Tải Giải bài tập SBT Hình học 11 nâng cao bài 2, 3, 4 chương 3 - Hai đường thẳng vuông góc. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Hai mặt phẳng vuông góc

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b> Giải bài tập SBT Hình học 11 nâng cao bài 2, 3, 4 chương 3</b>
<b>Câu 16 trang 117 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao</b>

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, cạnh bên SA = AB và SA vng
góc với BC.

a) Tính góc giữa hai đường thẳng SD và BC

b) Gọi I, J lần lượt là các điểm thuộc SB và SD sao cho IJ // BD. Chứng minh
rằng góc giữa AC và IJ khơng phụ thuộc vào vị trí của I và J.

Trả lời:

a) Vì BC // AD
nên góc giữa SD
và BC bằng góc
giữa SD và AD.

Từ giả thiết, ta
có SA BC nên⊥
SA AD mặt⊥
khác SA bằng
cạnh của hình
thoi ABCD, nên
ˆSDA=450 là
góc phải tìm.

Vậy góc giữa BC và SD bằng 45°.

b) Do ABCD là hình thoi nên AC BD. Mặt khác IJ // BD nên AC IJ tức là⊥ ⊥
góc giữa IJ và AC bằng 90° không đổi.

<b>Câu 17 trang 118 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao</b>

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh bằng a, ˆBAD=600_{,ˆBAA′=ˆDAA}

′=1200_.

a) Tính góc giữa các cặp đường thẳng AB với A’D và AC’ với B’D.

b) Tính diện tích các hình A’B’CD và ACC’A’.

c) Tính góc giữa đường thẳng AC’ và các đường thẳng AB, AD, AA’.

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Đặt

AB→_=x→_,AD→₌

y→_,AA′→_=z→_thì

x2→_=y2→_=z2→_=a2

x→_.y→_=a2_/2;

x→_.z→_=−a2_/2;

x→_.z→_=−a2_/2;

a) Vì AB // A’B’ nên góc giữa AB và A’D bằng góc giữa A’B’ và A’D, đó là
góc ˆDA′B′ hoặc 1800−ˆDA′B′ .

Đặt ˆDA′B′=α

Ta có:

A′D=a√3,A′B′=a

DB′→_=x→_−y→_+z→

⇒DB′2→_=3a2_−a2_−a2_+a2_=2a2

Vậy 2a2_=a2_+3a2_{−2a.a√3cosα cosα=1/√3}_⇒

Như thế góc giữa A’D và AB bằng α mà cosα=1/√3

AC′→_=x→_+y→_+z→

⇒AC′2→_=3a2_+a2_−a2_−a2_=2a2

Dễ thấy AB’ = a.

Ta có ADC’B’ là hình bình hành mà AD = AB’, AC’ = B’D nên tứ giác
ADC’B’ là hình vng. Vậy AC’ B’D, tức là góc giữa AC’ và B’D bằng 90°.⊥

b)

SA′B′CD=A′D.A′B′sinˆDA′B′=a√3.a.√6/3

Vậy SA′B′CD=a2√2

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

hay

2a2_=3a2_+a2_{−2a√3.a.cosβ}

⇒cosβ=1/√3 sinβ=√6/3⇒

Vậy SACC′A′=AC.CC′.sinβ=a√3.a.√6/3=a2√2

c) Do zAC′→_=x→_+y→_+z→

Suy ra:

AC′→_.AB→_=(x→_+y→_+z→_)x→

=a2_+a2_/2−a2_/2=a2

hay

|AC′→_||AB→_{|cos γ=a}2

⇒cos γ=1/ γ=45⇒ 0

Vậy góc giữa AC’ và AB bằng 45°.

AC′→_.AD→_=(x→_+y→_+z→_)y→

=a2_/2+a2_−a2_/2=a2

hay

AC′→_|.|AD→_{|cos φ=a}2_⇒_{cos φ=1/} _φ=45_⇒ 0

Vậy góc giữa AC’ và AD bằng 45°.

AC′→_.AA′→_=(x→_+y→_+z→_)z→_=−a2_/2−a2_/2+a2₌₀

Vậy góc giữa AC’ và AA’ bằng 90°.

<b>Câu 18 trang 118 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao</b>

Cho tứ diện ABCD trong đó góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng α. Gọi
M là điểm bất kì thuộc cạnh AC, đặt AM = x (0< x < AC). Xét mặt phẳng (P) đi
qua điểm M và song song với AB, CD.

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

b) Chứng minh rằng chu vi thiết diện nêu trên không phụ thuộc vào x khi và chỉ
khi AB = CD.

Trả lời

a) Dễ thấy thiết
diện là hình

bình hành

MNPQ và

SMNPQ=NM.NQ

.sinˆMNQ .

Do MN // AB,

NQ // CD nên

góc giữa MN và NQ bằng góc giữa AB và CD do đó sinˆMNQ=sinα.

Ta có:

MN/AB=AC−x/AC MN=AB/AC(AC−x)⇒

NQ=MR,MR/CD=AM/AC=x/AC

⇒MR=CD/AC.x

Vậy SMNQR=AB.CD/AC2(AC−x)xsinα

Từ đó diện tích thiết diện MNQR đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi x=AC/2

Như vậy, khi M là trung điểm của AC thì diện tích thiết diện của tứ diện ABCD
cắt bởi (P) đạt giá trị lớn nhất.

b) Gọi P là nửa chu vi của thiết diện, khi đó:

p=MN+MR=AB/AC(AC−x)+CD/AC.x

=CD−AB/AC.x+AB

Từ đó, chu vi thiết diện không phụ thuộc vào x khi và chỉ khi:

CD–AB=0 hay AB=CD.

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, mặt bên SAB là tam giác

vng tại A. Với điểm M bất kì thuộc cạnh AD (M khác A và D), xét mặt phẳng
(α) đi qua điểm M và song song với SA, CD.

a) Thiết diệm của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mp(α) là hình gì?

b) Tính diện tích thiết diện theo a và b; biết AB = a, SA = b, M là trung điểm
của AD.

Trả lời

a) Dễ thấy thiết
diện là tứ giác
MNPQ trong đó
MN // QP // CD,
MQ // SA.

Do SA ⊥ AB,
AB //MN, MQ //
SA nên thiết diện
MNPQ là hình
thang vng tại
M.

b) SMNPQ=1/2(MN+PQ).MQ

Do M là trung điểm của AD nên:

MQ=1/2SA=1/2b

PQ=1/2CD=1/2a

Vậy SMNPQ=1/2(a+a/2).b/2=3ab/8

<b>Câu 20 trang 118 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao</b>

Cho tứ diện ABCD. Lấy các điểm M và N lần lượt thuộc các đường thẳng BC
và AD sao cho MB→_=kMC→_{và NA}→_=kND→_{với k là số thực khác 0 cho trước.}

Đặt α là góc giữa hai vectơ NMN→_{và BA}→_{; β là góc giữa hai vectơ MN}→_và

CD→_{. Tìm mối liên hệ giữa AB và CD để α=β=45}0

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Kẻ MP // AB thì
dễ thấy NP //
CD. Từ đó, góc
giữa MN→_và

BA→ _{bằng góc}

giữa MN→_và

MP→_{, đó là góc}

PMN^. Góc
giữa MN→_và

CD→_{bằng góc}

giữa MN→_và

PN→_{, đó là góc PNM^.}

Vậy hai góc trên bằng nhau và bằng 45° khi và chỉ khi:

MP = NP và ˆMPN=900

Từ đó, suy ra CP/CA.AB=AP/AC.CD và AB CD⊥

hay AB/CD=AP/CP và AB CD⊥

Mặt khác, ta có PA→_=kPC→_⇒_{AP/PC=|k| .}

Vậy giữa AB và CD có mối liên hệ

AB/CD=|k| và AB CD⊥

thì góc giữa hai vectơ MN→_{và BA}→_{bằng góc giữa hai vectơ MN}→_{và CD}→_,

cùng bằng 45°).

<b>Câu 21 trang 118 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao</b>

Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J, H, K lần lượt là trung điểm của BC, AC, AD, BD.
Hãy tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD trong các trường hợp sau:

a) Tứ giác IJHK là hình thoi có đường chéo IH=√3IJ

b) Tứ giác IJHK là hình chữ nhật

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

Góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng góc giữa hai đường thẳng IJ và IK,

đó là góc ˆJIK hoặc 1800−ˆJIK

a) Vì hình tứ giác IJHK là hình thoi mà IH=√3IJ, nên từ IK2_+IH2_=4IJ2

ta có: IK2_=IJ2

hay IK = IJ

Như vậy JIK là tam giác đều, do đó ˆJIK=600

Vậy góc giữa AB và CD trong trường hợp này bằng 60°.

b) Khi tứ giác IJHK là hình chữ nhật thì ˆJIK=900_{. Do đó, góc giữa AB và CD}

bằng 90°.

<b>Câu 22 trang 118 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao</b>

Cho hai tam giác cân ABC và DBC có chung cạnh đáy BC và nằm trong hai mặt
phẳng khác nhau.

a) Chứng minh rằng AD vng góc với CB.

b) Gọi M, N là các điểm lần lượt thuộc các đường thẳng AB và DB sao cho
MA→_=kMB→_,ND→_=kNB→_{. Tính góc giữa hai đường thẳng MN và BC.}

Trả lời:

a) Gọi I là trung
điểm của BC thì

AI BC,DI BC⊥ ⊥

Ta có

AD→_=AI→_+ID→_.

Xét

BC→_.AD→_=BC→_(A

I→_+ID→₎

=BC→_.AI→_+BC→_.I

D→₌₀

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

b) Từ giả thiết

MA→_=kMB

ND→_=kNB→

ta có MN // AD

Vậy góc giữa hai đường thẳng MN và BC bằng góc giữa hai đường thẳng AD
và BC. Theo câu a) thì AD vng góc BC, nên góc giữa MN và BC bằng 90°.

<b>Câu 23 trang 118 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao</b>

Cho tứ diện ABCD có CD=4/3AB. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của BC,

AC, BD. Cho biết JK=5/6AB, tính góc giữa đường thẳng CD với các đường
thẳng IJ và AB.

Trả lời:

Ta có:

IJ=1/2AB

IK=1/2CD=2/3AB

IJ2_+IK2_=1/4AB2_+4/

9AB2_=25/36AB2

IJ=12ABIK=12CD=23ABIJ2+IK2=14AB2+49AB2=2536AB2

mà IK2_=25/36AB2

nên IJ2_+IK2_=JK2

Vậy JI IK⊥

Do IJ // AB, IK // CD nên góc giữa AB và CD bằng 90°

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

Vậy góc giữa IJ và CD bằng 90°.

<b>Câu 24 trang 118 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao</b>

Cho tứ diện ABCD có BC = AD = a, AC = BD = b, AB = CD = c. Đặt α là góc

giữa BC và AD; β là góc giữa AC và BD; γ là góc giữa AB và CD. Chứng minh
rằng trong ba số hạng a2_cosα,b2_cosβ,c2_{cosγ có một số hạng bằng tổng hai số}

hạng cịn lại.

Trả lời:

Ta có:

cos (BC→_,DA→_)=2c
2_−2b2_/2a2_=c2_−b2_/a2_.

Vậy nếu góc giữa
BC và AD bằng α
thì:

cosα= c∣ 2_−b2_∣_/a2

hay a2_{cosα= c}_∣ 2_−b2_∣

Tương tự như trên,

nếu gọi β là góc giữa AC và BD thì:

b2_{cos β=|a}2_−c2_|

và γ là góc giữa AB và CD thì

c2_{cos γ=|b}2_−a2_|.

Với a, b, c lần lượt là dộ dài của BC, CA, AB, khơng giảm tính tổng qt có thể
coi a ≥ b ≥ c. Khi đó:

a2_cosα=b2_−c2

b2_cosβ=a2_−c2

c2_cosγ=a2_−b2

Từ đó, trong trường hợp này ta có b2_cosβ=a2_cosα+c2_cosγ

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Gọi M và N lần lượt là trung
điểm của AB và CD. Lấy các điểm I, J, K lần lượt thuộc các đường thẳng BC,
AC, AD sao cho IB→_=kIC→_,JA→_=kJC→_,KA→_=kKD→_{trong đó k là số khác 0 cho}

trước. Chứng minh rằng:

a) MN IJ và MN IK⊥ ⊥

b) AB CD⊥

Trả lời

a) Từ

IB→_=kIC→_JA→₌

kJC→

ta có IJ // AB.

Tương tự, ta có
IK // CD.

Do các cạnh của
tứ diện ABCD
bằng nhau và N

là trung điểm của CD nên NA = NB.

Mặt khác MA = MB do đó MN AB, suy ra MN IJ.⊥ ⊥

Tương tự như trên, ta có MN CD và IK // CD nên MN JK.⊥ ⊥

b) Ta có AB→_=AN→_+NB→_.

Từ giả thiết, ta có:

AN CD tức là AN⊥ →_.CD→_=0;

BN CDBN CD tức là BN⊥ ⊥ →_.CD→_=0.

Vậy AB→_.CD→_=(AN→_+NB→_).CD→_{=0 tức là AB CD}_⊥

</div>

<!--links-->