Bai tap ve Vec to

Mt s bi tp v vect
A. Khái niệm véc tơ
1. Cho ABC. Có thể xác định đợc bao nhiêu vectơ khác
0

2. Cho tứ giác ABCD
a/ Có bao nhiêu vectơ khác
0

b/ Gọi M, N, P, Q lần lợt là trung điểm AB, BC, CD, DA.
CMR :

MQ
=

NP
3. Cho ABC. Gọi M, N, P lần lợt là trung điểm AB, BC, CA.
a/ Xác định các vectơ cùng phơng với

MN
b/ Xác định các vectơ bằng

NP
2. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF. Dựng các vectơ

EH
và

FG
bằng

AD
CMR : ADHE, CBFG, DBEG là hình bình hành.
3. Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD với AB=2CD. Từ C vẽ

CI
=

DA
. CMR :
a/ I là trung điểm AB và

DI
=

CB
b/

AI
=

IB
=

DC
4. Cho ABC. Gọi M, N, P lần lợt là trung điểm của BC, CA, AD. Dựng

MK
=

CP

và

KL
=

BN
a/ CMR :

KP
=

PN
b/ Hình tính tứ giác AKBN
c/ CMR :

AL
=
0

B. Phép toán véc tơ
1. Cho 4 điểm A, B, C, D. CMR :

AC
+

BD
=

AD
+

BC
5. Cho 5 điểm A, B, C, D, E.
CMR :

AB
+

CD
+

EA
=

CB
+

ED
6. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F.
CMR :

AD
+

BE
+

CF
=

AE
+

BF
+

CD
7. Cho 8 điểm A, B, C, D, E, F, G, H.
CMR :

AC
+

BF
+

GD
+

HE
=

AD
+

BE
+

GC
+

HF
8. Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD. CMR :
a/

DO
+

AO
=

AB
1
Mt s bi tp v vect
b/

OD
+

OC
=

BC
c/

OA
+

OB
+

OC
+

OD
=
0

d/

MA
+

MC
=

MB
+

MD
(với M là 1 điểm tùy ý)
9. Cho tứ giác ABCD. Gọi O là trung điểm AB.
CMR :

OD
+

OC
=

AD
+

BC
10. Cho ABC. Từ A, B, C dựng 3 vectơ tùy ý

'AA
,

'BB
,

'CC
CMR :

'AA
+

'BB
+

'CC
=

'BA
+

'CB
+

'AC
.
11. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính

+
ADAB
theo a
12. Cho hình chữ nhật ABCD, biết AB = 3a; AD = 4a.
a/ Tính

+
ADAB

b/ Dựng
u

=

+
ACAB
. Tính
u


13. Cho ABC vuông tại A, biết AB = 6a, AC = 8a
a/ Dựng
v

=

+
ACAB
.
b/ Tính
v

.
14. Cho tứ giác ABCD, biết rằng tồn tại một điểm O sao cho các véc tơ
, , ,OA OB OC OD
uuur uuur uuur uuur
có độ dài bằng
nhau và
OA OB OC OD+ + +
uuur uuur uuur uuur
= 0. Chứng minh ABCD là hình chữ nhật
2. Cho ABC. Gọi M, N, P lần lợt là trung điểm của BC, CA, AB và O là 1 điểm tùy ý.
a/ CMR :

AM
+

BN
+

CP
=
0

b/ CMR :

OA
+

OB
+

OC
=

OM
+

ON
+

OP
15. Cho ABC có trọng tâm G. Gọi MBC sao cho

BM
= 2

MC
a/ CMR :

AB
+ 2

AC
= 3

AM
b/ CMR :

MA
+

MB
+

MC
= 3

MG
16. Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F lần lợt là trung điểm của AB, CD và O là trung điểm của EF.
a/ CMR :

AD
+

BC
= 2

EF
b/ CMR :

OA
+

OB
+

OC
+

OD
=
0

c/ CMR :

MA
+

MB
+

MC
+

MD
= 4

MO
(với M tùy ý)
d/ Xác định vị trí của điểm M sao cho

MA
+

MB

+

MC
+

MD
nhỏ nhất
17. Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H lần lợt là trung điểm AB, BC, CD, DA và M là 1 điểm tùy ý.
2
Mt s bi tp v vect
a/ CMR :

AF
+

BG
+

CH
+

DE
=
0

b/ CMR :

MA
+

MB
+

MC
+

MD
=

ME
+

MF
+

MG
+

MH
c/ CMR :

+
ACAB
+

AD
= 4

AG
(với G là trung điểm FH)

18. Cho hai ABC và DEF có trọng tâm lần lợt là G và H.
CMR :

AD
+

BE
+

CF
= 3

GH
19. Cho hình bình hành ABCD có tâmO và E là trung điểm AD. CMR :
a/

OA
+

OB
+

OC
+

OD
=
0

b/

EA
+

EB
+ 2

EC
= 3

AB
c/

EB
+ 2

EA
+ 4

ED
=

EC
3. Cho 4 điểm A, B, C, D. CMR :

AB


CD
=

AC
+

DB
20. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. CMR :
a/*

CD
+

FA


BA


ED
+

BC


FE
=
0

b/

AD

FC


EB
=

CD


EA


FB
c/

AB


DC


FE
=

CF


DA

+

EB
21. Cho ABC. Hãy xác định điểm M sao cho :
a/

MA


MB
+

MC
=
0

b/

MB


MC
+

BC
=
0

c/

MB


MC
+

MA
=
0

d/

MA


MB


MC
=
0

e/

MC
+

MA

MB
+

BC
=
0

22. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3a, AD = 4a.
a/ Tính

AD


AB

b/ Dựng
u

=

CA


AB
. Tính
u


23. Cho ABC đều cạnh a. Gọi I là trung điểm BC.
a/ Tính

ACAB

b/ Tính

BA


BI

24. Cho ABC vuông tại A. Biết AB = 6a, AC = 8a.
Tính


ACAB

4. Cho ABC. Gọi M, N, P lần lợt là trung điểm của BC, CA, AB và O là 1 điểm tùy ý.
3
Mt s bi tp v vect
a/ CMR :

AM
+

BN
+

CP
=

0

b/ CMR :

OA
+

OB
+

OC
=

OM
+

ON
+

OP

5. Cho ABC có trọng tâm G. Gọi M BC sao cho

BM
= 2

MC
a/ CMR :

AB

+ 2

AC
= 3

AM
b/ CMR :

MA
+

MB
+

MC
= 3

MG
25. Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F lần lợt là trung điểm của AB, CD và O là trung điểm của EF.
a/ CMR :

AD
+

BC
= 2

EF
b/ CMR :

OA
+

OB
+

OC
+

OD
=
0

c/ CMR :

MA
+

MB
+

MC
+

MD
= 4

MO
(với M tùy ý)
26. Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H lần lợt là trung điểm AB, BC, CD, DA và M là 1 điểm tùy ý.

a/ CMR :

AF
+

BG
+

CH
+

DE
=
0

b/ CMR :

MA
+

MB
+

MC
+

MD
=

ME

+

MF
+

MG
+

MH
c/ CMR :

AB
+

AC
+

AD
= 4

AG
(với G là trung điểm FH)
27. Cho hai ABC và DEF có trọng tâm lần lợt là G và H.
CMR :

AD
+

BE
+

CF
= 3

GH
28. Cho hình bình hành ABCD có tâm O và E là trung điểm AD. CMR :
a/

OA
+

OB
+

OC
+

OD
=
0

b/

EA
+

EB
+ 2

EC

= 3

AB
c/

EB
+ 2

EA
+ 4

ED
=

EC
29. Cho tam giác ABC, Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI, gọi J là điểm trên BC kéo dài
sao cho 5JB = 2JC.
a) Tính
, ,AI AJ theo AB AC
uur uur uuur uuur
b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Tính
AG
uuur
theo
AI
uuur
và
AJ
uur
6. Cho ABC có M, D lần lợt là trung điểm của AB, BC và N là điểm trên cạnh AC sao cho

AN
=
2
1

NC
. Gọi K là trung điểm của MN.
a/ CMR :

AK
=
4
1

AB
+
6
1

AC
b/ CMR :

KD
=
4
1

AB
+

3
1

AC
30. Cho ABC. Trên hai cạnh AB, AC lấy 2 điểm D và E sao cho

AD
= 2

DB
,

CE
= 3

EA
. Gọi
M là trung điểm DE và I là trung điểm BC. CMR :
4
Mt s bi tp v vect
a/

AM
=
3
1

AB
+
8

1

AC
b/

MI
=
6
1

AB
+
8
3

AC
31. Cho 4 điểm A, B, C, D thỏa 2

AB
+ 3

AC
= 5

AD
CMR : B, C, D thẳng hàng.
32. Cho ABC, lấy M, N, P sao cho

MB
= 3

MC
;

NA
+3

NC
=
0

và

PA
+

PB
=
0

a/ Tính

PM
,

PN
theo

AB
và

AC
b/ CMR : M, N, P thẳng hàng.
33. Cho tam giác ABC.Gọi A là điểm đối xứng với A qua B, B là điểm đối xứng với B qua C, C là
điểm đối xứng với C qua A.Chứng minh các tam giác ABC và ABC có cùng trọng tâm.
34. Cho tam giác ABC và điểm M tuỳ ý. Gọi A, B, C lần lợt là điểm đối xứng của M qua các trung
điểm K, I, J của các cạnh BC, CA, AB
a/ Chứng minh ba đờng thẳng AA, BB, CC đồng qui
b/ Chứng minh khi M di động , MN luôn qua trọng tâm G tam giác ABC
35. Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn tng đtều kiện sau :
a/
MA MB=
uuur uuur
.
b/
MA MB MC O+ + =
uuur uuur uuuur ur
c/ |
C + = +
uuuur uuuur uuuur uuuur
d/
C
3
+ =
2
uuuur uuur uuuur uuuur

e/ |
C + =
uuuur uuur uuuur uuuur

C. Trục Toạ độ trên trục:
7. Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lợt là 2 và 5.
a/ Tìm tọa độ của

AB
.
b/ Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB
c/ Tìm tọa độ của điểm M sao cho 2

MA
+ 5

MB
=
0

d/ Tìm tọa độ điểm N sao cho 2
NA
+ 3
NB
= 1
36. Trên trục x'Ox cho 3 điểm A, B, C có tọa độ lần lợt là a, b, c.
a/ Tìm tọa độ trung điểm I của AB
b/ Tìm tọa độ điểm M sao cho

MA
+

MB

MC
=
0

c/ Tìm tọa độ điểm N sao cho 2

NA
3

NB
=

NC
37. Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lợt là 3 và 1.
5