Lý thuyết nhiễu loạn

39

Chơng VI: Lí thuyết nhiễu loạn

6.1. Giới thiệu
Phơng trình Schrodinger không phụ thuộc thời gian

EH
=


chỉ cho nghiệm chính xác trong một số ít trờng hợp.
Trong một số trờng hợp khác, ta có thể viết
H

=
0

H
+
'

H
,
trong đó hàm riêng và trị riêng của
0

H
có thể tìm đợc chính xác và
'

H
bé so với
0

H
. Lí thuyết cho phép tìm hàm riêng và trị riêng gần
đúng của
H

từ hàm riêng và trị riêng của
0

H
gọi là lí thuyết nhiễu
loạn. Khi đó,
0

H
gọi là toán tử Hamilton không nhiễu loạn,
'

H
gọi là
toán tử Hamilton nhiễu loạn.
Các bài toán nhiễu loạn đợc chia thành 3 nhóm:
1) nhiễu loạn không phụ thuộc thời gian, không suy biến,
2) nhiễu loạn không phụ thuộc thời gian, suy biến,
3) nhiễu loạn phụ thuộc thời gian.
Sau đây chúng ta sẽ lần lợt khảo sát các bài toán nói trên.

40
6.2. Nhiễu loạn không phụ thuộc thời gian, không suy biến
a) Độ nhỏ của nhiễu loạn
Ta giả thiết:
+
'

H
bé so với
0

H
,
+ trạng thái riêng và năng lợng riêng của
H

không khác nhiều
so với của
0

H
.
Gọi
{ }
n

,
{ }
n
E

và
{ }
)0(
n

,
{ }
)0(
n
E
lần lợt là hàm riêng và trị riêng
của
H

và
0

H
, tức là
n
H


=
( )
n
HH

'

0
+
=
nn
E

,
)0(
0

n
H

=
nn
E

)0(
.
Ta có thể viết
n

=
)0(
n

+
n

,
n
E
=
)0(
n
E
+
n
E
,
trong đó
n


là bổ đính nhỏ vào
)0(
n

,
n
E
là bổ đính nhỏ vào
)0(
n
E
.
Để lu ý
'

H
bé, ta viết
'

H
=:
'

H

, trong đó

là tham số vô
cùng bé.
Khi đó phơng trình trị riêng của
H

trở thành
( )
n
HH

'

0
+
=
nn
E

. (1)
b) Khai triển nhiễu loạn
Trạng thái riêng và năng lợng riêng của
0

H
đ biết.
41
Do
n



)0(
n

khi


0 nên ta tìm nghiệm của phơng trình (1)
dới dạng chuỗi
n

=
)0(
n

+

)1(

n

+
2

)2(
n

+
n
E
=
)0(
n
E
+

)1(
n
E
+
2

)2(
n
E
+ (2)
Thay (2) vào (1) và viết lại các số hạng theo số mũ

:

[ ]
)0()0()0(
0

nnn
EH


+
+

[ ]
)0()1()1()0()0()1(
0
'

nnnnnn
EEHH


+
+
2

[ ]
)0()2()1()1()2()0()1()2(
0
'

nnnnnnnn

EEEHH


+
+ = 0. (3)
Phơng trình (3) có dạng
...
)3(3)2(2)1()0(
++++ FFFF

= 0.
Để phơng trình này đúng với mọi

bất kì bé thì
)0(
F
=
)1(
F
=
)2(
F
= = 0.
Từ (3) ta suy ra
a)
)0()0()0(
0

nnn
EH

=
,
b)
( ) ( )
)0()1()1()0(
0
'

nnnn
HEEH

=
,
c)
( ) ( )
)0()2()1()1()2()0(
0
'

nnnnnn
EHEEH

+=
, (4)
d)
( ) ( )
)0()3()1()2()2()1()3()0(
0
'

nnnnnnnn
EEHEEH

++=
.
ở gần đúng bậc thấp nhất, phơng trình (4a) cho nghiệm
{ }
)0(
n


và
{ }
)0(
n
E
là hàm riêng và trị riêng của
0

H
.
Các phơng trình khác có tính chất: vế trái không đổi dới tác
dụng của phép biến đổi
)1(
n



)1(

n

+
)0(
n
a

, trong đó
a
là hằng số bất
42
kì. Ví dụ: nếu giải (4b) đợc nghiệm
)1(
n

và
)1(
n
E
thì
)1(
n

+
)0(
n
a

và
)1(

n
E
cũng là nghiệm.
Để loại bỏ tính chất đó, ta phải thêm điều kiện ràng buộc: Mọi
bổ đính vào
)0(
n

trong (2) đều trực giao với
)0(
n

:
)0()(
n
s
n

= 0 (với
0=s
và
n
). (5)
Trong không gian Hilbert, hệ thức này nói rằng
n


trực giao
với
)0(

n

.

Điều này giúp ta xác định
)(
s
n

.
Trở lại (4b) :
0

H
tác động lên
)1(
n

nên nghiệm có thể thu đợc
thông qua khai triển của
)1(
n

theo chồng chất của các trạng thái
riêng của
0

H
:
)1(

n

=

i
ini
c
)0(

. (6)
Thay (6) vào (4b)
( )
)0(
0

n
EH


i
ini
c
)0(

=
( )
)0()1(
'

nn

HE


.
Nhân trái với
)0(
j

ta đợc
( )
njnj
cEE
)0()0(

+
jn
H
'
=
jnn
E

)1(
. (7)
jn
H
'
là yếu tố ma trận của
'

H
trong biểu diễn
{ }
)0(
n


jn
H
'

)0()0(
'

nj
H

.
)0(
n


n



n


43

c) Bổ đính hạng 1
Với
nj
, phơng trình (7) cho các hệ số
{ }
nj
c
, khi thay vào (6)
cho ta bổ đính hạng 1 vào
n

:
ni
c
=
)0()0(
'
in
in
EE
H

; (8)
)1(
n

=
)0(
)0()0(
'

i
ni
in
in
EE
H




+
)0(
nnn
c

.

ở đây, ta giả thiết rằng mọi bổ đính
{ }
)(s
n

nằm trong không gian
Hilbert đợc khai triển bởi các hàm sóng không nhiễu loạn
{ }
)0(
n

.
Hệ số

nn
c
thu đợc từ (5):
nn
c
= 0.
Với
nj
, (7) cho ta bổ đính hạng 1 vào năng lợng
n
E
:
( )
1
n
E
=
nn
H
'
(9)
(đó là các yếu tố chéo của
'

H
).
Thay (8) và (9) vào (2) và đặt
1
=

ta suy ra
a)
n

=
)0(
n

+
)0(
)0()0(
'
i
ni
in
in
EE
H




,

b)
n
E
=
)0(
n

E
+
nn
H
'
. (10)
Từ (10a) ta suy ra: để khai triển (2) có nghĩa thì hệ số khai
triển phải rất bé so với 1:
in
H
'
<<
)0()0(
in
EE
,
tức là các yếu tố ma trận của
'

H
phải bé so với độ chênh lệch giữa
các mức năng lợng không nhiễu loạn tơng ứng.
Tơng tự, từ (10b) ta suy ra
nn
H
'
<<
)0(
n
E

,