Bài giảng số 6: Các dạng bài tập về tứ giác nội tiếp trong đường tròn

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (347.12 KB, 6 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

BÀI GIẢNG SỐ 6:

TỨ GIÁC NỘI TIẾP

I.

Tóm tắt lý thuyết

i) Tứ giác nội tiếp là tứ giác có 4 đỉnh nằm trên một đường tròn.

ii) Để chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp một đường tròn ta chứng minh tứ giác thỏa mãn 
một trong các điều kiện sau:

- 4 đỉnh A B C D, , , cùng thuộc một đường trịn.

- Tổng hai góc đối bằng 1800.

- Góc ngồi tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện. 
- Hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh dưới một góc chung .

iii) Nếu một tứ giác nội tiếp một đường trịn thì nó có những tính chất sau đây: 
- Tổng hai góc đối bằng 1800.

- Góc ngồi tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện. 
- Hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh dưới một góc chung .

II.

Bài tập mẫu

Bài tập mẫu 1: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn ( )O . Các đường cao AD, BE,
CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn lần lượt tại M , N , P. Chứng minh rằng:

1. Tứ giác CEHD nội tiếp. 2. 4 điểm B, C , E, F cùng nằm trên một đường tròn.
3. AE EC. AH AD AD BC. ; . BE AC. . 4. H và M đối xứng với nhau qua BC .

Giải:

1. Xét tứ giác CEHD có:

 0

CEH  ;  0

CDH  ( vì BE vàAD là đường cao)

Nên   0

180

CEHCDH  .

Mà CEH và  CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD . Do đó 
CEHD là tứ giác nội tiếp.

2. Theo giả thiết:

BE là đường cao nên  0

BEACBEC  .

CF là đường cao nên  0

CF  ABBFC .

Như vậy E và F cùng nhìn BC dưới một góc 900. Nên E và F

cùng nằm trên đường tròn đường kính BC . Vậy bốn điểm 
, , ,

B C E F cùng nằm trên một đường tròn.

H

(
(
2

-- 2

1
1

1
P

N

F

E

M

D C

B

A

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

3. Xét hai tam giác AEH và ADC có: AEH ADC90 ;0 A là góc chung

. .

AE AH

AEH ADC AE AC AH AD

AD AC

      

Xét hai tam giác BEC và ADC có: BEC ADC90 ;0 C là góc chung

. .

BE BC

BEC ADC AD BC BE AC

AD AC

      

4. Ta có C1 A1 ( vì cùng phụ với ABC );  C2 A1 ( vì hai góc nội tiếp cùng chắn cung BM ).

 

1 2

C C CB

   là tia phân giác của góc HCM . Lại có CBHM  CHM cân tại CB cũng là
đường trung trực của HM . Vậy H và M đối xứng với nhau qua BC .

Bài tập mẫu 2: Cho tam giác ABC có ba góc nội tiếp đường trịn ( )O với trực tâm H. Giả sử M là
một điểm trên cung BC không chứa A( M khác B, M khác C ). Gọi N P, theo thứ tự là điểm đối
xứng của M qua AB AC, .

1) Chứng minh tứ giác AHCP nội tiếp. 
2) Chứng minh ba điểm N H P, , thẳng hàng.
3) Tìm vị trí của M để độ dài đoạn NP lớn nhất.

Giải:

1) Gọi I là giao điểm của CH và AB, K là giao điểm

của AH và BC .Ta thấy IBK AHC1800 (1).
Mặt khác IBKAPC (2).

Từ (1) và (2) ta thấy tứ giác AHCP nội tiếp.

2) Do tứ giác AHCP nội tiếp nên AHPACP ( cùng

chắn cung AP). Có ACPACM (tính chất đối xứng).

Suy ra AHPACM (3).

Tương tự ta chứng minh được tứ giác AHBN nội tiếp,

nên AHNABN ( cùng chắn cung AP).

Có ABN ABM (t/c đối xứng). Suy raAHN ABM (4)

Tứ giácABMC nội tiếp nên  ACM ABM 1800 (5).
Thay (3), (4) vào (5) ta được  AHPAHN 1800
Vậy 3 điểm H N P, , thẳng hàng.

3) Từ MAN 2BAM MAP , 2MAC suy ra NAP2(BAM MAC)2BAC (không đổi).

Ta có NP2AP.sinBAC2AM.sinBAC. Do đó NP lớn nhất khi và chỉ khi AM lớn nhất, lúc đó

AM là đường kính của đường trịn ( )O . Vây NP lớn nhất khi M là điểm đối xứng của A qua O .

Bài tập mẫu 3: Cho tam giác cân ABC AB( AC A, 90 )0 , đường cao BD. Gọi M N I, , lần lượt theo
thứ tự là trung điểm các đoạn BC BM BD, , . Tia NI cắt cạnh AC tại K. Chứng minh rằng:

1) Các tứ giác ABMD ABNK, nội tiếp.

j
H
I

K
N

P
A

B C

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

2) 2 4 .
3

BC  CA CK

Giải:

1) Do tam giác ABC cân tại A nên AM BM

. Lại có AD BD, do đó tứ giác ABMD nội tiếp đường
trịn đường kính AB.

Mặt khác NI là đường trung bình của tam giác ABC

nên NI/ /MD . Do đó KNCDMC.

Hơn nữa DMCKAB( tính chất tứ giác nội tiếp

ABMD). Suy ra KNCKAB(1).
Từ đây ta thấy tứ giác ABNK nội tiếp.

2) Ta có NKCABC(tứ giác nội tiếp)

Kết hợp với (1) ta có ABC NKC BC CA

CK NC

   

Mặt khác, dễ thấy 3
4

NC  BC, do đó 2 4 . 4 .

3 3

BC  BC NC  CA CK

Bài tập mẫu 4: cho tam giác nhọn ABC AB(  AC), hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H (D

thuộc cạnh AC , E thuộc cạnh AB). Gọi I là trung điểm của BC . Đường tròn ngoại tiếp BEI và
đường tròn ngoại tiếp CDI cắt nhau tại K (K khác I).

1) Chứng minh rằng BDK CEK.

2) Đường thẳng DE cắt BC tại M . Chứng minh ba điểm M H K, , thẳng hàng.

3) Chứng minh tứ giác BKMD nội tiếp.

Giải:

1) Vì      AB C EKDEKIIKD5400,
mà B EKI C IKD1800 nên

  0

180

A EKD 

Suy ra tứ giác AEKD nội tiếp.

Mặt khác, tứ giác AEHD nội tiếp. Vậy năm điểm
, , , ,

A E H K D cùng nằm trên một đường trịn

đường kính AH, dẫn đến BDKCEK.

2) Ta có: ADE ABC, AKE ADE suy ra

 

ABC AKE. Từ đó   0

180

AKEAKI  , nghĩa là
3 điểm A K I, , thẳng hàng.

Lại có: IKC IDCICD, IKC KACACK,

I

N

D

M

B

C

A

K

j
H

I
K
E

A

M

D

B

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

  

ICDICKKCD

Vậy tứ giácMEKC nội tiếp.

Tứ giác MEKC nội tiếp nên MECMKC.

Vì IKC AEDMEB; MECMEB900; MKCMKI IKCMKI 900
Do A E H K D, , , , nằm trên đường trịn đường kính AH, nên HKA  900.
Vậy K H M, , thẳng hàng.

3) Do tứ giác DEHK nội tiếp nên HEK HDK (1).

Tứ giác MEKC nội tiếp nên KECKMC (2)

Từ (1) và (2) suy ra KMBHDK, hay tứ giác MBKD nội tiếp.

Bài tập mấu 5: cho hình thang vng ABCD A( D). Gọi Elà trung điểm của AD. Kẻ AH vng
góc với BE, DI vng góc với CE , K là giao điểm của AH và DI.

1) Chứng minh rằng BHIC nội tiếp. 
2) Chứng minh rằng EK BC.

Giải:

1) Sử dụng hệ thức lượng cho tam giác
vuông AEB và BEC ta thấy

2
.

EA EH EB (1)

2
.

ED EI EC (2).

Vì EAED(gt) nên từ (1) và (2) suy ra

. .

EH EBEI EC

Dẫn đến tứ giác BHIC nội tiếp được một đường tròn. 
2) Giả sử F là giao điểm của EK và BC .

Từ câu 1) tứ giác BHIC nội tiếp nên EHI BCI (3)

Mà tứ giác EHKI nội tiếp (EHK EIK900) nên

 

EHI EKI (4)

Từ (3) và (4) suy ra BCI EKI, hay tứ giác FKIC

nội tiếp, dẫn tới KFC KIC 1800.

Theo giả thiết KIC 900, suy ra KFC  900
Nghĩa là EK BC.

III. Bài tập tự luyện

Bài tập 1: cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AD và CE là hai đường cao cắt nhau tại H, O là tâm 
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Gọi M là điểm đối xứng của B qua O , I là giao điểm của BM

và DE, K là giao điểm của AC và HM.

F

I

K

H

E

D

A

B

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

1) Chứng minh rằng các tứ giác AEDC và DIMC là các tứ giác nội tiếp. 
2) Chứng minh OK AC.

3) Cho số đo góc AOK 600. Chứng minh tam giác HBO cân. 
Hướng dẫn:

1) Chứng minh BDIBMC.

2) Chứng minh K là trung điểm của AC . 
3) Chứng minh BH BO.

Bài tập 2: cho hình vng ABCD cạnh a . Trên hai cạnh AD và CD lần lượt lấy các điểm M và N

sao cho MBN  450. BM và BN cắt AC theo thứ tự tại E và F.

1) Chứng minh các tứ giác BENC và BFMA nội tiếp được một đường tròn.
2) Chứng minh MEFN là tứ giác nội tiếp.

3) Gọi H là giao điểm của MF và NE , I là giao điểm của BH và MN . Tính độ dài BI

Hướng dẫn:

1) Chứng minh EBN ECN và FBM FAM.

2) Chứng minh  0

MEN  và  0

MFN  .

3) Chứng minh BCN  BIN nên BI  a

Bài tập 3: giả sử tứ giác lồi ABCD có điểm M sao cho tứ giác ABMD là hình bình hành và

 

CBM CDM . Dựng hình bình hành BMCN .

1) Chứng minh tứ giác ABNC nội tiếp.

2) Chứng minh rằng ACDBCM .

Hướng dẫn:

1) Chứng minh BCN BAN.

2) Chứng minh BCMCBN; CBNCAN; CANACD.

Bài tập 4: cho đoạn thẳng AB và điểm C nằm giữa hai điểm A và B. Trên một nửa mặt phằng bờ
chứa đường thẳng AB, kẻ các tam giác đều ACD và BCE . Gọi I là giao điểm của AE và BD.
Chứng minh rằng:

1) Các tứ giác ACID và BCIE nội tiếp đường tròn

2) IA IB IC, , lần lượt là các tia phân giác của các góc   CID CIE AIB . , ,

3) Khi C chuyển động trên đoạn thẳng AB thì điểm I ln chuyển động trên một cung tròn cố định.
Hướng dẫn:

1) Chứng minh IACIDC và IECIBC.

2) Chứng minh AID AIC; BIC BIE và AICBIC. 
3) Khi C chuyển động trên đoạn thẳng AB thì điểm I ln

chuyển động trên cung trịn AB chứa góc AB.

Bài tập 5: cho tam giác nhọn ABC . Về phía ngồi tam giác ta dựng các tam giác vuông cân đỉnh A là
'

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

1) Các tứ giác ADBC , ' ADCB nội tiếp đường tròn. '
2) Tứ giác BA CD nội tiếp. '

3) Ba đường thẳng AA BB CC', ', ' đồng quy tại D.
Hướng dẫn:

1) Chứng minh AC D' ABD và AB D' ACD.

2) Chứng minh BDC'BA C' 900. 
3) Chứng minh A D A, , ' thẳng hàng.