

<i>S</i>_ <i>S</i>  <i>S</i> <i>S</i> 

<b>Bài 26: Cho Parabol (P): </b>y x 2_{và đường thẳng (d): y = (2m – 1)x – m + 2 (m là tham}
số)

a) Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân
biệt.

b) Tìm các giá trị m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt

1 1

A(x ; y )_;B(x ; y )₂ ₂ _{thỏa mãn}x y_{1 1}x y_{2 2} 0

a) Phương trình hồnh độ giao điểm (nếu có) của (d) và (P) là:





2

x  (2m 1)x m 2   0

 x2 (2m 1)x m 2 0    _(*)

Vì   



(2m 1)



2 4 1 (m 2) 4m    2 8m 9 4 m 1 







2 5 0với mọi m
nên (*) ln có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

Vậy với mọi m (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A(x ; y )1 1 ; B(x ; y )2 2
b) Ta có: y1 x ; y12 2 x22 (vì hai điểm A và B thuộc (P) ), nên:

x y1 1x y2 2  0 x13x23  0 (x1x )2 3 3x x (x1 2 1x ) 02  (1)

mà hoành độ các giao điểm A và B là nghiệm của (*) nên:

1 2

1 2

x x 2m 1
x x m 2

  




 


(Vi-et)

Do đó: (1) (2m 1) 3 3(m 2) (2m 1) 0     (2m 1) (2m 1)   2 3(m 2)  0

2

2 7 63

(2m 1)(4m 7m 7) 0 (2m 1) 2m 0 2m 1 0

4 16

_ _ 

       _  _      

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18></div>

<!--links-->
Tài liệu Chữa và định hướng câu hỏi về từ loại trong đề thi đại học (tài liệu bài giảng) docx

• 2
• 932
• 12