Về triển vọng của phương pháp tuyến tính hoá chính xác để điều khiển động cơ không đồng bộ rotor lồng sóc

Bộ giáo dục và đào tạo
Trường đại học bách khoa hà nội
khoa sau đại học
*******************

luận văn thạc sỹ
chuyên ngành Tự động hóa

Đề tài:
về triển vọng của phương pháp tuyến tính hoá
chính xác để điều khiển ĐCKĐB rotor lồng sóc

gvhd
hvth
lớp

:
:
:

Tskh. nguyễn phùng quang
dương hoài nam
cao học tđh k2002-2004

Hà Nội - 2004


Mục lục

Mục lục
Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt .......................................... .i

Lời nói đầu ................................................................................................. 1
Chương I: Tổng quan về phương pháp tuyến tính hóa
chính xác ........................................................................................... 3

1.1. phi tun .............................................................................................. 3
1.2. Mơc ®Ých tun tÝnh hãa hƯ phi tuyến. ................................................. 4
1.3. Tuyến tính hóa đối tượng phi tuyến. ..................................................... 4
1.4. Tun tÝnh hãa chÝnh x¸c hƯ phi tun SISO. ....................................... 6
1.4.1. Bậc tương đối ................................................................................ .6
1.4.2.Tuyến tính hóa chính xác quan hệ vào-ra hệ phi tuyến SISO. ......... 8
1.5.Tun tÝnh hãa chÝnh x¸c hƯ phi tun MIMO ...................................... 11
1.5. 1. Vector bậc tương đối tối thiểu ...................................................... 11
1.5.2.Tuyến tính hóa chính xác quan hệ vào-ra hệ phi tuyến MIMO. ...... 14
1.6. VÝ dô minh häa .................................................................................... 18
1.6.1.TuyÕn tÝnh hóa chính xác quan hệ vào-ra hệ phi tuyến SISO .......... 18
1.6.2.Tuyến tính hóa chính xác quan hệ vào-ra hệ phi tuyÕn MIMO. ...... 19
Ch­¬ng II : TuyÕn tÝnh hãa chính xác mô hình dòng ĐCDB. .......... 23

2.1. Đặt vấn đề ............................................................................................ 23
2.2. Biểu diễn các đại lượng ba pha ĐCDB dưới dạng vector ....................... 23
2.3. Mô hình trạng thái liên tục ĐCDB trên hệ d-q. ..................................... 28
2.4. Đặc điểm phi tuyến của mô hình dòng. ............................................... 33
2.5. Khả năng tuyến tính hóa chính xác mô hình dòng ĐCDB .................... 34
2.6. Kiểm tra điều kiện tuyến tính hóa chính xác ........................................ 36
2.7. Thùc hiƯn tun tÝnh hãa chÝnh x¸c. ..................................................... 38
Dương Hoài Nam

iii

Mục lục
ChươngIII : Đề xuất cấu trúc điều khiển ........................................... 42

3.1. Đề xuất cấu trúc điều khiển. ................................................................. 42
3.2. Thiết kế các bộ điều chỉnh.................................................................... 44
3.2.1. Thiết kế bộ điều chỉnh dòng isd. ................................................... 44
3.2.2.Thiết kế bộ điều chỉnh dòng isq. .................................................... 45
3.2.3. Thiết kế bộ điều chỉnh từ thông..................................................... 46
3.2.4. Thiết kế bộ điều chỉnh tốc độ. ....................................................... 47

Chương IV: Thực hiện mô phỏng. .......................................................... 50

4.1. Thông số động cơ dùng trong mô phỏng. ............................................. 51
4.2. Mô phỏng quan hệ phi tuyến của mô hình dòng. .................................. 51
4.3. Mô phỏng quan hệ tuyến tính và tách kênh. ......................................... 56
4.3.1. KiĨm tra tÝnh tun tÝnh khi ®· tun tÝnh hãa chính xác
mô hình dòng. .............................................................................. 56
4.3.2. Kiểm tra tính tách kênh khi đà tuyến tính hóa chính xác
mô hình dòng. .............................................................................. 60
4.4. Mô phỏng các đáp ứng khi đà thiết kế bộ điều khiển ............................ 67
4.4.1. Các đáp ứng khi động cơ hoạt động ở từ thông danh định, tốc độ
đặt =100rad/s và sau 5[s] đóng tải. ............................................. 68
4.4.2. Các đáp ứng khi động cơ hoạt động ở từ thông danh định, tốc độ
đặt =300rad/s và sau 5[s] đóng tải .............................................. 71

Chương V: Kết luận ................................................................................. 75
Tài liệu tham khảo .................................................................................. 76

Dương Hoài Nam

iv


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan những kết quả thu được từ bản
luận văn này được thực hiện do tự chính bản thân dưới sự
hướng dẫn của TSKH. Nguyễn Phùng Quang thuộc bộ
môn Điều khiển tự động - Trường đại học Bách Khoa Hà
Nội cùng với các tài liệu đà được trích dẫn trong phần tài
liệu tham khảo ở phần cuối bản luận văn.


Lời nói đầu

Lời nói đầu
Trong quá trình sản xuất hệ truyền động luôn đóng một phần quan trọng, là
động lực chính thúc đẩy năng suất, chất lượng của thành phẩm. Hiện nay trong
các hệ truyền động của dây chuyền công nghệ hiện đại, ĐCDB đang được ứng
dụng rất rộng rÃi bởi nó phát huy nhiều ưu điểm: Cấu tạo đơn giản, dễ chế tạo,
giá thành rẻ, vận hành tin cậy và an toàn điều này có ý nghĩa đặc biệt trong các
hệ truyền động công suất lớn.Với sự phát triển của lý thuyết điều khiển và các
nghành liên quan làm cho ĐCDB đang dần chiếm ưu thế trong các hệ truyền
động.
Từ trước tới nay có rất nhiều công trình nghiên cứu khác nhau về điều khiển
ĐCDB. Phương pháp phổ biến để điều khiển ĐCDB là sử dụng biến tần hoạt
động trên nguyên tắc điều chế vector không gian.
Việc thực hiện điều khiển ĐCDB là một vấn đề phức tạp bởi vì ĐCDB là một
đối tượng phi tuyến. Xây dựng bộ ®iỊu chØnh cho ®èi t­ỵng phi tun th­êng ®Ị
cËp ®Õn phương pháp tuyến tính hóa tại lân cận điểm làm việc của mô hình đối
tượng hay tuyến tính hóa gần đúng trong một chu kỳ trích mẫu cho mô hình gián

đoạn, các phương pháp này chỉ đáp ứng được ở một số điểm trạng thái hữu hạn.
Với tinh thần thực hiện tuyến tính hóa đối tượng phi tuyến trên toàn bộ không
gian trạng thái, phương pháp tuyến tính hóa chính xác được đề cập, cho phép
chúng ta thực hiện chuyển tọa độ cho mô hình trạng thái đối tượng phi tuyến, cụ
thể trong bản luận văn này là mô hình dòng của ĐCDB, trở thành một đối tượng
tuyến tính trong toàn bộ không gian trạng thái mới.
Theo tinh thần của phương pháp tuyến tính hóa chính xác, đề tài luận văn về
điều khiển ĐCDB: Về triển vọng của phương pháp tuyến tính hoá chính
xác trong điều khiển ĐCDB, nuôi bằng nghịch lưu nguồn áp nhằm mục
đích mong muốn tìm được một phương pháp mới để điều khiển ĐCDB.
Luận văn bao gồm các phần chính như sau:

Chương I. Tổng quan về phương pháp tuyến tính hóa chính xác.
Trong chương này, đề cËp vỊ kh¸i niƯm tun tÝnh hãa chÝnh x¸c, kh¸i niệm
bậc tương đối tối thiểu của đối tượng phi tuyến một đầu vào-một đầu ra SISO,
khái niệm vector bậc tương đối tối thiểu của đối tượng phi tuyến nhiều đầu vàonhiều đầu ra MIMO. Qua đó thực hiện việc tuyến tính hóa chính xác quan hệ
vào-ra cho đối tượng phi tuyến SISO và đối tượng phi tuyến MIMO. Đưa ra các
nhận xét những thuận lợi, ưu điểm sau khi tuyến tính hóa chính xác.
Dương Hoài Nam

1


Lời nói đầu

Chương II. Tuyến tính hóa chính xác mô hình dòng ĐCDB.
Trong chương này, đề cập các vấn đề sau:
Đặt vấn đề cho phương hướng triển khai để đề tài gần với mức thực tế
hơn.
Xây dựng mô hình trạng thái của động cơ không đồng bộ rotor lồng sóc

trên hệ tọa độ d-q. Nhận xét sự phi tuyến của mô hình dòng.
Kiểm tra khả năng tồn tại phép tuyến tính hóa chính xác cho mô hình
dòng, từ đó thực hiện tuyến tính hóa chính xác mô hình dòng.
Đưa ra sơ đồ cấu trúc bộ điều khiển phản hồi trạng thái và cấu trúc mô
hình hệ tuyến tính khi kết hợp bộ điều khiển phản hồi trạng thái với mô
hình dòng.

Chương III. Đề xuất cấu trúc điều khiển ĐCDB khi đà tuyến tính
hóa chính xác mô hình dòng.
Đề xuất cấu trúc điều khiển ĐCDB sau khi đà tuyến tính hóa chính xác
mô hình dòng.
Xây dựng các bộ điều chỉnh vòng trong (bộ điều chỉnh dòng điện) và các
bộ điều chỉnh vòng ngoài (bộ điều chỉnh từ thông, bộ điều chỉnh tốc độ)
dựa trên các phương pháp tổng hợp đối với đối tượng phi tuyến.

Chương IV. Kết quả mô phỏng.
Sử dụng công cụ Matlab\Simulink để m« pháng.
 M« pháng quan hƯ phi tun cđa m« hình dòng ĐCDB.
Mô phỏng quan hệ tuyến tính và tách kênh của mô hình tuyến tính hóa
chính xác mô hình dòng.
Mô phỏng các đáp ứng (dòng, từ thông, tèc ®é) khi ®· thiÕt kÕ bé ®iỊu
khiĨn cho cÊu trúc được đề xuất trong chương III.
Đánh giá kết quả mô phỏng.

Chương V. Kết luận.
Các kết quả thu được của luận văn và các kiến nghị để hoàn thiện đề tài.
Sau đây là nội dung chi tiết của bản luận văn.

Dương Hoài Nam

2


Tổng quan về phương pháp tuyến tính hóa chính xác
Chương I:

Tổng quan về phương pháp tuyến tính hoá
chính xác
1.1. Hệ phi tuyến.
Phần lớn các đối tượng điều khiển trong tự nhiên mang tính phi tuyến. Ví dụ
như rơ-le, những hệ sinh häc, hƯ thủ khÝ, hƯ vËt lý cã cÊu trúc hỗn hợp, hay các
hệ thống nhiệt động học...Đặc điểm chính của một hệ phi tuyến là không thỏa
mÃn nguyên lý xếp chồng.

u(t)

Hệ phi tuyến

y( t )

Hình 1.1. Mô tả hệ phi tuyến.
Có nhiều dạng mô hình toán học cho đối tượng, song một trong những mô
hình hiện được dùng và mang lại nhiều thành công trong ĐKPT là mô hình trạng
thái. Từ mô hình trạng thái ta có thể xây dựng bộ điều khiển phản hồi trạng thái
cho đối tượng phi tuyến (bộ ĐKPHTT). Do việc xây dựng bộ ĐKPHTT nhằm
đảm bảo chất lượng hệ thống là rất khó khăn. Vì vậy bao giờ trong điều khiển
đối tượng phi tuyến vấn đề ổn định hệ được đặt lên hàng đầu.
Theo [3], khi tổng hợp bộ ĐKPHTT cho hệ phi tuyến tối thiểu phải quan tâm
đến các vấn đề sau:
ã Sự phân bố các điểm cân bằng của hệ thống.

ã Tính ổn định của hệ thống tại một điểm cân bằng cho trước.
ã Tính điều khiển được của hệ thống tại một điểm trạng thái cho trước.
ã Tính quan sát được của hệ thống tại một thời điểm.
ã Khả năng tồn tại dao động heternom hoặc autonom trong hệ.
ã Khả năng có hay không hiện tượng hỗn loạn trong hệ.
ã Khả năng phân nhánh trong hệ.

Dương Hoài Nam

3


Tổng quan về phương pháp tuyến tính hóa chính xác
1.2. Mục đích tuyến tính hoá hệ phi tuyến.
Do tính phi tuyến của hệ phi tuyến nên việc xây dựng bộ điều khiển cho hệ
phi tuyến rất khó và liên quan đến nhiều vấn đề khác nhau khó có thể giải quyết
được. Chính vì vậy với phương pháp tuyến tính hoá nhằm đưa hệ phi tuyến thành
hệ tuyến tính (thỏa mÃn nguyên lý xếp chồng). Dựa vào phương pháp khảo sát,
phân tích, tổng hợp đối với hệ tuyến tính ta có thể xây dựng được các bộ điều
chỉnh tuyến tính phù hợp với yêu cầu chất lượng của hệ thống.
Gồm có các phương pháp tuyến tính hoá sau: Phương pháp tuyến tính hóa
xung quanh điểm làm việc, phương pháp tuyến tính hóa xác trong phạm vi một
chu kỳ trích mẫu và phương pháp tuyến tính hoá chính xác.
>>Phương pháp tuyến tính hóa xung quanh điểm làm việc: Phương pháp
này nhằm đưa mô hình phi tuyến thành một mô hình tuyến tính xấp xỉ tương
đương tại lân cận điểm làm việc.
>>Phương pháp tuyÕn tÝnh hãa trong ph¹m vi mét chu kú trÝch mẫu:
Phương pháp này nhằm xây dựng đối tượng phi tuyến thành mô hình gián đoạn
tuyến tính có hệ số hàm.
>>Phương ph¸p tun tÝnh ho¸ chÝnh x¸c: Víi ý t­ëng chÝnh là thực hiện

việc chuyển tọa độ cho mô hình trạng thái của đối tượng phi tuyến thông qua khả
năng thiết kế bộ điều khiển phản hồi trạng thái hoặc phản hồi tín hiệu ra của đối
tượng phi tuyến sao cho hệ kín trở thành tuyến tính. Khác với phương pháp tuyến
tính hóa xung quanh điểm làm việc và phương pháp tuyÕn tÝnh hãa trong mét
ph¹m vi chu kú trÝch mÉu, phương pháp tuyến tính hoá chính xác đảm bảo hệ
tuyến tính trong toàn bộ không gian trạng thái và chỉ có thể áp dụng được với
một lớp đối tượng phi tuyến nhất định.
1.3. Tuyến tính hoá chính xác đối tượng phi tuyến.
Theo tinh thần của phương pháp tuyến tính hoá chính xác là cần phải thực
hiện việc chuyển tọa độ cho mô hình trạng thái thông qua khả năng thiết kế bộ
điều khiển phản hồi trạng thái (ĐKPHTT) sao cho hệ kín thu được trở thành
tuyến tính trong toàn bộ không gian trạng thái mới. Sơ đồ cấu trúc của hệ phi
tuyến sau khi đà tuyến tính hoá chính xác như sau:

Dương Hoài Nam

4


Tổng quan về phương pháp tuyến tính hóa chính xác

Hệ vào-ra tuyến tính
y

w
x

ĐKPHTT

u

ĐTPT

x

Hình 1.2.Sơ đồ nguyên lý tuyến tính hoá chÝnh x¸c hƯ phi tun.
Ta nhËn thÊy r»ng víi bé ĐKPHTT, ĐTPT có đầu vào cũ u tương ứng với
hệ phi tun sÏ trë thµnh hƯ tun tÝnh trong toµn bộ không gian trạng thái mới
với đầu vào mới w .
Việc thiết kế bộ ĐKPHTT được thực hiện nhờ phép đổi trục toạ độ cho một
đối tượng phi tuyến phẳng (xác định bộ điều khiển thực hiện phép đổi trục ®ã)
nh»m ®­a toµn bé hƯ thèng trë thµnh tun tÝnh. Theo tài liệu [3]: Điều kiện tồn
tại phép tuyến tính hoá chính xác là hệ phi tuyến đó điều khiển được và có bậc
tương đối bằng số biến trạng thái.
Khái niệm bậc tương đối đà quen biết trong hệ tuyến tính từ đó xây dựng, xác
định bậc tương đối cho hệ phi tuyến.
Để cụ thể hoá nội dung của phương pháp tuyến tính hoá chính xác ta đưa ra
các quy ước, ký hiệu (cho các đầu vào-ra, trạng thái) cho hƯ phi tun: HƯ phi
tun SISO vµ hƯ phi tun MIMO.
>>Đối tượng phi tuyến được trình bày theo mô hình trạng thái.
Hệ phi tuyến MIMO.
m
ã
x = f (x ) + H( x )u = f ( x ) + ∑ h i ( x )u i

i =1
 y = g( x )


(1.1)

Trong đó: Hệ có m tín hiệu vào: u1 ( x ) , u 2 ( x ) ... u m ( x ) cã r tÝn hiÖu ra
y 1 ( x ) , y 2 ( x ) ... y r ( x ) và n biến trạng th¸i: x 1 , x 2 ... xn . ThĨ hiện dưới dạng vector
R

R

R

R

R

R

như sau:

Dương Hoài Nam

5


Tổng quan về phương pháp tuyến tính hóa chính xác

x1 
x 
x = 2
 
 
x n 

 g1 (x) 
 u1 
g ( x ) 
u 
2
, u =   , y = g( x ) =  2 
  
  


 
g r (x) 
u m 

(1.2)

Ma trËn hÖ thèng f ( x ) và ma trận đầu vào H( x ) :

f1 (x) 
f ( x ) 
f (x) =  2 
  


f n ( x ) 

; H( x ) = [h 1 ( x ), h 2 ( x ),  , h m ( x )]

(1.3)

HÖ phi tuyÕn SISO.
Tõ hÖ MIMO (1.1) nÕu thay m = 1 và r = 1 (hệ chỉ có 1 đầu vào-1 đầu ra) ta
thu được mô hình trạng thái cho hệ phi tuyÕn SISO nh­ sau:

 •
x = f (x ) + h ( x )u

 y = g ( x )

(1.4)

Từ (1.1) và (1.4). Mô hình trạng thái cho hệ phi tuyến thể hiện cả tín hiệu vào
và tín hiệu ra. Khi sử dụng phương pháp tuyến tính hoá chính xác được gọi là
tuyến tính hoá chính xác quan hệ vào - ra. Ngoài ra còn có phương pháp tuyến
tính hoá chính xác quan hệ vào trạng thái đối tượng phi tuyến. Mục đích của
luận văn là tuyến tính hoá ĐCDB nên ta chỉ xét trường hợp tuyến tính hoá chính
xác quan hệ vào - ra.
1.4. Tuyến tính hoá chính xác hệ phi tuyến SISO.
1.4.1.Bậc tương đối.
Để tiếp cận tới khái niệm bậc tương đối của hệ phi tuyến SISO, ta xét đến
khái niệm bậc tương đối của hệ tuyến tính SISO. ở đây giả sử đối tượng tuyến
tính được mô tả bằng hàm truyền đạt hợp thức chặt:

b 0 + b 1s +  + b m s m
G (s) =
a 0 + a 1s +  + a n s n

trong đó m < n.

(1.5)

Có mô hình không gian trạng thái là:

Dương Hoài Nam

6


Tổng quan về phương pháp tuyến tính hóa chính xác

•
x = A x + bu

 y = c T x

x ∈ R n , A ∈ R n×n , b R nì1 , c R 1ìn

(1.6)

Bậc tương đối của hệ tuyến tính SISO được hiểu là hiệu: r = (n – m) ≥ 1.
Do G (s) = c (sI − A) −1 b ta cã:
T

lim s r G (s) =
s→∞

bm
an

⇔

lim s r [c (sI − A) −1 b] =
T

s→∞
∞

T

bm
an

k

(1.7)

c A b bm
=
k +1− r
s→∞
an
k =0 s

⇔ lim ∑

lim
s →∞

1

s

k +1− r

= 0 khi k > r – 1 nên chuỗi bên vế trái trở thành tổng của hữu

hạn r phần tử đầu tiên.
Do đó:
r 1

T
c Ak b bm
lim k +1 r =
s
an
k =0 s

(1.8)

Từ đây, để vế trái bằng giá trị hữu hạn
= 0
T
c Ak b =
0

khi
khi

bm
thì điều kiện cần và đủ là:

an

0 k r2
k = r 1

(1.9)

Như vậy bậc tương đối r = n m còn có thể xác định trực tiếp từ mô hình
trạng thái (1.5) bằng công thức (1.9).
Từ việc xác định bậc tương đối cho hệ tuyến tÝnh (1.5) ta liªn hƯ sang hƯ phi
tun (1.4). BËc tương đối của hệ phi tuyến (1.4) được xác định như sau:
Theo tài liệu [3], bậc tương đối của (1.4) tại điểm trạng thái x của hệ là số tự
nhiên r mà trong lân cận x thỏa mÃn:
= 0
L h Lkf g ( x ) = 
≠ 0

khi
khi

0≤ k ≤ r2
k = r 1

(1.10)

Có thể thấy ngay được rằng từ (1.4) vµ (1.5):
T
NÕu f ( x ) = A x , h ( x ) = b , g ( x ) = c x hai công thức (1.9) và (1.10) sẽ

đồng nhất. Vì:

Lkf g ( x ) = c A k x
T

Dương Hoài Nam



L h Lkf g ( x ) = c A k b
T

7


Tổng quan về phương pháp tuyến tính hóa chính xác
Theo công thức (1.10) ta có thể xác định được bậc tương đối của hệ phi tuyến
SISO. Tuy nhiên,theo [3] cũng cần phải để ý rằng hệ phi tuyến (1.4) có thể có
bậc tương đối khác nhau ở những điểm trạng thái khác nhau. Ngoài ra, khác với
hệ tuyến tính, không phải bất cứ một điểm trạng thái x nào trong không gian
trạng thái, hệ phi tuyến phẳng cũng có bậc tương đối. Chẳng hạn, hệ sẽ không
có bậc tương đối tại điểm trạng thái x 0 mà trong lân cận cña nã cã:
R

R

L h g( x ) ≠ 0 , L h Lf g( x ) ≠ 0 ,  ,

L h Lkf g ( x ) ≠ 0



Song l¹i cã:

L h g ( x 0 ) = L h Lf g ( x 0 ) =  = L h Lkh g ( x 0 ) =  = 0
1.4.2 Tuyến tính hoá chính xác quan hệ vào - ra hệ SISO.
Trong mục này sẽ bàn về khả năng thiết kế bộ điều khiển phản hồi trạng thái
(ĐKPHTT) sao cho hệ kín gồm đối tượng phi tuyến phẳng (1.4) và bộ ĐKPHTT
sẽ trở thành tuyến tính trong toàn bộ không gian trạng thái mới.
Theo tài liệu [3] có thể xem việc thiết kế bộ ĐKPHTT tương đương với việc
thực hiện phép đổi trục toạ độ vi phôi z = m(x) đưa đối tượng phi tuyến (1.4) bậc
n về dạng tuyÕn tÝnh nh­ sau:


z2

  z2   0 
• 
      

z = 
=
+
u






zn

zn
0 
 


 

a ( z ) + b ( z ) u  a ( z )   b ( z ) 



 y = g ( x ) = z1

(1.11)

Vấn đề đặt ra là phải xác định phép đổi trục tọa độ vi phôi thích hợp. Theo tài
liệu [3], nếu như đối tượng phi tuyến có bậc tương đối r = n trong toàn bộ không
gian trạng thái hoặc ít nhất là trong tập trù mật với không gian trạng thái, thì giữa
biến trạng thái của đối tượng phi tuyến (1.4) và biến trạng thái mới z của hệ
tuyến tính (1.11) có quan hệ sau:

Dương Hoài Nam

8


Tổng quan về phương pháp tuyến tính hóa chính xác

z1   g ( x ) 
z   L g( x ) 


z = m( x ) =  2  =  f
  

   n −1

z n  L f g ( x )

(1.12)

§Ĩ có (1.11) ta lấy đạo hàm phương trình biến đổi (1.12), từ đó ta có:
m( x )
ã m( x ) • ∂ m( x )
x=
f (x) +
h ( x )u
z =
x
x
∂
x
∂
∂

 y = z = [1 0 0]z
1


(1.13)

1
Sau đó thế vector x vào phép biến đổi ngược x = (z) sẽ thu được (1.11)

từ (1.13) nếu ta đặt đầu vào mới:
(1.14)

w = a(z) + b(z)u

Khi đó đối tượng (1.4) được tuyến tính hoá chính xác nhờ bộ ĐKPHTT với
đầu vào theo công thức (1.14) thành mô hình trạng thái:

0 1
ã
z =

0 0



0 0

 y = z1 = [1

 0  0 
     
z+
w = A z + bw
 1  0 
  
 0 1

(1.15 )

0 0]z = c z
T

Với bộ điều khiển phản hồi trạng thái:

(

u = b 1 (z)( a (z) + w ) = L h Lnf −1g( x )

) (− L g(x))+ (L L
−1

n
f

)

−1
n −1
h f g ( x ) w = p( x ) + q ( x ) w

(1.16 )

Như vậy, bằng phép đổi trục toạ độ(1.14) đà đưa hệ phi tuyến (1.4) (Với biến
đầu vào u) trở thành hệ tuyến tính trong toàn bộ không gian trạng thái (Với biến
đầu vào mới w). Hay nói cách khác bộ điều khiển phản hồi trạng thái (1.16) làm
nhiệm vụ tuyến tính hoá chính xác được đối tượng (1.4). Sơ đồ điều khiển tuyến

tính hoá chính xác quan hệ vào ra SISO được mô tả như (hình 1.3):

Dương Hoài Nam

9


Tổng quan về phương pháp tuyến tính hóa chính xác

•
z = A z + Bw

 y = Cz

HƯ vµo-ra tuyến tính

đối tượng phi tuyến

w
x L1 ( x )p( x ) + L−1 ( x ) w

dx
= f ( x ) + H( x )u
dt

y

x

g( x )

Hình 1.3.Tuyến tính hoá chính xác vào ra hệ phi tuyến SISO.
Theo [3] , mọi đối tượng SISO, khi có bậc tương đối r = n đều chuyển được
về dạng tuyến tính (1.15) nhờ bộ ĐKPHTT (1.16). Điều đặc biệt ở đây là dạng
tuyến tính (1.15) của hệ kín với các ma trận trạng thái và ma trận đầu vào như
sau:
0
0 1  0 

   


A=
, b= 
0 0 0 1
0



1
0 0 0 0
Đối tượng được tuyến tính hoá là điều khiển được vì:

0


n 1
rank (b, A b,, A b) = rank 
0


1

0  1

  0
=n
1 0 0

0 0 0

(1.17)

(1.18)

Trong khi ®ã ta ®· xét về khả năng tuyến tính hoá chính xác mà chưa có yêu
cầu gì về tính điều khiển được của đối tượng. Nhận thấy có sự liên quan giữa
tuyến tính hoá chính xác và tính điều khiển được tức là khi r = n th× hƯ võa cã thĨ
tun tÝnh hoá được vừa có thể điều khiển được.
Tóm lại:
>>Điều kiện tồn tại phép tuyến tính hoá chính xác quan hệ vào - ra hệ phi
tuyến SISO là:

Dương Hoài Nam

10


Tổng quan về phương pháp tuyến tính hóa chính xác
Không gian trạng thái của đối tượng có bậc tương đối lµ r = n, tøc lµ:
 L h Lkf g ( x ) = 0 víi x thc l©n cËn x0 vµ 0 ≤ k < r - 1


k
L h L f g ( x 0 ) ≠ 0

(1.19)

>>§Ĩ tun tính hoá chính xác quan hệ vào - ra của hƯ phi tun SISO, ta
thùc hiƯn theo c¸c b­íc sau:
1. Kiểm tra điều kiện tồn tại phép tuyến tính hoá chính xác theo (1.19).
2. Xác định phép đổi trục tọa độ theo (1.12).
3. Xác định bộ điều khiển phản hồi trạng thái theo (1.16).
Để minh họa cho phương pháp tuyến tính hoá chính xác đối tượng phi tuyến
SISO ta thực hiƯn vÝ dơ ë mơc (1.6.1).
1.5. Tun tÝnh ho¸ chÝnh xác hệ phi tuyến MIMO.
1.5.1. Vector bậc tương đối tối thiĨu cđa hƯ phi tun MIMO.
T­¬ng tù nh­ hƯ phi tuyến SISO, để xác định vector bậc tương đối tối thiểu
cho hệ phi tuyến MIMO ta cũng xuất phát định nghĩa vector bậc tương đối tối
thiểu cho hệ tuyến tính MIMO. Trước tiên ta xét trường hợp cho hệ tuyến tính
MISO sau đó tổng quát lên cho hệ tuyến tính MIMO.
>>Hệ tuyến tính MISO.
Hệ tuyến tính MISO có m đầu vào - một đầu ra:
ã
x = A x + Bu

 y = c T x

(1.20)

Trong ®ã: x ∈ Rn , u ∈ Rm , A ∈ Rnxn , B Rnxm , c Rn.
Hàm truyền đạt (biểu diễn quan hƯ gi÷a tÝn hiƯu ra y(t) víi tÝn hiƯu vµo u i (t)):

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

R

−1

G i (s) = c (sI − A) b i =
T

b 0 + b1s +  + b mi s mi
a 0 + a 1s +  + a n i s n i

, i = 1,2,, m

R

(1.21)

Lúc này, hiệu giữa bậc của đa thức mẫu số và đa thức bậc tử số trong đa thức
G i (s) lµ : ri = n i – m i được gọi là bậc tương đối tối thiểu của kênh thứ i (kênh
giữa tín hiệu vào u i và tín hiệu ra y). Tương tự như đà xét với đối tượng tuyến
tính SISO ở mục (1.4.1), ở đây bậc tương đối bậc tương đối mô hình tuyến tính
MISO (1.20) được xác định là các số tự nhiên r i thoả mÃn:
R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

= 0
T
c A k bi =
0

Dương Hoài Nam

khi 0 ≤ k ≤ ri − 2
khi k = ri − 1

R

(1.22)
11


Tổng quan về phương pháp tuyến tính hóa chính xác
Khi đó, số nguyên r = min ri được gọi là bậc tương đối tối thiểu của đối tượng
i

tuyến tính MISO (1.20) sÏ tháa m·n:
 = 0T
c A B= T
≠ 0
T

khi 0 ≤ k ≤ ri − 2

k

(1.23)

khi k = ri 1

Dựa vào kết quả trên ta chuyển qua đối tượng tuyến tính MIMO có cùng số
tín hiệu vào, ra (sè tÝn hiƯu vµo = sè tÝn hiƯu ra = m) và n biến trạng thái, được
mô tả bởi hệ:
•
x = A x + Bu

 y = C x

(1.24)

Trong ®ã: x ∈ Rn , u ∈ Rm , y ∈ Rm, A ∈ Rnxn , B ∈ Rnxm , C Rmxn.
P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

c1T

C
=
thì
Với các vector c 1 , c 2 , ... , c m là các vector hàng của C, tức là:
c T
m
R

R

R

R

R

R

đối tượng tuyến tính MIMO (1.24) được chuyển về thành m đối tượng MISO
dạng (1.20) như sau:
ã
ã
x = A x + Bu
x = A x + Bu
(1.25)


,
....
,
 y = c T2 x
 y = c Tm x
Theo kết quả đà xét (1.22) thì mỗi đối tượng MISO trong (1.25) có một bậc
tương đối tối thiểu là r j , j = 1, 2, ..., m. Lóc nµy, tập các giá trị r j , j = 1, 2, ..., m
được gọi là vector bậc tương đối tối thiĨu (r1 , r2 , ..., rm ) vµ chóng được xác định
từ việc tìm số tự nhiên rj nhỏ nhÊt tháa m·n:
•

 x = A x + Bu
,

T

y
c
x

=
1


R

R

R

R

R

 = 0 T
c A B= T
≠ 0
T
j

k

R

R

R

R

R

R

R

khi 0 ≤ k ≤ r j − 2
khi k = r j − 1

(1.26)

Ngoµi ra, theo tài liệu [4] ta còn rút ra được một kết luận quan trọng, đó là:
nếu ma trận:

c1T A r1 −1B   c1T A r1 −1 b  c1T A r1 −1 b m 

 

L=




=

 
T
T
T
r

1
r
1
r
1
−
−
−
 c A m B  c A m b  c A m b
m
m
m
m
m

Dương Hoài Nam

(1.27)

12


Tổng quan về phương pháp tuyến tính hóa chính xác
mà không suy biến thì ta sẽ luôn tìm được bộ ®iỊu khiĨn tiỊn xư lý M vµ mét bé
®iỊu khiĨn phản hồi trạng thái R (hình 1.4a) để đưa đối tượng MIMO ban đầu có
mô hình trạng thái (1.20) về dạng tách thành m kênh riêng biệt (hình 1.4b). Tức
là, tín hiệu ra thứ j lúc này chỉ còn phụ thuộc duy nhất vào tín hiệu vào tương
ứng thứ j.
Hệ TT MIMO

w1
wm



M

u

y1







ym
wm

x

R

y1

w1

(H1.4a)

ym

(H1.4b)

Hình 1.4. Điều khiển tách kênh cho đối tượng tuyến tính MIMO.
Đến đây ta chuyển các điều kiện (1.26) và (1.27) sang cho đối tượng phi
tuyến MIMO (1.1) thì:
Vector bậc tương đối tối thiểu (r1 , r2 , ..., rm ) tại điểm trạng thái x của đối
tượng là m sè tù nhiªn rj víi j = 1, 2, ..., m trong lân cận x nếu thỏa mÃn đồng
thời cả hai điều kiện sau:
R

R

R

R

R

R

R

R

+ L h i L f g j ( x ) = 0 khi k ≤ rj – 2, ∀i = 1, 2, ..., m.
k

R

R

(1.28)

+ Ma trËn

 L h1 Lrf1 −1g1 ( x ) L h 2 Lrf1 −1g1 ( x )

L h1 Lrf2 −1g 2 ( x ) L h 2 Lrf2 −1g 2 ( x )

L( x ) =




rm −1
rm −1
L h1 L f g m ( x ) L h 2 L f g m ( x )

 L h m Lrf1 −1g1 ( x ) 

 L h m Lrf2 −1g 2 ( x ) 
(1.29)





 L h m Lrfm −1g m ( x )

là không suy biến.
Với những điều kiện xác định vector bậc tương đối tối thiểu (1.28) và (1.29)
sẽ là cơ sở cho phép ta có thể tiến hành tuyến tính hoá chính xác cho đối tượng
phi tuyến MIMO (1.1).

Dương Hoài Nam

13


Tổng quan về phương pháp tuyến tính hóa chính xác
1.5.2 .Tuyến tính hoá chính xác quan hệ vào-ra đối tượng phi tuyến
MIMO.
Tương tự như tuyến tính hoá chính xác đối tượng phi tuyến SISO, mục đích ta
tìm bộ ĐKPHTT sao cho hƯ kÝn trë thµnh tun tÝnh trong toµn bé không gian
trạng thái mới.
Trước tiên ta phải kiểm tra điều kiện tồn tại phép tuyến tính hoá chính xác.
Nếu hệ phi tuyến MIMO (1.1) có vector bậc tương đối tối thiểu là (r 1 , r2 , ..., rm )
thì nã ph¶i tháa m·n:
(1.30)
r = r1 + r2 + ... + rm = rn
R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

Vấn đề đặt ra tiếp theo là xác định phép đổi trục toạ độ vi phôi z = m(x) thích
hợp để đưa đối tượng phi tuyến MIMO (1.1) về dạng tuyến tính mô tả bởi (1.24).
Theo [3] đối tượng phi tuyến MIMO (1.1) với vector bậc tương ®èi tèi thiÓu
(r1 , r 2 , ..., rm ) thỏa mÃn cả điều kiện (1.28) và (1.29) đồng thời thỏa mÃn điều
kiện cần (1.30) thì tồn tại phép tuyến tính hoá chính xác và giữa biến trạng thái
cũ x của đối tượng với biến trạng thái mới z của hÖ tuyÕn tÝnh cã quan hÖ:
R

R

R

R

R

R

 z1 
z=
 
z n 

 m11 ( x )   g1 ( x ) 
 



   

 m1r ( x )   Lrf1 −1g1 ( x ) 
 
 1


= m( x ) =    = 

 mm (x)   g (x) 
  m

 1


   

m m ( x ) Lrm −1g ( x )
rm f m

(1.31)

Lấy đạo hàm (1.31):

m( x )
∂ m( x ) m
z=
f (x) +
∑ h i ( x )u i
x
x i =1
ã

Kết hợp công thức (1.28), ta có:

Dương Hoài Nam

14


Tổng quan về phương pháp tuyến tính hóa chính xác
m

dz 1 ∂m11 d x
=
= L f g 1 ( x ) + ∑ L h i g 1 ( x )u i = L f g 1 ( x ) = z 2
dt
∂ x dt
i =1


=0

m
dz 2 ∂m12 d x
2
=
= L f g 1 ( x ) + ∑ L h i L f g 1 ( x )u i = L2f g 1 ( x ) = z 3
dt
∂ x dt
i =1



=0


dz r1 −1
dt

m
∂m 1r1 −1 d x
r1 −1

=
= L f g 1 ( x ) + ∑ L h i Lrf1 − 2 g 1 ( x )u i = Lrf1 −1 g 1 ( x ) = z r1
∂ x dt
i =1


=0

dz r1

(1.32)

m

= L g 1 ( x ) + ∑ L h i Lrf1 −1 g 1 ( x )u i
dt
i =1


r1
f

≠0

dz r1 +1
dt

m
∂m 12 d x
= L f g 2 ( x ) + ∑ L h i g 2 ( x )u i = L f g 2 ( x ) = z r1 + 2

=
∂ x dt
i =1


=0


dz r2 −1
dt

m
∂m 2r2 −1 d x
r2 −1
=
= L f g 2 ( x ) + ∑ L h i Lrf2 − 2 g 2 ( x )u i = Lrf2 −1 g 2 ( x ) = z r2
∂ x dt
i =1


=0

dz r2

(1.33)

m

= L g 2 ( x ) + ∑ L h i Lrf2 −1 g 2 ( x )u i
dt

i =1


r2
f

≠0


NÕu thay cho các công thức (1.32) và (1.33) ta đặt:

w k = Lrfk g k ( x ) + ∑ L h i Lrfk −1g k ( x )u i

(1.34)

cho toµn bé c¸c chØ sè k = 1, 2, ..., m tøc lµ:
r
r −1
r −1
 w 1   L f1 g1 ( x )   L h1 L f1 g1 ( x )  L h m L f1 g1 ( x )   u 1 
 
 

w =    = 




+
  

 
r
r
1
r
1
−
−
 w m  L fm g m ( x ) L h1 L fm g m ( x )  L h m L fm g m ( x ) u m

p( x )

Dương Hoài Nam

L( x )

(1.35)

u

15


Tổng quan về phương pháp tuyến tính hóa chính xác
Thì toàn bộ các quan hệ trên sẽ được viết gọn lại thành dạng tuyến tính như
sau:
b1 Θ 
Θ   Θ b 2  Θ 
z+
w = A z + Bw

    
   

 
Θ  Am  Θ Θ Θ bm
Trong đó: là ma trận toàn các phần tử 0.
A 1
Θ
z=
 

Θ

Θ 
A2 

0
0
Ak = 


0
0 

bk =  
0 
 
1

(1.36)

1  0
0  0
thc kiĨu rk × rk .
  

0 0 0
R

R

R

R

thc kiĨu rk × 1
R

R

VÊn đề còn lại chỉ là tạo được vector điều khiển u từ vector tín hiệu w mà ta
đà đặt trong (1.35) cũng như từ vector trạng thái x của đối tượng.Vì ma trận L(x)
không suy biến, nên bộ điều khiển tuyến tính hoá chính xác quan hệ vào-ra của
hệ phi tuyÕn MIMO (1.1) sÏ lµ:

 Lrf1 g 1 ( x ) 
 Lrf1 g 1 ( x )  







−1
−1
u = L−1 ( x ) w − 


 + L (x)w
  = − L (x)

Lrfm g m ( x )
Lrfm g m ( x ) 
  





(1.37)

a(x)

= a ( x ) + L−1 ( x ) w
NhËn thÊy, giữa vector tín hiệu ra y và biến trạng thái mới z có quan hệ được
suy ra từ phép đổi trơc täa ®é (1.30) nh­ sau:
c
Θ  Θ
 g1 (x )   1


T
Θ c2  Θ 



z
y=  =

   
g m ( x ) 
T 
 Θ c m


T

(1.38)

C

T

Trong đó: c k là vector hàng với rk phần tử có dạng:
R

Dương Hoài Nam

R

16

Tổng quan về phương pháp tuyến tính hóa chính xác
c1 = [1 0  0], k = 1,2,  , m
T

Như vậy, bằng bộ điều khiển phản hồi trạng thái (1.36) với phép đổi trục tọa
độ vi phôi (1.30) đà đưa đối tượng phi tuyến MIMO (1.1) về dạng tuyến tính
được mô tả bởi (1.36). Mô hình điều khiển tuyến tính chính xác quan hệ vào-ra
của hệ phi tuyến MIMO được thể hiện như (Hình 1.5).

ã
z = A z + Bw

y = Cz

Hệ vào-ra tuyến tính

đối tợng phi tuyÕn

w
−1

−1

x L ( x ) p( x ) + L ( x ) w

dx
= f ( x ) + H( x )u
dt

y

x

g( x )

Hình 1.5. Mô hình cấu trúc tuyến tính hoá chính xác quan hệ
vào - ra hệ phi tuyến MIMO.
Tổng kết lại: Phương pháp tuyến tính hoá chính xác đối tượng phi tuyến
MIMO mô tả bởi (1.1) gồm có các bước sau:
1. Xác định vector bậc tương đối tèi thiÓu (r1 , r2 , ..., rm ) theo (1.28)
2. Xác định ma trận L(x) và kiểm tra tính kh«ng suy biÕn cđa ma trËn L
theo (1.29).
R

R

R

R

R

R

 L h1 Lrf1 −1g1 ( x )  L h m Lrf1 −1g1 ( x ) 


L( x ) = 




 , det (L( x ) ) ≠ 0
L h Lrfm −1g m ( x )  L h Lrfm −1g m ( x )
m

1
3. Kiểm tra điều kiện cần theo (1.30).
4. Xác định:
Lrf1 g 1 ( x )


p( x ) = 


Lrfm g m ( x )



5. X©y dựng bộ điều khiển:

Dương Hoài Nam

17


Tổng quan về phương pháp tuyến tính hóa chính xác

u = − L−1 ( x )p( x ) + L−1 ( x ) w

a(x)

Khi đà tuyến tính hoá chính xác đối tượng phi tuyến MIMO (1.1), hệ kín
(Tuyến tính) với mô hình trạng thái (1.36) sẽ có ma trận truyền đạt:

Y(s) = C(sI A) 1 BW (s)
1

c1T (sI − A1 ) −1 b1 
0
 s r1






=
 W (s) =  
T
−1


0
c
(
sI

A
)
b m 
−
0
m
m




0 
   W (s)
1
rm
s


Điều này chứng tỏ rằng, tín hiệu ra y k (t) chỉ còn phụ thuộc vào tín hiệu đầu
vào u k (t). Như vậy có thể khẳng định rằng, bộ điều khiển (1.37) không những đÃ
tuyến tính hoá chính xác được đối tượng mà còn tách nó được thành m kênh
riêng biệt và quan hệ giữa đầu ra y k (t) và u k (t) tương ứng là quan hệ tích phân.
R

R

R

R

R

R

R

R

Để minh hoạ cho phương pháp tuyến tính hoá chính xác đối tượng phi tuyến
MIMO ta thùc hiƯn vÝ dơ ë mơc (1.6.2).
1.6. VÝ dơ minh họa.
Trong mục này chúng ta sẽ đi qua hai ví dơ cơ thĨ: Tun tÝnh hãa chÝnh x¸c
hƯ phi tun SISO và hệ phi tuyến MIMO. Dựa vào các kết quả lý thuyết đà được
đề cập để thực hiện tuyến tính hóa chính xác một đối tượng phi tuyến.
1.6.1. Tuyến tính hoá chính xác quan hệ vào-ra hệ phi tuyến SISO.
Cho hệ phi tuyến SISO có phương trình trạng thái:

•  x 2  0 
 x = 
 + 1 u
−
x

1
 


h(x)
f (x)


 y = g ( x ) = x 1

Dương Hoài Nam

18


Tổng quan về phương pháp tuyến tính hóa chính xác
0 
∂g ( x )
h ( x ) = [1 0]  = 0
∂x
1
x 
∂g ( x )
L f g( x ) =
f ( x ) = [1 0] 2  = x 2
∂x
− x 1 
L h g( x ) =

0 
∂L f g ( x )
h ( x ) = [0 1]   = 1 ≠ 0
∂x
1
x 
L2f g ( x ) = [1 0] 2  = − x 1
− x 1 
⇒ L h L f g( x ) =

Ta thấy đối tượng phi tuyến trên có bậc tương đối r = 2 trong toàn bộ không
gian trạng thái.Vậy, đối tượng phi tuyến sẽ được tuyến tính hoá chính xác bằng
bộ điều khiển phản hồi trạng th¸i:

u = p( x ) + q ( x ) w
víi:

− L2f g ( x )
= − x1
p( x ) =
L h Lf g( x )

,

q( x ) =

1
=1
L h Lf g( x )

Hệ kín gồm đối tượng và bộ điều khiển sẽ có mô hình:
d z 0 1 0 
=
z+
w
dt 0 0 1

,

y = z1 = [1 0]z

Gi÷a biến trạng thái cũ của đối tượng là x và biến trạng thái mới của hệ kín là
z có quan hÖ:
 z   g ( x )   x1 
z =  1 = 
= 
z 2  L f g ( x )  x 2 

1.6.2. Tuyến tính hoá chính xác quan hệ vào-ra hệ phi tuyến MIMO.
Cho đối tượng phi tuyến MIMO được mô tả:


x 3  0 0 
•


 

 x =  − x 1  + 1 3  u

 x 2 − x 3  2 4


 

f (x)
H(x)

 x1

y =
x 2 + x 3





g
(
x
)

Dương Hoài Nam

19


Tổng quan về phương pháp tuyến tính hóa chính xác
Như vËy ta cã:
0 
h1 ( x ) = 1  , h 2 ( x ) =
2

0 
 3 , g ( x ) = x , g ( x ) = x + x
1
1
2
2
3

 
4

>>KiĨm tra ®iỊu kiƯn tån tại phép tuyến tính hoá chính xác:
Xác định vector bậc tương đối tối thiểu theo (1.28).
+Xác định r1 :
R

R

0
g1
h1 ( x ) = [1 0 0]1  = 0
L h 1 g1 ( x ) =
∂x
2
 x3 
∂g1
f ( x ) = [1 0 0] − x1  = x 3
L f g1 ( x ) =
∂x
 x 2 − x 3 
0 
⇒ L h 1 L f g1 ( x ) = [0 0 1]1  = 2 ≠ 0
2

0 
∂g 1
L h 2 g 1 (x) =
h 2 ( x ) = [1 0 0]3 = 0

∂x
4
0 
⇒ L h 2 L f g 1 ( x ) = [0 0 1]3 = 4 ≠ 0
4
→Ta thu được r1 = 2.
R

R

+Xác định r2 :
R

R

0
g 2
L h1 g 2 ( x ) =
h 1 ( x ) = [0 1 1]1  = 3 ≠ 0
∂x
2
0 
∂g 2
L h 2 g 2 (x) =
h 2 ( x ) = [0 1 1]3 = 7 ≠ 0
∂x
4

D­¬ng Hoµi Nam

20


Tổng quan về phương pháp tuyến tính hóa chính xác
Ta thu được r2 = 1.
R

R

Ta thấy ma trận:

L h L f g 1 ( x ) L h 2 L f g1 ( x )   2 4
L( x ) =  1
=

L
g
(
x
)
L
g
(
x
)
h2 2
 h1 2
 3 7
không suy biến.
Như vậy đối tượng phi tuyến MIMO trên thỏa mÃn cả điều kiện cần và đủ:

r = r1 + r2 = 3 = n

det (L( x ) ) 0
nên tồn tại phép tuyến tính hoá chính x¸c.
>>Thùc hiƯn phÐp tun tÝnh ho¸ chÝnh x¸c.
Sư dơng phÐp ®ỉi trơc vi ph«i:

 g1 ( x )   x1 
 z1 
z = z 2  = m( x ) = L f g1 ( x ) =  x 3 
 g 2 ( x )   x 2 + x 3 
 z 3 
Víi phép đổi trục toạ độ trên ta được:
0 0
x3 
dz1 ∂g1 d x


=
= [1 0 0] − x 1  + [1 0 0]1 3 u = x 3
dt
∂ x dt
2 4
 x 2 − x 3 
0 0 
 x3 
dz 2 ∂L f g1 d x
=
= [0 0 1] − x 1  + [0 0 1]1 3 u = x 2 − x 3 + [2 4]u


dt
∂ x dt
w1
2 4
 x 2 − x 3 



L2f g1 ( x )

0 0 
 x3 
dz 3 ∂g 2 d x


=
= [0 1 1] − x 1  + [0 1 1]1 3 u = − x 1 + x 2 − x 3 + [3 7]u

dt
∂ x dt
w2
2 4
 x 2 − x 3 



Lf g 2 ( x )

Dương Hoài Nam

21