Tải Công thức tính độ dài đường trung tuyến - Cách tính độ dài đường trung tuyến trong tam giác

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (230.06 KB, 10 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Cơng thức tính độ dài đường trung tuyến

I. Kiến thức trọng tâm

1. Định nghĩa đường trung tuyến

- Đường trung tuyến của một đoạn thẳng là một đường thẳng đi qua trung điểm
của đoạn thẳng đó.

2. Định nghĩa đường trung tuyến của tam giác

- Đường trung tuyến của một tam giác là đoạn thẳng nối từ đỉnh của tam giác tới
trung điểm của cạnh đối diện trong hình học phẳng. Mỗi tam giác có 3 đường
trung tuyến.

- Hình ảnh minh họa đường trung tuyến tam giác

Theo như hình vẽ trên thì các đoạn thẳng AI, CN, BM sẽ là 3 trung tuyến của tam
giác ABC.

3. Tính chất của đường trung tuyến trong tam giác

- Ba đường trung tuyến của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó cách đỉnh
một khoảng bằng 23 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.

- Giao điểm của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm.

- Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, ABC có các trung tuyến AI, BM, CN thì ta
sẽ có biểu thức:

2
3

AG BG CG

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

4. Định nghĩa đường trung tuyến trong tam giác vuông

- Tam giác vuông là một trường hợp đặc biệt của tam giác, trong đó, tam giác sẽ
có một góc có độ lớn là 90 độ, và hai cạnh tạo nên góc này vng góc với nhau.
- Do đó, đường trung tuyến của tam giác vng sẽ có đầy đủ những tính chất
của một đường trung tuyến tam giác.

Định lý: Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền
bằng nửa cạnh huyền.

Định lý: Một tam giác có trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì
tam giác ấy là tam giác vng.

Ví dụ:

Tam giác ABC vuông ở A, độ dài đường trung tuyến AM sẽ bằng MB, MC và

bằng
1
2 BC

Ngược lại nếu

1
2
AM  BC

thì tam giác ABC sẽ vng ở A.
II. Bài tập ôn tập về đường trung tuyến

Bài 1: Cho tam giác ABC cân ở A có AB = AC = 17cm, BC= 16cm. Kẻ trung tuyến
AM.

a) Chứng minh: AM ⊥ BC;
b) Tính đợ dài AM.

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

a. Ta có AM là đường trung tuyến tam giác ABC nên MB = MC
Mặt khác tam giác ABC là tam giác cân tại A

Suy ra AM vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao
Vậy AM vng góc với BC

b. Ta có

BC = 16cm nên BM = MC = 8cm
AB = AC = 17cm

Xét tam giác AMC vuông tại M
Áp dụng định lý Pitago ta có:

2 2 2 172 2 82 2 172 82 225 15

AC AM MC  AM   AM     AM cm

Bài 2: Cho G là trọng tâm của tam giác đều ABC. Chứng minh rằng GA = GB =
GC.

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Gọi AD, CE, BF là các đường trung tuyến tam giác ABC hay D, E, F lần lượt là
trung điểm cạnh BC, AB, AC

Ta có AD là đường trung tuyến tam giác ABC nên

2
3

AG AD

(1)

CE là đường trung tuyến tam giác ABC nên

2
3

CG CE

(2)

BF là đường trung tuyến tam giác ABC nên

2
3

BG BF

(3)
Ta có tam giác BAC đều nên dễ dàng suy ra AD = BF = CE (4)

Từ 1, 2, 3, 4 suy ra AG = BG = CG

Bài 3: Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB.

Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho

1
3
AE  AC

. Tia BE cắt CD ở M. Chứng minh:
a) M là trung điểm của CD

1
2
AM  BC

Hướng dẫn giải

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

1 2

3 3

AE  AC CE AC

Suy ra E là trọng tâm tam giác BCD
M là giao của BE và CD

Vậy BM là trung tuyến tam giác BCD
Vậy M là trung điểm của CD

b. A là trung điểm của BD
M là trung điểm của DC

Suy ra AM là đường trung bình của tam giác BDC

Suy ra

1
2
AM  BC

Bài 4: Cho tam giác ABC, trung tuyến BM. Trên tia BM lấy hai điểm G và K sao
cho BG = BM và G là trung điểm của BK. Gọi N là trung điểm của KC, GN cắt
CM ở O. Chứng minh:

a) O là trọng tâm của tam giác GKC;

1
3
GO  BC

Học sinh tự giải

Bài 5: Cho tam giác ABC vng ở A, có AB = 18cm, AC = 24cm. Tính tổng các
khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác đến các đỉnh của tam giác.

Hướng dẫn giải

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Dễ dàng suy ra AE = EB = 9cm, AF = FC = 12cm

Ta có tam giác ABC vng tại A, áp dụng định lý Pitago ta có

2 2 2 2 182 242 900 30

BC AB AC  BC     BC cm

Ta có ABC vng mà D là trung điểm cạnh huyền nên AD = BD = DC = 15cm

Suy ra

10
3

AG AD cm

Xét tam giác AEC vuông tại A, áp dụng định lý Pitago ta có:

2 2 2 2 92 242 657 3 73 2 2 73

EC AE AC  EC     EC cm CG EC cm

Tương tự ta xét tam giác AFB vuông tại A, áp dụng định lý Pitago ta có:

2 2 2 2 182 122 468 6 13 2 4 13

BF AB AF  BF     BF cm BG BF cm

Tổng các khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác đến các đỉnh của tam giác là:
10 4 13 2 73

AG BG CG     cm

Bài 6: Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Biết

1
2
AM  BC

. Chứng minh rằng
tam giác ABC vuông ở A.

Học sinh tự giải

Bài 7: Cho tam giác ABC. Các đường trung tuyến BD và CE. Chứng minh

3
2

BD BC

Hướng dẫn giải

Học sinh tự vẽ hình.
Xét tam giác BGC có:

2 2
3 3

3
2

BG CG BC

BD CE BC

BD CE BC

 

  

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Bài 8: Cho tam giác ABC cân tại A, hai đường trung tuyến BD và CE cắt nhau tại
G. Kéo dài AG cắt BC tại H.

a. So sánh tam giác AHB và tam giác AHC

b. Gọi I và K lần lượt là trung điểm của GA và GC. Chứng minh rằng AK, BD, CI
đồng quy

Hướng dẫn giải

a. Ta có BD là đường trung tuyến của tam giác ABC
CE là đường trung tuyến của tam giác ABC

Vậy G là trọng tâm tam giác ABC

Mà AH đi qua G nên AH là đường trung tuyến của tam giác ABC
 HB = HC

Xét hai tam giác AHB và tam giác AHC có:
AB = AC (tam giác ABC cân tại A)

AH chung
HB = HC

( . . )

AHB AHC c c c

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

b. Ta có IA = IG nên CI là đường trung tuyến của tam giác AGC (1)
Ta lại có KG = KC nên AK là đường trung tuyến của tam giác AGC (2)
DG là đường trung tuyến của tam giác AGC (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra 3 đường trung tuyến CI, AK, DG đồng quy tại I

Bài 9: Cho tam giác ABC có AB = AC, gọi K là giao điểm của hai đường trung
tuyến BM và CN. Chứng minh rằng:

a. Tam giác BNC và tam giác CMB bằng nhau

b. KB = KC

c. BC < 4KM

Hướng dẫn giải

a. Ta có: AB = AC (gt)

BM là đường trung tuyến của tam giác ABC

1
2

BN AB

 

CN là đường trung tuyến của tam giác ABC