Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (668.57 KB, 16 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>
<b>CHỦ ĐỀ 8: DÃY SỐ</b>
<b>Dạng toán 1: XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG</b>
<i><b>Định nghĩa dãy số</b></i>
<i>Một hàm số u xác định trên tập hợp các số nguyên dương <sub>N được gọi là một dãy số vô hạn hay dãy số. </sub></i>*
<i>Kí hiệu dãy số u u n</i>
<i>Dãy số </i>
<i><b>Ba cách cho một dãy số</b></i>
<i>- Cho dãy số bởi công thức của số hạng tổng quát u .n</i>
<i>- Cho dãy số bởi hệ thứ truy hồi hay bằng quy nạp u và </i>1 <i>un</i>1<i> theo u ; n</i> <i>u u và </i>1, 2 <i>un</i>2<i> theo u un</i>, <i>n</i>1,...
<i>- Diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi số hạng của dãy số.</i>
<i><b>Xác định số hạng của dãy số</b></i>
<i>- Nếu dãy số cho bởi công thức số hạng tổng qt thì để tính số hạng u ta chỉ cần thay k</i> <i>n k</i> <i> vào u .n</i>
<i>- Nếu dãy số cho bởi hệ thức truy hồi thì ta tính liên tiếp u u</i>1, ,...2 <i> cho đến số hạng u cần tính.k</i>
<i>- Nếu dãy số cho bởi cách diễn đạt bằng lời thì dựa vào cách mơ tả đó để tính u hoặc tính dần đến k</i> <i>u .k</i>
<i><b>Xác định số hạng tổng quát của dãy truy hồi</b></i>
<i><b>- Dạng </b>un</i>1<i>un</i> <i> , d hằng số thì tính dần đến số hạng đầu.d</i>
<i>- Dạng un</i>1<i>q u</i>. <i>n, q hằng số thì tính dần đến số hạng đầu.</i>
<i>- Dạng un</i>1<i>un</i> <i>f n</i>
<i>hoặc viết liên tiếp un</i>
<i>hoặc cộng n đẳng thức từ n</i>1,2,...<i> đến n để tính.</i>
<i>- Dạng un</i>1<i>aun</i> <i> với b</i> <i>a</i>0<i>, đặt dãy phụ un</i> <i>vn</i><i>c</i>
<i>thì được vn</i>1<i>a v</i>. <i>n</i>
<i>dạng thứ nhất.</i>
<i><b>Chú ý:</b></i>
<i>1) Bài toán yêu cầu chứng minh cơng thức số hạng tổng qt thì ta dùng phương pháp quy nạp để chứng </i>
<i>minh.</i>
<i>2) Nếu dãy cho bởi cách diễn đạt bằng lời thì xác lập các đại lượng và quan hệ giữa các số hạng liên tiếp </i>
<i>nhau.</i>
<i>3) Sử dụng các tổng đại số của phần quy nạp, các biến đổi rút gọn và đại lượng của cung góc lượng giác.</i>
<b>Bài tốn 1. Tìm 5 số hạng đầu của dãy:</b>
a)
2
2 3
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>u</i>
<i>n</i>
b)
2 2
sin cos
4 3
<i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i>
<i>v</i>
<i><b>Giải</b></i>
a) Thế
1
<i>n</i>
thì
1 1, 2
<i>u</i> <i>n</i>
thì 2
5
, 3
2
<i>u</i> <i>n</i>
thì
3 5
<i>u</i>
.
4
<i>n</i>
thì 4
29
, 5
4
<i>u</i> <i>n</i>
thì 5
47
5
<i>u</i>
.
b) Thế
1
<i>n</i>
thì
2
1
2 1 1
sin cos 0
4 3 2 2
<i>v</i>
2
<i>n</i>
thì
2
2
4 1 1
sin cos 1
2 3 2 2
<i>v</i>
3
<i>n</i>
thì
2
3
3 3
sin cos 2
4 2
<i>v</i>
4
<i>n</i>
thì
2
4
8 1
sin cos
3 2
5
<i>n</i>
thì
2
5
5 10
sin cos 0
4 3
<i>v</i>
<b>Bài tốn 2. Tìm 5 số hạng đầu của mỗi dãy số sau:</b>
a)
1 0
<i>u</i>
và 2 1
2
1
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>u</i>
<i>u</i> <sub></sub>
, với mọi
2
<i>n</i>
.
b) <i>u</i>11,<i>u</i>2 và 2 <i>un</i> <i>un</i>12<i>un</i>2 với mọi <i>n</i>3.
<i><b>Giải</b></i>
a) Ta có
1 0
<i>u</i>
và
2
<i>n</i>
, 2 1 2 12
2 2
2
1 1
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>u</i> <i>u</i>
<i>u</i> <sub></sub> <i>u</i>
3 2 4 2 5 2
2 3 4
2 2 2 50 2 1682
; ;
1 5 1 29 1 3341
<i>u</i> <i>u</i> <i>u</i>
<i>u</i> <i>u</i> <i>u</i>
b) Ta có <i>u</i>11,<i>u</i>2 và 2 <i>n</i>3; <i>un</i> <i>un</i>12<i>un</i>2
Do đó <i>u</i>3 <i>u</i>22<i>u</i>1 2 2 4, <i>u</i>4 <i>u</i>32<i>u</i>2 4 4 0
5 4 2 3 0 8 8
<i>u</i> <i>u</i> <i>u</i> <sub> .</sub>
<b>Bài tốn 3. Tìm 6 số hạng đầu của dãy các đôi thỏ trong tháng thứ n, theo quy luật: “Một đôi thỏ gồm một </b>
thỏ đực và một thỏ cái cứ mỗi tháng đẻ được một đôi thỏ con cũng gồm một thỏ đực và một thỏ cái; mỗi đơi
thỏ con, khi trịn hai tháng tuổi, lại mỗi tháng đẻ ra một đôi thỏ con, và quá trình sinh nở cứ thế tiếp diễn”.
<i><b>Giải</b></i>
Gọi <i>F là dãy các đôi thỏ trong tháng thứ n.n</i>
Tháng 1 có <i>F</i>1 .1
Tháng 2, đơi thỏ chưa đẻ con nên có <i>F</i>2 .1
Tháng 3, đơi thỏ bắt đầu đẻ con nên có <i>F</i>3 .1 1 2
Tháng 4, đôi thỏ tiếp tục đẻ con nên có <i>F</i>4 .2 1 3
Tháng 5, đơi thỏ tiếp tục đẻ con và đôi thỏ con đầu tiên bắt đầu đẻ con nên có <i>F</i>5 .3 1 1 5
Tháng 6, đôi thỏ tiếp tục đẻ con và hai đôi thỏ con đầu tiên cũng đẻ con nên có <i>F</i>6 .5 1 1 1 8
<b>Bài toán 4. Xác định số hạng tổng quát của dãy số:</b>
a) 1
1 1 1 1
; ...
1.2 <i>n</i> 1.2 2.3 1
<i>u</i> <i>u</i>
<i>n n</i>
b) 1
1 1 1 1
1 ; 1 1 ... 1
2 <i>n</i> 2 3
<i>v</i> <i>v</i>
<i>n</i>
<sub></sub> <sub></sub> <sub> </sub> <sub></sub>
<i><b>Giải</b></i>
a)
1 1 1
...
1.2 2.3 1
<i>n</i>
<i>u</i>
<i>n n</i>
1 1 1 1 1 1 1 1
...
1 2 2 3 1 1 1 1
<i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>
<sub></sub> <sub> </sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
b)
1 1 1 1 2 1 1
1 1 ... 1 . ...
2 3 2 3
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>v</i>
<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>
<sub></sub> <sub></sub> <sub> </sub> <sub></sub>
<b>Bài toán 5. Xác định số hạng tổng quát của dãy số:</b>
a) <i>u</i>15,<i>un</i> <i>un</i>13,<i>n</i>2 b) <i>v</i>1 4,<i>vn</i> 5<i>vn</i>1,<i>n</i>2
<i><b>Giải</b></i>
a) Với <i>n</i>2 :<i>un</i> <i>un</i>1 nên:3
1 3 2 3 3 2 2.3 3 3 2.3
<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>
<i>u</i> <i>u</i> <sub></sub> <i>u</i> <sub></sub> <i>u</i> <sub></sub> <i>u</i> <sub></sub>
3 3.3 ... 1 1 3 5 1 3 3 2
<i>n</i>
<i>u</i> <sub></sub> <i>u</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>
b) Với <i>n</i>2,<i>vn</i> 5<i>vn</i>1 nên:
1 2 2 3 3
5 5 5 5 . 5 5 5 ...
<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>
<i>v</i> <i>v</i> <sub></sub> <i>v</i> <sub></sub> <i>v</i> <sub></sub> <i>v</i> <sub></sub> <i>v</i> <sub></sub>
1 1 1
1
5 .<i>n</i> <i><sub>v</sub></i> 5 .4 4.5<i>n</i> <i>n</i>
<b>Bài toán 6. Xác định số hạng tổng quát của dãy:</b>
a) <i>u</i>12,<i>un</i>1 <i>un</i><i>n n</i>; 1 b) <i>v</i>1 5,<i>vn</i>1.<i>vn</i> 1,<i>n</i>1
<i><b>Giải</b></i>
a) Với <i>n</i>1:<i>un</i>1<i>un</i> nên:<i>n</i>
1 1 2 2 1
<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>
<i>u</i> <i>u</i> <i>n</i> <i>u</i> <i>n</i> <i>n</i>
2 1 2 ... <i>n</i> 1 1 1 2 3 ... <i>n</i>
1
2 2
<i>n n</i> <i>n</i> <i>n</i>
b) Với 1 2 1 3 2
1 1 1
1: . 1 , 5,
5
<i>n</i> <i>n</i>
<i>n</i> <i>v</i> <i>v</i> <i>v</i> <i>v</i>
<i>v</i> <i>v</i>
4 5 5
3 4 5
1 1 1 1 1
, 5, ,...
5 5
<i>v</i> <i>v</i> <i>v</i>
<i>v</i> <i>v</i> <i>v</i>
Tổng quát, ta có
5 khi 2 1
1
khi 2
5
<i>n</i>
<i>n</i> <i>k</i>
<i>v</i>
<i>n</i> <i>k</i>
<sub></sub>
<b>Bài toán 7. Cho dãy số </b>
1
<i>n</i> <sub> ta có </sub> <sub>2</sub><i>n</i> 1 <sub>3</sub>
<i>n</i>
<i>u</i> <sub> .</sub>
<i><b>Giải</b></i>
Ta chứng minh quy nạp: <i>un</i> 2<i>n</i> 1 3,<i>n</i> 1
<sub>(1)</sub>
Khi <i>n</i>1, ta có <i>u</i>1 1 21 1 3
<sub> . Do đó (1) đúng khi </sub><i>n</i>1<sub>.</sub>
Giả sử (1) đúng khi <i>n k k</i>, <i>N u</i>*, <i>k</i> 2 1 3
<sub> .</sub>
Ta sẽ chứng minh (1) cũng đúng khi <i>n k</i> 1.
Thật vậy, từ công thức xác định dãy số
1 2 3 2. 2 3 3 2 3
<i>k</i>
<i>k</i>
<i>k</i> <i>k</i>
<i>u</i> <sub></sub> <i>u</i> <sub> : đpcm.</sub>
Vậy (1) đúng với mọi <i><sub>n N</sub></i><sub></sub> *<sub>.</sub>
<b>Bài toán 8. Cho dãy số </b>
xác định bởi:
1
1
1
2; , 2
2
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>u</i>
<i>u</i> <sub></sub> <i>u</i> <sub></sub> <i>n</i><sub></sub>
.
Chứng minh:
1
1
2 1
2
<i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i>
<i>u</i>
với mọi
1
<i>n</i>
. (*)
<i><b>Giải</b></i>
Ta chứng minh quy nạp:
Khi
1
<i>n</i>
, ta có
0
1 0
2 1 1 1
2
2 1
<i>u</i>
. Do đó (*) đúng khi
1
<i>n</i>
.
Giả sử (*) đúng khi
1
*
1
2 1
, ,
2
<i>k</i>
<i>k</i> <i>k</i>
<i>n k k</i> <i>N u</i> <sub></sub>
.
Ta sẽ chứng minh (*) cũng đúng khi <i>n k</i> 1.
1
1
1
1
2 1
1
1 <sub>2</sub> 2.2 1 2 1
2 2 2 2
<i>k</i>
<i>k</i> <i>k</i>
<i>k</i>
<i>k</i>
<i>k</i> <i>k</i> <i>k</i>
<i>u</i>
<i>u</i>
: đpcm.
Vậy (*) đúng với mọi <i><sub>n N</sub></i><sub></sub> *<sub>.</sub>
<b>Bài toán 9. Xác định số hạng tổng quát của dãy số:</b>
1 2, <i>n</i> 2 2 ... 2
<i>u</i> <i>u</i> <sub>( n dấu căn)</sub>
<i><b>Giải</b></i>
Ta có 1 2
2
cos 2 2cos 2cos
4 2 <i>u</i> 4 2
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
và
2
1 cos 1 <sub>2</sub> <sub>2</sub>
4 2
cos
8 2 2 2
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
2 3
2 2 2cos 2cos
8 2
<i>u</i>
Ta chứng minh quy nạp: <i>un</i> 2cos<sub>2</sub><i>n</i> 1
.
<b>Bài toán 10. Xác định số hạng tổng quát của dãy số:</b>
1 2, 2 5, <i>n</i> 2 5 <i>n</i> 1 6 ,<i>n</i> 1
<i>u</i> <i>u</i> <i>u</i> <sub></sub> <i>u</i> <sub></sub> <i>u n</i>
<i><b>Giải</b></i>
2 5 1 6 2 1 5 1
<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>
<i>u</i> <i>u</i> <i>u</i> <i>u</i> <i>u</i> <i>u</i> <i>u</i>
Đặt <i>xn</i> <i>un</i> <i>un</i>1 thì <i>xn</i>15<i>xn</i>.
Do đó <i>xn</i> 5<i>xn</i>1 5 5
2 2 2
2 2 1
5 .<i>n</i> <i><sub>x</sub></i> 5<i>n</i> <i><sub>u</sub></i> <i><sub>u</sub></i> 3.5<i>n</i>
Ta có <i>un</i>
2 3 0
3.5<i>n</i> 3.5<i>n</i> ... 3.5 2
2 2 1 5 3.5 5
2 3 1 5 5 ... 5 2 3
1 5 4
<i>n</i> <i>n</i>
<i>n</i>
<b>Bài toán 11. Xác định số hạng tổng quát của dãy số Fibônaxi:</b>
1 1, 2 1, <i>n</i> 2 <i>n</i> <i>n</i> 1, 1
<i>F</i> <i>F</i> <i>F</i><sub></sub> <i>F</i> <i>F</i><sub></sub> <i>n</i>
<i><b>Giải</b></i>
Xét 2 số <i>a b</i> sao cho <i>a b</i> 1,<i>ab</i> , thì a, b là nghiệm phương trình1
2 <sub>1 0</sub>
<i>x</i> <i>x</i>
nên
1 5
,
2
<i>a b</i>
Do đó <i>Fn</i>2 <i>Fn</i><i>Fn</i>1 <i>abFn</i>
2 1 1
<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>
<i>F</i><sub></sub> <i>aF</i><sub></sub> <i>b F</i><sub></sub> <i>aF</i>
<sub>. Đặt </sub><i>vn</i> <i>Fn</i>1<i>aFn</i><sub> thì </sub><i>vn</i>1<i>bvn</i><sub>.</sub>
Từ đó tính được
<i>n</i>
<i>v</i>
rồi suy ra:
1 1 5 1 5
2 2
5
<i>n</i> <i>n</i>
<i>n</i>
<i>F</i> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
<b>Bài toán 12. Từ hình vng </b> <i>A B C D có cạnh bằng 6cm, dựng các hình vng </i>1 1 1 1
2 2 2 2, 3 3 3 3,..., <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>,...
<i>A B C D A B C D</i> <i>A B C D</i> <sub> theo cách sau: Với mỗi </sub><i>n</i>2,3,4,...<sub> lấy các điểm </sub> <i><sub>A B C và </sub><sub>n</sub></i>, ,<i><sub>n</sub></i> <i><sub>n</sub></i> <i><sub>D </sub><sub>n</sub></i>
tương ứng trên các cạnh <i>A Bn</i>1 <i>n</i>1,<i>B Cn</i>1 <i>n</i>1,<i>C Dn</i>1 <i>n</i>1 và <i>D An</i>1 <i>n</i>1 sao cho <i>A An</i>1 <i>n</i> 1<i>cm</i> và <i>A B C D là một n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>
hình vng. Lập dãy số
Với mỗi n nguyên dương, xét hai hình vng <i>A B C D cạnh n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>u và n</i> <i>A B C Dn</i>1 <i>n</i>1 <i>n</i>1 <i>n</i>1 cạnh <i>un</i>1.
Ta có: <i>un</i>1 <i>A Bn</i>1 <i>n</i>1
1 1
<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>
<i>A B</i><sub></sub> <i>B B</i> <sub></sub>
<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>
<i>A B</i> <i>u</i>
Vậy <i>u</i>16,<i>un</i>1 <i>un</i>22<i>un</i>2,<i>n</i> .1
<b>Bài toán 13. Cho dãy số </b>
2
1 1
9
3, , 1
6
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>u</i>
<i>u</i> <i>u</i> <sub></sub> <i>n</i>
a) Tính <i>u u u .</i>2, ,4 6
b) Chứng minh rằng
<i><b>Giải</b></i>
a)
2 2
1 2
1 2 3
9 18 9
3, , 3
6 6 6
<i>u</i> <i>u</i>
<i>u</i> <i>u</i> <i>u</i>
Vậy <i>u</i>2 <i>u</i>4 <i>u</i>6 .3
b) Ta chứng minh quy nạp: <i>un</i> 3,<i>n</i>1
Khi <i>n</i>1 thì <i>u</i>1 : đúng3
Giả sử
2
1
1
9 18
3 3
6 6
<i>k</i> <i>k</i>
<i>u</i>
<i>u</i> <i>u</i> <sub></sub>
: đpcm.
Vậy dãy số khơng đổi.
<b>Bài tốn 14. Cho dãy số </b>
1 4
<i>u</i> <sub> và </sub>
1 2 3 8
<i>n</i> <i>n</i>
<i>u</i> <sub></sub> <i>u</i> <sub> , với mọi </sub><i>n</i>1
.
Chứng minh rằng
<i><b>Giải</b></i>
Ta có: <i>u</i>1 4,<i>u</i>2 2 12 8 4, <i>u</i>3 2 12 8 4
Ta chứng minh quy nạp: <i>un</i> 4,<i>n</i>1 (1)
Giả sử (1) đúng khi <i>n k</i> , k nguyên dương: <i>uk</i> . 4
Ta chứng minh (1) đúng khi <i>n k</i> 1.
Thật vậy: <i>uk</i>12 3<i>uk</i> 8 2 3.4 8 4 : đpcm.
Vậy <i>un</i> với mọi n ngun dương.4
<b>Dạng tốn 2: TÍNH CHẤT TĂNG GIẢM</b>
<i>- Dãy số </i>
<i>- Dãy số </i>
<i><b>Phương pháp xét tính tăng, giảm của dãy số </b>un</i>
<i><b>- Tính </b>un</i>1<i>.</i>
<i>- So sánh với </i>
<i>n</i>
<i>u</i>
<i><b> bằng cách lập hiệu số </b></i>
1
<i>n</i> <i>n</i>
<i>u</i> <sub></sub> <i>u</i>
<i>, so với số 0 hoặc tỉ số </i>
1
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>u</i>
<i>u</i>
<i> so với số 1.</i>
<i><b>Chú ý:</b></i>
<i>3) Sử dụng phương pháp quy nạp.</i>
<b>Bài tốn 1. Xét tính tăng, giảm của dãy số:</b>
a)
3 <sub>3</sub> 2 <sub>5</sub> <sub>7</sub>
<i>n</i>
<i>u</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>
b)
5 1
2 3
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>u</i>
<i>n</i>
<i><b>Giải</b></i>
a) Ta có: <i>un</i> <i>n</i>33<i>n</i>2 5<i>n</i> nên7
1 1 3 1 5 1 7 2 4
<i>n</i>
<i>u</i> <sub></sub> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>
Lập hiệu <i>un</i>1<i>un</i> 3<i>n</i>23<i>n</i> 3 3<i>n n</i>
1 , 1
<i>n</i> <i>n</i>
<i>u</i> <sub></sub> <i>u</i> <i>n</i>
<sub> . Vậy dãy số tăng.</sub>
b) Ta có
5 1
2 3
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>u</i>
<i>n</i> <sub> nên </sub>
1
5 1 1 5 4
2 1 3 2 5
<i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i>
<i>u</i>
<i>n</i> <i>n</i>
Lập hiệu 1
5 4 5 1 17
0, 1
2 5 2 3 2 3 2 5
<i>n</i> <i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i>
<i>u</i> <i>u</i> <i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>
1 , 1
<i>n</i> <i>n</i>
<i>u</i> <sub></sub> <i>u</i> <i>n</i>
<sub> .</sub>
Vậy dãy số tăng.
<b>Bài tốn 2. Xét tính tăng, giảm của dãy số:</b>
a)
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>u</i>
<i>n</i>
b)
1 9, <i>n</i> 1 <i>n</i> 2 sin , 1
<i>u</i> <i>u</i> <sub></sub> <i>u</i> <i>n n</i>
<i><b>Giải</b></i>
a) Ta có 1 2 3
1 2 3
, ,
6 7 8
<i>u</i> <i>u</i> <i>u</i>
Vì <i>u</i>1<i>u u</i>2, 2 nên hằng số khơng tăng, khơng giảm.<i>u</i>3
b) Ta có <i>un</i>1<i>un</i> 2 sin<i>n</i><i>un</i>1<i>un</i> sin<i>n</i> (vì sin2 0, <i>n</i> <i>n</i> ).1, <i>n</i>
Vậy dãy số giảm.
<b>Bài toán 3. Xét tính tăng, giảm của dãy số:</b>
a)
1
3
<i>n</i> <i>n</i>
<i>n</i>
<i>x</i>
b)
2
1 !
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>y</i>
<i>n</i>
<i><b>Giải</b></i>
a) Ta có:
1
3
<i>n</i> <i>n</i>
<i>n</i>
<i>x</i>
nên 1 1
2
3
<i>n</i> <i>n</i>
<i>n</i>
<i>x</i> <sub></sub> <sub></sub>
Lập tỉ số
1
1
2 1 2 2
: 1, 1
3 3 3 1 3 3
<i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i>
<i>n</i>
<i>x</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>
<i>n</i>
<i>x</i> <i>n</i> <i>n</i>
Vì <i>xn</i> với mọi n 0 <i>xn</i>1<i>xn</i>, . Vậy dãy số giảm.<i>n</i> 1
b) Ta có:
1 !
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>y</i>
<i>n</i>
<sub> nên </sub>
1
1
2
2 !
<sub></sub>
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>y</i>
<i>n</i>
Lập tỉ số
1
1 2 <sub>:</sub> 2 2 <sub>1,</sub> <sub>1</sub>
2 ! 1 ! 2
<sub></sub> <sub></sub> <sub> </sub>
<i>n</i> <i>n</i>
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>y</i>
<i>n</i>
<i>y</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>
Vì <i>xn</i> với mọi n 0 <i>yn</i>1 <i>yn</i>, . Vậy dãy số giảm.<i>n</i> 1
<b>Bài tốn 4. Xét tính tăng, giảm của dãy số:</b>
a)
1
<i>n</i>
<i>a</i> <i>n</i> <i>n</i>
b)
2
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>b</i>
<i>n</i>
1 1
<i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i>
<i>a</i> <i>n</i> <i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>
1
1 1
, 1
2 1 1
<i>n</i> <i>n</i>
<i>a</i> <i>a</i> <i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>
. Vậy dãy số giảm.
b) Ta có
2 2
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>b</i> <i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i>
Do đó 1
2
1
1
<i>n</i>
<i>b</i> <i>n</i>
<i>n</i>
Lập hiệu số: 1
2 2
1 0, 1
1
<sub></sub> <sub></sub>
<i>n</i> <i>n</i>
<i>b</i> <i>b</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i>
1 , 1
<i>n</i> <i>n</i>
<i>b</i><sub></sub> <i>b</i> <i>n</i>
<sub> . Vậy dãy số giảm.</sub>
<b>Bài tốn 5. Xét tính tăng, giảm của dãy số </b>
1 1, <i>n</i> 1 3 <i>n</i> 10, 1
<i>u</i> <i>u</i> <sub></sub> <i>u</i> <i>n</i>
<i><b>Giải</b></i>
Ta chứng minh quy nạp: <i>un</i>1<i>u nn</i>, 1 (1)
Khi <i>n</i>1 thì <i>u</i>2 3.1 10 13 <i>u</i>1 .1
Do đó (1) đúng khi <i>n</i>1.
Giả sử (1) đúng khi <i>n k</i> , k nguyên dương.
Ta chứng minh (1) đúng khi <i>n k</i> 1.Thật vậy:
1 3 1 10 3 10 2 1
<i>k</i> <i>k</i> <i>k</i> <i>k</i> <i>k</i> <i>k</i>
<i>u</i> <sub></sub> <i>u</i> <i>u</i> <sub></sub> <i>u</i> <i>u</i> <sub></sub> <i>u</i> <sub></sub> <sub>: đpcm.</sub>
Vậy dãy số tăng.
<b>Bài toán 6. Xét tính tăng, giảm của dãy số:</b>
3 3 ... 3
<i>n</i>
<i>u</i> <sub>, n dấu căn.</sub>
<i><b>Giải</b></i>
Ta chứng minh quy nạp:<i>un</i>1 <i>un</i>, <i>n</i> 1 (1)
Khi <i>n</i>1 thì<i>u</i>2 <i>u</i>1 3 3 3: đúng.
Do đó (1) đúng khi <i>n</i>1. Giả sử (1) đúng khi <i>n k</i> , k nguyên dương:
1 3 1 3 3 1 3
<i>n</i> <i>k</i> <i>k</i> <i>k</i> <i>k</i> <i>k</i>
<i>u</i> <sub></sub> <i>u</i> <i>u</i> <sub></sub> <i>u</i> <i>u</i> <sub></sub> <i>u</i>
2 1
<i>k</i> <i>k</i>
<i>u</i> <sub></sub> <i>u</i> <sub></sub>
<sub>. Do đó (1) đúng khi </sub><i>n k</i> 1<sub>. </sub>
Vậy (1) đúng với mọi n nguyên dương, do đó dãy số tăng.
<b>Bài tốn 7. Xét tính tăng, giảm của dãy số:</b>
a)
2
.
3
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>u</i> <sub> </sub> <i>n</i>
b) 2
1 1 1
1 1 ... 1
3 3 3
<i>n</i> <i>n</i>
<i>u</i> <sub></sub> <sub></sub> <sub> </sub> <sub></sub>
<i><b>Giải</b></i>
a) Ta có:
0
<i>n</i>
<i>u</i>
nên
1
1
2
. 1
3
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>u</i> <i>n</i>
Lập tỉ số
1
1 2 <sub>.</sub> <sub>1 :</sub> 2 <sub>.</sub>
3 3
<i>n</i> <i>n</i>
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>u</i>
<i>n</i> <i>n</i>
<i>u</i>
<sub></sub> <sub></sub>
2 1 4 4 4 4
1, 1.
3 9 4 4 4 5 4
<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>
<i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>
Do đó <i>un</i>1<i>un</i>, . Vậy dãy số giảm.<i>n</i> 1
1 2 1
1 1 1 1
1 1 ... 1 1
3 3 3 3
<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>
<i>u</i> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub> </sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
Do đó
1
1
1
1
1 1, ,
3
<i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i>
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>u</i>
<i>n</i> <i>u</i> <i>u</i> <i>n</i>
<i>u</i>
. Vậy dãy số giảm.
<b>Bài toán 8. Xét tính tăng, giảm của dãy số:</b>
a)
1
1
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>u</i>
<i>n</i>
<sub></sub> <sub></sub>
b)
1 1 1
...
1 2 3
<i>n</i>
<i>v</i>
<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>
<i><b>Giải</b></i>
a) Ta có
0
<i>n</i>
<i>u</i>
và
1
1
1
1
1
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>u</i>
<i>n</i>
<sub></sub>
nên
1
1 <sub>2</sub>
1
2
2 1 2 1
: .
1 1
<i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i>
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>u</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>
<i>u</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>
<sub></sub> <sub></sub><sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub>
1 1 1 1
1 . 1 . 1
1
1
<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>
<i>n</i>
Do đó <i>n</i> 1,<i>un</i>1<i>un</i>: dãy số tăng.
b) Ta có: 1
1 1 1 1 1 1
...
2 3 3 3 1 3 2 3 3
<i>n</i>
<i>v</i>
<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
Do đó: 1
1 1 1 1
3 1 3 2 3 3 1
<i>n</i> <i>n</i>
<i>v</i> <i>v</i>
<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
1 1 2 9 5
0
3 1 3 2 3 3 3 1 3 2 3 3
<i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>
Nên <i>vn</i>1<i>vn</i>, . Vậy dãy số tăng.<i>n</i> 1
<b>Bài toán 9. Cho dãy số </b>
1
: 0 1,
2
<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>
<i>u</i> <i>u</i> <i>u</i>
và 1
1 , 1
4
<i>n</i> <i>n</i>
<i>u</i> <sub></sub> <i>u</i> <i>n</i>
. Chứng minh rằng dãy tăng.
<i><b>Giải</b></i>
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương: <i>un</i>1
1 1
1
1 2 ,
4
<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>
<i>u</i> <sub></sub> <i>u</i> <i>u</i> <sub></sub> <i>u</i> <i>n</i>
Dấu = xảy ra khi
1
<i>n</i> <i>n</i>
<i>u</i> <sub></sub> <i>u</i>
. Do đó: 1
4
<i>n</i> <i>n</i>
<i>u</i> <sub></sub> <i>u</i>
1 4 4 1 0 2 1 0
4
<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>
<i>u</i> <i>u</i> <i>u</i> <i>u</i> <i>u</i>
1
2
<i>n</i>
<i>u</i>
(loại). Vậy
1
1, <i><sub>n</sub></i> <i><sub>n</sub></i>
<i>n</i> <i>u</i> <sub></sub> <i>u</i>
nên dãy số tăng.
<b>Bài tốn 10. Tìm a để dãy </b>
2
2
1
2 3
<i>n</i>
<i>an</i>
<i>u</i>
<i>n</i>
là:
a) dãy số giảm b) dãy số tăng
<i><b>Giải</b></i>
Ta có
1 2
2
2 3 2 3
2 2 2 3 2 2 2 1 3
<i>n</i> <i>n</i>
<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>
<i>u</i> <i>u</i>
<i>n</i> <i>n</i>
Do đó
1 2 2
2 3 1 1
2 <sub>2</sub> <sub>1</sub> <sub>3</sub> 2 3
<i>n</i> <i>n</i>
<i>a</i>
<i>u</i> <i>u</i>
<i>n</i>
<i>n</i>
<sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub>
Vì
2 <sub>2</sub>
2 2
1 1
2 1 3 2 3 0 0, 1
2 3
2 1 3
<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>
<i>n</i>
<i>n</i>
Do đó:
a) Dãy
<i>n</i>
<i>u</i>
giảm
2 3 2
0
2 3
<i>a</i>
<i>a</i>
b) Dãy
<i>n</i>
<i>u</i>
tăng
2 3 2
0
2 3
<i>a</i>
<i>a</i>
<b>Dạng tốn 3: TÍNH CHẤT BỊ CHẶN</b>
<i>- Dãy số </i>
<i>- Dãy số </i>
<i>- Dãy số </i>
<i>số M và một số m sao cho:</i> <i>n N m u</i>*, <i>n</i> <i>M</i> <i>.</i>
<i><b>Phương pháp xét tính bị chặn của dãy số </b>u .n</i>
<i>- Dãy bị chặn trên nếu có số M: un</i> <i>M</i>,<i>n</i>
<i>- Dãy bị chặn dưới nếu có số m: un</i> <i>m n</i>,
<i>- Dãy bị chặn nếu vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới.</i>
<i><b>Chú ý:</b></i>
<i>1) Đánh giá u với số 0, số 1,… hoặc dùng bất đẳng thức cơ bản.n</i>
<i>2) Biến đổi, tính gọn, nhân chia lượng liên hiệp, chia tách trước.</i>
<i>3) Sử dụng phương pháp quy nạp.</i>
<b>Bài toán 1. Chứng minh dãy:</b>
a)
2 <sub>4</sub>
<i>n</i>
<i>u</i> <i>n</i> <i>n</i>
bị chặn dưới b)
1
3
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>v</i>
<i>n</i>
bị chặn trên.
<i><b>Giải</b></i>
a) Ta có <i>un</i> <i>n</i>2 4<i>n</i>
Vậy dãy số bị chặn dưới.
b) Ta có
1
<i>n</i>
thì
1 3
<i>n</i> <i>n</i>
nên
1
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>v</i> <i>n</i>
<i>n</i>
Vậy dãy số bị chặn trên.
<b>Bài toán 2. Chứng minh dãy số bị chặn: </b>
a)
3
3
6 2 1
2
<i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i>
<i>u</i>
<i>n</i> <i>n</i>
b)
6sin 7 2
<i>n</i>
<i>v</i> <i>n</i> <i>cos n</i>
<i><b>Giải</b></i>
a)
3
2 3 1 1
1: 0
2
<i>n</i>
<i>n n</i>
<i>n</i> <i>u</i>
<i>n</i> <i>n</i>
: bị chặn dưới.
Vì
3 3
6 12 14 1 <sub>14</sub> <sub>1</sub>
6 6
2 2
<i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i><sub>n</sub></i>
<i>u</i>
<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>
<sub></sub>
: bị chặn trên
Vậy dãy số bị chặn.
b) Ta có 6 6sin <i>n</i>6, 7 7 <i>cos n</i>2 với mọi n7
Do đó: 13 <i>vn</i> 13, . Vậy dãy số bị chặn.<i>n</i>
a) <i>un</i> <i>n</i>2 5<i>n</i> không bị chặn trên.1
b) <i>vn</i> khơng bị chặn dưới.<i>n</i>3
<i><b>Giải</b></i>
Ta có phương pháp phản chứng
a) Giả sử dãy <i>u bị chặn trên nên tồn tại số M sao cho n</i> <i>un</i> <i>M</i>,<i>n</i>
2 <sub>5</sub> <sub>1</sub> <sub>,</sub>
<i>n</i> <i>n</i> <i>M</i> <i>n</i>
5<i>n M</i>, <i>n</i> <i>n M</i>, <i>n</i>
<sub> : vô lý. Vậy dãy số không bị chặn trên.</sub>
b) Giả sử dãy <i>v bị chặn dưới nên tồn tại số m sao cho n</i> <i>vn</i> <i>m n</i>,
3 <sub>,</sub> 3 <sub>,</sub>
<i>n</i> <i>m n</i> <i>n</i> <i>m n</i>
3 <sub>,</sub>
<i>n</i> <i>m n</i>
: vô lý.
Vậy dãy số không bị chặn dưới.
<b>Bài toán 4. Chứng minh dãy số bị chặn: </b>
a)
1 1 1
...
1.3 3.5 2 1 2 1
<i>n</i>
<i>u</i>
<i>n</i> <i>n</i>
<sub>b) </sub> <sub>4</sub>
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>v</i>
<i>n</i>
<i><b>Giải</b></i>
a)
1 1 1 1 1 1 1 1 1
...
2 1 3 2 3 5 2 2 1 2 1
<i>n</i>
<i>u</i>
<i>n</i> <i>n</i>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
1 1
1
2 2 1 2 1
<i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i>
<sub></sub> <sub></sub>
<i>Do đó 0</i><i>un</i> <i> nên dãy số bị chặn.</i>1, <i>n</i>
<i>b) Ta có </i>
c) Do đó
1 1
0 1,
4 3 4 3
<sub></sub> <sub></sub> <sub> </sub> <sub> </sub>
<i>n</i> <i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i>
<i>v</i> <i>v</i> <i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i> . Vậy dãy số bị chặn.
<b>Bài toán 5. Cho dãy </b>
2
4 3
<i>n</i> <i>n</i>
<i>a</i> <i>a</i>
<i>n</i> <i>n</i>
Xét dãy
a) Tính <i>b theo n.n</i> b) Chứng minh dãy
<i><b>Giải</b></i>
a) Theo đề bài ta có: <i>b</i>1<i>a b</i>1, 2 <i>b</i>1 <i>a</i>2 <i>a</i>1 <i>a</i>2
3 2 3 1 2 3,..., <i>n</i> 1 2 ... <i>n</i>
<i>b</i> <i>b</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>
a có 2
2 1 1
4 3 1 3
<i>k</i>
<i>a</i>
<i>k</i> <i>k</i> <i>k</i> <i>k</i>
nên:
1 2 ...
<i>n</i> <i>n</i>
<i>b</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
... ...
2 3 4 5 <i>n</i> <i>n</i> 1 4 5 6 <i>n</i> 2 <i>n</i> 3
<sub></sub> <sub> </sub> <sub></sub>
1 1 1 1
2 3 <i>n</i> 2 <i>n</i> 3
Vậy
5 1 1
6 2 3
<i>n</i>
<i>b</i>
<i>n</i> <i>n</i>
b) Ta có
5 1 1 5
6 2 3 6
<i>n</i>
<i>b</i>
<i>n</i> <i>n</i>
<b>Bài toán 6. Chứng minh dãy bị chặn: </b>
2
1 1
1 1
,
2 2
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>u</i>
<i>u</i> <i>u</i> <sub></sub>
<i><b>Giải</b></i>
Ta chứng minh quy nạp: 0<i>un</i> 1 (1)
Khi
1
<i>n</i>
thì 1
1
2
<i>u</i>
: đúng.
Giả sử (1) đúng khi <i>n k</i> , k nguyên dương: 0<i>uk</i> 1
Ta chứng minh (1) đúng khi <i>n k</i> 1:
2
1
1
0
2
<i>k</i>
<i>k</i>
<i>u</i>
<i>u</i> <sub></sub>
và
2
1
1 1 1
1
2 2
<i>k</i>
<i>k</i>
<i>u</i>
<i>u</i> <sub></sub>
nên
1
0<i>u<sub>k</sub></i><sub></sub> 1
Vậy (1) đúng với mọi n ngun dương, do đó dãy số bị chặn.
<b>Dạng tốn 4: TOÁN TỔNG HỢP</b>
<i>- Dãy số </i>
<i>- Dãy số </i>
<i>- Dãy số </i>
*<sub>,</sub>
<i>n</i>
<i>n N m u</i> <i>M</i>
<i><sub>.</sub></i>
<i>- Xác định dãy nhờ các các dãy phụ, các đẳng thức, các tổng, các biến đổi gọn, dùng quy nạp,…</i>
<i>- Dùng tính chất tuần hồn un k</i> <i> để tính tổng…un</i>
<b>Bài tốn 1. Xét tính đơn điệu và bị chặn của dãy: </b>
2
2
1
2 3
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>u</i>
<i>n</i>
<i><b>Giải</b></i>
Ta có: 1 2 3
10 2
2, 1,
15 3
<i>u</i> <i>u</i> <i>u</i>
Do đó <i>u</i>1<i>u u</i>2, 2 nên dãy số khơng tăng, khơng giảm.<i>u</i>3
Ta có:
1 5
2 2 2 3
<i>n</i>
<i>u</i>
<i>n</i>
Vì 2
1 1
1, 1
2 3 5
<i>n</i>
<i>n</i>
nên
2 <i>u<sub>n</sub></i> 1
. Vậy dãy số bị chặn.
<b>Bài toán 2. Xét tính đơn điệu và bị chặn của dãy: </b>
2
2
<i>n</i> <i>n</i>
<i>n</i>
<i><b>Giải</b></i>
Ta có <i>vn</i> với mọi n nguyên dương0
1
1 1 1 2
1 1 1
:
2 2 2 2
<i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>
<i>n</i>
<i>n</i> <i>v</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>
<i>v</i>
<i>v</i> <i>n</i>
Xét
1
2
1 1 1
1 1 1 1 2 3
2 2 2 1
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>v</i> <i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>
<i>v</i> <i>n</i> <i>n</i>
<sub> </sub> <sub> </sub> <sub> </sub> <sub> </sub> <sub> </sub>
Xét
1 <sub>1</sub> 1 <sub>2</sub>
2 1
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>v</i>
<i>n</i> <i>n</i>
<i>v</i>
<sub> </sub> <sub> </sub>
Do đó <i>u</i>1<i>u</i>2 và <i>u</i>3 <i>u</i>3 <i>u</i>4 <i>u</i>5 ...
Vậy dãy số không tăng, không giảm và 3
9
0 , 1
8
<i>n</i>
<i>u</i> <i>u</i> <i>n</i>
<b>Bài toán 3. Chứng minh rằng dãy số </b>
với
2 3
3 2
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>u</i>
<i>n</i>
là một dãy số giảm và bị chặn.
<i><b>Giải</b></i>
Ta có
2 5
3 3 3 2
<i>n</i>
<i>u</i>
<i>n</i>
<sub> nên </sub> 1
2 5
3 3 3 5
<i>n</i>
<i>u</i>
<i>n</i>
<sub></sub>
Do đó 1
5 1 1
0
3 3 5 3 2
<i>n</i> <i>n</i>
<i>u</i> <i>u</i>
<i>n</i> <i>n</i>
<sub></sub> <sub></sub>
, với mọi
1
<i>n</i>
Vậy
Vì <i>u là một dãy số giảm nên bị chặn trên bởi n</i> <i>M</i> <i>u</i>1 .1
Và
5
1: 0
3 3 2
<i>n</i>
<i>n</i> <sub> nên </sub>
2
, 1
3
<i>n</i>
<i>u</i> <i>n</i>
: bị chặn dưới.
Vậy dãy
<b>Bài toán 4. Chứng minh rằng dãy </b> 2 2 2
1 1 1
...
1 2
<i>n</i>
<i>u</i>
<i>n</i>
tăng và bị chặn.
<i><b>Giải</b></i>
Ta có: 1 2 2 2
1 1 1 1 1
...
1 2 1 1
<i>n</i> <i>n</i>
<i>u</i> <i>u</i>
<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>
Nên <i>un</i>1<i>un</i>, : dãy tăng<i>n</i> 1
Vì dãy số tăng nên bị chặn dưới bởi <i>m u</i> 1 .1
Ta có: 2 2 2
1 1 1 1 1 1
1 ... 1 ...
2 3 1.2 2.3 1
<i>n</i>
<i>u</i>
<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>
1 1 1 1 1 1
1 ...
1 2 2 3 <i>n</i> 1 <i>n</i>
<sub></sub> <sub> </sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
1
2 2, <i>n</i> 1
<i>n</i>
: bị chặn trên. Vậy dãy số bị chặn.
<b>Bài toán 5. Cho số </b>
0
<i>a</i>
. Chứng minh dãy <i>un</i> <i>a</i> <i>a</i> ... <i>a</i> (n dấu căn) là dãy tăng và bị chặn.
<i><b>Giải</b></i>
Ta chứng minh quy nạp:<i>un</i>1 <i>un</i>, <i>n</i> 1 (1)
Khi <i>n</i>1: <i>u</i>2 <i>a</i> <i>a</i> <i>a u</i> : đúng.1
Giả sử <i>uk</i>1 <i>uk</i> <i>a uk</i>1 <i>a uk</i>
1 2 1
<i>k</i> <i>k</i> <i>k</i> <i>k</i>
<i>a u</i> <sub></sub> <i>a u</i> <i>u</i> <sub></sub> <i>u</i> <sub></sub>
<sub>: đpcm</sub>
Vậy dãy số <i>u tăng. Ta có n</i> <i>un</i> 0<sub> và từ (1) nên </sub> <i>a u</i> <i><sub>n</sub></i> <i>u<sub>n</sub></i>
2 2 <sub>0</sub>
<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>
<i>a u</i> <i>u</i> <i>u</i> <i>u</i> <i>a</i>
1 4 1 1 4 1
2 <i>n</i> 2
<i>a</i> <i>a</i>
<i>u</i>
. Vậy dãy bị chặn.
<b>Bài toán 6. Chứng minh dãy </b>
1 1 1
... 2
1 2
<i>n</i>
<i>u</i> <i>n</i>
<i>n</i>
<b> là dãy giảm và bị chặn.</b>
<i><b>Giải</b></i>
Ta có: 1
1 1 1 1
... 2 1
1 2 1
<i>n</i>
<i>u</i> <i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i>
Do đó: 1
1 1
2 1 2 2 1
1 1
<i>n</i> <i>n</i>
<i>u</i> <i>u</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i>
2 2
0
2 <i>n</i> 1 <i>n</i> 1 <i>n</i>
: dãy giảm
Vì dãy số giảm nên bị chặn trên bởi <i>u</i>1 1
Ta có:
1 2
2 1
1 <i>k</i> <i>k</i>
<i>k</i> <i>k</i> <i>k</i> , áp dụng:
2 2 1 2 3 2 ... 2 1 2
<i>n</i>
<i>u</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>
2 2 <i>n</i> 1 2 <i>n</i> 2 2 <i>n</i> 1 <i>n</i> 2
Do đó dãy số bị chặn dưới. Vậy dãy số bị chặn.
<b>Bài toán 7. Cho số </b><i>a</i>
2
1 1
1
, , 2
2 <i>n</i> 2 2 <i>n</i>
<i>a</i> <i>a</i>
<i>u</i> <i>u</i> <i>u</i> <sub></sub> <i>n</i>
, tăng và bị chặn.
<i><b>Giải</b></i>
Vì 0 <i>a</i> 1 nên <i>un</i> 0, <i>n</i>
Ta chứng minh quy nạp:<i>un</i>1<i>u nn</i>, 1 (1)
Khi
1
<i>n</i>
:
2
2 1
1
.
2 2 4 2
<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>
<i>u</i> <i>u</i>
: đúng.
Giả sử (1) đúng khi <i>n k</i> , k nguyên dương:
Ta chứng minh (1) đúng khi <i>n k</i> 1. Thật vậy: <i>uk</i>1 <i>uk</i> <i>uk</i>21<i>uk</i>2
2 2
1 2 1
1 1
2 2 <i>k</i> 2 2 <i>k</i> <i>k</i> <i>k</i>
<i>a</i> <i>a</i>
<i>u</i> <sub></sub> <i>u</i> <i>u</i> <sub></sub> <i>u</i> <sub></sub>
: đpcm.
Khi
1
<i>n</i>
: 1 <sub>2</sub> 1
<i>a</i>
<i>u</i>
: đúng.
Giả sử (2) đúng khi <i>n k</i> , k nguyên dương:
Ta chứng minh (2) đúng khi <i>n k</i> 1.
Thật vậy:
2
1
1 1 1 1
. 1
2 2 2 2 2 2
<i>k</i> <i>k</i>
<i>a</i> <i>a</i>
<i>u</i> <sub></sub> <i>u</i>
: đpcm.
Vậy dãy số tăng và bị chặn.
<b>Bài toán 8. Cho dãy số </b>
với <i>sn</i> sin 4
a) Chứng minh rằng <i>sn</i> <i>sn</i>3 với mọi <i>n</i>1.
b) Hãy tính tổng 15 số hạng đầu tiên của dãy số đã cho.
<i><b>Giải</b></i>
a) Với n là số nguyên dương tùy ý, ta có:
3 sin 4 3 1 <sub>6</sub> sin 4 1 12 <sub>6</sub>
<i>n</i>
<i>s</i> <sub></sub> <sub></sub> <i>n</i> <sub></sub> <i>n</i>
sin 4 1 2 sin 4 1
6 6 <i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i> <i>s</i>
<sub></sub> <sub></sub>
b) Từ kết quả trên ta có:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
<i>s</i> <i>s</i> <i>s</i> <i>s</i> <i>s</i> <i>s</i> <i>s</i> <i>s</i> <i>s</i> <i>s</i> <i>s</i> <i>s</i> <i>s</i> <i>s</i> <i>s</i>
Mà 1 2 3
7 1 11 1
sin 1, sin , sin
2 6 2 6 2
Nên: 15 1 2 15
1 1
... 5 5 1 0
2 2
<i>S</i> <i>s</i> <i>s</i> <i>s</i> <i>s</i> <i>s</i> <i>s</i> <sub></sub> <sub></sub>
<b>Bài toán 9. Cho dãy số </b>
<i>n</i>
<i>u</i>
xác định bởi:
2
1 1
3 5
1, u 1, 1
2 2
<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>
<i>u</i> <i>u</i> <sub></sub> <i>u</i> <i>n</i>
Tính tổng 18 số hạng đầu tiên.
<i><b>Giải</b></i>
Ta có <i>u</i>1 1,<i>u</i>2 2,<i>u</i>3 0,<i>u</i>4 1,<i>u</i>5 2,...
Ta chứng minh quy nạp:<i>un</i>3 <i>u nn</i>, 1 (1)
Khi <i>n</i>1thì <i>u</i>4 : đúng.1 <i>u</i>1
Giả sử (1) đúng khi <i>n k</i> , k nguyên dương:
Ta chứng minh (1) đúng khi <i>n k</i> 1.
Thật vậy:
2 2
4 3 3 1
3 5 3 5
u 1 u 1
2 2 2 2
<i>k</i> <i>k</i> <i>k</i> <i>k</i> <i>k</i> <i>k</i>
<i>u</i> <sub></sub> <i>u</i> <sub></sub> <sub></sub> <i>u</i> <i>u</i> <sub></sub>
: đpcm.
Tổng 18 số hạng đầu tiên
18 1 2 3 4 5 6 ... 16 17 18
<i>S</i> <i>u</i> <i>u</i> <i>u</i> <i>u</i> <i>u</i> <i>u</i> <i>u</i> <i>u</i> <i>u</i>
6 <i>u</i> <i>u</i> <i>u</i> 6 1 2 0 18
<b>Bài toán 10. Cho dãy </b>
1 2000; 2 2001; <i>n</i> 2 2 <i>n</i> 1 <i>n</i> 3, 1,2,3...
<i>u</i> <i>u</i> <i>u</i> <sub></sub> <i>u</i> <sub></sub> <i>u</i> <i>n</i>
a) Tìm <i>un</i> b) Tính tổng n số hạng đầu tiên <i>S .n</i>
<i><b>Giải</b></i>
a) Ta có <i>un</i>2 2<i>un</i>1<i>un</i> 3
Do đó <i>u</i>32<i>u</i>2 <i>u</i>1 3;<i>u</i>42<i>u</i>3<i>u</i>2 3;...;<i>un</i> 2<i>un</i>1<i>un</i>2 3
Cộng từng vế <i>n</i>2 đẳng thức trên thì được:
1 2 1 3 2
<i>n</i> <i>n</i>
<i>u</i> <i>u</i> <sub></sub> <i>u</i> <i>u</i> <i>n</i>
1 3 2 2 1 3 5
<i>n</i> <i>n</i>
<i>u</i> <i>u</i> <sub></sub> <i>n</i> <i>u</i> <i>u</i> <i>n</i>
Do đó <i>u</i>3<i>u</i>2 3.3 5; <i>u</i>4 <i>u</i>3 3.4 5;...; <i>un</i> <i>un</i>13.<i>n</i>5
Cộng từng vế <i>n</i>2 đẳng thức trên:
2 3 3 4 ... 5 2
<i>n</i>
<i>u</i> <i>u</i> <i>n</i> <i>n</i>
Nên
3. 3 2 3 7
5 2011 2002
2 2
<i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>
<i>u</i> <i>n</i>
b) Ta có
2 2
1 2
3 7 3 7
.1 .1 2002; .2 .2 2002;...;
2 2 2 2
<i>u</i> <i>u</i>
2
3 7
.n .n 2002
2 2
<i>n</i>
<i>u</i>
Do đó
2 2 2
3 7
1 2 ... 1 2 ... 2002.
2 2
<i>n</i>
<i>S</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>
Vậy <i>Sn</i> <i>n n</i>
<b>Bài toán 11. Cho dãy Fibonaxi </b>
<b>Chứng minh: </b>
a) <i>un</i>2 1 <i>u</i>1 <i>u</i>2 ... <i>u</i>2<i>n</i> b) <i>u</i>1<i>u</i>3<i>u</i>5 ... <i>u</i>2<i>n</i>1<i>u</i>2<i>n</i>
<i><b>Giải</b></i>
a) Ta có <i>u</i>1<i>u u</i>2; 1<i>u</i>2 <i>u u</i>3; 2 <i>u</i>3 <i>u</i>4;...;<i>un</i> <i>un</i>1<i>un</i>2
Mà <i>u</i>1 nên 1 1 <i>u</i>1 <i>u</i>2 ... <i>un</i> <i>un</i>2
b) Ta có:
1 2; 2 3 4; 4 5 6;...; 2<i>n</i>2 2<i>n</i>1 2<i>n</i>
<i>u</i> <i>u u</i> <i>u</i> <i>u u</i> <i>u</i> <i>u</i> <i>u</i> <i>u</i> <i>u</i>
Cộng từng vế thì có: <i>u</i>1<i>u</i>3<i>u</i>5 ... <i>u</i>2<i>n</i>1<i>u</i>2<i>n</i>
<b>Bài tốn 12. Dãy </b>
1 2 1 1
1 1
1 1
1, ,..., <i><sub>n</sub></i> <i><sub>n</sub></i>
<i>n</i>
<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>
<i>a</i> <i>a</i> <sub></sub>
Chứng minh 2<i>n</i> 1 <i>an</i> 3<i>n</i>2,<i>n</i><b> </b>1
<i><b>Giải</b></i>
Với mọi
1
<i>k</i>
ta có
2 2
1 2
1
1
2
<i>k</i> <i>k</i>
<i>k</i>
<i>a</i> <i>a</i>
<i>a</i>
Để ý rằng <i>ak</i> nên 1, <i>k</i> 1 <i>ak</i>21 2 <i>ak</i>2 <i>ak</i>213
Từ đó ta có: <i>an</i>21 2 <i>an</i>2 <i>an</i>213; <i>an</i>22 2 <i>an</i>21<i>an</i>223...;
2 2 2 2 2 2
2 2 3 2 3; 1 2 2 1 3
<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>
Suy ra: 2<i>n</i> 1 <i>an</i>2 3<i>n</i> 2, <i>n</i> 1
Vậy 2<i>n</i> 1 <i>an</i> 3<i>n</i> (đpcm).2, <i>n</i> 1
<b>BÀI TẬP TỔNG HỢP</b>
<b>Bài toán 1. Viết 9 số hạng đầu của các dãy số sau:</b>
a)
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i>
<i>u</i>
b)
3
1 2, <i>n</i> 1 3 <i>n</i> 7
<i>u</i> <i>u</i> <sub></sub> <i>u</i> <i>n</i>
<i><b>HD-ĐS</b></i>
a) Thế lần lượt <i>n</i>1;2;3;4;5;6;7;8;9 thì có kết quả
b) Dãy truy hồi nên tính lần lượt <i>u u</i>2; ;...; ;3 <i>u u .</i>8 9
<b>Bài toán 2. Xác định số hạng tổng quát của dãy số:</b>
a) <i>u</i>12,<i>un</i> <i>un</i>17,<i>n</i>2 b) <i>v</i>1 3,<i>vn</i> 5<i>vn</i>1,<i>n</i>2
<i><b>HD-ĐS</b></i>
a) Kết quả <i>un</i> 7<i>n</i>5 b) Kết quả <i>vn</i> 3.5<i>n</i> 1
<b>Bài toán 3. Xác định số hạng tổng quát của dãy:</b>
a) 1 1
1 1
2,
3 3
<i>n</i> <i>n</i>
<i>u</i> <i>u</i> <sub></sub> <i>u</i>
b) <i>u</i>12,<i>u</i>2 3,<i>un</i>1 3<i>un</i> 2<i>un</i>1,<i>n</i> 2
<i><b>HD-ĐS</b></i>
a) xét dãy phụ
1
2
<i>n</i> <i>n</i>
<i>v</i> <i>u</i>
b) xét dãy phụ <i>vn</i> <i>un</i><i>un</i>1
<b>Bài toán 4. Cho dãy </b>
Chứng minh <i>un</i> 2.3<i>n</i> 5,<i>n</i> .1
<i><b>HD-ĐS</b></i>
Chứng minh quy nạp.
<b>Bài toán 5. Chứng minh dãy: </b>
a) <i>un</i> <i>n</i>2 4<i>n</i> không bị chặn trên.7
b) <i>vn</i>
a) Dùng phương pháp phản chứng.
b) Dùng phương pháp phản chứng.
<b>Bài toán 6. Chứng minh dãy tăng và bị chặn trên:</b>
a)
7 5
5 7
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>u</i>
<i>n</i>
b) 2
1 1 1
...
3 1 3 1 3 1
<i>n</i> <i>n</i>
<i>v</i>
<i><b>HD-ĐS</b></i>
a) Kết quả <i>un</i> .2
b) Kết quả
1
2
<i>n</i>
<i>v</i>
<b>Bài toán 7. Chứng minh dãy giảm và bị chặn dưới:</b>
a)
1
5 1
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>u</i>
<i>n</i>
b)
1
3
<i>n</i> <i>n</i>
<i>v</i>
<i>n</i>
<i><b>HD-ĐS</b></i>
a) Kết quả<i>un</i> .0
b) Kết quả <i>vn</i> 0
<b>Bài toán 8. Cho dãy số </b><i>un</i> 1 2<i>n</i>
Tính tổng: <i><sub>T</sub></i> <sub> </sub><sub>1 2.2</sub>1<sub></sub><sub>3.2</sub>2 <sub></sub><sub>4.2</sub>3<sub> </sub><sub>... 2018.2</sub>2017
<i><b>HD-ĐS</b></i>
1 1 .2
<i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i>
<i>u</i> <sub></sub> <i>u</i> <i>n</i>