Chuyên đề: Biến đổi đồng nhất

CHUYÊN ĐỀ: BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT.
Bài 1: Cho a > b > 0 thỏa mãn: 3a
2
+3b
2
= 10ab.
Tính giá trị của biểu thức: P =
ba
ba
+
−
Bài 2: Cho x > y > 0 và 2x
2
+2y
2
= 5xy
Tính giá trị biểu thức E =
yx
yx
+
−
Bài 3: 1) Cho a + b + c = 0
CMR: a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc
2) Cho xy + yz + zx = 0 và xyz ≠ 0
Tính giá trị biểu thức:

M =
222
z
xy
y
xz
x
yz
++
Bài 4: Cho a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc. Tính giá trị của biểu thức:
P =






+







+






+
a
c
c
b
b
a
111
Bài 5: a) Phân tích thành nhân tử:
(x + y + z)
3
- x
3
- y
3
-z
3
b) Cho các số x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1 và x
3
+ y
3
+ z
3

= 1 .
Tính giá trị của biểu thức: A = x
2007

+ y
2007
+ z
2007
Bài 6: Cho a + b + c = 0 và a
2
+ b
2
+ c
2
= 14. Tính giá trị của biểu thức:
P = a
4
+ b
4
+ c
4
Bài 7: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn:
a
100
+ b
100
=

a
101

+ b
101
= a
102
+ b
102
Tính giá trị của biểu thức P = a
2007
+ b
2007
Bài 8: Cho
1
=+
b
y
a
x
và
2
−=
ab
xy
. Tính
3
3
3
3
b
y
a

x
+
Bài 9: Cho a + b + c = 0 . Tính giá trị của biểu thức
P =
222222222
111
cbabcaacb
−+
+
−+
+
−+
Bài 10: Cho
bab
y
a
x
+
=+
1
4
4
; x
2
+ y
2
= 1. Chứng minh rằng:
a) bx
2
= ay

2
;
b)
10041004
2008
1004
2008
)(
2
bab
y
a
x
+
=+
Bài 11: Chứng minh rằng nếu xyz = 1 thì:

xzzyzyxyx
++
+
++
+
++
1
1
1
1
1
1
= 1

Bài 12: Cho a + b + c = 0. Tính giá trị biểu thức:
A = (a – b)c
3
+ (c – a)b
3
+ (b – c)a
3
Bài 13: Cho a, b, c đôi một khác nhau. Tính giá trị của biểu thức:
P =
))(())(())((
222
acbc
c
abcb
b
caba
a
−−
+
−−
+
−−
Bài 14: Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác. Cho biết (a + b)(b + c)(c + a) =
8abc
Chứng minh: Tam giác đã cho là tam giác đều.
Bài 15: Chứng minh rằng: Nếu a,b,c khác nhau thì:

accbbabcac
ba
abcb

bc
caba
cb
−
+
−
+
−
=
−−
−
+
−−
−
+
−−
−
222
))(())(())((
Bài 16: Cho biết a + b + c = 2p
Chứng minh rằng:
))()((
1111
cpbpapp
abc
pcpbpap
−−−
=−
−
+

−
+
−
Bài 17: Cho a, b khác 0 thỏa mãn a + b = 1. Chứng minh :
3
)2(2
11
2233
+
−
=
−
+
−
ba
ab
a
b
b
a
Bài 18: Cho
1
=++
c
z
b
y
a
x
và

0
=++
z
c
y
b
x
a
Tính giá trị biểu thức A =
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
++
Bài 19: Cho a, b, c đôi một khác nhau và
0
=
−
+
−
+
−

ba
c
ac
b
cb
a
Tính giá trị của P =
222
)()()( ca
c
ac
b
cb
a
−
+
−
+
−
Bài 20: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x(y
2
– z
2
) + y(z
2
– x
2
) + z(x
2

– y
2
)
b) x(y + z)
2
+ y(z + x)
2
+ z(x + y)
2
– 4xyz
Bài 21: Cho ba số phân biệt a, b,c. Chứng minh rằng biểu thức
A = a
4
(b – c) + b
4
(c – a) + c
4
(a – b) luôn khác 0.
Bài 22: Cho bốn số nguyên thỏa mãn điều kiện: a + b = c + d và ab + 1 = cd
Chứng minh: c = d.
Bài 23: Cho x , y là các số dương thỏa mãn điều kiện: 9y(y – x) = 4x
2
.
Tính giá trị biểu thức: A =
yx
yx
+
−
Bài 24: Cho x, y là các số khác khác 0 sao cho 3x
2

– y
2
= 2xy.
Tính giá trị của phân thức A =
22
6
2
yxyx
xy
++−
Bài 25: Cho x, y, z khác 0 và a, b, c dương thoả mãn ax + by + cz = 0 và a + b +c
= 2007.
Tính giá trị của biểu thức: P =
222
222
)()()( yxabzxaczybc
czbyax
−+−+−
++
Bài 26: Cho x, y, z khác 0 và x + y + z = 2008.
Tính giá trị biểu thức:
P =
))(())(())((
333
xzyz
z
zyxy
y
zxyx
x

−−
+
−−
+
−−
Bài 27: Cho





=++
=++
=++
1
1
1
333
222
zyx
zyx
zyx

Tính giá trị của biểu thức: P = x
2007

+ y
2007

+ z

2007
.
Bài 28: Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác. Tính giá trị của biểu thức:
P =
[ ]
[ ]
22
22
)()(
)()(
bcacba
cbacba
−−++
−++−
Bài 29: Cho biểu thức P = (b
2
+ c
2
– a
2
)
2
– 4b
2
c
2
.
Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì P < 0.
Bài 30: Cho các số dương x, y ,z thỏa mãn:






=++
=++
=++
15
8
3
zxzx
zyyz
zyxy
Tính giá trị biểu thức: P = x + y + z.
Bài 31: Cho các số x, y, z thỏa mãn hệ phương trình:






=++
=++
1
1
333
222
zyx
zyx
Tính giá trị biểu thức P = xyz. (Đề thi HSG tỉnh 2003)

Bài 32: a) Thu gọn biểu thức: P =
432
48632
++
++++
b) Tính giá trị biểu thức: Q =
yx
yx
+
−

Biết x
2
– 2y
2
= xy và y ≠ 0 , x + y ≠ 0. (Đề thi HSG tỉnh 2004-2005)
Bài 33: Chứng minh rằng nếu: x + y + z = 0 thì:
2(x
5
+ y
5
+ z
5
) = 5xyz(x
2
+ y
2
+ z
2
) (Đề thi HSG tỉnh 2005-2006)

Bài 34: Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn điều kiện: a
2
= b
2
+ c
2
.
a) So sánh a và b + c.
b) So sánh a
3
và b
3
+ c
3
. (Đề thi HSG tỉnh 2006-2007)
Bài 35: 1) Giải phương trình: x
3
-6x – 40 = 0
2) Tính A =
33
2142021420
−++
(Đề thi HSG tỉnh 2006-2007)