Tài liệu dao dong tu doeu hoa pdf

Nguyễn Thị Nga K31B - lý Dao động tử điều hoà. Các bài toán ...
LI CM N
Nghiờn cu khoa hc l mt ch hp dn nhiu ngi quan tõm, c
bit l vi sinh viờn nm cui. Vỡ thụng qua quỏ trỡnh tự nghiờn cu, chỳng tôi
cú th hiểu rõ hơn về bộ môn, nâng cao đợc nhận thức về bức tranh vật lý và b-
ớc đầu tập nghiên cứu khoa học m rng v nõng cao tm nhỡn, tm hiu bit
ca mỡnh.
Trong sut quỏ trỡnh nghiờn cu v hon thnh khoỏ lun ny, tụi ó
nhn c s ch bo, hng dn v giỳp ht sc tn tỡnh ca thy giỏo-
tin s Trn Thỏi Hoa. Bờn cnh ú tụi cng ó nhn c s gúp ý chõn
thnh ca cỏc thy cụ giỏo trong khoa vt lý núi chung v cỏc thy cụ giỏo
trong t vt lý lý thuyt núi riờng. Tụi xin by t lũng bit n sõu sc ti cỏc
thy cụ giỏo ó giỳp tụi bc u lm quen vi vic nghiờn cu khoa hc,
chc chn iu ú s rt b ớch cho tụi trờn con ng hc tp v cụng tỏc sau
ny.


Xuân Ho , tháng 6 n m 2009
Ngời thực hiện:
NguyễnTh Nga
1
Nguyễn Thị Nga K31B - lý Dao động tử điều hoà. Các bài toán ...
LI CAM OAN
Khoỏ lun ny l kt qu lao động ca bn thõn tôi trong quỏ trỡnh hc
tp v nghiờn cu. Bờn cnh ú tôi c s quan tõm to iu kin ca thy
giỏo, cụ giỏo trong khoa vt lý c bit l s hng dn ca thy giỏo - Tin
s Trn Thỏi Hoa.
Trong khi nghiờn cu hon thnh bn khoỏ lun ny tụi cú tham kho
mt s ti liu ó ghi trong phn ti liu tham kho.
Vỡ vy, tôi xin khng nh kt qu ca ti: Dao ng t iu ho.
Cỏc bi toỏn v dao ng t iu ho khụng cú s trựng lp vi kt qu ca

ti khỏc.
Sinh viờn thc hiờn:

Nguyn Th Nga
2
Nguyễn Thị Nga K31B - lý Dao động tử điều hoà. Các bài toán ...
Mục lục
Nội dung Trang
Lời cảm ơn 1
Lời cam đoan 2
Phần mở đầu 4
Phần nội dung 6
+ Lý thuyết cơ bản về dao động tử điều hoà 6
+ Bài toán cơ bản của dao động tử điều hoà 15
+ Bài tập tham khảo 36
Kết luận 38
Tài liệu thamkhảo 39
3
Nguyễn Thị Nga K31B - lý Dao động tử điều hoà. Các bài toán ...
PHN M U
I. Lý do chn ti
Vt lý c in l mt mụn khoa hc xõy dng trờn vic ỳc kt cỏc kt
qu thc nghim, khi nghiờn cu cỏc hin tng vt lý xy ra i vi h cỏc
nguyờn t; tc l nghiờn cu cỏc tớnh cht, s tng tỏc v dch chuyn ca
cỏc h v mụ trong khụng gian.
C hc lng t l mt trong nhng phn c bn ca vt lý lý thuyt. Nú
l môn khoa học giỳp con ngi tỡm hiu v chinh phc th gii vi mụ.
Da trờn tớnh cht lng tớnh súng ht ca vt cht cỏc nh vt lý nh:
Schrodinger, Dirac, Heisenberg, ó nghiờn cu v gii thớch tớnh cht, hin
tng xy ra trong khụng gian các hạt có kích thớc nhỏ cỡ nguyên tử

( )
13 6
10 10 cm


. i tng ch yu ca c hc lng t l cỏc nguyờn t,
phõn t v cỏc ht c bn. Cụng c toỏn hc ca c hc lng t phn ln l
cỏc toỏn t tỏc ng trong khụng gian Hilbert. S ra i ca thuyt lng t
ó lm thay i t duy con ngi v cỏc hin tng v quỏ trỡnh vt lý trong
th gii cỏc ht c bn v nguyờn t, phõn t.
Có rt nhiu vn c bn cần nghiờn cu trong cơ học lợng tử. Mt
trong s vn có tính chất kinh điển là bài toán dao động tử điều hoà. giải
quyết vấn đề tìm năng lợng và trạng thái của dao động tử điều hoà, ta cần giải
phơng trình Schrodinger cho dao động tử điều hoà với thế năng điều hoà. Bài
toán này có một số tính chất cần quan tâm. Chính vì vậy đề tài của tôi có tên là:
Dao ng t iu ho. Cỏc bi toỏn v dao ng t iu ho. Đề tài này sẽ
liên quan đến các vấn đề nh thế về dao động tử điều hoà.
4
Nguyễn Thị Nga K31B - lý Dao động tử điều hoà. Các bài toán ...
II. Mc ớch nghiờn cu
Giải bài toán v dao ng t iu ho.
Trên cơ sở ấy rốn c k nng gii phng trỡnh Schrodinger, bit kt hp
cỏc công c toỏn hc vo gii cỏc bi toỏn.
III. Nhim v nghiờn cu
Gii thiu, lp phng trỡnh Schrodinger cho dao dng t iu hoà.
Dựa vào các đòi hỏi của hàm sóng và đòi hỏi của phơng trình Schrodinger
để giải bài toán về dao động tử điều hoà
Gii thiu mt s dng bi toỏn c bn v dao ng t iu ho và cỏch
gii
IV. Đối tợng nghiên cứu

Dao động tử điều hoà và các hệ điều hoà trong cơ học lợng tử.
V. Phơng pháp nghiên cứu
Thu thập tài liệu.
Đọc tài liệu.
Sử dụng phơng pháp nghiên cứu của vật lý lý thuyết và vật lý toán.
5
Nguyễn Thị Nga K31B - lý Dao động tử điều hoà. Các bài toán ...
PHN NI DUNG
I. Lý thuyt c bn v dao ng t iu ho
I.1. Cỏc kin thc c bn
I.1.1. Phng trỡnh Schrodinger tổng quỏt
Trong quá trình giải bài tập cơ học lợng tử phi tơng đối tính cần giải ph-
ơng trình Schrodinger. Tuỳ thuộc điều kiện từng bài toán khác nhau mà nghiệm
phơng trình Schrodinger có dạng khác nhau. Nh vậy khi nghiên cứu chuyển
động của hạt hoặc hệ hạt trong trờng thế nào đó ta sẽ biết đợc năng lợng
( )
E
và
hàm sóng
( )

tơng ứng ở những trạng thái khác nhau. Khi xác định đợc năng l-
ợng và hàm sóng của hạt ở trạng thái nào đó ta có thể tính toán đợc các yếu tố
ứng với phép đo đại lợng F nào đó của hệ lợng tử nh mật độ xác suất, xác suất,
trị trung bình,
Đối với hạt chuyển động trong trờng lực tổng quát
W

, có năng lợng biến
đổi theo thời gian thì phơng trình Schrodinger tổng quát có dạng:

( ) ( )
t,z,y,xH

t,z,y,x
t
i
=



trong đó
W

m2
H

2
2
+=

Nghiệm của phơng trình Schrodinger tổng quát là:

( ) ( )


=

=
0n

tE
i
n
n
ez,y,xt,z,y,x

trong đó E
n
là năng lợng và
( )
z,y,x
n

là hàm sóng chỉ phụ thuộc không gian của hạt ở trạng thái lợng tử n.
i vi ht có khối lợng m chuyn ng trong trờng thế
( )
z,y,xU

phng trỡnh Schrodinger cú dng:

( ) ( )
[ ]
( )
0z,y,xz,y,xUE
m2
z,y,x
2
==

(1)

Phng trỡnh Schrodinger ny là phơng trình Schrodinger dừng khụng
ph thuc vo thi gian m ch ph thuc khụng gian.
6
Nguyễn Thị Nga K31B - lý Dao động tử điều hoà. Các bài toán ...

I.1.2. Dao ng t iu ho

Chúng ta sẽ nghiên cứu chuyển động của hạt trong trờng thế U(x) Trong
khụng gian này ht chuyn ng thc hin nhng dao ng bộ quanh v trớ
cõn bng x
0
=0 của nó vì vậy ta có thể khai triển thế năng này dới dạng:


( )
...x
x
U
!n
1
...x
x
U
2
1
x
x
U
UxU
n

n
n
2
2
2
0
+


++


+


+=
(2)
Do dao ng bộ quanh v trớ cõn bng nờn cỏc s hng ứng vi
3n,x
n

ta cú th b qua và do thế năng điều hoà nên
0
x
U
=


. Khi đó ta chỉ
ly 2 s hng u tiên ta sẽ có:

( )
2
2
0
2
1 U
U x U x
2 x

= +

(3)
V ngời ta gi một ht thc hin nhng dao ng iu ho nh vy l
dao ng t iu hũa.
I.2. Thit lp phng trỡnh Schrodinger ca dao ng t iu ho.
Gi s xột một ht cú khi lng m, chuyn ng theo trục ox quanh v
trớ cõn bng di tỏc dng ca lc n hi
x
F kx=
M:
=
gradUF

2
x x
dU x
F U F dx kxdx k C
dx 2

= = = = +


Chn
U 0,x 0= =
nờn
C 0=

2 2 2
1 1
U kx m x
2 2
= =
7
Nguyễn Thị Nga K31B - lý Dao động tử điều hoà. Các bài toán ...
(vi
k
m
=
: l tn s gúc ca dao ng). Nhìn vào phơng trình (3) ta thấy
hạt chuyển động trong trờng thế
22
xm
2
1
U
=
đang xét trên là dao động tử
điều hoà.

T phng trỡnh Schrodinger cho ht chuyn ng 1 chiu
( ) ( ) ( )
2
2m
'' x E U x x 0 + =

h
Ta cú phng trỡnh Schrodinger cho dao ng t iu ho
( ) ( )
( ) ( )
xExx
2
m
xm2
0x
2
xm
E
m2
x''
nnn
22
2
22
22
2
=

+



=







+


Ta dựng ch s n kớ hiu th t ca mc nng lng (n l s nguyờn
dng hoc bng khụng).
( )
n
x
: l nghim ng vi mc nng lng
n
E

I.3. Gii phng trỡnh ca dao ng t iu ho
Trong c hc c in ngời ta thấy rằng phổ nng lng ca dao ng t
iu hũa cú th nhn cỏc giỏ tr liờn tc. Vy kt lun ny trong c hc lng

t cú cũn ỳng khụng ta s i kim nghim iu ú bng cỏch i gii phng
trỡnh Schrodinger của dao động tử điều hoà:
( ) ( )
2 2
n n
2
2m m x
'' x E x 0
2


+ =


h
(4)

8
Nguyễn Thị Nga K31B - lý Dao động tử điều hoà. Các bài toán ...
Phơng trình (4) là phơng trình vi phân có thứ nguyên với:
[ ]
[ ]





s.j:
M:m
L:x

Đt cỏc bin s khụng th nguyờn cú dng:


=
m
x

,
=

2
1
E
trong
đó

,
là các biến không thứ nguyên
Ta có:

( ) ( )
x
=
2 2
2 2
m
x x
m
x

= =


=

h
h
Thay vào (4)
( ) ( )
2
''
n n
2
m 2m
0
2 2


+ =
ữ

h h
h h

( )
( )
( )
'' 2
n n

m m
0

+ =
h h


( )
( )
( )
2
n n
'' 0
+ =
(5)
(5) là phơng trình vi phân không thứ nguyên. Phơng trình này có một kì
dị ở

. Ta phải khử điểm kì dị này tức là tỡm dỏng iu
( )
n

lõn cn im

. Khi

rt ln
( )

thỡ

2
<< ta cú th b qua s hng
( )
n

trong
v trỏi (5) ta đợc:
( ) ( )
0''
n
2
n
=
(6)
Nghim ca (6) l:
( )
2
exp
2



ữ

.
9
NguyÔn ThÞ Nga K31B - lý Dao ®éng tö ®iÒu hoµ. C¸c bµi to¸n ...
Để nghiÖm có ý nghĩa vật lý tức là khi
∞→ξ
thì

( )
ψ ξ
hữu hạn nên ta
chọn nghiệm
( ) ( )
2
y exp
2
 
ξ
ψ ξ = ξ −
 ÷
 
(7)
( ) ( ) ( )
( )
2 2
' '
2 2 2 2
'' '' ' 2
y exp y exp
2 2
y exp 2 y exp yexp yexp
2 2 2 2
   
ξ ξ
⇒ ψ ξ = ξ − − ξ ξ −
 ÷  ÷
   
       

ξ ξ ξ ξ
⇒ ψ ξ = − − ξ − + ξ − − −
 ÷  ÷  ÷  ÷
       

Thay
( )
ξψ
vµo (6) ta có phương trình cho hàm
( )
y ξ
là:
( )
y'' 2 y' 1 y 0− ξ + ε − =
(8)
Phương trình (5) có nghiệm dưới dạng chuỗi như sau:

( ) ( )
k k
0 1 k k
k 0
k 1 k 1
1 2 k k
k 1
k 2 k 2
2 3 k k
k 2
y a a ... a ... a
y' a 2a ... ka ... a k
y'' 2a 6a ... k k 1 a ... k 1 ka

∞
=
∞
− −
=
∞
− −
=

= + ξ + + ξ + = ξ



= + ξ + + ξ + = ξ



= + ξ + + − ξ + = − ξ


∑
∑
∑
(9)
Thay (9) vào (8) ta có:

( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
[ ]

0a1ka2a1k2k
0a1ka2a1k2k
0a
1ka2ka1k
k
0k
kk2k
0k 0k
k
k
k
k
0k
k
2k
2k 1k 0k
k
k
1k
k
2k
k
=ξ−ε+−++⇔
=ξ−ε+ξ−ξ++⇔
=ξ
−ε+ξξ−ξ−
∑
∑ ∑∑
∑ ∑ ∑
∞

=
+
∞
=
∞
=
∞
=
+
∞
=
∞
=
∞
=
−−
Muốn cho phương tr×nh lu«n thoả mãn thì các hệ số bên cạnh c¸c
luỹ thừa
k
ξ đều phải triệt tiêu tức là:
( ) ( ) ( )
k 2 k k
k 2 k 1 a 2ka 1 a 0
+
+ + − + ε − =
10
Nguyễn Thị Nga K31B - lý Dao động tử điều hoà. Các bài toán ...
( ) ( )
k 2 k
2k 1

a a
k 2 k 1
+
+
=
+ +
(10)
(10) l cụng thc truy toỏn tớnh cỏc h s
a

Do th nng
2 2
U
2

=
h
l hm chn ca to nờn hm
( )

l hm
chn (hoặc hm l) ca



chuỗi lu tha (9) phi l chui lu tha bc
chẵn (hoc l) ca

. Vỡ hm
2

exp
2



ữ

l hm chn ca

nờn t (10)


nu
0
a o
thỡ
1
a 0=
hoc
1
a 0
thỡ
0
a 0=
Trc ht xột chui chn (9) vy trong (10) thay k bi
( )
2 k 1
ta cú:
( )
( )

( )
2k
2 k 1
4k 3
a a
2k 2k 1

+
=

khi k ln thỡ
( )
4k (3 ) 1
~
2k 2k 1 k
+

T õy suy ra:
( )
2k
2 k 1
1
a ~ a
k

Tng t:
( ) ( )
2 k 1 2 k 2
1
a ~ a

k 1



( ) ( )
2 k 2 2 k 3
1
a ~ a
k 2



Cuối cùng:
2k 0
1
a ~ a
k!
Thnh th chui (9) cú dỏng iu ging hm
2
0
a exp
tức:
11
NguyÔn ThÞ Nga K31B - lý Dao ®éng tö ®iÒu hoµ. C¸c bµi to¸n ...
k 2k 2
k 0 0
k 0 k 0
1
y a ~ a ~ a exp
k!

∞ ∞
= =
= ξ ξ ξ
∑ ∑
Tương tự xét chuỗi (9) là chuỗi lẻ khi đó trong (10) thay
k
bởi
2k 1
−

ta có:
( )
( ) ( )
( )
2k 1 2k 1
2k 1 2k 1
2 2k 1 1
a a
2k 1 1 2k 1 2
4k 1
a a
2k 1 2k
+ −
+ −
− + − ε
=
− + − +
− − ε
⇔ =
+

12
NguyÔn ThÞ Nga K31B - lý Dao ®éng tö ®iÒu hoµ. C¸c bµi to¸n ...
Khi
k
đủ lớn thì:
2k 1 2k 1
1
a ~ a
k
+ −
Tương tự:
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2k 1 2k 3 2k 3 2k 3
2 2k 3 1
4k 1
a a ~ a ~ a
2k 3 1 2k 3 2 2k 1 2 k 1 k 1
− − − −
− + − ε
=
− + − + − − −
( )
( )( ) ( ) ( )
5k25k25k23k2
a
2k
1
~a
2k23k2

k4
~a
25k215k2
15k22
a
−−−−
−−−+−+−
ε−+−
=
…
Cuèi cïng:
2k 1 1
1
a ~ a
k!
+

Vậy chuỗi lẻ (9) có dáng điệu giống hàm
2
1
a expξ ξ
tức:
2
1
k2
0k
1
0k
k
k

expa~
!k
1
a~ay
ξξξξξ=
∑∑
∞
=
∞
=
Lúc đó, ở lân cận điểm
ξ = ∞
hàm sóng cho bởi (7) có dạng:
( )







≠∞→
ξ
ξ
ξ
≠∞→
ξ







ξ
−=ξψ
0akhi
2
exp
0akhi
2
exp
~
2
expy
1
2
0
2
2
12
Nguyễn Thị Nga K31B - lý Dao động tử điều hoà. Các bài toán ...
iu kin
( )

trit tiờu bt buc
y
phi tr thnh a thc, ngha l
chui (9) phi ngt
max
k n=

no ú.
Ngha l
o
a
(hoc
1
a
)
k kmax n
,...,a ,...,a a 0,=
cũn
n 2 n 4
a ,a ,... 0.
+ +

T (10) suy ra
n 2
a 0
+
=
v:


==+=
n
n
E2
1n2
T õy rỳt ra biu thc ca nng lng:
n

1
E n
2

= +
ữ

h

( )
n 0,1,2,...=
(11)
Nh vy năng lng ca dao ng t b lng t hoỏ, nú ph thuc vo
s lng t
n

( )
n 0,1,2,...=
. Trng thỏi ng vi
n 0=
c gi l trng thỏi
c bn ca dao ng t lng t. Khi thay
1 2n =
vo (8), phng trỡnh (8)
tr thnh:
y'' 2 y' 2ny 0 + =
(12)
(12) gi l phng trỡnh vi phõn Hermite, nghim ca phng trỡnh ny l a
thc Hermite bc
n

:
( ) ( )
2 2
n
n
n
n
d
H 1 e e
d

=

(13)
Sau õy l mt s a thc Hermite u tiờn:
( ) ( ) ( ) ( )
2 3
o 1 2 3
H 1;H 2 ;H 4 2;H 8 12 . = = = =
Nghim ca (5) cú k n (7) v (13) l:
( ) ( )
2
n n
A exp H
2


=

(14)
Nu i t bin

v bin
x
thỡ hm súng ca dao ng t iu ho l
hm:
13
Nguyễn Thị Nga K31B - lý Dao động tử điều hoà. Các bài toán ...
( )
1
4
2
n
n
m 1 m m
x exp x H x
2
2 n!



=
ữ

ữ



h h h

(15)
Hm ny chn l cựng vi
n
, cũn h s chun hoỏ tỡm t iu kin:
( )
2
x dx 1
+

=

II. Cỏc bi toỏn c bn v dao ng t iu ho
II.1. Bi tp 1:
Hm súng ca dao dng t iu ho mt chiu cú dng:
( ) ( )
2
2
n n n
A e H


=
(1), trong ú
m
x,

=
h

( )

n
H
l a thc Hermite
bc
n
.
Hóy chun hoỏ hm súng
( )
n

?
Li gii:
Ta cú biu thc ca a thc Hermite l:
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
n n 2 n 4
n
n n 1 n n 1 n 2 n 3
H 2 2 2 ...
1! 2!


= +
Hay vit di dng vi phõn:
( ) ( )
22
e

d
d
e1H
n
n
n
n


=

T diu kin chun hoỏ hm súng ta cú:
14