Xét tính tăng giảm của dãy số - Giáo viên Việt Nam

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (668.57 KB, 16 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

CHỦ ĐỀ 8: DÃY SỐ

Dạng toán 1: XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG
Định nghĩa dãy số

Một hàm số u xác định trên tập hợp các số nguyên dương N được gọi là một dãy số vô hạn hay dãy số. *

Kí hiệu dãy số u u n

 

bởi

 

u và gọi là n u là số hạng tổng quát của dãy số đó.n

Dãy số

 

u viết dưới dạng khai triển: n u u1, ,..., ,...2 un

Ba cách cho một dãy số

- Cho dãy số bởi công thức của số hạng tổng quát u .n

- Cho dãy số bởi hệ thứ truy hồi hay bằng quy nạp u và 1 un1 theo u ; n u u và 1, 2 un2 theo u un, n1,...

- Diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi số hạng của dãy số.
Xác định số hạng của dãy số

- Nếu dãy số cho bởi công thức số hạng tổng qt thì để tính số hạng u ta chỉ cần thay k n k vào u .n

- Nếu dãy số cho bởi hệ thức truy hồi thì ta tính liên tiếp u u1, ,...2 cho đến số hạng u cần tính.k

- Nếu dãy số cho bởi cách diễn đạt bằng lời thì dựa vào cách mơ tả đó để tính u hoặc tính dần đến k u .k

Xác định số hạng tổng quát của dãy truy hồi

- Dạng un1un  , d hằng số thì tính dần đến số hạng đầu.d

- Dạng un1q u. n, q hằng số thì tính dần đến số hạng đầu.

- Dạng un1un  f n

 

thì đặt dãy phụ xn un1un

hoặc viết liên tiếp un 



unun1

 

 un1un2



 ...



u2 u1



u1

hoặc cộng n đẳng thức từ n1,2,... đến n để tính.
- Dạng un1aun  với b a0, đặt dãy phụ un vnc

thì được vn1a v. n 



ac b c  , ta chọn hằng số c sao cho



ac b c  0 thì được vn1 avn trở về

dạng thứ nhất.
Chú ý:

1) Bài toán yêu cầu chứng minh cơng thức số hạng tổng qt thì ta dùng phương pháp quy nạp để chứng 
minh.

2) Nếu dãy cho bởi cách diễn đạt bằng lời thì xác lập các đại lượng và quan hệ giữa các số hạng liên tiếp 
nhau.

3) Sử dụng các tổng đại số của phần quy nạp, các biến đổi rút gọn và đại lượng của cung góc lượng giác.
Bài tốn 1. Tìm 5 số hạng đầu của dãy:

2 3

n

n
u

n



2 2

sin cos

4 3

n

n n

v    

Giải

a) Thế
1
n

thì

1 1, 2

u   n

thì 2
5

, 3

2
u  n

thì

3 5

u 
.
4

n

thì 4
29

, 5

u  n

thì 5
47

5
u 

b) Thế
1
n

thì

2
1

2 1 1

sin cos 0

4 3 2 2

v       

2
n

thì

2
2

4 1 1

sin cos 1

2 3 2 2

v       

3
n

thì

2
3

3 3

sin cos 2

4 2

v     

4
n

thì

2
4

8 1

sin cos

3 2

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

5
n

thì

2
5

5 10

sin cos 0

4 3

v     

Bài tốn 2. Tìm 5 số hạng đầu của mỗi dãy số sau:

1 0

u 

và 2 1

2
1

n
n

u

u 


 , với mọi
2
n

b) u11,u2   và 2 un un12un2 với mọi n3.

Giải

a) Ta có

1 0

u 
và

2
n

, 2 1 2 12

2 2

1 1

n
n

u u

u  u

   

 

3 2 4 2 5 2

2 3 4

2 2 2 50 2 1682

; ;

1 5 1 29 1 3341

u u u

     

  

b) Ta có u11,u2   và 2 n3; un un12un2

Do đó u3 u22u1    2 2 4, u4 u32u2    4 4 0

5 4 2 3 0 8 8

u u  u    .

Bài tốn 3. Tìm 6 số hạng đầu của dãy các đôi thỏ trong tháng thứ n, theo quy luật: “Một đôi thỏ gồm một 
thỏ đực và một thỏ cái cứ mỗi tháng đẻ được một đôi thỏ con cũng gồm một thỏ đực và một thỏ cái; mỗi đơi
thỏ con, khi trịn hai tháng tuổi, lại mỗi tháng đẻ ra một đôi thỏ con, và quá trình sinh nở cứ thế tiếp diễn”.

Giải
Gọi F là dãy các đôi thỏ trong tháng thứ n.n

Tháng 1 có F1  .1

Tháng 2, đơi thỏ chưa đẻ con nên có F2  .1

Tháng 3, đơi thỏ bắt đầu đẻ con nên có F3    .1 1 2

Tháng 4, đôi thỏ tiếp tục đẻ con nên có F4    .2 1 3

Tháng 5, đơi thỏ tiếp tục đẻ con và đôi thỏ con đầu tiên bắt đầu đẻ con nên có F5     .3 1 1 5

Tháng 6, đôi thỏ tiếp tục đẻ con và hai đôi thỏ con đầu tiên cũng đẻ con nên có F6      .5 1 1 1 8

Bài toán 4. Xác định số hạng tổng quát của dãy số:

a) 1





1 1 1 1

; ...

1.2 n 1.2 2.3 1

u u

n n

    



b) 1

1 1 1 1

1 ; 1 1 ... 1

2 n 2 3

v v

n

    

         

    

Giải





1 1 1

...

1.2 2.3 1

n

u

n n

   



1 1 1 1 1 1 1 1

...

1 2 2 3 1 1 1 1

n

n n n n

     

          

  

     

1 1 1 1 2 1 1

1 1 ... 1 . ...

2 3 2 3

n

n
v

n n n



    

        

    

Bài toán 5. Xác định số hạng tổng quát của dãy số:

a) u15,un un13,n2 b) v1 4,vn 5vn1,n2

Giải
a) Với n2 :un un1 nên:3









1 3 2 3 3 2 2.3 3 3 2.3

n n n n n

u u    u    u    u   









3 3.3 ... 1 1 3 5 1 3 3 2

n

u  u n n n

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

b) Với n2,vn 5vn1 nên:





2 2





1 2 2 3 3

5 5 5 5 . 5 5 5 ...

n n n n n n

v  v   v   v   v   v  

1 1 1

5 .n v 5 .4 4.5n n

  

Bài toán 6. Xác định số hạng tổng quát của dãy:

a) u12,un1 unn n; 1 b) v1 5,vn1.vn 1,n1

Giải
a) Với n1:un1un  nên:n



 



1 1 2 2 1

 

       

n n n

u u n u n n



un3 n 3

 

n 2

 

n 1



...

       



u1 1



...



n 2

 

n 1



      













2 1 2 ... n 1 1 1 2 3 ... n

          



1



2 2

2 2

n n n  n

  

b) Với 1 2 1 3 2

1 1 1

1: . 1 , 5,

n n

n v v v v

v v



      

4 5 5

3 4 5

1 1 1 1 1

, 5, ,...

5 5

v v v

     

Tổng quát, ta có

5 khi 2 1
1

khi 2
5

n

n k

v

n k

 




  



Bài toán 7. Cho dãy số

 

u xác định bởi: n u1 và 1 un 2un1 với mọi 3 n2. Chứng minh rằng với mọi

n ta có 2n 1 3

n

u    .

Giải
Ta chứng minh quy nạp: un 2n 1 3,n 1



   (1)

Khi n1, ta có u1 1 21 1 3


   . Do đó (1) đúng khi n1.
Giả sử (1) đúng khi n k k, N u*, k 2 1 3



    .

Ta sẽ chứng minh (1) cũng đúng khi n k 1.

Thật vậy, từ công thức xác định dãy số

 

u và giả thiết quy nạp ta có:n





 1 1

1 2 3 2. 2 3 3 2 3

k
k

k k

u   u          : đpcm.
Vậy (1) đúng với mọi n N *.

Bài toán 8. Cho dãy số

 

n

u

xác định bởi:

1
1

2; , 2

n
n

u

u  u    n
.

Chứng minh:

2 1

n

n n

u






với mọi
1
n

. (*)

Giải
Ta chứng minh quy nạp:

Khi
1
n

, ta có

1 0

2 1 1 1

2 1

u     

. Do đó (*) đúng khi
1
n

Giả sử (*) đúng khi

1
*

2 1

, ,

k

k k

n k k N u  
.
Ta sẽ chứng minh (*) cũng đúng khi n k 1.

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

1
1

2 1

1 2 2.2 1 2 1

2 2 2 2

k

k k

k
k

k k k

u
u











  

   

: đpcm.
Vậy (*) đúng với mọi n N *.

Bài toán 9. Xác định số hạng tổng quát của dãy số:

1 2, n 2 2 ... 2

u  u      ( n dấu căn)

Giải

Ta có 1 2

cos 2 2cos 2cos

4 2 u 4 2

       

và

1 cos 1 2 2

4 2

cos

8 2 2 2



      

2 3

2 2 2cos 2cos

8 2

u  

    

Ta chứng minh quy nạp: un 2cos2n 1







Bài toán 10. Xác định số hạng tổng quát của dãy số:

1 2, 2 5, n 2 5 n 1 6 ,n 1

u  u  u   u   u n

Giải





2 5 1 6 2 1 5 1

          

n n n n n n n

u u u u u u u

Đặt xn un un1 thì xn15xn.

Do đó xn 5xn1 5 5



xn2



5 .2xn2 5 52



xn3



5 .3xn3 ...





2 2 2

2 2 1

5 .n x 5n u u 3.5n

   

Ta có un 



un un1

 

 un1un2



 ...



u2u1



u1

2 3 0

3.5n 3.5n ... 3.5 2

    





1 1

2 2 1 5 3.5 5

2 3 1 5 5 ... 5 2 3

1 5 4

n n

n    

        



Bài toán 11. Xác định số hạng tổng quát của dãy số Fibônaxi:

1 1, 2 1, n 2 n n 1, 1

F  F  F F F n

Giải

Xét 2 số a b sao cho a b 1,ab  , thì a, b là nghiệm phương trình1

2 1 0

x   x

nên

1 5

2
a b 

Do đó Fn2 FnFn1  abFn 



a b F



n1





2 1 1

n n n n

F aF b F aF

    . Đặt vn Fn1aFn thì vn1bvn.

Từ đó tính được

n

v

rồi suy ra:

1 1 5 1 5

2 2

n n

n

F        

    

 

Bài toán 12. Từ hình vng A B C D có cạnh bằng 6cm, dựng các hình vng 1 1 1 1
2 2 2 2, 3 3 3 3,..., n n n n,...

A B C D A B C D A B C D theo cách sau: Với mỗi n2,3,4,... lấy các điểm A B C và n, ,n n D n
tương ứng trên các cạnh A Bn1 n1,B Cn1 n1,C Dn1 n1 và D An1 n1 sao cho A An1 n 1cm và A B C D là một n n n n

hình vng. Lập dãy số

 

u với n u là độ dài cạnh của hình vng n A B C D bởi hệ thức truy hồi.n n n n

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Với mỗi n nguyên dương, xét hai hình vng A B C D cạnh n n n n u và n A B C Dn1 n1 n1 n1 cạnh un1.

Ta có: un1 A Bn1 n1



 



1 1

n n n n

A B B B 

 



1



2 12



1



2 1

n n n

A B u

     

Vậy u16,un1 un22un2,n .1

Bài toán 13. Cho dãy số

 

u xác định bởi:n

1 1

3, , 1

n
n

u

u  u    n

a) Tính u u u .2, ,4 6

b) Chứng minh rằng

 

u là một dãy số không đổi.n

Giải

2 2

1 2

1 2 3

9 18 9

3, , 3

6 6 6

 

 u  u 

u u u

Vậy u2 u4 u6  .3

b) Ta chứng minh quy nạp: un 3,n1

Khi n1 thì u1 : đúng3

Giả sử

2
1
1

9 18

3 3

6 6

k k

u

u  u     

: đpcm.
Vậy dãy số khơng đổi.

Bài tốn 14. Cho dãy số

 

u xác định bởi:n

1 4

u  và

1 2 3 8

n n

u   u  , với mọi n1
.
Chứng minh rằng

 

u là một dãy số khơng đổi.n

Giải
Ta có: u1 4,u2 2 12 8 4,  u3 2 12 8 4 

Ta chứng minh quy nạp: un 4,n1 (1)

Giả sử (1) đúng khi n k , k nguyên dương: uk  . 4

Ta chứng minh (1) đúng khi n k 1.

Thật vậy: uk12 3uk 8 2 3.4 8 4  : đpcm.

Vậy un  với mọi n ngun dương.4

Dạng tốn 2: TÍNH CHẤT TĂNG GIẢM
- Dãy số

 

u được gọi là dãy số tăng nếu với mọi n ta có n un un1.

- Dãy số

 

u được gọi là dãy số giảm nếu với mọi n ta có n un un1.

Phương pháp xét tính tăng, giảm của dãy số un

- Tính un1.

- So sánh với

n

u

bằng cách lập hiệu số

n n

u  u

, so với số 0 hoặc tỉ số

n
n

u
u



so với số 1.
Chú ý:

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

3) Sử dụng phương pháp quy nạp.
Bài tốn 1. Xét tính tăng, giảm của dãy số:

3 3 2 5 7

n

u n  n  n

5 1

2 3

n

n
u

n




Giải

a) Ta có: un n33n2 5n nên7













3

1 1 3 1 5 1 7 2 4

n

u   n  n  n  n  n

Lập hiệu un1un 3n23n 3 3n n



    1



3 0, n 1

1 , 1

n n

u  u n

    . Vậy dãy số tăng.

b) Ta có

5 1

2 3






n

n
u

n nên









5 1 1 5 4

2 1 3 2 5

n

n n

u

n n



  

 

  

Lập hiệu 1







5 4 5 1 17

0, 1

2 5 2 3 2 3 2 5

n n

u u n

n n n n



 

       

   

1 , 1

n n

u  u n

    .

Vậy dãy số tăng.

Bài tốn 2. Xét tính tăng, giảm của dãy số:
a)

 

1 5

n
n

n
u

n
 

 b)

1 9, n 1 n 2 sin , 1

u  u  u   n n

Giải

a) Ta có 1 2 3

1 2 3

, ,

6 7 8

u   u  u  

Vì u1u u2, 2  nên hằng số khơng tăng, khơng giảm.u3

b) Ta có un1un  2 sinnun1un sinn   (vì sin2 0, n n  ).1, n

Vậy dãy số giảm.

Bài toán 3. Xét tính tăng, giảm của dãy số:

1
3

n n

n
x  





2
1 !

n
n

y
n



Giải

a) Ta có:

1
3

n n

n
x  

nên 1 1

2
3

n n

n
x   

Lập tỉ số





2 1 2 2

: 1, 1

3 3 3 1 3 3

n

n n

n

x n n n n

n

x n n



   

     

 

Vì xn  với mọi n 0 xn1xn,  . Vậy dãy số giảm.n 1

b) Ta có:





1 !

n
n

y
n


 nên





2
2 !



  

n
n

y

n

Lập tỉ số



 



1 2 : 2 2 1, 1

2 ! 1 ! 2



     

  

n n

n
n

y

n

y n n n

Vì xn  với mọi n 0  yn1 yn,  . Vậy dãy số giảm.n 1

Bài tốn 4. Xét tính tăng, giảm của dãy số:

n

a  n  n

b)
2

n

n
b

n



</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>





1
1

1 1

n

n n

a n n

n n n n

 

    

   

1 1

, 1

2 1 1

n n

a a n

n n n n



     

     . Vậy dãy số giảm.

b) Ta có

2 2

n

b n

n n



  

Do đó 1
2

1
1

n

b n

n

   



Lập hiệu số: 1





2 2

1 0, 1



 

        



 

n n

b b n n n

n n

1 , 1

n n

b b n

    . Vậy dãy số giảm.

Bài tốn 5. Xét tính tăng, giảm của dãy số

 

u xác định bởi:n

1 1, n 1 3 n 10, 1

u  u   u  n

Giải
Ta chứng minh quy nạp: un1u nn, 1 (1)

Khi n1 thì u2 3.1 10 13  u1 .1

Do đó (1) đúng khi n1.

Giả sử (1) đúng khi n k , k nguyên dương.
Ta chứng minh (1) đúng khi n k 1.Thật vậy:

1 3 1 10 3 10 2 1

k k k k k k

u  u  u    u  u  u  : đpcm.
Vậy dãy số tăng.

Bài toán 6. Xét tính tăng, giảm của dãy số:

3 3 ... 3

n

u     , n dấu căn.

Giải
Ta chứng minh quy nạp:un1 un, n 1 (1)

Khi n1 thìu2 u1  3 3  3: đúng.

Do đó (1) đúng khi n1. Giả sử (1) đúng khi n k , k nguyên dương:

1 3 1 3 3 1 3

n k k k k k

u  u  u   u  u   u

2 1

k k

u  u 

  . Do đó (1) đúng khi n k 1.

Vậy (1) đúng với mọi n nguyên dương, do đó dãy số tăng.
Bài tốn 7. Xét tính tăng, giảm của dãy số:

2
.
3

n
n

u     n

  b) 2

1 1 1

1 1 ... 1

3 3 3

n n

u         

    

Giải

a) Ta có:
0

n

u 

nên

. 1

n
n

u n



    

 

Lập tỉ số

1 2 . 1 : 2 .

3 3

n n

n
n

u

n n

u



     

   

   





2 1 4 4 4 4

1, 1.

3 9 4 4 4 5 4

  

     

   

n n n

n

n n n n

Do đó un1un,  . Vậy dãy số giảm.n 1

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

1 2 1

1 1 1 1

1 1 ... 1 1

3 3 3 3

n n n

u             

     
Do đó
1
1
1
1

1 1, ,

3
n
n n
n
n
u

n u u n

u






      

. Vậy dãy số giảm.
Bài toán 8. Xét tính tăng, giảm của dãy số:

a)
1
1
n
n
u
n
 
  

  b)

1 1 1

...

1 2 3

n

v

n n n

   

 

Giải

a) Ta có
0
n
u 
và
1
1
1
1
1
n
n
u
n

    

  nên





1 2

2 1 2 1

: .
1 1
n
n n
n
n

u n n n n n

u n n n n



          
      
      





1
2

1 1 1 1

1 . 1 . 1

1
1


     
 
     
     
 
n
n n

n n n

n

Do đó  n 1,un1un: dãy số tăng.

b) Ta có: 1

1 1 1 1 1 1

...

2 3 3 3 1 3 2 3 3

n

v

n n n n n n

            

Do đó: 1

1 1 1 1

3 1 3 2 3 3 1

n n

v v

n n n n

         







1 1 2 9 5

3 1 3 2 3 3 3 1 3 2 3 3

n

n n n n n n



    

     

Nên vn1vn,  . Vậy dãy số tăng.n 1

Bài toán 9. Cho dãy số

 

1
: 0 1,

n n n

u u  u 

và 1





1 , 1

n n

u  u  n

. Chứng minh rằng dãy tăng.
Giải

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương: un1



1un



2 un1



1un







1 1

1 2 ,

n n n n

u  u u  u n

     

Dấu = xảy ra khi

n n

u  u

. Do đó: 1





1
1

n n

u  u 





1 2





1 4 4 1 0 2 1 0

n n n n n

u u u u u

         
1
2
n
u
 
(loại). Vậy
1

1, n n

n u  u

  

nên dãy số tăng.

Bài tốn 10. Tìm a để dãy

2
2
1
2 3
n
an
u
n



 là:

a) dãy số giảm b) dãy số tăng

Giải

Ta có









1 2

2 3 2 3

2 2 2 3 2 2 2 1 3

n n

a a a a

u u

n  n

 

    

 

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Do đó





1 2 2

2 3 1 1

2 2 1 3 2 3

n n

a

u u

n
n



 

  

  

    

 

Vì









2 2

2 2

1 1

2 1 3 2 3 0 0, 1

2 3

2 1 3

n n n

n
n

         



 

Do đó:

a) Dãy

n

u

giảm

2 3 2

2 3

a

a


   

b) Dãy

n

u
tăng

2 3 2

2 3

a

a


   

Dạng tốn 3: TÍNH CHẤT BỊ CHẶN

- Dãy số

 

u được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho: n  n N u*, n M .

- Dãy số

 

u được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho:n  n N u*, n  .m

- Dãy số

 

u được gọi là dãy số bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới; nghĩa là tồn tại một n

số M và một số m sao cho: n N m u*,  n M .

Phương pháp xét tính bị chặn của dãy số u .n

- Dãy bị chặn trên nếu có số M: un M,n

- Dãy bị chặn dưới nếu có số m: un m n,

- Dãy bị chặn nếu vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới.
Chú ý:

1) Đánh giá u với số 0, số 1,… hoặc dùng bất đẳng thức cơ bản.n

2) Biến đổi, tính gọn, nhân chia lượng liên hiệp, chia tách trước.
3) Sử dụng phương pháp quy nạp.

Bài toán 1. Chứng minh dãy:
a)

2 4

n

u n  n

bị chặn dưới b)

1
3

n

n
v

n



 bị chặn trên.
Giải

a) Ta có un n2 4n



n2



2    4 4



n2



2   4, n

Vậy dãy số bị chặn dưới.

b) Ta có
1
n
 

thì

1 3

n  n
nên

1,
3

n

v n

n


  


Vậy dãy số bị chặn trên.

Bài toán 2. Chứng minh dãy số bị chặn:

6 2 1

n

n n

u

n n

 



 b)

6sin 7 2

n

v  n cos n

Giải





2 3 1 1

1: 0

n

n n

n u

n n

 

   

 : bị chặn dưới.

Vì





3 3

6 12 14 1 14 1

6 6

2 2

n

n n n n

u

n n n n

   

   

  : bị chặn trên

Vậy dãy số bị chặn.

b) Ta có 6 6sin  n6, 7 7  cos n2  với mọi n7
Do đó: 13 vn 13, . Vậy dãy số bị chặn.n

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

a) un n2 5n không bị chặn trên.1

b) vn   khơng bị chặn dưới.n3

Giải
Ta có phương pháp phản chứng

a) Giả sử dãy u bị chặn trên nên tồn tại số M sao cho n un M,n

2 5 1 ,

n n M n

    

5n M, n n M, n

      : vô lý. Vậy dãy số không bị chặn trên.
b) Giả sử dãy v bị chặn dưới nên tồn tại số m sao cho n vn m n,

3 , 3 ,

n m n n m n

       

3 ,

n m n

    : vô lý.

Vậy dãy số không bị chặn dưới.
Bài toán 4. Chứng minh dãy số bị chặn:







1 1 1

...

1.3 3.5 2 1 2 1

n

u

n n

   

  b) 4

 

13

n

n
v

n
 



Giải

1 1 1 1 1 1 1 1 1

...

2 1 3 2 3 5 2 2 1 2 1

n

u

n n

     

          

 

     

1 1

2 2 1 2 1

n

n n

 

   

 

 

Do đó 0un   nên dãy số bị chặn.1, n

b) Ta có

 

1 n bằng 1 hoặc -1 nên n   1 n

 

1 n   .n 1

c) Do đó

1 1

0 1,

4 3 4 3

       

 n  n

n n

v v n

n n . Vậy dãy số bị chặn.

Bài toán 5. Cho dãy

 

4 3

n n

a a

n n



 

Xét dãy

 

bn :b1 a b1, n1bnan1,n .1

a) Tính b theo n.n b) Chứng minh dãy

 

b bị chặn trên.n

Giải
a) Theo đề bài ta có: b1a b1, 2  b1 a2  a1 a2

3 2 3 1 2 3,..., n 1 2 ... n

b b a  a a a b  a a  a

a có 2

2 1 1

4 3 1 3

k

a

k k k k

  

    nên:

1 2 ...

n n

b  a a  a

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

... ...

2 3 4 5 n n 1 4 5 6 n 2 n 3

   

              

  

   

1 1 1 1

2 3 n 2 n 3

   

 

Vậy

5 1 1

6 2 3

n

b

n n

  

 

b) Ta có

5 1 1 5

6 2 3 6

n

b

n n

   

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Bài toán 6. Chứng minh dãy bị chặn:

1 1

2 2

n
n

u
u  u   

Giải
Ta chứng minh quy nạp: 0un 1 (1)

Khi
1
n

thì 1
1
2
u 

: đúng.

Giả sử (1) đúng khi n k , k nguyên dương: 0uk 1

Ta chứng minh (1) đúng khi n k 1:

1
0
2

k
k

u
u    

và

1 1 1
1

2 2

k
k

u

u      
nên

0uk 1

Vậy (1) đúng với mọi n ngun dương, do đó dãy số bị chặn.

Dạng tốn 4: TOÁN TỔNG HỢP
- Dãy số

 

u tăng nếu với mọi n ta có n un un1

- Dãy số

 

u giảm nếu với mọi n ta có n un un1

- Dãy số

 

u bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới; tồn tại một số M và một số m sao cho:n

*,

n

n N m u M

    .

- Xác định dãy nhờ các các dãy phụ, các đẳng thức, các tổng, các biến đổi gọn, dùng quy nạp,…
- Dùng tính chất tuần hồn un k  để tính tổng…un

Bài tốn 1. Xét tính đơn điệu và bị chặn của dãy:

2 3

n

n
u

n




Giải

Ta có: 1 2 3

10 2
2, 1,

15 3
u   u  u  

Do đó u1u u2, 2  nên dãy số khơng tăng, khơng giảm.u3

Ta có:





1 5

2 2 2 3

n

u

n
 



Vì 2

1 1

1, 1

2 3 5

n

    

 nên

2 un 1

  

. Vậy dãy số bị chặn.

Bài toán 2. Xét tính đơn điệu và bị chặn của dãy:

n n

n

v 

Giải
Ta có vn  với mọi n nguyên dương0









2 2





1 1 1 2

1 1 1

2 2 2 2

n

n n n n

n

n v n n n

v

v n



  

   

Xét





1 1 1

1 1 1 1 2 3

2 2 2 1

n
n

n

v n

n n n n

v n n

              



Xét

1 1 1 2

2 1

n
n

v

n n

v

     



Do đó u1u2  và u3 u3 u4 u5 ...

Vậy dãy số không tăng, không giảm và 3
9

0 , 1

n

u u n

    

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Bài toán 3. Chứng minh rằng dãy số

 

n
u

với

2 3

3 2

n

n
u

n



 là một dãy số giảm và bị chặn.
Giải

Ta có





2 5

3 3 3 2

n

u

n
 

 nên 1





2 5

3 3 3 5

n

u

n

   

Do đó 1

5 1 1

3 3 5 3 2

n n

u u

n n

       

  , với mọi

1
n

Vậy

 

u là một dãy số giảm.n

Vì u là một dãy số giảm nên bị chặn trên bởi n M u1 .1

Và





1: 0

3 3 2

  


n

n nên

, 1

n

u   n

: bị chặn dưới.
Vậy dãy

 

u bị chặn.n

Bài toán 4. Chứng minh rằng dãy 2 2 2

1 1 1

...

1 2

n

u

n

   

tăng và bị chặn.
Giải

Ta có: 1 2 2 2









1 1 1 1 1

...

1 2 1 1

n n

u u

n n n

       

 

Nên un1un,  : dãy tăngn 1

Vì dãy số tăng nên bị chặn dưới bởi m u 1  .1

Ta có: 2 2 2





1 1 1 1 1 1

1 ... 1 ...

2 3 1.2 2.3 1

n

u

n n n

         



1 1 1 1 1 1

1 ...

1 2 2 3 n 1 n

     

         


     

2 2, n 1

n

    

: bị chặn trên. Vậy dãy số bị chặn.

Bài toán 5. Cho số 
0
a

. Chứng minh dãy un  a a ... a (n dấu căn) là dãy tăng và bị chặn.

Giải
Ta chứng minh quy nạp:un1 un, n 1 (1)

Khi n1: u2  a a  a u : đúng.1

Giả sử uk1 uk  a uk1  a uk

1 2 1

k k k k

a u  a u u  u 

      : đpcm

Vậy dãy số u tăng. Ta có n un 0 và từ (1) nên a u n un

2 2 0

n n n n

a u u u u a

      

1 4 1 1 4 1

2 n 2

a a

u

   

  

. Vậy dãy bị chặn.

Bài toán 6. Chứng minh dãy

1 1 1

... 2

1 2

n

u n

n

    

là dãy giảm và bị chặn.
Giải

Ta có: 1

1 1 1 1

... 2 1

1 2 1

n

u n

n n

       

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Do đó: 1





1 1

2 1 2 2 1

1 1

n n

u u n n n n

n n

         

 

2 2

2 n 1 n 1 n

  

   : dãy giảm

Vì dãy số giảm nên bị chặn trên bởi u1  1

Ta có:





1 2

2 1

1 k k

k  k  k    , áp dụng:



 







2 2 1 2 3 2 ... 2 1 2

n

u       n  n  n





2 2 n 1 2 n 2 2 n 1 n 2

           

Do đó dãy số bị chặn dưới. Vậy dãy số bị chặn.
Bài toán 7. Cho số a

 

0,1 . Chứng minh dãy u :n

1 1

, , 2

2 n 2 2 n

a a

u  u   u  n

, tăng và bị chặn.

Giải
Vì 0 a 1 nên un  0, n

Ta chứng minh quy nạp:un1u nn, 1 (1)

Khi
1
n

2 1

1
.

2 2 4 2

a a a

u    u

: đúng.
Giả sử (1) đúng khi n k , k nguyên dương:

Ta chứng minh (1) đúng khi n k 1. Thật vậy: uk1 uk uk21uk2

2 2

1 2 1

1 1

2 2 k 2 2 k k k

a a

u  u u  u 

     

: đpcm.

Ta chứng minh quy nạp:un 1,n1 (2)

Khi
1
n

: 1 2 1

a
u  

: đúng.

Giả sử (2) đúng khi n k , k nguyên dương:
Ta chứng minh (2) đúng khi n k 1.

Thật vậy:

2
1

1 1 1 1

. 1

2 2 2 2 2 2

k k

a a

u    u     

: đpcm.
Vậy dãy số tăng và bị chặn.

Bài toán 8. Cho dãy số

 

sn

với sn sin 4



n 1



6


 

a) Chứng minh rằng sn sn3 với mọi n1.

b) Hãy tính tổng 15 số hạng đầu tiên của dãy số đã cho.
Giải
a) Với n là số nguyên dương tùy ý, ta có:









3 sin 4 3 1 6 sin 4 1 12 6

n

s    n    n  









sin 4 1 2 sin 4 1

6 6 n

n   n  s

 

      

 

b) Từ kết quả trên ta có:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

s   s s s  s s s   s s s s s s s s

Mà 1 2 3

7 1 11 1

sin 1, sin , sin

2 6 2 6 2

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Nên: 15 1 2 15



1 2 3



1 1

... 5 5 1 0

2 2
S    s s s  s  s s     

 

Bài toán 9. Cho dãy số

n

u

xác định bởi:

1 1

3 5

1, u 1, 1

2 2

n n n

u  u    u   n

Tính tổng 18 số hạng đầu tiên.

Giải
Ta có u1 1,u2 2,u3 0,u4 1,u5 2,...

Ta chứng minh quy nạp:un3 u nn, 1 (1)

Khi n1thì u4   : đúng.1 u1

Giả sử (1) đúng khi n k , k nguyên dương:
Ta chứng minh (1) đúng khi n k 1.

Thật vậy:

2 2

4 3 3 1

3 5 3 5

u 1 u 1

2 2 2 2

k k k k k k

u    u       u   u 

: đpcm.
Tổng 18 số hạng đầu tiên



 







18 1 2 3 4 5 6 ... 16 17 18

S  u u u  u u u   u u u



1 2 3

 



6 u u u 6 1 2 0 18

      

Bài toán 10. Cho dãy

 

u được xác định:n

1 2000; 2 2001; n 2 2 n 1 n 3, 1,2,3...

u  u  u   u  u  n

a) Tìm un b) Tính tổng n số hạng đầu tiên S .n

Giải
a) Ta có un2 2un1un 3

Do đó u32u2 u1 3;u42u3u2 3;...;un 2un1un2 3

Cộng từng vế n2 đẳng thức trên thì được:





1 2 1 3 2

n n

u u  u  u n





1 3 2 2 1 3 5

n n

u u   n u  u n

Do đó u3u2 3.3 5; u4 u3 3.4 5;...; un un13.n5

Cộng từng vế n2 đẳng thức trên:



 



2 3 3 4 ... 5 2

n

u u    n  n

Nên







3. 3 2 3 7

5 2011 2002

2 2

n

n n n n

u     n   

b) Ta có

2 2

1 2

3 7 3 7

.1 .1 2002; .2 .2 2002;...;

2 2 2 2

u    u   

3 7

.n .n 2002

2 2

n

u   

Do đó









2 2 2

3 7

1 2 ... 1 2 ... 2002.

2 2

n

S    n    n  n

Vậy Sn n n



3



n 1



2002.n.

Bài toán 11. Cho dãy Fibonaxi

 

un :u1u2 1;un1 unun1

Chứng minh:

a) un2   1 u1 u2  ... u2n b) u1u3u5 ... u2n1u2n
Giải

a) Ta có u1u u2; 1u2 u u3; 2 u3 u4;...;un un1un2

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Mà u1 nên 1 1 u1 u2  ... un un2

b) Ta có:

1  2; 2 3 4; 4 5  6;...; 2n2 2n1 2n

u u u u u u u u u u u

Cộng từng vế thì có: u1u3u5 ... u2n1u2n

Bài tốn 12. Dãy

 

a được thành lập theo quy tắc sau:n

1 2 1 1

1 1

1, ,..., n n

n

a a a a a

a  a 

    

Chứng minh 2n 1 an  3n2,n 1

Giải

Với mọi
1
k 

ta có

2 2

1 2

1
2

k k

k

a a

a



  

Để ý rằng ak    nên 1, k 1 ak21 2 ak2 ak213

Từ đó ta có: an21 2 an2 an213; an22  2 an21an223...;

2 2 2 2 2 2

2 2 3 2 3; 1 2 2 1 3

a  a a  a  a a 

Suy ra: 2n 1 an2 3n  2, n 1

Vậy 2n 1 an  3n   (đpcm).2, n 1

BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài toán 1. Viết 9 số hạng đầu của các dãy số sau:

 

1 tan 3 sin 4

n
n

n n

u     

1 2, n 1 3 n 7

u  u   u  n

HD-ĐS
a) Thế lần lượt n1;2;3;4;5;6;7;8;9 thì có kết quả
b) Dãy truy hồi nên tính lần lượt u u2; ;...; ;3 u u .8 9

Bài toán 2. Xác định số hạng tổng quát của dãy số:

a) u12,un un17,n2 b) v1 3,vn 5vn1,n2

HD-ĐS
a) Kết quả un 7n5 b) Kết quả vn 3.5n 1




Bài toán 3. Xác định số hạng tổng quát của dãy:

a) 1 1

1 1

3 3

n n

u  u   u 

b) u12,u2 3,un1 3un 2un1,n 2

HD-ĐS

a) xét dãy phụ

1
2

n n

v u 

b) xét dãy phụ vn unun1

Bài toán 4. Cho dãy

 

u xác định bởi: n u11,un1 3un10,n1

Chứng minh un 2.3n 5,n .1

HD-ĐS
Chứng minh quy nạp.

Bài toán 5. Chứng minh dãy:

a) un n2 4n không bị chặn trên.7

b) vn  

 

1 .n n không bị chặn dưới.

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

a) Dùng phương pháp phản chứng.
b) Dùng phương pháp phản chứng.

Bài toán 6. Chứng minh dãy tăng và bị chặn trên:
a)

7 5

5 7

n

n
u

n



 b) 2

1 1 1

...

3 1 3 1 3 1

n n

v    

  

HD-ĐS
a) Kết quả un  .2

b) Kết quả
1
2

n

v 

Bài toán 7. Chứng minh dãy giảm và bị chặn dưới:
a)

5 1

n

n
u

n



 b)

1
3

n n

v

n




HD-ĐS
a) Kết quảun  .0

b) Kết quả vn 0

Bài toán 8. Cho dãy số un  1 2n



n1



Tính tổng: T  1 2.213.22 4.23 ... 2018.22017

HD-ĐS





1 1 .2

n

n n

u  u  n

</div>