Đề thi và đáp án môn Toán thi vào lớp 10 trường Chuyên Bắc Giang năm 2006 - 2007

sở giáo dục - đào tạo
Bắc giang
Đề chính thức
Đề thi tuyển sinh lớp 10
Đề thi tuyển sinh lớp 10
tr
tr
ờng THPT chuyên
ờng THPT chuyên
Năm học 2006-2007
Môn thi: Toán (đề chuyên)
Thời gian làm bài: 150 phút
Bi 1 (2,0 im)
Cho phng trỡnh (m+1)x
2
+ (2m + 1)x + m 1 = 0 , m là tham số.
a) Tỡm m phng trỡnh ó cho cú nghim.
b) Tỡm m phng trỡnh cú 2 nghim x
1
v x
2
tha món
2006
2
2
2
1
=+
xx
.
Bi 2 (2,0 im)

a) Rỳt gn biu thc
200622007200622007
+=
A
.
b) Tỡm tt c cỏc cp s nguyờn a v b sao cho
200622007
+
l nghim ca
phng trỡnh x
2
+ ax + b = 0.
Bi 3 (1,5 im)
Tỡm tt c cỏc s thc dng x v y thoả mãn:
27
1
xyyx
33
=+
.
Bi 4 (3,5 im)
Cho tam giỏc vuụng cõn ABC (AB = AC). im M nm trờn cnh BC ( M khác
B và C ). ng trũn ( I ) i qua M v tip xỳc vi ng thng AB ti B, ng trũn
( J ) i qua M v tip xỳc vi ng thng AC ti C.
a) Nờu cỏch xỏc nh tõm I ca ng trũn ( I ) v tõm J ca ng trũn ( J ).
b) Cỏc ng trũn ( I ) v ( J ) ct nhau ti im th hai N. Chng minh t giỏc
BNCA ni tip ng trũn .
c) Chng minh rng khi M di ng trờn on BC thỡ tng cỏc bỏn kớnh ca hai
ng trũn ( I ) v ( J ) khụng i v ng thng MN luụn i qua mt im
c nh.

Bi 5 (1,0 im)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : P = a
3
+ b
3
biết a + b = a
2
+ b
2
ab .
------------------- Hết --------------------
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Giám thị số 1 (họ tên và kí): ..
Giám thị số 2 (họ tên và kí): ..
sở giáo dục - đào tạo
bắc giang
Đề chính thức
Đáp án - thang điểm
Đáp án - thang điểm
đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên
đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên
Năm học 2006-2007
Môn: Toán (đề chuyên)
(Đáp án Thang điểm gồm 03 trang)
Bài
ý
Nội dung Điểm
1 2,00
a.
+ Với m = -1, phơng trình có nghiệm x = - 2.

0,25
+ Với m -1, phơng trình có nghiệm
<=> = (2m + 1)
2
4(m+1)(m 1) 0 <=> 4m + 5 0 <=> m
4
5


0,5
+ Kết luận: m
4
5

là các giá trị cần tìm.
0,25
b.
+ Với m
4
5

, theo hệ thức Vi ét:
1m
1m
xx
1m
1m2
xx
21
21

+

=
+
+
=+
0,25
+ Ta có x
1
2
+ x
2
2
= (x
1
+ x
2
)
2
2x
1
x
2
=
1m
)1m(2
1m
1m2
2
+

+
+
0,25
+ Theo bài ra x
1
2
+ x
2
2
= 2006 ta đợc 2004m
2
+ 4008m + 2003 = 0
<=>
2004
50122004
m
2004
50122004
m
+
=

=
0,25
+ Kết luận: hai giá trị của m tìm đợc ở trên đều thoả mãn.
0,25
2
2,00
a.
A =
22
)12006()12006(
+
0,25
A =
1200612006
+
0,25
A
21200612006
=++=
0,25
Kết luận: Vậy A = 2.
0,25
b.
+Gi s a v b l 2 s nguyờn sao cho
200622007x
+=
l nghim
phng trỡnh x
2
+ ax + b = 0.

+Ta cú
0)200622007()200622007(
2
=++++
ba
0,25
+Biến đổi và rút gọn ta đợc: 0,25
0)2007.2006.42007(2006)22007.4(
2
=+++++
baa
(*)
*Nhận xét
2006
l s vụ t. Vỡ a v b l cỏc s nguyờn nờn
4.2007 + 2a v 2007
2
+ 4.2006 +a.2007 + b l cỏc s nguyờn. 0,25
*Nu 4.2007 + 2a 0 thỡ
a
ba
22007.4
2007.2006.42007
2006
2
+
+++
=
l s hu t.
iu ny vụ lý nờn 4.2007 + 2a = 0 hay a = 2.2007 = 4014

Thay vo h thc (*) ta cú b = 2005
2
= 4 020 025.
D thy a = 4014 v b = 4 020 025 tha món iu kin bi.
0,25
3 1,50
t z =
3
1
. Ta cú:
03
27
1
33333
=++=+
xyzzyxxyyx
0,25

0))((
222
=++++
zxyzxyzyxzyx
0,25
Vỡ x, y, z u ln hn 0 nờn:

0)xz()zy()yx(
0)zxyzxyzyx(20zxyzxyzyx
222
222222
=++

=++=++
0,50
+Vỡ (x y)
2
0, (y z)
2
0, (z x)
2
0 nên
3
1
0)()()(
222
====++
zyxxzzyyx
0,25
+Kết luận: vậy x = y =
3
1
0,25
4 3,50

N
O
B
C
A
M
K
I

J
d1
d2

a.
Vẽ đờng thẳng d
1
AB tại B, đờng trung trực của BM cắt d
1
tại I.
0,50
Vẽ đờng thẳng d
2
AC tại C, đờng trung trực của CM cắt d
2
tại J.
0,50
b.
-Xét trong đờng tròn ( I ) có góc ABM = góc BNM = 45
0
0,25
- Tơng tự ta có góc CNM = góc ACM = 45
0
0,25
- Từ đó suy ra góc BNC = góc BNM + góc CNM = 90
0
0,25
-Suy ra góc BAC + góc BNC = 180
0
=> tứ giác ABNC nội tiếp 0,25

c.
- Gọi K là giao điểm của BI và CJ. Học sinh chỉ ra tứ giác ABKC là hình
vuông. 0,25
- Chỉ ra MJ // BK, MI // CK rồi suy ra tứ giác MIKJ là hình bình hành.
0,25
- Suy ra MI = KJ và MJ = CJ =>MI + MJ = CK = AB không đổi
0,25
- Gọi A
1
là giao điểm thứ hai của đờng thẳng MN với đờng tròn (O)
ngoại tiếp tứ giác ABNC, theo chứng minh trên ta có góc BNA
1
= góc
CNA
1
= 45
0
, suy ra A
1
là điểm chính giữa của cung BC. 0,50
- Chỉ ra A cũng là điểm chính giữa của cung BC của đờng tròn (O) suy ra
A
1
trùng với A và kết luận. 0,25
5 1,00
Ta có: a
3
+ b
3
= (a + b) ( a

2
+ b
2
ab) = ( a + b)
2
. 0,25
Từ gt a + b = a
2
+ b
2
ab <=> a + b = (a + b)
2
3ab
Vì ab
b,a
4
)ba(
2

+
nên a + b (a + b)
2
-
2
)ba(
4
3
+
0,25
<=> (a + b)

2
4ab 0 <=> 0 a + b 4 0,25
Suy ra P = ( a + b)
2
16. Dấu = xảy ra <=> a = b = 2 thoả mãn gt
Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 16 khi và chỉ khi a = b = 2. 0,25
Chú ý: *Trên đây là hớng dẫn cơ bản, bài làm của học sinh phải trình bày
chi tiết. Học sinh giải bằng nhiều cách khác nhau đúng vẫn cho điểm tối đa. Học
sinh làm đúng đến đâu cho điểm đến đó. (Nếu quá trình lập luận và biến đổi bớc tr-
ớc sai thì bớc sau đúng cũng không cho điểm).
* Nếu học sinh dùng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số không âm mà
không chứng minh thì trừ 0,25 điểm ở bài đó.
A
1