Chuyên đề số chính phương nhóm toán THCS việt nam

TỐN THCS VIỆT NAM

Chun đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNG

CHUN ĐỀ 2: SỐ CHÍNH PHƯƠNG
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I.
Định nghĩa:
 Số chính phương là bình phương của một số tự nhiên.
 Tức là, nếu A là số chính phương thì
 Ví dụ một số số chính phương là:



1 = 12
4 = 22
9 = 32



16 = 42



81 = 92



196 = 142



25 = 52



100 = 102



255 = 152




II.

A = k 2 ( k ∈ ¥ ).



36 = 62





49 = 72





64 = 82



121 = 112
144 = 122
169 = 132

Tính chất
1. Số chính phương có chữ số tận cùng là một trong các số

0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9 , không có chữ

số tận cùng là 2 ; 3 ; 7 ; 8 .
2. Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số
mũ chẵn, không chứa các thừa số nguyên tố với số mũ lẻ.
Chứng minh

A = k 2 với k ∈ ¥ .
Phân tích k ra thừa số ngun tố ta có: k = a x .b y .c z ... (trong đó: a , b , c ,... là các số nguyên tố
Giả sử

đôi một khác nhau và

x , y , z , ... ∈ ¥ * )

A = ( a x .b y .c z ) = a 2 x .b 2 y .c 2 z ...
2

Khi đó:
Từ tính chất 2 ta có các hệ quả:

(đpcm).

a) Nếu A là một số chính phương, p là số nguyên tố và AMp thì
b)Tích của các số chính phương là một số chính phương.

AMp 2 .

Số các ước của một số chính phương (khác 0 ) là số lẻ. Ngược lại, một số có số các ước là
lẻ thì số đó là số chính phương.
Chứng minh

3.

Gọi
-

A là số tự nhiên khác 0 .
Nếu A = 1 thì A là số chính phương có một ước.
Nếu A > 1 thì A có dạng phân tích ra thừa số ngun tố là:
A = a x .b y .c z ... ( a , b , c , ... là các số nguyên tố đôi một khác nhau)

⇒


A là S = ( x + 1) ( y + 1) ( z + 1) ...
A là số chính phương thì x , y , z , ... là các số chẵn, nên x + 1 , y + 1 , z + 1 , ... là

Số lượng các ước của
Nếu

các số lẻ, do đó

S

là số lẻ.
Trang 1


TỐN THCS VIỆT NAM

Chun đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNG

( x + 1) ( y + 1) ( z + 1) ... là số lẻ ⇒
z + 1 , ... đều là số lẻ ⇒ x, y , z , ... là các số chẵn.
S



Đảo lại, nếu

là số lẻ thì



Đặt x = 2 x ' , y = 2 y ' ,
chính phương (đpcm).

z=

2 z ' , ... ( x ' ,

4n + 2

hoặc

x + 1, y + 1 ,

x' y' z'
y ' , z ' , ... ∈ ¥ ) thì A = ( a .b .c )

4. Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng
phương nào có dạng

các thừa số

4n

2

nên

A là số

hoặc 4n + 1 . Không có số chính

4n + 3 ( n∈ ¥ ).

5. Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng

3n hoặc 3n + 1 . Khơng có số chính

phương nào có dạng 3n + 2 ( n∈ ¥ ).
6. Số chính phương tận cùng bằng 1, 4 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn. Số chính
phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2. Số chính phương tận cùng bằng 6 thì
chữ số hàng chục là chữ số lẻ.
7. Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4.
Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9.
Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25.
Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16.
8. Chú ý : Hai đẳng thức thường dùng:

a 2 + 2ab + b 2 = ( a + b )

a 2 − 2ab + b 2 = ( a − b )

2

2

(1)

(2)

Chứng minh
Chứng minh đẳng thức (1)
Ta có:

a 2 + 2ab + b 2 = ( a 2 + ab ) + ( ab + b 2 ) = a ( a + b ) + b ( a + b ) = ( a + b ) ( a + b ) = ( a + b ) .
2

Chứng minh tương tự ta cũng có đẳng thức (2).
B. MỘT SỐ DẠNG TỐN ỨNG DỤNG
I.
Dạng 1. Tốn chứng minh một số là số chính phương:
 Phương pháp giải:


A là số chính phương thì A = k 2 ( k ∈ ¥ ).



Số chính phương có chữ số tận cùng là một trong các số
cùng là



Nếu số

2 ; 3; 7 ; 8.
A nẵm giữa bình phương của hai số tự nhiên liên tiếp thì A khơng thể là số chính phươn

Nghĩa là: nếu




n2 < A < ( n + 1)

2

thì

A

khơng là số chính phương.

Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng
có dạng

4n + 2

hoặc

4n

hoặc 4n + 1 . Khơng có số chính phương n

4n + 3 ( n∈ ¥ ).

Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng
có dạng

0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9 , khơng có chữ số tận

3n + 2 ( n∈ ¥ ).
Trang 2

3n hoặc 3n + 1 . Khơng có số chính phương n


TỐN THCS VIỆT NAM

Chun đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNG

Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4.
Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9.
Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25.
Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16.






1. Dạng 1.1. Chứng minh một số là số chính phương
Ví dụ 1. Các số sau có phải là số chính phương hay khơng? Vì sao?

P = 1020 + 8 .
b) P = 100!+ 7 .
a)

Chứng minh
a) Ta có P = 1020 + 8 = 10000.....0008 có chữ số tận cùng là
phương.
b) Ta có

P = 100!+ 7

có chữ số tận cùng là

7

nên

P

8 nên P

khơng phải là số chính

khơng phải là số chính phương.

 Nhận xét: Các số sau: A = 10n + 2 ; B = 15 !+ 3 ;... khơng phải là số chính phương.
Ví dụ 2. Các số sau có phải là số chính phương hay khơng? Vì sao?

A = 3 + 32 + 33 + ... + 320 .
b) B = 1010 + 5 .
c) C = 10100 + 1050 + 1 .
a)

Chứng minh

( 3 + 3 + ... + 3 ) M9
2

3

20

n≥ 2
3 M9
⇒ A = 3 + 32 + 33 + ... + 320 chia hết cho 3 và chia cho 9 dư 3 .
Vì A chia hết cho 3 nhưng khơng chia hết cho 9 nên A khơng phải là số chính phương.
b)Ta có 1010 + 5 có chữ số tận cùng là 5 chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 25 (vì có
hai chữ số tận cùng là 05 ) nên B khơng phải là số chính phương.
c) Ta có 10100 + 1050 + 1 có tổng các chữ số là 3 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9
nên C khơng phải là số chính phương.

a) Ta có

n

với mọi

nên

 Nhận xét: Chứng minh tương tự: các tổng sau:





A = 2 + 22 + 23 + 24 + ... + 2n

chia hết cho 2, nhưng không chia hết cho 4, nên A
khơng phải là số chính phương.

A = 5 + 52 + 53 + 54 + ... + 5n

chia hết cho 5, nhưng không chia hết cho 25, nên A
khơng phải là số chính phương.

P = 10n + 10m + 1( n > m )

có tổng các chữ số là

9 nên P khơng phải là số chính phương.
F = 31 + 32 + 33 + ... + 3100 . Chứng minh rằng 2 F + 3 không là số chính phương
hết cho

Ví dụ 3. Cho

3 chia hết cho 3 nhưng không chia

Chứng minh
Trang 3


TỐN THCS VIỆT NAM

Chun đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNG

F = 31 + 32 + 33 + ... + 3100
Nên 3F = 32 + 33 + 34 + ... + 3101 ⇒ 3F − F = 3101 − 3 .
Ta có:

2 F + 3 = 3101 − 3 + 3 = 3101 = 3100.3 = ( 350 ) .3
2

Do đó

khơng là số chính phương, vì

là số chính phương.
Ví dụ 4. Chứng minh rằng mọi số nguyên

x; y

thì:

A = ( x + y ) ( x + 2 y ) ( x + 3y ) ( x + 4 y ) + y4

là số chính phương.

Chứng minh

A = ( x + y ) ( x + 2 y ) ( x + 3y ) ( x + 4 y ) + y4

Ta có:

= ( x 2 + 5 xy + 4 y 2 ) ( x 2 + 5 xy + 6 y 2 ) + y 4
Đặt:

t = x 2 + 5xy + 5 y 2 , t ∈ ¢

thì:

2
2
4
2
4
4
2
2
2
A = ( A = ( t − y ) ( t + y ) + y = t − y + y = t = ( x + 5 xy + 5 y )

Vì

x; y ∈ ¢

nên

x 2 ∈ ¢ ,5 xy ∈ ¢,5 y 2 ∈ ¢ ⇒ x 2 + 5 xy + 5 y 2 ∈ ¢ .

Vậy A là số chính phương.
Ví dụ 5. Chứng minh các số sau là số chính phương:
a)
b)

A = 22499...9100...09
{ {
n− 2

n

B = 11...155...56
{ {
n

n−1

Chứng minh:
a)

A = 224.102n + 99.9.10n+2 + 10n+1 + 9

(

)

= 224.102n + 10n− 2 − 1 .10n+ 2 + 10n+1 + 9

= 224.102n + 102n − 10n+2 + 10n+1 + 9
= 225.102n − 90.10n + 9

(

= 15.10n − 3

)

2

Vậy A là số chính phương

b)

n
B = 111...1555...5
+ 5.11...1
{
{ +1
123 1 2 3 + 1 = 11...1.10
n

n

n

10n − 1 n
10n − 1
=
.10 + 5.
+1
9
9

n

Trang 4

2

.

3

không phải


TỐN THCS VIỆT NAM

Chun đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNG

102n − 10n + 5.10n − 5 + 9
=
9
2

102n + 4.10n + 4  10n + 2 
=
=
 3 ÷÷
9



Vậy B là số chính phương
2. Dạng 1.2. Chứng minh một số khơng là số chính phương
 Phương pháp giải:



A khơng là số chính phương ta thường sử dụng một trong các cách sau:
Cách 1: chứng minh chữ số tận cùng của A là một trong các số 2 ; 3 ; 7 ; 8 .

2
Cách 2: chứng minh AMp (với p là số nguyên tố) nhưng A Mp



Cách 3: chứng minh

Chứng minh số


n2 < A < ( n + 1)

Ví dụ 6. Chứng minh rằng khơng tồn tại hai số tự nhiên
chính phương.

x

2

.

y

và

0

khác

sao cho

x2 + y

và

x + y2

là số

Chứng minh

x≥ y.

Khơng mất tính tổng quát, ta có thể giả sử
Khi đó, ta có:

⇒ x2 + y
(nếu

x 2 < x 2 + y ≤ x 2 + x = x ( x + 1) < ( x + 1)

2

khơng thể là số chính phương.

x≤ y

thì chứng minh tương tự ta có

Vậy khơng tồn tại hai số tự nhiên

x

và

x + y2

y

khơng là số chính phương).

sao cho

x2 + y

và

x + y2

là số chính phương.

 Nhận xét: Chứng minh rằng tích của bốn chữ số tự nhiên liên tiếp cộng 1 là một số chính phương.
Chứng minh
Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp là
Xét

a , a + 1 , a + 2 , a + 3 ( a∈ ¥ )

T = a ( a + 1) ( a + 2 ) ( a + 3) + 1

=  a ( a + 3)   ( a + 1) ( a + 2 )  + 1
= ( a 2 + 3a ) ( a 2 + 3a + 2 ) + 1
Đặt

x = a 2 + 3a , ta có:

T = x ( x + 2 ) + 1 = x 2 + 2 x + 1 = ( x + 1)
Vậy


T

2

hay

T = ( a 2 + 3a + 1)

.

là số chính phương (đpcm)

Nhận xét: Trong ví dụ trên ta khơng chỉ biết được
cịn là bình phương của số nào. Ví dụ:


2

1.2.3.4 + 1 = 25 = 52 .
Trang 5

T

là một số chính phương mà cịn biết được nó


TỐN THCS VIỆT NAM

Chun đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNG



2.3.4.5 + 1 = 121 = 112 .



3.4.5.6 + 1 = 361 = 192 .



4.5.6.7 + 1 = 841 = 292 .

Ví dụ 7. Giả sử N = 1.3.5.7...2007 . Chứng minh rằng trong 3 số ngun liên tiếp
khơng có số nào là số chính phương.
Chứng minh
•

2 N − 1,2 N

và

2N + 1

2 N − 1 = 2.1.3.5....2007 − 1

2 N M3 ⇒ 2 N − 1 không chia hết cho 3 và 2 N − 1 = 3k + 2 ( k ∈ ¥ ) .
⇒ 2 N − 1 khơng là số chính phương.
• 2 N = 2.1.3.5....2007
Vì N lẻ ⇒ N không chia hết cho 2 và 2 NM2 nhưng 2N không chia hết cho 4.
2N chẵn nên 2N không chia hết cho 4 dư 1 ⇒ 2N không là số chính phương.
• 2 N + 1 = 2.1.3.5....2007 + 1
2 N + 1 lẻ nên 2 N + 1 không chia hết cho 4.
2N không chia hết cho 4 nên 2 N + 1 không chia hết cho 4 dư 1.
⇒ 2 N + 1 khơng là số chính phương.
Ta có

Ví dụ 8.

Cho a = 11…1 ; b = 100…05
2008 chữ số 1

Chứng minh

ab + 1

2007 chữ số 0

là số tự nhiên.
Chứng minh

10 2008 − 1
Cách 1: Ta có a = 11…1 =
; b = 100…05 = 100…0 + 5 = 102008 + 5
9
2008 chữ số 1

⇒

2007 chữ số 0

2008 chữ số 0

2008
(10 2008 − 1)(10 2008 + 5)
(10 2008 ) 2 + 4.10 2008 − 5 + 9  10 + 2 


3
ab+1 =
+1=
=

9
9

 10 2008 + 2 
10 2008 + 2


ab + 1 =  3  =

3

10 2008 + 2
Ta thấy 102008 + 2 = 100…02  3 nên
∈ ¥ hay ab + 1 là số tự nhiên.
3
2007 chữ số 0
Cách 2: b = 100…05 = 100…0 – 1 + 6 = 99…9 + 6 = 9a +6

Trang 6


TỐN THCS VIỆT NAM

Chun đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNG

2007 chữ số 0

⇒
⇒

2008 chữ số 0

2008 chữ số 9

ab+1 = a(9a +6) + 1 = 9a2 + 6a + 1 = (3a+1)2

ab + 1

=

(3a + 1) 2 = 3a + 1 ∈ ¥

Ví dụ 9. Chứng minh rằng tổng các bình phương của 5 số tự nhiên liên tiếp không thể là một số chình
phương.
Chứng minh
Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp đó là
Ta có :

n − 2, n − 1, n, n + 1, n + 2 ( n ∈ ¥ , n ≥ 2 ) .

( n − 2 ) 2 + ( n − 1) 2 + n2 + ( n + 1) 2 + ( n + 2 ) 2 = 5 ( n2 + 2 )

Vì n 2 không thể tận cùng bởi 3 hoặc 8 do đó n 2 + 2 khơng thể chia hết cho 5.

(

)

⇒ 5 n2 + 2 khơng là số chính phương.
II.

Dạng 2. Lập số chính phương từ các chữ số đã cho

Ví dụ 10. Tìm số chính phương có bốn chữ số là

3, 6 , 8, 8.

Chứng minh
Gọi

A là số chính phương phải tìm.

Vì số chính phương khơng tận cùng bằng

⇒

hai chữ số tận cùng của

3 , 8 nên do đó A phải tận cùng bằng 6 .

A là 86 hoặc 36 .

A có hai chữ số tận cùng là 86 thì A chia hết cho 2 nhưng khơng chia hết cho 4

-

Nếu

-

A khơng phải là số chính phương (loại).
Nếu A có hai chữ số tận cùng là 36 thì A = 8836 .
Thử lại, ta có:

8836 = 942

nên

là số chính phương.

Vậy số cần tìm là 8836 .
Ví dụ 11. Cho A là số chính phương gồm 4 chữ số. Nếu ta thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị thì ta
được số chính phương B. Hãy tìm các số A và B.
Hướng dẫn giải:
Gọi

A = abcd   = k 2 . Nếu thêm vào mỗi chữ số của A một

đơn vị thì ta có số

B = ( a + 1) ( b + 1) ( c + 1) ( d + 1) = m2  với k , m∈  ¥ và 32 < k < m < 100

a, b, c, d   ∈ ¥ ; 1 ≤ a ≤ 9 ; 0 ≤ b, c, d ≤

⇒

m2 – k2 = 1111

⇔

 A = abcd = k 2
⇒
9 .  B = abcd + 1111 = m2

(m-k)(m+k) = 1111
Trang 7

(*)

TOÁN THCS VIỆT NAM

( m− k) ( m+ k)

Nhận xét thấy tích
Và

Chun đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNG

m − k < m + k < 200

nên

( *)

> 0

nên

có thể viết

m− k

và

m+ k

( m− k) ( m+ k)

là hai số nguyên dương.

= 11.101 .

  m – k = 11       m = 56             A = 2025
⇔
⇔

Do đó m + k = 101
  n = 45  
 B = 3136 

Ví dụ 12. Tìm số có 2 chữ số sao cho tích của số đó với tổng các chữ số của nó bằng tổng lập phương các
chữ số của số đó.
Hướng dẫn giải:
Gọi số có hai chữ số cần tìm là
Ta có :

ab ( 0 < a ≤ 9,0 ≤ b ≤ 9, a, b ∈ ¥ ) .

ab ( a + b ) = a3 + b3

⇔ 10a + b = a 2 − ab + b 2
⇔ 10a + b = ( a + b ) − 3ab
2

⇔ 3a ( 3 + b ) = ( a + b ) ( a + b − 1)

( a + b)

và

a + b − 1 nguyên tố cùng nhau do đó

  a + b = 3a
 a = 4



a
+
b
−
1
=
3
+
b

b = 8

⇒
  a + b − 1 = 3a
 a = 3


  a + b = 3 + b
 b = 7
Vậy

ab = 48

hoặc

ab = 37 .

Ví dụ 13. Một số tự nhiên gồm một chữ số

0

và sáu chữ số

6

có thể là một số chính phương khơng?

Chứng minh
Cách 1:

-

A là số gồm một chữ số 0 và sáu chữ số 6 .
Nếu A có chữ số tận cùng là 0 thì A có hai chữ số tận cùng là 60
⇒ A chia hết cho 5 nhưng A không chia hết cho 52 = 25 (vì 60 M25 )

-

⇒ A khơng là số chính phương.
Nếu A có chữ số tận cùng là 6 ⇒ A có hai chữ số tận cùng là 06
⇒ A chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 , do vậy A

Gọi

hoặc

66

khơng phải là số chính

phương.
Vậy A khơng phải là số chính phương.
Cách 2: Sử dụng kết quả “Số chính phương có chữ số tận cùng là 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ.
III.
Dạng 3: Tìm giá trị của biến để biểu thức là số chính phương
Ví dụ 14. Tìm số tự nhiên
a)

n2 + 2n + 12 .

b)

13n + 3 .

n sao cho các số sau là số chính phương:

Trang 8


TỐN THCS VIỆT NAM

Chun đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNG

Chứng minh
Hướng dẫn giải: Ta chuyển bài toán về dạng “ giải phương trình nghiệm nguyên”
a) Vì

(

2
2
n 2 + 2n + 12 là số chính phương nên đặt n + 2n + 12 = k ( k ∈ ¥ ) .

)

  n2 + 2n + 1 + 11 = k 2 ⇔ k 2 − ( n + 1) = 11 ⇔ ( k + n + 1) ( k − n − 1) = 11
Nhận xét thấy

2

k + n + 1 > k − n − 1 và chúng là những số nguyên dương, nên ta có thể viết:
k + n + 1 = 11  k = 6
⇔
k − n − 1 = 1
n = 4

( k + n + 1) ( k − n − 1) = 11 ⇔ 
b) Đặt

13n + 3 = y 2 ( y ∈ ¥ ) ⇒ 13 ( n − 1) = y 2 − 16
⇔ 13 ( n − 1) = y 2 − 16 = ( y + 4 ) ( y − 4 )

⇒ ( y + 4 ) ( y − 4 ) M13 mà 13 là số nguyên tố nên ( y + 4 ) M13

⇒ y = 13k ±  4

(với

hoặc

( y − 4) M13

k∈ ¥ )

⇒ 13 ( n − 1) = ( 13k ± 4 ) − 16 = 13k.( 13k ±  8 )
2

⇒ n = 13k 2 ±  8k + 1 .
Vậy

n = 13k 2 ±  8k + 1 (với k ∈ ¥ ) thì 13n + 3 là số chính phương.

Ví dụ 15. Tìm số tự nhiên

n ≥ 1 sao cho tổng P = 1!+ 2! + 3! + … + n! là một số chính phương.
Chứng minh

Hướng dẫn : Sử dụng ý tưởng miền giá trị (xét những giá trị đặc biệt thỏa mãn, những trường hợp cịn
lại chứng minh khơng thỏa)


Với

n = 1 thì P = 1! = 1 = 12 là số chính phương.



Với

n= 2



Với

n = 3 thì P = 1!+ 2!+ 3! = 1 + 2 + 6 = 9 = 32



Với

n≥ 4



thì

P = 1!+ 2! = 1 + 1.2 = 3 không là số chính phương.
là số chính phương.

ta có 1!+

2!+ 3!+ 4! = 1 + 1.2 + 1.2.3 + 1.2.3.4 = 33 còn 5!;6!;… ; n ! đều tận cùng

bởi 0 do đó P = 1!+
số chính phương.

2! + 3! + … + n! có tận cùng bởi chữ số 3 nên nó khơng phải là

Vậy có 2 số tự nhiên n thoả mãn đề bài là

Ví dụ 16. Tìm số có hai chữ số, biết rằng nếu nhân nó với

135 thì được một số chính phương.

Chứng minh
Trang 9

n = 1; n = 3.


TỐN THCS VIỆT NAM

Chun đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNG

n,

Gọi số phải tìm là

ta có 135n =

a 2 ( a∈ ¥ ) hay 33.5.n = a 2 .

Vì số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn nên
Vì

2
2
n là số có hai chữ số nên 10 ≤ 3.5.k ⇒ k ∈ { 1;4} .

-

Nếu

n = 3.5.k 2 ( k ∈ ¥ ).

k 2 = 1 thì n = 15
Nếu k 2 = 4 thì n = 60 .
Vậy số cần tìm là 15 hoặc 60 .

-

Ví dụ 17. Tìm số chính phương có bốn chữ số sao cho hai chữ số đầu giống nhau, hai chữ số cuối giống
nhau.
Chứng minh
Gọi số chính phương cần tìm là
Ta có

n 2 = aabb ( a , b ∈ ¥

và 1 ≤

a ≤ 9 , 0 ≤ b ≤ 9 ).

n2 = aabb = 1100a + 11b = 11( 100a + b ) = 11( 99a + a + b )

(1)

⇒ ( 99a + a + b ) M11 ⇒ ( a + b ) M11 ⇒ a + b = 11 .
2
2
a + b = 11 vào (1) ta được n = 11( 99a + 11) = 11 ( 9a + 1) .
⇒ 9a + 1 phải là số chính phương

Thay

a

9a + 1

1
10

2
19

3
28

4
37

5
46

6
55

a = 7 thì 9a + 1 = 64 = 82 là số chính phương.
Vậy a = 7 ⇒ b = 4 và số cần tìm là: 7744 = 112.82 = 882 .
2
Ta thấy chỉ có

Ví dụ 18.

Có hay không số tự nhiên n để 2006 + n là số chính phương.
Chứng minh

Giả sử 2006 + n2 là số chính phương thì 2006 + n2 = m2 (m
Từ đó suy ra m2 – n2 = 2006

⇔

∈ N)

(m + n)(m - n) = 2006

Như vậy trong 2 số m và n phải có ít nhất 1 số chẵn (1)
Mặt khác m + n + m – n = 2m
Từ (1) và (2)

⇒
⇒
⇒

⇒

2 số m + n và m – n cùng tính chẵn lẻ (2)

m + n và m – n là 2 số chẵn
(m + n)(m - n)  4 Nhưng 2006 không chia hết cho 4
Điều giả sử sai.

Vậy không tồn tại số tự nhiên n để 2006 + n2 là số chính phương.
Ví dụ 19.

Biết

x∈ ¥

và

x > 2 . Tìm x sao cho x ( x − 1) .x ( x − 1) = ( x − 2 ) xx ( x − 1)
Giải:

2

Đẳng thức đã cho được viết lại như sau:

x ( x − 1) = ( x − 2 ) xx ( x − 1)

Do vế trái là một số chính phương nên vế phải cũng là một số chính phương .
Trang 10

7
64

8
73


TỐN THCS VIỆT NAM

Chun đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNG

Một số chính phương chỉ có thể tận cùng bởi 1 trong các chữ số

0; 1; 4; 5; 6; 9 nên x

chỉ có

thể tận cùng bởi 1 trong các chữ số 1; 2; 5; 6; 7; 0. (1)

x là chữ số nên x ≤ 9, kết hợp với điều kiện đề bài ta có x∈ ¥
Từ (1) và (2) ⇒ x chỉ có thể nhận 1 trong các giá trị 5; 6; 7.
Do

và

2 < x ≤ 9 . (2)

Bằng phép thử ta thấy chỉ có x = 7 thỏa mãn đề bài, khi đó 762 = 5776
Ví dụ 20.

(Đề HSG Tốn 9 – Tỉnh Bình Dương – 2016 - 2017) Xác định số điện thoại của THCS X

thành phố Thủ Dầu Một, biết số đó dạng

82xxyy

với

xxyy

là số chính phương.

Chứng minh
Ta có:

xxyy = 11x0 y

là số chính phương nên

x0 y M11 ⇔ 100 x + y M11 ⇔ 99 x + x + y M11
 x + y = 11
⇔ x + y M11 ⇔ 
x + y = 0
x = y = 0
⇒
 x + y = 11
Ta có:

xxyy = 11x0 y = 11(99 x + x + y ) = 11(99 x + 11) = 112 (9 x + 1)

⇒ 9 x + 1 là số chính phương.
⇒ x= 7⇒ y = 4
Vậy xxyy = 7744; xxyy = 0000 .
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG:
Bài 1.

Tìm số tự nhiên

n có 2 chữ số biết rằng 2n + 1 và 3n + 1 đều là các số chính phương.
Hướng dẫn giải:

Ta có

10 ≤ n ≤ 99

nên

21 ≤ 2n + 1 ≤ 199 . Tìm số chính phương lẻ trong khoảng trên ta được 2n + 1 bằng

25; 49; 81; 121; 169 tương ứng với số
Số

bằng 12; 24; 40; 60; 84.

3n + 1 bằng 37; 73; 121; 181; 253. Chỉ có 121 là số chính phương.

Vậy

Bài 2.

n

n = 40 .
(Đề HSG Toán 9 – Hà Giang – 2017 - 2018) Tìm các số nguyên dương
là số chính phương.
Hướng dẫn giải:
Đặt

A = n 4 + n3 + 1.
Trang 11

n sao cho n4 + n3 + 1


TỐN THCS VIỆT NAM

Chun đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNG

Với

n = 1 thì A = 3 khơng thỏa mãn.

Với

n≥ 2

Xét

4 A − ( 2n 2 + n − 1) = 3n2 + 2n + 3 > 0 ⇒ 4 A > ( 2n2 + n − 1) .

Xét

4 A − ( 2n 2 + n ) = 4 − n 2 ≤ 0 ⇒ 4 A ≤ ( 2n 2 + n ) .

Vậy

4 A = ( 2n 2 + n ) ⇒ n = 2.

ta có

4 A = 4n4 + 4n3 + 4.
2

2

2

2

2

Bài 3.

(Đề HSG Toán 9 – Hậu Giang – 2017 - 2018) Tìm số tự nhiên
chính phương.
Hướng dẫn giải:
Đặt

n2 + 2n + 8 = a 2 ⇔ ( a − n − 1) ( a + n + 1) = 7
a + n + 1 = 7
⇒

nên  a − n − 1 = 1

a + n+ 1> a − n− 1
Với n = 2 ⇒ A = 22 + 2.2 + 8 = 16 = 42
Vì

Bài 4.

với

n sao cho A = n2 + 2n + 8 là số

a nguyên dương.

a = 4

n = 2 .

là số chính phương.

625 số tự nhiên liên tiếp 1,2,3,...,625 chọn
ra 311 số sao cho khơng có hai số nào có tổng bằng 625 . Chứng minh rằng trong 311 số được
(Đề HSG Toán 9 – Hưng Yên – 2017 - 2018) Từ

chọn, bao giờ cũng có ít nhất một số chính phương.
Hướng dẫn giải:

Ta phân chia

625 số tự nhiên đã cho thành 311 nhóm như sau:

+) nhóm thứ 1 gồm năm số chính phương
+) và

{ 49;225;400;576;625}

310 nhóm cịn lại mỗi nhóm gồm hai số có tổng bằng 625 (khơng chứa các số của nhóm 1).

Nếu trong 311 số được chọn khơng có số nào thuộc nhóm thứ 1 , thì 311 số này thuộc các nhóm cịn
lại. Theo ngun tắc Dirichle phải có ít nhất hai số thuộc cùng một nhóm. Hai số này có tổng
bằng
Bài 5.

625 (vơ lí). Vậy chắc chắn trong 311 số được chọn phải có ít nhất một số thuộc nhóm thứ

1 . Số này là số chính phương.

(Đề HSG Tốn 9 – Khánh Hịa – 2017 - 2018) Cho p là một số nguyên tố thỏa
mãn p = a − b với a, b là hai số nguyên dương phân biệt. Chứng minh rằng : Nếu lấy
chia cho 3 và loại bỏ phần dư thì nhận được số là bình phương của một số nguyên lẻ.
Hướng dẫn giải:
3

Ta có

3

p = a3 − b3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2 )

là số nguyên tố mà
Trang 12

a, b

là số nguyên dương

a− b= 1

4p


TỐN THCS VIỆT NAM

Chun đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNG

3
3
2
2
⇒ a = b + 1 ⇒ p = (b + 1) − b = 3b + 3b + 1 ⇒ 4 p = 12b + 12b + 4 ≡ 1(mod 3)

Nếu lấy
Bài 6.

4p

chia 3 và loại bỏ phần dư ta được

A = 4b2 + 4b + 1 = ( 2b + 1)

2

là số chính phương lẻ.

(Đề HSG Tốn 9 – Nghệ An – 2017 - 2018) Tìm một số chính phương có bốn chữ số biết rằng
chữ số hàng đơn vị là số nguyên tố và căn bậc hai của số cần tìm có tổng các chữ số là một số
chính phương.
Hướng dẫn giải:

Gọi số cần tìm có dạng

abcd ⇒ abcd = n 2 ( n ∈ Ν

⇒ d = 0 ;1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9 mà d
Do

d = 5 nên n

*

).

là số nguyên tố nên

có tận cùng là

d = 5.

5 hay n = e5 ; mà e + 5 là số chính phương nên e = 4 .

⇒ n = 45 ⇒ abcd = 2045 .
Bài 7.

(Đề HSG Tốn 9 – Ninh Bình – 2017 – 2018) Tìm các số tự nhiên
là số chính phương.
Hướng dẫn giải:
Đặt:

n sao cho n2 + 12n + 1975

n 2 + 12n + 1975 = m 2 ⇔ m 2 − ( n + 6 ) = 1939 .
2

⇔ ( m − n + 6 ) ( m + n + 6 ) = 1939(m ∈ ¢ ) .
Do

⇔ ( m + n + 6 ) ≥ ( m − n + 6 ) nên ta có:

 ( m + n + 6 ) = 1939
⇔ n = 963

m
−
n
+
6
=

1
)
Trường hợp 1:  (
.
 ( m + n + 6 ) = 277
⇔ n = 129

m
−
n
+
6
=
7
(
)
Trường hợp 2: 
.
Bài 8.

n là số nguyên dương thỏa mãn n + 1 và
2n + 1 đồng thời là hai số chính phương. Chứng minh rằng n chia hết cho 24 .

(Đề HSG Toán 9 – Quảng Bình – 2017 – 2018) Cho

Hướng dẫn giải:

Vì

2n + 1 là số chính phương lẻ nên ( 2n + 1) ≡ 1( mod8) ⇒ 2nM8 ⇒ nM4 .

Nên

n là số chẵn, suy ra n + 1 là số chính phương lẻ. Nên ( n + 1) ≡ 1( mod8) ⇒ nM8 , ( 1) .

Mặt khác
Do đó
Từ

( 1)

( n + 1) + ( 2n + 1) = ( 3n + 2) ≡ 2 ( mod3)

( n + 1) ≡ ( 2n + 1) ≡ 1( mod3) ⇒ nM3 , ( 2 ) .
và

( 2)

ta có nM24 .
Trang 13

mà

n + 1 và 2m + 1 là các số chính phương lẻ.


TỐN THCS VIỆT NAM

Bài 9.

Chun đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNG

(Đề HSG Toán 9 – Quảng Nam – 2017 – 2018) Cho số nguyên tố
dương a,b sao cho
phương.

p 2 + a 2 = b 2 . Chứng minh a

chia hết cho

p ( p > 3 ) và hai số nguyên

12 và 2 ( p + a + 1)

là số chính

Hướng dẫn giải:
Ta có

p2 = b2 - a2 = ( b - a)( b + a) .

Vì b + a > b Vì

ìï b + a = p2
ï
Þ 2a = p2 - 1
í
.
a > 0 nên ïïïỵ b - a = 1

p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2 .

Nếu

p = 3k + 1 thì p2 - 1 = 9k2 + 6k chia hết cho 3 nên 2a chia hết cho 3 . Mà

( 2,3) = 1 nên a chia hết cho 3 .
Mặt khác

p là số lẻ nên p có dạng p = 2m + 1. Khi đó 2a = p2 - 1 = 4m2 + 4m

a = 2m( m + 1) . Vì m( m + 1)
chia hết cho

chia hết cho

2 nên a chia hết cho 4 . Vì ( 3,4) = 1

nên
nên a

12 .

Theo chứng minh trên có

2a = p2 - 1 nên 2( p + a + 1) = 2p + 2a + 2 = p2 + 2p + 1

2

= ( p + 1) . Vậy 2( p + a + 1) là số chính phương.

Bài 10.

(Đề HSG Tốn 9 – Quảng Ninh – 2017 – 2018) Tìm số tự nhiên
chính phương.
Hướng dẫn giải:
Đặt

24 + 27 + 2n = k 2 với k Ỵ N*

Ta có 16 +128 + 2

n

= k 2 Û 2n = ( k - 12)( k +12)

ìï k +12 = 2 x
ïí
y
Khi đó ïïỵ k - 12 = 2 , với x , y Ỵ N ,

x> y

nên 2 x- y -

x
y
y
x- y
x + y = n . Suy ra 2 - 2 = 24 Û 2 ( 2 - 1) = 24

ìï 2 x- y - 1 = 3
ïí
Û
y
là số lẻ. Suy ra ïïỵ 2 = 8

1
Khi đó 24 + 27 + 28 = 202
Vậy n = 8 là số cần tìm.
Vì

Bài 11.

n để 24 + 27 + 2n là số

ïìï x - y = 2
Û
í
ỵïï y = 3

ïìï x = 5
ị n =8
ớ
ợùù y = 3

( HSG Toỏn 9 – Vĩnh Long – 2017 – 2018) Tìm tất cả các số nguyên dương

70 + 4n − n2

là số chính phương.

Trang 14

n sao cho


TỐN THCS VIỆT NAM

Chun đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNG

Hướng dẫn giải:
Đặt

70 + 4n − n2 = k 2 , k ∈ ¥ .
74 = k 2 + n 2 − 4n + 4 ⇔ k 2 + ( n − 2 ) = 74
2

Ta có:

Suy ra:

0 ≤ k 2 , ( n − 2 ) ≤ 74
2

với

Các số chính phương bé hơn 74 là:

Vì

k 2 + ( n − 1) = 74

2

k ∈ ¥,n∈ ¥ *
0;1;4;9;16;25;36;49;64 .

nên ta có các trường hợp sau:

 k 2 = 49
k = 7
⇔

2
n = 7 (nhận).
* TH1: ( n − 2 ) = 25
 k 2 = 25
⇔

2
* TH2:  ( n − 2 ) = 49
Bài 12.

k = 5

 n = 9 (nhận).

(Đề TS Chuyên Toán 9 – Hải Dương – 2017 – 2018) Tìm tất cả các số ngun dương
thỏa mãn

Giả sử
Ta có

Mà

x2 + 3 y

và

y 2 + 3x

x≥ y,
x 2 < x 2 + 3 y ≤ x 2 + 3x

x 2 + 3x = ( x + 2 ) − x − 4 < ( x + 2 )
2

⇒ x2 < x2 + 3 y < ( x + 2)
Do

là số chính phương.
Hướng dẫn giải:

x2 + 3 y

2

2

là số chính phương

⇒ x 2 + 3 y = ( x + 1) ⇒ 3 y = 2 x + 1
2

4x2 + 4x + 1
4 x 2 + 31x + 1
2
⇒y =
⇒ y + 3x =
.
9
9
2

Để

y 2 + 3x

Ta có

là số chính phương thì

( 2 x + 1)

2

4 x 2 + 31x + 1 là số chính phương.

≤ 4 x 2 + 31x + 1 = ( 2 x + 8 ) − x − 63 < ( 2 x + 8 )

⇒ 4 x 2 + 31x + 1 = ( 2 x + a )

2

2

với 1 ≤

a ≤ 7, a ∈ Z, a > 0

a2 −1
⇒x=
31 − 4a
Trang 15

2

( x; y )


TỐN THCS VIỆT NAM

Chun đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNG

2

3
8
23 (L) 19 (L)

(L)

y=

⇒

24
11 (L)
(L)

( x; y ) là ( 1;1)

x ≤ y , tương tự

và

( 16;11) .

như trên ta có 2 nghiệm

Vậy, có tất cả các cặp số
Bài 13.

5

2x + 1
3

có 2 nghiệm

Nếu

4

3

( x; y )

thỏa mãn là

( x; y ) là ( 1;1)

( 1;1) ; ( 16;11)

và

và

( 11;16) .

( 11;16) .

(Đề TS Chun Tốn 9 – TP Hồ Chí Minh – 2017 – 2018) Cho biểu thức

A = (m+ n) 2 + 3m + n
thì

n3 + 1

Ta có:

với

chia hết cho

m, n

là các số nguyên dương. CMR nếu

m.

A = (m+ n)2 + 3m + n

A là một số chính phương

Hướng dẫn giải:
là số chính phương

(m + n) 2 + 3m + n = k 2
⇔ k 2 − (m+ n) 2 = 3m + n
⇔ (k + m+ n)(k − m − n) = 3m + n
Với

k , m, n

là các số nguyên dương và

(k + m + n)(k − m − n) = (3m + n).1
k + m + n = 3m+ n
⇔
k − m− n = 1

k + m+ n > k − m− n

nên ta có thể viết:

k

m = 2
⇔
 k −1 = n
 2

1
1
k k 2 − 6k k
n3 + 1 = (k − 2)3 + 1 = ( k 3 − 6k 2 + 12k − 8 + 8) = (
)M
8
8
2
4
2

⇒ n3 + 1 Mm .
Bài 14.

(Đề TS Chuyên Toán 9 – TP Phú Thọ – 2017 – 2018) Tìm các số ngun
là số chính phương.
Hướng dẫn giải:
Xét phương trình
Do đó

x 2 + mx − 3 = 0 (1) . Ta thấy x = 0

không là nghiệm của (1) nên

m 2 + 12 ( m∈ ¢ ) là số chính phương khi và chỉ khi (1)

x0 .
Trang 16

m sao cho m2 + 12
x ≠ 0.

có nghiệm nguyên


TỐN THCS VIỆT NAM

Chun đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNG

3 = x0 ( x0 + m)Mx0 ⇒ x0 ∈ { − 1; − 3;1;3} .

Suy ra
Ta có

+) x0 = −1 ⇒ 1 + m − 3 = 0 ⇒ m = 2;
+) x0 = 1 ⇒ 1 − m − 3 = 0 ⇒ m = −2;
+) x0 = 3 ⇒ 9 + 3m − 3 = 0 ⇒ m = −2;
+) x0 = −3 ⇒ 9 − 3m − 3 = 0 ⇒ m = 2.
Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn bài toán là
Bài 15.

Viết liên tiếp từ 1 đến 12 được số
Giả sử

H

có

m = ± 2.

H = 1234...1112 . Số H

có thể có

Hướng dẫn giải:

81 ước được khơng?

81 ước.

Vì số lượng các ước của

H

là

81 (là số lẻ) nên H

mặt khác, tổng của các chữ số của

H

là số chính phương (1)

là:

1 + 2 + 3 + ... + 9 + ( 1 + 0 ) + ( 1 + 1) + ( 1 + 2 ) = 51 .
Vì

51M3 ; 51 M9

nên

H

chia hết cho

3

nhưng khơng chia hết cho

9 , do đó H

khơng là số

chính phương: mâu thuẫn với (1) !
Vậy
Bài 16.

H

khơng thể có

81 ước.

Có hay khơng số tự nhiên

n để 2010 + n2 là số chính phương.
Hướng dẫn giải:

Giả sử

2
2
2010 + n2 là số chính phương thì 2010 + n = m ( m ∈ ¥ ) .

Từ đó suy ra

m2 − n 2 = 2010 ⇔ ( m + n ) ( m − n ) = 2010

Như vậy trong 2 số
Mặt khác

m

và

n

phải có ít nhất 1 số chẵn (1).

m + n + m − n = 2m ⇒

Từ (1) và (2)

2 số

m + n và m − n cùng tính chẵn lẻ (2).

⇒ m + n và m − n là 2 số chẵn.

⇒ ( m + n ) ( m − n ) M4 nhưng 2010 không chia hết cho 4
⇒

Điều giả sử sai.

n để 2010 + n2 là số chính phương.
Chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên sao cho n + 1 và 2n + 1 đều là các số chính phương thì n là

Vậy khơng tồn tại số tự nhiên
Bài 17.

bội số của 24.

Hướng dẫn giải:
Trang 17


TỐN THCS VIỆT NAM

Vì

Chun đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNG

n + 1 và 2n + 1 là các số chính phương nên đặt n + 1 = k 2

Ta có

m

là số lẻ

và

2n + 1 = m 2 , ( k ,m ∈ ¥ ) .

⇒  m = 2a + 1 ⇒ m2 = 4a ( a + 1) + 1

m 2 − 1 4a(a + 1)
n=
=
= 2a(a + 1)
Mà
2
2

⇒ n chẵn ⇒ n + 1 lẻ ⇒ k

lẻ

⇒ n = 4b ( b + 1)   ⇒ n M8

(1)

Ta có: k 2 + m 2

⇒

đặt

= 3n + 2 2 (mod 3).

Mặt khác k 2 chia cho 3 dư 0 hoặc 1,
Nên để k 2 +

2
k = 2b + 1 (với b∈ ¥ ) ⇒ k = 4b ( b + 1) + 1

m2 chia cho 3 dư 0 hoặc 1

m2 ≡  2 (mod3) thì k 2  ≡ 1 (mod3)
m2  ≡ 1 (mod3)

⇒ m2 − k 2 ≡  3
Mà

( 8; 3) = 1

Từ (1), (2), (3)

hay

( 2n

+ 1) − ( n + 1)  M3 ⇒ n M 3

(2)

(3)

⇒ nM24 .

TÀI LIỆU THAM KHẢO.
1. Sách giáo khoa, sách bài tập Toán 6 - Tập I.
2. Các chuyên đề chọn lọc Toán 6 – Tập I
3. Một số đề thi học sinh giỏi lớp 6, 9.
4. Một số đề thi chuyên Tuyển sinh vào lớp 10.
4. Một số chuyên đề liên quan đến số chính phương được đăng trên tạp chí Tốn học & tuổi trẻ và
trên tạp chí Tốn tuổi thơ 2.

Trang 18


TỐN THCS VIỆT NAM

Chun đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNG

Trang 19