Bài giảng số 3: Phép nhân véc tơ với một số thực và một số dạng bài tập

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (366.99 KB, 8 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi 
Biên soạn: Tổ toán trường THPT Trần Ân Chiêm –Thanh Hóa

Bài giảng số 3: PHÉP NHÂN VECTƠ VỚI MỘT SỐ

A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1) Định nghĩa: Cho ≠ , 0≠k 



ta có

c



=k (gọi là phép một số thực với 1 vectơ). Khi đó:
+

c



cùng phương

c



cùng hướng khi k>0

c



ngược hướng khi k<0

+ |

c



|=| k |=|k|.| |

Quy ước: 0 =

0 

; k

0 

2) Tính chất: Cho ,

b



bất kì và k,h 



, khi đó

+ k( +

b



)= k +k

b



+ (k+h) = k +h

b



+ k(h )= (kh)

+ 1. = ; (1) =

* Tính chất trung điểm: Nếu I là trung điểm đoạn AB, vớii mọi M ta có:

2 MA MB





MI

 



* Tính chất trọng tâm tam giác: G là trọng tâm ABC, với mọi M ta có:

3 MA



MB



MC



MG

  



3) Điều kiện để hai vectơ cùng phương

 ,

b



; cùng phương

b



≠

0 

  0≠k 



: =k

b



( ,

b



;

b



cùng phương ≠

0 

  0≠k 



b



=k )
4) Điều kiện để ba điểm A, B, C thẳng hàng





AB

cùng phương

AC



 0≠k 





AB



k AC



5) Phân tích (biểu diễn) một vectơ theo hai vectơ không cùng phương:

Cho hai ,

b



khác

0 

và khơng cùng phương. Khi đó 

x



bao giờ cũng tìm được hai số m, n sao cho:

x



= m +n

b



a



0 

a



a



a



a



a



a



a



a



a



a



a



a



a



a



a



a



a



a



a



a



a



a



a



a



a

a

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi 
Biên soạn: Tổ tốn trường THPT Trần Ân Chiêm –Thanh Hóa 
B.CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN

1. Xác định vectơ k

PP: Dựa vào định nghĩa vectơ k và các tính chất

Ví dụ 1: Cho

a

 



AB

và điểm O. Xác định hai điểm M và N sao cho :

3 ;

4 OM



a ON

 

a



 



Giải

Vẽ d đi qua O và // với giá của

a



(nếu O  giá của

a



thì d là giá của

a



)

 Trên d lấy điểm M sao cho OM=3|

a



OM



và

a



cùng hướng khi đó

OM



3 a





 Trên d lấy điểm N sao cho ON= 4|

a



ON



và

a



ngược hướng nên

ON



 

4 a



Ví dụ 2: Cho đoạn thẳng AB và M là một điểm nằm trên đoạn AB sao cho AM=

1

5

AB. Tìm k trong các đẳng

thức sau:

)

;

)

;

)

a AM



k AB

b MA



k MB

c MA



k AB





Giải

|

1

5 |

AM

k AB

k

AB











, vì

AM



AB





 k=

1

5

b) k= 

1

4

c) k= 

1

5

Ví dụ 3: a) Chứng minh:vectơ đối của 5 là (5)

b) Tìm vectơ đối của các véctơ 2 +3

b



, 2

b



Giải

I C

a



a



A M B

a a

a



a



a



M
N

Nếu G là trọng tâm

AG=

2

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi 
Biên soạn: Tổ tốn trường THPT Trần Ân Chiêm –Thanh Hóa

a) 5 =(1)(5 )=((1)5) = (5)

b) (2 +3

b



)= (1)( 2 +3

b



)= (1) 2 +(1)3

b



=(2) +(3)

b



=2 3

b



c) Tương tự

2. Biểu diễn (phân tích, biểu thị) thành hai vectơ khơng cùng phương

Ví dụ 4: Cho  ABC có trọng âtm G. Cho các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB

và I là giao điểm của AD và EF. Đặt



;



   

u

AE v

AF

. Hãy phân tích các vectơ

AI AG DE DC

,

   

theo

hai vectơ u v,
 

. 
Giải

Ta có

1 (

)

1 )

2 AI



AD



AE



AF



u



v





 



2

3 AG



AD



u



v





0. ( 1)

DE



FA

 

AF



u

 

v

 





DC



FE



AE



AF



u



v

   

 

Ví dụ 5: Cho tam giác ABC. Điểm M nằm trên cạnh BC sao cho MB= 2MC. Hãy phân tích vectơ AM


theo

hai vectơ uAB v, AC
   

.

Giải

Ta có

2

3 AM



AB



BM



AB



BC

   



mà

BC

  



AC



AB



2 (

)

1

2

3 AM



AB



AC



AB



u



v

 

 



3. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng

+ A, B, C thẳng hàng 



AB

cùng phương

AC



 0≠k 



AB



k AC



+ Nếu



AB



kCD



và hai đường thẳng AB và CD phân biệt thì AB//CD.

Ví dụ 6: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm AM và K là trung điểm AC sao AK=1
3
AC. Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng.

Giải 
a



a



a



a



a a a a a

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi 
Biên soạn: Tổ toán trường THPT Trần Ân Chiêm –Thanh Hóa

N
M

A B

Ta có

1

2

4

2 (1)

BI

BA

BM

BA

BC

BI

BA

BC













   





 

Ta có

1

3

1

2

1 (

)

3

2 (2)

BK

BA

AK

BA

AC

BA

BC

BA

BC

BK

BA

BC























   



 



 

Từ (1)&(2)

3

4

3 BK



BI



BK



BI









 B, I, K thẳng hàng.

Ví dụ 7: Cho tam giác ABC. Hai điểm M, N được xác định bởi hệ thức:

0
BC MA 

  

, AB NA 3AC0

   

. Chứng minh MN//AC 
Giải

3 0

3 0 2

    

    

     

     

BC MA AB NA AC

hay AC MN AC MN AC

/ /

MN

AC





. Theo giả thiết

BC



AM

 

Mà A,B,C không thẳng hàng nên bốn điểm A,B,C,M là hình bình hành
 M khơng thuộc AC MN//AC

4. Chứng minh đẳng thức vetơ có chứa tích của vectơ với một số

Ví dụ 8: Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai đoạn thẳng AB và CD. Chứng minh:

2MN ACBD

  

Giải

2 VP

AC

BD

AM

MN

NC

BM

MN

ND

MN

AM

BM

ND

NC

MN















       

    



Ví dụ 9: Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh: AB2ACAD3AC

   

. 
Giải

Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có

  

AB



AD



AC

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi

Biên soạn: Tổ toán trường THPT Trần Ân Chiêm –Thanh Hóa K

Ví dụ 10: Chứng minh rằng nếu G và G’ lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và A’B’C’ thì

3 GG

'



AA

'



BB

'



CC

'

   

.
Giải

'

' '

'

' '

'

' '

3 '

' '

3 ' (

VP

AA

BB

CC

AG

GG

G A

BG

GG

G B

CG

GG

G C

GG

AG

BG

CG

G A

G B

G C

GG

GA GB

GC



















  

        

      



 

)

' '

3 '

G A

G B

G C

GG







  



5. Xác định vị trí của một điểm nhờ đẳng thức véctơ 
+

AB



0 

A



B

 

+ Cho điểm A và

a



. Có duy nhất M sao cho :

AM



a





 

AB



AC



B



C AD

;

 



BD



A



B

Ví dụ 11: Cho tam giác ABC có D là trung điểm BC. Xác định vị trí của G biết



AG



2 GD



.
Giải

2 AG



GD



 A,G,D thẳng hàng.
AG=2GD gà G nằm giữa A và D.
Vậy G là trọng tâm tam giác ABC.

Ví dụ 12: Cho hai điểm A và B. Tìm điểm I sao cho:

IA





2  

IB



0

Giải

2

0

2 IA



IB





IA

 

IB



IA

 

IB



 



hay IA=2IB ,

IA



IB



. Vậy I là điểm thuộc AB sao cho IB=

1

3

Ví dụ 13: Cho tứ giác ABCD. Xác định vị trí điểm G sao cho:

GA GB

    



GC



GD



0

Giải

Ta có

GA GB

 





2 GI



, trong đó I là trung điểm AB

Tương tự

GC

 



GD



2 GK



, K là trung điểm CD

A I B

D
G

I C

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi

Biên soạn: Tổ toán trường THPT Trần Ân Chiêm –Thanh Hóa

2

0 GA GB

GC

GD

GI

GK

GI

GK













   





  

 G là trung điểm IK

C.BÀI TẬP LUYỆN TẬP

Bài 1: Cho ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB và O là 1 điểm tùy ý.

a/ CMR :


AM +

BN +


CP = 0



b/ CMR :

OA +


OB +


OC =


OM +


ON +


OP

Bài 2: Cho ABC có trọng tâm G. Gọi MBC sao cho 


BM = 2


MC

a/ CMR :


AB + 2

AC = 3



b/ CMR :


MA +


MB +

MC = 3


MG

Bài 3: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD và O là trung điểm của EF.

a/ CMR :



AD +

BC = 2



b/ CMR :

OA +


OB +


OC +


OD = 0



c/ CMR :


MA +


MB +

MC +



MD = 4


MO (với M tùy ý)

d/ Xác định vị trí của điểm M sao cho


MA +



MB+


MC+



MD nhỏ nhất

Bài 4: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA và M là 1 điểm tùy ý.

a/ CMR :


AF +

BG +


CH +



DE = 0


b/ CMR :

MA+

MB+

MC+


MD =

ME+

MF+


MG +

MH

c/ CMR :




 AC
AB +



AD= 4


AG (với G là trung điểm FH)

Bài 5: Cho hai ABC và DEF có trọng tâm lần lượt là G và H.

CMR :


AD +


BE +

CF = 3


GH

Bài 6: Cho hình bình hành ABCD có tâm O và E là trung điểm AD. CMR :

a/

OA +


OB +


OC +


OD = 0



b/


EA +


EB + 2

EC = 3



c/


EB + 2


EA+ 4


</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi 
Biên soạn: Tổ tốn trường THPT Trần Ân Chiêm –Thanh Hóa

Bài 7: Cho ABC có M, D lần lượt là trung điểm của AB, BC và N là điểm trên cạnh AC sao cho 

AN =

2
1



NC . Gọi K là trung điểm của MN.

a/ CMR :


AK =

4
1 

AB +

6
1 

AC b/ CMR :


KD =

4
1 

AB +

3
1 

Bài 8: Cho ABC. Trên hai cạnh AB, AC lấy 2 điểm D và E sao cho 


AD = 2



DB ,

CE = 3



EA. Gọi M là
trung điểm DE và I là trung điểm BC. CMR :

a/


AM =

3
1 

AB +

8
1 

b/


MI =

6
1 

AB +

8
3 

Bài 9: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O cạnh a

a) Phân tích ADtheo AB và AF

b) Tinh 1 1

2AB2BC
 

theo a

Bài 10: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM (M là trung điểm BC).

Phân tích AM theo AB và AC

Bài 11: Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm AB, N là một điểm trên AC sao cho NA=2NC. Gọi K là

trung điểm của MN. Phân tích AK theo AB và AC.

Bài 12: Cho tam giác ABC, Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI, gọi J là điểm trên BC kéo dài 
sao cho 5JB = 2JC.

a) Tính  AI AJ theo AB AC,  ,

b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Tính AG


theo AI và AJ


Bài 13: Cho 4 điểm A, B, C, D thỏa 2


AB + 3


AC = 5. CMR : B, C, D thẳng hàng.

Bài 14: Cho ABC, lấy M, N, P sao cho 


MB= 3

MC;


NA +3



NC =0



và


PA +


PB = 0


a/ Tính


PM,


PN theo


AB và

AC

b/ CMR : M, N, P thẳng hàng.

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi 
Biên soạn: Tổ toán trường THPT Trần Ân Chiêm –Thanh Hóa

Bài 16: Cho tam giác ABC và điểm M tuỳ ý. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là điểm đối xứng của M qua các trung 
điểm K, I, J của các cạnh BC, CA, AB

a/ Chứng minh ba đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng qui

b/ Chứng minh khi M di động , MN luôn qua trọng tâm G tam giác ABC

Bài 17: Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn tưng đtều kiện sau :

a/ MA MB

 

. b/ MAMBMCO
   

c/ |     C

   

d/    C    


   

</div>

Bài giảng số 3: Phép nhân véc tơ với một số thực và một số dạng bài tập



<i>c</i>



<i>c</i>



<i>c</i>



<i>c</i>



<i>c</i>



0



0



0



<i>b</i>





<i>b</i>



<i>b</i>



<i>b</i>



2

<i>MA MB</i>





<i>MI</i>

 



3

<i>MA</i>



<i>MB</i>



<i>MC</i>



<i>MG</i>

  



<i>b</i>



<i>b</i>



0





<i>b</i>



<i>b</i>



<i>b</i>



0





<i>b</i>





<i>AB</i>

<i>AC</i>







<i>AB</i>



<i>k AC</i>



<i>b</i>



0



<i>x</i>



<i>x</i>

