Bài giảng: Liên hệ phép nhân và phép khai phương (Đại số 9)

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Mơn của Lê Hồng Đức
Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:
1. Tài liệu dễ hiểu  Nhóm Cự Mơn ln cố gắng thực hiện điều này.
2. Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc  Đăng kí “Học tập từ xa”.

BÀI GIẢNG QUA MẠNG

ĐẠI SỐ 9
CHƯƠNG I. CĂN BẬC HAI VÀ CĂN BẬC BA

§3 Liên hệ giữa phép nhân
và phép khai phương



Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Phương pháp tự học tập hiệu quả”

Học Tốn theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12
Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC
Địa chỉ: Số nhà 20  Ngõ 86  Đường Tơ Ngọc Vân  Hà Nội
Email:
Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689
1


PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP HIỆU QUẢ
Phần: Bài giảng theo chương trình chuẩn
1. Đọc lần 1 chậm và kĩ có thể bỏ quả nội dung các HOẠT ĐỘNG
Đánh dấu nội dung chưa hiểu
2. Đọc lần 2 toàn bộ:
Ghi nhớ bước đầu các định nghĩa, định lí.

Định hướng thực hiện các hoạt động
Đánh dấu lại nội dung chưa hiểu
3. Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện có thứ tự:
Đọc  Hiểu  Ghi nhớ các định nghĩa, định lí
Chép lại các chú ý, nhận xét
Thực hiện các hoạt động vào vở
4. Thực hiện bài tập lần 1
5. Viết thu hoạch sáng tạo
Phần: Bài giảng nâng cao
1. Đọc lần 1 chậm và kĩ
Đánh dấu nội dung chưa hiểu
2. Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện các ví dụ
3. Đọc lại và suy ngẫm tất cả chỉ với câu hỏi “Vì sao họ lại nghĩ được cách
giải như vậy”
4. Thực hiện bài tập lần 2
5. Viết thu hoạch sáng tạo

Dành cho học sinh tham dự chương trình “Học tập từ xa”: Sau mỗi bài
giảng em hãy viết yêu cầu theo mẫu:
Nôi dung chưa hiểu
Hoạt động chưa làm được
Bài tập lần 1 chưa làm được
Bài tập lần 2 chưa làm được
Thảo luận xây dựng bài giảng
gửi về Nhóm Cự Mơn theo địa chỉ để nhận
được giải đáp.
2


Đ3 liên hệ giữa phép nhân và phép

khai phơng

bài giảng theo chơng
chơng trình chuẩn
1. định lí

Thí dụ 1: (HĐ 1/tr 12 sgk): Tính và so sánh 16.25 và 16. 25.
Giải
Ta lần lợt có:
16.25 400 202 = 20;
16. .25  42 . 52 = 4.5 = 20
suy ra 16.25 = 16. 25.
Định lí: Với a 0, b  0 th×

a.b =

a. b.

 Chøng minh
a,

V× a  0, b  0 nªn
Ta cã:


VËy

a. b

2

2

  a  b

b xác định và không âm.
2

a.b.

a . b là căn bậc hai số học của a.b, tức là

Chú ý:

a.b =

a. b.

Định lí trên có thể mở rộng cho tích của nhiều số không âm.

2. áp dụng

a) Quy tắc khai phơng một tích
Quy tắc khai phơng một tích: Muốn khai phơng một tích các biểu thức không âm,
ta có thể khai phơng từng biểu thức rồi nhân kết quả với nhau.
Thí dụ 2: Sử dụng quy tắc khai phơng một tích, tính:
a.
b.
c.
d.

81a 2
.
.
.
25.49
9.16.36
27.48
.
Giải
a. Ta có ngay:
25.49 = 25 . 49 = 5.7 = 35.
b. Ta cã ngay:
9.16.36 = 9 . 16 . 36 = 3.4.6 = 72.
c. Ta viÕt l¹i:
27.48 = 27.3.16 = 81.16 = 9.4 = 36.
d. Ta cã ngay:
81a 2 = 81. a 2 = 9. a .

NhËn xÐt:

Trong c©u c), nÕu chóng ta vËn dụng một cách máy móc quy tắc khai
phơng một tích sẽ không nhận đợc kết quả gọn.

3


b) Quy tắc nhân các căn thức bậc hai
Quy tắc nhân các căn thức bậc hai: Muốn nhân các căn thức bậc hai của các biểu
thức không âm ta có thể nhân các biểu thức dới dấu căn với nhau rồi lấy căn bậc
hai của kết quả đó.

Thí dụ 3: Sử dụng quy tắc nhân các căn thức bậc hai, tÝnh:
a.
c.
2 . 18 .
2  1.
2 1 .
b.
1,1. 44 . 10 .
d.
27a . 3a , víi a > 0.
 Gi¶i
a. Ta cã:
2 . 18  2.18  36 6 .
b. Ta cã:
1,1. 44 . 10 = 1,1.44.10 = 11 .11 .4 = 22.
c. Ta cã:
2  1.
2  1 = ( 2  1).( 2  1) = 2  1 = 1.
d. Ta cã:
27a . 3a = 81a 2 = 9 a  = 9a, do a > 0.

NhËn xét:

Trong câu c), chúng ta đà sử dụng hằng đẳng thøc:
(a  b)(a + b) = a2  b2.

bµi tËp lần 1
Bài tập 1: Sử dụng quy tắc khai phơng mét tÝch, tÝnh:

a.

b.
c.
d.
81a 2
.
.
9.16.36 .
27.48
.
Bµi tËp 2: Sư dơng quy tắc nhân các căn thức bậc hai, tính:
a.
c.
2 . 18 .
2  1.
2 1 .
b.
1,1. 44 . 10 .
d.
27a . 3a , víi a > 0.
Bµi tËp 3: Rót gän c¸c biĨu thøc sau:
a.
a 4 (3  a ) 2 , víi a  3.
25.49

b.

1
. a 6 (a  b ) 2 , víi a < b < 0.
a b

Bµi tËp 4: Thùc hiÖn phÐp tÝnh:
a. A = ( 8 + 72  2 ) 2 .
b. B = ( 4  7  4  7 )2.

c. C = (3 5 + 2 )(3 5  2 ).
Bµi tËp 5: a. So s¸nh 16  4 víi 16  4 .
b. Chøng minh r»ng a  b  a b , với mọi a, b dơng.
Bài tập 6: a. Chứng minh bất đẳng thức:
|ac + bd|
(a 2  b 2 )(c 2  d 2 )  Bất đẳng thức
Bunhiacôpxki.
b. Biết x2 + y2 = 52. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:
A = 3x + 2y.
4


Bµi tËp 7: Cho biĨu thøc:
2
2
A = 2 x  ax  3a .

2 x 2  5ax  3a 2

a. Rót gän biĨu thøc A.
b. Chøng minh r»ng A = (a +
Bµi tËp 8: Cho biĨu thøc:
A= ab

ab

a a b b



2
a 2  1 ) khi x =

a2 1

a  b  1.
a b

a. Rót gän biĨu thøc A.
b. Tính giá trị của A, biết a b = 1.
Bµi tËp 9: Cho hai biĨu thøc:
A = x 2  3x  2 vµ B = x  1. x 2 .
a. Tìm x để A có nghĩa.
b. Tìm x để B có nghĩa.
c. Với giá trị nào của x thì A = B ?
d. Với giá trị nào của x thì chỉ A có nghĩa, còn B không có nghĩa ?
Bài tập 10: Cho a, b, c và a, b, c là số đo các cạnh tơng ứng của hai tam giác
đồng dạng. Chứng minh rằng:
aa' + bb' + cc' = (a  b  c)(a 'b'c' ) .
Bài tập 11: Giải phơng trình x 2 9  x  3 = 0.

5


Giáo án điện tử của bài giảng này giá: 450.000đ.

1. Liên hệ thầy LÊ HỒNG ĐỨC qua điện thoại 0936546689
2. Bạn gửi tiền về:
LÊ HỒNG ĐỨC
Số tài khoản: 1506205006941
Chi nhánh NHN0 & PTNT Tây Hồ
3. 3 ngày sau bạn sẽ nhận được Giáo án điện tử qua email.

LUÔN LÀ NHỮNG GAT
BN SNG TO TRONG TIT DY

bài giảng nâng cao
A. Tóm tắt lí thuyết
1. định lí
Với A 0, B  0 th×

6

A.B

=

A

.

B

.

2. Khai phơng một tích
Quy tắc khai phơng một tích: Muốn khai phơng một tích các biểu thức không âm,
ta có thể khai phơng từng biểu thức rồi nhân kết quả với nhau.
3. Nhân các căn thức bậc hai
Quy tắc nhân các căn thức bậc hai: Muốn nhân các căn thức bậc hai của các biểu
thức không âm ta có thể nhân các biểu thức dới dấu căn với nhau rồi lấy căn bậc
hai của kết quả đó.

B. phơng pháp giải toán

(Bài 17/tr 14 Sgk): Sử dụng quy tắc khai ph¬ng mét tÝch, tÝnh:

VÝ dơ 1:

a.

0,09.64.

b.

24.(  7) 2 .

c. 12,1.360.

d.

22.34 .

 Gi¶i

a. Ta cã ngay:
0,09.64 = 0,09. 64 = 0,3.8 = 2,4.

b. Ta cã ngay:
24.( 7) 2 = 

2 2

2 

.7 2 

2 2

2 

. 7 2 = 22.7 = 28.

c. Ta viÕt l¹i:
12,1.360  121.36  112 . 62 = 11.6 = 66.
d. Ta cã ngay:
2
2 2 = 2.32 = 18.
22.34  2 . 3

 

(Bµi 18/tr 14 Sgk): Sử dụng quy tắc nhân các căn thøc bËc hai, tÝnh:

VÝ dô 2:

a.

7. 63.

b.

2,5. 30. 48.

c.

0, 4. 6, 4.

d.

2,7. 5. 1,5.

 Gi¶i

a. Ta cã:
7. 63  7.63  441 = 21.
b. Ta cã:
2,5. 30. 48 = 2,5.30.48  3600 = 60.
c. Ta cã:
0, 4. 6, 4  0, 4.6, 4  2,56 = 1,6.

d. Ta cã:
2,7. 5. 1,5  2,7.5.1,5  20, 25 = 4,5.
VÝ dơ 3:

(Bµi 19/tr 15  Sgk): Rót gän c¸c biĨu thøc sau:
a.
b.
a 4 (3  a ) 2 , víi a  3.
0,36a 2 , víi a < 0.
c.



27.48(1  a) 2 , víi a > 1.

d.

1
. a 4 (a  b) 2 , víi a > b.
a b

Híng dÉn: Sư dơng quy tắc khai phơng một tích.
7


 Gi¶i
a. Ta cã:
0,36a 2 =
b. Ta cã:

a 0

0,36. a 2 = 0,6.a  0,6a.

a 4 (3  a) 2 =
c. Ta cã:

a 3
a 4 . (3  a) 2 = a2.3  a  a2(a  3).
a 1

27.48(1  a) 2  1296(1  a) 2 = 1296. (1  a) 2 = 36.  a 36(a  1).
d. Ta cã:
1
1
1
.a2. a  b 
. a 4 (a  b) 2 =
. a 4 . (a  b) 2 =
a b
a b
a b
1
a b
2
2
 a  b .a .(a  b) = a .

(Bµi 20/tr 15  Sgk): Rót gän c¸c biĨu thøc sau:

VÝ dơ 4:

2a 3a
, víi a  0.

.
3
8
5a. 45a  3a , víi a  0.

a.
c.

b.

13a.

52
, víi a > 0.
a

d. (3  a) 2 

Híng dÉn: Sử dụng quy tắc nhân các căn thức bậc hai.
Gi¶i

0, 2. 180a 2 .

a. Ta cã:

2
0 a
2a 3a
2a 3a
a2

 a   a a
.
.

.
  

2
2
3
8
3 8
4
 2
b. Ta cã:

13a.

52
52
 13a.
 676 = 26.
a
a

c. Ta cã:
5a. 45a  3a  5a.45a  3a  225a 2  3a  152 . a 2  3a
0
= 15a  3a a
15a  3a 12a.

d. Ta cã:
(3  a) 2 

0, 2. 180a 2 (3  a) 2 
(3  a) 2 

0, 2.180a 2
36a 2 (3  a) 2 

36. a 2

a 2  9
khi a  0
.
(3  a) 2  6 a  2
a  12a  9 khi a 0
Ví dụ 5:

8

(Bài 22/tr 15 Sgk): Biến đổi các biểu thức dới dấu căn thành dạng
tích rồi tính:


a.

132  122 .

b.

17 2  82 .

c.

117 2  1082 .

d.

3132  3122 .

 Gi¶i
a. Ta cã:
132  122   13  12   13  12   1.25 5.
b. Ta cã:
17 2  82   17  8   17  8   9.25  9. 25 3.5 15.
c. Ta cã:
117 2  1082   117  108   117  108 
 9.225  9. 225 3.15 45.

d. Ta cã:
3132  3122 

 313  312   313  312 

 1.625  625 25.

(Bµi 23/tr 15  Sgk): Chøng minh:

VÝ dô 6:

a.
b.

 2  3   2  3  1 .
 2006  2005  và



2006 2005 là hai số nghịch đảo của nhau.

 Gi¶i
a. Ta cã:

 2  3   2  3  2   3 
2

2

4  3 1 , ®pcm.

b. XÐt tÝch hai sè:


VËy
VÝ dơ 7:

2006 



2005



 

2006  2005 

2006

2

 

2005



2

= 2006  2005 = 1
2006 2005 và 2006 2005 là hai số nghịch ®¶o cđa nhau.
Thùc hiƯn phÐp tÝnh:
a. A = ( 8 + 72  2 ) 2 .
b. B = ( 4  7  4  7 )2.
c. C = (3 5 + 2 )(3 5  2 ).







 Híng dẫn: Sử dụng tính chất phân phối.
Giải

a. Ta có:
A = 8 . 2 + 72 . 2  2 . 2 = 16 + 144  2 = 4 + 12  2 = 14.
b. Ta cã:
B =  4  7  2 4  7 . 4  7 +  4  7 
2

2

9


= 4 + 7  2 (4  7 )(4  7 ) + 4 
c. Ta cã C = (3 5 )2  2 = 45  2 = 43.



7 = 8  2 16  7 = 8  2.3 = 2.

NhËn xÐt: Nh vËy, trong c©u c), bằng việc sử dụng hằng đẳng thức chúng ta
đà giảm đợc đáng kể độ phức tạp.

(Bài 26/tr 16 Sgk):
a. So s¸nh 25  9 víi 25  9 .

b. Chøng minh r»ng a  b  a  b , với mọi a, b dơng.
Hớng dẫn: Ta lần lợt:
Ví dụ 8:




Với câu a), để so sánh hai số không âm A và B ở đây ta đi so sánh
A2 với B2.
Với câu b), sử dụng phép khai phơng trong phép biến đổi tơng đơng.

Giải
a. Nhận xét rằng:
( 25  9 )2 = 34 vµ ( 25  9 )2 = (5 + 3)2 = 64
suy ra:
( 25  9 )2 < ( 25  9 )2  25  9 < 25  9 .
b. Hai vÕ cña bất đẳng thức không âm nên bình phơng hai vế, ta đợc:
( a b )2 ( a b )2  a + b  a + b + 2 a.b  0  2 a.b , ®óng.

 Nhận xét:
Ví dụ 9:

Cách đặt vấn đề của ví dụ trên, giúp chúng ta tiếp cận với bất đẳng
thức trớc khi đi chứng minh nó. Tuy nhiên, nếu đặt vấn đề theo
kiểu ngợc lại, chúng ta sẽ đợc quyền sử dụng bất đẳng thức này để
đa ra đánh giá cho phép so sánh.

(Bài 27/tr 16 Sgk): So sánh:
a. 4 víi 2 3 .

b.  5 víi 2.

 Híng dÉn: Thực hiện so sánh hai số không âm A và B.
 Gi¶i

a. Ta cã:
16 > 12  16  12  4  4.3  4. 3  4  2 3.
b. Ta cã:
5 > 4  5  4  5  2   5   2.
VÝ dơ 10: (Bµi 24/tr 16  Sgk): Rót gän vµ tìm giá trị (làm tròn đến chữ số thập
phân thứ ba) của các căn thức sau:
2

a.

4 1 6x  9x 2 

b.

9a 2  b 2  4  4b  t¹i a = 2, b  3.

t¹i x  2.

 Híng dÉn: Sư dơng phÐp khai ph¬ng của một tích để rút gọn.
Giải
a. Ta biến đổi:
10


2

2
4  1  6x  9x 2   4 3x 1


khi đó, tại x 2 biểu thức có giá trị:





2

2

2
2
4. 3x  1  2. 3x  1



2

2.  3  2  1  21,029.



b. Ta biÕn ®ỉi:
2
9a 2  b 2  4  4b   (3a) 2 .  b  2   3a . b 2 3a(b 2)

khi đó, tại a = 2, b 3 biểu thức có giá trị:
3(  2)( 3  2) 6( 3  2)  22,392.
Ví dụ 11: (Bài 25/tr 16 Sgk): Tìm x, biÕt:
a. 16x 8.

b.

4x  5.

c.

d.

4(1  x) 2  6 0.

9(x  1) 21.

Híng dÉn: Sư dơng phÐp biÕn ®ỉi tơng đơng:
f (x) k f (x) k 2 .

Giải
a. Ta biến đổi:
2
16x 8 16x 8 16x = 64  x = 4.
VËy, víi x = 4 thoả mÃn điều kiện.

b. Ta biến đổi:
5
4x 5 4x = 5  x  .

4
5
VËy, víi x  thoả mÃn điều kiện.
4
c. Ta biến đổi:
9(x 1) 21  9(x  1) = 212  x  1 = 49  x = 50.
VËy, víi x = 50 thoả mÃn điều kiện.

d. Ta biến đổi:
4(1 x) 2  6 0 

2
4(1  x) 2 6  4(1  x) = 6  1  x = 9  x = 8.

VËy, víi x = 8 tho¶ m·n điều kiện.
Ví dụ 12: Giải phơng trình x 2 9  x  3 = 0.

 Híng dÉn:

ThiÕt lËp ®iỊu kiƯn cã nghÜa cho c¸c biĨu thøc díi dÊu căn, rồi sử dụng
quy tắc khai phơng một tích để t¹o ra nhËn tư chung. Cơ thĨ:

11


x2  9 

 x  3  x  3

dk

x 3. x 3.

Giải
Điều kiện:
x 2  9  0

x  3  0

2

x
9

 
 x 3.
x 3
Biến đổi phơng trình về dạng:
x 3 . x  3  x  3 = 0  x  3 ( x  3  1) = 0







x  3 0

 x  3 0

 x 3

 
 
.
x  3 1
 x  3 1
 x   2 ( lo ¹ i )
VËy, phơng trình có nghiệm x = 3.

Nhận xét:

Nh chúng ta đà biết, phơng trình trên còn có thể đợc giải bằng
phơng pháp biến đổi tơng đơng, cụ thể:
x2 9  x  3 = 0  x 2  9 = x  3


 (xx 33)(x  3) x  3
3
 (xx 33)(x  3  1) 0  xx 
3hc x   2  x = 3.
Vậy, phơng trình có nghiệm x = 3.
Ví dụ 13: a. Chứng minh bất đẳng thức (Bất đẳng thức Bunhiacôpxki):
x  3  0

2
 9 x 
x

3

ac + bd  (a 2  b 2 )(c 2  d 2 )
b. Biết x + y2 = 52. Tìm giá trị lín nhÊt vµ nhá nhÊt cđa biĨu thøc:
A = 3x + 2y.
Hớng dẫn: Ta lần lợt:
2




Với câu a), sử dụng phép bình phơng hai vế.
Với câu a), sử dụng kết quả của câu a).

Giải
a. Hai vế của bất đẳng thức không âm nên bình phơng hai vế, ta đợc:
(ac + bd)2  (a2 + b2)(c2 + d2)
 a2c2 + b2d2 + 2acbd  a2c2 + b2c2 + a2d2 + b2d2
 b2c2 + a2d2  2acbd  0  (bc ad)2 0, luôn đúng.
Dấu = xảy ra khi:
bc = ad 

a
b
 .
c
d

b. NhËn xÐt r»ng:
A = 3x + 2y 
 26  A  26.

DÊu “ = xảy ra khi:
do đó:

(3 2 2 2 )(x 2  y 2 )

=

13.52 = 26

x y
 = t  x = 3t vµ y = 2t
3 2

 x 6 va y 4
52 = x2 + y2 = (3t)2 + (2t)2 = 13t2  t2 = 4  t =  2  
.
 x  6 va y 4
Vậy, ta đợc:

12





AMax = 26, đạt đợc khi x = 6 và y = 4.
AMin = 26, đạt đợc khi x = 6 và y = 4.

bài tập lần 2
Bài 1: Tính:

a.
49.100 .
b.
24.( 9) 2 .
Bài 2: Rút gọn các biểu thức sau:
a.
27.48(a 3) 2 .
Bài 3: Rút gọn các biểu thøc sau:
9
a.
, víi a > 0.
a.
a
Bµi 4: Thùc hiƯn phÐp tÝnh:
a. A = 72 . 18 .
b. B = 25 . 7 .
7 16
Bµi 5: Thùc hiƯn phÐp tÝnh:
a. A = ( 5 + 2 + 1)( 5  1).
c. C =



c.

72.32 .

b.

48.75a 2 .

b.

8a 2 . 18a 4 , víi a < 0.

 9
3
c. C = 


2
 2
b. B = ( 2 + 1+

12,1.490 .

d.


2 


2.

3 )( 2 + 1

3 ).

2

4

3

4 3

.

Bài 6: Chứng minh các đẳng thức:
a.
b.
5 + 3 = 82 5 .
5 + 2 = 94 5 .
Bµi 7: Cho a > 0. Chøng minh r»ng:
a +1 > a  1 .
Bµi 8: Cho a  1. Chøng minh r»ng:
a1 < a.
Bµi 9: Chøng minh r»ng:
6 1> 3 2.
Bài 10: Tính giá trị của biểu thức:
a. A = x2 + 2x + 16 víi x = 2  1.
b. B = x2 + 12x  14 víi x = 5 2  6.
Bµi 11: Cho hai biĨu thøc:
A = 2x 2  3x  1 vµ B = x  1. 2x  1 .
a. T×m x để A có nghĩa.
b. Tìm x để B có nghĩa.
c. Với giá trị nào của x thì A = B ?
d. Với giá trị nào của x thì chỉ A có nghĩa, còn B không có nghĩa ?
Bài 12: Biết x2 + y2 = 117. Tìm giá trị lớn nhÊt vµ nhá nhÊt cđa biĨu thøc A = 2x + 3y.
Bài 13: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, p là một nửa chu vi. Chøng

minh r»ng:
p < p  a + p  b + p  c  3p .
Bµi 14: Giải các phơng trình sau:

13


3x 2
b.
2 x 2 .
x2
Bài 15: Giải các phơng trình sau:
2 25x 50
a.
= 4.
x 2 + 4x  8 
5
4
b.
x  4  1  x = 1  2x .

a.

14

4x 2  1  2 2x  1 = 0.