50 câu TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG HÌNH GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN

50 CÂU TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG HÌNH GIẢI TÍCH KHƠNG GIAN
Câu 1. [2H3-1] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A ( 1; − 1;3) , B ( −1; 2;1) , C ( −3;5; − 4 ) .
Khi đó tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là
 3

A. G  − ;3;0 ÷.
B. G ( −3;6;0 ) .
C. G ( −1; 2;0 ) .
 2

Lời giải
Chọn C

1 + ( −1) + ( −3)
= −1
 xG =
3


( −1) + 2 + 5 = 2 ⇒ G −1; 2;0 .
(
)
Ta có  yG =
3


3 + 1 + ( −4 )
=0
 zG =
3


 1 2 
D. G  − ; ;0 ÷.
 3 3 

Câu 2. [2H3-2] Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A ( −2;1; − 1) , B ( 2;0;1) , C ( 1; − 3; 2 ) .
uuur uuur
Giá trị của tích vô hướng AB. AC bằng
A. −22.
B. 14.
C. 10.
D. 22.
Lời giải
Chọn D
uuur
 AB = ( 4; −1; 2 )
uuur uuur
⇒ AB. AC = 22.
 uuur
 AC = ( 3; −4;3 )
r
r
Câu 3. [2H3-2] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai véctơ a = ( 1; m; − 2 ) , b = ( 4; − 2;3) .
r r
Để a ⊥ b thì giá trị tham số thực m bằng bao nhiêu?
A. m = 0.
B. m = 1.
C. m = −1.
D. m = −2.
Lời giải

Chọn C
r r
rr
a ⊥ b ⇔ a.b = 0 ⇔ 4 − 2m − 6 = 0 ⇔ m = −1.
r
r
Câu 4. [2H3-2] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho a = ( 2; − 3;1) và b là véctơ cùng phương
r
r
rr
với a thỏa mãn a.b = −28 . Khi đó b bằng bao nhiêu?
r
r
r
r
A. b = 2 14.
B. b = 2 7.
C. b = 14.
D. b = 14 2.
Lời giải
Chọn A
r
r
r
r
rr
Ta có b là véctơ cùng phương với a ⇔ b = ka = ( 2k ; −3k ; k ) suy ra a.b = 4k + 9k + k = −28 ⇒ k = −2.
r
r
2

2
2
Suy ra b = ( −4;6; − 2 ) ⇒ b = 4 + 6 + 2 = 2 14.
Câu 5. [2H3-2] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A ( 0; − 1;1) , B ( −2;1; − 1) , C ( −1;3; 2 ) .
Biết rằng ABCD là hình bình hành, khi đó tạo độ điểm D là
2

A. D ( −1; − 3; − 2 ) .
B. D  −1;1; ÷.
C. D ( 1;3; 4 ) .
3

Lời giải
Chọn D
uuur
uuur
Gọi tọa độ điểm D ( x; y; z ) ⇒ AD = ( x; y + 1; z − 1) . Ta có BC = ( 1; 2;3 ) .

D. D ( 1;1; 4 ) .


x = 1
x = 1
uuur uuur


ABCD là hình bình hành ⇔ AD = BC ⇔  y + 1 = 2 ⇔  y = 1 ⇒ D ( 1;1; 4 ) .
z −1 = 3
z = 4




Câu 6. [2H3-2] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A ( −1; 2; − 3) , B ( 1;0; 2 ) ,
C ( x; y; − 2 ) thẳng hàng. Khi đó tổng x + y bằng bao nhiêu?
11
11
A. x + y = 1.
B. x + y = 17.
C. x + y = .
D. x + y = − .
5
5
Lời giải
Chọn A
uuur
 AB = ( 2; −2;5 )
Ta có  uuur
 AC = ( x + 1; y − 2;1) .
x +1 y − 2 1
3
8
=
= ⇒ x = − ; y = ⇒ x + y = 1.
Khi đó A, B, C thẳng hàng ⇔
2
−2
5
5
5
Câu 7. [2H3-2] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M ( 1; − 2;5 ) . Khi đó tọa độ hình

chiếu vng góc M ' của M trên mặt phẳng ( Oxy ) là

A. M ' ( 0;0;5 ) .

B. M ' ( 1; − 2;0 ) .

C. M ' ( 1;0;5 ) .
Lời giải

D. M ' ( 0; − 2;5 ) .

Chọn B
Ta có M ( 1; − 2;5 ) , suy ra hình chiếu vng góc của M trên mặt phẳng ( Oxy ) là M ' ( 1; − 2;0 ) .

Chú ý: Hình chiếu vng góc của M ( x0 ; y0 ; z0 ) trên các mặt phẳng ( Oxy ) , ( Oyz ) , ( Oxz ) lần lượt là
các điểm M 1 ( x0 ; y0 ;0 ) , M 2 ( 0; y0 ; z0 ) , M 3 ( x0 ;0; z0 ) .

Câu 8. [2H3-2] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M ( 2; − 1;3) . Khi đó tọa độ hình
chiếu vng góc M ' của M trên mặt phẳng Ox là
A. M ' ( 0;0;3) .
B. M ' ( 0; − 1;0 ) .
C. M ' ( 4;0;0 ) .
D. M ' ( 2;0;0 ) .
Lời giải
Chọn D
Ta có M ( 2; − 1;3) , suy ra hình chiếu vng góc của M trên mặt phẳng Ox là M ' ( 2;0;0 ) .

Chú ý: Hình chiếu vng góc của M ( x0 ; y0 ; z0 ) trên các trục Ox, Oy, Oz lần lượt là các điểm
M 1 ( x0 ;0;0 ) , M 2 ( 0; y0 ;0 ) , M 3 ( 0;0; z0 ) .

r
r r
r
Câu 9. [2H3-3] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho a , b = 120° và a = 3, b = 4 . Khi đó
r r
a − b có giá trị bằng bao nhiêu?
r r
r r
r r
r r
A. a − b = 13.
B. a − b = 37.
C. a − b = 1.
D. a − b = 5.

(

)

Lời giải
Chọn B
r r2
r r
Ta có a − b = a − b
r r
⇒ a − b = 37.

(

)

2

r
rr r
r2 r2
r r
r r
= a 2 − 2ab + b 2 = a + b − 2 a . b .cos a , b = 37.

(

)

uuu
r
r
r r
Câu 10. [2H3-2] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho OA = 3i + j − 2k và B ( m; m − 1; − 4 ) .
Tìm tất cả giá trị của m để độ dài đoạn AB = 3 ?
A. m = 1.
B. m = 4.
C. m = −1.
D. m = 1 hoặc m = 4.
Lời giải


Chọn D
uuu
r

r
r r
Ta có OA = 3i + j − 2k ⇒ A ( 3;1; −2 ) .
m = 1
2
2
2
2
2
.
Khi đó AB = 9 ⇔ ( m − 3) + ( m − 2 ) + 2 = 9 ⇒ 2m − 10m + 8 = 0 ⇔ 
m = 4
Câu 11. [2H3-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A ( 2;9; −1) , B ( 0; 4;1) , C ( m; 2m + 5;1) . Biết
m = m0 là giá trị để tam giác ABC vng tại C. Khi đó giá trị m0 gần giá trị nào nhất trong các
giá trị sau?
A. 0 .
B. −3 .
C. 3 .
D. 4 .
Lời giải
Chọn A
uuur
 AC ( m − 2; 2m + 5; 2 )
Ta có  uuur
. Do tam giác ABC vuông tại C .
 BC ( m; 2m + 1;0 )
uuur uuur
⇒ AC.BC = 0 ⇔ ( m − 2 ) .m + ( 2m + 5 ) . ( 2m + 1) + 2.0 = 0 ⇔ m 2 + 2m + 1 = 0 ⇔ m = −1 = m0 .
Trong các phương án thì m0 = −1 gần 0 nhất.

Câu 12. [2H3-2] Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' biết A ( 1; −1;0 ) ,
B ' ( 2;1;3) , C ' ( −1; 2; 2 ) , D ' ( −2;3; 2 ) . Khi đó tọa độ điểm B là?

A. B ( 1; 2;3) .

B. B ( −2; 2;0 ) .

C. B ( 2; −2;0 ) .
Lời giải

D. B ( 4; 2;6 ) .

Chọn C
uuuuu
r
uuuuur
Gọi A ' ( x; y; z ) ⇒ B ' A ' ( x − 2; y − 1; z − 3) . Ta có C ' D ' ( −1;1;0 ) .
A ' B ' C ' D ' là hình bình hành
 x − 2 = −1  x = 1
uuuuu
r uuuuur
uuuur


⇔ B ' A ' = C ' D ' ⇔  y − 1 = 1 ⇔  y = 2 ⇒ A ' ( 1; 2;3 ) ⇒ A ' A ( 0; −3; −3) .
z − 3 = 0
z = 3


uuuur

Gọi B ( a; b; c ) ⇒ B ' B ( a − 2; b − 1; c − 3) .
a − 2 = 0
a = 2
uuuur uuuur


ABB ' A ' là hình bình hành ⇔ B ' B = A ' A ⇔ b − 1 = −3 ⇔ b = −2 ⇒ B ( 2; −2;0 ) .
 c − 3 = −3  c = 0



Câu 13. [2H3-2] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' biết A ( 2; −1; 2 )
, B ' ( 1; 2;1) , C ( −2;3; 2 ) , D ' ( 3;0;1) . Khi đó tọa độ điểm B là?

A. B ( −1; 2; 2 ) .

B. B ( 1; −2; −2 ) .

C. B ( 2; −2;1) .
Lời giải

Chọn A
Gọi I ; I ′ lần lượt là tâm của các hình bình hành
ABCD , A′B′C ′D′ .
Khi đó I là trung điểm AC ⇒ I ( 0;1; 2 ) .
uur
I ′ là trung điểm B′D′ ⇒ I ′ ( 2;1;1) ⇒ II ′ ( 2;0; −1) .
uuur
Gọi B ( x; y; z ) ⇒ BB′ = ( 1 − x; 2 − y;1 − z ) .

D. B ( 2; −1; 2 ) .
B′

C′

I′

A′

D′
C

B
A

I
D


1 − x = 2
 x = −1
uuur ur


B'BII′ là hình bình hành ⇔ BB ' = II' ⇔ 2 − y = 0 ⇔  y = 2 ⇒ B ( −1; 2; 2 ) .
1 − z = −1  z = 2


Chú ý: Tất cả 6 mặt của hình hộp đều là hình bình hành.
r

r
Câu 14. [2H3-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba vectơ a = ( 1; −1;0 ) , b = ( 2;1; −1) ,
r
r r r
c = ( m;0; 2m − 1) . Khi đó để ba vectơ a, b, c đồng phẳng thì giá trị của tham số thực m bằng bao
nhiêu?
A. m =

7
.
3

B. m =

1
.
2

C. m =

3
.
7

D. m =

2
.
7

Lời giải
Chọn C
r r
r r r
Ta có  a, b  = ( 1;1;3) ⇒  a, b  .c = 7 m − 3 .
r r r
r r r
3
Khi đó ba vectơ a, b, c đồng phẳng ⇔  a, b  .c = 0 ⇔ 7m − 3 = 0 ⇔ m = .
r 7
r
Câu 15. [2H3-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho vectơ a = ( 1; −2; 4 ) , b = ( x0 ; y0 ; z0 ) cùng
r
r
r
phương với vectơ a . Biết vectơ b tạo với tia Oy một góc nhọn và b = 21 . Khi đó tổng
x0 + y0 + z0 bằng bao nhiêu?
A. x0 + y0 + z0 = 3 .
B. x0 + y0 + z0 = −3 .
C. x0 + y0 + z0 = 6 .
D. x0 + y0 + z0 = −6 .
Lời giải
Chọn
r rB
Do a, b cùng phương
r
r
r
⇔ b = ka = ( k ; −2k ; 4k ) ⇒ b = 21 ⇔ k 2 + 4k 2 + 16k 2 = 21 ⇔ k 2 = 1 ⇔ k = ±1 ( ∗ ) .
r

Mặt khác b tạo với tia Oy một góc nhọn ⇒
r r
rr
( ∗)
cos b, j > 0 ⇔ b. j > 0 ⇔ −2k > 0 ⇔ k < 0 
→ k = −1.

( )

 x0 = −1
r

⇒ b = ( −1; 2; −4 ) ⇒  y0 = 2 ⇒ x0 + y0 + z0 = −3 .
 z = −4
 0
Câu 16. [2H3-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A ( 1; −1;0 ) , B ( 2;1;1) , C ( −1;0; −1) ,
D ( m; m − 3;1) . Tìm tất cả các giá trị thực của m để ABCD là một tứ diện.
5
2
A. m ≠ .
B. m ≠ .
C. m ∈ ¡ .
D. m ≠ 3 .
2
5
Lời giải
Chọn A
uuur
 AC = ( 1; 2;1)
 uuur

uuu
r uuur
⇒  AB, AC  = ( −3; −1;5 ) .
 AC = ( −2;1; −1)
Ta có  uuur
 AD = ( m − 1; m − 2;1)
uuur uuur uuur
⇒  AB, AC  . AD = −4m + 10.

uuu
r uuur uuur
5
Để ABCD là một tứ diện thì  AB, AC  . AD ≠ 0 ⇔ m ≠ .
2
Câu 17. [2H3-2] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cặp mặt phẳng nào sau đây cắt nhau?


A. ( α1 ) : x − 2 y + 3 z − 5 = 0 và ( β1 ) : 2 x − 4 y + 6 z − 6 = 0 .

B. ( α 2 ) : 2 x − y + 3 z − 2 = 0 và ( β 2 ) : 6 x − 3 y + 9 z − 6 = 0 .
C. ( α 3 ) : 3 x + y − 3 z + 1 = 0 và ( β3 ) : 6 x + 2 y + 6 z − 2 = 0 .

D. ( α 4 ) : 4 x − 4 y + 8 z − 1 = 0 và ( β 4 ) : x − y + 2 z − 3 = 0 .
Lời giải
Chọn C
1 −2 3 5
= ≠ ⇒ ( α1 ) / / ( β1 ) .
Thử A: ta có =
2 −4 6 6
2 −1 3 −2

= =
⇒ ( α 2 ) ≡ ( β2 ) .
Thử B: ta có =
6 −3 9 −6
3 1 −3
⇒ ( α 3 ) , ( β 3 ) cắt nhau.
Thử C: ta có = ≠
6 2 6
Câu 18. [2H3-2] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng ( P ) : mx + 4 y − 8 z + 1 = 0 và
mặt phẳng ( Q ) : x − ny − 4 z − 3 = 0 . Nếu ( P ) / / ( Q ) thì giá trị của m, n là
1
1
A. m = −2 và n = 2 .
B. m = 2 và n = −2 .
C. m = và n = − . D. m = 1 và n = −4 .
2
2
Lời giải
Chọn B
m = 2
m 4 −8
=
=2⇔ 
Ta có ( P ) / / ( Q ) ⇔ =
.
1 − n −4
 m = −2
x
y + 2 z −1
=

Câu 19. [2H3-2] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d1 : =
và
−1
3
2
x = 1− t

d 2 :  y = 2 + 2t . Vị trí tương đối của d1 và d 2 là
z = t

A. Song song.

B. Trùng nhau.

C. Cắt nhau.
Lời giải

D. Chéo nhau.

Chọn D
ur uu
r
ur
uu
r
 u1 , u2  = ( −1; −1;1)
u1 = ( −1;3; 2 )
u2 = ( −1; 2;1)

⇒  uuuuuur

Ta có 
và 
 M 1 ( 0; −2;1) ∈ d1
 M 1M 2 = ( 1; 4; −1)
 M 2 ( 1; 2;0 ) ∈ d 2
ur uu
r uuuuuur
⇒ u1 , u2  .M 1M 2 = −6 ≠ 0 ⇒ d1 , d 2 chéo nhau.
Câu 20. [2H3-2] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d1 :

x −1 y + 2 z
=
= và
2
−1
3

 x = at

d 2 :  y = 1 + 3t . Khi đó giá trị a và b bằng bao nhiêu để d1 và d 2 song song.
 z = 2 − bt

a
=
6 và b = −9 .
A.
B. Không tồn tại a và b .C. a = 6 và b = 9 .
D. a = −6 và b = 9 .
Lời giải
Chọn D

ur
uu
r
Ta có u1 = ( 2; −1;3) và u2 = ( a;3; −b ) . Để d1 //d 2 thì:
ur uu
r
 a = −6
a 3 −b
=
⇒
.
+) Điều kiện cần: u1 , u2 cùng phương ⇔ =
2 −1 3
b = 9
+) Điều kiện đủ:


Cách 1:
uuuuuur
ur uuuuuur
r
 M 1 = ( 1; −2;1) ∈ d1
⇒ M 1M 2 = ( −1;3;1) ⇒ u1 , M 1M 2  = ( −10; −5;5 ) ≠ 0 ⇒ d1 //d 2 (thỏa mãn).
Có 
 M 2 ( 0;1; 2 ) ∈ d 2
Suy ra a = −6 và b = 9 thì d1 //d 2 .
 x = −6t
1 = −6t
 a = −6



thay M ( 1; −2;0 ) ∈d1
⇒ d 2 :  y = 1 + 3t 
→ −2 = 1 + 3t (Vô nghiệm). ⇒ M ∉ d 2 ⇒ d1 / / d 2 .
Cách 2: 
b = 9
 z = 2 − 9t
0 = 2 − 9t


Suy ra a = −6 và b = 9 thì d1 / / d 2 .
Câu 21. [2H3-2] Trong không gian với hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng d1 :

x −1 y − 3 z
=
=
và
a
b
4

x y +1 z − 2
=
=
. Khi đó giá trị và b bằng bao nhiêu để d1 , d 2 song song?
1
4
−2
A. a = −2 và b = −8.
B. Không tồn tại a, b. C. a = 2 và b = 8.

D. a = −2 và b = 8.
Lời Giải:
Chọn B
ur
uur
Ta có u1 = (a; b; 4) và u2 = (1; 4; −2) . Để d1 //d 2 thì: a
d2 :

ur uu
r
 a = −2
a b 4
= −2 ⇒ 
.
+, Điều kiện cần: u1 , u2 cùng phương ⇔ = =
1 4 −2
b = −8
+, Điều kiện đủ:
uuuuuur
uu
r uuuuuur
r
 M 1 (1;3;0) ∈ d1
⇒ M 1M 2 = (−1; −4; 2) ⇒ u2 , M 1M 2  = (0;0;0) = 0 ⇒ d1 ≡ d 2
Cách 1: Ta có 
 M 2 (0; −1; 2) ∈ d 2
Suy ra không tồn tại a, b.
 a = −2
x −1 y − 3 z
0 − 1 −1 − 3 2

⇒ d1 :
=
= . Thay M (0; −1; 2) ∈ d 2 ⇒
=
= (luôn đúng)
Cách 2: Với 
−2
−8
4
−2
−8
4
b = −8
⇒ M ∈ d1 ⇒ d1 ≡ d 2 . Suy ra tồn tại a, b.
Câu 22. [2H3-2] Trong không gian với hệ tọa độ Oxy , vị trí tương đối của đường thẳng
x −1 y z + 2
=
=
với mặt phẳng nào sau đây là song song?
2
−1
1
A. (α1 ) : x − 2 y + z − 5 = 0.
B. (α 2 ) : 3 x + 5 y − z − 5 = 0.
C. (α 3 ) : 2 x + 3 y − z + 2 = 0.
D. (α 4 ) : 4 x − 2 y + 2 z − 1 = 0.
Lời Giải:
Chọn C
uu
r

Ta có M (1;0; −2) ∈ ∆ và u∆ = (2; −1;1) .
ur
uurur
+) Với (α1 ) : x − 2 y + z − 5 = 0 ⇒ n1 = (1; −2;1) ⇒ u∆ .n1 = 5 ≠ 0 ⇒ ∆ cắt (α1 ) ⇒ Loại
A.
uuruu
r
uu
r
u∆ .n2 = 0
⇒ ∆ ⊂ (α 2 ) ⇒ Loại
+) Với (α 2 ) : 3 x + 5 y − z − 5 = 0 ⇒ n2 = (3;5; −1) ⇒ 
B.
 M (1;0; −2) ∈ (α 2 )
uu
r uu
r
uu
r
u∆ .n3 = 0
⇒ ∆ / /(α 3 ) → Đáp án C.
+) Với (α 3 ) : 2 x + 3 y− z + 2 = 0 ⇒ n3 = (2;3; −1) ⇒ 
 M (1;0; −2) ∉ (α 3 )
x y −3 z +2
=
Câu 23. [2H3-2] Trong không gian với hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng ∆ : =
cắt mặt
2
−1
3

phẳng ( P ) : x − 2 y + z + 1 = 0 tại điểm M . Khi đó tọa độ điểm M là?
A. M (0;3; −2).
B. M (2; 2;1).
C. M (1; −2; −6).
D. M (4;1; 4).
Lời Giải:
∆:


Chọn B
M ∈(P)
→ 2t − 2(3 − t) − 2 + 3 t + 1 = 0 ⇔ t = 1 ⇒ M(2; 2;1).
Do M ∈ ∆ ⇒ M (2 t;3 − t; −2 + 3 t) 
x
y − 2 z +1
=
=
Câu 24. [2H3-2] Trong không gian với hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng ∆ :
và mặt
−2
1
3
phẳng ( P ) :11x + my + nz − 16 = 0 . Biết ∆ ⊂ ( P ) . Khi đó m, n có giá trị bằng bao nhiêu?
A. m = 6; n = −4.
B. m = −4; n = 6.
C. m = 10; n = 4.
D. m = 4; n = 10.
Lời Giải:
Chọn C
Cách 1: Lấy M (0; 2; −1) ∈ ∆ và N (−2;3; 2) ∈ ∆ .

 M ∈ (P)
2m − n − 16 = 0
m = 10
⇔
⇔
.
Vì ∆ ⊂ (P) ⇒ 
 N ∈ (P)
−22 + 3m + 2n − 16 = 0
n = 4
Cách 2: Lấy M (0; 2; −1) ∈ ∆.
 M ∈ (P)
2m − n = 16
m = 10
r uuu
r
⇔
⇔
.
Khi đó ∆ ⊂ (P) ⇒  uu
−22 + m + 3n = 0
n = 4
u∆ .n(P) = 0
x = 1+ t

Câu 25. [2H3-2] Trong không gian với hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng ∆ :  y = m − 2t và mặt phẳng
 z = nt

( P ) : x + y − z − 2 = 0 . Biết ∆ ⊂ ( P ) , khi đó m + n có giá trị bằng bao nhiêu?
A. m + n = 0.

B. m + n = 1.
C. m + n = −1.
D. m + n = −3.
Lời Giải:
Chọn A
Cách 1: Lấy M (1; m;0) ∈ ∆ và N (0; m + 2; − n) ∈ ∆
 M ∈ (P)
1 + m − 2 = 0
m = 1
⇔
⇔
⇒ m + n = 0 → Đáp án A.
Vì ∆ ⊂ (P) ⇒ 
 N ∈ (P)
m + 2 − (− n) − 2 = 0
 n = −1
Cách 2: Lấy M (1; m;0) ∈ ∆
 M ∈ (P)
1 + m − 2 = 0
m = 1
r uuu
r
⇔
⇔
⇒ m + n = 0 → Đáp án A.
Khi đó ∆ ⊂ (P) ⇒  uu
1.1 + (2).1 + n .(−1) = 0
n = −1
u∆ .n(P) = 0
Oxy ,

Câu 26. [2H3-2]
Trong
không
gian
với
hệ
tọa
độ
cho
mặt

cầu

(S) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y − 2 z − 3 = 0 . Hỏi trong các mặt phẳng sau, đâu là mặt phẳng không cắt
mặt cầu?
A. (α1 ) : x − 2 y + 2 z − 1 = 0.
C. (α 3 ) : 2 x − y + 2 z + 4 = 0.

B. (α 2 ) : 2 x + 2 y − z + 12 = 0.
D. (α 4 ) : x − 2 y + 2 z − 3 = 0.
Lời Giải:

Chọn C
Mặt cầu ( S ) có tâm I (1; −2;1) và bán kính R = 3 .
1 − 2.(−2) + 2.1 − 1
= 2 < 3 = R ⇒ (α1 ) cắt (S).
Thử
A. Ta có d ( I , (α1 )) =
12 + (−2) 2 + 22
2.1 + 2.(−2) − 1 + 12

Thử

B. Ta có d (I, (α 2 )) =

Thử

C. Ta có d ( I , (α 3 )) =

(S).

12 + ( −2) 2 + 22

= 3 = R ⇒ (α 2 ) tiếp xúc với (S).

2.1 − (−2) + 2.1 + 4
12 + (−2) 2 + 22

=

10
> 3 = R ⇒ (α 3 ) không cắt
3


Câu 27. [2H3-2] Trong không gian với hệ tọa độ Oxy , cho mặt cầu ( S ) có tâm I (2; −3;0) tiếp xúc với
mặt phẳng ( P ) : 2 x − y + 2 z − 1 = 0 . Khi đó phương trình mặt cầu ( S ) là?
A. ( x − 2) 2 + ( y + 3) 2 + z 2 = 4.
B. ( x − 2) 2 + ( y + 3) 2 + z 2 = 2.
C. ( x + 2) 2 + ( y − 3) 2 + z 2 = 4.

D. ( x + 2) 2 + ( y − 3) 2 + z 2 = 2.
Lời Giải:
Chọn A
2.2 − (−3) + 2.0 − 1
= 2.
Ta có ( P ) tiếp xúc với ( S ) ⇒ R = d ( I , ( P)) =
22 + (−1) 2 + 22
Suy ra ( S ) : ( x − 2) 2 + ( y + 3) 2 + z 2 = 4.
Câu 28. [2H3-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxy , cho mặt cầu ( S ) : x 2 + ( y − 2) 2 + ( z + 1) 2 = 169 cắt
mặt phẳng ( P ) : 2 x + 2 y − z + 10 = 0 theo giao tuyến là một đường tròn bán kính r . Khi đó giá trị
r bằng bao nhiêu?
A. r = 12.
B. r = 5.
C.
D. r = 7.
Lời Giải:
Chọn A
Mặt cầu (S) có tâm I (0; 2; −1) và bán kính R = 13.
Gọi I ' là tâm của đường trịn đường kính r ( I ' là hình chiếu vng góc của I trên (P) )
2.0 + 2.2 − (−1) + 10
= 5. Khi đó r = R 2 − II '2 = 132 − 52 = 12 →
Suy ra: II ' = d (I, (P)) =
2
2
2
2 + 2 +1
Câu 29. [2H3-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxy , cho mặt cầu ( S ) : ( x − 2) 2 + ( y + 1) 2 + z 2 = 4 và mặt
phẳng (α ) : x − 2 y + 2 z + m = 0 . Xét các mệnh đề sau:
I) (α ) cắt (S) theo một đường tronfkhi và cbgir khi −10 < m < 2
II) (α ) tiếp xúc với (S) khi và chỉ khi m = −10 hoặc m = 2

III) (α ) không cắt (S) khi và chỉ khi m < −10 hoặc m > 2
Trong các mệnh đề trên, có bao nhiêu mệnh đề đúng?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
Lời Giải:
Chọn D
Mặt cầu (S) có tâm I (2; −1;0) và bán kính R = 2. Ta có d (I, (α )) =
+) (α ) cắt (S) theo một đường tròn ⇔ d (I, (α )) < R ⇔

D. 3.
2+2+m
12 + 22 + 22

=

m+4
3

m+4
< 2 ⇔ −10 < m < 2 ⇒ I đúng.
3

m+4
= 2 ⇔ m = −10 hoặc m − 2 ⇒ II đúng.
3
m+4
+) (α ) không cắt (S) ⇔ d(I, (α )) > R ⇔
> 2 ⇔ m < −10 hoặc m > 2 ⇒ III đúng.
3

Suy ra có 3 mệnh đề đúng → đáp án
D
Oxy ,
Câu 30. [2H3-3]
Trong
không
gian
với
hệ
tọa
độ
cho
mặt
+) (α ) tiếp xúc với (S) ⇔ d (I, (α )) = R ⇔

cầu

(S) : x + y + z − 2 x − 4 y − 2 z − 14 = 0 . Đường thẳng ∆ đi qua tâm I của mặt cầu (S) và vng
ghóc với mặt phẳng ( P ) : x − 3 y − 3z + 2 = 0 . Biết ∆ cắt (S) tại 2 điểm phân biệt A, B . Đặt
2

2

2

x0 = x A − xB (với x A, xB là hồnh độ của A và B ). Khi đó x0 bằng bao nhiêu?
A. 0.
B. 3.
C. 4.
D. 2.

Lời Giải:
Chọn D


x = 1+ t
uu
r uuu
r

Mặt cầu ( S ) có tâm I (1; 2;0). Do ∆ ⊥ (P) ⇒ u∆ = n(P) = (1; −3; −3) ⇒ ∆ :  y = 2 − 3t .(*)
 z = −3t

Thay (*) vào phương trình mặt cầu ta được:
(1 + t) 2 + (2 − 3 t) 2 + (−3 t) 2 − 2(1 + t) − 4(2 − 3 t) − 14 = 0
x = 1+1 = 2
 xA = 0
⇔ 19t 2 = 19 ⇔ t = ±1 ⇒  A
⇒ x0 = x A − xB = 2.
hoặc 
 xB = 1 − 1 = 0
 xB = 2
Câu 31. [2H3-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đương thẳng d1 :

x
y −1 z
=
=
và
−2
2

−4

 x = 1 + at

d 2 :  y − −t . Khi đó giá trị a, b và c bằng bao nhiêu để d1 , d 2 trùng nhau?
 z = b + ct

A. a = 1 ; b = −2 và c = 2.
B. a = −1 ; b = 2 và c = 2.
C. a = 1 ; b = 2 và c = 2.
D. a = −1 ; b = −2 và c = −2.
Lời giải
Chọn C
ur
uu
r
u1 = ( −2; 2; −4 )
u2 = ( a; −1; c )
uuuuuur
⇒ M 1M 2 = ( 1; −1; b )
Cách 1: Ta có 
;
 M 1 = ( 0;1;0 ) ∈ d1  M 1 = ( 1;0; b ) ∈ d 2
ur uu
r
 u1 , u2  = ( 2c − 4; 2c − 4a; 2 − 2a )


⇒  ur uuuuuur
 u1 , M 1M 2  = ( 2b − 4; 2b − 4;0 )

ur uu
r
a = 1
 u1 , u2  = 0
2c − 4 = 2c − 4a = 2 − 2a = 0



⇔ b = 2.
Ta có d1 , d 2 trùng nhau khi và chỉ khi  ur uuuuuur
r ⇔
2b − 4 = 0
 u1 , M 1M 2  = 0
c = 2

 M ∈ d 2 (1)
.
Cách 2: Lấy M ( 0;1;0 ) ∈ d1 và N ( 2; −1; 4 ) ∈ d1 . Khi đó d1 , d 2 trùng nhau khi 
 N ∈ d 2 (2)
0 = 1 + at
t = −1
a = 1


(1) ⇔ 1 = −t
⇔ a = 1
⇒
( *)
b − c = 0
0 = b + ct

b − c = 0


 2 = 1 + at
t = 1
a = 1


(2) ⇔  −1 = −t ⇔ a = 1
⇒
( 2*)
 4 = b + ct
b + c = 4 b + c = 4


Từ (*) và (2*) suy ra a = 1 ; b = 2 và c = 2.
Câu 32. [2H3-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đương thẳng d1 :
 x = 1 + bt

d 2 :  y = ct . Khi đó để d1 , d 2 song song thì điều kiện a, b và c là?
 z = 1 − 2t

a
≠
0 ; b = 2 và c = −6.
A.
B. a = 0 ; b = 2 và c = −6.
C. a ≠ 0 ; b = 2 và c = 6.
D. a = 0 ; b = 2 và c = 6.
Lời giải

Chọn A

x
y + a z −1
=
=
và
−1
3
1


ur
uu
r
Ta có u1 = ( −1;3;1) và u2 = ( b; c; −2 ) . Để d1 / / d 2 thì:
ur uu
r
b = 2
b c −2
.
= =
= −2 ⇒ 
+) Điều kiện cần: u1 , u2 cùng phương ⇔
−1 3 1
c = −6
+) Điều kiện đủ:
ur uuuuuur
uuuuuur
 M 1 ( 1; −a;1) ∈ d1

⇒ M 1M 2 = ( 0; a;0 ) ⇒ u1 , M 1M 2  = ( −a;0; a ) .
Cách 1: Ta có 
 M 2 ( 1;0;1) ∈ d 2
ur uuuuuur
r
Để d1 / / d 2 thì u1 , M 1M 2  ≠ 0 ⇔ a ≠ 0. Vậy a ≠ 0 ; b = 2 và c = −6.
1−1 0 + a 1 −1
=
=
Cách 2: Chọn M 2 ( 1;0;1) ∈ d 2 . Để d1 / / d 2 thì M 2 ∉ d1 ⇒
vô nghiệm a ≠ 0.
−1
3
1
Vậy a ≠ 0 ; b = 2 và c = −6.
x
y −1 z
=
= và
Câu 33. [2H3-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đương thẳng d1 :
−2
3
1
 x = 1 + 3t

d 2 :  y = 3 − t . Khi đó giá trị a bằng bao nhiêu để d1 , d 2 cắt nhau?
 z = 2 + at

A. a = −1.
B. a = 1.

C. a = −2.
D. a = 2.
Lời giải
Chọn B
ur uu
r
ur
uu
r
 u1 , u2  = ( 3a + 1; 2a + 3; −7 )
u1 = ( −2;3;1)
u2 = ( 3; −1; a )

⇒  uuuuuur
Cách 1: Ta có 
và 
.
 M 1 ( 0;1;0 ) ∈ d1
 M 2 ( 1;3; 2 ) ∈ d 2
 M 1M 2 = ( 1; 2; 2 )
ur uu
r uuuuuur
⇒ u1 , u2  .M 1M 2 = 3a + 1 + 2(2a + 3) − 7.2 = 7 a − 7.
ur uu
r uuuuuur
Ta có d1 , d 2 cắt nhau ⇔ u1 , u2  .M 1M 2 = 0 ⇔ 7 a − 7 = 0 ⇔ a = 1.
ur uuuuuur uu
r
Chú ý: Ở bài tốn này ta cũng có thể cho điều kiện u1 , M 1M 2  .u2 = 0
 x = −2t '


Cách 2: Viết lại d1 :  y = 1 + 3t '. Ta có d1 , d 2 cắt nhau khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm t và t ' :
z = t '

 −2t ' = 1 + 3t (1)
t ' = 1

(1),(2)
thay (3)
→

→ a = 1.
1 + 3t ' = 3 − t (2) 
t
=
−
1

t ' = 2 + at (3)

Câu 34. [2H3-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đương thẳng d1 :
 x = a + 3t

d 2 :  y = −t . Khi đó giá để d1 , d 2 chéo nhau thì điều kiện của a là
z = 1+ t

A. a = 13.
B. a = 9.
C. a ≠ 13.
Lời giải

Chọn C
ur uu
r
ur
uu
r
 u1 , u2  = ( 2; −5; −11)
u1 = ( 2;3; −1)
u2 = ( 3; −1;1)

⇒  uuuuuur
Ta có 
và 
.
 M 1 ( 2;0; −1) ∈ d1
 M 2 ( a;0;1) ∈ d 2
 M 1M 2 = ( a − 2;0; 2 )

x − 2 y z +1
= =
và
2
3
−1

D. a ≠ 9.


ur uuuuuur uu
r

Để d1 , d 2 chéo nhau thì u1 , M 1M 2  .u2 = 2(a − 2) + 0 − 11.2 = 2a − 26 ≠ 0 ⇔ a ≠ 13.
Câu 35. [2H3-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đương thẳng d1 :

x y −1 z + 2
=
=
và
1
m
−3

x = 1− t

d 2 :  y = 2 + 3t . Khi đó giá trị m bằng bao nhiêu để d1 , d 2 chéo nhau?
 z = −1 − 2t

A. m = 7.
B. m ≠ 7.
C. m = 17.
D. m ≠ 17.
Lời giải
Chọn D
ur
uu
r
u1 = ( 1; m; −3)
u2 = ( −1;3; −2 ) uuuuuur
uu
r uuuuuur
M 1M 2 = ( 1;1;1) ⇒ u2 , M 1M 2  = ( 5; −1; −4 ) .

Ta có 
và 
 M 1 ( 0;1; −2 ) ∈ d1
 M 2 ( 1; 2; −1) ∈ d 2
uu
r uuuuuur ur
Để d1 , d 2 chéo nhau thì u2 , M 1M 2  .u1 = 5.1 + (−1).m + (−4).(−3) ≠ 0 ⇔ m ≠ 17.
x = 2 + t

Câu 36. [2H3-2] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , góc tạo bởi đường thẳng d1 :  y = −3 + t và trục
z = 3

hoành là
A. 30°.

B. 45°.

C. 60°.
Lời giải

D. 90°.

Chọn B
uu
r
r
Ta có ud = ( 1;1;0 ) và i = ( 1;0;0 ) là vecto đơn vị của trục hoành. Gọi ϕ là góc tạo bởi đường thẳng d1
uu
rr
ud , i

uu
rr
1.1 + 1.0 + 0.0
1
=
r r = 2 2
và trục hồnh. Khi đó: cos ϕ = cos ud , i = uu
. ⇒ ϕ = 45°.
2
2
ud , i
1 + 1 + 0 .1

(

)

Câu 37. [2H3-2] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng

( β ) : 3x − 4 y + 5 z = 0. Khi đó góc tạo bởi hai mặt phẳng ( α )
A. 30°.

B. 45°.

C. 60°.
Lời giải

( α ) : 2 x − y + z − 3 = 0 và

và ( β ) bằng

D. 90°.

Chọn A
uur uur
uur
 nα = ( 2; −1;1)
nα .nβ
uur uur
2.3 + (−1).(−4) + 1.5
3
⇒ cos ( (α ), ( β ) ) = cos nα , nβ = uur uur =
Ta có  uur
=
.
2
2
2
2
2
2
nα . nβ
2
2 +1 +1 . 3 + 4 + 5
 nβ = ( 3; −4;5 )

(

)

⇒ ( (α ), ( β ) ) = 30°.

Câu 38. [2H3-2] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , gọi ϕ là góc tạo bởi đường thẳng
x −1 y z + 2
=
=
và mặt phẳng ( α ) : x − y + 2 z − 1 = 0. Khi đó khẳng định nào sau đây đúng?
2
−1
1
5
1
5
1
A. cos ϕ = .
B. cos ϕ = .
C. sin ϕ = .
D. sin ϕ = .
6
6
6
6
Lời giải
Chọn A
uur uu
r
uu
r
ud = ( 2; −1;1)
nα .ud
2.1 + (−1).(−1) + 1.2

5
⇒ sin ϕ = uur uu
r =
=
.
Ta có  uur
2
2
2
2
2
1
6
n
.
u
n
=
1;
−
1;
2
2
+
1
+
1
.
1
+

1
+
1
(
)
 α
α
d
d:


Câu 39. [2H3-1] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A ( −2; 2;0 ) , B ( 1; −2;3) . Khi đó độ
dài đoạn thẳng AB bằng bao nhiêu?
A. AB = 10.
B. AB = 2 2.

C. AB = 26.
Lời giải

D. AB = 34.

Chọn D
Ta có AB = (1 − (−2)) 2 + (−2 − 2) 2 + (3 − 0) 2 = 34.
Câu 40. [2H3-1] ( Đề minh họa – 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng

( P ) : 3x + 4 y + 2 z + 4 = 0
5
A. d = .
9

và điểm A ( 1; −2;3) . Tính khoảng cách d từ A đến ( P ) .
5
5
5
.
B. d = .
C. d =
D. d =
.
29
29
3
Lời giải

Chọn C
Ta có d ( A, ( P ) ) =

3.1 + 4.(−2) + 2.3 + 4
32 + 42 + 22

5
.
29

=

Câu 41. [2H3-2]. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng ∆ :

x y +1 z −1
=

=
và mặt
1
4
1

phẳng ( P ) : 2 x − y + 2 z − 9 = 0. Khoảng cách giữa ∆ và ( P ) bằng bao nhiêu?
5
8
A. 1.
B. 2 .
C. .
D. .
3
3
Lời giải
Chọn B
2.0 − ( −1) + 2.1 − 9
=2.
Chọn M ( 0; −1;1) ∈ ∆ . Khi đó d ( ∆, ( P ) ) = d ( M , ( P ) ) =
2
22 + ( −1) + 22

Chú ý: Khi câu hỏi đi tính khoảng cách từ đường thẳng ∆ tới ( P ) thì đề luôn cho ∆ // ( P ) nên ta có thể
khơng cần kiểm tra điều này hoặc các phương án đưa ra đều tồn tại khoảng cách ( khác 0 ) nên chắc
chắn ∆ // ( P ) .
Câu 42. [2H3-2]. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng song song

( P ) : x − 2 y − 2 z + 13 = 0 và mặt phẳng ( Q ) : x − 2 y − 2 z − 1 = 0 .
phẳng ( P ) và ( Q ) bằng bao nhiêu?

A. h = 3 .

8
C. h = .
3
Lời giải

B. h = 4 .

Khoảng cách h giữa hai mặt

D. h =

14
.
3

Chọn D
Cách 1: Chọn M ( −13;0;0 ) ∈ ( P ) , h = d ( ( P ) , ( Q ) ) = d ( M , ( Q ) ) =
Cách 2: Ta có h = d ( ( P ) , ( Q ) ) =

13 − ( −1)
12 + ( −2 ) + ( −2 )
2

2

=

−13 − 2.0 + 2.0 − 1

12 + ( −2 ) + ( −2 )
2

2

=

14
3 .

14
.
3

Chú ý: Ở cách 2 ta sử dụng công thức sau:
Nếu ( P ) : ax + by + cz + d = 0 và ( Q ) : ax + by + cz + e = 0 thì h = d ( ( P ) , ( Q ) ) =

d −e
a 2 + b2 + c2

.


Câu 43. [2H3-3]. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M ( 1;5; − 1) và đường thẳng
x + 2 y −1 z
=
=
. Khi đó khoảng cách h từ điểm M đến đường thẳng ∆ bằng bao nhiêu?
1
2

−3
A. h = 2 3 .
B. h = 3 2 .
C. h = 2 17 .
D. h = 26 .
Lời giải
Chọn A
uu
r
Cách 1: Ta có u∆ = ( 1; 2; −3) . Gọi H là hình chiếu vng góc của M trên ∆ suy ra
uuuur
H ( −2 + t ;1 + 2t; −3t ) ∈ ∆ ⇒ MH ( −3 + t ; −4 + 2t ;1 − 3t ) .
uuuur r
Vì MH .u = 0 ⇔ −3 + t + 2 ( −4 + 2t ) − 3 ( 1 − 3t ) = 0 ⇔ t = 1 ⇒ H ( −1;3; −3) .
∆:

Khi đó h = d ( M , ∆ ) = MH = 22 + 22 + 22 = 2 3 .
uur uuuu
r
uu
r
uuuu
r
Cách 2: Ta có u∆ = ( 1; 2; −3) và N ( −2;1;0 ) ∈ ∆ ⇒ MN ( −3; −4;1) ⇒ u∆ , MN  = ( −10;8; 2 ) . Khi đó
uur uuuu
r
2
u∆ , MN 
( −10 ) + 82 + 22



h = d ( M , ∆) =
=
=2 3.
uur
2
2
2
 u∆ 
1
+
2
+
−
3
(
)
 
Cách 3: H ∈ ∆ ⇒ H ( −2 + t ;1 + 2t ; −3t ) .
⇒ MH 2 = ( t − 3) + ( 2 − 4 ) + ( 3t − 1) = 14t 2 − 28t + 26 = 14 ( t − 1) + 12 ≥ 12 .
2

2

2

2

Khi đó h = d ( M , ∆ ) = MH min = 12 = 2 3 .
 x = 1 − 4t


Câu 44. [2H3-3]. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng ∆1 :  y = 2 − t và
 z = −3 + t

∆2 :
A. 1.

x + 2 y +1 z
=
=
. Khoảng cách giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆ 2 bằng bao nhiêu?
4
1
−1
B. 2 .
C. 3 .
D. 4 .
Lời giải

Chọn
ur C
uu
r
Do u1 = ( −4; −1;1) cùng phương với u2 = ( 4;1; −1) và các phương án cho kết quả khác 0 suy ra ∆1 , ∆ 2
song song với nhau.
uu
r uuuu
r
uuuu
r

 M ( 1; 2; −3) ∈ ∆1

 = ( 0; −9; −9 ) .
⇒
u
,
MN
MN
=
−
3;
−
3;3
Ta có 
, suy ra
(
)  2

 N ( −2; −1;0 ) ∈ ∆ 2
uu
r uuuu
r
2
2
u2 , MN 
0 2 + ( −9 ) + ( − 9 )


=
=3.

uu
r
Khi đó d ( ∆1 , ∆ 2 ) = d ( M , ∆ 2 ) =
2
2
2
u 2 
4
+
1
+
−
1
(
)
 
Câu 45. [2H3-3]. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , khoảng cách h giữa hai đường thẳng
x y − 4 z −1
x −1 y − 2 z +1
=
=
=
=
và ∆ 2 :
bằng bao nhiêu?
2
−1
−1
3
−1

−2
2
2
A. h = 3 .
B. h = 3 .
C. h =
.
D. h = .
3
3
Lời giải
Chọn
B
ur
uu
r
Do u1 = ( 2; −1; −1) không cùng phương với u2 = ( 3; −1; −2 ) và các kết quả có tồn tại h suy ra ∆1 , ∆ 2
∆1 :

chéo nhau.


ur uu
r
 u1 , u2  = ( 1;1;1)
 M 1 ( 0; 4;1) ∈ ∆1
 M 2 ( 1; 2; −1) ∈ ∆ 2


r

Ta có  ur
và  uu
, suy ra  uuuuuur
.
u1 = ( 2; −1; −1)
u2 = ( 3; −1; −2 )
 M 1M 2 = ( 1; −2; −2 )
ur uu
r uuuuuur
u1 , u2  .M 1M 2 1.1 + 1. ( −2 ) + 1. ( −2 )


=
= 3.
Khi đó h = d ( ∆1 , ∆ 2 ) =
ur uu
r
2
2
2
u1 , u2 
1
+
1
+
1


Câu 46. [2H3-3]. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A ( 1; − 2;3) , B ( 2; −1;1) ,
C ( −1;1;0 ) , D ( 1; 2; −1) . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD bằng bao nhiêu?

4
6
8
10
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
11
11
11
11
Lời giải
Chọn C
uuu
r uuur
uuur
uuur
uuur
Ta có AB = ( 1;1; −2 ) , CD = ( 2;1; −1) , AC = ( −2;3; −3 ) , suy ra  AB, CD  = ( 1; −3; −1) .Suy ra
uuu
r uuur uuur
 AB, CD  . AC 1. ( −2 ) − 3.3 − 1. ( −3)
8



d ( AB, CD ) =
=
=
.
uuur uuur
2
2
2
 AB, CD 
11
1
+
3
+
1


Câu 47. [2H3-2]. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có A ( 0;1;1) , B ( 1; −2;0 ) ,
C ( −2;1; −1) . Diện tích tam giác ABC bằng bao nhiêu?
A.

22 .

B. 2 22 .

C.

22
.
2

D.

11
.
2

Lời giải
Chọn A
uuur
2
 AB = ( 1; −3; −1) uuu
r uuur
uuur uuur
6 2 + 4 2 + ( −6 )
1
u
u
u
r
Ta có 
 AB, AC  = ( 6; 4; −6 ) ⇒ S ABC =  AB, AC  =
= 22 .


 AC = ( −2;0; −2 ) 
2
2
Câu 48. [2H3-3]. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD có A ( 0; −1;1) , B ( −2;1;1) ,
C ( −1;0;0 ) , D ( 1;1;1) . Thể tích V của tứ diện ABCD bằng bao nhiêu?

1
1
A. V = .
B. V = .
C. V = 2 .
D. V = 1 .
6
3
Lời giải
Chọn D
uuur
uuur
uuur
Ta có AB = ( −2; 2;0 ) , AC = ( −1;1; −1) , AD = ( 1; 2;0 ) .
uuu
r uuur
1 uuur uuur uuur 1
Suy ra  AB, AC  = ( −2; 2;0 ) ⇒ V = VABCD =  AB, AC  . AD = −2.1 − 2.2 + 0 = 1 .
6
6
Câu 49. [2H3-3]. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ có A ( −1;0; 2 ) ,
B ( 1;1; −1) , D ( 0;1;1) , A′ ( 2; −1;0 ) . Thể tích V của khối hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ là
A. V = 1 .
B. V = 4 .
C. V = 5 .
D. V = 6 .
Lời giải
Chọn C
uuur
uuur

uuur
Ta có AD = ( 2;1; −3) , AD = ( 1;1; −1) , AA′ = ( 3; −1; −2 ) .
uuu
r uuur
uuur uuur uuur
Suy ra  AB, AD  = ( 2; −1;1) ⇒ V = VABCD. A′B′C ′D′ =  AB, AD  . AA′ = 2.3 − 1. ( −1) + 1. ( −2 ) = 5 .
Câu 50. [2H3-3]. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình chóp S . ABCD có S ( 1;3; −1) ,
A ( 1;0;0 ) , B ( 0; −2;0 ) , C ( 0;0; 4 ) . Độ dài đường cao của hình chóp S . ABCD bằng


A.

1
.
21

B.

21
.
7

C.

2
.
13

D.

21
.
3

Lời giải
Chọn D
x y z
+ = 1 ⇔ 4x − 2 y + z − 4 = 0 .
Cách 1: Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn ( ABC ) : +
1 −2 4
4.1 − 2.3 − 1 − 4
7
21
=
=
Khi đó đường cao của hình chóp S . ABCD : h = d ( S , ( ABC ) ) =
.
2
2
2
3
21
4 + 2 +1
uur
uur
uuu
r
uuur
uuur
Cách 2: Ta có SA = ( 0; −3;1) , SB = ( −1; −5;1) , SC = ( 1;3; −5 ) và AB = ( −1; −2;0 ) , AC = ( −1;0; 4 ) .

r
uur uur
1 uur uur uuu
  SA, SB  = ( 2; −1; −3)
3.  SA, SB  .SC
2.1 − 1.3 − 3. ( −5 )
3V
21


⇒ h = S . ABC = 6 uuur uuur
=
=
Suy ra  uuur uuur
.
2
2
2
1
S∆ABC
3
8
+
4
+
2

  AB, AC  = ( −8; 4; −2 )
AB, AC 
2