Tải bản đầy đủ (.pdf) (16 trang)

Xét tính tăng giảm của dãy số - Giáo viên Việt Nam

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (668.57 KB, 16 trang )

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>CHỦ ĐỀ 8: DÃY SỐ</b>


<b>Dạng toán 1: XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG</b>
<i><b>Định nghĩa dãy số</b></i>


<i>Một hàm số u xác định trên tập hợp các số nguyên dương <sub>N được gọi là một dãy số vô hạn hay dãy số. </sub></i>*


<i>Kí hiệu dãy số u u n</i>

 

<i> bởi </i>

 

<i>u và gọi là n</i> <i>u là số hạng tổng quát của dãy số đó.n</i>


<i>Dãy số </i>

 

<i>u viết dưới dạng khai triển: n</i> <i>u u</i>1, ,..., ,...2 <i>un</i>


<i><b>Ba cách cho một dãy số</b></i>


<i>- Cho dãy số bởi công thức của số hạng tổng quát u .n</i>


<i>- Cho dãy số bởi hệ thứ truy hồi hay bằng quy nạp u và </i>1 <i>un</i>1<i> theo u ; n</i> <i>u u và </i>1, 2 <i>un</i>2<i> theo u un</i>, <i>n</i>1,...


<i>- Diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi số hạng của dãy số.</i>
<i><b>Xác định số hạng của dãy số</b></i>


<i>- Nếu dãy số cho bởi công thức số hạng tổng qt thì để tính số hạng u ta chỉ cần thay k</i> <i>n k</i> <i> vào u .n</i>


<i>- Nếu dãy số cho bởi hệ thức truy hồi thì ta tính liên tiếp u u</i>1, ,...2 <i> cho đến số hạng u cần tính.k</i>


<i>- Nếu dãy số cho bởi cách diễn đạt bằng lời thì dựa vào cách mơ tả đó để tính u hoặc tính dần đến k</i> <i>u .k</i>


<i><b>Xác định số hạng tổng quát của dãy truy hồi</b></i>


<i><b>- Dạng </b>un</i>1<i>un</i> <i> , d hằng số thì tính dần đến số hạng đầu.d</i>


<i>- Dạng un</i>1<i>q u</i>. <i>n, q hằng số thì tính dần đến số hạng đầu.</i>



<i>- Dạng un</i>1<i>un</i>  <i>f n</i>

 

<i> thì đặt dãy phụ xn</i> <i>un</i>1<i>un</i>


<i>hoặc viết liên tiếp un</i> 

<i>un</i><i>un</i>1

 

 <i>un</i>1<i>un</i>2

 ...

<i>u</i>2 <i>u</i>1

<i>u</i>1


<i>hoặc cộng n đẳng thức từ n</i>1,2,...<i> đến n để tính.</i>
<i>- Dạng un</i>1<i>aun</i> <i> với b</i> <i>a</i>0<i>, đặt dãy phụ un</i> <i>vn</i><i>c</i>


<i>thì được vn</i>1<i>a v</i>. <i>n</i> 

<i>ac b c  , ta chọn hằng số c sao cho </i>

<i>ac b c</i>  0<i> thì được vn</i>1 <i>avn<sub> trở về </sub></i>


<i>dạng thứ nhất.</i>
<i><b>Chú ý:</b></i>


<i>1) Bài toán yêu cầu chứng minh cơng thức số hạng tổng qt thì ta dùng phương pháp quy nạp để chứng </i>
<i>minh.</i>


<i>2) Nếu dãy cho bởi cách diễn đạt bằng lời thì xác lập các đại lượng và quan hệ giữa các số hạng liên tiếp </i>
<i>nhau.</i>


<i>3) Sử dụng các tổng đại số của phần quy nạp, các biến đổi rút gọn và đại lượng của cung góc lượng giác.</i>
<b>Bài tốn 1. Tìm 5 số hạng đầu của dãy:</b>


a)


2


2 3


<i>n</i>



<i>n</i>
<i>u</i>


<i>n</i>



b)


2 2


sin cos


4 3


<i>n</i>


<i>n</i> <i>n</i>


<i>v</i>    


<i><b>Giải</b></i>


a) Thế
1
<i>n</i>


thì


1 1, 2



<i>u</i>   <i>n</i>


thì 2
5


, 3


2
<i>u</i>  <i>n</i>


thì


3 5


<i>u</i> 
.
4


<i>n</i>


thì 4
29


, 5


4


<i>u</i>  <i>n</i>



thì 5
47


5
<i>u</i> 


.


b) Thế
1
<i>n</i>


thì


2
1


2 1 1


sin cos 0


4 3 2 2


<i>v</i>       


2
<i>n</i>


thì



2
2


4 1 1


sin cos 1


2 3 2 2


<i>v</i>       


3
<i>n</i>


thì


2
3


3 3


sin cos 2


4 2


<i>v</i>     


4
<i>n</i>



thì


2
4


8 1


sin cos


3 2


</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

5
<i>n</i>


thì


2
5


5 10


sin cos 0


4 3


<i>v</i>     


<b>Bài tốn 2. Tìm 5 số hạng đầu của mỗi dãy số sau:</b>


a)



1 0


<i>u</i> 


và 2 1


2
1


<i>n</i>
<i>n</i>


<i>u</i>


<i>u</i> <sub></sub>


 , với mọi
2
<i>n</i>


.


b) <i>u</i>11,<i>u</i>2   và 2 <i>un</i> <i>un</i>12<i>un</i>2 với mọi <i>n</i>3.


<i><b>Giải</b></i>


a) Ta có



1 0


<i>u</i> 


2
<i>n</i>


, 2 1 2 12


2 2


2


1 1


<i>n</i>
<i>n</i>


<i>u</i> <i>u</i>


<i>u</i> <sub></sub> <i>u</i>


   


 


3 2 4 2 5 2


2 3 4



2 2 2 50 2 1682


; ;


1 5 1 29 1 3341


<i>u</i> <i>u</i> <i>u</i>


<i>u</i> <i>u</i> <i>u</i>


     


  


b) Ta có <i>u</i>11,<i>u</i>2   và 2 <i>n</i>3; <i>un</i> <i>un</i>12<i>un</i>2


Do đó <i>u</i>3 <i>u</i>22<i>u</i>1    2 2 4, <i>u</i>4 <i>u</i>32<i>u</i>2    4 4 0


5 4 2 3 0 8 8


<i>u</i> <i>u</i>  <i>u</i> <sub>   .</sub>


<b>Bài tốn 3. Tìm 6 số hạng đầu của dãy các đôi thỏ trong tháng thứ n, theo quy luật: “Một đôi thỏ gồm một </b>
thỏ đực và một thỏ cái cứ mỗi tháng đẻ được một đôi thỏ con cũng gồm một thỏ đực và một thỏ cái; mỗi đơi
thỏ con, khi trịn hai tháng tuổi, lại mỗi tháng đẻ ra một đôi thỏ con, và quá trình sinh nở cứ thế tiếp diễn”.


<i><b>Giải</b></i>
Gọi <i>F là dãy các đôi thỏ trong tháng thứ n.n</i>



Tháng 1 có <i>F</i>1  .1


Tháng 2, đơi thỏ chưa đẻ con nên có <i>F</i>2  .1


Tháng 3, đơi thỏ bắt đầu đẻ con nên có <i>F</i>3    .1 1 2


Tháng 4, đôi thỏ tiếp tục đẻ con nên có <i>F</i>4    .2 1 3


Tháng 5, đơi thỏ tiếp tục đẻ con và đôi thỏ con đầu tiên bắt đầu đẻ con nên có <i>F</i>5     .3 1 1 5


Tháng 6, đôi thỏ tiếp tục đẻ con và hai đôi thỏ con đầu tiên cũng đẻ con nên có <i>F</i>6      .5 1 1 1 8


<b>Bài toán 4. Xác định số hạng tổng quát của dãy số:</b>


a) 1



1 1 1 1


; ...


1.2 <i>n</i> 1.2 2.3 1


<i>u</i> <i>u</i>


<i>n n</i>


    





b) 1


1 1 1 1


1 ; 1 1 ... 1


2 <i>n</i> 2 3


<i>v</i> <i>v</i>


<i>n</i>


    


  <sub></sub>  <sub></sub>  <sub> </sub>  <sub></sub>


    


<i><b>Giải</b></i>


a)



1 1 1


...


1.2 2.3 1


<i>n</i>



<i>u</i>


<i>n n</i>


   




1 1 1 1 1 1 1 1


...


1 2 2 3 1 1 1 1


<i>n</i>


<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>


     


<sub></sub>  <sub> </sub>  <sub></sub> <sub></sub>  <sub></sub>  


  


     


b)


1 1 1 1 2 1 1



1 1 ... 1 . ...


2 3 2 3


<i>n</i>


<i>n</i>
<i>v</i>


<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>




    


<sub></sub>  <sub></sub>  <sub> </sub>  <sub></sub> 


    


<b>Bài toán 5. Xác định số hạng tổng quát của dãy số:</b>


a) <i>u</i>15,<i>un</i> <i>un</i>13,<i>n</i>2 b) <i>v</i>1 4,<i>vn</i> 5<i>vn</i>1,<i>n</i>2


<i><b>Giải</b></i>
a) Với <i>n</i>2 :<i>un</i> <i>un</i>1 nên:3




1 3 2 3 3 2 2.3 3 3 2.3



<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>


<i>u</i> <i>u</i> <sub></sub>   <i>u</i> <sub></sub>   <i>u</i> <sub></sub>   <i>u</i> <sub></sub>  




3 3.3 ... 1 1 3 5 1 3 3 2


<i>n</i>


<i>u</i> <sub></sub> <i>u</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>


</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

b) Với <i>n</i>2,<i>vn</i> 5<i>vn</i>1 nên:


2 2

3


1 2 2 3 3


5 5 5 5 . 5 5 5 ...


<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>


<i>v</i>  <i>v</i> <sub></sub>  <i>v</i> <sub></sub>  <i>v</i> <sub></sub>  <i>v</i> <sub></sub>  <i>v</i> <sub></sub> 


1 1 1


1


5 .<i>n</i> <i><sub>v</sub></i> 5 .4 4.5<i>n</i> <i>n</i>



  


<b>Bài toán 6. Xác định số hạng tổng quát của dãy:</b>


a) <i>u</i>12,<i>un</i>1 <i>un</i><i>n n</i>; 1 b) <i>v</i>1 5,<i>vn</i>1.<i>vn</i> 1,<i>n</i>1


<i><b>Giải</b></i>
a) Với <i>n</i>1:<i>un</i>1<i>un</i>  nên:<i>n</i>


 

 



1 1 2 2 1


 


       


<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>


<i>u</i> <i>u</i> <i>n</i> <i>u</i> <i>n</i> <i>n</i>


<i>un</i>3 <i>n</i> 3

 

<i>n</i> 2

 

<i>n</i> 1

...


       


<i>u</i>1 1

...

<i>n</i> 2

 

<i>n</i> 1



      







2 1 2 ... <i>n</i> 1 1 1 2 3 ... <i>n</i>


          


<sub>1</sub>

2 <sub>2</sub>


1


2 2


<i>n n</i> <i>n</i>  <i>n</i>


  


b) Với 1 2 1 3 2


1 1 1


1: . 1 , 5,


5


<i>n</i> <i>n</i>


<i>n</i> <i>v</i> <i>v</i> <i>v</i> <i>v</i>


<i>v</i> <i>v</i>





      


4 5 5


3 4 5


1 1 1 1 1


, 5, ,...


5 5


<i>v</i> <i>v</i> <i>v</i>


<i>v</i> <i>v</i> <i>v</i>


     


Tổng quát, ta có


5 khi 2 1
1


khi 2
5


<i>n</i>



<i>n</i> <i>k</i>


<i>v</i>


<i>n</i> <i>k</i>


 





  <sub></sub>





<b>Bài toán 7. Cho dãy số </b>

 

<i>u xác định bởi: n</i> <i>u</i>1 và 1 <i>un</i> 2<i>un</i>1 với mọi 3 <i>n</i>2<sub>. Chứng minh rằng với mọi </sub>


1


<i>n</i> <sub> ta có </sub> <sub>2</sub><i>n</i> 1 <sub>3</sub>


<i>n</i>


<i>u</i>   <sub> .</sub>


<i><b>Giải</b></i>
Ta chứng minh quy nạp: <i>un</i> 2<i>n</i> 1 3,<i>n</i> 1





   <sub>(1)</sub>


Khi <i>n</i>1, ta có <i>u</i>1 1 21 1 3


  <sub> . Do đó (1) đúng khi </sub><i>n</i>1<sub>.</sub>
Giả sử (1) đúng khi <i>n k k</i>, <i>N u</i>*, <i>k</i> 2 1 3




   <sub> .</sub>


Ta sẽ chứng minh (1) cũng đúng khi <i>n k</i> 1.


Thật vậy, từ công thức xác định dãy số

 

<i>u và giả thiết quy nạp ta có:n</i>


1

 1 1


1 2 3 2. 2 3 3 2 3


<i>k</i>
<i>k</i>


<i>k</i> <i>k</i>


<i>u</i> <sub></sub>  <i>u</i>         <sub> : đpcm.</sub>
Vậy (1) đúng với mọi <i><sub>n N</sub></i><sub></sub> *<sub>.</sub>


<b>Bài toán 8. Cho dãy số </b>

 

<i>n</i>

<i>u</i>


xác định bởi:


1
1


1


2; , 2


2


<i>n</i>
<i>n</i>


<i>u</i>


<i>u</i> <sub></sub> <i>u</i> <sub></sub>   <i>n</i><sub></sub>
.


Chứng minh:


1


1


2 1


2



<i>n</i>


<i>n</i> <i>n</i>


<i>u</i>









với mọi
1
<i>n</i>


. (*)


<i><b>Giải</b></i>
Ta chứng minh quy nạp:


Khi
1
<i>n</i>


, ta có


0



1 0


2 1 1 1


2


2 1


<i>u</i>     


. Do đó (*) đúng khi
1
<i>n</i>


.


Giả sử (*) đúng khi


1
*


1


2 1


, ,


2



<i>k</i>


<i>k</i> <i>k</i>


<i>n k k</i> <i>N u</i>  <sub></sub>
.
Ta sẽ chứng minh (*) cũng đúng khi <i>n k</i> 1.


</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

1


1
1


1


2 1


1


1 <sub>2</sub> 2.2 1 2 1


2 2 2 2


<i>k</i>


<i>k</i> <i>k</i>


<i>k</i>
<i>k</i>



<i>k</i> <i>k</i> <i>k</i>


<i>u</i>
<i>u</i>












  


   


: đpcm.
Vậy (*) đúng với mọi <i><sub>n N</sub></i><sub></sub> *<sub>.</sub>


<b>Bài toán 9. Xác định số hạng tổng quát của dãy số:</b>


1 2, <i>n</i> 2 2 ... 2


<i>u</i>  <i>u</i>      <sub>( n dấu căn)</sub>


<i><b>Giải</b></i>



Ta có 1 2


2


cos 2 2cos 2cos


4 2 <i>u</i> 4 2


 <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>  <sub></sub> 




2


1 cos 1 <sub>2</sub> <sub>2</sub>


4 2


cos


8 2 2 2




 <sub></sub>  <sub></sub>  <sub></sub> 


2 3


2 2 2cos 2cos



8 2


<i>u</i>  


    


Ta chứng minh quy nạp: <i>un</i> 2cos<sub>2</sub><i>n</i> 1








.


<b>Bài toán 10. Xác định số hạng tổng quát của dãy số:</b>


1 2, 2 5, <i>n</i> 2 5 <i>n</i> 1 6 ,<i>n</i> 1


<i>u</i>  <i>u</i>  <i>u</i> <sub></sub>  <i>u</i> <sub></sub>  <i>u n</i>


<i><b>Giải</b></i>




2 5 1 6 2 1 5 1


          



<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>


<i>u</i> <i>u</i> <i>u</i> <i>u</i> <i>u</i> <i>u</i> <i>u</i>


Đặt <i>xn</i> <i>un</i> <i>un</i>1 thì <i>xn</i>15<i>xn</i>.


Do đó <i>xn</i> 5<i>xn</i>1 5 5

<i>xn</i>2

5 .2<i>xn</i>2 5 52

<i>xn</i>3

5 .3<i>xn</i>3 ...




2 2 2


2 2 1


5 .<i>n</i> <i><sub>x</sub></i> 5<i>n</i> <i><sub>u</sub></i> <i><sub>u</sub></i> 3.5<i>n</i>


   


Ta có <i>un</i> 

<i>un</i> <i>un</i>1

 

 <i>un</i>1<i>un</i>2

 ...

<i>u</i>2<i>u</i>1

<i>u</i>1


2 3 0


3.5<i>n</i> 3.5<i>n</i> ... 3.5 2


    


1 1


2 2 1 5 3.5 5



2 3 1 5 5 ... 5 2 3


1 5 4


<i>n</i> <i>n</i>


<i>n</i>    


        




<b>Bài toán 11. Xác định số hạng tổng quát của dãy số Fibônaxi:</b>


1 1, 2 1, <i>n</i> 2 <i>n</i> <i>n</i> 1, 1


<i>F</i>  <i>F</i>  <i>F</i><sub></sub> <i>F</i> <i>F</i><sub></sub> <i>n</i>


<i><b>Giải</b></i>


Xét 2 số <i>a b</i> sao cho <i>a b</i> 1,<i>ab</i>  , thì a, b là nghiệm phương trình1


2 <sub>1 0</sub>


<i>x</i>   <i>x</i>


nên


1 5



,


2
<i>a b</i> 


Do đó <i>Fn</i>2 <i>Fn</i><i>Fn</i>1  <i>abFn</i> 

<i>a b F</i>

<i>n</i>1




2 1 1


<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>


<i>F</i><sub></sub> <i>aF</i><sub></sub> <i>b F</i><sub></sub> <i>aF</i>


    <sub>. Đặt </sub><i>vn</i> <i>Fn</i>1<i>aFn</i><sub> thì </sub><i>vn</i>1<i>bvn</i><sub>.</sub>


Từ đó tính được


<i>n</i>


<i>v</i>


rồi suy ra:


1 1 5 1 5


2 2


5



<i>n</i> <i>n</i>


<i>n</i>


<i>F</i>  <sub></sub>  <sub></sub> <sub></sub>  <sub></sub> 


<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> 


 


<b>Bài toán 12. Từ hình vng </b> <i>A B C D có cạnh bằng 6cm, dựng các hình vng </i>1 1 1 1
2 2 2 2, 3 3 3 3,..., <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>,...


<i>A B C D A B C D</i> <i>A B C D</i> <sub> theo cách sau: Với mỗi </sub><i>n</i>2,3,4,...<sub> lấy các điểm </sub> <i><sub>A B C và </sub><sub>n</sub></i>, ,<i><sub>n</sub></i> <i><sub>n</sub></i> <i><sub>D </sub><sub>n</sub></i>
tương ứng trên các cạnh <i>A Bn</i>1 <i>n</i>1,<i>B Cn</i>1 <i>n</i>1,<i>C Dn</i>1 <i>n</i>1 và <i>D An</i>1 <i>n</i>1 sao cho <i>A An</i>1 <i>n</i> 1<i>cm</i> và <i>A B C D là một n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>


hình vng. Lập dãy số

 

<i>u với n</i> <i>u là độ dài cạnh của hình vng n</i> <i>A B C D bởi hệ thức truy hồi.n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>


</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Với mỗi n nguyên dương, xét hai hình vng <i>A B C D cạnh n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>u và n</i> <i>A B C Dn</i>1 <i>n</i>1 <i>n</i>1 <i>n</i>1 cạnh <i>un</i>1.


Ta có: <i>un</i>1 <i>A Bn</i>1 <i>n</i>1


 

2

2


1 1


<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>


<i>A B</i><sub></sub> <i>B B</i> <sub></sub>



 


<sub>1</sub>

2 <sub>1</sub>2

<sub>1</sub>

2 <sub>1</sub>


<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>


<i>A B</i> <i>u</i>


     


Vậy <i>u</i>16,<i>un</i>1 <i>un</i>22<i>un</i>2,<i>n</i> .1


<b>Bài toán 13. Cho dãy số </b>

 

<i>u xác định bởi:n</i>


2


1 1


9


3, , 1


6


<i>n</i>
<i>n</i>


<i>u</i>



<i>u</i>  <i>u</i> <sub></sub>   <i>n</i>


a) Tính <i>u u u .</i>2, ,4 6


b) Chứng minh rằng

 

<i>u là một dãy số không đổi.n</i>


<i><b>Giải</b></i>


a)


2 2


1 2


1 2 3


9 18 9


3, , 3


6 6 6


 


 <i>u</i>  <i>u</i> 


<i>u</i> <i>u</i> <i>u</i>


Vậy <i>u</i>2 <i>u</i>4 <i>u</i>6  .3



b) Ta chứng minh quy nạp: <i>un</i> 3,<i>n</i>1


Khi <i>n</i>1 thì <i>u</i>1 : đúng3


Giả sử


2
1
1


9 18


3 3


6 6


<i>k</i> <i>k</i>


<i>u</i>


<i>u</i>  <i>u</i> <sub></sub>    


: đpcm.
Vậy dãy số khơng đổi.


<b>Bài tốn 14. Cho dãy số </b>

 

<i>u xác định bởi:n</i>


1 4


<i>u</i>  <sub> và </sub>



1 2 3 8


<i>n</i> <i>n</i>


<i>u</i> <sub></sub>  <i>u</i> <sub> , với mọi </sub><i>n</i>1
.
Chứng minh rằng

 

<i>u là một dãy số khơng đổi.n</i>


<i><b>Giải</b></i>
Ta có: <i>u</i>1 4,<i>u</i>2 2 12 8 4,  <i>u</i>3 2 12 8 4 


Ta chứng minh quy nạp: <i>un</i> 4,<i>n</i>1 (1)


Giả sử (1) đúng khi <i>n k</i> , k nguyên dương: <i>uk</i>  . 4


Ta chứng minh (1) đúng khi <i>n k</i> 1.


Thật vậy: <i>uk</i>12 3<i>uk</i> 8 2 3.4 8 4  : đpcm.


Vậy <i>un</i>  với mọi n ngun dương.4


<b>Dạng tốn 2: TÍNH CHẤT TĂNG GIẢM</b>
<i>- Dãy số </i>

 

<i>u được gọi là dãy số tăng nếu với mọi n ta có n</i> <i>un</i> <i>un</i>1<i><sub>.</sub></i>


<i>- Dãy số </i>

 

<i>u được gọi là dãy số giảm nếu với mọi n ta có n</i> <i>un</i> <i>un</i>1<i><sub>.</sub></i>


<i><b>Phương pháp xét tính tăng, giảm của dãy số </b>un</i>


<i><b>- Tính </b>un</i>1<i>.</i>



<i>- So sánh với </i>


<i>n</i>


<i>u</i>


<i><b> bằng cách lập hiệu số </b></i>


1


<i>n</i> <i>n</i>


<i>u</i> <sub></sub> <i>u</i>


<i>, so với số 0 hoặc tỉ số </i>


1


<i>n</i>
<i>n</i>


<i>u</i>
<i>u</i>




<i> so với số 1.</i>
<i><b>Chú ý:</b></i>



</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

<i>3) Sử dụng phương pháp quy nạp.</i>
<b>Bài tốn 1. Xét tính tăng, giảm của dãy số:</b>


a)


3 <sub>3</sub> 2 <sub>5</sub> <sub>7</sub>


<i>n</i>


<i>u</i> <i>n</i>  <i>n</i>  <i>n</i>


b)


5 1


2 3


<i>n</i>


<i>n</i>
<i>u</i>


<i>n</i>




<i><b>Giải</b></i>


a) Ta có: <i>un</i> <i>n</i>33<i>n</i>2 5<i>n</i> nên7



3

2

<sub>3</sub>


1 1 3 1 5 1 7 2 4


<i>n</i>


<i>u</i> <sub></sub>  <i>n</i>  <i>n</i>  <i>n</i>  <i>n</i>  <i>n</i>


Lập hiệu <i>un</i>1<i>un</i> 3<i>n</i>23<i>n</i> 3 3<i>n n</i>

    1

3 0, <i>n</i> 1


1 , 1


<i>n</i> <i>n</i>


<i>u</i> <sub></sub> <i>u</i> <i>n</i>


  <sub>  . Vậy dãy số tăng.</sub>


b) Ta có


5 1


2 3








<i>n</i>


<i>n</i>
<i>u</i>


<i>n</i> <sub> nên </sub>






1


5 1 1 5 4


2 1 3 2 5


<i>n</i>


<i>n</i> <i>n</i>


<i>u</i>


<i>n</i> <i>n</i>




  


 



  


Lập hiệu 1





5 4 5 1 17


0, 1


2 5 2 3 2 3 2 5


<i>n</i> <i>n</i>


<i>n</i> <i>n</i>


<i>u</i> <i>u</i> <i>n</i>


<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>




 


       


   


1 , 1


<i>n</i> <i>n</i>



<i>u</i> <sub></sub> <i>u</i> <i>n</i>


  <sub>  .</sub>


Vậy dãy số tăng.


<b>Bài tốn 2. Xét tính tăng, giảm của dãy số:</b>
a)

 

1 5


<i>n</i>
<i>n</i>


<i>n</i>
<i>u</i>


<i>n</i>
 


 b)


1 9, <i>n</i> 1 <i>n</i> 2 sin , 1


<i>u</i>  <i>u</i> <sub></sub> <i>u</i>   <i>n n</i>


<i><b>Giải</b></i>


a) Ta có 1 2 3


1 2 3



, ,


6 7 8


<i>u</i>   <i>u</i>  <i>u</i>  


Vì <i>u</i>1<i>u u</i>2, 2  nên hằng số khơng tăng, khơng giảm.<i>u</i>3


b) Ta có <i>un</i>1<i>un</i>  2 sin<i>n</i><i>un</i>1<i>un</i> sin<i>n</i>   (vì sin2 0, <i>n</i> <i>n</i>  ).1, <i>n</i>


Vậy dãy số giảm.


<b>Bài toán 3. Xét tính tăng, giảm của dãy số:</b>


a)


1
3


<i>n</i> <i>n</i>


<i>n</i>
<i>x</i>  


b)



2
1 !



<i>n</i>
<i>n</i>


<i>y</i>
<i>n</i>



<i><b>Giải</b></i>


a) Ta có:


1
3


<i>n</i> <i>n</i>


<i>n</i>
<i>x</i>  


nên 1 1


2
3


<i>n</i> <i>n</i>


<i>n</i>
<i>x</i> <sub></sub>  <sub></sub>



Lập tỉ số



1


1


2 1 2 2


: 1, 1


3 3 3 1 3 3


<i>n</i>


<i>n</i> <i>n</i>


<i>n</i>


<i>x</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>


<i>n</i>


<i>x</i> <i>n</i> <i>n</i>






   



     


 


Vì <i>xn</i>  với mọi n 0 <i>xn</i>1<i>xn</i>,  . Vậy dãy số giảm.<i>n</i> 1


b) Ta có:


2


1 !


<i>n</i>
<i>n</i>


<i>y</i>
<i>n</i>


 <sub> nên </sub>



1


1


2
2 !




  <sub></sub>



<i>n</i>
<i>n</i>


<i>y</i>


<i>n</i>


Lập tỉ số

 



1


1 2 <sub>:</sub> 2 2 <sub>1,</sub> <sub>1</sub>


2 ! 1 ! 2




 <sub></sub> <sub></sub> <sub>  </sub>


  


<i>n</i> <i>n</i>


<i>n</i>
<i>n</i>


<i>y</i>


<i>n</i>



<i>y</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>


Vì <i>xn</i>  với mọi n 0  <i>yn</i>1 <i>yn</i>,  . Vậy dãy số giảm.<i>n</i> 1


<b>Bài tốn 4. Xét tính tăng, giảm của dãy số:</b>


a)


1


<i>n</i>


<i>a</i>  <i>n</i>  <i>n</i>


b)
2


<i>n</i>


<i>n</i>
<i>b</i>


<i>n</i>



</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

1

1
1



1 1


<i>n</i>


<i>n</i> <i>n</i>


<i>a</i> <i>n</i> <i>n</i>


<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>


 


    


   


1


1 1


, 1


2 1 1


<i>n</i> <i>n</i>


<i>a</i> <i>a</i> <i>n</i>


<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>





     


     . Vậy dãy số giảm.


b) Ta có


2 2


<i>n</i>


<i>n</i>


<i>b</i> <i>n</i>


<i>n</i> <i>n</i>




  


Do đó 1
2


1
1


<i>n</i>



<i>b</i> <i>n</i>


<i>n</i>


   




Lập hiệu số: 1



2 2


1 0, 1


1




 


 <sub></sub>  <sub></sub>     




 


<i>n</i> <i>n</i>


<i>b</i> <i>b</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>



<i>n</i> <i>n</i>


1 , 1


<i>n</i> <i>n</i>


<i>b</i><sub></sub> <i>b</i> <i>n</i>


  <sub>  . Vậy dãy số giảm.</sub>


<b>Bài tốn 5. Xét tính tăng, giảm của dãy số </b>

 

<i>u xác định bởi:n</i>


1 1, <i>n</i> 1 3 <i>n</i> 10, 1


<i>u</i>  <i>u</i> <sub></sub>  <i>u</i>  <i>n</i>


<i><b>Giải</b></i>
Ta chứng minh quy nạp: <i>un</i>1<i>u nn</i>, 1 (1)


Khi <i>n</i>1 thì <i>u</i>2 3.1 10 13  <i>u</i>1 .1


Do đó (1) đúng khi <i>n</i>1.


Giả sử (1) đúng khi <i>n k</i> , k nguyên dương.
Ta chứng minh (1) đúng khi <i>n k</i> 1.Thật vậy:


1 3 1 10 3 10 2 1


<i>k</i> <i>k</i> <i>k</i> <i>k</i> <i>k</i> <i>k</i>



<i>u</i> <sub></sub> <i>u</i>  <i>u</i> <sub></sub>   <i>u</i>  <i>u</i> <sub></sub> <i>u</i> <sub></sub> <sub>: đpcm.</sub>
Vậy dãy số tăng.


<b>Bài toán 6. Xét tính tăng, giảm của dãy số:</b>


3 3 ... 3


<i>n</i>


<i>u</i>     <sub>, n dấu căn.</sub>


<i><b>Giải</b></i>
Ta chứng minh quy nạp:<i>un</i>1 <i>un</i>, <i>n</i> 1 (1)


Khi <i>n</i>1 thì<i>u</i>2 <i>u</i>1  3 3  3: đúng.


Do đó (1) đúng khi <i>n</i>1. Giả sử (1) đúng khi <i>n k</i> , k nguyên dương:


1 3 1 3 3 1 3


<i>n</i> <i>k</i> <i>k</i> <i>k</i> <i>k</i> <i>k</i>


<i>u</i> <sub></sub> <i>u</i>  <i>u</i> <sub></sub>  <i>u</i>  <i>u</i> <sub></sub>  <i>u</i>


2 1


<i>k</i> <i>k</i>


<i>u</i> <sub></sub> <i>u</i> <sub></sub>



  <sub>. Do đó (1) đúng khi </sub><i>n k</i> 1<sub>. </sub>


Vậy (1) đúng với mọi n nguyên dương, do đó dãy số tăng.
<b>Bài tốn 7. Xét tính tăng, giảm của dãy số:</b>


a)


2
.
3


<i>n</i>
<i>n</i>


<i>u</i> <sub>  </sub>  <i>n</i>


  b) 2


1 1 1


1 1 ... 1


3 3 3


<i>n</i> <i>n</i>


<i>u</i> <sub></sub>  <sub></sub>   <sub> </sub>  <sub></sub>


    



<i><b>Giải</b></i>


a) Ta có:
0


<i>n</i>


<i>u</i> 


nên


1


1


2


. 1


3


<i>n</i>
<i>n</i>


<i>u</i> <i>n</i>




    



 


Lập tỉ số


1


1 2 <sub>.</sub> <sub>1 :</sub> 2 <sub>.</sub>


3 3


<i>n</i> <i>n</i>


<i>n</i>
<i>n</i>


<i>u</i>


<i>n</i> <i>n</i>


<i>u</i>




 <sub></sub>  <sub></sub>  


   


   





2 1 4 4 4 4


1, 1.


3 9 4 4 4 5 4


  


     


   


<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>


<i>n</i>


<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>


Do đó <i>un</i>1<i>un</i>,  . Vậy dãy số giảm.<i>n</i> 1


</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

1 2 1


1 1 1 1


1 1 ... 1 1


3 3 3 3


<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>



<i>u</i> <sub></sub> <sub></sub>  <sub></sub>   <sub> </sub>  <sub></sub>  <sub></sub> <sub></sub>


     
Do đó
1
1
1
1


1 1, ,


3
<i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i>
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>u</i>


<i>n</i> <i>u</i> <i>u</i> <i>n</i>


<i>u</i>







      



. Vậy dãy số giảm.
<b>Bài toán 8. Xét tính tăng, giảm của dãy số:</b>


a)
1
1
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>u</i>
<i>n</i>
 
<sub></sub>  <sub></sub>


  b)


1 1 1


...


1 2 3


<i>n</i>


<i>v</i>


<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>


   


 



<i><b>Giải</b></i>


a) Ta có
0
<i>n</i>
<i>u</i> 

1
1
1
1
1
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>u</i>
<i>n</i>

   <sub></sub> 


  nên




1


1 <sub>2</sub>


1



2


2 1 2 1


: .
1 1
<i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i>
<i>n</i>
<i>n</i>


<i>u</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>


<i>u</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>




 <sub></sub>      <sub></sub><sub></sub>  <sub></sub> 
 <sub></sub>    <sub></sub> <sub></sub>
    <sub></sub>  <sub></sub>


1
2


1 1 1 1


1 . 1 . 1


1
1



  <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
 
   <sub></sub> <sub></sub> 
     
 
<i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i>


<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>


<i>n</i>


Do đó  <i>n</i> 1,<i>un</i>1<i>un</i>: dãy số tăng.


b) Ta có: 1


1 1 1 1 1 1


...


2 3 3 3 1 3 2 3 3


<i>n</i>


<i>v</i>


<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>


  <sub></sub>  <sub></sub>    <sub></sub>  <sub></sub>  <sub></sub>



Do đó: 1


1 1 1 1


3 1 3 2 3 3 1


<i>n</i> <i>n</i>


<i>v</i> <i>v</i>


<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>


   <sub></sub>  <sub></sub>  <sub></sub>  <sub></sub>








1 1 2 9 5


0


3 1 3 2 3 3 3 1 3 2 3 3


<i>n</i>


<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>




    



     


Nên <i>vn</i>1<i>vn</i>,  . Vậy dãy số tăng.<i>n</i> 1


<b>Bài toán 9. Cho dãy số </b>

 



1
: 0 1,


2


<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>


<i>u</i> <i>u</i>  <i>u</i> 


và 1


1


1 , 1


4


<i>n</i> <i>n</i>


<i>u</i> <sub></sub> <i>u</i>  <i>n</i>


. Chứng minh rằng dãy tăng.
<i><b>Giải</b></i>



Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương: <i>un</i>1

1<i>un</i>

2 <i>un</i>1

1<i>un</i>





1 1


1


1 2 ,


4


<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>


<i>u</i> <sub></sub> <i>u</i> <i>u</i> <sub></sub> <i>u</i> <i>n</i>


     


Dấu = xảy ra khi


1


<i>n</i> <i>n</i>


<i>u</i> <sub></sub> <i>u</i>


. Do đó: 1


1
1



4


<i>n</i> <i>n</i>


<i>u</i> <sub></sub> <i>u</i> 


1 <sub>2</sub>

2


1 4 4 1 0 2 1 0


4


<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>


<i>u</i> <i>u</i> <i>u</i> <i>u</i> <i>u</i>


         
1
2
<i>n</i>
<i>u</i>
 
(loại). Vậy
1


1, <i><sub>n</sub></i> <i><sub>n</sub></i>


<i>n</i> <i>u</i> <sub></sub> <i>u</i>


  



nên dãy số tăng.


<b>Bài tốn 10. Tìm a để dãy </b>


2
2
1
2 3
<i>n</i>
<i>an</i>
<i>u</i>
<i>n</i>



 là:


a) dãy số giảm b) dãy số tăng


<i><b>Giải</b></i>


Ta có



1 2


2


2 3 2 3



2 2 2 3 2 2 2 1 3


<i>n</i> <i>n</i>


<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>


<i>u</i> <i>u</i>


<i>n</i>  <i>n</i>


 


    


 


</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

Do đó



1 2 2


2 3 1 1


2 <sub>2</sub> <sub>1</sub> <sub>3</sub> 2 3


<i>n</i> <i>n</i>


<i>a</i>


<i>u</i> <i>u</i>



<i>n</i>
<i>n</i>




 


 <sub></sub> <sub></sub>


  


 <sub></sub> <sub></sub>  


 




2 <sub>2</sub>


2 2


1 1


2 1 3 2 3 0 0, 1


2 3


2 1 3


<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>



<i>n</i>
<i>n</i>


         




 


Do đó:


a) Dãy


<i>n</i>


<i>u</i>


giảm


2 3 2


0


2 3


<i>a</i>


<i>a</i>



   


b) Dãy


<i>n</i>


<i>u</i>
tăng


2 3 2


0


2 3


<i>a</i>


<i>a</i>


   


<b>Dạng tốn 3: TÍNH CHẤT BỊ CHẶN</b>


<i>- Dãy số </i>

 

<i>u được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho: n</i>  <i>n N u</i>*, <i>n</i> <i>M</i> <i>.</i>


<i>- Dãy số </i>

 

<i>u được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho:n</i>  <i>n N u</i>*, <i>n</i> <i> .m</i>


<i>- Dãy số </i>

 

<i>u được gọi là dãy số bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới; nghĩa là tồn tại một n</i>


<i>số M và một số m sao cho:</i> <i>n N m u</i>*,  <i>n</i> <i>M</i> <i>.</i>


<i><b>Phương pháp xét tính bị chặn của dãy số </b>u .n</i>


<i>- Dãy bị chặn trên nếu có số M: un</i> <i>M</i>,<i>n</i>


<i>- Dãy bị chặn dưới nếu có số m: un</i> <i>m n</i>,


<i>- Dãy bị chặn nếu vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới.</i>
<i><b>Chú ý:</b></i>


<i>1) Đánh giá u với số 0, số 1,… hoặc dùng bất đẳng thức cơ bản.n</i>


<i>2) Biến đổi, tính gọn, nhân chia lượng liên hiệp, chia tách trước.</i>
<i>3) Sử dụng phương pháp quy nạp.</i>


<b>Bài toán 1. Chứng minh dãy:</b>
a)


2 <sub>4</sub>


<i>n</i>


<i>u</i> <i>n</i>  <i>n</i>


bị chặn dưới b)


1
3



<i>n</i>


<i>n</i>
<i>v</i>


<i>n</i>



 bị chặn trên.
<i><b>Giải</b></i>


a) Ta có <i>un</i> <i>n</i>2 4<i>n</i>

<i>n</i>2

2    4 4

<i>n</i>2

2   4, <i>n</i>


Vậy dãy số bị chặn dưới.


b) Ta có
1
<i>n</i>
 


thì


1 3


<i>n</i>  <i>n</i>
nên


1


1,
3


<i>n</i>


<i>n</i>


<i>v</i> <i>n</i>


<i>n</i>


  



Vậy dãy số bị chặn trên.


<b>Bài toán 2. Chứng minh dãy số bị chặn: </b>


a)


3


3


6 2 1


2


<i>n</i>



<i>n</i> <i>n</i>


<i>u</i>


<i>n</i> <i>n</i>


 




 b)


6sin 7 2


<i>n</i>


<i>v</i>  <i>n</i> <i>cos n</i>


<i><b>Giải</b></i>


a)


2



3


2 3 1 1


1: 0



2


<i>n</i>


<i>n n</i>


<i>n</i> <i>u</i>


<i>n</i> <i>n</i>


 


   


 : bị chặn dưới.




3



3 3


6 12 14 1 <sub>14</sub> <sub>1</sub>


6 6


2 2


<i>n</i>



<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i><sub>n</sub></i>


<i>u</i>


<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>


   <sub></sub>


   


  : bị chặn trên


Vậy dãy số bị chặn.


b) Ta có 6 6sin  <i>n</i>6, 7 7  <i>cos n</i>2  với mọi n7
Do đó: 13 <i>vn</i> 13, . Vậy dãy số bị chặn.<i>n</i>


</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

a) <i>un</i> <i>n</i>2 5<i>n</i> không bị chặn trên.1


b) <i>vn</i>   khơng bị chặn dưới.<i>n</i>3


<i><b>Giải</b></i>
Ta có phương pháp phản chứng


a) Giả sử dãy <i>u bị chặn trên nên tồn tại số M sao cho n</i> <i>un</i> <i>M</i>,<i>n</i>


2 <sub>5</sub> <sub>1</sub> <sub>,</sub>


<i>n</i> <i>n</i> <i>M</i> <i>n</i>



    


5<i>n M</i>, <i>n</i> <i>n M</i>, <i>n</i>


     <sub> : vô lý. Vậy dãy số không bị chặn trên.</sub>
b) Giả sử dãy <i>v bị chặn dưới nên tồn tại số m sao cho n</i> <i>vn</i> <i>m n</i>,


3 <sub>,</sub> 3 <sub>,</sub>


<i>n</i> <i>m n</i> <i>n</i> <i>m n</i>


       


3 <sub>,</sub>


<i>n</i> <i>m n</i>


    : vô lý.


Vậy dãy số không bị chặn dưới.
<b>Bài toán 4. Chứng minh dãy số bị chặn: </b>


a)





1 1 1


...


1.3 3.5 2 1 2 1



<i>n</i>


<i>u</i>


<i>n</i> <i>n</i>


   


  <sub>b) </sub> <sub>4</sub>

 

1<sub>3</sub>


<i>n</i>


<i>n</i>


<i>n</i>
<i>v</i>


<i>n</i>
 



<i><b>Giải</b></i>


a)


1 1 1 1 1 1 1 1 1


...



2 1 3 2 3 5 2 2 1 2 1


<i>n</i>


<i>u</i>


<i>n</i> <i>n</i>


     


 <sub></sub>  <sub></sub> <sub></sub>  <sub></sub>  <sub></sub>  <sub></sub>


 


     


1 1


1


2 2 1 2 1


<i>n</i>


<i>n</i> <i>n</i>


 


 <sub></sub>  <sub></sub>



 


 


<i>Do đó 0</i><i>un</i> <i>  nên dãy số bị chặn.</i>1, <i>n</i>


<i>b) Ta có </i>

 

1 <i>n bằng 1 hoặc -1 nên n</i>   1 <i>n</i>

 

1 <i>n</i> <i>  .n</i> 1


c) Do đó


1 1


0 1,


4 3 4 3


 <sub></sub> <sub></sub>  <sub> </sub> <sub> </sub>


 <i>n</i>  <i>n</i>


<i>n</i> <i>n</i>


<i>v</i> <i>v</i> <i>n</i>


<i>n</i> <i>n</i> . Vậy dãy số bị chặn.


<b>Bài toán 5. Cho dãy </b>

 

2


2


:


4 3


<i>n</i> <i>n</i>


<i>a</i> <i>a</i>


<i>n</i> <i>n</i>




 


Xét dãy

 

<i>bn</i> :<i>b</i>1 <i>a b</i>1, <i>n</i>1<i>bn</i><i>an</i>1,<i>n</i><b> .</b>1


a) Tính <i>b theo n.n</i> b) Chứng minh dãy

 

<i>b bị chặn trên.n</i>


<i><b>Giải</b></i>
a) Theo đề bài ta có: <i>b</i>1<i>a b</i>1, 2  <i>b</i>1 <i>a</i>2  <i>a</i>1 <i>a</i>2


3 2 3 1 2 3,..., <i>n</i> 1 2 ... <i>n</i>


<i>b</i> <i>b</i> <i>a</i>  <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>b</i>  <i>a</i> <i>a</i>  <i>a</i>


a có 2


2 1 1


4 3 1 3



<i>k</i>


<i>a</i>


<i>k</i> <i>k</i> <i>k</i> <i>k</i>


  


    nên:


1 2 ...


<i>n</i> <i>n</i>


<i>b</i>  <i>a</i> <i>a</i>  <i>a</i>


1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1


... ...


2 3 4 5 <i>n</i> <i>n</i> 1 4 5 6 <i>n</i> 2 <i>n</i> 3


   


<sub></sub>       <sub> </sub>      <sub></sub>


  


   



1 1 1 1


2 3 <i>n</i> 2 <i>n</i> 3


   


 


Vậy


5 1 1


6 2 3


<i>n</i>


<i>b</i>


<i>n</i> <i>n</i>


  


 


b) Ta có


5 1 1 5


6 2 3 6



<i>n</i>


<i>b</i>


<i>n</i> <i>n</i>


   


</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

<b>Bài toán 6. Chứng minh dãy bị chặn: </b>


2


1 1


1 1


,


2 2


<i>n</i>
<i>n</i>


<i>u</i>
<i>u</i>  <i>u</i> <sub></sub>  


<i><b>Giải</b></i>
Ta chứng minh quy nạp: 0<i>un</i> 1 (1)



Khi
1
<i>n</i>


thì 1
1
2
<i>u</i> 


: đúng.


Giả sử (1) đúng khi <i>n k</i> , k nguyên dương: 0<i>uk</i> 1


Ta chứng minh (1) đúng khi <i>n k</i> 1:


2


1


1
0
2


<i>k</i>
<i>k</i>


<i>u</i>
<i>u</i> <sub></sub>   





2


1


1 1 1
1


2 2


<i>k</i>
<i>k</i>


<i>u</i>


<i>u</i> <sub></sub>     
nên


1


0<i>u<sub>k</sub></i><sub></sub> 1


Vậy (1) đúng với mọi n ngun dương, do đó dãy số bị chặn.


<b>Dạng tốn 4: TOÁN TỔNG HỢP</b>
<i>- Dãy số </i>

 

<i>u tăng nếu với mọi n ta có n</i> <i>un</i> <i>un</i>1


<i>- Dãy số </i>

 

<i>u giảm nếu với mọi n ta có n</i> <i>un</i> <i>un</i>1


<i>- Dãy số </i>

 

<i>u bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới; tồn tại một số M và một số m sao cho:n</i>


*<sub>,</sub>


<i>n</i>


<i>n N m u</i> <i>M</i>


    <i><sub>.</sub></i>


<i>- Xác định dãy nhờ các các dãy phụ, các đẳng thức, các tổng, các biến đổi gọn, dùng quy nạp,…</i>
<i>- Dùng tính chất tuần hồn un k</i> <i> để tính tổng…un</i>


<b>Bài tốn 1. Xét tính đơn điệu và bị chặn của dãy: </b>


2


2


1


2 3


<i>n</i>


<i>n</i>
<i>u</i>


<i>n</i>





<i><b>Giải</b></i>


Ta có: 1 2 3


10 2
2, 1,


15 3
<i>u</i>   <i>u</i>  <i>u</i>  


Do đó <i>u</i>1<i>u u</i>2, 2  nên dãy số khơng tăng, khơng giảm.<i>u</i>3


Ta có:

2



1 5


2 2 2 3


<i>n</i>


<i>u</i>


<i>n</i>
 




Vì 2



1 1


1, 1


2 3 5


<i>n</i>


<i>n</i>


    


 nên


2 <i>u<sub>n</sub></i> 1


  


. Vậy dãy số bị chặn.


<b>Bài toán 2. Xét tính đơn điệu và bị chặn của dãy: </b>


2


2


<i>n</i> <i>n</i>


<i>n</i>


<i>v</i> 


<i><b>Giải</b></i>
Ta có <i>vn</i>  với mọi n nguyên dương0


2

2 <sub>2</sub>

2


1


1 1 1 2


1 1 1


:


2 2 2 2


<i>n</i>


<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>


<i>n</i>


<i>n</i> <i>v</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>


<i>v</i>


<i>v</i> <i>n</i>





  


  


   


Xét


2


1


2


1 1 1


1 1 1 1 2 3


2 2 2 1


<i>n</i>
<i>n</i>


<i>n</i>


<i>v</i> <i>n</i>


<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>



<i>v</i> <i>n</i> <i>n</i>


 <sub> </sub>  <sub> </sub>  <sub>   </sub> <sub> </sub> <sub> </sub>




Xét


1 <sub>1</sub> 1 <sub>2</sub>


2 1


<i>n</i>
<i>n</i>


<i>v</i>


<i>n</i> <i>n</i>


<i>v</i>


 <sub>  </sub> <sub> </sub>




Do đó <i>u</i>1<i>u</i>2  và <i>u</i>3 <i>u</i>3 <i>u</i>4 <i>u</i>5 ...


Vậy dãy số không tăng, không giảm và 3
9



0 , 1


8


<i>n</i>


<i>u</i> <i>u</i> <i>n</i>


    


</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

<b>Bài toán 3. Chứng minh rằng dãy số </b>

 

<i>n</i>
<i>u</i>


với


2 3


3 2


<i>n</i>


<i>n</i>
<i>u</i>


<i>n</i>



 là một dãy số giảm và bị chặn.
<i><b>Giải</b></i>



Ta có



2 5


3 3 3 2


<i>n</i>


<i>u</i>


<i>n</i>
 


 <sub> nên </sub> 1



2 5


3 3 3 5


<i>n</i>


<i>u</i>


<i>n</i>


   <sub></sub>


Do đó 1



5 1 1


0


3 3 5 3 2


<i>n</i> <i>n</i>


<i>u</i> <i>u</i>


<i>n</i> <i>n</i>


    <sub></sub>  <sub></sub> 


  , với mọi


1
<i>n</i>


Vậy

 

<i>u là một dãy số giảm.n</i>


Vì <i>u là một dãy số giảm nên bị chặn trên bởi n</i> <i>M</i> <i>u</i>1 .1




5


1: 0


3 3 2



  



<i>n</i>


<i>n</i> <sub> nên </sub>


2


, 1


3


<i>n</i>


<i>u</i>   <i>n</i>


: bị chặn dưới.
Vậy dãy

 

<i>u bị chặn.n</i>


<b>Bài toán 4. Chứng minh rằng dãy </b> 2 2 2


1 1 1


...


1 2


<i>n</i>



<i>u</i>


<i>n</i>


   


tăng và bị chặn.
<i><b>Giải</b></i>


Ta có: 1 2 2 2

2

2


1 1 1 1 1


...


1 2 1 1


<i>n</i> <i>n</i>


<i>u</i> <i>u</i>


<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>


       


 


Nên <i>un</i>1<i>un</i>,  : dãy tăng<i>n</i> 1



Vì dãy số tăng nên bị chặn dưới bởi <i>m u</i> 1  .1


Ta có: 2 2 2



1 1 1 1 1 1


1 ... 1 ...


2 3 1.2 2.3 1


<i>n</i>


<i>u</i>


<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>


         




1 1 1 1 1 1


1 ...


1 2 2 3 <i>n</i> 1 <i>n</i>


     


 <sub></sub>  <sub> </sub>  <sub></sub> <sub></sub>  <sub></sub>



     


1


2 2, <i>n</i> 1


<i>n</i>


    


: bị chặn trên. Vậy dãy số bị chặn.


<b>Bài toán 5. Cho số </b>
0
<i>a</i>


. Chứng minh dãy <i>un</i>  <i>a</i> <i>a</i> ... <i>a</i> (n dấu căn) là dãy tăng và bị chặn.


<i><b>Giải</b></i>
Ta chứng minh quy nạp:<i>un</i>1 <i>un</i>, <i>n</i> 1 (1)


Khi <i>n</i>1: <i>u</i>2  <i>a</i> <i>a</i>  <i>a u</i> : đúng.1


Giả sử <i>uk</i>1 <i>uk</i>  <i>a uk</i>1  <i>a uk</i>


1 2 1


<i>k</i> <i>k</i> <i>k</i> <i>k</i>



<i>a u</i> <sub></sub> <i>a u</i> <i>u</i> <sub></sub> <i>u</i> <sub></sub>


      <sub>: đpcm</sub>


Vậy dãy số <i>u tăng. Ta có n</i> <i>un</i> 0<sub> và từ (1) nên </sub> <i>a u</i> <i><sub>n</sub></i> <i>u<sub>n</sub></i>


2 2 <sub>0</sub>


<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>


<i>a u</i> <i>u</i> <i>u</i> <i>u</i> <i>a</i>


      


1 4 1 1 4 1


2 <i>n</i> 2


<i>a</i> <i>a</i>


<i>u</i>


   


  


. Vậy dãy bị chặn.


<b>Bài toán 6. Chứng minh dãy </b>



1 1 1


... 2


1 2


<i>n</i>


<i>u</i> <i>n</i>


<i>n</i>


    


<b> là dãy giảm và bị chặn.</b>
<i><b>Giải</b></i>


Ta có: 1


1 1 1 1


... 2 1


1 2 1


<i>n</i>


<i>u</i> <i>n</i>


<i>n</i> <i>n</i>



       


</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

Do đó: 1



1 1


2 1 2 2 1


1 1


<i>n</i> <i>n</i>


<i>u</i> <i>u</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>


<i>n</i> <i>n</i>


         


 


2 2


0


2 <i>n</i> 1 <i>n</i> 1 <i>n</i>


  


   : dãy giảm



Vì dãy số giảm nên bị chặn trên bởi <i>u</i>1  1


Ta có:



1 2


2 1


1 <i>k</i> <i>k</i>


<i>k</i>  <i>k</i>  <i>k</i>    , áp dụng:


 



2 2 1 2 3 2 ... 2 1 2


<i>n</i>


<i>u</i>       <i>n</i>  <i>n</i>  <i>n</i>




2 2 <i>n</i> 1 2 <i>n</i> 2 2 <i>n</i> 1 <i>n</i> 2


           


Do đó dãy số bị chặn dưới. Vậy dãy số bị chặn.
<b>Bài toán 7. Cho số </b><i>a</i>

 

0,1 . Chứng minh dãy <i>u :n</i>



2


1 1


1


, , 2


2 <i>n</i> 2 2 <i>n</i>


<i>a</i> <i>a</i>


<i>u</i>  <i>u</i>   <i>u</i> <sub></sub> <i>n</i>


, tăng và bị chặn.


<i><b>Giải</b></i>
Vì 0 <i>a</i> 1 nên <i>un</i>  0, <i>n</i>


Ta chứng minh quy nạp:<i>un</i>1<i>u nn</i>, 1 (1)


Khi
1
<i>n</i>


:


2


2 1



1
.


2 2 4 2


<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>


<i>u</i>    <i>u</i>


: đúng.
Giả sử (1) đúng khi <i>n k</i> , k nguyên dương:


Ta chứng minh (1) đúng khi <i>n k</i> 1. Thật vậy: <i>uk</i>1 <i>uk</i> <i>uk</i>21<i>uk</i>2


2 2


1 2 1


1 1


2 2 <i>k</i> 2 2 <i>k</i> <i>k</i> <i>k</i>


<i>a</i> <i>a</i>


<i>u</i> <sub></sub> <i>u</i> <i>u</i> <sub></sub> <i>u</i> <sub></sub>


     


: đpcm.


Ta chứng minh quy nạp:<i>un</i> 1,<i>n</i>1 (2)


Khi
1
<i>n</i>


: 1 <sub>2</sub> 1


<i>a</i>
<i>u</i>  


: đúng.


Giả sử (2) đúng khi <i>n k</i> , k nguyên dương:
Ta chứng minh (2) đúng khi <i>n k</i> 1.


Thật vậy:


2
1


1 1 1 1


. 1


2 2 2 2 2 2


<i>k</i> <i>k</i>


<i>a</i> <i>a</i>



<i>u</i> <sub></sub>   <i>u</i>     


: đpcm.
Vậy dãy số tăng và bị chặn.


<b>Bài toán 8. Cho dãy số </b>


 

<i>sn</i>


với <i>sn</i> sin 4

<i>n</i> 1

6


 


a) Chứng minh rằng <i>sn</i> <i>sn</i>3 với mọi <i>n</i>1.


b) Hãy tính tổng 15 số hạng đầu tiên của dãy số đã cho.
<i><b>Giải</b></i>
a) Với n là số nguyên dương tùy ý, ta có:




3 sin 4 3 1 <sub>6</sub> sin 4 1 12 <sub>6</sub>


<i>n</i>


<i>s</i> <sub></sub>  <sub></sub> <i>n</i>  <sub></sub>  <i>n</i>  





sin 4 1 2 sin 4 1


6 6 <i>n</i>


<i>n</i>   <i>n</i>  <i>s</i>


 


 <sub></sub>   <sub></sub>  


 


b) Từ kết quả trên ta có:


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15


<i>s</i>   <i>s</i> <i>s</i> <i>s</i>  <i>s</i> <i>s</i> <i>s</i>   <i>s</i> <i>s</i> <i>s</i> <i>s</i> <i>s</i> <i>s</i> <i>s</i> <i>s</i>


Mà 1 2 3


7 1 11 1


sin 1, sin , sin


2 6 2 6 2


</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

Nên: 15 1 2 15

1 2 3



1 1



... 5 5 1 0


2 2
<i>S</i>    <i>s</i> <i>s</i> <i>s</i>  <i>s</i>  <i>s</i> <i>s</i>  <sub></sub>   <sub></sub>


 


<b>Bài toán 9. Cho dãy số </b>


<i>n</i>


<i>u</i>


xác định bởi:


2


1 1


3 5


1, u 1, 1


2 2


<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>


<i>u</i>  <i>u</i> <sub></sub>   <i>u</i>   <i>n</i>



Tính tổng 18 số hạng đầu tiên.


<i><b>Giải</b></i>
Ta có <i>u</i>1 1,<i>u</i>2 2,<i>u</i>3 0,<i>u</i>4 1,<i>u</i>5 2,...


Ta chứng minh quy nạp:<i>un</i>3 <i>u nn</i>, 1 (1)


Khi <i>n</i>1thì <i>u</i>4   : đúng.1 <i>u</i>1


Giả sử (1) đúng khi <i>n k</i> , k nguyên dương:
Ta chứng minh (1) đúng khi <i>n k</i> 1.


Thật vậy:


2 2


4 3 3 1


3 5 3 5


u 1 u 1


2 2 2 2


<i>k</i> <i>k</i> <i>k</i> <i>k</i> <i>k</i> <i>k</i>


<i>u</i> <sub></sub>   <i>u</i> <sub></sub>  <sub></sub>    <i>u</i>   <i>u</i> <sub></sub>


: đpcm.
Tổng 18 số hạng đầu tiên



 



18 1 2 3 4 5 6 ... 16 17 18


<i>S</i>  <i>u</i> <i>u</i> <i>u</i>  <i>u</i> <i>u</i> <i>u</i>   <i>u</i> <i>u</i> <i>u</i>


1 2 3

 



6 <i>u</i> <i>u</i> <i>u</i> 6 1 2 0 18


      


<b>Bài toán 10. Cho dãy </b>

 

<i>u được xác định:n</i>


1 2000; 2 2001; <i>n</i> 2 2 <i>n</i> 1 <i>n</i> 3, 1,2,3...


<i>u</i>  <i>u</i>  <i>u</i> <sub></sub>  <i>u</i> <sub></sub> <i>u</i>  <i>n</i>


a) Tìm <i>un</i> b) Tính tổng n số hạng đầu tiên <i>S .n</i>


<i><b>Giải</b></i>
a) Ta có <i>un</i>2 2<i>un</i>1<i>un</i> 3


Do đó <i>u</i>32<i>u</i>2 <i>u</i>1 3;<i>u</i>42<i>u</i>3<i>u</i>2 3;...;<i>un</i> 2<i>un</i>1<i>un</i>2 3


Cộng từng vế <i>n</i>2 đẳng thức trên thì được:





1 2 1 3 2


<i>n</i> <i>n</i>


<i>u</i> <i>u</i> <sub></sub> <i>u</i>  <i>u</i> <i>n</i>




1 3 2 2 1 3 5


<i>n</i> <i>n</i>


<i>u</i> <i>u</i> <sub></sub>  <i>n</i> <i>u</i>  <i>u</i> <i>n</i>


Do đó <i>u</i>3<i>u</i>2 3.3 5; <i>u</i>4 <i>u</i>3 3.4 5;...; <i>un</i> <i>un</i>13.<i>n</i>5


Cộng từng vế <i>n</i>2 đẳng thức trên:


 



2 3 3 4 ... 5 2


<i>n</i>


<i>u</i> <i>u</i>    <i>n</i>  <i>n</i>


Nên




2



3. 3 2 3 7


5 2011 2002


2 2


<i>n</i>


<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>


<i>u</i>     <i>n</i>   


b) Ta có


2 2


1 2


3 7 3 7


.1 .1 2002; .2 .2 2002;...;


2 2 2 2


<i>u</i>    <i>u</i>   


2


3 7



.n .n 2002


2 2


<i>n</i>


<i>u</i>   


Do đó



2 2 2


3 7


1 2 ... 1 2 ... 2002.


2 2


<i>n</i>


<i>S</i>    <i>n</i>    <i>n</i>  <i>n</i>


Vậy <i>Sn</i> <i>n n</i>

3



<i>n</i> 1

2002.<i>n</i>.


<b>Bài toán 11. Cho dãy Fibonaxi </b>

 

<i>un</i> :<i>u</i>1<i>u</i>2 1;<i>un</i>1 <i>un</i><i>un</i>1


<b>Chứng minh: </b>


a) <i>un</i>2   1 <i>u</i>1 <i>u</i>2  ... <i>u</i>2<i>n</i> b) <i>u</i>1<i>u</i>3<i>u</i>5 ... <i>u</i>2<i>n</i>1<i>u</i>2<i>n</i>
<i><b>Giải</b></i>



a) Ta có <i>u</i>1<i>u u</i>2; 1<i>u</i>2 <i>u u</i>3; 2 <i>u</i>3 <i>u</i>4;...;<i>un</i> <i>un</i>1<i>un</i>2


</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

Mà <i>u</i>1 nên 1 1 <i>u</i>1 <i>u</i>2  ... <i>un</i> <i>un</i>2


b) Ta có:


1  2; 2 3 4; 4 5  6;...; 2<i>n</i>2 2<i>n</i>1 2<i>n</i>


<i>u</i> <i>u u</i> <i>u</i> <i>u u</i> <i>u</i> <i>u</i> <i>u</i> <i>u</i> <i>u</i>


Cộng từng vế thì có: <i>u</i>1<i>u</i>3<i>u</i>5 ... <i>u</i>2<i>n</i>1<i>u</i>2<i>n</i>


<b>Bài tốn 12. Dãy </b>

 

<i>a được thành lập theo quy tắc sau:n</i>


1 2 1 1


1 1


1 1


1, ,..., <i><sub>n</sub></i> <i><sub>n</sub></i>


<i>n</i>


<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>


<i>a</i>  <i>a</i> <sub></sub>


    



Chứng minh 2<i>n</i> 1 <i>an</i>  3<i>n</i>2,<i>n</i><b> </b>1


<i><b>Giải</b></i>


Với mọi
1
<i>k</i> 


ta có


2 2


1 2


1


1
2


<i>k</i> <i>k</i>


<i>k</i>


<i>a</i> <i>a</i>


<i>a</i>







  


Để ý rằng <i>ak</i>    nên 1, <i>k</i> 1 <i>ak</i>21 2 <i>ak</i>2 <i>ak</i>213


Từ đó ta có: <i>an</i>21 2 <i>an</i>2 <i>an</i>213; <i>an</i>22  2 <i>an</i>21<i>an</i>223...;


2 2 2 2 2 2


2 2 3 2 3; 1 2 2 1 3


<i>a</i>  <i>a</i> <i>a</i>  <i>a</i>  <i>a</i> <i>a</i> 


Suy ra: 2<i>n</i> 1 <i>an</i>2 3<i>n</i>  2, <i>n</i> 1


Vậy 2<i>n</i> 1 <i>an</i>  3<i>n</i>   (đpcm).2, <i>n</i> 1


<b>BÀI TẬP TỔNG HỢP</b>
<b>Bài toán 1. Viết 9 số hạng đầu của các dãy số sau:</b>


a)

 

1 tan 3 sin 4


<i>n</i>
<i>n</i>


<i>n</i> <i>n</i>


<i>u</i>     



b)


3


1 2, <i>n</i> 1 3 <i>n</i> 7


<i>u</i>  <i>u</i> <sub></sub>  <i>u</i>  <i>n</i>


<i><b>HD-ĐS</b></i>
a) Thế lần lượt <i>n</i>1;2;3;4;5;6;7;8;9 thì có kết quả
b) Dãy truy hồi nên tính lần lượt <i>u u</i>2; ;...; ;3 <i>u u .</i>8 9


<b>Bài toán 2. Xác định số hạng tổng quát của dãy số:</b>


a) <i>u</i>12,<i>un</i> <i>un</i>17,<i>n</i>2 b) <i>v</i>1 3,<i>vn</i> 5<i>vn</i>1,<i>n</i>2


<i><b>HD-ĐS</b></i>
a) Kết quả <i>un</i> 7<i>n</i>5 b) Kết quả <i>vn</i> 3.5<i>n</i> 1





<b>Bài toán 3. Xác định số hạng tổng quát của dãy:</b>


a) 1 1


1 1


2,



3 3


<i>n</i> <i>n</i>


<i>u</i>  <i>u</i> <sub></sub>  <i>u</i> 


b) <i>u</i>12,<i>u</i>2 3,<i>un</i>1 3<i>un</i> 2<i>un</i>1,<i>n</i> 2


<i><b>HD-ĐS</b></i>


a) xét dãy phụ


1
2


<i>n</i> <i>n</i>


<i>v</i> <i>u</i> 


b) xét dãy phụ <i>vn</i> <i>un</i><i>un</i>1


<b>Bài toán 4. Cho dãy </b>

 

<i>u xác định bởi: n</i> <i>u</i>11,<i>un</i>1 3<i>un</i>10,<i>n</i>1


Chứng minh <i>un</i> 2.3<i>n</i> 5,<i>n</i> .1


<i><b>HD-ĐS</b></i>
Chứng minh quy nạp.


<b>Bài toán 5. Chứng minh dãy: </b>



a) <i>un</i> <i>n</i>2 4<i>n</i> không bị chặn trên.7


b) <i>vn</i>  

 

1 .<i>n</i> <i>n</i> không bị chặn dưới.


</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

a) Dùng phương pháp phản chứng.
b) Dùng phương pháp phản chứng.


<b>Bài toán 6. Chứng minh dãy tăng và bị chặn trên:</b>
a)


7 5


5 7


<i>n</i>


<i>n</i>
<i>u</i>


<i>n</i>



 b) 2


1 1 1


...


3 1 3 1 3 1



<i>n</i> <i>n</i>


<i>v</i>    


  


<i><b>HD-ĐS</b></i>
a) Kết quả <i>un</i>  .2


b) Kết quả
1
2


<i>n</i>


<i>v</i> 


<b>Bài toán 7. Chứng minh dãy giảm và bị chặn dưới:</b>
a)


1


5 1


<i>n</i>


<i>n</i>
<i>u</i>



<i>n</i>



 b)


1
3


<i>n</i> <i>n</i>


<i>v</i>


<i>n</i>




<i><b>HD-ĐS</b></i>
a) Kết quả<i>un</i>  .0


b) Kết quả <i>vn</i> 0


<b>Bài toán 8. Cho dãy số </b><i>un</i>  1 2<i>n</i>

<i>n</i>1



Tính tổng: <i><sub>T</sub></i> <sub> </sub><sub>1 2.2</sub>1<sub></sub><sub>3.2</sub>2 <sub></sub><sub>4.2</sub>3<sub> </sub><sub>... 2018.2</sub>2017


<i><b>HD-ĐS</b></i>





1 1 .2


<i>n</i>


<i>n</i> <i>n</i>


<i>u</i> <sub></sub> <i>u</i>  <i>n</i>


</div>

<!--links-->

×