Tải Chuyên đề: Cực trị của một biểu thức - Bài tập tìm GTLN, GTNN của một biểu thức

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (249.75 KB, 22 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

CHUYÊN ĐỀ: CỰC TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC

I/ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦẢ MỘT BIỂU THỨC

1/ Cho biểu thức f( x ,y,...)

a/ Ta nói M giá trị lớn nhất ( GTLN) của biểu thức f(x,y...) kí hiệu max f = M nếu hai điều
kiện sau đây được thoả mãn:

- Với mọi x,y... để f(x,y...) xác định thì :
f(x,y...) M ( M hằng số) (1)

- Tồn tại xo,yo ... sao cho:

f( xo,yo...) = M (2)

b/ Ta nói m là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức f(x,y...) kí hiệu min f = m nếu hai điều
kiện sau đây được thoả mãn :

- Với mọi x,y... để f(x,y...) xác định thì :
f(x,y...) m ( m hằng số) (1’)

- Tồn tại xo,yo ... sao cho:

f( xo,yo...) = m (2’)

2/ Chú ý : Nếu chỉ có điều kiện (1) hay (1’) thì chưa có thể nói gì về cực trị của một biểu
thức chẳng hạn, xét biểu thức : A = ( x- 1)2 + ( x – 3)2. Mặc dù ta có A 0 nhưng chưa

thể kết luận được minA = 0 vì khơng tồn tại giá trị nào của x để A = 0 ta phải giải như sau:
A = x2 – 2x + 1 + x2 – 6x + 9 = 2( x2 – 4x + 5) = 2(x – 2)2 + 2 2

A = 2 ⇔ x -2 = 0 ⇔ x = 2
Vậy minA = 2 khi chỉ khi x = 2

II/ TÌM GTNN ,GTLN CỦA BIỂU THƯC CHỨA MỘT BIẾN
 1/ Tam thức bậc hai:

Ví dụ: Cho tam thức bậc hai P = ax2 + bx + c .

Tìm GTNN của P nếu a 0.

Tìm GTLN của P nếu a ¿¿
¿ 0

Giải : P = ax2 + bx +c = a( x2 + ba x ) + c = a( x + 2 ab )2 + c -

4
b

a

Đặt c - b2

4 a =k . Do ( x +
b

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

- Nếu a 0 thì a( x + 2 ab )2 0 , do đó P k. MinP = k khi và chỉ khi x = - b
2 a

-Nếu a ¿¿

¿ 0 thì a( x +

b

2 a )2 0 do đó P k. MaxP = k khi và chỉ khi x =

-b
2 a

2/ Đa thức bậc cao hơn hai:

Ta có thể đổi biến để đưa về tam thức bậc hai

Ví dụ : Tìm GTNN của A = x( x-3)(x – 4)( x – 7)
Giải : A = ( x2 - 7x)( x2 – 7x + 12)

Đặt x2 – 7x + 6 = y thì A = ( y - 6)( y + 6) = y2 - 36 -36

minA = -36 ⇔ y = 0 ⇔ x2 – 7x + 6 = 0 ⇔ x

1 = 1, x2 = 6.

3/ Biểu thức là một phân thức :

a/ Phân thức có tử là hằng số, mẫu là tam thức bậc hai:

Ví dụ : Tìm GTNN của A = 2

6 x −5 − 9 x2 .

Giải : A = 2

6 x −5 − 9 x2 . =

−2

9 x2−6 x +5 =

3 x −1¿2+4

−2

Ta thấy (3x – 1)2 0 nên (3x – 1) 2 +4 4 do đó 2
1
(3x 1) 4

4 theo tính chất a

b thì 1a 1b với a, b cùng dấu). Do đó

3 x −1¿2+4

−2

− 24 ⇒ A - 12

minA = - 12 ⇔ 3x – 1 = 0 ⇔ x = 13 .

Bài tập áp dụng:

1. Tìm GTLN của BT : 2

1
A

x 4x 9



 

(HD giải:





2
2

1 1 1 1

A . max A= x 2

x 4x 9 x 2 5 5 5

    

    .)

2. Tìm GTLN của BT : 2

1
A

x 6x 17



</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

(HD Giải:





2
2

1 1 1 1

A . max A= x 3

x 6x 17 x 3 8 8 8

    

   

)

3. (51/217) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2

3
A

2 x 2x 7



   

b/ Phân thức có mẫu là bình phương của nhị thức.

Ví dụ : Tìm GTNN của A = 3 x
2

− 8 x+6
x2−2 x+1 .

Giải : Cách 1 : Viết A dưới dạng tổng hai biểu thức không âm

A =



 



2 2 1 4 4

2 1

x x x x

x x

    

  = 2 +

x − 2¿2
¿
x − 1¿2

¿
¿
¿

minA = 2 khi và chi khi x = 2.

Cách 2: Đặt x – 1 = y thì x = y + 1 ta có :

A =









2 2 2

3( 1) 8( 1) 6 3 6 3 8 8 6 3 2 1
2 1 2 2 1

1 2 1 1

y y y y y y y

y y y y

y y

          

 

    

    = 3 -

2
y +

y2 = ( 
1

y -1)2 +

minA = 2 ⇔ y = 1 ⇔ x – 1 = 1 ⇔ x = 2

Bài tập áp dụng: (Bồi dưỡng HSG toán đại số 9 TRẦN THỊ VÂN ANH)

1, (13/200) Tìm GTNN và GTLN của bt:

1
P

1
x
x x




 

2, (36/210) Tìm GTNN của bt :
2

2 2006

B x x

x
 


3, ( 45/ 214) Tìm GTNN và GTLN của bt:

5 7
x

x x



 

4, ( 47, 48 /215) Tìm GTNN của bt : a,
2

2 2
D

2 3

x x

 


  b,

2 1
E

2 4 9

x x

 


 

c/ Các phân thức dạng khác:

Ví dụ : Tìm GTNN và GTLN của A = 3 − 4 x

x2+1

Giải Để tìm GTNN , GTLN ta viết tử thức về dạng bình phương của một số :

A = x
2

−4 x+4 − x2−1
x2+1 =

x − 2¿2
¿
¿
¿

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Min A= -1 khi và chỉ khi x = 2

Tìm GTLN A = 4 x2+4 − 4 x2− 4 x −1

x2+1 = 4 -

2 x +1¿2
¿
¿
¿

Bài tập áp dụng: (Bồi dưỡng HSG toán đại số 9 TRẦN THỊ VÂN ANH)

1, (42, 43/ 221) Tìm GTLN của bt: a, A 2 2
x
x


 b,





3
2

2
x
x




3, (35, 36 / 221) Tìm GTNN của bt: a,

2 4 4

C x x

x
 


Với x > 0; b,

2
D x

x



Với x > 0

4, (34, 36/ 221) Tìm GTNN của bt: a,
2

2
E x

x
 

với x > 0; b,
3

1
Fx 

x Với x > 0

6, (68/28 BÙI VĂN TUYÊN) Tìm GTNN của bt:





2 2 17

2 1

x x

Q

x
 


 Với x > 0

7, (69/28 BÙI VĂN TUYÊN) Tìm GTNN của bt:

6 34
R

x x

x

 



 Với x > 0

8, (70/28 BÙI VĂN TUYÊN) Tìm GTNN của bt:

3 2000

S x
x



Với x > 0

III/ TÌM GTNN, GTLN CỦA BT CĨ QUAN HỆ RÀNG BUỘC GIỮA CÁC BIẾN
Ví dụ : Tìm GTNN của A = x3 + y3 + xy biết rằng x + y = 1

sử dụng điều kiện đã cho để rút gọn biểu thức A

A = (x + y)( x2 –xy +y2) + xy = x2 – xy - y2 + xy = x2 + y2

Đến đây ta có nhiều cách giải

Cách 1: sử dụng điều kiện đã cho làm xuất hiện một biểu thức có chứa A

x + y = 1 ⇒ x2 + 2xy + y2 = 1 (1)

Mà (x – y)2 0 Hay: x2 - 2xy + y2 0 (2)

Cộng (1) với (2) ta có 2(x2 + y2 ) 1 ⇒ x2 + y2 1
2

minA = 12 khi và chỉ khi x = y = 12

Cách 2: Biểu thị y theo x rồi đưa về tam thức bậc hai đối với x. Thay y = x – 1 vào A

A = x2 + (1 – x)2 = 2(x2 – x) +1 = 2(x2 - 1
2 )2 +

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

minA = 12 khi và chỉ khi x = y = 12

Cách 3/ Sử dụng điều kiện đã cho để dưa về một biến mới

Đặt x = 12 + a thì y = 12 - a . Biểu thị x2 + y2 ta được :

x2 + y 2 = ( 1

2 + a)2 + (
1

2 - a)2 =
1

2 +2 a2
1

2 => MinA =
1

2 ⇔ a = 0 ⇔

x=y = 12

Bài tập 1 : Tìm Min A = a2ab b 2 3a 3b2014

Cách 1 Ta có: A= a2 2a 1 b2 2b 1 ab a b   1 2011



2 2

2 1 1 3 1

a 1 2 1 2011

2 4 4

b b b

a   

      





2 3 1

= a 1 + 2011

2 4

b

b 

 

  

 

 

 Min A = 2011 khi

a 1 0

1
2

1 0
b

a b
b




  



  


  


Cách 2:





















2 2 2 2 2 2

2 1 2

2A 2 3 3 2014 = a 2 1 2 1 a 2 2.2 4 4022

= a 1 1 2 4022

                 

      

a ab b a b a b b ab b a b

b a b

 Min 2A = 4022 khi

a 1 0

1 0 1

2 0

b a b

a b
 



    



   

 => Min A = 2011

BÀI TẬP TỰ LUYÊN TƯƠNG TỰ:

Bài 1 CMR : Min P = 0 Với P = a2ab b 2 3a 3b3

Bài 2 CMR: khơng có giá trị nào của x, y, z thỏa mãn ĐT: x24y2z2 2x8y 6z15 0
Hướng dẫn Ta có: VTx2 2x 1 4y28y 4 z2 6z 9 1= x-1



Hướng dẫn Ta có:













2 2 2

1) VT 4 4 4 4 1 8 16 1

= x+2 2 1 4 1 1

x x y y z z

y z

         

     













2 2 2

2) VT = x 2 1 4 12 3 9 12 4 1986
= 1 2 3 3 2 1986 1986

x y y z z

x y z

        

      

Bài 4: CMR: Min A=2 Với A = m2 4mp5p210m 22p28
Hướng dẫn Ta có:





















2 2 2

2 2

A = 4 4 2 1 10 20 27

= 2 2.5 2 25 1 2

= 2 5 1 2 2

m mp p p p m p

m p m p p

m p p

       

      

     

Bài 5: CMR: Max B = 4 Với Ba2 5b2 2a4ab10b 6
Hướng dẫn Ta có:

A = a - 2b  b1 4 )

b) B = x2y2 xy 3x 3y2029 ( Gợi ý B = x-y





2 





 



(*)

Ta có :

























2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

0
0

4 0

4 4 4 4 4 4 0

2 2 2 0

a b c d ab a b c
a b c d a b c d
a b c d ab ac ad

a b c d ab ac ad

a ab b a ac c a ad d a

a b a c a d a

     

       

       

          

       

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Bài 1: Tìm các số a, b, c, d, e thỏa mãn : 2a2 b2c2d2e2 a b c d e



  



Bài 2: Tìm các số a, b, c, thỏa mãn : a2b2 1 ab a b 

Bài 3: Tìm các số a, b, thỏa mãn : 4a24b24ab 4a4b 4 0

Bài 4: Tìm các số x, y, z thỏa mãn : x24y2z2 2x 8y6z14

Bài 5: Tìm các số m, p, thỏa mãn : m2 5p2 4mp10m22p25
IV Các chú ý khi giải bài toán cực trị :

1, Chú ý 1: Khi tìm bai tốn cực trị ta có thể đổi biến

Ví dụ : Tìm GTNN của ( x – 1)2 + ( x – 3)2

ta đặt x – 2 = y, biểu thức trở thành (y + 1)2 + (y – 1)2 =2y2 +2 2 ⇒ minA= 2 ⇒ y=0 ⇒

x=2

2 Chú ý 2, Khi tìm cực trị của biểu thức , nhiều khi ta thay điều kiện để biểu thức này đạt cực
trị bởi điều kiện tương đương là biểu thức khác đạt cực trị

chẳng hạn : -A lớn nhất ⇔ A nhỏ nhất

B lớn nhất ⇔ B nhỏ nhất với B > 0

Ví dụ : Tìm GTLN của

2 2

( 1)

x
A

x



 (Chú ý A> 0 nên A lớn nhất khi 
1

A nhỏ nhất và

ngược lại)

Ta có :

1
A =

2 2 4 2 2

4 4 4

( 1) 2 1 2

1 1 1

x x x x

x x x

  

  

   .Vậy

A 1

min

A = 1 khi x = 0 .Do đó maxA =1 khi x = 0

3,Chú ý 3 Khi tìm GTLN, GTNN của 1 biểu thức ,người ta thường sử dụng các BĐT đã biết
Bất đăng thức có tính chất sau

a ) a > b , c > d với a, b, c, d > 0 thì a.c > b. d
b) a > b và c > 0 thì a.c > b.c

c) a > b và c < 0 thì a.c < b.c
d) a > b và a, b, n > 0 thì an > bn

Bất đẳng thức Cơ si: a + b 2 ab ; a2 + b2 2ab ; (a + b)2 4ab ; 2( a2 + b2) ( a+

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Bất đẳng thức Bu- nha -cốp –xki : (a2 + b2) ( c2 + d2) (ac + bd)2
Ví dụ Cho x2 + y2 = 52 . Tìm GTLN của A = 2x + 3y

Giải :Áp dụng BĐT BCS ta có ( 2x + 3y )2 ( 22+32 ).52 ⇒ ( 2x + 3y )2 13.13.4
⇒

2x + 3y 26. Vậy maxA = 26 ⇔

2 3
2 3 0

x y
x y





 



Thay y =

3
2

x

vào x2 + y2 = 52 ta được 4x2 + 9x2 = 52.4 ⇒ x2 = 16 ⇒ x=4 hoặc x= -4

Với x = 4 thì y =6 thoả mãn 2x +3y 0 x = -4 ,y = -6 không thoả mãn 2x +3y 0
Vậy Max A = 26 ⇔ x =4 , y = 6

3/ Trong các bất đẳng thức cần chú ý đến các mệnh đề sau

- Nếu 2 số có tổng khơng đổi thì tích của chúng lớn nhất khi 2 số đó bằng nhau

- Nếu 2 số dương có tích khơng đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi 2 số đó bang nhau

Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN của tích xy, biết x,y N thoả mãn x + y = 2005

Giải : Ta có 4xy = (x + y)2 – (x – y)2 = 20052 - (x – y)2

xy lớn nhất ⇔ x – y nhỏ nhất ; xy nhó nhất ⇔ x – y lớn nhất
giả sử x > y ( không thể xảy ra x = y)

Do 1 y x 2004 nên 1 x-y 2003
Ta có min(x –y) = 1 khi x = 1003 ; y =1002
max(x –y) = 2003 khi x =2004 , y = 1

Do đó max(xy) = 1002.1003 khi x = 1003 , y = 1002
Min ( xy) = 2004 khi x = 2004 , y = 1

====================================================
MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ
1, Sai lầm khi sử dụng nhiều bất đẳng thức khac nhau

VD1: cho x, y là các số dương thỏa mãn x +y =1 . Tìm GTNN của biểu thức :

1 4
A =

x y

Giải sai: Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số khơng âm 
1 4

x y ta có:

1 4 4

x y  xy (1)

Lại có:

2 2

x y
xy


 

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Từ (1) và (2) suy ra :

1 4 4 4

A = 8

1
x

2
y xy

   

. Vậy Min A = 8

Phân tích sai lầm:

Đẳng thức sảy ra ở (1) khi

1 4
4
x y  xy

Đẳng thức sảy ra ở (2) khi x = y . Từ đó suy ra x = y = 0 ( Loại vì x + y = 1)
Có bạn đến đây KL khơng có giá trị nhỏ nhất cũng là KL sai.

Giải đúng: Vì x + y = 1 nên





1 4 4

A = x+y 5

x y

y y x

 

   

 

 

Áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho hai số khơng âm

4
,
x y

y x Ta có :

4 4

2 . 4

x y x y

y x  y x 

Dấu “=” xẩy ra khi

1
4

2 3

1 2

x y y x x

y x

x y

y
x y



  

  

 

 

  

 


    

 

Lưu ý: Nếu sử dụng nhiều BĐT khác nhau trong 1 bài tốn thì ta phải kiểm tra xem 
chúng có đồng thời sảy ra dấu bằng khơng. Có như vậy thì hướng giải của bài tốn mới 
đúng.

2, Sai lầm khi không sử dụng hết điều kiện của bài toán:

VD2:cho x, y là các số dương thỏa mãn x+y= 1. Tìm GTNN của BT :

2
2

1 1

A = x+

x y y

 

  

 

   

Giải sai: Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số không âm 
1
x,

x Ta có:

1 1

x+ 2 x. 2
x  x  (1)

Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số khơng âm

1
y,

y Ta có:

1 1

y+ 2 y. 2

y  y  (2)

Từ (1) và (2) =>A  8 => Min A = 8

Phân tích sai lầm: Đẳng thức sảy ra ở (1) khi

1
x  x x 

Đẳng thức sảy ra ở (2) khi

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Giải đúng: Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số dương ta có :

x + y 1 1

2  xy  xy  2 xy4

Ta có :

2
2

2 2 1 1

A = 4 + x +y +

x y

 
 

   

    . Khi đó: x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy  1 - 
1
2=

1
2 (1)

2 2 2 2

1 1 1 2

2 8

x y  x .y xy  (2). Từ (1) và (2) =>A  8 +

1
2+4 =

2 =>Min A = 
25

2 khi x=y =
1
2

Lưu ý: Khi giải bài tốn mà khơng sử dụng hết điều kiện của đầu bài thì cần kiểm tra lại 
giả thiết. Có như vậy thì hướng giải của bài tốn mới đúng.

Sai lầm trong chứng minh điều kiện 1 :

VD1: Tìm GTLN của bt: 2

1
A =

6 17
x  x

Lời giải sai: A đạt Max khi x2 6x17 đạt Min Ta có :





2 6 17 3 8 8

x  x  x  

Do đó Min



x2 6x17



 8 x3. Vậy Max A =

8  x3

Phân tích sai lầm: Kết quả đúng nhưng lập luận sai ở chỗ cho rằng “ A có tử khơng đổi nên

đạt GTLN khi mẫu đạt GTNN” mà chưa đua ra nhận xét tử và mẫu là các số dương

Lời giải đúng: Bổ xung thêm nhận xét x2  6x17



x 3



2 8 8nên tử và mẫu của A là dương

VD2:Tìm GTNN cuả BT: A = x2 + y2 biết x + y =4

Ta có : A = x2 + y2 2xy => A đạt GTNN

2 2 2

2
4

x y xy

x y
x y

  

    

 


Khi đó MinA = 8

Phân tích sai lầm: Đáp số ko sai nhưng lập luân sai lầm ở chỗ ta mới c/m được f(x,y) 

g(x,y) chứ chưa c/m được f(x,y) m với m là hắng số.

Chẳng hạn: Từ x2  4x – 4 => x2 đạt nhỏ nhất  x2 = 4x – 4  (x – 2 )2 = 0  x =2

Đi đến min x2 = 4  x = 2 Dễ thấy kết quả đúng phải là Min x2 = 0  x =0

Lời giải đúng: Ta có x + y =4 





x + y =16 (1)

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Lưu ý: Cần nắm vững t/c của BĐT cụ thể trong trường hợp so sánh hai phân số có tử 
và mẫu là số tự nhiên, số nguyên … Có như vậy thì hướng giải của bài tốn mới đúng.

4, Sai lầm trong chứng minh điều kiện 2
VD1: Tìm GTNN của bt: A = x + x

Lời giải sai : x + x =

 

2 1 1 1 1 1 1

x +2 x x

2 4 4 2 4 4

 

      

  . Vậy: Min A =

1
4


P/tích sai lầm: sau khi c/m f(x) 

1
4


chưa chỉ ra trường hợp xảy ra f(x)=

1
4





1
2
x 

(vơ lí )

 





 



4x z+y x+y+z 1

4y z+x x+y+z 1

4z x+y x+y+z 1

 

 



 





 



1
64xyx z+y y+z z+x 1 =>xyx z+y y+z z+x

 

. Vậy Max A =

1
64

Phân tích sai lầm: Sai lầm ở chỗ chưa chi ra khả năng xảy ra dấu “=”

ĐK để Max A =

1
64là :

z+y = x

y+x = z 0

x+z = y x + z + y = 1
x + z + y = 1 x, y, z 0
x, y, z 0

x y z


   




 



 

  







 ( vơ lí )

Lời giải đúng: Ta có : 1 = x +y+ z 3 x.y.z 3 (1)



 





 



2 = x +y + z+x + y+ z 3 x +y z+x y+ z

(2)

Từ (1) và (2) => 2 3 3 x y z. . . x +y z+x y+ z



 



hay:

3 2

2 3 A A
9
 

   

 

Max A =
3

2
9

 
 
  khi



x +y = z+x = y+ z

 



1
1

3
, , 0

x y z x y z

x y z



      



 



VD3: Tìm giá trị nhỏ nhất của :

(x a)(x b)
A

 



</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Lời giải sai: Ta có:



 



2 ax

2 ax.2 bx 4 ab
2 bx

x a

x a x b x

x b
  


    



 




Do đó:

(x a)(x b) 4x ab

A 4 ab

x x

 

  

vậy Min A = 4 ab  x a b 

Phân tích sai lầm: Nếu a b thì khơng có: A = 4 ab

Lời giải đúng : Ta có

(x a)(x b) x ax+ bx+ab ab

A x (a b)

x x x

    

     

  .

Theo bất đẳng thức Cauchy :

x 2 ab

 

nên A ≥ 2 ab + a + b =





a b

min A =





a b

khi và chi khi

x x ab

x
x 0





 


 

 .

VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CƠSI ĐỂ TÌM CỰC TRỊ

VD1: Cho x > 0, y > 0 thỏa mẫn đk

1 1 1
2

x y  Tìm GTNN của bt: A = x y

Do x > 0, y > 0 nên

1 1

0, 0
y

x   áp dụng bất đẳng thức cơsi cho 2 số

1 1
,
x y

ta có:

1 1 1 1 1
.
2 x y x y

 

 

 

  Hay

1 1

4  xy => xy 4

Mặt khác ta có: x > 0, y > 0 => x 0, y 0. áp dụng bất đẳng thức cơsi ta có:

2 2 4 4

x y xy  

Vậy: Min A = 4 khi :

4
1 1 1

2
x y

x y
x y





  


 




VD2 : Tìm GTNN của của biểu thức : A x2 x 1  x2 x 1

Ta có:

2 1 3 3

x x 1 x x R

2 4 4

 

        

 

2 1 3 3

x x 1 x x R

2 4 4

 

        

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Áp dụng BĐT Cô- si cho 2 số x2 x 1, x 2 x 1 ta có :

2 2 2 2 4 4 2

x  x 1  x   x 1 2 x  x 1. x   x 1 2 x x  1 2

 Max A = 2 khi

4 2

2 2

x x 1 1

x 0

x x 1 x x 1

   



 



    




VD3 Tìm giá trị nhỏ nhất của :

x y z

y z x

  

với x, y, z > 0.

Cách 1 : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương:

x y z x y z

A 3 . . 3

y z x y z x

    

Do đó

x y z x y z

min 3 x y z

y z x y z x

 

        

 

 

Cách 2 : Ta có :

x y z x y y z y

y z x y x z x x

   

       

 

  . Ta đã có

x y

yx  (do x, y > 0) nên để

chứng minh

x y z

y z x  ta chỉ cần chứng minh :

y z y

z x x  (1)

(1)  xy + z2 – yz ≥ xz (nhân hai vế với số dương xz)

 xy + z2 – yz – xz ≥ 0  y(x – z) – z(x – z) ≥ 0  (x – z)(y – z) ≥ 0 (2)

(2) đúng với giả thiết rằng z là số nhỏ nhất trong 3 số x, y, z, do đó (1) đúng. Từ đó tìm được

giá trị nhỏ nhất của

x y z

y z  x.

VD 4: Tìm giá trị lớn nhất của : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ 0 ; x + y + z = 1.

Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số khơng âm x, y, z ta có: 1 = x + y + z ≥ 3.3 xyz (1)

Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số không âm x+y, y +z, z + x ta có :

2 = (x + y) + (y + z) + (z + x) ≥ 3.3(x y)(y z)(z x)   (2)

Nhân từng vế của (1) với (2) (do hai vế đều không âm) : 2 ≥ 9.3 A  A ≤

2
9

 

 

 

max A =

2
9

 

 

  khi và chỉ khi x = y = z =

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

VD 5: Tìm GTNN của

xy yz zx

z x y

  

với x, y, z > 0 , x + y + z = 1.

Giải: Theo bất đẳng thức Cauchy :

xy yz xy yz

2 . 2y

z  x  z x  .

Tương tự :

yz zx zx xy

2z ; 2x

x  y  y  z  . Suy ra 2A ≥ 2(x + y + z) = 2.

min A = 1 với x = y = z =

1
3.

VD 6: Tìm GTNN của 2 2

1 2

A 4xy

x y xy

  

 với : x > 0, y > 0, x + y < 1

Ta có:













2 1 1 1 1 1 4

2 .2 4

1 1 1

2
x y

xy x y xy

x y xy

x y xy x y x y

x y xy




   



 



       

  



 

  




Ta có: 2 2 2 2

1 2 1 1 1 5

A 4xy 4xy

x y xy x y 2xy 4xy 4xy

   

       

     

















2 2 2 2

2 2

4 1 5 4 5 11

A 2 4xy. 2 11

x 2xy y 4xy x y x y x y x y

       

     

VD 7: : Cho

1
2
x 

, Tìm GTLN của A = 2x25x2 + 2 x+3 - 2x

Giải : Ta có : A = 2x25x2 + 2 x+3 - 2x = 2x 1





 

x2 + 2 x+3 - 2x



Với

1
2
x 

ta có:

x 3 4

4 3 2 3

2 x x

 

   

Hay :
x 7

2 3

2 x



 

. Dấu “ = ” xảy ra khi x 3 4   x=1

Do đó:

x 7
A

2


  3x 3



- 2x = 5. Dấu “ = ” xảy ra khi x=1

VD 8: : Cho x, y, z > 0 và x + y + z =1 Tìm GTNN của:

1 4 9
S =

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Ta có: S =





1 4 9
x + y + z

x y z

 

 

 

 =

4 4 9 9

1+4+9+ y x z y x z

x y y z z x

     

    

     

 

   

áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số dương
4
,
y x

x y ta có :

4 4

2 . 4

y x y x

x y  x y 

Tương tự ta có :

4 9 4 9

2 . 12

z y z y

y  z  y z  ;

9 9

2 . 6

x z x z

z x z x 

 S  1 + 4 + 9 + 4 + 12 + 6 =36

Dấu “=” sảy ra khi :

2 2
2 2
2 2
4
1
4 3
2
4 9

4 9 1

3
6
9 1
9 1
1
2
1
y x

x y y x y

y x
z y

z y

z x x

y z

x z x y z

x z

x y z z

z x
x y z

 



  



 

 
   
    
   

      

      


 

   


Vậy Min S = 36 khi

1 1 1

, ,

3 6 2

y x z

Không phải lúc nào ta cũng dùng trực tiếp được bất đẳng thức Côsi đối với các số trong đề
bài. Dưới đây ta sẽ nghiên cứu một số biện pháp biến đổi một biểu thức để có thê vân dụng
BĐT Cơ-si rồi tìm cực trị của nó:

Biện pháp 1: Để tìm cực trị của một biểu thức ta tìm cực trị của bình phương biểu thức đó

VD1 : Tìm giá trị lớn nhất của A 3x 5 7 3 x, ĐKXĐ :

3 5 0 5 7

7 3 0 3 3

x
x
x
 

  

 


ĐKXĐ :



 





 



2 4 0

-x 2 8 0 2 4

1 2

1 2 0

-x 2 0

x x
x x
x
x
x x
x
   
      
 
     
  
  
  
  
  
 

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Từ (*) =>









2 2 2 2 2

A = -x 2x 8 -x  x 2  2 -x 2x8. -x  x 2



 





 



2 2

= 4 x  2 2 x x2 . x1 4 x  x1 4 x 2



 



2
2

4 x x 1 4 x 2 2

      

A = 2  4 x2 



x1 4

 

 x



 x0

BÀI TẬP TỰ LUYỆN ( BT nâng cao và một số chuyên đề Bùi văn Tuyên )

Bài 1 Tìm GTNN, GTLN của hàm số : y 1 x 1x

Bài 2: Tìm GTLN của hàm số : y x 2 4 x

Bài 3: Tìm GTLN của hàm số : A x 5 23 x

Bài 4: Tìm GTLN của hàm số : A 2x 3 23 2 x

Bài 5: Tìm GTLN của hàm số : A 5x 7 17 5 x

Bài 6: Tìm GTLN của hàm số : A 3x 2 20 3 x

Bài 7:Tìm GTLN của : A x 1  y 2 biết x + y = 4

Bài 8 Tìm GTNN của : A = -x24x21 -x23x10

Bài 9( 76/29) Tìm GTNN của :

x y z

A =

y  z  x với x, y, z dương và x + y + z  12

Bài 10: ( 65/ 28) Tìm GTLN, GTNN của : A x 4  y 3 biết x + y = 15

Biện pháp 2: nhân và chia một biểu thức với cùng một số khác khơng.

VD Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

x - 9
A =

Giải: ĐKXĐ: x 9 Ta có:

x - 9
A =

5x =

1 x - 9

x - 9 3

.3 1

2 3

3 6

5x 5 5 30

x

x x

 



 

 

  

Dấu “=” xảy ra khi

x - 9

18
3

x
x






 

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

7x - 5
A =

7x-9

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

x - 9
B =

27x

Biện pháp 3: Biến đổi biểu thức dã cho thành tổng của các biểu thức sao cho tích của 
chúng là một hằng số:

1) Tách 1 hạng tử thành tổng nhiều hạng tử bằng nhau

VD1: cho x > 0 Tìm GTNN của biểu thức:

3x 16
A =

x


Giải : Ta có

3 3 3

3x 16 16 16

A = 3x x x x

x x x



     

Áp dụng BĐT Cô-si Ta có :

3 3

16 16

A = x+x+x+ 4 . . . 4.2 8
x  x x x x  

Vậy Min A = 8 3

x x

x

   

VD2: Tìm Max và Min A = x y( 4 - x - y ) 2 với x y , 0 và x + y 6

Xét 0 x y4 Ta có :

+y+ 4 - x - y

x 2 2

A = 4. . .y( 4 - x - y ) 4. 4

2 2 4

x

x   

 

   

 

   

 

Dấu “=” xẩy ra khi
x

= y = 4 - x - y y = 1 ; x =2

2 

Xét 4 x y6

Rễ thấy: 4 – x - y2 ( 1) Dấu ‘=’ xảy ra khi x + y = 6

=> A = x y( 4 - x - y ) 2 đạt GTNN khi x2y đạtGTLN

Ta có :





2 x+y
x+x+2y

x.x.2y 3

x y =

2 2 2

 

 

   

 

=32 hay x2y  32 (2)

Từ (1) và (2) => x y( 4 - x - y ) 2 -64 Dấu ‘=’ xảy ra khi

6 4

2 2

x y x

x y y

  

 



 

 

 

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Giải : Xét 0 ≤ x ≤ 3. Viết A dưới dạng : A = 4.

x
2 .

2 .(3 – x). Áp dụng bất đẳng thức

Cauchy cho 3 số không âm

x
2 ,

2 , (3 – x) ta được :

x
2.

2.(3 – x) ≤

x x 3 x

2 2 1

 

  

 



 

  .

Do đó A ≤ 4 (1)

BÀI TẬP TỰ LUYỆN ( BT nâng cao và một số chuyên đề Bùi văn Tuyên )

Bài 1( 71/28) Cho x > 0 , y > 0 và x + y  6 Tìm GTNN của

12 16
P 5x 3y

x y

   

Bài 2( 70/28) Cho x > 0 , Tìm GTNN của

3 2000

N x
x



Bài 3( 68/ 28) Cho x , Tìm GTNN của

2 2 17

2( 1)

x x

x
 




Bài 4( 69/ 28) Tìm GTNN của

6 34
M

x x

x

 





Bài 5( 72/ 29) Cho x > y và x.y =5 , Tìm GTNN của

2 1, 2 2

Q x xy y

x y

 





Bài 6( 79/ 29) Cho x ,y thỏa mãn biểu thức: x + y =1 và x > 0 , Tìm GTLN của B x y 2 3

2) Tách 1 hạng tử chứa biến thành tổng của một hằng số với 1 hạng tử chứa biến sao

cho hạng tử này là nghịch đảo của 1 hạng tử khác có trong biểu thức đã cho.

VD1: Cho 0 < x < 2 , Tìm GTNN của

9 2

B
2

x
x x

 



Ta có :

9 2 9 2

B 1 1 2 . 7

2 2

x x x x

 

     

 

 Min B= 7 

9 2 1

2 2

x x

x

x x



  



BÀI TẬP TỰ LUYỆN ( BT nâng cao và một số chuyên đề Bùi văn Tuyến )

Bài 1( 74/ 29) Cho 0 < x <1, Tìm GTLN của

3 4
B

1 x x

 



Bài 2( 73/ 29) Cho x >1, Tìm GTLN của

25
A 4

1
x

x
 

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Bài 3: Cho x > 0, Tìm GTNN của biểu thức:

2x 6 5
A =

2x
x
 

Bài 4: Tìm GTNN của biểu thức:

x - 4
B =

Bài 5: Tìm GTNN của biểu thức:

x 3 4
A =

x
x
 

(Bồi dưỡng HSG toán đại số 9 TRẦN THỊ VÂN ANH)

Bài 6: Tìm GTNN của biểu thức:

1 3
A =

x+1 2
x


( với x > -1 )

Bài 7: Tìm GTNN của biểu thức:

2
B =

x-1 2
x


( với x > 1 )

Bài 8: Tìm GTNN của biểu thức:

5
C =

2x-1 3
x


( với x >
1
2 )

Bài 9: Tìm GTNN của biểu thức:

5
D =

1 - x
x

x


( với 0 < x < 1 )

Biện pháp 4: Thêm 1 hạng tử vào biểu thức đã cho:

VD1 : Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 2 Tìm GTNN của biểu thức:

2 2 2

P x y z

y z z x y x

  

  

Ta có :

x

y z + 4
y z

2

. 2.

4 2

x y z x

x
y z

 


2
y

x z + 4

x z

 2

. 2.

4 2

y x z y

y
x z

 


2
z

y x + 4
y x

2

. 2.

4 2

z y x z

z
y x

 

=>

2 2 2

4 4 4

x y z y z x z y x

x y z
y z z x y x

    
       
 
  
 
Hay:

2 2 2

x y z x y z

x y z
y z z x y x

   
     
 
  
 
=>

2 2 2

P 1

2 2

x y z x y z x y z

x y z
y z z x y x

   

        

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Vậy Min P = 1 

4 3

x y z

y z

y x z

x y z
x z

z y x

y x

 








 



    





 








Lưu ý: Nếu ta lần lượt thêm ( x + y), ( z + y), ( x + z) vào

2 2 2

z x y

, ,

y+x y+z z+x ta vẫn khử được

(x + y), ( z + y), ( x + z) nhưng khơng tìm được x, y, z để dấu dấu đẳng thức xảy ra đồng thời.
Khi đó khơng tìm được giá trị nhỏ nhất.

VD2 : Tìm GTNN của A = x + y biết x, y > 0 thỏa mãn

a b

x y  (a và b là hằng số dương).

Giải . Cách 1 : A = x + y = 1.(x + y) =





a b ay bx

x y a b

x y x y

 

     

 

  .

Theo bất đẳng thức Cauchy với 2 số dương :

ay bx ay bx

2 . 2 ab

x  y  x y  .

Do đó





A a b 2 ab    a  b





min A a b

với

ay bx

x y

x a ab

a b

x y y b ab

x, y 0






  

 

  

 

 


 

 




Cách 2 : Dùng bất đẳng thức Bunhiacôpxki :





a b a b

A (x y).1 (x y) x. y. a b

x y x y

 

          

    .

Từ đó tìm được giá trị nhỏ nhất của A.

VD3 Tìm GTNN của

2 2 2

x y z

x y y z z x

  

   biết x, y, z > 0 , xy  yz zx 1 .

Giải Theo VD1 BIỆN PHÁP 4:

2 2 2

x y z x y z

x y y z z x 2

 

  

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

x y y z z x

xy ; yz ; zx nên x y z xy yz zx

2 2 2

  

       

xy yz zx

x+y+z 1

hay

2 2 2

 

 

min A =

1
2

1
x y z

   

VẬN DỤNG BDT A  B A+B ĐỂ TÌM CỰC TRỊ

Bài 1: Tìm GTNN của hàm số : y x22x 1 x2 2x1

Cách 1: y x22x 1 x2 2x   1 x 1 x 1

Nếu: x < -1 thì y  x 1 x1 x 1 x 1 2x2

Nếu: -1 x 1  thì y  x 1 x1  x 1 x 1 2

Nếu: x > 1 thì y  x 1 x1   x 1 x 1 2 x2

Vậy y nhỏ nhất bằng 2 khi -1 x 1 

Cách 2 : áp dụng BĐT a b  a b ( Dấu “=” sảy ra khi a.b 0)

Ta có : y   x 1 1 x    x 1 1 x 2

Vậy y nhỏ nhất bằng 2 khi -1 x 1 

Bài 2: Cho x, y > 0 và 2x + xy = 4 . Tìm GTLN của A = x2y

Cách 1: Từ 2x + xy = 4 => xy = 4 -2x Thế vào A ta có :

A = x(4 -2x ) = 2 –





 

2 2

2 2 2. 2 2

x x

   

 

  =





2 x 2 2

=> Max A = 2 khi

1
2 2 0

2 4

x
x

y
x xy

    





 


 

 



Cách 2: Ta có : A =

1
.2 .

2 x xy. Vì x, y > 0 => 2x, xy > 0. áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số

2x, xy ta có:





2 2

2 . 2 .

2 2 4.2

x xy

x xy x xy

x xy x xy  x y

   

      

  Thay số ta có : 2 x y 2 =A

Vậy Max A =2 khi

2 1

2 4 2

x xy x

x xy y

 

 



 

  

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

BÀI TẬP TỰ LUYÊN TƯƠNG TỰ:

Bài 1: Tìm GTNN của HS: a, y 4x2  4x 1 4x212x9 b, y x24x 4 x2 6x9

Bài 2: Tìm GTNN của HS: a, y 4x220x25 x2 8x16 b,y 25x2 20x 4 25x2 30x9

</div>