Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (803.14 KB, 20 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>
<b> </b>
Trung tâm gia sư VIP, số 4 ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà nội
Hotline: 0989189380
<b>MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ PHƯƠNG TRÌNH CAUCHY </b>
<i><b> </b></i> <i><b> Đào Thị Lê Dung </b></i>
<i><b>Trường THPT chuyên Thái Bình </b></i>
<b>A. Mở đầu:</b> Phương trình hàm Cauchy có một vai trị quan trọng trong mảng tốn về phương trình hàm.
Rất nhiều phương trình hàm được giải quyết một cách gọn gàng nhờ phép biến đổi để đưa về phương
trình hàm Cauchy.
<b>B. Nội dung:</b> Trước tiên xin nêu ra một số tiêu chuẩn để nhận dạng phương trình hàm Cauchy.
<b>I. Lý thuyết: </b>
<b>1. Tiêu chuẩn 1: Nếu hàm số f: </b> thỏa mãn: f cộng tính và liên tục trên R thì phương trình f(x) =
ax (a tùy ý thuộc R)
<b>Chứng minh: </b>
Từ giả thiết cộng tính:
Bằng quy nạp dễ thấy
Thay y = -x => f(x) = -f(-x)
Vậy với *
<i>k</i><i>N</i> : f(-kx) = -f(kx) = - kf(x)
<i>Do đó ta có f(kx) = kf(x) k</i> <i>Z</i> (1)
Ngoài ra: f(1) = n
Theo (1)
Với x0
Vì f hàm số liên tục trên R: => lim(f(xn) = f(limxn) = f(x0) => limf(1).xn = f(x0) =>
f(x0) = ax0
Thử lại thấy thỏa mãn;
Kết luận:
Chú ý: Ở tiêu chuẩn trên điều kiện f liên tục trên R có thể thay đổi điều kiện hẹp hơn: f liên tục
tại 1 điểm
Trung tâm gia sư VIP, số 4 ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà nội
Hotline: 0989189380
1 1
1 0 1 0 <sub>x</sub> <sub>x</sub> 1 0 1 0
f(x) = f(x-x ) ( ) ( ) lim f(x)= lim (f(x-x ) ( ) ( ))
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>f x</i> <i>f x</i> <i>x</i> <i>R</i> <i>x</i> <i>f x</i> <i>f x</i>
= f(x0) + f(x1) –f(x0) (Theo gt f liên tục tại x0) = f (x1)
<i>Vậy f liên tục tại x</i>1 tùy ý hay liên tục trên R.
<b>Tiêu chuẩn 2: Nếu hàm f: </b><i>R</i> <i>R</i>là hàm cộng tính và đơn điệu trên R thì f(x) có dạng: f(x) = ax
(a<i>R</i>)
<b>Chứng minh: </b>
Vì f là hàm cộng tính trên R theo chứng minh trên ta có:
( ) ax x Q; a=f(1)
<i>f x </i>
với x0 R bất kỳ: Tồn tại 2 dãy (xn); (yn) thỏa mãn:
*
<i>n</i> <i>n</i>
0
<i>n</i> <i>n</i>
Giả sử f đơn điệu tăng trên R => f(xn) < f(x0) < f(yn) axn < f(x0) < ayn
Cho
<b>Tiêu chuẩn 3: </b>
Hàm f: <i>R</i> <i>R</i> f cộng tính và
Ta có f(x) = f(x-y) + f(y) > f(y)
f là hàm đơn điệu tăng trên R
Theo tiêu chuẩn 2 ta có điều phải chứng minh
<b>Tiêu chuẩn 4: </b>
Nếu hàm f :
Ta sẽ chứng minh từ giả thiết f đơn điệu trên
Giả sử f là hàm đơn điệu tăng. Đặt 0
2
<i>b</i><i>a</i>
<i></i> lấy
tính và f tăng trên
2 2
<i>a b</i> <i>a b</i>
<i>f x</i> <i>f y</i>
=> <i>f x</i>( ) <i>f y</i>( )
<b> </b>
Trung tâm gia sư VIP, số 4 ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà nội
Hotline: 0989189380
Với
<i></i>
Và x,y tùy ý trên R
x – y = kα + t với t
Ta có : f(x)-f(y)=f(x-y)=f(k )+f(t)=kf( )+f(t)<i></i> <i></i> 0
Vậy f đơn điệu tăng trên R -> điều phải chứng minh theo tiêu chuẩn 2
<b>II. Một số ứng dụng của phương trình hàm Cauchy </b>
Trước tiên xin nêu ra một số phương trình hàm liên quan đến việc chuyển đổi các phép toán số
học và các đại lượng trung bình
<b>Ví dụ 1 : Tìm các hàm thỏa mãn từng điều kiện sau : </b>
1) Xác định hàm f : R+
Từ giả thiết => lnf(xy) = lnf(x) + lnf(y)
Đặt x = eu ; y = ev => lnf(eu+v) = lnf(eu) + lnf(ev)
Đặt g(x) = lnf(ex)
g là hàm liên tục trên R và g(u+v) = g(u) + g(v)
=> g(u) = au
=> f(x) = eg(lnx) = ealnx = (ealnx) = (elnx)a = xa
Vậy f(x) = xa (a tùy ý thuộc R)
2) Xác định hàm f liên tục trên R thỏa mãn:
Nhận xét: <i>f x </i>( ) 0 là 1 nghiệm phương trình
Nếu
0 0 0
lnf(x+y) = lnf(x) + lnf(y)
g(x+y) = g(x) + g(y) với g(x) = lnf(x)
Ngoài ra g liên tục trên R => g(x) = ax => f(x) = eax = bx (b > 0 tùy ý)
3) Phương trình hàm Jensen : Tìm f là hàm liên tục trên R thỏa mãn :
( ) ( )
( )
2 2
<i>x</i> <i>y</i> <i>f x</i> <i>f y</i>
<i>f</i>
Trung tâm gia sư VIP, số 4 ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà nội
Hotline: 0989189380
Thay y = 0 => F(2x) = 2F(x) => F(x+y) = F(x) + F(y)
Vậy f(x) = ax + b
<i>Bài toán tổng quát của phương trình Cauchy và phương trình Jensen là: </i>
<b>Ví dụ 2: Cho f liên tục trên R và thỏa mãn: </b>
af(x) + bf(y) = f(ax+by)
<i>trong đó a,b là 2 số thực khác 0 cho trước. Tìm hàm f </i>
<b>Giải: </b>
Xét 2 trường hợp của tổng a+b
<i>Trường hợp 1: a + b ≠ 1 </i>
- Thay x = y = 0 => f(0) = 0
- Thay y = 0 => f(ax) = af(x) => f(by)=bf(y)
Ta được: f(ax+by) = f(ax) + f(by)
Vì a ≠ 0, b ≠ 0 nên phương trình trên f(x) + f(y) = f(x+y)
<i>Trường hợp 2: a + b = 1 </i>
Phương trình a(f(x)-f(0)) +b(f(y)-f(0)) = f(ax+by)-f(0)
Đặt g(x) = f(x) – f(0) => g(0) = 0 ag(x) + bg(y) = g(ax+by)
Vì g(0) = 0, theo trường hợp trên => g(ax+by) = g(ax) + g(by)
Vậy f(x) = cx + d.
<b>Ví dụ 3: Cho f là hàm đơn điệu trên R thỏa mãn: </b>
f(x+y) = f(x) + f(y) + 2xy
Ta nhẩm được nghiệm f(x) = x2. Đặt g(x) = f(x) – x2
Phương trình trên trở thành :
g(x+y) + (x+y)2 = g(x) + g(y) + x2 + y2 + 2xy
g(x+y) = g(x) + g(y)
Theo tiêu chuẩn 2 => g(x) = ax => f(x) = x2 + ax
Thử lại thấy đúng
<i><b>Tổng quát</b> : Thay điều kiện trên bởi : f(x+y) = f(x) + f(y) + axy ( a</i><i>R</i>)
<b>Ví dụ 4 : Tìm tất cả các hàm liên tục f : </b><i>R</i> <i>R</i> thỏa mãn
2
( ( )) ( ) ( )
2
<i>x</i> <i>y</i>
<b> </b>
Trung tâm gia sư VIP, số 4 ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà nội
Hotline: 0989189380
<b>Giải: </b>
Nhận xét: f(x) là 1 nghiệm của phương trình 0
Nếu f(x) ≠ 0 =>
Khi đó (f(x))2 = f(x0).f(2x-x0<i>) => f(x) = 0 x</i> <i>R</i> -> vô lý
Vậy f(x) 0trên R. Vì f liên tục nên f(x) > 0 hoặc f(x) < 0
Mặt khác nếu f là 1 nghiệm của phương trình thì –f cũng là nghiệm nên ta giả sử f(x) > 0
Từ giả thiết : => 2 ln ( ) ln ( ) ln ( )
2
<i>x</i> <i>y</i>
<i>f</i> <i>f x</i> <i>f y</i>
( ) ( ) ( )
2 2
<i>x</i> <i>y</i> <i>g x</i> <i>g y</i>
<i>g</i> Với g(x) = lnf(x)
Và g liên tục => g(x) = ax + b => f(x) = eax+b
Thử lại : Thấy đúng
Nếu f(x) < 0
Kết luận : Nghiệm của phương trình là : f(x) = 0, f(x) = ± eax+b
1
( ) ( ) ( )
( )
<i>f</i> <i>f x f y</i>
<i>f xy</i>
Đặt f(1) = a ; ( 1 )
(1)
<i>f</i> <i>b</i>
<i>f</i>
Thay y = 1 => ( 1 ) af(x)
( )
<i>f</i>
<i>f x</i>
Ta được : af(xy) = f(x)f(y)
<i>f xy</i>( ) <i>f x</i>( ). <i>f y</i>( )
<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> hay g(xy) = g(x)g(y)
Mà g liên tục trên R+ => g(x) =
(
Thử lại :
Kết luận:
<b>Ví dụ 6 : Tìm cặp hàm f, g xác định và liên tục trên (1, +</b>) sao cho
Trung tâm gia sư VIP, số 4 ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà nội
Hotline: 0989189380
Thay x = y => f(x2) = 2xg(x) => g(x) =
2
( )
2
<i>f x</i>
<i>x</i>
Thay vào phương trình ta có: f(xy) =
2 2
( ) ( )
2 2
<i>f y</i> <i>f x</i>
<i>x</i> <i>y</i>
<i>y</i> <i>x</i>
=>
2 2
2 2
( ) 1 ( ) ( )
( )
2
<i>f xy</i> <i>f x</i> <i>f y</i>
<i>xy</i> <i>x</i> <i>y</i>
Đặt g(x) =
2
2
( ) 1
( ) ( ( ) ( ))
2
<i>f x</i>
<i>g</i> <i>xy</i> <i>g x</i> <i>g y</i>
<i>x</i>
Đặt x = eu ; y = ev
=> <sub>(</sub> 2 <sub>)</sub> 1<sub>( ( )</sub> <sub>( ))</sub>
2
<i>u v</i>
<i>u</i> <i>v</i>
<i>g e</i> <i>g e</i> <i>g e</i>
=> ( ) 1( ( ) ( ))
2 2
<i>x</i> <i>y</i>
<i>h</i> <i>h x</i> <i>h y</i>
=> h(x) = ax + b => g(x) = alnx+b
Và f(x) = xg( <i>x = </i>) ( alnx+b)1 ln
2
<i>x</i> <i>cx</i> <i>x bx</i>
<b>Ví dụ 7 : Tìm các hàm f ;g ; q xác định và liên tục trên R sao cho f(0) ≠ 0 </b>
Và f(xy) = g(x+y).q(x-y)
Thay x=y=0 => f(0) =g(0).q(0) => g(0) ≠ 0 và q(0) ≠ 0
Thay x = y = t/2 => g(t) =
2
( )
4
(0)
<i>t</i>
<i>f</i>
<i>q</i>
Thay x = t/2; y = -t/2 =>
4
( )
4
( )
(0)
<i>t</i>
<i>g</i>
Thế vào phương trình ban đầu, ta được :
q(0) g(0) f(xy) = f
2 2
( ) ( )
( ). ( )
4 4
<i>x</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i>
<i>f</i>
Do vậy h(u+v) = h(u)h(v)
<i>f u</i>
<b> </b>
Trung tâm gia sư VIP, số 4 ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà nội
Hotline: 0989189380
Với h(u) = au với a>0. Từ đó tìm được 3 hàm ban đầu
<b>Ví dụ 8 : Cho hàm f : (</b>0; ) <i>R</i> đồng thời thỏa mãn
1) f(x+y) = f(x) + f(y)
<b>Giải : </b>
Ở điều kiện 2 thay x = y -> f(x2) = f2(x)
Mà f cộng tính trên
Thử lại vào điều kiện (2): axy = a2xy <i>x y</i>, 0 =>
=> điều phải chứng minh.
Trên đây là một số ví dụ minh họa cho ứng dụng của phương trình dạng Cauchy. Hy vọng rằng
qua đó cho chúng ta kinh nghiệm để nhận biết và biết cách đổi biến để đưa 1 phương trình hàm
nào đó về dạng Cauchy
<b>Bài tập áp dụng: </b>
<b>Bài 1:</b> Tìm hàm f liên tục trên R thỏa mãn: ( ) ( ) ( ) ( )
3 3
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>f x</i> <i>f y</i> <i>f z</i>
<i>f</i>
Tổng quát: <i><sub>f</sub></i><sub>(</sub><i>x</i>1 <i>x</i>2 ... <i>xn</i><sub>)</sub> <i>f x</i>( )1 <i>f x</i>( 2) ... <i>f x</i>( <i>n</i>)
<i>n</i> <i>n</i>
(với n
<b>Bài 2</b>: Chứng minh rằng mọi hàm f thỏa mãn điều kiện:
f(xy + x + y) = f(xy) + f(x) + f(y) khi và chỉ khi f( x + y) = f(x) + f(y)
<b>Bài 3</b> : Tìm cặp hàm f, g xác định và liên tục trên R thỏa mãn :
f(x) + f(y) + 2xy = (x + y)g(x + y)
<b>Bài 4</b> : Tìm các hàm f, g, q xác định và liên tục trên R thỏa mãn :
f(x + y) + g(x - y) = q(xy)
<b>Bài 5 :</b> Cho tập A = R hoặc A = (0 ; + ) và hàm f : A->R sao cho:
f2(x + y) = f(x2) + f(y2) + 2f(x)f(y)
f(x + f(y)) = f(x) + y
<b>Bài 7</b> : Tìm f : R R thỏa mãn : f((x + 1)f(y)) = (f(x) + 1)y
<b>Bài 8</b> :Tìm hàm f : R R thỏa mãn : f(x2 + f(y)) = f 2(x) + y
Trung tâm gia sư VIP, số 4 ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà nội
Hotline: 0989189380
A = <i>f x</i>( ); <i>x</i> 0
<i>x</i>
gồm hữu hạn phần tử . Chứng minh f(x) = ax.
<b>Bài 10</b> :Tồn tại hay không hàm f : Q Q sao cho
f(x + f(y)) = f(x) – y
<b>Bài 11</b> : Tìm tất cả các hàm f : Q Q thỏa mãn :
<b> </b>
Trung tâm gia sư VIP, số 4 ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà nội
Hotline: 0989189380
<b> </b> <b> PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY </b>
<i><b> Trường THPT Nguyễn Trãi - Hải Dương </b></i>
<b>A. PHƯƠNG TRÌNH CAUCHY: </b>
<b>Đặt vấn đề: </b>
<i>Nếu x, y Q ta hiển nhiên có f (x) = xf (1). </i>
<i>Vậy nếu x, y R thì f(x) sẽ xác định như thế nào ? </i>
<i>Sau đây xin nêu ra một số tiêu chuẩn để xác định phương trình Cauchy, nhưng trước hết xin nói </i>
<i>qua về lý thuyết giới hạn của dãy số và hàm số vì đây là lý thuyết cơ bản và hầu như xuyên suốt trong </i>
<i>quá trình các bài tập dạng này. </i>
<b>1. Cho dãy số (x</b>n)n 0 ta có lim xn = L tồn tại No > 0, No N sao cho với n No ta có <i>xn</i><i>L</i> <
với nhỏ tuỳ ý.
<b>2. Nếu x</b>n yn n 1 thì lim xn lim yn
<b>3. Định lý </b>
Nếu một dãy (xn) chặn thì ln một dãy con (xnk) hội tụ.
<b>4. Giới hạn hàm số </b>
a, limxxo <i>f (x) = L ( f (x) xác định trên K) </i>
c > 0 nhỏ tuỳ ý <i></i> > 0 sao cho x K mà <i>x</i><i>x</i>0 <i></i>thì <i>f</i>(<i>x</i>)<i>L</i> <i>c</i>
b, Nếu limn <i>x n</i> <i>xo</i> mà ta có limn+ <i>f (x) = f (x</i>o<i>) thì ta nói f (x) liên tục tại x</i>o
<b>5. Tính chất : </b>
<i>Nếu f : A</i><i>B là đơn ánh, f liên tục thì f đơn điệu </i>
<b>Tiêu chuẩn 1: </b>
<i>Cho f : R</i><i>R thoả mãn f liên tục trên R và f (x+y) = f (x) + f (y) x, y R. </i>
<b>Lời giải: </b>
<i>Thay x = y f (2x ) = 2 f (x) x R. </i>
<i>Dễ quy nạp f (kx) = k f (x) x R. k N. </i>
<i>Thay x = y = 0 f (0) = 0 </i>
<i>Thay x = - y f (x) = - f (- x ) </i>
<i> f (kx ) = k f (x) x R. k Z (1) </i>
Trung tâm gia sư VIP, số 4 ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà nội
Hotline: 0989189380
Từ (1) thay x = 1 (1) 1 1. (1) (1)(2)
<i>k</i>
<i>f</i>
<i>f</i>
<i>k</i>
<i>k</i>
<i>kf</i>
<i>f</i>
<i>k</i>
Đặt m=p(p, q) 1, p Z,q N *
q ta có
<i> f (</i>p f (p. )1 p.f ( )1 p.f (1)
q q q q f (m)xo.f (1).<i>m Q</i>.
Với <i>xo R</i> ta luôn chọn được một dãy(<i>xn</i>)<i><sub>n</sub></i><sub></sub><sub>1</sub>hữu tỷ sao cho
0
lim<i><sub>n</sub></i> <i><sub>x</sub></i> <i><sub>x</sub></i>
<i>n</i>
Khi đó ta có lim <i>f</i>(<i>x</i> ) lim .<i>f</i>(1) <i>xo</i>.<i>f</i>(1)
<i>n.</i>
<i>x</i>
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>do f (x) liên tục trên R </i>lim<i><sub>n</sub></i><sub></sub><sub></sub> <i>f</i>(<i>x<sub>n</sub></i>)(<i>xo</i>)
)
<i>f</i>
<i>Vậy f (x) = kx</i><i>x</i><i>R với k = f (1). </i>
<i><b>Chú ý: </b>Điều kiện f (x) liên tục trên R hồn tồn có thể thay bằng việc f (x) liên tục tại điểm xo </i><i>R</i>.
<i>Thật vậy, giả sử f (x) liên tục tại xo </i>lim<i><sub>n</sub></i><sub></sub><i><sub>xo</sub></i> <i>f</i>(<i>x</i>) <i>f</i>(<i>xo</i>)
Với <i>a R ta có f (x) = f (x-a+x</i>o) + f (a - xo).
<i>Sau đó chuyển giới hạn suy ra f (x) liên tục tại x</i>o.
<i>Vậy f (x) liên tục tại mọi điểm trên R. </i>
<b>Tiêu chuẩn 2: </b>
<i>Cho f : R </i> R, f đơn điệu.
<i>f (x + y) = f (x) + f (y) </i> ,<i>x</i> <i>y</i><i>R</i>
CMR: tồn tại <i>k</i>: <i>f</i>(<i>x</i>)<i>kx</i><i>x</i><i>R</i>
<b>Lời giải: </b>
<i>Giả sử f đơn điệu tăng </i>
<i>Ta có f (m) = m f (1) x </i><i>R</i>
Với <i>x R</i>ta luôn chọn được 2 dãy hữu tỷ (<i>u<sub>n</sub></i>)<i><sub>n</sub></i><sub></sub><sub>1</sub>,(<i>v<sub>n</sub></i>)<i><sub>n</sub></i><sub></sub><sub>1</sub> thoả mãn:
1
)
(<i>u<sub>n</sub></i> <i><sub>n</sub></i><sub></sub> tăng và bị chặn trên nên ta có <i>f</i>(<i>u<sub>n</sub></i>) <i>f</i>(<i>x</i>) <i>f</i>(<i>v<sub>n</sub></i>)<i>n</i><i>N</i>
Chuyển qua giới hạn ta có lim<i><sub>n</sub></i><sub></sub><sub></sub><i>u<sub>n</sub></i>.<i>f</i>(1) <i>f</i>(<i>x</i>)lim<i><sub>n</sub></i><sub></sub><sub></sub><i>v<sub>n</sub></i>.<i>f</i>(1)
<i>R</i>
<i>x</i>
<i>kx</i>
<i>xf</i>
<i>x</i>
<i>f</i>
<i>f</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>f</i>
<i>xf</i>
(1) ( ) . (1) ( ) (1)
Vậy <i>f</i>(<i>x</i>)<i>kx</i><i>x</i><i>R</i>
<b>Tiêu chuẩn 3: </b>
<i>Cho f : R </i><i> R, f cộng tính và f đơn điệu trên [c, d] </i>
<b> </b>
Trung tâm gia sư VIP, số 4 ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà nội
Hotline: 0989189380
<b>Lời giải: </b>
Ta sẽ tận dụng tiêu chuẩn 2 bằng việc mở rộng tính đơn điệu trên toàn miền R
<i>Giả sử f đơn điệu tăng. </i>
Đặt
2
<i>c</i>
<i>d</i>
<i>a</i> 0 ta có )
2
(
(<i>x</i> <i>c</i> <i>d</i> <i>f</i> <i>x</i> <i>f</i> <i>c</i> <i>d</i>
<i>f</i>
)
2
(
)
(
)
2
(<i>y</i> <i>c</i> <i>d</i> <i>f</i> <i>y</i> <i>f</i> <i>c</i> <i>d</i>
<i>f</i>
Nếu
2
(
,
,
,<i>x</i> <i>y</i> <i>c</i> <i>d</i> <i>f</i> <i>x</i> <i>c</i> <i>d</i>
<i>x</i> )
2
(<i>y</i> <i>c</i> <i>d</i>
<i>f</i>
Hay nói cách khác nếu x, y [ a, a], xy<i>thì f (x) </i> <i>f( y</i>)
Ta có
Với xy đặt [
<i>a</i>
<i>y</i>
<i>x </i>
] = k (kN (x, yR )
Suy ra x - y = ka + t với t [0 ; a]
Ta có f (x)f (y)f (xy)f (ka t) f (ka)f (t)k.f (a)f (t) 0
<i>Vậy ta có đpcm, từ CT 2 f (x) = </i>
<i>Nếu f (x) đơn điệu giảm, đặt </i>g(x) f (x)
f (x) kx x R
<b>Tiêu chuẩn 4: </b>
<i>f : R</i><i>R, f cộng tính.</i> <i>f</i>(<i>x</i>) 0<i>x</i><i>R</i>
CMR: f (x)kx x R (k0)
<b>Lời giải: </b>
Ta có <i>f</i>(<i>x</i>) <i>f</i>(<i>y</i>) <i>f</i>(<i>x</i><i>y</i>)0<i>x</i> <i>y</i>
<i> f đơn điệu tăng </i> <i>f</i>(<i>x</i>)<i>kx</i><i>x</i><i>R</i>(<i>k</i> 0)
<b>Tiêu chuẩn 5: </b>
<i>Cho f : R</i><i>R, f cộng tính. Tồn tại m</i>: <i>f</i>(<i>x</i>)<i>m</i><i>x</i> [c;d ]
CMR: <i>f</i>(<i>x</i>)<i>kx</i><i>x</i><i>R</i>
<b>Lời giải: </b>
Đặt a = 0
2
<i> c</i>
<i>d</i>
và k = )
2
(<i>c</i> <i>d</i>
<i>f</i>
Ta có f (x) = <i>f</i> <i>x</i><i>c</i><i>d</i> <i>f</i> <i>c</i><i>d</i>)<i>M</i>
2
(
)
2
( với mọi x [c;d ]
Trung tâm gia sư VIP, số 4 ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà nội
Hotline: 0989189380
Ta có <i>f</i>(<i>x</i>) <i>f</i>(<i>x</i>)0 có - x [- a ;a ] nếu <i>x</i>[-a; a]
Ta <i>f</i>(<i>x</i>)<i>M</i><sub>1</sub> và <i>f</i>(<i>x</i>)<i>M</i><sub>1</sub>
Đặt M2 = - M1 có <i>f</i>(<i>x</i>)<i>M</i><sub>1</sub> suy ra <i>f</i>(<i>x</i>)<i>M</i><sub>1</sub>
<i>f</i>(<i>x</i>) <i>M</i><sub>2</sub> <i>x</i> [-a; a]
Vậy - M2 <i>f</i>(<i>x</i>)<i>M</i>2<i>x</i>
Lấy <i>t</i>
;
,<i>a</i> <i>k</i> <i>N</i>
<i>a</i>
<i>k</i>
<i>t</i>
Ta có - M2 <i>f</i>(<i>x</i>)<i>M</i>2với mọi x [ -a; a], <i>M</i>2 0
Lấy t [-a; a ] suy ra
<i>k</i>
<i>t</i>
[ -a; a], k *
<i>N</i>
Suy ra - M2 <i>f</i>(<i>t</i>)<i>M</i>2
Hay - M2 ( ) <i>M</i>2
<i>k</i>
<i>t</i>
<i>kf</i>
nên -
<i>k</i>
<i>M</i>
<i>k</i>
<i>t</i>
<i>f</i>
<i>k</i>
<i>M</i><sub>2</sub> <sub>2</sub>
)
(
Cho lim 0
<i>k</i>
<i>t</i>
<i>k</i>
0
2
2 <sub></sub> <sub></sub>
<i>k</i>
<i>M</i>
<i>Lim</i>
<i>k</i>
<i>M</i>
<i>Lim</i>
)
(
)
0
(
0
)
(
lim<i><sub>x</sub></i> <sub>0</sub> <i>f</i> <i>x</i> <i>f</i> <i>f</i> <i>x</i>
<sub></sub> liên tục tại x = 0
Theo TC1 ta có ĐPCM.
<i><b>Chú ý: </b></i>Nếu tồn tại m:
thể thay RRbởi (0 ; ) R hoặc. (0 ; ) R
<b>B. ỨNG DỤNG PT HÀM CAUCHY TRONG GIẢI CÁC BÀI TỐN PTH.</b>
Hầu hết các bài tốn về PT hàm Cauchy đều có trong quyển "Phương trình hầm - Nguyễn Văn Mậu "
nhưng sau đây xin nêu ra một số bài tập cho thấy rõ việc áp dụng của PTH Cauchy.
<b>Bài tập 1: Phương trình hàm Jensen </b>
<i>Cho f : R R thoả mãn f liên tục trên R </i>
R
,
2
)
(
)
(
)
2
(<i>x</i> <i>y</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>f</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i>
<i>f</i>
<b>Lời giải: </b>
<i>Đặt g (x) = f (x) - f (0) </i>
1
)
2
(
<i>g</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>g</i> <i>x</i> <i>g</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i>
<b> </b>
Trung tâm gia sư VIP, số 4 ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà nội
Hotline: 0989189380
Thay x = 0 ( ) R
2
1
)
2
(
<i>g</i> <i>y</i> <i>g</i> <i>y</i> <i>y</i>
Thay lại (*) ta có ) , R
2
(
)
2
(
)
2
(<i>x</i><i>y</i> <i>g</i> <i>y</i> <i>g</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>y</i>
<i>g</i>
Hay g(x+y) = g (x) + g (y) <i>x</i>, <i>y</i> R
<i>Lại có f liên tục trên R g liên tục trên R </i>
<i>R</i>
<i>x</i>
<i>ax</i>
<i>x</i>
<i>g</i>
( )
<i>R</i>
<i>ac</i>
<i>x</i>
<i>f</i>
( ) (0)
Thử lại thấy thoả mãn
<i>Vậy f (x) = ax +b</i><i>x</i><i>R</i>,<i>a</i>,<i>b</i><i>R</i>
<b>Bài tập 2: Cho </b><i>f</i> :(0;)<i>R</i> thoả mãn <i>f</i>(<i>xy</i>) <i>f</i>(<i>x</i>).<i>f</i>(<i>y</i>)<i>x</i>,<i>y</i>0
<i>Và f đơn điệu thì </i> <i>f</i>(<i>x</i>)0<i>x</i>0hoặc
<b>Lời giải: </b>
Cho x > 0 suy ra x = y ta có <i><sub>f</sub></i>(<i><sub>x</sub></i>2)<sub></sub> <i><sub>f</sub></i>2(<i><sub>x</sub></i>)
Cho x =y =1 ta có <i>f</i>(1) <i>f</i>2(1) <i>f</i>(1)0 hoặc <i>f</i>(1)1
TH1: <i>f</i>(1)0 thay y =1 ta có f (x)f (1).f (x)0 (t/m) x 0
Vậy f (x)0 x 0
TH2: <i>f</i>(1)1 do (1) ( ). (1)<i>x</i>0
<i>x</i>
<i>f</i>
<i>x</i>
<i>f</i>
<i>f</i>
Nếu tồn tại xo > 0, xo 1: <i>f</i>(<i>x</i>0)0 <i>f</i>(1)0 (vô lý)
Đặt g(x) = ln <i>f</i>(<i>ex</i>)<i>x</i><i>R</i>
R
R
:
<i> g</i> và có
g(x+y)=<sub>ln f (e</sub>x y <sub>)</sub><sub></sub><sub>ln f (e ).f (e )</sub><sub></sub> x y <sub></sub><sub></sub><sub>ln f (e ) ln f (e )</sub>x <sub></sub> y <sub></sub><sub>g(x)</sub><sub></sub><sub>g(y) x, y</sub><sub></sub> <sub></sub><sub>R</sub>
<i>Do f đơn điệu nên g cũng đơn điệu mà có (g (x+y) = g (x) + g (y) </i><i>x</i>, <i>y</i> R
Theo tiêu chuẩn 2, ta có g(x) = cx<i>x R</i>
Có <sub>f (x)</sub><sub></sub><sub>e</sub>g (ln x ) <sub></sub><sub>e</sub>c.ln x <sub></sub><sub>x</sub>c<sub> </sub><sub>x</sub> <sub>0</sub>
Thử lại thoả mãn
Vậy
<b>Bài tập 3: </b>
Trung tâm gia sư VIP, số 4 ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà nội
Hotline: 0989189380
Nếu <i>f</i> : <i>A</i> Rthoả mãn đồng thời 2 điều kiện sau:
1, <i>f</i>(<i>x</i> <i>y</i>) <i>f</i>(<i>x</i>) <i>f</i>(<i>y</i>) <i>f</i>(<i>x</i>) <i>f</i>(<i>y</i>)<i>x</i>,<i>y</i>A
2, <i>f</i>(<i>xy</i>) <i>f</i>(<i>x</i>)<i>f</i>(<i>y</i>)
Hãy chứng minh
Hoặc f (x)x x A
<b>Lời giải: </b>
Ở (2) cho x = y 2 2
f (x ) f (x) x A
f (x)0 x A
Có f (xy)f (x)f (yf (x) x A
Ta có <i><sub>f</sub></i>(1)<sub></sub> <i><sub>f</sub></i>2(1)<sub></sub> <i><sub>f</sub></i>(1)<sub></sub>0<sub>hoặc </sub>
1
)
1
(
<i>f</i>
TH1: <i>f</i>(1)0 <i>f</i>(<i>x</i>)0<i>x</i><i>A</i> (theo 2)
TH2: <i>f</i>(1)1
Ta có f (x)xf (1) x Q f (x)x x Q
<i>A</i>
<i>x </i>
ta luôn chọn được 2 dãy hữu tỷ (<i>P<sub>n</sub></i>),(<i>q<sub>n</sub></i>)
Mà pn < x <qn, pn tăng dần tới x, qn giảm dần về x
Ta có <i>f</i>(<i>p<sub>n</sub></i>) <i>f</i>(<i>x</i>) <i>f</i>(<i>q<sub>n</sub></i>)
<i>n</i>
<i>n</i> <i>f</i> <i>x</i> <i>q</i>
<i>p</i>
( )
<i>Suy ra f (x) = x với mọi x </i><i>A</i>. Ta có đpcm.
<b>Bài tốn 3 thường được sử dụng để giải PT hàm sau đây xin nêu 1 bài toán áp dụng. </b>
<b>Bài toán 4: </b>
Đặt A = R, [0, + ]
Cho <i>f</i> :<i>A</i>Rthoả mãn
)
(
).
(
2
)
(
)
(
)
( 2 2
2
<i>y</i>
<i>f</i>
<i>f</i> với mọi x, y <i>A</i>
0
)
1
(
<i>f</i>
CMR f (x)x x A
<b>Lời giải: </b>
Thay x =y = 0 ta có <i>f</i>2(0)2<i>f</i>(0)2<i>f</i>2(0)
0
)
0
(
<i> f</i> hoặc <i>f</i>(0)2
TH1:<i>f</i>(0)2 thay y =0, x =1 ta có <i>f</i> 2(1)<i> f</i>(1)2â4 <i>f</i>(1)
0
2
)
1
(
3
)
1
(
2
<i>f</i> <i>f</i>
<i>suy ra f (1) = -1 hoặc f (1) = -2 (vô lý) </i>
<b> </b>
Trung tâm gia sư VIP, số 4 ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà nội
Hotline: 0989189380
(*)
,
)
( 2 2
2
<i>A</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>f</i>
<i>x</i>
<i>f</i>
<i>y</i>
<i>f</i>
<i>x</i>
<i>f</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>f</i>
TH1: <i>A</i>
Ta có <i>f</i>(<i>x</i>) 0<i>x</i><i>A</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>f</i>2( ) ( ) ( )2
)
1
(
,
)
(
)
(
)
(<i>x</i> <i>y</i> <i>f</i> <i>x</i> <i>f</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>A</i>
<i>f</i>
Ta có <i>f</i>2(<i>x</i><i>y</i>) <i>f</i>((<i>x</i> <i>y</i>)2) <i>f</i>(<i>x</i>2) <i>f</i>(<i>y</i>2) <i>f</i>(2<i>xy</i>) <i>f</i>(<i>x</i>2) <i>f</i>(<i>y</i>2)2<i>f</i>(<i>xy</i>)
Kết hợp với (*) ta có <i>f</i>(<i>xy</i>) <i>f</i>(<i>x</i>)<i>f</i>(<i>y</i>)<i>x</i>,<i>y</i><i>A</i>(2)
Từ (1) (2) theo bài toán 3 <i>f</i>(<i>x</i>)<i>x</i><i>x</i><i>A</i>
TH2: A = R
Xét <i>x, y</i> ,
Ta có, thay y = - x <sub></sub> <i><sub>f</sub></i>2<sub>(</sub><sub>0</sub><sub>)</sub><sub></sub>
<i>R</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>f</i>
<i>x</i>
<i>f</i>
( ) ( )
<i>R</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>f</i>
( )
<b>Bài tốn 5: </b>
Tìm tất cả các hàm <i>f</i> :<i>Q</i><i>Q</i> thoả mãn
<i>Q</i>
<i>y</i>
<i>f</i>( ) ( ) ( ) ,
<b>Lời giải: </b>
Trước hết ta dự đoán kết quả 2
2
1
)
(<i>x</i> <i>x</i>
<i>f</i> là hàm thoả mãn
Để triệt tiêu "xy" đồng thời lợi dụng kết quả của PT Cauchy ta đặt g(x) 2
2
1
)
(<i>x</i> <i>x</i>
<i>f</i>
<i>g</i>
( ) ( ) ( ) ,
Ta có <i>g</i>(<i>x</i>)<i>xg</i>(1)<i>ax</i><i>x</i><i>Q</i>
<i>Q</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>ax</i>
<i>x</i>
<i>f</i>
2
2
1
)
(
Thử lại ta thấy thoả mãn
<b>Bài tập 6: </b>
Cách làm tương tự như bài 5:
Tìm <i>f</i> :<i>R</i><i>R</i> liên tục thoả mãn <i>f</i>(<i>m</i><i>n</i>) <i>f</i>(<i>m</i>) <i>f</i>(<i>n</i>)2<i>mn</i><i>m</i>,<i>n</i><i>R</i>
<b>Bài tập 7: </b>
Tìm <i>f</i> :<i>R</i><i>R</i> liên tục thoả mãn
R
,
)
(
))
(
(<i>x</i> <i>f</i> <i>y</i> <i>f</i> <i>x</i> <i>y</i><i>x</i> <i>y</i>
Trung tâm gia sư VIP, số 4 ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà nội
Hotline: 0989189380
<b>Lời giải: </b>
Giả sử: <i>y</i><sub>1</sub> <i>y</i><sub>2</sub>;<i>f</i>(<i>y</i><sub>1</sub>) <i>f</i>(<i>y</i><sub>2</sub>)
1 2
f (x f (y )) f (x f (y )) x R
1 2
f (x) y f (x) y x R
2
1 <i>y</i>
<i>y </i>
(vơ lí)
)
<i>(x</i>
<i>f</i>
đơn ánh
Thay y = 0 <i>f</i>(<i>x</i> <i>f</i>(0)) <i>f</i>(<i>x</i>)<i>x</i><i>R</i> <i> f</i>(0)0
Thay x = 0 <i>f</i>(<i>f</i>(<i>y</i>)) <i>y</i><i>y</i><i>R</i>
Thay y <i>f</i>(<i>y</i>) <i>f</i>(<i>x</i> <i>y</i>) <i>f</i>(<i>x</i>) <i>f</i>(<i>y</i>)<i>x</i>,<i>y</i><i>R</i>
<i>Có f liên tục </i> <i>f</i>(<i>x</i>)<i>kx</i>)<i>x</i><i>R</i>,<i>k</i><i>R</i>
Thay lại có k = 1 hoặc k = - 1
Vậy <i>f</i>(<i>x</i>) <i>x</i> với mọi x <i>R</i>hoặc <i>f</i>(<i>x</i>)<i>x</i>với <i>x R</i>
<b>Bài tập 8: SMO </b>
Cho <i>f</i> :<i>R</i><i>R</i> liên tục thoả mãn <i>f</i>(<i>x</i><i>y</i>) <i>f</i>(<i>x</i>) <i>f</i>(<i>y</i>)<i>x</i>,<i>y</i>R
A=
\ 0
;
)
(
<i>R</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
CMR: f (x)kx với <i>x R</i>
<b>Lời giải </b>
Quy nạp ta có <i>f</i>(<i>qx</i>)<i>qf</i>(<i>x</i>)với <i>q Q</i>
<i>q</i>
<i>x</i>
<i>Q</i>
<i>q</i>
<i>qx</i>
<i>qx</i>
<i>f</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>f</i>
,
,
)
(
)
(
0
Gọi xo <i>R</i> 0 a là số vô tỷ thoả mãn:
<i>o</i>
<i>o</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>f</i>( )
<i>o</i>
<i>o</i>
<i>ax</i>
<i>ax</i>
<i>f</i>( )
)
( <sub>0</sub>
0<i>f</i> <i>x</i>
<i>ax</i>
xo <i>f</i>(<i>ax</i><sub>0</sub>)
Hay yo <i>f</i>(<i>x</i>0) xo <i>f</i>(<i>y</i>0), yo = axo là số vô tỷ
Đặt yk = yo - kxo với k <i>N</i>*
0
<i>kx</i>
<i>y</i>
<i>y<sub>o</sub></i> <i><sub>k</sub></i>
Ta có (yk+kxo) <i>f</i>(<i>x</i><sub>0</sub>) xo<i>f</i>(<i>y<sub>k</sub></i> <i>f</i>(<i>x<sub>o</sub></i>)
)
(
)
(<i>x<sub>o</sub></i> <i>kx<sub>o</sub>f</i> <i>x<sub>o</sub></i>
<i>ykf</i>
<i>x<sub>o</sub>f</i>(<i>y<sub>k</sub></i>)<i>kx<sub>o</sub>f</i>(<i>x<sub>o</sub></i>)
<i>o</i>
<i>o</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>f</i>( )
<i>k</i>
<i>k</i>
<i>y</i>
<b> </b>
Trung tâm gia sư VIP, số 4 ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà nội
Hotline: 0989189380
Có <i>o</i> <i>k</i> <i><sub>f</sub></i>(<i><sub>y</sub><sub>o</sub></i>)
<i>k</i>
<i>y</i>
<i>y </i>
( )
<i>k</i>
<i>y</i>
<i>y</i>
<i>f</i>
<i>y</i> <i>o</i> <i>k</i>
<i>o</i>
)
( <i><sub>o</sub></i>
<i>k</i>
<i>o</i>
<i>y</i>
<i>f</i>
<i>o</i>
<i>y</i>
)
( <i><sub>o</sub></i>
<i>k</i> <i>f</i> <i>y</i>
<i>y</i>
<i>o</i>
<i>o</i>
<i>k</i>
<i>o</i>
<i>y</i>
<i>y</i>
<i>f</i>
<i>y</i>
<i>f</i>
<i>y</i> ( ) ( )
<i>k</i>
<i>k</i>
<i>y</i>
<i>f</i>( )
Quy nạp ta có A là vơ hạn (vơ lý)
Suy ra f (x) k x R \ 0
x
f (x) kx x R
<b>Bài tập 9: IMO 2002 </b>
Tìm tất cả <i>f</i> :<i>R</i><i>R</i>thoả mãn:
)
(
)
(
))
(
)
(
))(
(
)
(<i>f</i> <i>x</i> <i>f</i> <i>z</i> <i>f</i> <i>y</i> <i>f</i> <i>t</i> <i>f</i> <i>xy</i><i>zt</i> <i>f</i> <i>xt</i><i>gz</i> cho mọi số thực x, y, z, t
<b>Lời giải: </b>
)
0
(
2
)
0
(
2
).
(
2
0
,<i>y</i> <i>t</i> <i>f</i> <i>x</i> <i>f</i> <i>f</i>
<i>z</i>
<i>x</i> cho tất cả <i>x</i><i>R</i> <i>f</i>(0)0<i> hoặc f </i>
2
1
Giả sử <i>f</i>(0)0
z =t = 0 <i>f</i>(<i>xy</i>) <i>f</i>(<i>x</i>)<i>f</i>(<i>y</i>) cho tất cả x,y <i>R</i>(*)
x = y = 0 <i>f</i>(<i>zt</i>) <i>f</i>(<i>z</i>)<i>f</i>(<i>t</i>) <i>f</i>(<i>zt</i>) cho tất cả z, t <i>R</i>
Nên <i>f</i>(<i>x</i>) <i>f</i>(<i>x</i>) cho tất cả <i>x R</i>(**)
và <i><sub>f</sub></i>(<i><sub>x</sub></i>)<sub></sub> <i><sub>f</sub></i>( <i><sub>x</sub></i>)2 <sub></sub>0<sub>cho tất cả </sub><i><sub>x</sub></i><sub></sub><sub>0</sub><sub>(*</sub><sub>*</sub><sub>*)</sub>
và <i>f</i>(<i>x</i>) <i>f</i>(<i>x</i>.1) <i>f</i>(<i>x</i>)<i>f</i>(1)cho tất cả <i>x</i><i>R</i> <i>f</i>(1)1<i><sub>or</sub></i> <i>f</i> 0
Giả sử <i>f</i>(1)1
x= y = z = t = 1 <i> f</i>(2)4
Từ (*) cho <i><sub>f</sub></i><sub>(</sub><sub>2</sub><i>T</i><sub>)</sub><sub></sub><sub>4</sub><i>T</i> <sub></sub><sub>(</sub><sub>2</sub><i>T</i><sub>)</sub>2<sub>cho tất cả r</sub>
**)
*
(*
<i>Q</i>
x=t, y = z 2 2 2 2 2 2
)
(
)
(
))
(
(<i>f</i> <i>x</i> <i>f</i> <i>y</i> <i>f</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>f</i> <i>x</i> <i>y</i>
Và <i>f</i>(<i>y</i>) <i>f</i>(<i>x</i>) <i>f</i>(<i>y</i>) <i>f</i>( <i>x</i>2 <i>y</i>2)
Cho mọi x, y sử dụng (***). 0
nên <i>f</i>(<i>x</i>) <i>f</i>( <i>x</i>2<i>y</i>2)2 <i>y</i>2) <i>f</i>(<i>y</i>) cho tất cả x <i> y</i>0
Và (****) cho <i><sub>f</sub></i><sub>(</sub><i><sub>x</sub></i><sub>)</sub><sub></sub> <i><sub>x</sub></i>2<sub> tất cả x > 0 </sub>
Trung tâm gia sư VIP, số 4 ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà nội
Hotline: 0989189380
2
)
(<i>x</i> <i>x</i>
<i>f</i> cho tất cả x <i>R</i>
<b>C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN </b>
<i><b>Bài 1: Tìm f , g, h: R </b></i> R liên tục thoả mãn
R
(<i>x</i><i>y</i> <i>f</i> <i>x</i> <i>f</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i>
<i>f</i>
<b>Bài 2: Cho </b><i>f</i> :<i>R</i><i>R</i> và <i>f</i>(<i>xy</i><i>x</i> <i>y</i>) <i>f</i>(<i>xy</i>) <i>f</i>(<i>x</i>) <i>f</i>(<i>y</i>)<i>x</i>,<i>y</i>R
CMR <i>f</i>(<i>x</i><i>y</i>) <i>f</i>(<i>xy</i>) <i>f</i>(<i>x</i>) <i>f</i>(<i>y</i>)<i>x</i>,<i>y</i>R
<b>Bài 3: Cho </b><i>f</i> :<i>R</i><i>R</i> thoả mãn
1, <i>f</i>(<i>x</i><i>y</i>) <i>f</i>(<i>x</i>)<i>f</i>(<i>y</i>)<i>x</i>,<i>y</i>R
2, lim<i><sub>x</sub></i><sub></sub><sub>0</sub> <i>f</i>(<i>x</i>)1
Chứng minh rằng <i>f</i>(<i>x</i>)<i>ax</i>với a> 0
<b>Bài 4: Cho </b><i>f</i> :<i>R</i>*<i>R</i> thoả mãn
1, *
R
,
)
(<i>xy</i> <i>f</i> <i>x</i> <i>f</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i>
<i>f</i>
2, lim<i><sub>x</sub></i><sub></sub><sub>1</sub> <i>f</i>(<i>x</i>)0
Chứng minh rằng <i>f</i>(<i>x</i>)0<i>x</i><i>R</i>* hoặc <i>f</i>(<i>x</i>)log<i><sub>a</sub>x</i>với a=const >0 và a 1
<b>Bài 5: Tìm </b><i>f</i> :<i>R</i><i>R</i> thoả mãn điều kiện
<i>f</i>
<b>Bài 6: Tìm </b><i>f</i> :<i>R</i><i>R</i> thoả mãn
R
,
)
(
))
(
(<i>x</i>2 <i>f</i> <i>y</i> <i>y</i> <i>f</i>2 <i>x</i><i>x</i> <i>y</i>
<i>f</i>
<b>Bài 7: Tìm </b><i>f</i> :<i>R</i> <i>R</i> đơn điệu thoả mãn
R
,
)
(
))
(
(<i>x</i> <i>f</i> <i>y</i> <i>y</i> <i>f</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>y</i>
<i>f</i>
<b>Sau đây là gợi ý của các bài tập trên. </b>
<b>D. Gợi ý. </b>
<b>Bài 1: Thay y bởi x, x bởi y rồi đưa về pth Cauchy </b>
<i>Đặt F(x) = f (x) + h(0) + g (0) </i>
Suy ra F(x+y) = F(x) + F(y).
<b>Bài 2: Cho x = y = 0 </b><i> f</i>(0)0
Cho y = - 1 <i>f</i>(<i>x</i>)<i>f</i>(<i>x</i>)
Cho y = 1 <i>f</i>(2<i>x</i>1)2<i>f</i>(<i>x</i>) <i>f</i>1)<i>x</i><i>R</i>
<i>R</i>
<i>v</i>
<i>u</i>
<i>f</i>
<i>v</i>
<i>f</i>
<i>u</i>
<i>f</i>
<i>uv</i>
<i>f</i>
<i>uv</i>
<i>v</i>
<i>u</i>
<i>f</i>
(2( ) 1) 2 ( 2 ( ) 2 ( (1) ,
Đặt x = u, y = 2v + 1 ta có.
)
2
(
)
1
(
)
(
2
)
( <i>u</i> <i>v</i> <i>uv</i> <i>f</i> <i>u</i> <i>v</i> <i>u</i> <i>v</i> <i>f</i> <i>u</i> <i>f</i> <i>v</i> <i>f</i> <i>f</i> <i>uv</i> <i>u</i>
<b> </b>
Trung tâm gia sư VIP, số 4 ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà nội
Hotline: 0989189380
)
2
(
)
1
(
)
(
2<i>f</i> <i>uv</i> <i>f</i> <i>u</i> <i>f</i> <i>v</i> <i>f</i> <i>f</i> <i>u</i> <i>f</i> <i>v</i> <i>f</i> <i>f</i> <i>uv</i><i>u</i>
)
1
)(
(
)
(
2
)
2
( <i>uv</i> <i>u</i> <i>f</i> <i>uv</i> <i>f</i> <i>u</i>
<i>f</i>
Lấy
2
1
<i>v</i> thì ) R
2
(
2
)
(<i>u</i> <i>f</i> <i>u</i> <i>u</i>
<i>f</i>
Từ (1) <i>f</i>(<i>x</i> <i>y</i>) <i>f</i>(<i>x</i>) <i>f</i>(<i>y</i>)với mọi x, y khác 0
Ta có <i>f</i>(0)0thoả mãn <i>f</i>(<i>x</i><i>y</i>) <i>f</i>(<i>x</i>) <i>f</i>(<i>y</i>)
Đpcm.
<b>Bài 3: </b>
Đặt g (x) = ln <i>f(x</i>)
<b>Bài 4: </b>
Đặt
<b>Bài 5: </b>
Cho x = - 1 có <i>f</i>(0) <i>y</i>
Với x = 0 ta có <i>f</i>(<i>f</i>(<i>y</i>)) <i>y</i>
Với x =-2, y =- 1 (1)
Ta có <i>f</i>(<i>x</i>1)<i>f</i>(<i>x</i>)1<i>x</i><i>R</i>
1
)
1
( 2
<i> f</i> hay <i>f</i>(1)1 (do <i>f</i>(<i>f</i>(<i>y</i>)) <i>y</i>)
Vậy <i>f</i>(<i>x</i>1) <i>f</i>(<i>x</i>)1
Ta có <i>f</i>(<i>xy</i>) <i>f</i>(<i>xf</i>(<i>f</i>(<i>y</i>)) <i>f</i>(<i>y</i>)
Với y 0 thì
)
(
)
( <i>y</i> <i>f</i> <i>y</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>f</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>f</i> [ ( )1
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>f</i> ] = <i>f</i>(<i>x</i>) <i>f</i>(<i>y</i>) (2)
Do <i>f</i>(0)0 nên (1) + (2) đúng với mọi số thực x, y
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>f</i>
( )
<b>Bài 6: </b>
Cho x = 0 được <i>f</i>(<i>f</i>(<i>y</i>)) <i>y</i> <i>f</i>(0)2. Đặt c = <i>f</i>(0)2<i>, nên f ( f (y)) = y + c </i>
2
2 <sub>(</sub> <sub>(</sub> <sub>)))</sub> <sub>(</sub> <sub>)</sub> <sub>(</sub> <sub>)</sub>
(<i>a</i> <i>f</i> <i>f</i> <i>b</i> <i>f</i> <i>b</i> <i>f</i> <i>a</i>
<i>f</i>
2
2
)
(
)
(
)
(<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>f</i> <i>b</i> <i>f</i> <i>a</i>
<i>f</i>
2
2
2
))
(
(
(<i>f</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>f</i> <i>f</i> <i>b</i> <i>f</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>f</i> <i>f</i> <i>a</i>
<i>f</i>
Trung tâm gia sư VIP, số 4 ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà nội
Hotline: 0989189380
Vì thoả mãn tất cả a nên c = 0. Có <i>f</i>(0)0 <i>f</i>(<i>f</i>(<i>y</i>)) <i>y. Chú ý f song ánh. Cho nên f tăng </i>
nghiêm ngặt. Nên từ <i>f</i>(<i>f</i>(<i>y</i>)) <i>y</i>, ta phải có <i>f</i>(<i>x</i>)<i>x</i> với tất cả x.
<b>Bài 7: </b>
<i>Dễ thấy f song ánh </i>
Cho x = y = 0 nên <i>f</i>(0)0
Cho x = 0 có <i>f</i>(<i>f</i>(<i>y</i>)) <i>y</i>
Với x, y bất kỳ đặt a = <i>f( y</i>)ta được <i>f</i>(<i>a</i>) <i>y</i>nên